geometria analitica sistemas de coordenadas

Elaborado según la Reforma curricularcon un enfoque educativo centrado en el aprendizaje.

Matemáticas 3

Mat

emát

icas

3

Arturo Méndez HinojosaArturo Méndez Hinojosa

BACH

ILLE

RAT

O

Matemáticas 3 ayuda a comprender la geometría analítica desde una perspectiva sencilla y amena, que va más allá de la ejecución de fórmulas; además le da un especial énfasis a la comprensión lectora, ya que la adecuada interpretación de la información permite la solución de problemas, por ello incluye la sección Leyendo matemáticas donde se plantean, entre otros, problemas geométricos relacionados con la vida cotidiana y la educación ambiental, tales como calcular la distancia que viaja la mariposa Monarca para hibernar en nuestro país. Asimismo está enriquecida con abundantes ejercicios, actividades, lecturas y curiosidades matemáticas.

Desarrollada con una pedagogía centrada en el aprendizaje, esta obra te brinda la posibilidad de entender la representación de los lugares geométricos y su aplicación a través de ejercicios y modelos matemáticos relacionados con la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola; así aprenderás a observar, comparar, relacionar, razonar en forma abstracta y analítica para plantear y resolver problemas geométricos. Esperamos que aprendas mucho y te diviertas.

Matematicas 3 DGB cover.indd 1Matematicas 3 DGB cover.indd 1 3/7/07 7:03:04 PM3/7/07 7:03:04 PM

El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección

de Clemente Merodio López.

Matemáticas 3Elaborado según la Reforma curricular

con un enfoque educativo centrado en el aprendizaje

Arturo Méndez Hinojosa

El libro Matemáticas 3 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo

EDIC IÓN Miriam Romo Pimentel y Catalina Pelayo Rojas COORDINACIÓN EDITORIAL Roxana Martín-Lunas Rodríguez REVIS IÓN TÉCNICA Aurora Escobar Uña CORRECCIÓN DE EST ILO Carlos del Razo Flores DISEÑO DE INTER IORES Pedro Molinero Molinero DISEÑO DE PORTADA Leonardo Pérez Ramírez y José Francisco Ibarra Meza COORDINACIÓN DE DISEÑO E ICONOGRAF ÍA José Francisco Ibarra Meza INVEST IGACIÓN ICONOGRÁF ICA Nelly Pérez Islas, Miriam Romo Pimentel y Juan Miguel Bucio Trejo I LUSTRADOR Marco Alejandro Pérez Galicia FOTOGRAF ÍA

Archivo Santillana, Ablestock DIAGRAMACIÓN Quinta del Agua Ediciones SA. de CV.

EDITORA EN JEFE DE BACHILLERATO Roxana Martín-Lunas Rodríguez GERENCIA DE INVEST IGACIÓN Y DESARROLLO Armando Sánchez Martínez GERENCIA DE PROCESOS EDITORIALES Laura Milena Valencia Escobar GERENCIA DE DISEÑO Mauricio Gómez Morin Fuentes COORDINACIÓN DE ARTE Y D ISEÑO José Francisco Ibarra Meza COORDINACIÓN DE S ISTEMAS EDITORIALES Víctor Manuel Vallejo Paquini DIGITAL IZAC IÓN DE IMÁGENES José Perales Neria • Gerardo Hernández Ortiz

María Eugenia Guevara Sánchez FOTOMECÁNICA ELECTRÓNICA Gabriel Miranda Barrón • Manuel Zea Atenco

Benito Sayago Luna

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D.R. © 2007 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 767, 03100, México, D. F.

ISBN: 978-970-291-862-2 Primera edición: marzo de 2007.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México.

Presentación

Matemáticas 3 ofrece una perspectiva diferente de la geometría analítica, utilizando patrones sencillos para desarrollar el pensamiento matemático, sin perder de vista las bases adquiridas sobre geometría euclidiana. De modo que la obra desarrolla los temas, trascendiendo las fórmulas para que visualices un problema de manera gráfi ca y en enseguida lo resuelvas a través de la obser-vación, logrando así un aprendizaje signifi cativo.

Aprender matemáticas exige constancia y empeño, por ello la obra contie-ne diversos ejercicios que te introducirán en el fascinante mundo de la geo-metría analítica. Incluye además problemas de la vida cotidiana con un lenguaje ameno y sencillo; ejemplos descritos paso a paso para su resolución y ejerci-cios para practicar operaciones y procedimientos.

Cada unidad cuenta con diversas secciones que contribuyen a una me-jor comprensión del tema:

■ Tú si sabes matemáticas. Es una evaluación diagnóstica para que descubras tus conocimientos previos del tema a desarrollar.

■ Leyendo matemáticas. Problemas matemáticos aplicados a la vida cotidiana con información relevante, para lograr una aplicación práctica y establecer un vínculo con tópicos actuales. Además da cuenta de la importancia de la comprensión lectora para asimilar un problema.

■ Evaluación sumativa. Mediante una serie de ejercicios variados, po-drás verifi car lo aprendido e identifi car los temas que es necesario retomar.

■ Las matemáticas y sus aplicaciones. Presenta una lectura relaciona-da con el tema de la unidad y muestra el vínculo de la matemática con otras áreas del conocimiento.

■ Recapitulación. Ofrece una síntesis de los conceptos relevantes abordados.

Matemáticas 3 propicia la construcción del conocimiento con ejerci-cios y actividades variadas que permiten dar signifi cado a los procedimien-tos clásicos de la geometría; aquí convergen diversos años de experiencia que he adquirido como docente, los cuales me han brindado un pano-rama completo para crear una obra didáctica y amena, la cual te llevará de la mano al estudio de la geometría analítica. Espero la disfrutes.

