disciplina geometria analítica e números complexos

Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Estudando as quádricas

Autores

aula

15

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos 1

Apresentação

Nas aulas 4 (A elipse), 5 (A parábola) e 6 (A hipérbole), você estudou as cônicas: elipse, parábola e hipérbole. Nesta aula, vamos estudar as quádricas, que são, no espaço, o similar às cônicas no plano. Estudaremos basicamente seus nove tipos.

Objetivos

Ao final desta aula, esperamos que você esteja apto a identificar e representar geometricamente uma quádrica a partir de sua equação e, reciprocamente, dar à equação de uma quádrica, conhecida sua representação geométrica.

z R >

R <

z y

z

-a

a

x

b-b

Aula 15 Geometria Analítica e Números Complexos2

Quádricas

Vamos analisar a seguir as equações que representam os nove tipos de quádricas, com a finalidade de representá-las geometricamente. Para tanto, examinaremos a interseção dessas superfícies, com planos x m, y l, z k paralelos aos planos

coordenados estudados na aula 14 (Planos no espaço tridimensional). Reconhecidas tais interseções, chamadas de seções, tentaremos remontar a superfície a partir das mesmas.

Vamos estudar a seguir os nove tipos de quádricas.

1º O cilindro elíptico:

Ao estudar, na aula 4, a equação no plano, você verificou que se trata

de uma elipse com eixos nos eixos coordenados. Agora, se considerarmos essa mesma equação no espaço, significa que queremos analisar o conjunto de pontos (x,y,z) do

espaço tais que , note que a variável z é independente de x e y. Ora, isso

significa que qualquer plano z k, paralelo ao plano xy, intercepta a superfície numa

elipse nesse plano, de equação , ou seja, é sempre a mesma elipse,

porém em diferentes planos paralelos ao plano xy. Isso significa que a superfície pode ser

reconstruída unindo-se os pontos dessas elipses em planos paralelos ao plano xy, por retas paralelas (geratrizes do cilindro) ao eixo z, conforme ilustrado na figura a seguir. Nesse caso, o eixo z é dito o eixo do cilindro.

Nota – Observe que quando a b c a equação da elipse se torna a equação do círculo x y r . Nesse caso, o cilindro diz-se circular reto.

Figura 1 – O cilindro elíptico:

x m >

x

x

z

y

x m <


Veja na Figura 1 que quando y , fica e, quando x , tem-se ,que são as extremidades dos eixos da elipse em cada plano k.

Exemplo 1

Identifique e esboce o gráfico da quádrica, de equação y z .

Solução

Dividindo os dois membros por 36, obtemos

,

o que resulta

,

ou seja,

.

Isso diz que a variável x é livre e para cada valor m de , é uma elipse no

plano x m. Pelo que vimos anteriormente, trata-se de um cilindro elíptico com eixo igual ao eixo x exibido na figura a seguir.

Figura 2 – O cilindro elíptico

z k <

z k > k>

z

z k

z

z

z

z

x

a

-a

z k


2º. O cilindro hiperbólico:

Se fosse no plano, a equação anterior representaria uma hipérbole simétrica em relação ao eixo y, com vértices nos pontos a ) e a . Acontece que, nesse caso, queremos o

conjunto dos pontos (x,y,z) do espaço tais que .

Repetindo o procedimento usado no caso anterior, verifica-se que os planos z k

interceptam a superfície segundo a hipérbole de equação nesse plano. Isso

significa que para recompor a superfície liga-se as diferentes hipérboles nos planos paralelos ao plano xy por retas paralelas ao eixo z, conforme ilustrado na figura que se segue.

Figura 3 – O cilindro hiperbólico:

Atividade 1

Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação x y

z

zz

z

zx

z

y


3º. O cilindro parabólico: y ax ; aComo nos dois casos anteriores, essa equação no plano xy representa uma curva, no

caso, uma parábola, com vértice na origem, e simétrica em relação ao eixo y. Acontece que queremos identificar o conjunto dos pontos (x,y,z) do espaço tais que y ax para qualquer valor de z. Aqui, o procedimento é análogo aos anteriores. Ou seja, os planos paralelos ao plano xy de equações z k interceptam essa quádrica segundo a parábola da equação y axnesses planos. De modo que para refazer a superfície da quádrica basta ligar os pontos dessas parábolas por retas paralelas ao eixo z, conforme mostrado na seguinte figura.

Figura 4 – O cilindro parabólico: y ax ; a>

Atividade 2

Identifique e esboce o gráfico da quádrica de equação x by , b > .


