método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais … · 2014-09-26 · são...

Método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais singulares:

convergência

Míriam Aparecida Rosa

Método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais singulares:

convergência

Míriam Aparecida Rosa

Orientador: Prof. Dr. José Alberto Cuminato

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas

e de Computação - ICMC-USP, como parte dos

requisitos para obtenção do título de Doutor em

Ciências - Ciências de Computação e Matemática Computacional. VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Agosto de 2014

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura:________________________

______

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

R788mRosa, Míriam Aparecida Método de colocação polinomial para equaçõesintegro-diferenciais singulares / Míriam AparecidaRosa; orientador José Alberto Cuminato. -- SãoCarlos, 2014. 69 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emCiências de Computação e Matemática Computacional) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,Universidade de São Paulo, 2014.

1. Equações integro-diferenciais singulares. 2.Método de Colocação Polinomial. 3. Convergência. 4.Espaço de Besov ponderado. 5. Norma de Besovponderada. I. Cuminato, José Alberto, orient. II.Título.

Agradecimentos

Aos meus pais, pelo grande apoio e compreensão nos momentos em que eu não pude

estar presente, devido a preparação deste trabalho.

À toda minha família, pelo incentivo que recebi neste período.

Agradeço também aos amigos com quem convivi, pelas palavras de apoio recebidas

em momentos difíceis e felizes, que tive durante o período desse trabalho.

Ao meu orientador Poti, pelas muitas coordenadas sugeridas, para que eu pudesse

produzir este trabalho, e ao professor Valdemir, pelo grande incentivo e apoio sempre que

lhe foi possível.

Ao CNPQ e à CAPES, pelo apoio nanceiro.

Resumo

Esta tese analisa o método de colocação polinomial, para uma classe de equações integro

diferenciais singulares em espaços ponderados de funções contínuas e condições de fron-

teira não nulas. A convergência do método numérico em espaços com norma uniforme

ponderada, é demonstrada, e taxas de convergências são determinadas, usando a suavi-

dade dos dados das funções envolvidas no problema. Exemplos numéricos conrmam as

estimativas.

Abstract

This thesis analyses the polynomial collocation method, for a class of singular integro-

dierential equations in weighted spaces of continuous functions, and non-homogeneous

boundary conditions. Convergence of the numerical method, in weighted uniform norm

spaces, is demonstrated and convergence rates are determined using the smoothness of

the data functions involved in problem. Numerical examples conrm the estimates.

Sumário

Contextualização 1

1 Teoria das equações integrais singulares 3

1.1 Denições e teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert para arcos abertos . 8

1.2.1 Solução do problema de RiemannHilbert homogêneo . . . . . . . . 9

1.2.2 Solução do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo . . . . . 12

1.2.3 Solução de equações integrais singulares com núcleo tipo Cauchy . . 13

1.2.4 Solução da equação dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.5 Solução da equação completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Equações integrodiferenciais singulares 20

2.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Método de colocação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Espaço de Operadores 28

3.1 Conceitos e teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Propriedades de mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Convergência do método de colocação polinomial . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Outros métodos numéricos do tipo colocação polinomial 49

4.1 Equação integro-diferencial singular analisada de outra forma . . . . . . . . 49

4.2 Convergência do método de colocação na norma uniforme . . . . . . . . . . 51

4.3 Método Multhopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ii

SUMÁRIO iii

5 Exemplos Numéricos 54

6 Conclusões 65

Referências Bibliográcas 67

Contextualização

Desde a segunda metade do século XX, a teoria das equações integrais tem ganhado

crescente importância, pelo fato de modelarem problemas físicos interessantes envolvendo

aerodinâmica, mecânica de fraturas, acústica entre outros.

O clássico livro de Muskhelishvili [18], sintetiza os principais desenvolvimentos na

teoria da equações integrais singulares (EIS). Usando a fórmula de PlemeljSokhotski, a

EIS é reduzida a um problema equivalente ao problema de valor de fronteira de Riemann

Hilbert, e a partir daí se desenvolve a teoria de solução da EIS.

Uma classe de equações integrais que aparec com frequência em problemas práticos,

são as equações integrodiferenciais, que são caracterizadas por apresentar derivadas da

função incógnita sob o sinal de integração. Os primeiros autores a mencionarem a pos-

sibilidade de usar métodos numéricos para resolver EIS na solução de equações integro-

diferenciais singulares (EIDS), foram Ioakimidis & Theocaris [11]. Kalandiya em [13],

modela uma série de problemas utilizando a equação de Prandtl

ϕ(x)

B(x)− 1

2π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt = f(x),

com as condições de fronteira ϕ(−1) = 0 e ϕ(1) = 0, onde B(x) 6= 0 e f(x) são Hölder

contínuas. No entanto, EIDS com condições de fronteira não homogêneas aparecem na

prática, como por exemplo, a equação da vela, estudada em [24].

Na literatura, uma gama enorme de métodos numéricos foram desenvolvidos para a

solução de EIDS. Neste trabalho, será analisado o método de colocação polinomial (MCP),

apresentado por Monegato & Strozzi em [17], onde os autores provam a convergência desse

método num espaço L2 ponderado. Cuminato, em [6] e [7], prova a convergência do método

na norma uniforme para a solução numérica de EIS com coecientes constantes, e em [8]

estende os resultados para o caso de coecientes variáveis. Em [19], Nagamine & Cuminato

1

SUMÁRIO 2

apresentam a análise de convergência para a solução numérica de EIDS com coecientes

constantes.

Um dos primeiros trabalhos que investigam a convergência uniforme ponderada de

métodos de aproximação polinomial, para resolver EIS, foi apresentado por Capobianco,

Junghanns, Luther & Mastroianni em [3], e uma extensão foi apresentada em [12]. Em [4],

[5] e [14] a análise de convergência do MCP, para resolver EIDS, foi realizada considerando

condições de fronteira homogêneas, e em [4] a convergência desse método é provada na

norma L2 ponderada. Em [14], a mesma análise é realizada na norma L1 ponderada, e em

[5], na norma uniforme ponderada. A análise de convergência deste trabalho também é

considerada na norma uniforme ponderada, no entanto, considerando a EIDS segundo um

ponto de vista distinto do apresentado em [5] e condições de fronteira não homogêneas.

O principal objetivo desta tese é derivar uma estimativa da ordem de convergência do

MCP, que depende da regularidade das funções que denem a EIDS.

Apresentamos primeiramente, uma breve introdução sobre a teoria das EIS de Cauchy,

apresentando denições, lemas e principais teoremas, a relação entre as EIS e o problema

de valor de fronteira de RiemannHilbert, e métodos de solução.

No Capítulo 2, apresentamos a EIDS objeto deste estudo, sua redução a uma EIS, a

representação em forma de operadores e aplicação do MCP.

No Capítulo 3, apresentamos um espaço ponderado de funções contínuas, ao qual per-

tencem os coecientes da EIDS proposta, as propriedades de mapeamento dos operadores

denidos no Capítulo 2, a prova da convergência do MCP, e uma estimativa para a taxa

de convergência do MCP.

No Capítulo 4, analisamos a EIDS proposta no Capítulo 1 segundo o ponto de vista

proposto em [5], mostramos a estimativa para a taxa de convergência do MCP na norma

uniforme apresentada em [19], apresentamos o método Multhopp, e comentamos suas

restrições quanto ao tratamento da EIDS.

No Capítulo 5, apresentamos alguns exemplos de EIDS resolvidos com o MCP. Faze-

mos uma análise dos dados do problema para deduzir uma estimativa para a ordem de

convergência. Apresentamos os resultados numéricos obtidos com a aplicação do MCP,

que comprovam essas estimativas.

Capítulo 1

Teoria das equações integrais singulares

Neste capítulo, apresentamos os principais conceitos da teoria das EIS e sua relação

com o problema de valor de fronteira de RiemannHilbert. Utilizamos esta teoria no

tratamento das EIDS.

Apresentamos aqui, apenas os principais conceitos e resultados básicos, necessários

para uma breve revisão bibliográca do assunto. Todos os detalhes desta teoria, são apre-

sentados, discutidos e demonstrados no clássico livro sobre o tema: Singular Integral

Equations de Muskhelishvili, [18].

1.1 Denições e teoremas principais

Denição 1.1.1. Um contorno suave L, é uma curva no plano complexo representada na

forma

L(s) := (x(s), y(s)), a ≤ s ≤ b,

onde x(s) e y(s) são funções contínuas no intervalo de denição, satisfazendo as seguintes

propriedades:

1) Suas derivadas de primeira ordem x′(s) e y′(s), respectivamente, são contínuas ao

longo de L e não simultaneamente nulas;

2) Se s1, s2 ∈ (a, b), x(s1) = x(s2) e y(s1) = y(s2) somente se s1 = s2.

3) Se x(a) = x(b) e y(a) = y(b), L é um contorno fechado.

3

1.1. DEFINIÇÕES E TEOREMAS PRINCIPAIS 4

Faremos referência aos pontos a e b como os extremos de L, e em alguns casos indi-

caremos L por L = ab.

Denição 1.1.2. Denimos a orientação positiva de L, como sendo aquela em que L é

percorrido no sentido de a para b.

Denição 1.1.3. Seja ϕ uma função real ou complexa denida sobre L. Dizemos que ϕ

satisfaz a condição de Hölder em L, se para quaisquer t1, t2, pontos de L,

|ϕ(t2)− ϕ(t1)| ≤ C|t2 − t1|µ,

onde C é constante positiva denominada constante de Hölder e 0 < µ ≤ 1 é denomi-

nado índice de Hölder. Nestas condições, dizemos que ϕ satisfaz a condição H µ(L), ou

simplesmente, satisfaz a condição H (L), quando não houver necessidade de menção ao

índice µ.

Denição 1.1.4. Sejam L e L′ contornos suaves, denidos nos intervalos [a, b] e [a′, b′],

respectivamente, para [a′, b′] ⊂ [a, b] mas a′ 6= a, b′ 6= b. Suponha que a função ϕ(t) satisfaz

a condição H (L′), e que nos extremos de L e próxima a eles, ϕ seja da forma:

ϕ(t) =ϕ∗(t)

(t− c)α, 0 ≤ α < 1,

onde ϕ∗(t) satisfaz a condição H (L) e c representa um dos extremos de L. Neste caso,

dizemos que ϕ satisfaz a condição H ∗(L).

Considere um contorno suave L = ab. Sejam x um ponto de L não coincidindo com

os extremos, γ um disco centrado em x de raio δ, l a intersecção entre L e γ, e t1, t2 os

extremos de l. Dena como orientação positiva de l, a de t1 para t2, conforme a Figura

1.1.

Figura 1.1: Contorno L− l


À vizinhança de x, dividida nas regiões de γ à direita e à esquerda de l quando

percorrido no sentido positivo, nos referimos como vizinhanças à direita e à esquerda de x,

e as denotaremos por S− e S+, respectivamente. Se L for um contorno fechado, denotamos

as regiões à direita e à esquerda de L, quando percorrido no sentido anti-horário, por S−

e S+ respectivamente, conforme a Figura 1.2.

Figura 1.2: Regiões denidas pela curva L

Denição 1.1.5. O valor principal da integral de Cauchy de ϕ no ponto x de L, é

denido por:

−∫

L

ϕ(t)

t− xdt := lim

δ→0

∫L−l

ϕ(t)

t− xdt,

quando o limite existir.

Denição 1.1.6. Sejam x um ponto arbitrário de L, que não coincida com seus extremos,

e Φ(z) uma função contínua em todo ponto z da vizinhança de x. Dizemos que Φ(z) é

contínua à esquerda (resp. à direita) de L, se Φ(z) tende a um limite denido Φ+(x)

(resp. Φ−(x)), quando z tende a x, para z um ponto da vizinhança à esquerda (resp. à

direita) de x.

Apresentamos a seguir, um teorema que será crucial para obtenção dos resultados

seguintes.

Teorema 1.1.7. Sejam L um contorno suave, z um ponto do plano e ϕ uma função que

satisfaz a condição H (L). Então, a função

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt

é contínua à esquerda e à direita de L, exceto possivelmente nos extremos para os quais

ϕ(x) 6= 0.


A demonstração deste teorema, pode ser encontrada em [18, p. 38].

Observe que o caso em que z ∈ L, implica que Φ(x) é contínua sobre L, exceto

possivelmente, nos extremos para os quais ϕ(x) 6= 0.

Denição 1.1.8. Sejam L um contorno suave, ϕ uma função que satisfaz a condição

H (L), z 6∈ L, e x um ponto de L que não coincida com um dos seus extremos, caso neles

ϕ(x) 6= 0. Denimos os limites à esquerda e à direita de L a partir da função

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt,

respectivamente por:

Φ+(x) = limz→x

Φ(z), z ∈ S+ e Φ−(x) = limz→x

Φ(z), z ∈ S−.

Teorema 1.1.9. (Fórmulas de Plemelj-Sokhotski) Seja Φ(z) como na Denição

1.1.8. Então

Φ+(x) =1

2ϕ(x) +

1

2πi−∫

L

ϕ(t)

t− xdt

e

Φ−(x) = −1

2ϕ(x) +

1

2πi−∫

L

ϕ(t)

t− xdt.

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [18, p. 42].

Observe que somando e subtraindo as fórmulas de PlemeljSokhotski, obtemos

Φ+(x) + Φ−(x) =1

πi−∫

L

ϕ(t)

t− xdt,

Φ+(x)− Φ−(x) = ϕ(x).

Em [18, p. 46], encontrase a demonstração do teorema seguinte, feita considerando

o Teorema 1.1.9.

Teorema 1.1.10. (Teorema de PlemeljPrivalov) Suponha Φ como na Denição

1.1.8. Se ϕ(x) satisfaz a condição H µ(L), então Φ+(x) e Φ−(x) satisfazem a condição

H µ(L) quando µ < 1, e H 1−ε(L) quando µ = 1, com ε > 0 sucientemente pequeno,

exceto possivelmente em uma vizinhança arbitrariamente pequena dos extremos, para os

quais ϕ(x) 6= 0.


Destes dois últimos teoremas, segue que:

Teorema 1.1.11. Seja Φ como na Denição 1.1.8. Se ϕ(x) satisfaz a condição H µ(L),

então Φ(x) satisfaz H µ(L) quando µ < 1 e H 1−ε(L) quando µ = 1, com ε > 0 sucien-

temente pequeno, exceto possivelmente em uma vizinhança arbitrariamente pequena dos

extremos, para os quais ϕ(x) 6= 0.

A demonstração deste teorema, pode ser encontrada em [18, p. 46].

Apresentamos a seguir, alguns conceitos associados ao problema de valor de fronteira

de RiemannHilbert, que enunciaremos na próxima seção.

Denição 1.1.12. Sejam L um contorno suave, e Φ(z) uma função contínua em L e

holomorfa no plano, exceto nos pontos de L. Suponha também que Φ(z) seja contínua à

esquerda e à direita de L, exceto possivelmente nos extremos, nos quais satisfaz a condição

|Φ(z)| ≤ C

|z − c| α, 0 ≤ α < 1,

onde c representa um extremo genérico e C é uma constante positiva. Então Φ(z) é dita

ser seccionalmente holomorfa com linha de descontinuidade L.

Denição 1.1.13. Se na expansão

Φ(z) =

j=+∞∑j=−∞

aj zj,

de uma função Φ(z) na vizinhança de um ponto no innito, existir apenas um número

nito de termos com potências positivas de z, dizemos que Φ(z) possui grau nito no

innito.

Teorema 1.1.14. Seja ϕ(x) uma função que satisfaz a condição H µ(L). Se Φ(z) é uma

função seccionalmente holomorfa, exceto possivelmente para z =∞, que possui grau nito

no innito e satisfaz a condição de fronteira

Φ+(x)− Φ−(x) = ϕ(x), x ∈ L,

então

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt+ Pk(z), (1.1)

onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k.

1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 8

Demonstração: A igualdade (1.1) pode ser obtida diretamente das fórmulas de Plemelj

Sokhotski, e sua unicidade, exceto pelo termo Pk(z), pode ser facilmente demonstrada.

Suponha que exista uma outra função Ψ(z) que também satisfaça as condições do

teorema. A função Υ(z) = Φ(z)−Ψ(z) é tal que

Υ+(x)−Υ−(x) = 0.

Sendo Υ(z) uma função holomorfa no plano, e que se anula no innito, necessariamente

Υ(z) = 0.

Todos os resultados apresentados até aqui continuam válidos para os casos em que

ϕ ∈ H ∗(L). Este caso, é discutido em [18].

O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert que enunciamos a seguir, mostra

claramente sua conexão com a resolução da integral singular do Teorema 1.1.14.

1.2 O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert

para arcos abertos

Problema de RiemannHilbert:

Sejam L um contorno suave e G(x) uma função que não se anula em ponto algum de L

e satisfaz a condição H (L). Encontrar uma função seccionalmente holomorfa Φ(z) com

grau nito no innito, que satisfaça a condição de fronteira

problema homogêneo: Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L. (1.2)

problema não-homogêneo: Φ+(x) = G(x)Φ−(x) + g(x) em L,

onde g(x) satisfaz a condição H (L).(1.3)

Apresentamos a seguir, a resolução do problema de valor de fronteira de Riemann

Hilbert. Nos problemas de nosso interesse, o contorno L é um arco aberto. Tendo em vista

a resolução de equações integrais singulares via problema de RiemannHilbert, apresenta-

mos os problemas de RiemannHilbert homogêneo e nãohomogêneo para arcos abertos.

Os casos em que L consiste de um conjunto nito de contornos suaves fechados que não se


intersectam, é considerado e discutido em [18]. Primeiramente, consideramos o problema

de valor de fronteira de RiemannHilbert homogêneo, e em seguida, com o auxílio da

solução do problema homogêneo, mostramos a resolução do problema nãohomogêneo.

1.2.1 Solução do problema de RiemannHilbert homogêneo

No que se segue, vamos considerar que:

1) L é a união nita de arcos abertos suaves Lj, 1 ≤ j ≤ p, não se intercectando, e

com uma direção (positiva) denida. Indicaremos seus extremos por: aj, bj, sendo a

direção positiva de Lj denida de aj para bj,

2) ϕ satisfaz a condição H ∗(L).