Arturo Méndez Hinojosa

Matemáticas 3 .......UNIDAD1

Sistema de ejes coordenados 6Introducción 8Tú sí sabes matemáticas 91. Coordenadas cartesianas de un punto 11 • Ejes coordenados 11 ■ Parejas ordenadas y sus elementos 13 ■ Igualdad de parejas 13 • Puntos en un plano 14 ■ Ejes cartesianos rectangulares 14 • Lugares geométricos 17 ■ Concepto de lugar geométrico 18 ■ Soluciones y gráfi cas 19 ■ Investigación de gráfi cas 24 ■ Tabulación de valores 292. Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos 33 • Segmentos rectilíneos 33 ■ Distancia entre dos puntos 34 ■ Segmentos de rectas dirigidos y no dirigidos 34 ■ Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 37 ■ Leyendo matemáticas 43 ■ División de un segmento en una razón dada 44 • Rectas 48 ■ Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 49 • Ángulo entre dos rectas 57 ■ Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 63 • Polígonos: perímetros y áreas 65Evaluación sumativa 70Las matemáticas y sus aplicaciones 73Recapitulación 76

UNIDAD 2 La línea recta 78Introducción 80Tú sí sabes matemáticas 811. Ecuaciones y propiedades de la recta 83 • Forma punto-pendiente 84 ■ Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos 84 ■ Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos 87 • Forma general de la ecuación de la recta 90 ■ La línea recta y la ecuación general de primer grado 90 ■ Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa 90• Forma pendiente ordenada al origen 92 ■ Intersección de una recta con el eje y y ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje y 93 • Pendiente como razón de cambio Δy/Δx 97 • Forma simétrica 99 ■ Casos especiales de la línea recta 104 • Forma normal de la ecuación de la recta 106 ■ Normal a una recta y distacia al origen 107 ■ Transformación de la forma general a la forma normal 107 ■ Distancia entre rectas paralelas 110 ■ Leyendo matemáticas 112 • Distancia entre un punto y una recta 113 ■ Distancias dirigidas y no dirigidas 114 ■ Rectas paralelas y perpendiculares 1152. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo 120 • Medianas, alturas, mediatrices y bisectrices 122Evaluación sumativa 128Las matemáticas y sus aplicaciones 132Recapitulación 136

.................................................

UNIDAD 3 La circunferencia 138Introducción 140Tú sí sabes matemáticas 1411. Caracterización geométrica de la circunferencia 142 • La circunferencia como lugar geométrico 142 • Elementos asociados con una circunferencia 144 • Formas de trazo de una circunferencia a partir de la defi nición 1452. Ecuaciones ordinarias de

la circunferencia 149 • Circunferencia con centro en el origen 149 ■ Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación de una circunferencia en el origen 152 ■ Leyendo matemáticas 154 • Circunferencia con centro fuera del origen 157 ■ Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación de una circunferencia fuera del origen 1593. Ecuación general de la circunferencia 163 • Conversión de la forma ordinaria a forma general 163 • Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia 167 • Conversión de la forma general a forma ordinaria 1724. Circunferencias concéntricas y circunscritas 1775. Circunferencia que pasa por tres puntos 1796. Circunferencia y otras secciones cónicas 186Evaluación sumativa 190Las matemáticas y sus aplicaciones 193Recapitulación 198

UNIDAD 4 Parábola, elipse e hipérbola 200Introducción 202Tú sí sabes matemáticas 2031. Caracterización geométrica de la parábola 205 • La parábola como lugar geométrico 205 • Elementos asociados con una parábola 206 • Formas de trazo a partir de la defi nición 2062. Ecuaciones ordinarias de la parábola 209 • Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen 209 • Obtención de la ecuación a partir de los elementos 210 • Obtención de la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen 2103. Ecuación general de la parábola 217 • Parábolas horizontales y verticales con vértice fuera del origen 217 ■ Obtención de la ecuación general de la parábola con vértice fuera del origen 217 ■ Leyendo matemáticas 231 ■ Obtención de los elementos a partir de la ecuación con vértice en el origen 2324. Caracterización geométrica de la elipse 236 • La elipse como lugar geométrico 237 • Elementos asociados con la elipse 237 • Ecuaciones ordinarias de la elipse 238 • Ecuación general de la elipse: elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen 2475. La hipérbola como lugar geométrico 259 • Elementos asociados con una hipérbola 260 • Ecuaciones ordinarias de la hipérbola 261 • Ecuación general de la hipérbola 261 • Ecuaciones de las asíntotas 261Evaluación sumativa 267Las matemáticas y sus aplicaciones 269Recapitulación 273

Sistema de ejescoordenados

UNIDAD 1

Resolverás problemas teóricos o prácticos del sistema de ejes coorde-nados. Para ello será necesario que previamente analices e investigues gráfi cas en las que se presenten coordenadas cartesianas de un punto y lugares geométricos que abarquen situaciones de tu entorno.

Aprenderás a traducir las gráfi cas al lenguaje verbal y aplicarás los conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos en la construc-ción de modelos matemáticos que faciliten el planteamiento de una situación, en un ambiente escolar de colaboración y responsabilidad.

En esta unidad

Elementos

Igualdad de parejas

Ejes cartesianos rectangulares

Abscisa y ordenada

Parejas ordenadas de números

Intersecciones con los ejes

Simetría con respecto al origen y los ejes

Tabulación de valores

Investigación de gráficas

Concepto de lugar geométrico

Soluciones y gráficas

Puntos en un plano

Segmentos rectilíneos

Rectas

Polígonos

División de un segmento en una razón dada

Segmentos de rectas dirigidos y no dirigidos

Longitud de un segmento y distancia entre dos puntos

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Perímetros

Áreas

Coordenadas cartesianas de un punto

Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos

Ejes coordenados

Lugares geométricos

Sistema de ejes coordenados

88

Int roducc ión La geometría analítica es una rama de la matemática que estudia la geometría euclidiana desde otra perspectiva; esto es, asocia una curva con una ecuación y utiliza el eje cartesiano como referencia. En principio esto puede parecer muy compli-cado, pero a través del curso verás que no lo es tanto; además en segundo semestre aprendiste los conceptos básicos de la geo-metría euclidiana, necesarios para comprender la geometría analítica En el siglo xviii, Descartes propuso que era factible relacionar el álgebra con la geometría y representar una fi gura geométrica mediante una ecuación de dos o más variables. El problema principal en que se enfoca la geometría analítica es encontrar la ecuación a partir de una gráfica, llamada lugar geométrico y viceversa.

En esta unidad aprenderás a calcular la distancia entre dos puntos sin utilizar una regla para medirla, simplemente con sa-ber su localización en el plano cartesiano y aplicando la fórmula

del teorema de Pitágoras podrás deducir qué distan-cia los separa. También estudiarás

cómo calcular qué ángulo tiene una línea recta (sin emplear un

transportador) al determinar su pendiente. ¿No te parece sorprendente?

Asimismo, utilizarás tus conoci-mientos previos acerca de cómo

localizar un punto y su posición respecto a un eje de referencia. Además, analizarás las relacio-nes entre el ángulo de una recta y su pendiente. Podrás obtener gráfi cas de un lugar geométrico, es decir la representación gráfi ca

de una ecuación, observando cómo cruza la curva los ejes cartesianos o si ésta es simétrica a ellos.

Todo esto representará una base para el estudio de las si-guientes unidades. ¡Bienvenido al fascinante estudio de la geo-metría analítica!