4º. O cone elíptico:

Vamos analisar as interseções dessa quádrica com planos paralelos ao plano xy, isto

é, por planos z “constante”. Vejamos que para k > teremos , ou

ainda, . Essa equação representa no plano z k uma elipse de semi-

eixos ak e bk. Isso significa que, à medida que o plano z = k se afasta do plano xy, essas

elipses vão aumentando de eixos. Isto é, quanto maior o valor de k, maiores os eixos das elipses. Observamos que se tivermos z –k < , fica

,

mas

–k |k|

donde

representa, no plano z k, uma elipse de semi-eixos a k e b k , significando que à medida que o plano z = k se afasta do plano xy os eixos dessas elipses crescem.

Em resumo, os planos z k, k > ou k < interceptam a quádrica em elipses, de modo que quanto mais distante esse plano está do plano xy, maiores são os eixos de tais

elipses. Quando z 0, tem se , ou seja, x y , que é a origem. Isso

mostra que o plano xy z intercepta a superfície apenas na origem. Para saber onde

essas elipses se apóiam, vejamos que o plano yz de equação x intercepta a quádrica segundo a curva de equação

,

ou seja,,

que representa um par de retas no plano, x , passando pela origem.

x

z

z

z k<

z k<

z k >x

z k >


Feitas essas análises, o esboço da quádrica é dado na Figura 5.

Figura 5 – O cone elíptico:

Nota – Na equação do cilindro elíptico, quando a b r, tem-se que os planos z kinterceptam a quádrica segundo um círculo, nesses planos, de raios r k e centros no eixo z,o que é fácil de comprovar. Nesse caso, o cone é dito circular ou de revolução.

Identifique e esboce a quádrica dada pela equação z x y .

5º. O elipsóide:

Atividade 3

Comecemos observando que para um ponto x,y,z pertencer ao elipsóide, necessariamente, a x a, b y b e c z c. Isso é claro, pois se fosse x a ou x a, teríamos

,


logo

,

donde nenhum ponto x,y,z com x a ou x a pode pertencer ao elipsóide. Do mesmo modo, pontos x,y,z com y b ou y b, bem como z c ou z c, não podem pertencer ao elipsóide.

Veja que quando , então e, para que esteja

sobre o elipsóide, devemos ter y , z , ou seja, . De modo análogo, e pertencem ao elipsóide.

A análise anterior nos permite concluir que, qualquer plano z k, k > c paralelo ao eixo xy, ou qualquer plano y l, l > b paralelo ao eixo xz, ou ainda, qualquer plano x m, m > a paralelo ao plano yz onde z k ou z k, y l ou y l, x m ou x m,não interceptam a quádrica. Enquanto os planos e interceptam o elipsóide em , e . Portanto, para:

z k, c k c , temos

,

ou

,

a condição c k c diz que

.

Logo, a equação anterior pode ser escrita como

,

que é a equação de uma elipse no plano z k;

y l, b l b, temos

y l

z

a

-a

c

-c

-b b y

x

z k

z ky l

y

z


,

ou ainda

,

que é a equação de uma elipse no plano y l ;

x m, a m a

,

ou seja,

,

que é a equação de uma elipse no plano x m.

Esse estudo nos permite esboçar o elipsóide na Figura 6, na qual destacamos apenas as seções y “constante” e z “constante”.

Figura 6 – O elipsóide:

Nota – Quando a b c r, o elipsóide torna-se uma esfera x y z r . Enquanto, se apenas dois dos valores a, b e c são iguais, o elipsóide é dito um esferóide ou um elipsóide de revolução.


Atividade 4

Identifique a quádrica dada pela equação x y z e esboce o seu gráfico.

6º. O hiperbolóide de uma folha:

Fazendo z k, obtemos

ou

,

ou ainda

,

que representa uma elipse de semi-eixos .

Vejamos que quanto maior o valor de k , maior é o eixo da elipse. Geometricamente, isso significa que os planos paralelos ao plano xy, quanto mais afastados desse plano estão, interceptam a quádrica em elipses com eixos cada vez maiores.

Por outro lado, se y , temos

,

que representa uma hipérbole simétrica em relação ao eixo x. Enquanto se x , temos

,

z k'<

z k >

z k >-a

b

z k'<

zy

x

z

a-b


que representa uma hipérbole simétrica em relação ao eixo y. Isso significa que as elipses obtidas pela interseção dos planos paralelos ao plano xy se apóiam nessas hipérboles, conforme ilustrado na figura que segue.

Figura 7 – O hiperbolóide de uma folha:

Nota – Veja que para a b r a equação do hiperbolóide de uma folha é

, isso significa que os planos z k o interceptam em círculos de

raios e centros no eixo z, localizados nesses planos, chamaremos a quádrica de

hiperbolóide de revolução de uma folha.

Atividade 5

Descreva a quádrica dada pela equação x y z r e esboce o seu gráfico.