3) Denimos

∆(z) =1

2πi

∫L

lnG(t)

t− zdt, (1.4)

tomando para lnG(t) algum ramo desta função multivalente que varia continua-

mente sobre cada Lj.

Admitindo que estas condições estão satisfeitas, pelas equações de PlemeljSokhotski, a

função Φ(z) = e∆(z) satisfaz a igualdade

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L. (1.5)

No entanto, e∆(z) pode não ser seccionalmente holomorfa por não satisfazer a condição

| e∆(z)| < C

|z − cj|α.

Para contornar este problema, veja que lnG(t) satisfaz a condição H (L), e neste caso,

foi demonstrado em [18, p. 230], que próximo aos extremos cj, a função ∆(z) possui a

forma

∆(z) = ± ln[G(cj)]

2πiln

1

z − cj+ ∆∗(z),

onde o sinal acima é positivo se cj = aj e negativo se cj = bj. A função ∆∗(z) satisfaz a

condição H (L) próxima a cj se z ∈ L, e para z não pertencente a L, ∆∗(z) é uma função

limitada, tendo limite denido quando z → cj. Sendo assim, denindo

γj + iδj = ∓ lnG(cj)

2πi, (1.6)


com o sinal acima negativo se cj = aj e positivo se cj = bj, e γj e δj constantes reais,

podemos escrever

e∆(z) = (z − cj)γj+iδjΩ(z),

onde Ω(z) é função limitada que não se anula.

Selecione inteiros λj, tais que

−1 < γj + λj < 1 (1.7)

e dena

Π(z) =

2p∏j=1

(z − cj)λj .

Então a função

X(z) = Π(z)e∆(z), (1.8)

satisfaz a condição (1.5), e por (1.7) X(z) é seccionalmente holomorfa. Sendo assim, X(z)

é uma solução particular do problema de RiemannHilbert para arcos abertos, e será

chamada solução fundamental , assim como cX(z), para c uma constante não nula.

No entanto, esta solução só está completamente denida se γj for inteiro, pois caso

contrário, a escolha dos valores de λj que satisfazem a condição (1.7) não é única. Se γj

for inteiro, λj é determinado unicamente por

λj = −γj.

Denição 1.2.1. Aos extremos cj para os quais γj é inteiro denominamos extremos

especiais. Aos demais denominamos extremos nãoespeciais.

Denição 1.2.2. Sejam cj, 1 ≤ j ≤ m, todos os extremos nãoespeciais de uma solução

Φ(z) do problema de RiemannHilbert (1.5). Se nos extremos cj, 1 ≤ j ≤ q, Φ(z) for

limitada, dizemos que Φ(z) é uma solução de classe h(c1 , ..., cq). Se q = m, dizemos

simplesmente que Φ(z) é de classe hm e se q = 0, que Φ(z) é de classe h0 .

Tomando os limites à esquerda e à direita de X(z) sobre L, e aplicando as fórmulas

de PlemeljSokhotski, obtemos

X+(x) =√G(x)X(x) X−(x) =

X(x)√G(x)

, (1.9)


donde

X(x) =

2p∏j=1

(x− cj)αjΩ(x), (1.10)

sendo αj = γj + iδj + λj, e Ω(x) uma função que satisfaz a condição H (L) e que não se

anula em L. Portanto, se a função X(z) pertence à classe h(c1, ..., cq), X(z) se anula nos

extremos c1, ..., cq, e não se anula em outras partes do plano. Além disso, nos extremos

especiais X(z) é limitada.

Denição 1.2.3. Ao inteiro

κ = −2p∑j=1

λj,

denominamos índice do problema de RiemannHilbert em uma dada classe de so-

luções h(c1, ..., cq).

Por (1.8), concluise que o grau da solução X(z) no innito é −κ.

Teorema 1.2.4. Uma função Φ(z) é solução do problema de RiemannHilbert (1.5) em

uma dada classe, se e somente se

Φ(z) = X(z)P (z), (1.11)

onde P (z) é um polinômio arbitrário e X(z) é uma solução fundamental do problema.

Demonstração: Suponha que Φ(z) seja solução do problema de RiemannHilbert (1.5)

em uma dada classe. Por hipótese,

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) e X+(x) = G(x)X−(x) emL,

sendo que X+(x), X−(x) 6= 0, exceto nos extremos e para um ponto no innito. Portanto,

Φ(x)+

X+(x)=

Φ−(x)

X−(x)

e consequentemente, Φ(x)/X(x) é holomorfa no plano, e próxima aos extremos poderá

tornarse innita, com grau menor que um. Como Φ(z) possui grau nito no innito,

Φ(x)/X(x) é um polinômio.

Por outro lado, se (1.11) é válido, obtemos

Φ+(x) = X+(x)P (x) e Φ−(x) = X−(x)P (x).


Como X+(x) = G(x)X−(x), temse

Φ+(x) = G(x)Φ−(x).

Observe que para Φ(z) ser limitada próxima a um extremo não especial c, o polinômio

P (z) deve possuir o termo (z − c), e neste caso, Φ(z) = 0 para z = c.

Segue de (1.11), que no innito o grauΦ(z) = −κ + k, onde k é o grau do polinômio

P (z). Portanto, o menor grau possível de uma solução no innito é −κ, e neste caso, ela

é uma solução fundamental.

1.2.2 Solução do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo

Seja Φ(z) uma solução de classe h(c1, ..., cq) do problema de RiemannHilbert nãohomo-

gêneo

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) + g(x) em L, (1.12)

onde G(x) e g(x) satisfazem a condição H (L) e G(x) não se anula em ponto algum

de L. Seja também X(z) a solução fundamental, de mesma classe, do problema de

RiemannHilbert homogêneo associado ao problema (1.12)

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L,

a qual denominamos função fundamental de classe h(c1, ..., cq) do problema (1.12).

EntãoΦ+(x)

X+(x)− G(x)

X+(x)Φ−(x) =

g(x)

X+(x)⇒ Φ+(x)

X+(x)− Φ−(x)

X−(x)=

g(x)

X+(x).

Por suposição, Φ(z) e X(z) são limitadas próximas aos extremos c1, ..., cq e portanto,∣∣∣∣ Φ(z)

X(z)

∣∣∣∣< C

|z − cj|α, 1 ≤ j ≤ q.

Sendo assim, a função Φ(z)/X(z) é seccionalmente holomorfa e possui grau nito no

innito. De acordo com o Teorema 1.1.14,

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

g(t)

X+(t)(t− z)dt+X(z)Pk(z),

onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k.


Teorema 1.2.5. A solução Φ(z) do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo (1.12),

de classe h(c1, ..., cq), que se anula no innito, é dada por:

• Se κ ≥ 0,

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

g(t)

X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z), (1.13)

onde X(z) é a função fundamental de classe h(c1, ..., cq) e índice κ do problema (1.12),

Pκ−1(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo κ − 1 e Pκ−1 ≡ 0 para κ = 0.

• Se κ < 0, a solução só existe se∫L

tjg(t)

X+(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.

Se estas condições forem satisfeitas, então Φ(z) é dada por (1.13) com Pκ−1 ≡ 0.

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [6], Seção 81.

1.2.3 Solução de equações integrais singulares com núcleo tipo

Cauchy

Apresentamos a seguir, algumas denições e resultados necessários ao desenvolvimento

da teoria da resolução de EIS.

Denição 1.2.6. Seja a equação integral

a(x)ϕ(x) +1

πi

∫L

K(x, t)ϕ(x)

t− xdt = f(x), (1.14)

onde f(t) é dada e ϕ(t) é desconhecida. Se as seguintes condições,

1) as funções a(t) e K(x, t) satisfazem a condição H (L), no caso de K(x, t) em ambas

as variáveis, e f(x) satisfaz a condição H ∗(L),

2) L consiste da união nita de arcos suaves não se interceptando,

3) as funções a(x) e b(x) são tais que a2(x)− b2(x) 6= 0,

forem satisfeitas, a equação acima será chamada equação integral singular com nú-

cleo do tipo Cauchy ou simplesmente equação integral singular.


Podemos reescrever a equação (1.14) de uma forma mais conveniente, como:

a(x)ϕ(x) +b(x)

πi

∫L

ϕ(t)

t− xdt+

∫L

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x),

onde b(x) = K(x, x) e l(x, t) = [K(x, t)−K(x, x) ]/[ πi(t− x) ].

Denição 1.2.7. A equação

a(x)ϕ(x) +b(x)

πi

∫L

ϕ(t)

t− xdt = f(x) (1.15)

é denominada equação dominante correspondente à equação completa (1.14), e os

termos a(x) e b(x) são os coecientes da equação dominante.

1.2.4 Solução da equação dominante

Primeiramente investigamos a resolução da equação dominante, e em seguida, de posse

desta solução, podemos resolver a equação completa.

Lema 1.2.8. Considere a equação (1.15) e as condições 1, 2 e 3 da Denição 1.2.6 ver-

dadeiras. Suponha que

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt,

onde ϕ(t) é a solução de (1.15), e satisfaz a condição H ∗(L). Então Φ(z) é solução do

problema de RiemannHilbert

Φ(x)+ =a(x)− ib(x)

a(x) + ib(x)Φ(x)− +

f(x)

a(x) + ib(x), (1.16)

que se anula no innito.

Demonstração: Aplicando as fórmulas de PlemeljSokhotski para Φ(z), e substituindo

em (1.15), obtemos (1.16).

Pelo o Teorema 1.1.14, obtemos

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt+ Pk(z),

onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k. De acordo com o Teorema

1.2.5, a solução de classe h(c1, · · · , cq) do problema de RiemannHilbert:


Encontrar uma função Φ(z) seccionalmente holomorfa, com grau nito no innito e

que satisfaça a condição de fronteira (1.16), onde a(x) e b(x) satisfazem a condição H (L)

e a2(x)− b2(x) 6= 0, é dada por:

• Se κ ≥ 0,

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

f(t)

[a(t) + ib(t)]X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z), (1.17)

onde X(z) é a função fundamental de classe h(c1, · · · , cq) e índice κ, e Pκ−1(z) é um

polinômio arbitrário de grau no máximo κ − 1, sendo que Pκ−1 ≡ 0 para κ = 0.

• Seκ < 0, a solução só existe se∫L

tjf(t)

[a(t) + ib(t)]X+(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.

Se estas condições forem satisfeitas, Φ(z) é dada por (1.17) com Pκ−1 ≡ 0.

Notação. Denotamos a função fundamental de classe h(c1, · · · , cq) do problema de

RiemannHilbert (1.16), por Z(x), conforme denida em (1.8), e por r(x) a função√a2(x) + b2(x).

Teorema 1.2.9. Nas condições do Lema 1.2.8, a solução geral da equação (1.15) é dada

por

ϕ(x) =

A∗f − 2ib(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x) se κ ≥ 0,

A∗f se κ < 0 e∫L

tjf(t)

r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, ...,−κ − 1,

(1.18)

onde

A∗f =a(x)

r2(x)f(x)− b(x)Z(x)

πir(x)

∫L

f(t)dt

r(t)Z(t)(t− x).

Demonstração: Tomando os limites à esquerda e à direita de (1.17) e substituindo em

ϕ(x) = Φ+(x)− Φ−(x),


obtemos:

ϕ(x) =X+(x) +X−(x)

2[ a(x) + ib(x) ]X+(x)f(x) +

X+(x)−X−(x)

2πi

∫L

f(t)dt

[a(t) + ib(t)]X+(t)(t− x)+

+ [X+(x)−X−(x)]Pκ−1. (1.19)

Como X(z) é solução fundamental do problema de RiemannHilbert homogêneo

Φ+(x) =

[a(x)− ib(x)

a(x) + ib(x)

]Φ−(x) = G(x) Φ−(x),

associado ao problema (1.16) e de mesma classe, por (1.9)

X+(x) =√G(x)Z(x) e X−(x) =

1√G(x)

Z(x),

o que implica em

[a(x) + ib(x)]X+(x) =r(x)X+(x)√

G(x)= r(x)Z(x),

X+(x) +X−(x) =2a(x)Z(x)

r(x)e X+(x)−X−(x) = −2i b(x)Z(x)

r(x),

(1.20)

e aplicando as equações (1.20) em (1.19), obtemos

ϕ(x) = A∗f − 2ib(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x), Pκ−1(x) ≡ 0 se κ ≤ 0.

Se κ < 0, pelo Teorema 1.2.5, para que a solução exista as condições∫L

tjf(t)

r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1,

devem ser satisfeitas.

1.2.5 Solução da equação completa

Seja a EIS

Aϕ = a(x)ϕ(x) +b(x)

π

∫L

ϕ(t)

t− xdt+

∫L

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x), (1.21)

como na Denição 1.2.6. Denindo

Aϕ ≡ a(x)ϕ(x) +b(x)

π

∫L

ϕ(t)

t− xdt e

aϕ ≡∫

L

l(x, t)ϕ(t) dt,


podemos escrever (1.21) como:

Aϕ = Aϕ+ aϕ = f ⇒ Aϕ = f − aϕ.

Se o lado direito desta última equação for conhecido, pela seção anterior podemos resolver

esta equação. Como f − aϕ satisfaz a condição H ∗(L), a solução da equação completa é

dada por

ϕ(x) = A∗[f − aϕ]− 2ib(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x), (1.22)

para A∗f , Z(x) e Pκ−1(x) como no Teorema 1.2.9. Se κ < 0, para que a solução exista,

as seguintes condições devem ser satisfeitas:∫L

tj[f(t)− aϕ(t)]

r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.

Denição 1.2.10. Considere a equação

a(x)ϕ(x) +

∫L

l(x, t)ϕ(t)dt = f(t), (1.23)

onde a(x), l(x, t) e f(x) são funções contínuas. Se o termo a(x) é nulo, a denominamos

equação de Fredholm de primeira espécie, e se a(x) 6= 0 equação de Fredholm de

segunda espécie.

Denimos

N(x, t) =a(x)

r2(x)l(x, t)− b(x)Z(x)

πr(x)

∫L

l(t1, t)dt1Z(t1)r(t1)(t1 − x)

.

Então

A∗aϕ(x) =

∫L

N(x, t)ϕ(t)dt,

e a equação (1.22) pode ser escrita como:

ϕ(x) +

∫L

N(x, t)ϕ(t)dt = A∗f − 2i b(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x). (1.24)

De (1.10), temos que

Z(t) =

2p∏j=1

(t− cj)αjΩ(t), (1.25)


para αj = γj + iδj + λj, e Ω(t) função não nula que satisfaz a condição H (L). Suponha

que os números αj estejam ordenados de forma que0 < Re [αj] < 1 se 1 ≤ j ≤ q,

−1 < Re [αj] < 0 se q + 1 ≤ j ≤ m,

Re [αj] = 0 se m+ 1 ≤ j ≤ 2p.

Se denimos

T (t) =m∏

j=q+1

(t− cj)αj ,

então podemos escrever

Z(t) = T (t) Ω0(t), (1.26)

onde Ω0(t) é uma função que satisfaz a condição H (L).

Escreva ϕ(t) sob a forma

ϕ(t) = T (t)ϕ0(t). (1.27)

Então (1.24) pode ser reescrita como

ϕ0(x) +

∫L

N(x, t)T (t)ϕ0(t)

T (x)dt =

1

T (x)

(A∗f − 2i b(x)Z(x)Pκ−1(x)

r(x)

). (1.28)

Notemos que a integral em (1.28) não possui singularidade na variável x, mas pos-

sui na variável t. Para removermos esta singularidade, fazemos uma transformação de

coordenadas, denindo

τ =

∫ t

aj

T (s)ds e τ0 =

∫ x

aj

T (s)ds em Lj = aj bj, 1 ≤ j ≤ p.

Reescrevendo (1.28) nesta variável, obtemos

ϕ0(τ0) +

∫Λ

n(τ0, τ)ϕ0(τ) dτ =1

T (τ0)

(A∗f − 2i b(τ0)Z(τ0)

r(τ0)Pκ−1(τ0)

), (1.29)

onde n(τ0, τ) = N(τ0, τ)/T (τ0), e Λ denota a união dos arcos Λj, correspondentes aos

arcos Lj do plano. Esta é uma equação de Fredholm.

Lema 1.2.11. Seja a equação de Fredholm

Nϕ = a(x)ϕ(x) +

∫L

n(x, t)ϕ(t)dt = g(t), (1.30)


onde L é a união nita de arcos suaves não se interceptando, e a(x) é uma função que

não se anula em ponto algum de L. Então, se a equação

Nϕ = 0

não possuir solução não nula, a solução de (1.30) é única, e é dada por

ϕ(x) = α(x)g(x) +

∫L

ς(x, t)g(t)dt,

onde α(x) = 1/a(x) e ς(x, t) é uma função com as mesmas características de n(x, t).

A demonstração deste lema, pode ser encontrada em [18, p. 137].

Deste lema, concluímos que (1.28) possui uma única solução, desde que −1 não seja

autovalor do núcleo de n(τ0, τ).

Capítulo 2

Equações integrodiferenciais singulares

Neste capítulo, propomos a resolução de um tipo de EIDS com núcleo de Cauchy

generalizada. Devido ao fato de muitos problemas práticos descritos por uma EIDS ou EIS,

possuírem condições de fronteira nãohomogêneas, impomos estas condições na equação

proposta aqui. Pelo mesmo motivo, assumimos o contorno L como sendo um arco aberto,

mais especicamente, o intervalo [−1, 1].

Através de mudanças de variáveis, a EIDS é tranformada em uma EIS, e dessa forma

podemos resolvê-la aplicando a teoria apresentada no Capítulo 1.

Apresentamos o MCP que utilizamos para resolver a EIS obtida, e a equação a ser

resolvida na prática com a aplicação deste método.