■ ◆ ■ ◆ ■ ◆ ■ Introducción

Sistema de ejes coordenados 1

9


9

Tú s í sabesmatemát icas…ate át cas

1 ¿Alguna vez has tenido la necesidad de localizar un lugar?, por ejemplo un salón de fi estas o algún museo cuando te encuen-tras de viaje. ¿Qué medios has utilizado para encontrarlo?

2 Menciona tres usos que tienen las coordenadas cartesianas. Puedes con-sultar tu libro de geografía para en-contrar algunos.

3 Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano de la derecha.

A(3, 8) B(−9, 1) C(0, 6)

10

4 Se tiene la ecuación de la recta y = x + 2. En los siguientes incisos coloca una V si el punto forma parte del resultado de la ecuación de la recta o una F si no constituye parte de ella.

(2, 3) ( ) (−5, 3) ( ) (−1, 1) ( ) (0, 0) ( ) (2, 0) ( ) (0, 2) ( )

5 Calcula la distancia entre A y B. Puedes hacerlo mediante un método gráfi co o algebraico y ayudarte con tus apuntes de los semestres anteriores.

1

–3

4

A(4, –3)

B(1, 1)

y

x

Tú s í sabesmatemát icas…ate át cas

■ ◆ ■ ◆ ■ ◆ ■ Introducción


11

Un plano cartesiano, como ya lo estudiaste, son dos líneas per-pendiculares cuyo punto de intersección se denomina origen.

Ejes coordenados Son aquellos que conforman el plano cartesiano. A la línea hori-zontal se le denomina eje x o de las ordenadas, y a la línea verti-cal eje y o de las abscisas.

Coordenadascartes ianas de un punto

y

x

Se denomina frecuencia al número de veces que se repite un

evento estadístico.

1 Registra en tu cuaderno las estaturas de todos los integrantes de tu grupo; posteriormente vacía la información en una hoja de rotafolio, en una tabla como la siguiente.

ESTATURA FRECUENCIA

2 Responde las siguientes preguntas. a ¿Cuál es la estatura más baja?

b ¿Cuál es la estatura más alta?

c ¿Qué medida se repite más?

■ ◆ ■ ◆ ■ ◆ ■ Coordenadas cartesianas de un punto

12

Sabermatemát icoate át co Se denomina frecuencia al número de veces que se repite un

evento estadístico.

Act iv idad 1

Material● Un fl exómetro● Papel bond tamaño

rotafolio● Plumones de colores

3 Traza una gráfi ca de barras en tu cuaderno donde muestres los resultados obtenidos. Las estaturas estarán representadas horizontalmente en el eje de las x, y la frecuencia en forma vertical en el eje de las y.

4 ¿Qué relación existe en este caso entre las estaturas y las fre-cuencias?

Parejas ordenadas de números y sus elementos En la actividad 1 ubicaste parejas ordenadas, es decir, repre-sentaciones matemáticas con un orden determinado, como la estatura y la frecuencia, que se expresan (a, b), en donde a y b son los elementos de la pareja ordenada.

Este concepto es indispensable para presentar los resultados mediante una gráfi ca de barras, lo cual permite interpretar la información de una manera más rápida y efi ciente.

Tanto la tabla como la gráfi ca incluyen la misma informa-ción; sin embargo, ¿en cuál de estas formas te es más fácil inter-pretar la información y por qué?

R

Igualdad de parejas Es importante resaltar que dos parejas ordenadas son iguales cuando ambos términos que las integran son exactamente igua-les. Es decir,

(a, b)=(x, y)si a=x y b=y

Por ejemplo, si tienes el par ordenado (3, 4) y quieres encon-trar otro que sea exactamente igual, el único que cumple dicha condición es (3, 4).


13

Act iv idad 1

Puntos en un plano

Ejes cartesianos rectangulares Si planteas lo siguiente: “El Ángel de la Independencia está muy lejos”. Es necesario indicar en relación con qué punto haces la referencia, puesto que si estás en el Centro Histórico esta afi rma-ción será falsa, pero si te encuentras en Ciudad Universitaria o en alguna colonia en las afueras del Centro Histórico, entonces será cierta. Por tanto, para localizar o determinar dónde está un obje-to, es necesario indicar a partir de qué punto nos referimos.

El punto que debemos determinar se denomina punto de re-ferencia y a partir de éste podemos mencionar qué tan lejos o cerca está un objeto: si está al Norte, al Sur, a la izquierda o a la derecha. En el plano cartesiano este punto se denomina origen.

Asimismo, cuando tratas de describirle a tus amigos en qué lugar se pueden encontrar para ir a una fi esta, necesitas saber en dónde están (punto de referencia) para indicarles hacia dónde deben dirigirse: al Norte, Sur, Oeste o Este.

Además, observa que de manera cotidiana siempre utiliza-mos parejas ordenadas para representar situaciones en las que


14

es necesario ubicar objetos. Por ejemplo, para localizar un punto en el plano cartesiano se utiliza la pareja ordenada P(x, y).

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones llama-das cuadrantes, los cuales se numeran de la siguiente manera.

Los ejes delimitan los cuadrantes, pero no pertenecen a ninguno

de ellos.


15

III

III IV

y

x

Sabermatemát icoate át coLos ejes delimitan los cuadrantes, pero no pertenecen a ninguno

de ellos.

1 Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano. A(5, 8) B(−7, 2) C(−4, −4) D(9, −6)

E(2, 0) F(0, −4) G(0, 0) H(−8, 0) I(0, 10) J(1.3, 3)

2 Investiga qué equipos han ganado un Mundial de futbol y en qué año; registra por lo menos 10. Con esta información for-ma parejas ordenadas.

3 En los siguientes ejercicios indica si se cumple la igualdad. Justifi ca tu respuesta.

a

b

c


16

Ejerc ic ios

y

x

d

e (–4, –8)=(4, 8)

4 En los siguientes pares ordenados indica cuál es la abscisa y cuál la ordenada.

ABSCISA ORDENADA

A(–8, 9)

B(7, –3)

C(4, 8)

D(–8, –3)

E(0, 0)

F(–6, 7)

H(0, 9)

I(4/3, 1/2)

Las parejas ordenadas presentan un orden determinado. Dos pa-

rejas ordenadas son iguales cuando los términos de cada una son

exactamente los mismos. Describe por qué.

Lugares geométricos

Forma una circunferencia con tus compañeros, tomados de las manos de la manera más uniforme posible. Tu profesor deberá colocarse en el centro mientras ustedes giran manteniendo la circunferencia sin que él se mueva de ahí.