7º. O hiperbolóide de duas folhas:

Reescrevendo essa equação como

,

y

x

x

y

z

z k'

z k'

z k

z k


Figura 8 – O hiperbolóide de duas folhas:

temos que

,

pois

.

Donde z c , ou seja, z c ou z c (isto é, z c), o que equivale a dizer que os planos z k com k < c não interceptam a quádrica.

Portanto, substituindo z k com k c na equação da quádrica, obtemos

ou ainda

,

que é a equação de uma elipse no plano z k, cujos eixos crescem à medida que o plano de equação z k se afasta do plano xy. Para descobrirmos em que curvas tais elipses se

apóiam, basta ver que, quando x , a equação da quádrica torna-se , que é

uma hipérbole de vértices ,c e , c . Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da quádrica representado na seguinte figura.

Nota – Quando a b r, a equação do hiperbolóide de duas folhas fica

Desse modo, os planos z k, k > c interceptam essa quádrica


Atividade 6

segundo círculos de raio e centro no eixo z. Por isso, dizemos tratar-se de um

hiperbolóide de revolução de duas folhas.

Identifique a quádrica de equação e esboce o seu gráfico.

8º. O parabolóide elíptico:

Como , segue-se que z , isso mostra que os planos z k’ com k’ < ,

paralelos aos planos xy, não interceptam a quádrica.

Mas, para z k com k 0, tem-se

,

logo, se k , vem que x e y , ou seja, o plano xy que é o plano z intercepta a quádrica na origem, enquanto para z k > , obtém-se

,

ou ainda

,

z k >

z k >

z y , x = b

y

z

x


Atividade 7

que representa uma elipse com semi-eixos e , isso significa que, quanto maior o valor de k, isto é, quanto mais os planos z k se afastam do plano xy, maiores são os semi-eixos da elipse.

Por outro lado, substituindo x na equação da quádrica, obtemos , a qual

representa uma parábola simétrica em relação ao eixo z, mostrando que as elipses obtidas

anteriormente se apóiam nessa parábola. Essas informações nos permite representar o gráfico da quádrica pela figura seguinte.

Figura 9 – O parabolóide elíptico:

Nota – Quando a b r, a equação do parabolóide torna-se zr x y . Isso significa que os planos z k, k > interceptam a superfície nos círculos dados nesses planos com centros no eixo z e raios . Nesse caso, a quádrica é chamada de parabolóide de revolução.

Descreva a quádrica representada pela equação y x z e esboce o seu gráfico.

y l <

y l >

y l >

x 0, z = y b

y

z

y l <

yx


9º. O parabolóide hiperbólico:

Figura 10 – O parabolóide hiperbólico:

Nota – Na equação do parabolóide hiperbólico, quando z k, k , fica , que é

a equação de uma hipérbole nesse plano, simétrica em relação ao eixo x, se k > . Daí a origem

do nome hiperbólico para qualificar o parabolóide.

Ao invés de começarmos com os planos z k, como fizemos para as quádricas anteriores, é conveniente começarmos analisando as seções com os planos y l paralelosao plano xz. Nesse caso, a equação passa a ser

,

que representa em cada plano y l uma parábola de vértice com concavidade

voltada para baixo. Por outro lado, fazendo x na equação inicial, obtemos que

representa no plano yz uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para cima.

Veja que a interseção dessa parábola com cada plano y l é o ponto , que é o

vértice de cada parábola descrita anteriormente, proveniente da interseção do plano y l com a quádrica.

Ora, sabemos que o vértice de uma parábola é seu ponto de máximo ou de mínimo, conforme a parábola esteja com a concavidade voltada para baixo ou para cima, respectivamente. Feita essa observação, podemos concluir que a superfície em questão

é obtida “dependurando-se”, pelo vértice , cada parábola no plano y l, na

parábola no plano yz, conforme ilustrado na Figura 10.

z -y , x

z - x , y

z

y

x


Atividade 8

Essa superfície é muitas vezes chamada de uma “sela”, devido a sua aparência lembrar uma sela de cavalo.

Exemplo 2

Dar o nome e a equação da quádrica representada pela figura seguinte.

Figura 11 – Representação de uma quádrica

Solução

É só observar que o plano y secciona a quádrica segundo a parábola de equações , enquanto o plano x a secciona segundo a parábola de equação z y . Isso

diz que a quádrica é o parabolóide hiperbólico de equação , que representa uma sela “montada” sobre o eixo x.

Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação .

Indique no gráfico as hipérboles obtidas pela interseção dos planos y e

y com essa quádrica.


1

2

Exercícios

Se o ponto P(x,y,z está sobre um cone elíptico, mostre que Pt tx,ty,tz , t , ainda está sobre esse cone, isto é, que a reta que passa pela origem e pelo ponto Pt está totalmente contida no cone. Faça uma figura representativa de tal situação.