2.1 Considerações iniciais

Considere a EIDS

a1 ϕ′(x) +

b1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

l1(x, t)ϕ′(t)dt+ a2(x)ϕ(x) +

∫ 1

−1

l2(x, t)ϕ(t)dt = f(x),

|x| < 1, (2.1)

onde a2(x) e f(x) são funções que satisfazem a condição H ∗([−1, 1]) e l1,2(x, t) satisfaz a

condição H ∗([−1, 1]) em ambas as variáveis ou l1,2(x, t) = l∗1,2(x, t)/(x − t) onde l∗1,2(x, t)

satisfaz a condição H ([−1, 1]) em ambas as variáveis. As constantes a1, b1 devem satisfazer

as condições a21 + b2

1 = 1. As condições de fronteira

ϕ(−1) = ξ1 e ϕ(1) = ξ2,

20

2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 21

também devem ser satisfeitas.

Para simplicar alguns cálculos, aplicamos a mudança de variáveis

ψ(x) = ϕ(x) + c1x+ c2,

com o objetivo de que

ψ(−1) = 0 e ψ(1) = 0,

e obtemosψ(−1) = ξ1 − c1 + c2 = 0

⇒ c1 = (ξ1 − ξ2)/2 e c2 = −(ξ1 + ξ2)/2,

ψ(1) = ξ2 + c1 + c2 = 0

donde podemos escrever

ψ(x) = ϕ(x) +(ξ1 − ξ2)

2x − (ξ1 + ξ2)

2.

Na variável ψ(x), a equação (2.1) pode ser escrita na forma:

a1 ψ′(x) +

b1

π−∫ 1

−1

ψ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

l1(x, t)ψ′(t)dt+ a2(x)ψ(x) +

∫ 1

−1

l2(x, t)ψ(t)dt =

= f(x), (2.2)

onde

f(x) = f(x) +(ξ1 − ξ2)

2

a1 +

b1

πlog

∣∣∣∣1− x1 + x

∣∣∣∣+∫ 1

−1

l1(x, t)dt+ a2(x)x+

+

∫ 1

−1

l2(x, t) t dt

−(ξ1 + ξ2)

2

[a2(x) +

∫ 1

−1

l2(x, t)dt

].

Observe que devido à mudança de variáveis aplicada, a função f(x) possui singularidades

nos extremos do intervalo [−1, 1]. A não limitação de f(x) em [−1, 1], gera algumas

diculdades na prova de convergência do método, que serão tratadas no próximo capítulo.

Para que possamos aplicar a teoria das EIS discutida no Capítulo 1, devemos transfor-

mar a equação (2.2) em uma equação integral. Por este motivo, fazemos outra mudança

na variável dependente

u(x) = ψ′(x) ⇒ ψ(x) =

∫ x

−1

u(t)dt,


e substituindo em (2.2), obtemos

a1u(x) +b1

π−∫ 1

−1

u(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

l1(x, t)u(t)dt+ a2(x)

∫ x

−1

u(t)dt+

+

∫ 1

−1

l2(x, t)

[ ∫ t

−1

u(s)ds

]dt = f(x). (2.3)

A condição de fronteira para u(x) é∫ 1

−1u(x) dx = 0.

Fazendo uma integração por partes no termo∫ 1

−1l1(x, t)u(t)dt, a equação (2.3) pode

ser reescrita como:

a1u(x) +b1π−∫ 1

−1

u(t)

t− xdt+ a2

∫ x

−1u(t)dt+

∫ 1

−1

(− ∂ l1(x, t)

∂t+ l2(x, t)

)(∫ t

−1u(s)ds

)dt =

f(x), (2.4)

com∫ 1

−1u(t)dt = 0.

A partir de (1.5), (1.6) e (1.16), obtemos

γj + iδj = ∓ 1

2πiln

[a1 − ib1

a1 + ib1

], j = 1, 2,

sendo o sinal acima negativo para j = 1, ou seja, para o extremo c1 = −1, e positivo para

j = 2, para o extremo c2 = 1.

De acordo com a teoria do Capítulo 1, devemos encontrar M e N inteiros que satisfa-

çam as desigualdades

−1 < − γ1 +M < 1 e − 1 < γ1 +N < 1, (2.5)

e por (1.25),

Z(x) = (1− x)−γ1−iδ1+M(1 + x)γ1+iδ1+N Ω(x) = (1− x)α(1 + x)β Ω∗(x),

para α e β dados por

α = −γ1 +M e β = γ1 +N.

Portanto, o índice do problema é

κ = −(M +N) = −(α + β).

Pelas condições sobre M e N dadas em (2.5), o valor de κ se restringe a −1, 0, 1.

No caso em que κ = 1, a solução de (2.4) é de classe h0 e é ilimitada nos extremos −1 e


1, além de −1 < α, β < 0. Devido à forma da equação (2.4) e sua condição de fronteira,

devemos procurar soluções que pertençam a esta classe.

Das equações (1.26) e (1.27), podemos escrever

ϕ(x) = Z(x) g(x),

onde Z(x) é função fundamental da classe h0 do problema de RiemannHilbert associado

à equação (2.4), e g(x) satisfaz a condição H ∗([−1, 1]).

Denotaremos a função Z(x) por ωα,β(x). Esta será a função peso da equação de inte-

resse. Disto, temos que (2.4) pode ser reescrita como:

a1ωα, β(x)g(x) +

b1

π−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt+ a2(x)

∫ x

−1

ωα, β(t)g(t)dt+

+

∫ 1

−1

(− ∂ l1(x, t)

∂t+ l2(x, t)

)(∫ t

−1

ωα, β(s)g(s)ds

)dt = f(x), (2.6)

com∫ 1

−1ωα, β(t)g(t)dt = 0.

Denimos os operadores

Hg(x) = a1ωα, β(x)g(x) +

b1

π−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt,

Df(x) = a2(x)f(x),

Rg(x) =∫ x−1ωα, β(t)g(t)dt,

l(x, t) = −∂ l1(x, t)

∂t+ l2(x, t),

Lf(x) =∫ 1

−1l(x, t)f(t)dt,

Hg(x) = a1ω−α,−β(x)g(x)− b1

π−∫ 1

−1

g(t)ω−α,−β(t)

t− xdt.

(2.7)

Então, a equação (2.6) escrita em termos de operadores toma a forma:

[H + (D + L)R ] g = f.

Utilizando o Teorema 1.2.9, em [6] mostrouse que o operador H satisfaz

HHg =

g + g0 se κ = 1,

g se κ ≤ 0, e para 0 ≤ j ≤ −κ − 1,∫ 1

−1

xj

Z(x)

[a1ω

α, β(x)g(x) +b1

π−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt

]dx = 0,

2.2. MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 24

para g0 ∈ kerH, uma constante arbitrária. Assim, I + H[ (D + L )R ]g = Hf − g0, se κ = 1,

I + H[ (D + L )R ]g = Hf, se κ ≤ 0,(2.8)

e então, se κ ≤ 0, H é inversa à esquerda de H, ∀g ∈ H ∗( [−1, 1] ) e∫ 1

−1ωα, β(t)g(t)dt = 0.

Como visto no Capítulo 1, as equações (2.8) são equações de Fredholm de segunda

espécie, e possuem solução única, desde que −1 não seja autovalor de H[ (D + L )R ]

caso κ ≤ 0. No caso de κ = 1, devemos determinar a constante g0 para obtermos

uma única solução, impondo em (2.8) a condição∫ 1

−1ωα, β(t)g(t)dt = 0. Se o operador

[ I + H[ (D + L )R ] for inversível, multiplicando a primeira equação de (2.8) por

[ I + H[ (D + L )R ]−1, e em seguida por ωα, β(x), integrando a equação resultante so-

bre [−1, 1] em x, obtemos

0 =

∫ 1

−1ωα, β(x) [I + H[ (D+L )R ] ]−1Hf (x)dx−

∫ 1

−1ωα, β(x) I + H[ (D+L )R ] −1g0 dx.

Então para determinar g0 de maneira única, devemos ter:∫ 1

−1

ωα, β(x) I + H [ (D + L )R ] −11dx 6= 0. (2.9)

Vamos considerar que esta condição é satisfeita.

2.2 Método de colocação polinomial

Primeiramente, relembremos alguns resultados clássicos relacionados aos polinômios or-

togonais.

Denição 2.2.1. São chamados polinômios de Jacobi de grau n, os polinômios P α, βn (t)

tais que ∫ 1

−1

ω α, β(t)P α, βi (t)P α, β

j (t)dt = hi δij, i, j = 0, 1, ...

para α, β > −1, ωα, β(t) conforme denido anteriormente, δi,j o delta de Kronecker e

hi =2α+β+1

2i+ α + β + 1

Γ(i+ α + 1) Γ(i+ β + 1)

Γ(i+ 1)Γ(i+ α + β + 1).


Denimos a aproximação da função g(x), como sendo:

gn(x) = c0Pα, β

0 (x) + c1Pα, β

1 (x) + · · ·+ cnPα, βn (x), (2.10)

onde

cj =2α+β+1

2j + α + β + 1

Γ(j + α + 1) Γ(j + β + 1)

Γ(j + 1)Γ(j + α + β + 1)

∫ 1

−1

ω α, β(x)P α, βj (x)g(x) dx, 0 ≤ j ≤ n,

(veja [22], equação (9.1.1)). Observe que devido às condições de fronteira impostas em

(2.6), c0 = 0.

Substituindo gn em (2.6), podemos denir o resíduo

rn(x) =n∑j=1

cj

a1 ω

α, β(x)Pα, βj (x) +

b1

π−∫ 1

−1

ωα, β(t)Pα, βj (t)

(t− x)dt+

+a2(x)∫ x−1ωα, β(t)Pα, β

j (t) dt+

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

ωα, β(s)Pα, βj (s) ds

]dt

−f(x).

(2.11)

Da fórmula de Rodrigues generalizada (veja [22], equação (4.10.1)), temos que

ωα, β(x)P α, βj (x) = − 1

2j

d

dx[ωα+1, β+1 P α+1, β+1

j−1 (x) ], (2.12)

o que implica em∫ x

−1

ωα, β(t)P α, βj (t) dt = − 1

2jωα+1, β+1(x)P α+1, β+1

j−1 (x). (2.13)

Aplicando este resultado em (2.11), obtemos

rn(x) =n∑j=1

cj

a1ω

α, β(x)P α, βj (x) +

b1

π−∫ 1

−1

ω α, β(t)P α, βj (t)

(t− x)dt−

− 1

2j

[a2(x)ω α+1, β+1(x)P α+1, β+1

j−1 (x) +

∫ 1

−1

l(x, t)ω α+1, β+1(t)P α+1, β+1j−1 (t) dt

]−

−f(x). (2.14)

Para tratar os dois primeiros termos de (2.14), utilizaremos o próximo lema.

Lema 2.2.2. ([6], Lema 3.4.1)Sejam P α,βn e P −α,−βn sequências de polinômios de

Jacobi de grau n, ortogonais com respeito aos pesos ω α, β(x) e ω−α,−β(x) respectivamente,

com α, β não inteiros. Então,

aω α, β(x)P α, βn (x) +

b

π−∫ 1

−1

ω α, β(t)P α, βn (t)

(t− x)dt = − 2−κ

sen(π α)bP−α, −βn−κ (x),

aω−α, −β(x)P−α, −βn (x)− b

π−∫ 1

−1

ω−α, −β(t)P−α, −βn (t)

(t− x)dt = − 2κ

sen(π α)bP α, β

n+κ (x),

onde P α, βn = P−α, −βn ≡ 0 se n < 0 e κ é o índice do problema.


Aplicando o Lema 2.2.2 na equação (2.14), obtemos

rn(x) =n∑j=1

cj

−b1P−α, −βj−1 (x)

2sen(π α)− 1

2j

[a2(x)ω α+1,β+1(x)P α+1,β+1

j−1 (x)+

+

∫ 1

−1

l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt

]− f(x).

(2.15)

O resíduo rn(x) pode ser escrito na forma:

rn(x) = [H + (D + L)R ]gn − f (x). (2.16)

Denição 2.2.3. O método de colocação polinomial consiste na aproximação da fun-

ção g(x) por gn(x) =n∑j=0

cjPj(x), onde Pjnj=1 é uma base para o conjunto de polinômios

de grau n, e os coecientes cj são determinados a partir da equação residual, quando a

ela é imposta a condição rn(xi) = 0 para n pontos distintos xi, denominados pontos de

colocação, que são escolhidos de forma conveniente sobre [−1, 1].

Impondo que rn(xi) = 0 para 0 ≤ i ≤ n, obtemos sistema de equações lineares

rn(xi) =n∑j=1

cj

− b1P−α, −βj−1 (xi)

2sen(π α)− 1

2j

[a2(xi)ω

α+1,β+1(xi)Pα+1,β+1j−1 (xi) +

+

∫ 1

−1

l(xi, t)ωα+1,β+1(t)P α+1,β+1

j−1 (t) dt

]− f(xi) = 0.

Escolhemos como pontos de colocação, os zeros do polinômio de Chebyshev de primeira

espécie de grau n

xi = cos

[(2i+ 1)π

2n

], 1 ≤ i ≤ n.

O motivo desta escolha cará claro mais adiante, na Seção 3.3.

Observe que a integral ∫ 1

−1

l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt,

em geral não pode ser resolvida analiticamente. Por este motivo, quando necessário, em-

pregamos neste termo uma quadratura de Gauss-Jacobi com n nós, dada por∫ 1

−1

l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt '

n∑i=1

l(x, ti)Pα+1,β+1j−1 (ti)λ

α+1,β+1i :=

:= Ln [P α+1,β+1j−1 (x)ω α+1,β+1(x) ],

(2.17)


onde

λα+1,β+1i = 2α+β+3 Γ(n+ α + 2)Γ(n+ β + 2)

Γ(n+ 1)Γ(n+ α + β + 3)(1− t2i )−1 [ (P α+1, β+1

n )′(ti) ]−2, (2.18)

(veja [22], equação (15.3.1) ), e ti, 1 ≤ i ≤ n, denotam as n raízes do polinômio

P α+1,β+1n (t), obtidas com o auxílio do software MATHEMATICA.

De [22], equação (4.21.7), obtemos a identidade

d

dxP α, β

n (x) =1

2(n+ α + β + 1)P α+1, β+1

n−1 (x), (2.19)

que aplicada em (2.18), nos leva à identidade

Ln [P α+1, β+1j−1 (x)ω α+1,β+1(x) ] =

2α+β+5

(n+ α + β + 3)2

Γ(n+ α + 2)Γ(n+ β + 2)

Γ(n+ 1)Γ(n+ α + β + 3).

.

n∑i=1

l(x, ti)Pα+1,β+1j−1 (ti) (1− t2i )−1 [P α+2,β+2

n−1 (ti) ]−2.

Para calcularmos os polinômios P−α, −βj (x), P α+1,β+1j (x), 1 ≤ j ≤ n−1 e P α+2,β+2

n−1 (x),

lançamos mão da identidade

P α, βn (x) =

n∑k=0

(n+ α

n− k

)(n+ β

k

)(x− 1

2

)k(x+ 1

2

)n−k,

(veja [22], equação (4.3.2)). Nos casos particulares em que α = β = −1/2 e α = β = 1/2,

as expressões dos polinômios possuem uma forma mais simplicada que a anterior, dadas

por:

P −1/2, −1/2n (x) =

1

4n

(2n

n

)Tn(x) e P 1/2, 1/2

n (x) =2√π

Γ(n+ 3/2)

Γ(n+ 2)Un(x),

onde Tn(x) = cos(n arccosx) e Un(x) = sen[ (n + 1) arccosx ]/sen( arccosx ) são os po-

linômios de Chebyshev de primeira e segunda espécie, respectivamente (veja [1], equações

(22.5.23) e (22.5.32)).

O sistema de equações lineares que resolvemos na prática é Ac = f , onde

Ai,j =−b1P

−α, −βj−1 (xi)

2sen(π α)− 1

2j

[a2(xi)ω

α+1,β+1(xi)Pα+1,β+1j−1 (xi) +

+n∑k=1

l(xi, tk)Pα+1,β+1j−1 (tk)λ

α+1,β+1k

], 1 ≤ i, j ≤ n,

c = [c1 · · · cn]> e f = [f(x1) · · · f(xn)]>.

Capítulo 3

Espaço de Operadores

Neste capítulo, apresentamos as propriedades de mapeamento dos operadores denidos

em (2.7), quando aplicados em espaços ponderados de Besov.

Primeiramente, apresentamos os principais conceitos relativos aos espaços ponderados

de funções contínuas e de subspaços destes, do tipo Besov, aos quais consideramos per-

tencer os coecientes da equação (2.6). Em seguida, mostramos como se comportam os

operadores de (2.7) nestes espaços, principalmente no que tange à sua limitação. Final-

mente, apresentamos uma análise de convergência do MCP, segundo a norma uniforme

ponderada.

3.1 Conceitos e teoremas principais

Denição 3.1.1. Para ρ, τ ≥ 0, denimos o espaço de funções

Cρ,τ := f ∈ C(−1, 1) : fω ρ,τ ∈ C[−1, 1] ,

equipado da norma

‖f‖∞, ρ,τ = max|x|≤1| (fωρ,τ )(x)|.

Notação. Denotamos por C0ρ,τ , o subspaço de Cρ,τ das funções f tais que (fω ρ,τ )(1) = 0 se ρ > 0

(fω ρ,τ )(−1) = 0 se τ > 0.

Notação. Denotamos por Πn, o conjunto dos polinômios de grau no máximo n.

28

3.1. CONCEITOS E TEOREMAS PRINCIPAIS 29

Notação. Denotamos por E ρ, τn (f), o erro da melhor aproximação uniforme ponderada

de f por polinômios em Πn, isto é,

E ρ, τn (f) = inf ‖f − pn‖∞, ρ,τ : pn ∈ Πn .

Denição 3.1.2. Seja B = bn uma sequência de números reais positivos, tal que

limn→∞

bn = 0. Denotamos por C Bρ,τ , o espaço ponderado de Besov

C Bρ,τ :=

f ∈ Cρ,τ : ‖f‖∞, ρ,τ + sup

n=1,2,...