17

Ejerc ic ios

¿Descubr is teque…?queLas parejas ordenadas presentan un orden determinado. Dos pa-

rejas ordenadas son iguales cuando los términos de cada una son

exactamente los mismos. Describe por qué.

Act iv idad 2

Responde las siguientes preguntas.

1 ¿Cambia la distancia que existe entre tus compañeros y el profesor? Justifi ca tu respuesta.

2 ¿Cómo defi nirías el movimiento de tus compañeros?

Concepto de lugar geométricoDefi nimos un lugar geométrico como la gráfi ca cuyos puntos satisfacen una ecuación algebraica con dos variables, que se colo-can en un plano cartesiano y tiene soluciones reales. La cantidad de puntos que forman la gráfi ca está directamente relacionada con el número de soluciones de la condición algebraica.

En otras palabras, toda pareja ordenada (x, y) de números reales que satisface una ecuación pertenece a la gráfi ca y es solu-ción de ella.


18

Act iv idad 2

En la actividad 2 todos los puntos de la circunferencia, que en este caso fueron tú y tus compañeros, equidistan en un punto fi jo: el profesor. Esa distancia, que es igual desde cada uno de los puntos de la circunferencia al punto fi jo, se denomina radio.

Es necesario defi nir un lugar geométrico cuando: ■ Se tiene una ecuación y es necesario encontrar el lugar geo-

métrico que representa.■ Se plantean algunas condiciones de un lugar geométrico y

nos piden hallar su ecuación.

Con base en la actividad anterior, podemos definir el lugar geométrico formado por tus compañeros, como los puntos que equidistan en un punto fijo (tu profesor), o como un punto que se mueve siempre a la misma distancia de un punto fi jo.

¿Cómo defi nirías la ecuación que representa la circunferencia formada por el grupo, considerando que tu profesor se encuen-tra en el origen de un plano cartesiano?

Soluciones y gráficasA continuación encontraremos la solución de algunos lugares geométricos, los cuales grafi caremos para una mejor comprensión.


19

USARPALABRAS

PARAENCONTRAR

UNLUGAR GEOMÉTRICO

ECUACIÓN PARAENCONTRAR

UNLUGAR GEOMÉTRICO

1 Observa cómo encontrar la ecuación y la gráfi ca que repre-senta los siguientes lugares geométricos:a La ordenada es el doble de la abscisa.

La ecuación que cumple con el planteamiento es:

y=2x

Tabulando y grafi cando: ■ Para x=–1, tenemos que: y=2x

y=2(–1)=−2 La pareja ordenada que se obtiene es (–1, –2).■ Para x=0, tenemos que y=2x y=2(0)=0 por tanto se forma la pareja ordenada (0, 0).■ Para x=1, tenemos que y=2x y=2(1)=2 por lo que tenemos (1, 2).

x y

–1 –2

0 0

1 2


20

Ejemplo

y

x

Cuando una ecuación contiene variables con potencia 1, el lugar geométrico que representa es una línea recta.

El resultado de una raíz cuadrada tiene un valor positivo y uno

negativo.

b El cuadrado de la ordenada es igual a 4 veces su abscisa. El planteamiento queda

y2=4x

Despejando y

Tabulando:■ Para valores de x=0, tenemos

Por tanto, la pareja ordenada es (0, 0).■ Para x =1 tenemos

y1= +2y2= −2

Por tanto, las parejas ordenadas son (1, 2) y (1, −2).■ Para x = 4 tenemos


21

Sabermatemát icoate át co

E jemplo

y1= +4y2= −4

Entonces se tienen los puntos (4, 4) y (4, −4).

La gráfi ca queda:

Observa que sólo se grafi caron valores de x positivos por-que la raíz cuadrada no está defi nida para valores negati-vos. Asimismo, cuando una de las variables en una ecua-ción está al cuadrado y la otra no, el lugar geométrico que forma es una parábola.

c La suma del cuadrado de la abscisa más el cuadrado de la ordenada es igual a 9.

El planteamiento quedaría:

x2+y2=9

Despejando y

Es importante que tengas en cuenta que el valor de 9 −x2 tiene que ser mayor que 0 debido a que las raíces negati-vas no están defi nidas en los números reales.


22

y

x

Ejemplo

9−x2≥0 x2≤9

Los valores que cumplen esta condición son:

−3≤x≤3

■ Para x=−3

Por tanto, el par ordenado queda (−3, 0).■ Para x = 0

y1= +3y2= −3

Así, las parejas ordenadas son (0, 3), (0, −3).■ Para x =3

El par ordenado queda (3, 0).

La gráfi ca es:


23

3

–3

–3

3

y

x

Ejemplo

Ejemplo

Cuando una ecuación tiene las dos variables con poten-cia 2 y además éstas tienen los mismos coefi cientes, el lu-gar geométrico que la representa es una circunferencia.

Investigación de gráficasCuando se tiene una ecuación de dos variables y se quiere grafi -car su lugar geométrico, es necesario analizar algunas propieda-des de las gráfi cas: Intersecciones con los ejes. Son los valores en los que la línea

del lugar geométrico cruza los ejes coordenados. ■ El punto en el que la gráfi ca corta el eje de las “x” sucede

cuando y=0.■ El punto en el que la gráfi ca corta el eje de las “y” sucede

cuando x=0.

Simetría. En un plano cartesiano, dos puntos son simétricos si están a la misma distancia de un punto (x0, y0).


24

Existen dos tipos de simetría:■ Con los ejes Si f (x)= f (−x) es simétrica respecto al eje “y” Si f (y)= f (−y) es simétrica respecto al eje “x”■ Con el origen Si se cumplen las dos condiciones anteriores.

1 Observa las siguientes gráfi cas. Indica las coordenadas de los puntos en donde las gráfi cas cortan a los ejes.


25

B C

Los puntos B y C son simétricos respecto a P(x0 , y0 )

P(x0 , y0 )

y

x

Act iv idad 3

5

5

–5

–5

–4

–4

–3–2

3

4

1

3

y y

yy

x

x x

x

26

2 Responde las siguientes preguntas.¿Cuáles son simétricas a los ejes?

¿Cuáles son simétricas con el origen?

Recuerda que todo número multiplicado por cero es igual a 0.

1 Observa cómo representar las siguientes ecuaciones:

a 5x –3y –15=0■ Intersección con los ejes: Con el eje x

Sustituimos y=0 y resolvemos:

La intersección con x es en (3, 0). Con el eje y

Sustituimos x=0 y resolvemos:

La intersección con y es en (0, −5).