Mostre que, se um cilindro tem seu eixo paralelo ao eixo z e se P x,y,z é um ponto nesse cilindro, então a reta que passa por P e é paralela ao eixo z está contida no referido cilindro. Ilustre esse fato com uma figura.

Translação de eixos

Observando bem as figuras que representam os nove tipos de quádricas estudadas, vemos que quase todas têm uma “espécie de centro” na origem. Acontece que em muitos casos essa “espécie de centro” está deslocada da origem, como mostra o exemplo 3.

Exemplo 3

Identifique e esboce o gráfico da quádrica dada pela equação

x x y y z z

Solução

Vamos usar a técnica de completar os quadrados em cada uma das variáveis x, y e z.

Para x, temos

x x x x x x x x x –


Para y, vem

y y y y y y y2 y (y

Para z, fica

z z z z z

Substituindo essas expressões na equação inicial, obtemos

x y z

ou ainda

x y z

o que dá

.

Introduziremos um novo sistema de coordenadas x', y' e z', sendo x' xy' y z' z . Assim, ficamos com

,

ou seja,

.

Sabemos que essa equação representa um elipsóide de semi-eixos e no novo sistema de coordenadas com centro na origem. Enquanto no velho sistema de coordenadas, o centro é o ponto C . A figura seguinte representa essa quádrica.

Figura 12 – O elipsóide de equação x x y y z z

z

x

y

t

v

xy

v

z


Nota – Diz-se que o sistema x', y', z' anterior foi obtido do sistema x, y, z pela translação do vetor .

De um modo geral, dado um sistema de coordenadas x, y, z, se x', y', z' são tais que x' x h, y' y k, z' z l, dizemos que esse sistema de coordenadas é obtido do antigo pela translação do vetor h,k,l . Veja que se um vetor v tem coordenadas (x,y,z no antigo sistema, então as coordenadas x',y',z' do vetor v', no sistema novo e de mesma extremidade que v, são obtidas observando que v t v', sendo t h,k,l no sistema antigo. Isso significa que

x,y,z h,k,l x',y',z' x' h, y k', z'

ou seja,

x x' h x x hy y' k y' y – kz z' l z' z – l,

o que justifica o termo translação usado anteriormente. A figura a seguir descreve geometricamente essa discussão.

Figura 13 – Translação de eixos coordenados


Observação 1 – Usando a técnica de completar os quadrados, vamos verificar que qualquer equação do tipo

,

sendo A , B e C , representa uma quádrica. De fato, somando-se os

termos ee a ambos os membros dessa equação, obtemos

ou ainda

mas

.

Feito isso, podemos escrever a equação inicial como

.

Seja

,


Continuando os exercícios

3Identifique e esboce o gráfico das quádricas representadas pelas equações:

a) y y z z

b) x x – z

c) .

então,

.

Introduziremos o novo sistema de coordenadas x', y', z', sendo

e chamando

a equação transforma-se na equação padrão de uma quádrica, a saber

.

Caso G' , obtemos

Ax' By' Cz' ,

que representa também a equação padrão de uma quádrica. Observe que a transla-ção de eixos do sistema x, y, z para o sistema x', y', z' foi feita através do vetor

.


ResumoNesta aula, estudamos as quádricas que são análogas no espaço às cônicas no plano. Vimos também que qualquer equação do segundo grau nas variáveis x, y, z sem termos do tipo xz, xy ou yx representa um dos nove tipos de quádricas tratados aqui.

Auto-avaliação

No cone elíptico de equação , identifique e esboce os

gráficos das seções dessa quádrica com os planos que contêm o eixo z, isto é, os planos de equação y kx.

Identifique e esboce a interseção dos planos paralelos ao plano xy, isto é, dos

planos z k, com o parabolóide hiperbólico de equação

a > 0, b > . Considere os casos em que k > 0, k = 0 ou k < 0.

Diga o nome e a equação da quádrica representada na Figura 14.

1

2

3

Figura 14 – Representação de uma quádrica


Sugestões para a resolução dos exercícios

1. Basta verificar que cada ponto Pt satisfaz a equação do cone.

2. Deduza que qualquer ponto sobre a reta que passa por P x,y,z e é paralela ao eixo z é do tipo x,y,t z , t .

3.

a) Complete os quadrados para concluir que se trata de um cilindro elíptico com eixo

paralelo ao eixo x e centro no ponto .

b) Complete o quadrado na variável x para obter a equação de um cilindro parabólico.

c) Ao completar os quadrados em x, y, z, aparece naturalmente a equação de um hiperbolóide de uma folha.

Referência

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mcgraw – Hill, 1987. 2 v.


Anotações

disciplina geometria analítica e números complexos

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