E ρ, τn (f)

bn<∞

.

Proposição 3.1.3. ([12], Proposição 3.1) CBρ,τ é espaço de Banach.

Lema 3.1.4. ([12], Lema 3.2) Se B = bn e C = cn são sequências de números

reais positivos, tais que limn→∞

(bn/cn) = 0, então C Bρ,τ é compactamente imerso em CC

ρ,τ .

Observação 3.1.5. ([12], Observação 3.4) Se existir uma constante positiva M , tal

que bn ≤M cn, a imersão C Bρ,τ ⊂ C C

ρ,τ é contínua.

Observação 3.1.6. ([12], Observação 3.5) Se ρ1 ≤ ρ2 e τ1 ≤ τ2, a imersão

C Bρ1,τ1⊂ C C

ρ2,τ2é contínua.

Denição 3.1.7. Sejam p um inteiro não negativo e θ ∈ (0, 1]. Denotamos por C p,θ, o

espaço de Banach das funções a valores reais de classe Cp[−1, 1], tais que sua p-ésima

derivada satisfaz a condição H θ([−1, 1]). A norma em C p,θ é dada por:

‖u‖p,θ :=

p∑k=0

‖u(k)‖∞ + sup

|u(x)− u(t)||x− t| θ

: x, t ∈ [−1, 1], x 6= t

.

Notação. Denotamos por

ρ0 =

minρ, 1 se ρ > 0,

1 se ρ = 0.e τ0 =

minτ, 1 se τ > 0,

1 se τ = 0.

Notação. Suponha que existam constantes positivas M e γ, tais que bn ≤ Mn−γ,

n = 1, 2, . . .. Então, dizemos que bn = O(n−γ).

3.2. PROPRIEDADES DE MAPEAMENTO 30

Lema 3.1.8. ([12], Lema 3.11) Suponha que B = bn, seja tal que bn = O(n−γ), e

que f ∈ C Bρ,τ . Então, exitem constantes positivas ν = minρ0, τ0/[ γ + 2(1 + maxρ, τ) ]

e c, tais que

fω ρ,τ ∈ C 0, νγ e ‖fωρ,τ‖0, νγ ≤ c ‖f‖ρ,τ,B.

A exigência de que as funções a2(x), l(x, t) e f(x) ∈ C Bρ,τ para certos valores de ρ, τ e

algum B, será imposta nos lemas e teoremas a seguir. Segundo o Lema 3.1.8, isto garante

que os termos da equação (2.6) satisfaçam a condição H ∗([−1, 1]), conforme a teoria do

Capítulo 1 exige para ser aplicada.

3.2 Propriedades de mapeamento

Primeiramente apresentamos alguns resultados que serão utilizados na demonstração de

convergência do MCP.

Denição 3.2.1. Denimos as constantes não negativas α+, α−, β+ e β− por:

α = α+ − α− e β = β+ − β−, 0 ≤ α±, β± < 1.

Proposição 3.2.2. ([12], Proposição 4.4) Seja f ∈ CBα−, β−. Então Hf ∈ Cα+, β+ e

‖Hf‖∞, α+, β+ ≤ c

(‖f‖α−, β− ,B

nµ+ ‖f‖∞, α−, β− log n

),

onde fωα−, β− ∈ H µ([−1, 1]).

Corolário 3.2.3. ([12], Corolário 4.5) Para Pn ∈ Πn, n ≥ 2,

‖HPn‖∞, α+, β+ ≤ c ‖Pn‖∞, α−, β− log n.

Notação. Se X e Y são espaços de Banach, denotaremos por L(X, Y ) o espaço de todos

os operadores lineares limitados de X em Y .

Proposição 3.2.4. ([12], Proposição 4.7) Sejam G(n) =

1 se n = 1,

logq n se n ≥ 2,

para q ≥ 0 e bn = G(n)/nγ para γ > 0. Então, para n sucientemente grande, temos

H ∈ L (CBα−, β− , C

B lognα+, β+ ) e H ∈ L (CB

α+, β+ , CB lognα−, β− ).


Notação. Dizemos que l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν, ς, t, quando

i) l(x, t)ωρ,τ (x)ων, ς(t) ∈ C[−1, 1] 2 e

ii) lν,ςt = l(x, t)ων,ς(t) ∈ CBρ, τ uniformemente com respeito a t ∈ [−1, 1].

O lema seguinte será de grande utilidade nas demonstrações das próximas proposições.

Lema 3.2.5. ([12], Lema 4.11) Seja l(x, t) ∈ CBρ, τ,x∩Cν, ς, t. Então existe uma sequência

Pn∞n=1 de polinômios Pn(x, t) =n∑j=0

cnj(t)xj de grau não maior que n em x, onde

cnj(t)ων,ς(t) é constante por partes para j = 0, · · · , n e

supx,t∈[−1,1]

| [ l(x, t)− Pn(x, t) ]ωρ,τ (x)ων,ς(t) | ≤ c bn, n = 1, 2, . . . ,

onde c não depende de n.

As duas proposições seguintes são adaptações das Proposições 4.12 e 4.13 de [12], que

se zeram necessárias devido à mudança no domínio do operador L.

Proposição 3.2.6. Sejam ν, ς constantes não negativas, tais que ν + α−, ς + β− < 1. Se

l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν,ς,t, então L ∈ L (Cα−,β− , C

Bρ,τ ).

Demonstração: Sejam l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ C ν, ς, t e f ∈ Cα−, β− , temos:

| (Lf)(x)ω ρ,τ (x) | =

∣∣∣∣ ∫ 1

−1l(x, t)f(t)ω ρ,τ (x) dt

∣∣∣∣≤ ∫ 1

−1| l(x, t)f(t)ω ρ,τ (x)ω ν,ς(t)ω−ν,−ς(t) | dt ≤

≤ c

∫ 1

−1|ω−ν+α−−α−,−ς+β−−β−(t)f(t) | dt ≤ c ‖f‖∞,α−,β−

∫ 1

−1ω−ν−α

−,−ς−β−(t) dt.

Como ν + α−, ς + β− < 1, a integral∫ 1

−1ω−ν−α

−,−ς−β−(t) dt é limitada. Portanto,

‖Lf‖∞, ρ, τ ≤ c ‖f‖∞, α−, β− .

Denimos

Qn(x) =

∫ 1

−1

Pn(x, t)f(t)dt,

onde Pn(x, t) são dados pelo Lema 3.2.5. Portanto Qn ∈ Πn se cnj(t)ω ν, ς(t) ∈ L∞ (−1, 1).


Então obtemos:

|(Lf −Qn)(x)ωρ,τ (x)| =

∣∣∣∣ ∫ 1

−1

[ l(x, t)− Pn(x, t)] f(t)ωρ,τ (x) dt

∣∣∣∣≤≤∫ 1

−1

| [ l(x, t)− Pn(x, t)]f(t) |ωρ,τ (x)ων−ν,ς−ς(t) dt ≤

≤ c bn

∫ 1

−1

| f(t) |ω−ν+α−−α−,−ς+β−−β−(t) dt ≤

≤ c bn ‖f‖∞,α−,β−∫ 1

−1

ω−ν−α−,−ς−β−(t)dt ≤ c bn ‖f‖∞, α−, β− .

Portanto,

Eρ,τn (Lf) ≤ c bn ‖f‖∞,α−,β− e Lf ∈ C B

ρ, τ .

Proposição 3.2.7. Seja l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) com k(x, t) ∈ C B0, 0, x ∩ C 0, 0, t.

Então,

L ∈ L (Cα−, β− , CB lognα−, β− ), n ≥ 2.

Demonstração: Pelo Lema 3.1.8, segue que k0,0t ∈ H µ([−1, 1]) uniformemente com

respeito a t ∈ [−1, 1], para algum 0 < µ < 1. Usando o fato que∫ 1

−1

| t− x|µ−1 ω−ρ+,−τ+(t) dt ≤ c ω−ρ

+,−τ+(x),

de [3], e supondo que f ∈ Cα−, β− , obtemos:

|Lf(x)| =

∣∣∣∣ ∫ 1

−1

k(x, t)− k(t, t)

t− xf(t) dt

∣∣∣∣ ≤ c ‖f‖∞,α−,β−∫ 1

−1| t− x|µ−1 ω−α

−,−β−(t) dt ≤

≤ c‖f‖∞, α−, β− ω−α−,−β−(x),

ou seja, Lf ∈ Cα−, β− .

Seja Pn(x, t) a sequência de polinômios do Lema 3.2.5 para a função k(x, t). Como

Pn(x, t) =n∑j=0

(∂j

∂xjPn(x, t)

)(t)

(x− t)j

j!=⇒ Pn(x, t)− Pn(t, t)

t− x=

n−1∑j=0

dnj(t)xj,

com dnj ∈ L∞(−1, 1), então

Qn(x) =1

π

∫ 1

−1

Pn(x, t)− Pn(t, t)

t− xf(t) dt ∈ Πn.


Seja B = bn como denido na Proposição 3.2.4. Neste caso, existe um δ > 0 para

o qual n−δ = O(bn). Escolha algum m ≥ (2 + δ)/2µ. Então, aplicando o Lema 3.2.5 e a

desigualdade de Markov ‖p′n‖∞ ≤ n2 ‖pn‖∞ para pn ∈ Πn, obtemos

|Lf(x)−Qn(x)| ≤∫ 1

−1

∣∣∣∣ ( k(x, t)− k(t, t)

t− x− Pn(x, t)− Pn(t, t)

t− x

)f(t)

∣∣∣∣ dt ≤≤ c ‖f‖∞, α−, β−

bn

( ∫ x−(1+x)/(2n2m)

−1

+

∫ 1

x+(1−x)/(2n2m)

)ω−α

−,−β−(t)

| t− x|dt+

+

∫ x+(1−x)/(2n2m)

x−(1+x)/(2n2m)

ω−α−,−β−(t)| t− x|µ−1 dt+ c n2

∫ x+(1−x)/(2n2m)

x−(1+x)/(2n2m)

ω−α−,−β−(t) dt

.

De [3], tem-se( ∫ x−(1+x)/(2n2)

−1

+

∫ 1

x+(1−x)/(2n2)

)ω−α

+,−β+(t)

| t− x|dt ≤ c ω−α

+,−β+

(x) log n, (3.1)

para n ≥ 2. Desta desigualdade e do fato que ω−α−,−β−(t) ≤ c ω−α

−,−β−(x) para

t ∈ [x− (1 + x)/(2n2), x+ (1− x)/(2n2) ], obtemos

|Lf(x)−Qn(x)| ≤ c ‖f‖∞,α−,β− ω−α−,−β−(x)

bn log n+ c n2

∫ x+(1−x)/(2n2m)

x−(1+x)/(2n2m)| t− x|µ−1 dt

≤

≤ c ‖f‖∞,α−,β− ω−α−,−β−(x) bn log n.

Logo,

Eα−, β−

n (f) ≤ c ‖f‖∞, α−, β− bn log n e L ∈ L (Cα−, β− , CB lognα−, β− ).

Proposição 3.2.8. Se g(x) ∈ Cα+, β+, então Rg ∈ Cα−, β−.

Demonstração: Como −α−,−β− > −1, obtemos

|(Rg)(x)| =∣∣∣∣ ∫ x

−1

g(t)ωα, β(t) dt

∣∣∣∣ ≤ c‖g‖∞, α+, β+

∫ x

−1

ω−α−,−β−(t) dt ≤ c‖g‖∞, α+, β+ .

Então Rg ∈ C 0, 0. Pela Observação 3.1.6, obtemos Rg ∈ Cα−, β− .

Proposição 3.2.9. Sejam a2(x) ∈ C B0,0 e Rg(x) ∈ C C

α−,β− com B = bn, bn = O(n−γ1)

e C = cn, cn = O(n−γ2). Então,

D ∈ L(C Cα−,β− , C

Dα−,β− ),

para D = dn = O(n−γ) e γ = minγ1, γ2.

3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 34

Demonstração: Como a2, Rg ∈ C0,0, obtemos | (DRg)(x) | ≤ c‖g‖∞, α+, β+ . Então

D ∈ L(Cα−, β− , C 0, 0), o que implica em D ∈ L(Cα−, β− , Cα−, β−).

Sejam p∗n(x), p∗∗n (x) tais que En(a2) = ‖a2 − p∗n‖∞ e E α−, β−n (Rg) = ‖Rg − p∗∗n ‖∞, α−, β− .

Então,

Eα−,β−

2n (Dg) ≤ ‖a2(x)Rg(x)− p∗n(x)p∗∗n (x)‖∞, α−, β− ≤

≤ ‖ (a2 − p∗n)Rg‖∞, α−, β− + ‖ (Rg − p∗∗n )p∗n‖∞, α−, β− ≤ c En(a2) + Eα−, β−n (Rg) ≤

≤ c ‖a2‖ 0, 0,B bn + ‖Rg‖α−,β−,C cn ≤ c dn ≤ c d2n.

Observação 3.2.10. Nas condições da Proposição 3.2.6, para ρ ≤ α− e τ ≤ β−, obtemos

C Bρ,τ ⊂ C B

α−,β− e

LR ∈ L(Cα+,β+ , C Bα−,β−) ⇒ HLR ∈ L(Cα+,β+ , C B logn

α−,β− ).

Nas condições da Proposição 3.2.7, obtemos

LR ∈ L(Cα+,β+ , C B lognα−,β− ) ⇒ HLR ∈ L(Cα+,β+ , C B logn

α−,β− ).

e pela Proposição 3.2.9, obtemos

DR ∈ L(Cα+,β+ , C Dα−,β− ) ⇒ HDR ∈ L(Cα+,β+ , C D logn

α−,β− ).

3.3 Convergência do método de colocação polinomial

Nesta seção, encontram-se os principais resultados que utilizamos na prova da convergên-

cia do MCP, segundo a norma uniforme ponderada ‖ . ‖∞, α+, β+ . Primeiramente, apresen-

tamos algumas considerações iniciais.

Seja o operador de projeção

Pn−1 := C[−1, 1] → C[−1, 1]

f → (Pn−1f )(x) =n∑i=1

f(xi)li(x),

onde li, para 1 ≤ i ≤ n, denotam os polinômios fundamentais da interpolação de Lagrange

correspondentes às abscissas xi, que são os nós de interpolação.


Lema 3.3.1. ([6], Lema 3.4.2) De acordo com as considerações anteriores, para rn(x)

denida em (2.16), obtemos

rn(x) = 0 ⇔ Pn−1rn(x) = 0.

Aplicando este lema em rn, denida em (2.16), temos

Pn−1Hgn + Pn−1DRgn + Pn−1LRgn = Pn−1f.

Pelo Lema 2.2.2, Hgn é polinômio de graun − 1 e a equação anterior pode ser expressa

por:

Hgn + Pn−1DRgn + Pn−1LRgn = Pn−1f.

Apresentamos a seguir, alguns conceitos necessários ao enunciado do lema seguinte.

Denição 3.3.2. Um sistema de funções φ1, . . . , φn é dito satizfazer a condição

de Haar se φi, 1 ≤ i ≤ n, é contínua, e se todo conjunto de n vetores da forma

(φ1(x), · · · , φn(x)) é linearmente independente.

Denição 3.3.3. Seja a função ψj tal que

n−1∑j=0

φj(xi)ψj(t) = l(xi, t), 1 ≤ i ≤ n,

onde φj é uma base para o conjunto de polinômios de grau n−1 satisfazendo a condição

de Haar. Denimos o polinômio interpolador de l(x, t) na variável x como:

l(n−1)(x, t) =n−1∑j=0

φj(x)ψj(t). (3.2)

Lema 3.3.4. ([6], Lema 3.4.3) Sejam l(x, t) e l(n−1)(x, t) conforme denido em (3.2).

Seja também o operador

L(n−1)f(x) =

∫ 1

−1

l(n−1)(x, t)f(t)dt. (3.3)

Então,

Pn−1L = L(n−1).

Denição 3.3.5. A constante de Lebesgue ponderada é denida por:

‖Pn−1‖∞,ρ,τ := sup‖Pn−1f‖∞,ρ,τ : f ∈ Cρ,τ , ‖f‖∞,ρ,τ = 1.


O lema a seguir, é apresentado em [12], Lema 5.2. Devido à necessidade de adaptação

do seu enunciado para a demonstração do teorema de convergência do MCP, apresentamos

sua demonstração com as devidas modicações.

Lema 3.3.6. Se f ∈ C Bρ, τ com ρ ≤ α− e τ ≤ β−, então

‖ H(f − Pn−1f) ‖∞, α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞, ρ, τ E α−,β−

n−1 (f), n ≥ 2.

Demonstração: Seja p∗n−1 tal que Eα−,β−

n−1 (f) = ‖ f − p∗n−1‖∞,α−,β− . Então pela Propo-

sição 3.2.2, obtemos

‖ H(f − Pn−1f) ‖∞,α+,β+ ≤ c[‖ f − Pn−1f‖∞,α−,β− log n+

‖ f − Pn−1f‖α−,β−,Bnµ

]≤

≤ c

[(‖f − p∗n−1‖∞,α−,β− + ‖Pn−1(f − p∗n−1)‖∞,α−,β−

)log n+ sup

m=1,2,...

E α−,β−m (f − Pn−1f)

nµ

]≤

≤ c

[(E α−,β−

n−1 (f) + ‖Pn−1‖∞,ρ,τE α−,β−

n−1 (f)

)log n + sup

m=1,2,...


nµ

]≤

≤ c

[log n ‖Pn−1‖∞,ρ,τE α−,β−

n−1 (f) + supm=1,2,...


nµ

].

Vejamos que

E α−, β−m (f−Pn−1f)

= E α−, β−m (f) se m ≥ n− 1,

≤ ‖ f − Pn−1(f)‖∞, α−, β− ≤ c ‖Pn−1‖∞, ρ, τE α−, β−

n−1 (f) se m < n− 1.

Logo,

‖ H(f − Pn−1f) ‖∞, α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞, ρ, τ E α−, β−

n−1 (f).