Act iv idad 3

Sabermatemát icoate át co Recuerda que todo número multiplicado por cero es igual a 0.

Ejemplo



27

■ Simetría Debido a que la potencia de las x es 1 y, por tanto, repre-

senta una línea recta, no se presentan simetrías.

La gráfi ca se muestra a la derecha.

b 36x2+64y2=2304■ Intersección con los ejes:

Con el eje x Sustituimos y = 0 y resolvemos:

Por tanto, las parejas ordenadas son (8, 0) y (−8, 0).Con el eje y Sustituimos x=0 y resolvemos:

Por tanto, las parejas ordenadas son (0, 6) y (0, −6).

Toda expresión negativa elevada a potencia par tendrá como re-

sultado un valor positivo.

(neg)par = positivo

–5

3

y

x

Sabermatemát icoate át coToda expresión negativa elevada a potencia par tendrá como re-

sultado un valor positivo.

(neg)par = positivo

Ejemplo

■ Simetría La ecuación contiene potencias pares en x y y, por lo

que será simétrica en ambos ejes.

36x2+64y2=2304

Para saber si es simétrica con el eje x sustituimos x por –x.

36(−x)2+64y2=2304 36x2+64y2=2304

Como queda la misma ecuación decimos que el lugar geométrico es simétrico con el eje x. Lo mismo ocurre para y.

La gráfi ca se muestra a la izquierda.

c x2−2x+y−24=0■ Intersección con los ejes:

Con el eje x Sustituimos y=0

x2−2x+y−24=0x2−2x+(0)−24=0 x2−2x−24=0

Resolviendo por factorización

(x–6)(x+4)=0

x−6=0, por lo tanto, x=6 x+4=0, por lo tanto, x=−4

Las parejas ordenadas son (6, 0) y (−4, 0).

6

3

84

–3

–6

–8 –4

y

x

Ejemplo


28

Con el eje y Sustituimos x=0 y resolvemos

02−2(0)+y−24=0 y–24=0

y=24

Es decir, el punto está dado por (0, 24).■ Simetría La curva no es simétrica para ninguno de los ejes ni

para el origen, solamente para la recta x = 1, que es el punto medio entre las dos intersecciones con el eje x.

La gráfi ca se muestra a la derecha.

Tabulación de valores Existen diferentes aspectos de la vida en los que es necesario ordenar información para disponer de ella de manera rápida y efectiva. La lista de precios en una tienda, tus califi caciones por materia..., son ejemplos en los que aplicas tablas para organizar la información.

25

–4 6

5

15

10

20

y

x

Ejemplo


29

30

La tabulación se refi ere a los datos que colocas en la tabla. En algunos de los ejercicios anteriores tabulaste valores de x

para encontrar los de y.¿Recuerdas que tabulaste las estaturas de tus compañeros y

realizaste una gráfi ca con dichos datos? En una tabulación el eje de las x siempre tendrá las variables

independientes, es decir, aquellas que no dependen de algún factor para existir. En el eje de las y se colocarán las variables dependientes. En el ejercicio donde registraste la estatura de tus compañeros, ésta constituye la variable independiente, por-que no se relacionan entre sí las estaturas de cada persona, es decir, son independientes entre ellas. Asimismo la frecuencia depende de cuántas personas coinciden en la misma estatura.

1 Un lugar geométrico tiene simetría con el origen y con los

ejes. Fundamenta tu respuesta.

2 ¿Cómo puedes reconocer qué lugar geométrico pertenece a

una ecuación?

1 Grafi ca tabulando las siguientes ecuaciones.a y=x2–1

b

c

¿Descubr is teque…?que 1 Un lugar geométrico tiene simetría con el origen y con los

ejes. Fundamenta tu respuesta.

2 ¿Cómo puedes reconocer qué lugar geométrico pertenece a

una ecuación?

Ejerc ic ios



31

2 Encuentra las intersecciones con los ejes coordenados de los siguientes lugares geométricos.a 4x2+9y2=36

b y2–12x=0

c x2+y2–25=0

d 2x–3y–12=0

3 Investiga si los siguientes lugares geométricos tienen simetría con los ejes cartesianos o con el origen.a x2+y2–1=0

b x–y=0

c 9x2+y2=9

4 Elabora en tu cuaderno un mapa conceptual sobre lo apren-dido hasta este momento.

5 Compara tu mapa con el de tus compañeros y verifi ca:a ¿Incluiste los conceptos de manera ordenada?

Sí __________________________________ No __________________________________

Ejerc ic ios

b ¿Es posible observar cuáles son los conceptos simples y cuáles los complejos?

Sí __________________________________ No __________________________________

c ¿Qué elementos le faltaron?

6 Elabora nuevamente el mapa conceptual pero ahora incor-pora los elmentos que consideres importantes y antes habías omitido.

Ejerc ic ios


32

Segmentos rectilíneos

1 Camina de tu casa hacia la esquina de tu calle, observa y ano-ta quiénes son tus vecinos y el número de su casa. Represén-talo en un plano cartesiano. Ubica en el origen tu casa, y a partir de ella traza un croquis de la calle donde vives, toman-do como base los ejes cartesianos.

2 Responde las siguientes preguntas:a ¿Es la misma cantidad de casas si las cuentas desde la tuya

hacia la esquina que al revés? Justifi ca tu respuesta. b ¿Infl uye el orden en que cuentas las casas para que elabo-

res la lista de tus vecinos? Justifi ca tu respuesta.

Conceptos bás icos sobre rectas , segmentos y pol ígonos

Act iv idad 4


33

Distancia entre dos puntos

El valor absoluto de un número a se representa |a| y simboliza la

distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Su resul-

tado siempre es positivo.

Segmentos de rectas dirigidos y no dirigidosLlamamos segmento a la porción de recta comprendida entre dos puntos denominados extremos.

Ubica en una recta numérica los puntos P(3) y Q(8). ¿Cómo cal-cularías la distancia entre ellos?

La forma más sencilla sería contar cada uno de los números que existen entre ellos. Sin embargo, cuando se refi ere a dos puntos que no son enteros, la operación se complica.

Para encontrar el resultado sólo debemos obtener el valor ab-soluto de la diferencia que existe entre ellos, sin importar su po-sición en la recta numérica. Si trazas una línea entre ellos obten-drías un segmento, es decir, un tramo de recta defi nida por dos puntos con longitud determinada y cuyo valor sería la distancia entre ambos puntos. Cuando calculamos la distancia sin impor-tar el sentido se dice que se tiene un segmento no dirigido.

