geometria analítica: sistemas de coordenadas

Sistema de coordenadas retangularesSistema de coordenadas cilındricas

Sistema de coordenadas esfericas

Geometria Analıtica: sistemas de coordenadas

Prof. Angelo Aliano Filho

Universidade Tecnologica Federal do Parana

22 de Marco de 2018

Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica



Sumario

1 Sistema de coordenadas retangulares

2 Sistema de coordenadas cilındricas

3 Sistema de coordenadas esfericas




Sistema de coordenadas retangulares

O sistema de coordenadas tri-dimensional retangular apresentauma origem O e tres eixos que orientam o sistema, descritos porx, y e z, como a seguir

Figura: Eixos e sistema de coordenadas retangular





Cada ponto P = (a, b, c) ∈ R3 possui sua representacao nestesistema segundo a figura a seguir:

Figura: Representacao de um ponto em R3





Figura: Planos coordenados

No plano xy =⇒ z = 0

No plano xz =⇒ y = 0

No plano yz =⇒ x = 0

Alem disto:

No eixo x=⇒ y = 0 ∧ z = 0

No eixo y=⇒ x = 0 ∧ z = 0

No eixo z=⇒ x = 0 ∧ y = 0





Superfıcies cilındricas no sistema retangular cartesiano

Uma equacao que contem somente duas das tres variaveis x, y ez representa um cilindro. A superfıcie pode ser obtidafazendo-se o grafico da curva no espaco das duas variaveis queaparecem e transladando paralelamente na direcao do eixo davariavel faltante.





Exemplo

Esboce o grafico em R3 de

x2 + z2 = 1 z = sin y





0

1

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

xy

z

Figura: Cilindro x2 + z2 = 1

−20

2

0 2 4 6

−1

0

1

xy

z

Figura: Calha senoidal z = sin y





Exemplo

O que representam as equacoes no R3 dadas por:

z = 3

y = 5

x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1 ∧ z = 3





−20

2

−2 −1 0 1 2

2.5

3

3.5

xy

z

Figura: Plano z = 3

−2

0

24.5 5 5.5 6

−2

0

2

xy

z

Figura: Plano y = 5

0

1−0.5 0 0.5

−2

0

2

xy

z

Figura: Cilindro de raio 1

0

1−0.5 0 0.5

2.5

3

3.5

xy

z

Figura: Circunferencia noespaco





Formula de distancia entre dois pontos em R3

A distancia entre os pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) edada por

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Exemplo

Determine uma equacao para o lugar geometrico de todos ospontos do espaco que distam 2 unidades do ponto (1,−1, 2).





Equacao da esfera

Uma esfera de raio r e centro em P0 = (x0, y0, z0) possui aseguinte equacao no sistema cartesiano xyz:

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Exemplo

Determine o centro e o raio da esfera de equacao cartesiana

x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 8z + 17 = 0.




Sistema de coordenadas cilındricas

Representacao

No sistema de coordenadas cilındricas, qualquer ponto possui ascoordenadas (r, θ, z), sendo r a distancia da projecao do pontono plano xy a origem, θ o angulo que esta projecao faz com oeixo x e z a altura do referido ponto.

Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas cilındricas





No sistema carteziano retangular, as equacoes na forma x = x0,y = y0 e z = z0, determinam planos paralelos aos eixoscoordenados, como a seguir:






No sistema de coordenadas cilındrico, as equacoes na formar = r0, θ = θ0 e z = z0, determinam, respectivamente, umacircunferencia de raio r0, um plano passando pelo eixo z comangulo de θ0 com o eixo x e um plano horizontal de altura z0






Conversao de coordenadas

(x, y, z) 7−→ (r, θ, z) use

r =√x2 + y2, θ = arctan

y

x, z = z,

(r, θ, z) 7−→ (x, y, z) use

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

com 0 ≤ θ < 2π e r ≥ 0.





Exemplo

Determine as coordenadas retangulares do ponto decoordenadas cilındricas

(r, θ, z) = (4, π/3,−3)

Exemplo

Determine duas maneiras de representar o ponto decoordenadas cartesianas (3,−3, 7) em coordenadas cilındricas.





Equacoes de superfıcies em coordenadas cilındricas

Escreva as equacoes em R3 a seguir em coordenadas cilındricas.

z =√x2 + y2

x2 + y2 = 1

x2 + y2 + z2 = 1

z = x2 + y2





Representacao

No sistema de coordenadas esfericas, qualquer ponto possui ascoordenadas (ρ, θ, φ), sendo ρ a distancia do ponto a origem, θ oangulo que a projecao do ponto no plano xy faz com o eixo x eφ o angulo que a projecao do ponto faz com o eixo z.

Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas esfericas





A superfıcie ρ = ρ0 consiste de todos os pontos cuja distancia ρe fixa. Isto sera uma esfera de raio ρ0.

Figura: Representacao dos pontos ρ = ρ0





A superfıcie θ = θ0 e um plano que contem o eixo z e faz umangulo θ0 com o eixo x

Figura: Representacao dos pontos θ = θ0





A superfıcie φ = φ0 consiste de todos os pontos cujo angulo como eixo z e φ0. Isso e um cone com vertice na origem.

Figura: Representacao dos pontos φ = φ0





Figura: Coordenadas esfericas





Conversao de coordenadas entre retangulares e esfericas

(ρ, θ, φ) 7−→ (x, y, z) use

x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ

(x, y, z) 7−→ (ρ, θ, φ) use

ρ =√x2 + y2 + z2, θ = arctan

y

x, φ = arccos

z√x2 + y2 + z2

com 0 ≤ θ < 2π, r ≥ 0 e 0 ≤ φ < π.





Conversao de coordenadas entre cilındricas e esfericas

(r, θ, z) 7−→ (ρ, θ, φ) use

ρ =√r2 + z2, θ = θ, φ = arctan

r

z

(ρ, θ, φ) 7−→ (r, θ, z) use

r = ρ sinφ, θ = θ, z = ρ cosφ

com 0 ≤ θ < 2π, ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ < π.





Exemplo

Determine as coordenadas retangulares e cilındricas do ponto(ρ, θ, φ) = (2, 4π/3, π/4)

Exemplo

Determine as coordenadas esfericas do ponto de coordenadasretangulares (4,−4, 4

√6)





Equacoes de superfıcies em coordenadas esfericas

Escreva as equacoes em R3 a seguir em coordenadas esfericas.

z =√x2 + y2

x2 + y2 = 1

x2 + y2 + z2 = 1

z = x2 + y2


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