O próximo teorema, será utilizado na demonstração dos Lemas 3.3.8 e 3.3.11, adapta-

ções dos Lemas 6.7 e 6.11 de [12].

Teorema 3.3.7. ([10, p. 328]) Se os nós de uma fórmula de quadratura interpolatória

são os zeros do polinômio ortogonal de grau n associado ao peso do termo λi(t), então

essa fórmula possui grau de precisão 2n− 1.

Lema 3.3.8. Sejam ν e ς constantes não negativas tais que ν + α− < 1 e ς + β− < 1.

Se l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν,ς,t, então

‖ (Ln − L)Rgn ‖∞, ρ, τ ≤ c E ν, ςn (l ρ,τx ).


Demonstração: Sabemos que

(Rgn)(x) =n∑j=0

∫ x

−1

cjPα, βj (t)ω α,β(t) dt = −

n∑j=1

cj2jP α+1, β+1j−1 (x)ω α+1, β+1(x)

e portanto, Rgn(t)ω−α−1,−β−1(t) é um polinômio de graun − 1. Tomando ti, 1 ≤ i ≤ n

como os zeros de P α+1, β+1n (t), obtemos

LnRgn = −n∑j=1

cj2j

n∑i=1

l(x, ti)Pα+1, β+1j−1 (ti)λ

α+1, β+1i ,

para λα+1, β+1i (t) conforme denido em (2.18). Então, obtemos

| ( Ln − L)Rgnωρ,τ (x) | =

∣∣∣∣ ∫ 1

−1

[ n∑i=1

l(x, ti)ωρ,τ (x)Rgn(ti)ω

−α−1,−β−1(ti)λα+1,β+1i −

− l(x, t)ω ρ,τ (x)Rgn(t)

]dt

∣∣∣∣.Seja p∗2n−1 tal que E ν, ς

2n−1( l ρ,τx Rgn ω−α−1,−β−1 ) = ‖ l ρ,τx Rgn ω

−α−1,−β−1 − p∗2n−1 ‖∞,ν,ς .

Pelo Teorema 3.3.7, temos

| (Ln − L)Rgn(x)ω ρ,τ (x) | =

=

∣∣∣∣ ∫ 1

−1

n∑i=1

[ l(x, ti)ωρ,τ (x)Rgn(ti)ω

−α−1,−β−1(ti)− p∗2n−1(ti) ]λα+1,β+1i −

−[l(x, t)ω ρ,τ (x)Rgn(t)ω−α−1,−β−1(t)− p∗2n−1(t) ]ω α+1,β+1(t)−

−[p∗2n−1(t)ω α+1,β+1(t)− p∗2n−1(ti)λα+1,β+1i ]

ω ν,ς(t)ω−ν,−ς(t) dt

∣∣∣∣≤≤ E ν,ς

2n−1(l ρ,τx Rgn ω−α−1,−β−1)

∫ 1

−1 |λα+1,β+1

i |+ ω α+1,β+1(t) ω−ν,−ς(t) dt.

Como por hipótese ν + α− < 1 e ς + β− < 1, então −ν,−ς > −1, e isto resulta em∫ 1

−1ω−ν,−ς(t)dt ser limitada. Portanto,

| (Ln − L)Rgn(x)ω ρ,τ (x) | ≤ cE ν,ς2n−1( l ρ,τx Rgnω

−α−1,−β−1 ).

Seja p∗n tal que Eν, ςn (l ρ,τx ) = ‖l ρ,τx − p∗n‖∞,ν, ς . Então, obtemos

E ν,ς2n−1( l ρ,τx Rgn ω

−α−1,−β−1 ) ≤ ‖ ( l ρ,τx − p∗n )Rgn ω−α−1,−β−1 ‖∞,ν, ς ≤ cE ν, ς

n (l ρ,τx ).

Para a demonstração do Lema 3.3.11 utilizamos os dois teoremas seguintes.

Teorema 3.3.9. ([9], Teorema 8.4.8) Sejam Pn ∈ Πn e w ∈ J∗∞, classe de pesos que

inclui os pesos de Jacobi ωρ, τ (x), para ρ, τ ≥ 0. Então, para 0 < c < n2,

‖Pnw‖L∞ [−1,1] ≤M(c) ‖Pnw‖L∞ [−1+cn−2, 1−cn−2],

onde M(c) é uma constante positiva independente de n e Pn.


Teorema 3.3.10. ([9], Teoremas 7.3.1) Sejam r um inteiro positivo e pn tal que

En(f) = infpn∈Πn

‖f − pn‖Lp[−1,1]. Então vale a desigualdade

‖φ p(r)n ‖Lp[−1,1] ≤ M(r)

∑0≤k≤n

(k + 1)r−1Ek(f),

onde φ(x) =√

1− x2.

Lema 3.3.11. Seja l(x, t) = [k(x, t) − k(t, t)]/(t − x) com k(x, t) ∈ C B0,0,x ∩ C B

0,0,t e

B = bn, bn = O(n−γ). Então,

‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1 ω−α−1,−β−1‖∞

1/n se γ > 1,

log n/nγ se γ ≤ 1.

Demonstração: Denimos a quadratura de LRgn =

∫ 1

−1

[k(x, t)−k(t, t)]/(t−x)Rgn(t) dt

como sendo

Ln (Rgn) :=n∑

i 6=d=1

k(x, ti)− k(ti, ti)

ti − xRgn(ti)ω

−α−1, −β−1(ti)λα+1, β+1i ,

onde λα+1, β+1i e ti são conforme denidos em (2.18), e d = j : |x− tj| = min

1≤i≤n|x− ti| .

Suponha que para cada x ∈ [−1, 1] xado, p∗n seja tal que

E 0, 0n [ k0, 0

x (t)− k(t, t) ] = ‖ [ k 0, 0x − k(t, t) ]− p∗n‖∞.

Levando em conta o fato que [ k 0, 0x (t)− k(t, t) ](x) = 0, obtemos

‖ k 0, 0x (t)− k(t, t)− p∗n(t)− p∗n(x)‖∞ ≤ cE 0, 0

n [ k0, 0x (t)− k(t, t) ].

Então, para k0,0x ∈ H µ([−1, 1]) e m ≤ (γ + 2)/(2µ), obtemos

| (Ln − L)Rgn+1(x) | =

∣∣∣∣ ∫ 1

−1

n∑i 6=d=1

[k0,0x (t)− k(t, t)

t− x− p∗n(t)− p∗n(x)

t− x

]Rgn+1(t) −

−[k0,0x (ti)− k(ti, ti)

ti − x− p∗n(ti)− p∗n(x)

ti − x

]ω−α−1, −β−1(ti)Rgn+1(ti)λ

α+1, β+1i

−

−( n∑i 6=d=1

−n∑i=1

)p∗n(ti)− p∗n(x)

ti − xRgn+1(ti)ω

−α−1, −β−1(ti)λα+1, β+1i dt

∣∣∣∣≤≤ c ‖Rgn+1 ω

−α−1, −β−1‖∞ ∫ 1

−1

∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)


t− x

∣∣∣∣ωα+1, β+1(t) dt +

+ E 0,0n [k0,0

x (t)− k(t, t)]

n∑i 6=d=1

∣∣∣∣ λα+1, β+1i

x− ti

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣ |λα+1, β+1d |

.


Para tratar a última integral, vamos reescrevêla como:∫ x+(1−x)/2n2m

x−(1+x)/2n2m

∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)


t− x

∣∣∣∣ωα+1, β+1(t) dt +

+

(∫ x−(1+x)/2n2m

−1

+

∫ 1

x+(1−x)/2n2m

)∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)


t− x

∣∣∣∣ω α+1, β+1(t) dt.

Aplicando a desigualdade de Markov ‖p′n‖∞ ≤ n2‖pn‖∞, temos

|(Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1,−β−1‖∞

n2

∫ x+(1−x)/2n2m

x−(1+x)/2n2m

|x− t|µ−1ω α+1, β+1(t) dt+

+ E 0,0n [k0,0

x (t)− k(t, t)]

( ∫ x−(1+x)/2n2m

−1+

∫ 1

x+(1−x)/2n2m

)ω α+1, β+1(t)

|x− t|+

+ E 0,0n [k0,0

x (t)− k(t, t)]n∑

i 6=d=1

∣∣∣∣ λα+1, β+1i

x− ti

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣ |λα+1, β+1d |

.

Usando o fato de

ω−α−, −β−(t) ≤ c ω−α

−, −β−(x) para t ∈ [x− (1 + x)/(2n2m), x+ (1− x)/(2n2m) ],

e a desigualdade (3.1) (substituindo n por nm e α+, β+ por α−, β−), obtemos

| (Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞

ω α+1, β+1(x) bn +

+

∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣ |λα+1, β+1d | + E 0,0

n [k0,0x (t)− k(t, t)]

(ω α+1, β+1(x) log n+

+n∑

i 6=d=1

∣∣∣∣ λα+1, β+1i

x− ti

∣∣∣∣ ).Pelo teorema do valor médio e o Teorema 3.3.9, obtemos:∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣= c | (p∗n)′(ξ) | ≤ sup|t|≤1−(2n)−2

c | (p∗n)′(t) | ≤ c n ‖ (p∗n)′ ‖∞,1/2,1/2,

para ξ entre x e td. Pelo Teorema 3.3.10, obtemos

‖ (p∗n)′ ‖∞,1/2,1/2 ≤ c∑

0≤i≤n

Ei[k0,0x (t)− k(t, t)] ≤ c

n∑i=1

bi,

e do Teorema 9.22 de [20], segue

se x 6∈ [t1, tn] então√

1− t2d ≤√

2 max√

1 + t1,√

1− tn ≤ c n−1,

portanto: ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣≤ c

∑1≤i≤n bi√1− t2d

, x 6∈ [t1, tn].


Se x ∈ [t1, tn], do Teorema 4.1 de [3], obtemos |ξ − td| ≤ c (√

1− ξ2 + n−1 )n−1.

Também de [20], Teorema 9.22, segue

1/n ≤ c√

1− tn ≤ c√

1− ξ, 1/n ≤ c√

1 + t1 ≤ c√

1 + ξ,

donde obtemos |ξ − td| ≤ c (1± ξ) e consequentemente 1± td ≤ c (1± ξ). Assim,∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣ ≤ c

∑1≤i≤n bi√1− t2d

, x ∈ [−1, 1].

De [20], Teoremas 6.3.28 e 9.22, para α, β > −1,

λα, βi ≤ cωα+1/2, β+1/2 (ti)

n, 1 ≤ i ≤ n, n = 1, 2, · · · .

Portanto, obtemos∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)

td − x

∣∣∣∣ |λα+1, β+1d | ≤ c

ω α+1, β+1 (td)

n

n∑i=1

bi.

Pelo Lema 4.1 de [15], tem-se para −1/2 ≤ γ, δ ≤ 1/2,

n∑i 6=d=1

(1− ti)γ(1 + ti)δ

n | t− ti|≤ c ωγ−1/2, δ−1/2

n (t) log n, |t| ≤ 1,

onde

ωγ−1/2, δ−1/2n (t) =

(√1− t− 1

n

)2γ−1(√1 + t+

1

n

)2δ−1

.

Então, como ωγ, δ(t) ≤ c ωγ, δn (t) para γ, δ ≥ 0, obtemos

n∑i 6=d=1

∣∣∣∣ λα+1, β+1i (t)

x− ti

∣∣∣∣ ≤ cn∑

i 6=d=1

ωα+3/2,β+3/2 (ti)

n|x− ti|≤ c

n∑i 6=d=1

ω−α−+1/2,−β−+1/2 (ti)

n|x− ti|≤

≤ c log nω−α−,−β−

n (x) ≤ c log nω−α−,−β− (x).

Portanto,obtemos

| (Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞

bn ω

,α+1, β+1(x) +ω α+1, β+1(td)

n

n∑i=1

bi +

+E 0,0n [k0,0

x (t)− k(t, t)] (ω α+1, β+1(x) log n + ω−α−,−β−(x) log n ) ≤

≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞

bn ω

−α−,−β−(x) log n +ωα+1, β+1(td)

n

n∑i=1

bi

.

Como ω α+1, β+1 (x) ≤ c ω α+1, β+1 (td), obtemos

‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞

(log n

nγ+

∑1≤i≤n bi

n

).


Em [1, p.68], pode ser encontrada a identidade limn−→∞

( n∑k=1

1/k − log n

)= γ, onde

γ ∼ 0.5772... é a constante de Euler-Mascheroni. Então, temos

n∑i=1

bi ≤

c se γ > 1,

c log n se γ = 1,

c∫ n

11/tγ dt ≤ c n1−γ se γ < 1

e

‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞

1/n se γ > 1,

log n/nγ se γ ≤ 1.

No que se segue, considere o seguinte espaço de funções.

Denição 3.3.12. Denotamos por W sγ, δ, o espaço de Sobolev ponderado denido por

W sγ, δ := f ∈ Cγ,δ : f (s−1) ∈ A.C.loc e ‖ f (s) φs ω γ, δ ‖∞ < ∞,

onde f (s−1) ∈ A.C.loc signica que f é s − 1 vezes diferenciável e f (s−1) é absolutamente

contínua em todo intervalo fechado [ c, d ]⊂ (−1, 1). Equipamos o espaço W sγ, δ com a

norma

‖ f ‖W sγ, δ

= ‖ fω γ, δ ‖∞ + ‖ f (s) φs ω γ, δ ‖∞.

O próximo teorema, apresenta a taxa de convergência da melhor aproximação polino-

mial na norma ponderada.

Teorema 3.3.13. ([9], Estimativa do tipo Jackson) Seja f ∈ W sγ, δ com s e n inteiros

positivos. Então,

E γ, δn (f) ≤ c

nsEγ+s/2, δ+s/2n−s ( f (s) ) ≤ c

ns‖ f (s) φsω γ, δ ‖∞.

Notação. Denotamos por W s, µγ, δ , o subconjunto de W s

γ, δ denido por:

W s, µγ, δ := f ∈ W s

γ, δ : f (s)φsωγ, δ ∈ H µ([−1, 1]) .

Denição 3.3.14. Denimos a função módulo de continuidade de f por:

Ωδ( f ) = supd(x,y)≤δ

| f(x)− f(y) |,

onde f é uma função a valores reais denida em [−1, 1].


Lema 3.3.15. Seja f ∈ W s, µγ, δ. Então,

E γ, δn (f) ≤ c

ns+µ‖f (s) φsω γ, δ‖∞.

Demonstração: Denimos Υ(x) = n

∫ x(1−1/n)+1/2n

x(1−1/n)−1/2n

f (s)(t)φs(t)ω γ, δ(t) dt. Então,

|Υ(x)− f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) | =

= n

∣∣∣∣ ∫ x(1−1/n)+1/2n

x(1−1/n)−1/2nf (s)(t)φs(t)ω γ, δ(t)− f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) dt

∣∣∣∣≤ cΩ3/2n(f (s)φsω γ, δ).

Sejam S ′(x) = f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) e 0 < θ < 1/2n. Então, obtemos

|Υ(x) | = n

∣∣∣∣ ∫ x(1−1/n)+1/2n

x(1−1/n)−1/2n

S ′(t) dt

∣∣∣∣= n |S(x− x/n+ 1/2n)− S(x− x/n− 1/2n) | =

= n |S(x− x/n+ 1/2n) − S(x− x/n) + S(x− x/n) − S(x− x/n− 1/2n) | =

= n |S ′(x− x/n+ θ)− S ′(x− x/n− θ) |/2n ≤ cΩ1/n(S ′).

Destes resultados e do Teorema 3.3.13, obtemos:

E γ, δn (f) ≤ c

ns ‖f (s)φsω γ, δ −Υ‖∞ + ‖Υ‖∞ ≤

≤ c

nsΩ3/2n(f (s)φsω γ, δ) + Ω1/n(f (s)φsω γ, δ) ≤ c

ns+µ.

No entanto, o Teorema 3.3.13 não é válido para s = 0. Neste caso, devemos considerar

o seguinte:

|Υ′(x) | = n | ( fω γ, δ )(x− x/n+ 1/2n)− ( fω γ, δ )(x− x/n− 1/2n) | ≤

≤ c nΩ1/n(fω γ, δ),

e E γ, δn (Υ) = ‖(Υ− p∗n)ω γ, δ‖∞ para algum p∗n ∈ Πn. Portanto, obtemos:

E γ, δn (f) ≤ c ‖fω γ, δ −Υ‖∞ + ‖Υ(1− ω γ, δ)‖∞ + ‖(Υ− p∗n)ω γ, δ‖∞ ≤

≤ c

Ω3/2n(fω γ, δ) + Ω1/n(fω γ, δ) +

1

n‖Υ′(x)φ(x)ω γ, δ(x) ‖∞

≤

≤ c Ω3/2n(fω γ, δ) + Ω1/n(fω γ, δ) ≤ c

nµ.

Lema 3.3.16. Se g ∈ Cα+,β+, a função Rg ∈ H q([−1, 1]) para q = min 1−α−, 1− β−.

Demonstração: Seja h > 0. Então, temos

|Rg(x+ h)−Rg(x) | =

= |∫ x+h

−1g(t)ω α,β(t) dt−

∫ x−1g(t)ω α,β(t) dt | ≤ ‖ g ‖∞, α+,β+

∫ x+h

xω−α

−,−β−(t) dt ≤

≤ c 21−α−−β−B 1+x+h

2( 1 − β−, 1 − α− )− B 1+x

2( 1 − β−, 1 − α− )

,


onde Bx (a, b) é a função beta incompleta. De [1], equações 6.6.8 e 15.3.3, obtemos

Bx (a, b) = a−1 x a2F1[a, 1 − b; a + 1 ; x ] e

2F1[a, b; c; z] = (1− z)c−a−b2F1[c− a, c− b; c; z],

onde 2F1(a, b; c; z) é a função hipergeométrica de Gauss. A partir destas identidades,

obtemos

B 1+x2

( 1 − β−, 1 − α− ) = (1 − β−)−1(1 + x

2

)1−β−

2F1[ 1 − β−, α−; 2 − β−; (1 + x )/2 ] =

= (1− β−)−1

(1 + x

2

)1−β−(1− x2

)1−α−

2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ] =

= 2−2+β−+α− (1− β−)−1 ω1−β−,1−α−(x) 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ].