Sabermatemát icoate át co El valor absoluto de un número a se representa |a| y simboliza la

distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Su resul-

tado siempre es positivo.

A B

Segmento AB

QP

10 2 3 4 5 6 7 8

■ ◆ ■ ◆ ■ ◆ ■ Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos

34

d = |x2–x1|=|x1–x2|

Esto signifi ca que la distancia medida de x2 a x1 es la misma que de x1 a x2.

Realiza en tu cuaderno una lista con los apellidos de las familias que habitan en las casas ubicadas entre la tuya y la esquina de tu calle.

En la actividad 4, cuando contaste las casas que hay entre la tuya y la esquina de tu calle, descubriste que suman exactamen-te la misma cantidad que si las contaras a partir de la esquina a tu casa. Sin embargo, en esta actividad, al hacer una lista con el apellido de la familia que vive en cada una de esas casas, descu-brimos que sí importa el sentido en el que las colocas.

Observa que cuando en una recta numérica indicamos el senti-do para calcular la longitud entre dos puntos, nos referimos a un segmento dirigido.

El concepto segmento dirigido se aplica en la física cuando se re-

presentan magnitudes vectoriales, como el desplazamiento, la

fuerza o el trabajo, entre otras.

Act iv idad 5

QP

Distancia de P a Q = +5

Distancia de Q a P = –5

3 4 5 6 7 8 9 10

QP

3 4 5 6 7 8 9 10


El concepto segmento dirigido se aplica en la física cuando se re-

presentan magnitudes vectoriales, como el desplazamiento, la

fuerza o el trabajo, entre otras.


35

36

1 Observa cómo calcular la longitud de los segmentos no diri-gidos dados por los siguientes pares de puntos.

a A(7) y B(9) Consideramos x1=7, x2=9

d = |7–(9)|=|7–9|=|–2|=2

Con esto concluimos que la distancia no dirigida que exis-te entre A(7) y B(9) es igual a 2. El resultado es positivo por el valor absoluto.

b C(–8) y D(4)

d=|–8–(4)|=|–8–4|=|–12|=12

c Q(–7) y R(–8)

d=|–7–(–8)|= |–7 + 8|=1

d

Ejemplo



37

Sabermatemát icoate át co¿Sabías que a la recta numérica también se le llama sistema uni-

dimensional porque sólo tiene una coordenada?

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

El teorema de Pitágoras se defi ne como “el cuadrado de la hipo-

tenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Sabermatemát icoate át coEl teorema de Pitágoras se defi ne como “el cuadrado de la hipo-

tenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

38

Observa el triángulo que se forma en la fi gura mostrada a la iz-quierda. Los catetos tienen una longitud, la cual es la diferencia entre las abscisas y las ordenadas. Aplicamos el teorema de Pitá-goras considerando la distancia entre P1 y P2 como la hipotenusa.

d2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2

Despejando d

Con esta fórmula podemos calcular la distancia entre dos pun-tos cualesquiera ubicados en un plano cartesiano. Es la fórmula más importante de la geometría analítica, ya que nos permite obtener las ecuaciones de las cónicas, esto lo estudiaremos más adelante en otras unidades.

Es necesario determinar que la distancia es un segmento no dirigido, ya que es la misma del punto P1 a P2 que en sentido contrario. Antes de iniciar con la resolución de problemas con-sidera lo siguiente:

1. Tú eliges cuál es el punto P1(x1, y1) y cuál el punto P2(x2, y2).2. Ten precaución de colocar primero la coordenada x y luego

la y del punto.3. No mezcles subíndices, es decir, no debes colocar (x1, y2) o

(x2, y1).4. Maneja correctamente las leyes de los signos de la suma y de

la multiplicación. Consulta tus apuntes de Matemáticas del primer semestre.

Recuerda que el perímetro de

una fi gura geométrica se

obtiene sumando

la longitud de

sus lados.

d

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

y2 – y1

x2 – x1

y

x


Sabermatemát icoate át co Recuerda que el perímetro de

una fi gura geométrica se

obtiene sumando

la longitud de

sus lados.


39

1 Observa cómo calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos en el plano cartesiano.

A(–3, 8) y B(9, –6) x1, y1 x2, y2

Sustituimos en la fórmula

Resolviendo los paréntesis

Como la raíz es un número irracional, se deja indicada.

2 Observa cómo encontrar el perímetro de un triángulo dado por los puntos: P(3, 3), Q(−4, 2) y R(−1, −4). Lo primero es dibujar los puntos en el plano cartesiano y unirlos con seg-mentos de recta.

Después es necesario obtener la longitud de los lados PQ, QR y RP, para lo cual aplicaremos la fórmula de distancia en-tre dos puntos para cada una de las parejas que forman los lados del triángulo.

■ Longitud del lado , P(3, 3) y Q(−4, 2)

■ Longitud del lado , Q(−4, 2) y R(−1, −4)

Ejemplos

Q(–4, 2)

P(3, 3)

R(–1, –4)

y

x

40


E jemplos


■ Longitud del lado , R(−1, −4) y P(3, 3)

Para encontrar el perímetro sumamos las tres longitudes.

Como sus tres lados son de diferente longitud, el triángulo es escaleno.

Recuerda la expresión matemática

3 Para demostrar que el triángulo dado por los puntos A(0, 9), B(−4, −1) y C(3, 2) es un triángulo rectángulo, debemos obte-ner primero las longitudes de sus lados.■ Para el lado

■ Para el lado

■ Para el lado


41

Como debemos demostrar que el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras.

Entonces consideramos:

Como sí se cumple el teorema de Pitágoras, podemos afi rmar que el triángulo ABC es rectángulo.

1 Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos.a A(7, 9) B(8, 8)

b R(4, −4) S(7, 5)

c D(8, 0) G(0, 8) d A(−8, −6) K(−8, 6)

e F(4, −9) T(−1, −10)

f A(3/4, –2/5) B(8/13, 7/15)

g S(–8/7, –1/6) J(4, 8/7)

h Q(–2/11, –1) T(4/3, –8)

2 Calcula la longitud del perímetro de los triángulos cuyos vér-tices son:a (−9, 7), (−3, −5), (7, 2)

b (4, 0), (0, 7), (–4, −6)

c (−1, 6), (−3, −3), (−8, 2)

3 Demuestra que el triángulo dado por los puntos coordenados S(2, 3), R(−2, −4) y T(6, −4) es un triángulo isósceles. Justifi ca tu respuesta.

Ejemplos

Ejerc ic ios

42

¿Descubr is teque…?que

4 Demuestra que el triángulo cuyos vértices son los puntos (10, 5), (6, −5) y (3, 2) es rectángulo. Fundamenta tu respuesta.