Por denição

2F1[a, b; c; z] =∞∑n=0

(a)n(b)n(c)n

zn

n!

onde (a)n = Γ(a + n)/Γ(a) é o símbolo de Pochhammer. Disto, para algum 0 < θ < 1

obtemos

| 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x+ h)/2 ]− 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ] | =

=

∣∣∣∣ ∞∑n=0

(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n

(1 + x+ h)n − (1 + x)n

2nn!

∣∣∣∣==

∣∣∣∣ ∞∑n=0

(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n

h [ (1 + x+ θh)n ]′

2nn!

∣∣∣∣==

∣∣∣∣ ∞∑n=1

(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n

h

2Γ(n)

(1 + x+ θh

2

)n−1 ∣∣∣∣≤≤ h

2

∞∑n=1

Γ(n+ 1)Γ(n+ 2− β− − α−)Γ(2− β−)

Γ(n+ 2− β−)Γ(2− β− − α−)Γ(n)=

h

2

(1− β−)(2− α− − β−)

(1− α−)(2− α−)≤ c h.

De [18, p. 12], se σ1 6= σ2 são números positivos e 0 ≤ µ ≤ 1, então |σµ1−σµ2 | ≤ | σ1−σ2 |µ.

Portanto, ω1−β−,1−α− ∈ H ([−1, 1]) q onde q = min 1− α−, 1− β−, e a função

B 1+x2

(1 − β−, 1 − α− ) ∈ H q([−1 , 1 ]).

Logo, Rg ∈ H q([−1, 1]).

No próximo lema, são vericadas as condições necessárias para que a função Rg per-

tença a W sα−,β− para o maior s possível, e a qual H q′([−1, 1]), Rg(s)φsω α−,β− pertence.


Lema 3.3.17. Se g ∈ Cα+,β+, então Rg ∈ W s, q′

α−,β− para

q′ = min1− α−, 1− β−, 1/2, α−0 , β−0 e

s =

2 se ( f − a2 )′ ∈ Cα−+1, β−+1 e ∂l(x, t)/∂x satifaz as condições da proposição

(3.2.6) com ρ ≤ 1 + α−, τ ≤ 1 + β−,

1 caso contrário.

Demonstração: Primeiramente, veriquemos o maior valor de s para o qual

Rg(s) ∈ W sα−,β− . É claro que Rg ∈ W 1

α−,β− mas,

Rg(2)(x) = g′(x)ω α,β(x) + g(x)ω α−1,β−1(x)[ β − α− (α + β)x ].

∴ Rg ∈ W 2,qα−,β− se g

′ existir e ‖ g′ω α+,β+φ2 ‖∞ <∞.

No entanto, mesmo que Rg ∈ W 2α−,β− ,

Rg(3)(x) = g(2)(x)ω α,β(x) + 2g′(x)ω α−1,β−1(x)[ β − α− x ]+

+ g(x)ω α−2,β−2(x) β(β − 1)(x− 1)2 + α(1 + x)[−1 + 2β(x− 1)− x] + α2(1 + x)2

∴ Rg(3) /∈ W 3α−,β− , em geral.

Então s é no máximo igual a 2. Agora, vamos vericar as condições necessárias para que

isto ocorra. Pela equação (2.6), obtemos

a1(ωα, β(x)g(x))′ = f ′ − a2(x)′Rg(x)− a2(x)ωα, β(x)g(x)−∫ 1

−1

∂

∂xl(x, t)Rg(t) dt −

− b1

π

∂

∂x

(−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt

). (3.4)

Se fazemos uma integração por partes na última integral da equação (3.4), e em seguida

aplicamos o Lema 3.3.16, obtemos:∣∣∣∣ ∂∂x(−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt

) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣−∫ 1

−1

(ωα, βg )(t)

(t− x)2dt

∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣−∫ 1

−1

Rg(t)

(t− x)dt

∣∣∣∣≤≤ 2

∣∣∣∣−∫ 1

−1

Rg(t)−Rg(x)

(t− x)dt

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣Rg(x)−∫ 1

−1

1

(t− x)dt

∣∣∣∣≤ c [ (1− x)q + (1 + x)q ]+

+ 2Rg(x) log

∣∣∣∣1− x1 + x

∣∣∣∣, onde q = min1− α−, 1− β−.

Portanto, obtemos∥∥∥∥φ2(x)ω α−,β−(x)

∂

∂x

(−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt

)∥∥∥∥∞<∞ e

∂

∂x

(−∫ 1

−1

ωα, β(t)g(t)

t− xdt

)∈ AC(−1, 1),


pois pela teoria do Capítulo 1, a derivada da integral em questão satisfaz a condição

H ([−1, 1]).

Pela Proposição 3.2.6, se ∂ l(x, t)/∂x ∈ Cρ,τ,x∩Cν,ζ,t com ν+α−, ς+β− < 1, obtemos

∂(LRg)/∂x ∈ Cρ,τ . Neste caso, se ρ ≤ α− + 1, τ ≤ β− + 1, tem-se∥∥∥∥φ2(x)ωα−, β−(x)

∫ 1

−1

∂

∂xl(x, t)Rg(t) dt

∥∥∥∥∞

limitado.

Pela Proposição 3.2.7, se l(x, t) = [k(x, t) − k(t, t)]/(t − x) com k(x, t) ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t,

LRg ∈ Cα−, β− . Se ∂l(x, t)/∂x = ∂2k(x, t)/∂x2 existe e satisfaz as condições da Proposição

3.2.6, podemos avaliar a limitação de [ ∂ (LRg )/∂x ]φ2ωα−, β−(x) conforme anterior-

mente.

Logo, Rg ∈ W sα−, β− onde

s =

2 se ( f − a2 )′ ∈ Cα−+1, β−+1 e ∂l(x, t)/∂x satifaz as condições da Proposição

3.2.6 com ρ ≤ 1 + α−, τ ≤ 1 + β−,

1 caso contrário.

Pelo Teorema 3.3.13 e o Lema 3.1.8, Rg(s)φs ωα−, β− ∈ H q([−1, 1]) para algum

0 < q ≤ 1. Uma propriedade das funções que satisfazem a condição de Hölder, (veja

[18, p. 16]), arma que: para uma função u(s) ∈ H µ em algum intervalo s1 ≤ s ≤ s2,

se f(u) é denida para valores de u neste mesmo intervalo, tal que f ′(u) é limitada, então

f(u) ∈ H µ. Se aplicamos esta propriedade em f(Rg(1)φωα−, β−) =

∫ x−1

[Rg(1) φωα−, β− ](t) dt,

como∫ x−1

[Rg(1)φωα−, β− ](t) dt = (Rg φωα

−, β−)(x)−∫ x−1Rg(t) [ωα

−, β−(t)φ(t) ]′ dt =

= (Rg φωα−, β−)(x)− (Rg ωα

−, β−)(ξ) [ β− − α− − (α− + β− + 1)ξ ]∫ x−1φ−1(t) dt =

= (Rg φωα−, β−)(x) + cB 1+x

2( 1/2 , 1/2 ),

concluímos que Rg(1)φωα−, β− ∈ H q′([−1, 1]), onde q′ = min 1−α−, 1−β−, 1/2, α−0 , β−0 .

Procedendo de forma análoga com o termo Rg(2)φ2 ωα−, β− , obtemos:∫ x

−1[Rg(2)φ2 ωα−, β− ](t) dt = (Rg(1)φ2 ωα

−, β−)(x)−∫ x−1Rg

(1)(t) [φ2(t)ωα−, β−(t) ]′ dt =

= (Rg(1)φ2 ωα−, β−)(x)− [Rg(1) φωα

−, β− ](ξ)[−2ξ + β−(1− ξ)− α−(1 + ξ) ]∫ x−1 φ

−1(t) dt,

que nos leva a concluir que Rg(2)φ2 ωα−, β− ∈ H q′([−1, 1]).

Observe que devido às condições −1 < α, β < 0 serem verdadeiras quando

κ = 1, obtemos 0 < α−, β− < 1 e portanto, α−0 = α− e β−0 = β−. Então neste caso,


q′ = min1 − α−, 1 − β−, 1/2. Além disso, este lema nos diz que mesmo a função g

sendo desconhecida, a partir das funções a2, f e l podemos indicar uma estimativa do tipo

Jackson para o termo Rg, e esta estimativa é no máximo 5/2.

Para demonstrarmos a convergência do MCP é necessário mostrar que o

operador linear [I + HPn−1(ΓR + LR) ]−1 é limitado. Para isto, utilizamos o próximo

lema provado em [2, p. 15].

Lema 3.3.18. Sejam X e Y espaços de Banach e T, S : X → Y operadores lineares

limitados, tais que S−1 existe e ‖T − S‖ ‖S−1‖ < 1. Então,

‖T−1‖ ≤ ‖S−1‖1− ‖S−1‖ ‖T − S‖

.

Lema 3.3.19. Suponha que o operador I + H(D + L)R seja continuamente inversível

em Cα−,β−, e as condições das Proposições 3.2.6 ou 3.2.7 e 3.2.9 sejam satisfeitas. Então,

para n sucientemente grande,

‖ [I + HPn−1(DR + LR) ]−1‖∞,α+,β+ ≤

≤‖ [ I + H(D + L)R ]−1‖∞,α+,β+

1− ‖ [ I + H(D + L)R ]−1‖∞,α+,β+ ‖H[Pn−1(D + L ) − (D + L) ]R ‖∞,α−,β−.

Demonstração: Pelas Proposições 3.2.4, 3.2.6 ou 3.2.7 e 3.2.9, o operador

H(D + L)Rg e consequentemente o operador HPn−1(DRg + LRg), são limitados em

Cα−,β− . Pelos Lemas 3.1.8, 3.3.6 e 3.3.15, obtemos HPn−1(DR+LR)g −→ H(D+L)Rg

uniformemente quando n→∞. Então, para n sucientemente grande, obtemos

‖ [ I + HPn−1(D+L)R ]− [ I + H(D+L)R ] ‖∞,α−,β− ‖ [ I + H(D+L)R ]−1 ‖∞,α+,β+ ≤ 1,

e aplicando o Lema 3.3.18, obtemos o resultado.

O teorema a seguir, nos apresenta uma estimativa para a constante de Lebesgue pon-

derada, que utilizamos na demonstração do teorema da convergência uniforme ponderada

do MCP.

Teorema 3.3.20. ([16], Teorema 4.3.1) Sejam f ∈ Cρ,τ e Pn−1f calculada nos zeros

de P σ,ςn (x), σ, ς > −1. Se as condições


σ

2+

1

4≤ ρ ≤ σ

2+

5

4,

ς

2+

1

4≤ τ ≤ ς

2+

5

4,

forem satisfeitas, então

‖Pn−1f‖∞, ρ, τ ∼ log n,

onde as constantes relacionadas a ∼ são independentes de n.

Teorema 3.3.21. Sejam a2 ∈ W r, υ0,0 , f ∈ W r′, η

α−, β−, Rg ∈ W s, q′

α−, β− e LRg ∈ W r, να−, β−.

Suponha também que l α−, β−

x ∈ W r,µν,ς , para ν, ς constantes não negativas tais que ν+α− < 1

e ς + β− < 1, ou se l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) seja k0, 0x , k0, 0

t ∈ W r,µ0, 0. Então para

n sucientemente grande

‖ g − gn ‖∞,α+, β+ ≤ clog2 n

np, p = minr + υ, r′ + η, s+ q′, r + ν, r + µ− ε,

sendo queε = 0 se lρ, τx ∈ W r,µ

ν,ς ,

0 < ε 1 se r + µ ≤ 1 e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0

t ∈ W r,µ0, 0,

ε = r + µ− 1 se r + µ > 1, e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0

t ∈ W r,µ0, 0.

Demonstração: Temos que

[I + H(D + L)R ] g = Hf + g0

[I + HPn−1(D + Ln)R ] gn = HPn−1f + g0.

Se g0 é determinada de forma única conforme a condição 2.9, e [I + H(D + L)R ]−1

existe, pelo Lema 3.3.8, para n sucientemente grande LnRg −→ LRg, e portanto, no

Lema 3.3.19 podemos substituir L por Ln, e as equações anteriores possuem solução única.

Além disso, obtemos

[I + HPn−1(DR + LR) ](g − gn) = H ( f − Pn−1f )− (DR− Pn−1DR )g−

− (LR− Pn−1LR )g − Pn−1 (LR− LnR ) gn ,

e aplicando o Lema 3.3.19, obtemos

‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c ‖H (f − Pn−1f)‖∞,α+,β+ + ‖H (DR− Pn−1DR)g‖∞,α+,β++

+ ‖H (LR− Pn−1LR )g‖∞,α+,β+ + ‖H Pn−1 (LR− LnR )gn‖∞,α+,β+ .


Pelo Lema 3.3.6 e pelo Corolário 3.2.3, obtemos

‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞,α−,β−Eα−,β−

n−1 (f) + E α−,β−

n−1 (DRg) + E α−,β−

n−1 (LRg) +

+ log(n− 1) ‖Pn−1 (LRgn − LnRgn) ‖∞,α+,β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞,α−,β− Eα−,β−

n−1 (f) +

+E α−,β−

n−1 (DRg) + E α−,β−

n−1 (LRg ) + ‖ (LR− LnR )gn ‖∞,α−,β− .

Como LRg ∈ W r, να−, β− , se l

α−, β−x ∈ W r+µ

ν,ς,t podemos concluir que l ∈ CBα−, β−,x ∩ CC

ν,ς,t

para B = bn, bn = O(n−r−ν), e C = cn, cn = O(n−r−µ). Portanto, o Lema 3.3.8 pode

ser aplicado. Por outro lado, se l(x, t) = [ k(x, t) − k(t, t) ]/(t − x) com k0,0x , k0,0

t ∈ Wr,µ0,0 ,

então k ∈ CB0,0,x∩CB

0,0,t para B = bn, bn = O(n−r−µ), e o Lema 3.3.11 pode ser aplicado.

Pelo teorema 3.3.20, obtemos:

‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log2 n E α−,β−

n−1 (f) + E α−,β−

n−1 (DRg) + E α−,β−

n−1 (LRg ) +

+ c log2 n

E ν,ςn (l ρ,τx ) se l ∈ CB

ρ, τ,x ∩ Cν,ς,t,

n−( r+µ ) log n se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ ≤ 1,

n−1 se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ > 1.

Aplicando a Proposição 3.2.9 e o Lema 3.3.15, obtemos

‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log2 n

1

nr′+η‖f (r′)

ϕr′ωα−,β−‖∞ +

1

ns+q′‖ (Rg)(s) ϕsωα

−,β−‖∞+

+1

nr+υ‖ a(r)

2 ϕrωα−,β−‖∞ +

1

nr+ν‖ (LRg )r ϕrωα

−,β−‖∞

+

+ c log2 n

n−( r+µ ) se l(x, t) ∈ CB

ρ, τ,x ∩ Cν,ς,tn−( r+µ ) log n se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ ≤ 1,

n−1 se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ > 1.

Então, obtemos

‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c

nplog2 n, p = minr′ + η, s+ q′, r + υ, r + ν, r + µ− ε,

comε = 0 se lρ, τx ∈ W r,µ

ν,ς ,

0 < ε 1 se r + µ ≤ 1 e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0

t ∈ W r,µ0, 0,

ε = r + µ− 1 se r + µ > 1, e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0

t ∈ W r,µ0, 0.

Deste teorema, concluímos que a convergência do MCP depende da regularidade das

funções da EIDS proposta. No entanto, pelo Lema 3.3.17, p é no máximo 5/2.

Capítulo 4

Outros métodos numéricos do tipo

colocação polinomial

4.1 Equação integro-diferencial singular analisada de

outra forma

Em [4], [5] e [14], os autores investigam a equação

a1ϕ′(x) +

b1

π

∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+ a2(x)ϕ(x) +

1

π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t)dt = f(x), |x| < 1, (4.1)

com a condição de fronteira

ϕ(−1) = ϕ(1) = 0,

onde a1 e b1 são constantes dadas tais que a21 + b2

1 = 1. As funções a2, f ∈ C[−1, 1] e

l ∈ C[−1, 1]2, em [4] e [5], e a2, f ∈ C(−1, 1) e l ∈ C(−1, 1)2, em [14], são funções dadas.

Nestes artigos, os autores aplicam a identidade

d

dx−∫ 1

−1

ϕ(t)

t− xdt = −

∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt−

(ϕ(−1)

1 + x+ϕ(1)

1− x

), −1 < x < 1,

e a equação (4.1) é resolvida na forma:

d

dx

[a1ϕ(x) +

b1

π

∫ 1

−1

ϕ(t)

t− xdt

]+ a2(x)ϕ(x) +

1

π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t)dt = f(x), |x| < 1, (4.2)

impondose ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.

49

CAPÍTULO 4. OUTROS MÉTODOS NUMÉRICOS DO TIPO COLOCAÇÃOPOLINOMIAL 50

Aproximamos a função u(x) por un−1(x) = c0Pρ,τ0 (x) + c1P

ρ,τ1 (x) + ... + cn−1P

ρ,τn−1(x),

onde cj são constantes desconhecidas e denidas em [22], equação (9.1.1), por:

cj =

[2ρ+τ+1

2j + ρ+ τ + 1

Γ(j + ρ+ 1) Γ(j + τ + 1)

Γ(j + 1)Γ(j + ρ+ τ + 1)

]−1∫ 1

−1

ωρ,τ (x)P ρ,τj (x)u(x)dx,

j = 0, · · · , n−1. Observe que neste caso, não podemos considerar c0 = 0, pois∫ 1

−1ϕ(x) dx

pode não ser nula. Observe também que deste ponto de vista, ao contrário do obtido no

Capítulo 2, devemos ter ρ, τ > 0 e portanto

ρ = ρ+ − ρ− ⇒ ρ+ > ρ− e τ = τ+ − τ− ⇒ τ+ > τ−. (4.3)

Quando substituímos u(x) por un−1(x) em (4.2), obtemos o resíduo

rn(x) =∑n−1

j=0 cj

d

dx

[a1 ω

ρ,τ (x)P ρ,τj (x) +

b1

π−∫ 1

−1

ωρ,τ (t)P ρ,τj (t)

(t− x)dt

]+

+ a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τj (x) +

∫ 1

−1

l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τj (t) dt

−f(x).