5 Demuestra que los puntos (2, 2), (4, 4) y (−1, −1) son colinea-les. Justifi ca tu respuesta.

1 La diferencia entre |4−6| es la misma que |6−4|. Fundamenta

tu respuesta.

2 ¿Cómo localizar puntos en el plano cartesiano?

3 ¿Cómo determinar las coordenadas de los puntos para aplicar

la fórmula de la distancia entre dos puntos?

Ejerc ic ios



43

Lee con atención y responde.La mariposa Monarca realiza un largo viaje desde el sur de

Canadá y el norte de Estados Unidos hasta los bosques de pino y oyamel en Michoacán y el Estado de México. Esto ocurre cuan-do inicia el otoño para hibernar en nuestro país y poder aparear-se. La migración abarca tres países: Canadá, Estados Unidos y México. El siguiente mapa representa dicha migración. Calcula la distancia aproximada que viaja la mariposa considerando 1 cm = 1000 km, si parte de Montreal o de Toronto. Aplica la fórmula de la distancia.

Leyendomatemát icas

Dallas

1

2

3

4

–4

–3

–2

–1

2 3 4–4 –3 –2 –1

Oklahoma

Lawrence

Ottawa

TorontoCataratasdelNiágara

Knoxville

Montreal

Austin

Monterrey

Saltillo

San Luis Potosí

QuerétaroMorelia

Valle de Bravo

44

División de un segmento en una razón dada

Llamamos razón a la relación entre dos cantidades, ya sea como

diferencia: a − b, o como cociente: a/b.

Observa la siguiente gráfi ca y responde.

1 ¿Cuántas veces es más grande el segmento con respecto al segmento ?

2 ¿Qué razón existe entre los dos segmentos ?

3 Si quisiéramos duplicar la longitud del segmento para que se siga manteniendo la relación entre los lados, ¿cuál debe ser la nueva longitud del segmento ? Justifi ca tu respuesta.

4 ¿Se podría seguir manteniendo la relación de alguna forma si se sumaran 4 unidades al segmento ?

5 ¿Es lo mismo ?



Llamamos razón a la relación entre dos cantidades, ya sea como

diferencia: a − b, o como cociente: a/b.

Act iv idad 6

P1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P P2


45

6 ¿Cuánto valdría la razón si el punto P estuviera exactamente a la mitad?

En la gráfi ca de la actividad anterior, el segmento ha sido dividido en dos segmentos, . La razón, es decir, el co-ciente de las longitudes que existe entre ellos, representará la can-tidad de divisiones en las que se quiere fraccionar el segmento.

La razón se defi ne como:

considerando que las dimensiones se miden con respecto a P1.Cuando la división se refi ere a un par de puntos localizados

en un plano cartesiano tenemos:

Un caso especial es cuando la relación entre ambas longitudes es igual a 1, es decir, cuando se divide exactamente a la mitad.

La fórmula quedaría:

Y representa la fórmula para encontrar las coordenadas de un punto medio entre dos puntos.

1 Grafi ca en hojas milimétricas un plano cartesiano que con-tenga los puntos A(−1, 3), B(7, −5) y C(3, −1).

Act iv idad 6

Act iv idad 7

46

2 Mide con una escuadra las distancias de .

3 ¿Qué longitud tienen las distancias?

4 Si dividieras entre sí las dos longitudes, ¿cuál sería el resulta-do de la razón o cociente?

Como habrás observado, la relación que existe entre las longitu-des de los segmentos es igual a 1 y esto nos indica que uno de los puntos está exactamente en medio, porque ambas longitudes son iguales.

1 Para encontrar las coordenadas del punto medio entre A(−1, 3) y B(7, −5), sustituimos en la fórmula

2 Para encontrar las coordenadas de dos puntos que dividan al segmento dado por los puntos P1(−3, 8) y P2(8, 9) en tres par-tes iguales.

Como se observa en la fi gura de la siguiente página, es ne-cesario encontrar dos puntos para que el segmento quede di-vidido en tres partes iguales.

Para el punto A, el segmento tiene una razón de 1/2 respecto a la longitud del segmento , respecto al punto P1.


Act iv idad 7

Ejemplos


47

Sustituyendo en la fórmula

Considerando P1(−3, 8) y P2(8, 9), obtenemos las coordenadas del punto A

Las coordenadas del punto B

P1

P2A B

y

x–6 –4 –2 2

2

4

6

8

4 6 8

Ejemplos

48


Realiza un mapa conceptual en el que representes la clasifi cación de las líneas notables del triángulo y aparezcan sus diferencias.

Rectas

La velocidad se defi ne como la variación de la distancia entre la

variación del tiempo.


Act iv idad 8


49

En cursos anteriores aprendiste que la recta está defi nida como la línea en la que todos los puntos que la integran están en la misma dirección. Es el camino más corto entre dos puntos.

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta Cuando subes por un puente, conforme mayor sea su incli-nación más trabajo te costará ascender. Puedes argumentar que se debe a que el ángulo que existe entre el piso y el puente es muy grande. ¡Claro! Tu observación es correcta. La relación entre la pendiente y su inclinación es directa. A mayor ángulo, mayor pendiente y, por lo tanto, una mayor difi -cultad para subir. En ciertas áreas del conocimiento, como la economía y la física entre otras, se utilizan gráficas para re-presentar eventos en los que su comportamiento se refl eja de manera lineal, en estos casos el concepto de la pendiente brinda información inmediata, por ejemplo, la oferta, demanda, veloci-dad, aceleración...

En una gráfi ca de distancia contra tiempo, la pendiente repre-senta la velocidad uniforme de un móvil en cualquier instante.

dist

anci

a (m

)

tiempo (seg)

1

1 2 3 4 5

2

3

4

6 t

d

50

Ejerc ic ios

a ¿Cuánto mide la velocidad entre 2 y 5 segundos?

b ¿Cómo varía la distancia cada segundo?

c ¿Puedes defi nir el movimiento rectilíneo uniforme?


1 Responde las siguientes preguntas.


51

El ángulo de inclinación θ de una recta l es el ángulo positivo menor de 90º que se forma con el eje de las abscisas.