Pelo Lema 2.2.2, a equação anterior pode ser reescrita como

rn(x) =∑n−1

j=0 cj

d

dx

[−2b1

sen(πρ)P−ρ, −τj+1 (x)

]+a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τ

j (x) +

+∫ 1

−1l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τ

j (t) dt

−f(x)

e aplicando a equação (2.19), obtemos

rn(x) =n−1∑j=0

cj

−b1(j − ρ− τ + 2)

senπρP−ρ+1, −τ+1j + a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τ

j (x) +

+∫ 1


j (t) dt

−f(x).

Pela unicidade da solução ϕ(x), α = ρ− 1 e β = τ − 1. Sendo assim, a quadratura do

termo∫ 1


j (t) dt é calculada nos mesmos pontos de (2.17).

Para que possamos obter uma estimativa da ordem de convergência do MCP aplicando

o Teorema 3.3.21, devemos ter f ∈ W r′+ηρ−, τ− , LRg ∈ W r+ν

ρ−, τ− e l ρ−, τ−

x ∈ W r,µν,ς , para

ν + ρ−, ς + τ− < 1 quando l ∈ Cρ−, τ−, x ∩ C ν, ς, t. Então uma restrição maior quanto a

regularidade dessas funções é exigida, em comparação com a análise do Capítulo 2, pois

por (4.3), Cρ−, τ− é um espaço de funções mais restrito que Cα−, β− . Isto pode levar, ao

aplicar o Teorema 3.3.21 na equação (4.1), a uma estimativa menor que a obtida quando


analisamos a EIDS como no Capítulo 2, como ocorre no Exemplo 3 a seguir, onde a função

f ∈ W 1,ηρ−, τ− , para ρ

− = τ− < 1/2 e η = 1/2− ε, com ε > 0 arbitrário.

Em [4], a equação (4.1) para a1 = 0 é analisada em espaços L2 ponderados, obtendo-se

uma estimativa para a taxa de convergência dependente de restrições bastante parecidas

com as apresentadas no parágrafo anterior. Em [14], a limitação dos operadores integrais

é discutida em espaços L1 ponderados, tendo restrições sobre as funções f e l diminuídas.

Em ambos os casos, as estimativas são bastante parecidas com as apresentadas aqui.

4.2 Convergência do método de colocação na norma

uniforme

Considere a EIDS

1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

l1(x, t)ϕ′(t) dt+ a2(x)ϕ(x) +

∫ 1

−1

l2(x, t)ϕ(t) dt = f(x),

|x| < 1,

(4.4)

onde a2, f ∈ H ([−1, 1]) e l1,2 ∈ H ([−1, 1]2). As condições de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0

também devem ser satisfeitas.

Quando aplicamos a mudança de variável

u(x) = ϕ′(x)⇒ ϕ(x) =

∫ x

−1

u(t) dt,

a equação (4.4) pode ser reescrita como:

1

π−∫ 1

−1

u(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

l1(x, t)u(t) dt+ a2(x)

∫ x

−1

u(t) dt+

∫ 1

−1

l2(x, t)

[∫ t

−1

u(s) ds

]dt =

= f(x), (4.5)

com∫ 1

−1u(t) dt = 0.

De acordo com o Capítulo 2, uma solução de classe h0 da equação (4.5), é dada por

u(x) = g(x)ω α,β(x), α = β = −1/2.

Em [19], é apresentada uma análise do MCP aplicado à equação (4.4), segundo a

norma uniforme. Para demonstrar o teorema da convergência do MCP nesta norma, foi

utilizado o teorema a seguir.


Teorema 4.2.1. ([21], Desigualdade de Jackson) Seja f ∈ C(s)[−1, 1], tal que

f (s) ∈ H µ([−1, 1]). Então,

En(f) = infpn∈Πn

‖ f − pn ‖∞ ≤c

ns+µ.

Como o termo Rg(x) =∫ x−1ωα,β(t) g(t) dt, é tal que Rg 6∈ C(1)[−1, 1], então pelo Lema

3.3.16,

En(Rg ) ≤ c

n1/2.

Por este motivo, a análise de convergência do MCP na norma uniforme, aplicado a uma

equação da forma (4.4), assegura uma taxa de conververgência de no máximo 1/2.

4.3 Método Multhopp

Nesta seção, apresentamos o método Multhopp conforme descrito em [13]. Este método

resolve numericamente equações de Prandtl:

ϕ(x)

a2(x)− 1

2π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt = f(x), (4.6)

com a condição de fronteira

ϕ(−1) = ϕ(1) = 0,

onde a2(x) e f(x) são funções dadas em [−1, 1], tais que a2(x) não se anula, exceto

possivelmente nos extremos, e a2, f ∈ H ([−1, 1]).

Fazemos a mudança de variáveis x = cosϑ e t = cos τ (e denimos novamente

ϕ(cosϑ) = ϕ(ϑ)), e a equação (4.6) é reescrita como:

ϕ(ϑ)

a2(ϑ)+

1

2π−∫ π

0

ϕ′(τ)

cos τ − cosϑdτ = f(ϑ). (4.7)

Aplicamos uma interpolação de Lagrange na função ϕ(ϑ), onde os nós utilizados são os

nós de Chebyshev de segunda espécie de grau n,

xi = cos(ϑi), ϑi =iπ

n+ 1, 1 ≤ i ≤ n,

e obtemos

Pn−1 ϕ(x) =2

n+ 1

n∑i=1

ϕ(xi)n∑

m=1

sen (mϑi) sen (mϑ). (4.8)


Se derivamos Pn−1 ϕ(x) com respeito a ϑ e aplicamos identidades conhecidas, obtemos:

1

2π−∫ π

0

ϕ ′(τ)

cos τ − cosϑd τ ' 1

2π−∫ π

0

(Pϕ)′(τ)

cos τ − cosϑd τ =

=1

π(n+ 1)

n∑i=1

ϕ(xi)n∑

m=1

m sen (mϑi)−∫ π

0

cosmτ

cos τ − cosϑd τ =

=1

n+ 1

n∑i=1

ϕ(xi)n∑

m=1

m sen (mϑi)sen (mϑ)

senϑ.

(4.9)

Ao substituirmos ϕ(x) por Pn−1 ϕ(x) em (4.7), considerando ϑ = ϑj, j = 1, · · · , n, e

aplicando as expressões (4.8) e (4.9), obtemos o sistema de equações a ser resolvido

Aϕ = f , onde

Ai,j =1

n+ 1

[∑nm=1 sen (mϑi)sen (mϑj)

(2

a2(ϑj)+

m

senϑj

)],

ϕ = [ϕ(ϑ1) · · ·ϕ(ϑn)]> e f = [f(ϑ1) · · · f(ϑn)]>, 1 ≤ j ≤ n.

(4.10)

A solução do sistema (4.10) é aplicada na expressão (4.8), que aproxima a solução de

(4.7).

O método Multhopp pode ser estendido para EIS da forma:

1

2π−∫ 1

−1

ϕ (t)

t− xdt +

1

2π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x), (4.11)

para ϕ(x) = ϕ0(x) (1−x)ρ(1+x)τ com ρ = τ = ±1/2 ou ρ = −τ = ±1/2, e l(x, t) contínua

em [−1, 1]2. Para o caso ρ = τ = 1/2, através de uma quadratura de Gauss-Chebyshev

obtemos:

1

2π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt ' 1

2(n+ 1)

n∑i=1

senϑi l(cosϑ, cosϑi)ϕ0(ϑi). (4.12)

Nos exemplos do Capítulo 5 em que a1 = 0 e ϕ(−1) = ϕ(1) = 0, aplicamos o método

Multhopp adaptado para equações da forma (4.1), onde os termos

a2(x)ϕ(x) − 1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt e

1

π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt

são calculados de forma análoga à (4.10) e (4.12) respectivamente. Nos casos em que

a1 6= 0, não é possível aplicar o método Multhopp, sendo esta a desvantagem deste

método em relação ao MCP, pois como veremos a seguir, o método de Colocação é tão

eciente quanto o método Multhopp.

Capítulo 5

Exemplos Numéricos

Nesta seção, apresentaremos alguns exemplos numéricos que conrmam os resultados

teóricos obtidos na seção anterior.

O MCP provém da aproximação de g(x) pelo polinômio gn(x), conforme denido na

equação (2.10). Sendo assim, a aproximação de ϕ(x) é dada por

ϕn(x) =

∫ x

−1

gn(t)ω α, β(t) dt =n∑j=1

cj

∫ x

−1

P α, βj (t)ω α, β(t) dt

e pela identidade (2.13), obtemos

ϕn(x) = −n∑j=1

cj2jP α+1, β+1j−1 (x)ω α+1, β+1(x).

Lembramos que pela Observação 3.2.8, se g ∈ Cα+, β+ então ϕ ∈ C0, 0, e apenas

por conveniência nas demostrações sobre a convergência do MCP aproveitamos o fato de

C0, 0 ⊂ Cα−, β− . Por este motivo, os resultados numéricos serão indicados por

en = ‖ϕ− ϕn ‖∞.

Os dois primeiros exemplos que tratamos aqui, foram propostos em [19].

Exemplo 1

Considere a equação

ϕ(x) +1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

cosx

1 + (xt)2ϕ(t) dt = ϕ(x) +

2x

π√

1− x2log

∣∣∣∣√

1− x2 − x+ 1√1− x2 + x− 1

∣∣∣∣, (5.1)

com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.

54

CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 55

A solução analítica desta equação é

ϕ(x) =

√

1− x2 +2

π(arccos(x)− π) se x ≤ 0,

2

πarccos(x)−

√1− x2 se x ≥ 0,

com ϕ′(x) = (|x| − 2/π)/√

1− x2, isto é ωα,β(x) = 1/√

1− x2 e g(x) = |x| − 2/π.

Como l(x, t) = cosx/[1 + (xt)2], então l ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t, LRg ∈ W ∞1/2,1/2 e

l1/2,1/2x ∈ W ∞

0, 0. A função a2 ∈ W∞1/2,1/2 e f ∈ C1/2,1/2, sendo que

f ′(x) =1√

1− x2

sx− 2

π

[1 +

1√1− x2

− 2 log

(1− x+

√1− x2

x− 1 +√

1− x2

)/(1− x2)

],

onde s = −1 se x ≤ 0 e s = 1 se x ≥ 0. Portanto, f ∈ W0, 1/2

1/2,1/2 e pelo Lema 3.3.17,

Rg ∈ W 1,1/21/2,1/2. Então, pelo Teorema 3.3.21 a estimativa para o erro é log2 n/n1/2.

n 2 4 8 16 32 64

e(1)n 0.03747 0.018804 0.005686 0.001399 0.000341 0.000340

τ (1) 0.994808 1.725474 2.022615 2.039638 2.025002

e(2)n 0.051386 0.016672 0.004782 0.001258 0.000321 0.000081

τ (2) 1.623958 1.801683 1.926198 1.969541 1.985031

Tabela 5.1: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.

A Tabela 5.1 mostra uma aproximação da taxa de convergência para os métodos de

Colocação e Multhopp, calculada da forma τ = log(ene2n

)/ log 2.

Os resultados obtidos neste exemplo mostram que o MCP é tão eciente quanto o mé-

todo Multhopp, em se tratando de aproximar numericamente equações do tipo Prandtl's,

com a vantagem de ser mais geral. Além disso, a Tabela 5.1 mostra uma taxa de con-

vergência de aproximadamente 2, melhor que a estimativa que obtivemos aplicando o

Teorema 3.3.21. Esta variação se deve à limitação do Teorema 3.3.21 para obter uma

estimativa mais próxima da observada na prática em certos casos.

No próximo exemplo, mostramos como as estimativas dependem fortemente da regu-

laridade de l(x, t) e de f(x), propondo l(x, t) não regular em ambas as variáveis o que leva

à não regularidade de f(x), depois regular apenas em relação a x, levando a regularidade

de f(x) também, e nalmente regular.


Exemplo 2


√1− x2 ϕ(x)− 1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+

1

π

∫ 1

−1

( |x|+ | t| )ϕ(t) dt = 2− x2 +|x|2

+2

3π,


A solução analítica desta equação é ϕ(x) =√

1− x2, sendo então g(x) = −x e

ω α, β(x) = 1/√

1− x2.

Como l(x, t) ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t, obtemos LRg ∈ W0,1/2

1/2,1/2 e l1/2,1/2x ∈ W 0,1

0,0. Já

a2(x) =√

1− x2, então a2 ∈ W 2,11/2,1/2 e f(x) ∈ W

0,1/21/2,1/2. Portanto, Rg ∈ W

1,1/21/2,1/2 e a

estimativa para o erro assintótico é log2 n/√n. Veja os resultados:

n 2 4 8 16 32 64

e(1)n 0.017966 0.004940 0.001477 0.000409 0.000108 0.000028

τ (1) 1.8626 1.7423 1.8521 1.9211 1.9475

e(2)n 0.016797 0.004996 0.001479 0.000409 0.000108 0.000028

τ (2) 1.7494 1.7562 1.8544 1.9211 1.9475


Neste caso, a solução g(x) é um polinômio de primeiro grau e era de se esperar que

a convergência dos métodos fossem imediatas, o que não ocorreu. Isto porque, outras

funções envolvidas nos cálculos, f e l, não são suaves.

Se na mesma equação escolhermos l(x, t) = x + | t|, então LRg ∈ W ∞1/2,1/2 e

l1/2,1/2x ∈ W 0,1

0,0 como anteriormente. Agora f(x) = 2−x2+x/2+2/(3π), então f ∈ W ∞1/2,1/2

e pelo Lema 3.3.17, Rg ∈ W 2,1/21/2,1/2. Então a estimativa para o erro é log2 n/n.

n 2 4 8 16 32 64

e(1)n 0.022009 0.005580 0.001632 0.000450 0.000119 0.000030

τ (1) 1.9798 1.7738 1.8598 1.91908 1.9406

e(2)n 0.019197 0.005593 0.001632 0.000450 0.000119 0.000030

τ (2) 1.7792 1.7770 1.8586 1.9190 1.9406



Quando consideramos l(x, t) = |x| + t, obtemos f(x) = 2 − x2 + |x|/2. Então

LRg ∈ W0,1/21/2, 1/2, l

1/2,1/2x ∈ W∞

0,0, f ∈ W0,1/21/2, 1/2 e Rg ∈ W

1,1/21/2,1/2. A estimativa para o

erro é log2 n/n1/2.

Mas se consideramos l(x, t) = x + t, obtemos f(x) = 2 − x2 + x/2 e portanto,

l1/2,1/2x ∈ W∞

0,0 e f ∈ W∞1/2,1/2. Então Rg ∈ W

2,1/21/2,1/2 e a estimativa para o erro é

log2 n/n5/2. Na prática, ambos os métodos produziram a solução exata para l(x, t) = |x|+t

e l(x, t) = x+ t.

Como observamos na Tabela 5.3, mesmo com a suavidade das funções f(x) e l(x, t)

(em relação a x), os resultados foram similares aos do caso anterior. Isto mostra o quanto

a irregularidade em relação à variável de integração inuencia no resultado.

O próximo exemplo mostra porque é mais vantajoso representar a EIDS como descrito

na Seção 2.1, e não da forma descrita na Seção 4.1.

Exemplo 3


1

π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+ ϕ(x) +

∫ 1

−1

x | t|ϕ(t) dt = −1 +2

3x+√

1− x2, (5.2)


A solução analítica desta equação é ϕ(x) =√

1− x2. Portanto, ωα,β(x) = 1/√

1− x2

e g(x) = −x.

A função LRg ∈ W ∞1/2,1/2, e l

1/2,1/2x ∈ W 0,1

0,0 . Em relação à regularidade de f(x), temos:

f ′(x) =2

3− x√

1− x2, f ′′(x) = − 1

(1− x2)3/2e f ′′′(x) = − 3x

(1− x2)5/2.

Portanto f ∈ W 2,11/2,1/2, Rg ∈ W

2,1/21/2,1/2, e a estimativa para o erro é log2 n/n.


n 2 4 8 16 32 64

e(1)n 0.045917 0.013604 0.004015 0.001104 0.000292 0.000075

τ (1) 1.7550 1.7606 1.8627 1.9187 1.9610

e(2)n 0.052352 0.013811 0.004015 0.001104 0.000292 0.000075

τ (2) 1.9224 1.7823 1.8627 1.9187 1.9610


Assim como no Exemplo 2, a irregularidade de l em relação a t limitou a estimativa

do erro a 1 − ε, ε > 0, embora na prática ambos os métodos tenham convergência de

ordem aproximadamente 2.

Quando substituímos l(x, t) = x| t| por l(x, t) = xt, obtemos f(x) = −1 +√

1− x2 e

f ′(x) = − x√1− x2

, f ′′(x) = − 1

(1− x2)3/2e f ′′′(x) = − 3x

(1− x2)5/2.

Portanto, l 1/2,1/2x ∈ W∞

0,0, f ∈ W2, 11/2, 1/2 e Rg ∈ W 2,1/2

1/2,1/2. Então, a estimativa para o erro é

log2 n/n5/2. Na prática, ambos os métodos produziram a solução exata para este caso.

Observe que neste útimo caso, se α− e β− fossem menores que 1/2, obteríamos

f ∈ W 1, qα−, β− para q = minα−, β−, o que mudaria a estimativa do erro para log2 n/n1+q,

bem menor que a obtida por nós. A estimativa para o erro log2 n/n1+q, é obtida quando

analisamos a equação (5.2) como na Seção 4.1.

O próximo exemplo, propõe a resolução de uma equação para a qual α 6= β. Conforme

descrito na Seção 4.3, este é um dos casos em que o método Multhopp não se aplica.

Exemplo 4


1√2ϕ′(x)− 1√

2π−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+ ϕ(x) +

∫ 1

−1

|xt|ϕ(t) dt =

=1

48|x|[−14 − 3

√2 log

(cot

π

8

)]− 1

2− 1

2(1− x)1/4(1 + x)3/4


A solução analítica desta equação é ϕ(x) = − (1 − x)1/4(1 + x)3/4/2. Portanto,

g(x) = (2x− 1)/4 e ω α,β(x) = (1− x)−3/4(1 + x)−1/4.


Neste caso, LRg ∈ W0,1/4

3/4,1/4 e l 3/4,1/4x ∈ W 0,1

0,0 . A função f ∈ W0,1/43/4,1/4 e portanto,

Rg ∈ W 1,1/43/4,1/4. Então a estimativa para o erro assintótico é log n2/n1/4. Veja os resultados

obtidos:

n 2 4 8 16 32

en 0.018785 0.003684 0.001011 0.000270 0.00070

τ 2.3502 1.8655 1.9048 1.9475

Tabela 5.5: MCP.

Se na mesma equação escolhemos l(x, t) = x| t|, então LRg ∈ W∞3/4,1/4 e

f(x) =1

48x

[−14 − 3

√2 log

(cot

π

8

)]− 1

2− 1

2(1− x)1/4(1 + x)3/4,

f ′(x) = −14

48− 3√

2

48log

(cot

π

8

)− 18

48(1− x)1/4(1 + x)−1/4 +

6

48(1− x)−3/4(1 + x)3/4,

f ′′(x) =3

8(1− x)−7/4(1 + x)−5/4,

f ′′′(x) =3 + 18x

16(1− x)−11/4(1 + x)−9/4.

Portanto, f ∈ W 2,13/4,1/4 e Rg ∈ W

2,1/43/4,1/4. No entanto, como l 3/4,1/4

x ∈ W 0,10,0 , a estimativa

para o erro é log n2/n. Os resultados obtidos foram:

n 2 4 8 16 32

en 0.013781 0.003685 0.001014 0.000272 0.000071

τ 1.9284 1.8275 1.8970 1.9432

Tabela 5.6: MCP.

Quando consideramos l(x, t) = xt, o método produz a solução exata.

Este exemplo mostra que para α 6= β, os resultados obtidos são análogos aos dos Exem-

plos 2 e 3, indicando novamente, que a não regularidade de l(x, t) inuencia fortemente

na convergência do método.

O próximo exemplo, mostra o comportamento das soluções ϕ(x), tais que

ϕ′(x) = g(x)ωα,β(x), quando α e β são próximos de 0 e −1, respectivamente. Lembramos

novamente que neste caso o método Multhopp não se aplica.


Exemplo 5


1

4( 1−

√5 )ϕ′(x)− 1

π

√5

8+

√5

8−∫ 1

−1

ϕ′(t)

t− xdt+ ϕ(x) +

∫ 1

−1

(|x|+ |t|)ϕ(t) dt =

= − 1.9718 − 0.914977|x| − 1

2(1− x)9/10(1 + x)1/10,


A solução analítica desta equação é ϕ(x) = − 1

2(1−x)9/10(1+x)1/10, o que implica em

g(x) =5x+ 4

10e ωα,β(x) = (1− x)−1/10(1 + x)−9/10.

Neste caso, LRg ∈ W 0, 1/101/10, 9/10, l

1/10, 9/10x ∈ W 0,1

0,0 e f ∈ W 0, 1/101/10, 9/10, sendo a estimativa

para o erro log2 n/n1/10.

n 2 4 8 16 32

en 0.011393 0.003207 0.000830 0.000209 0.000052

τ 1.8289 1.9500 1.98960 2.0069

Tabela 5.7: MCP.

Se na mesma equação escolhermos l(x, t) = x+ | t|, então LRg ∈ W∞1/10, 9/10 e

f(x) = − 1.9718 − 1

2(1− x)9/10(1 + x)1/10 − 0.914977x,

f ′(x) = −0.914977 + 0.45(1− x)−1/10(1 + x)1/10 − 0.05(1− x)9/10(1 + x)−9/10,

f ′′(x) = 0.09(1− x)−1/10(1 + x)−9/10 + 0.045[ (1− x)9/10(1 + x)−19/10 +

+(1− x)−11/10(1 + x)1/10 ],

f ′′′(x) = −0.1215(1− x)−1/10(1 + x)−19/10 + 0.0135(1− x)−11/10(1 + x)−9/10 −

− 0.0855(1− x)9/10(1 + x)−29/10 + 0.0495 (1− x)1/10(1 + x)−21/10.

Portanto, f ∈ W 2,11/10, 9/10 e Rg ∈ W 2, 1/10

1/10, 9/10. Mas a estimativa para o erro é log2 n/n, pois

l1/10, 9/10x ∈ W 0,1

0,0 .

Quando consideramos l(x, t) = x+ t, o método produz a solução exata.

Observamos que mesmo para valores de α e β próximos a 0 e −1 respectivamente,

o método mostrou resultados análogos aos obtidos nos Exemplos 2, 3 e 4, conforme o

esperado.


n 2 4 8 16 32

en 0.0150803 0.003959 0.001015 0.000256 0.000064

τ 1.9295 1.9637 1.9873 2.0000

Tabela 5.8: MCP.

O próximo exemplo, proposto em [13], Seção 3.2, apresenta uma equação que rege o

estado de tensão em um corpo elástico, quando um disco rígido de base plana é inserido

em um orifício circular de mesmo raio em um meio elástico plano innito, pressionado por

uma força ao longo do eixo do orifício. É considerado que a tensão e a rotação se anulam

no innito.

Exemplo 6 - Disco rígido circular


− 1

2π−∫ 1

−1

N ′(t)

t− xdt+

χ− 1

χ+ 1

β

x2 + β2N(x)− β2

π(x2 + β2)

∫ 1

−1

N(t)

t2 + β2dt =

=2χβ

χ+ 1

x2 − β2

(x2 + β2)2, N(−1) = N(1) = 0, (5.3)

com β = 1.20886 e χ = 5/3. A constante N representa a componente normal da força de

tensão externa agindo no centro do disco em relação ao deslocamento do disco no meio

elástico, χ representa a constante elástica do material em que o disco é inserido, e β está

associado à região de contato entre o disco e a força aplicada sobre ele.

Por considerar que o disco é tensionado em um plano elástico innito, por motivos

teóricos (descritos em [13]), a condição

c(β) =2β

π

∫ 1

−1

t2 − β2

(t2 + β2)2N(t) dt = 1

é imposta.

A Tabela 5.9, apresenta a solução numérica da equação com determinados valores

de x para n = 7 e n = 150. O termo c(β) foi aproximado por uma quadratura de

GaussChebyshev de segunda espécie.


x 0 0.3827 0.7071 0.9239 c

N(1)7 -1.9173 -1.6560 -1.1084 -0.5436 0.999534

N(2)7 -1.9162 -1.6555 -1.1090 -0.5425 0.999324

N(1)150 -1.9167 -1.6556 -1.1090 -0.5426 0.999324

N(2)150 -1.9167 -1.6556 -1.1090 -0.5426 0.999324


Observe que a equação (5.3) não está na forma de Prandtl's, para a qual o método

Multhopp é aplicado. Mas este, pôde ser estendido aproximando o termo∫ 1

−1N(t)/(t2 + β2) dt por uma quadratura de GaussChebyshev de segunda espécie.

O próximo exemplo, proposto em [24], apresenta a equação que analisa o comporta-

mento de velas de barco sob a ação de forças hidro e aero-dinâmicas, geradas por um

escoamento não viscoso incompressível. A forma efetiva com que o escoamento afeta a

tridimensionalidade da vela, está associada à geometria e resistência da vela. O ângulo

de incidência entre a corda da vela e o escoamento do uido, são aspectos levados em

cosideração na modelagem do problema.

Exemplo 7 - Equação da Vela


1

π−∫ 1

0

S ′′(t)

t− xdt− λS ′(x) = λ γ (5.4)

com as condições de fronteira S(0) = S(1) = 0 e S ′′(1) = 0. O coeciente γ denota o

ângulo entre a vela e o escoamento do uido, o parâmetro λ é uma constante inversamente

proporcional à tensão na vela, e a solução S é a ordenada da vela associada a x.

A partir de uma mudança de variável, podemos reescrever a equação (5.4) como

1

π−∫ 1

0

ϕ′(t)

t− xdt− λϕ(x) = λ γ,

com as seguintes condições de fronteira:∫ 1

0ϕ(t) dt = 0 e ϕ′(1) = 0. Com a nova mudança

de variável ϕ′(x) = u(x), obtemos

1

π−∫ 1

0

u(t)

t− xdt+ λ

( ∫ x

0

u(t) dt −∫ 1

0

∫ t

0

u(s)ds dt

)= λ γ,


com a condição de fronteira u(1) = 0. Para reescrer a equação (5.4) no intervalo [−1, 1],

aplicamos outra mudança de variável, donde obtemos

1

π−∫ 1

−1

u(t)

t− xdt+

λ

2

( ∫ x

−1

u(t) dt − 1

2

∫ 1

−1

∫ t

−1

u(s)ds dt

)= λ γ, (5.5)

com a condição de fronteira u(1) = 0.A condição de fronteira no extremo x = 1, implica que o índice do problema é κ = 0

eu(x) = (1− x)1/2(1 + x)−1/2 g(x).

Toda a teoria desenvolvida anteriormente é válida, exceto pela não necessidade de con-dições adicionais.

Em [24], o autor resolveu a equação (5.5) por um método de aproximação base-

ado na transformação dessa equação utilizando fórmulas trigonométricas. Resolvemos

a equação (5.5), considerando n = 21 e os pontos de colocação x(i) = − cos(θi), onde

θi = (iπ)/(n−1), i = 0, · · · , n−1. A partir desta solução, obtemos a solução da equação

equivalente (5.4) nos pontos x(i) =1

2(1− cos(θi)). Consideramos γ = π/18 e λ = 5.507,

pois este é um dos autovalores da matriz associada ao sistema obtido para resolver a equa-

ção (5.5) pelo método de [24], o que indica soluções com ângulos de incidência críticos, o

que propicia uma mudança qualitativa no comportamento da solução.

xi S(1)/√

0.073 S(2)/√

0.073 xi S(1)/√

0.073 S(2)/√

0.073

0 0.000000 -0.000000 0.5000 -0.000933 -0.000923

0.0062 0.013530 0.013526 0.5782 -0.144977 -0.144966

0.0245 0.053225 0.053221 0.6545 -0.255501 -0.255492

0.0545 0.115068 0.115067 0.7270 -0.311230 -0.311224

0.0955 0.189678 0.189674 0.7939 -0.309007 -0.309002

0.1464 0.261087 0.261090 0.8536 -0.261570 -0.261570

0.2061 0.308207 0.308207 0.9045 -0.189926 -0.189924

0.2730 0.310063 0.3100717 0.9455 -0.115171 -0.115175

0.3455 0.253984 0.2539897 0.9755 -0.053254 -0.532535

0.4218 0.143206 0.143218 0.9938 -0.013534 -0.135392

1.0000 0.000000 0.000000

Tabela 5.10: (1)-MCP; (2)-Método de [24].


Por conveniência, o autor em [24] apresentou os resultados sob a forma S/√

0.073,

onde√

0.073 é um valor associado a um pequeno ângulo crítico de incidência.

Capítulo 6

Conclusões

O objetivo desta tese, é apresentar uma estimativa para a taxa de convergência do

MCP, usado para resolver equações integrodiferenciais singulares com núcleo de Cauchy.

Os pontos de colocação usados são os zeros do n-ésimo polinômio de Chebyshev de

primeira espécie, pois conforme o Teorema 3.3.20, neste caso temos uma estimativa para

a constante de Lebesgue ponderada, necessária para estimarmos a ordem de convergência

do método. Nos casos em que se faz necessário, aplicamos uma regra de quadratura de

Gauss-Jacobi com n nós para aproximar a integral Lgn. Foram consideradas condições de

fronteira não nulas, que devido à mudanças de variáveis necessárias às resolução da EIDS,

geram novas irregularidades nos dados da equação a ser resolvida.

Apresentamos a análise de convergência do MCP segundo uma norma uniforme pon-

derada, além de uma estimativa para a taxa de convergência do método, que depende da

regularidade das funções envolvidas. Esta análise mostra que a estimativa para a taxa de

convergência do método, pode ser melhor do que aquela obtida para a norma uniforme,

devido aos requisitos de regularidade dos dados da equação (2.6) serem menores.

Em [19], é apresentada uma análise de convergência do MCP para a norma uniforme,

considerando a equação (2.1) com condições de fronteira homogêneas, a1 = 0, κ = 1 e

a2(x) 6= 0. A estimativa para a ordem de convergência obtida, é restrita a 1/2. Aqui,

foi demonstrado que mesmo quando os dados da equação são mais gerais, a estimativa

pode ser bastante melhorada, podendo chegar a 5/2, aproximandose mais da estimativa

observada na prática, conforme pode ser constatado pelos exemplos do Capítulo 5.

65

CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 66

A análise apresentada em [5], mostrou-se mais restritiva quanto a regularidade im-

posta nas funções f e l, que devem pertencer a um espaço de funções menos abrangente

que o considerado aqui. Isto leva em alguns casos, a uma estimativa para a ordem de

convergência menor que a possível de ser obtida pela análise apresentada aqui, conforme

discutido no Capítulo 4.

Referências Bibliográcas

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Handbook of mathematical functions with formulas,

graphs, and mathematical tables. Dover Publications Inc., New York, 1964.

[2] Atkinson, K. E.: A Survey of Numerical Methods for the Solution of Fredholm Integral

Equations of Second Kind. Society for Industrial Applied Mathematics, Philadelphia,

1976.

[3] Capobianco, M. R.; Junghanns, P.; Luther, U.; Matroianni, G.: Weighted uniform

convergence of the quadrature method for Cauchy singular integral equations. Singu-

lar Integral Operators and related topics, 153-181, Oper. Theory Adv. Appl., v.90,

Birkhäuser Verlag, 1996.

[4] Capobianco, M. R.; Criscuolo, G.; Junghanns, P.: A fast for Prandtl's integro-

dierential equation. J. Comput. Appl. Math. 77 (1997), no. 1-2, 103-128.

[5] Capobianco, M.R.; Criscuolo, G.; Junghanns, P.; Luther, U.: Uniform convergence

of the collocation method for Prandtl's integro-dierential equation. ANZIAN J. 42

(2000), no. 1, 151-168.

[6] Cuminato, J. A.: Numerical solutions of Cauchy integral equations and applications.

Wolfson College, Oxford, 1987.

[7] Cuminato, J. A.: On the uniform convergence of a collocation method for a class of

singular integral equations. BIT 27 (1987), no. 2, 190-202.

[8] Cuminato, J. A.: Uniform convergence of a collocation method for the numerical

solution of Cauchy-type singular integral equations: a generalization. IMA J. Numer.

Anal. 12 (1992), no. 1, 31-45.

67

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 68

[9] Ditzian, Z.; Totik, V.: Moduli of Smoothness. Springer Series in Computational

Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1987.

[10] Isaacson, E.; Keller, H. B.: Analysis of numerical methods. Dover Publications Inc.,

New York, 1994.

[11] Ioakimidis, N. I.; Theocaris, P. S.: On the numerical solution of singular integro-

dierential equations. Quart. of Appl. Math. 37 (1979/80), no. 3, 325-331.

[12] Junghanns, P.; Luther, U.: Cauchy singular integral equations in spaces of continuous

functions and methods for their numerical solution. J. Comp. Appl. Math. 77 (1997),

no. 1-2, 201-237.

[13] Kalandiya, A.I.: Mathematical methods of two-dimensional elasticity. Translated

from the Russian by M. Konyaeva [M. Konjaeva]. Mir. Publishers, Moscow, 1975.

[14] Luther, U.: Uniform convergence of polynomial approximation methods for Prandtl's

integro-dierential equation. Preprint 99-11 of the Dept. of Math. of the Univ. Chemnitz

(Germany) (1999).

[15] Mastroianni, G.: Uniform convergence of derivatives of Lagrange interpolation.

Orthogonal polynomials and numerical methods. J. Comput. Appl. Math. 43 (1992),

no. 1-2, 37-51.

[16] Mastroianni, G.; Milovanovicc, V. G.: Interpolation Process. Basic theory and ap-

plications. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2008.

[17] Monegato, G.; Strozzi, A.: On the form of the contact reaction in a solid circular plate

simply supported along two antipodal edge arcs and deected by a central transverse

concentrated force. Dedicated to Piero Villaggio on the occasion of his 70th birthday.

J. Elasticity 68 (2002), no. 1-3, 13-35.

[18] Muskhelishvili, N. I.: Singular integral equations. Boundary problems of function

theory and their application to mathematical physics. Translation by J. R. M. Radok.

P. Noordho N. V., Groningen, 1953.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69

[19] Nagamine, A.; Cuminato, J.A.: A collocation method for solving singular integro-

dierential equations. BIT 50 (2010), no. 3, 657-688.

[20] Nevai, P.: Orthogonal Polynomials. Mem. Amer. Math. Soc. 18 (1979), no. 213.

[21] Rivlin, T. J. : An introduction to the approximation of funtions. Blaisdell Publishing

Company, New York, 1969.

[22] Szegö, G.: Orthogonal Polynomials. American Mathematical Society Colloquium

Publications, Vol. 23. Revised ed. American Mathematical Society, Providence, R.I.

1959.

[23] Theocaris, P. S.; Tsamasphyros, G.: A numerical solution of singular integro-

dierential equations with variable coecients. Appl. Math. Comput. 15 (1984), no.

1, 47-59. 1984.

[24] Thwaites, B.: The aerodynamic theory of sails. I. Two-dimensional sails. Proc. Roy.

Soc. London 261 (1961), no. 1306, 402-422.

método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais … · 2014-09-26 · são...

Documents