La pendiente m de una recta se refi ere a la variación que tie-ne ésta en el eje de las abscisas con respecto al de las ordenadas. Si consideramos que los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son aquellos por los que pasa la recta, la pendiente está dada por la fórmula:

Observa el triángulo y aplica la función tangente

Por tal motivo consideramos que tan θ = m.Aplicando la función inversa, como aprendiste en tu curso de

Matemáticas de segundo semestre, para obtener el valor de θ

θ = tan−1 m

P2(x2, y2)

P1(x1, y1)

x

y

x2

x1

y1

y2

52

1 Observa cómo encontrar la pendiente y el ángulo de inclina-ción de las siguientes rectas que pasan por:

a A(7, 9), B(−6, −8) Obtenemos la pendiente

Para obtener el ángulo de inclinación aplicamos θ = tan−1 m, por lo tanto,

b P(4, −6), Q(−8, 9) Obtenemos la pendiente

Determinamos el ángulo de inclinación

Su gráfi ca se muestra en la página siguiente.


Ejemplo


53


El ángulo que nos interesa conocer es el positivo. Como se observa en la fi gura, para obtenerlo se resta de 180º.

θ = 180º − 51º 20’ 24”θ = 128º 39’ 36”

Recuerda que la división entre 0 no está defi nida. Por fórmula se

dice que:

c S(8, 9), T(3, 9) Obtenemos la pendiente

Ejemplo

128° 39’ 36”

Q(–8, 9)

P(4, –6)

51° 20’ 24”

x

y

–2

–2

2

4

6

8

42 6–4–6–8

–4

–6

54


θ = tan−1 0θ = 0º

Cuando el valor de la pendiente es igual a 0, la recta es horizontal y paralela al eje x.

Cuando la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación es me-

nor que 90º, θ < 90º.

Cuando la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación es

mayor que 90º y menor que 180º, 90º < θ < 180º.

d G(4, 1), H(4, 8) Obtenemos la pendiente y el ángulo

31

1

3

5

7

9

5 7

(3, 9) (8, 9)

x

y

Ejemplo



55

Cuando se presenta una división entre 0, por defi nición la recta siempre tendrá un ángulo de 90º.

1 (7, 9), (−6, −5)2 (−4, −5), (3, 7)3 (−1, 8), (6, −9)4 (0, 4), (4, 0)

5

6

7

8 (13, 3), (−13, −3)

Ejemplo

31

1

3

5

7

9

5 7 x

y

Ejerc ic ios

En la gráfi ca de la siguiente página dibuja la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas que pasan por:

56



9

10 (3, 3), (6, 3)

La ley de las tangentes está defi nida:

1 La pendiente y el ángulo de inclinación se relacionan entre sí.

Fundamenta tu respuesta.

2 ¿Cómo cambia la pendiente si la variación en “ y ” aumenta?

Justifi ca tu respuesta.

Ejerc ic ios


y

x


57

¿Descubr is teque…?que3 ¿Qué ocurre si aumenta la variación en “ x ”? Justifica tu res-

puesta.

Ángulo entre dos rectas

x

y

P(4, 3)

A B

Q(0, 2)

l2

m2=

m1=

l1

Act iv idad 9

Observa la gráfi ca mostrada a la izquierda y responde.

58

1 ¿Cómo calcularías el ángulo α?

2 Calcula las pendientes de las dos rectas.

3 ¿Cómo utilizarías esta información para calcular el valor del ángulo α?

4 Mide los ángulos A (corresponde a l1) y B (corresponde a l2) . ¿Qué relación existe con α?


Conforme a lo que observas, responde las siguientes preguntas.

Act iv idad 9

l1

l2m1

m2

x

y


59


Analiza la gráfi ca mostrada en la página anterior. Aplicando la ley de las tangentes y considerando que α=A– B

El ángulo A corresponde a la recta l1 y el ángulo B a la recta l2.

Ésta es la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas.

Los ángulos posit ivos se

miden en el sentido de las

manecillas del reloj.

1 Para encontrar el ángulo entre las rectas dadas por los pares de puntos:

lA (−3, 3), (4, −3) lB (−7, −2), (3, 5)

Calcula las pendientes de cada recta.

Ejemplos

60


Ejemplos

Una vez obtenidos los valores de las pendientes, ahora defi ni-remos cuál es m1 y cuál m2. Observa la gráfi ca de la página 58.

La recta m1 sería en donde inicia la fl echa del ángulo y la recta m2 donde termina. Considerando esto: m1 = mA y m2 = mB

Sustituyendo en la fórmula

¿Cómo se obtiene el ángulo entre dos rectas? Describe el proce-

dimiento que seguiste para lograrlo.



61

2 Para calcular los ángulos interiores del triángulo dado por los puntos A(3, 4), B(1, −4) y C(−3, 1).

Obtenemos las pendientes de cada uno de los lados

■ A(3, 4) y B(1, −4)

■ B(1, −4) y C(−3, 1)

■ A(3, 4) y C(−3, 1)

Observa en la fi gura de la derecha que el ángulo A está formado por las rectas y . Asimismo, la fl echa inicia en la recta

y termina en , por eso: m1 = mAC = 1/2 y m2 = mAB = 4. Sustituimos en la fórmula de ángulo entre dos rectas

Ejemplos

A

B

C

El ángulo B está formado por . La fl echa inicia en y termina en ; por tanto, m1=mAB =4 y m2=mBC=–5/4. Susti-tuimos en la fórmula de ángulo entre dos rectas:

El ángulo C está formado por las rectas . La fl echa ini-cia en la recta y termina en , por tanto, m1=mBC=–5/4 y m2=mAC=1/2. Sustituimos estos valores en la fórmula de ángulo entre dos rectas:

Para comprobar: A + B + C = 180º.

Ejemplo


A

B

C

A

B

C

62

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

1 Calcula el ángulo A entre las rectas l1 y l2; considera que sus pendientes son:a m1 = 8, m2 = 8

b m1 = , m2 = 8

2 Responde las siguientes preguntas.a ¿Qué ángulo forman dos rectas paralelas? Justifi ca tu res-

puesta.

Act iv idad 10


63

b ¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares? Justifi ca tu respuesta.

Observa que en el inciso a del ejercicio 1 de esta actividad las pendientes son iguales, es decir, la inclinación es la misma; por tanto, podemos deducir que las rectas son paralelas.

La condición de paralelismo entonces es:

m1 = m2

Para el inciso b el resultado da una división entre 0, lo cual implica que el ángulo entre las dos rectas es igual a 90º, es decir son perpendiculares.

La condición de perpendicularidad es:

Este par de conceptos podrás aplicarlos en la siguiente uni-dad cuando desarrollemos el tema de la línea recta.

1 Investiga y realiza un breve resumen sobre el tema de los de-terminantes. ¿Cómo se aplican?, ¿cómo se resuelven?

2 Posteriormente, conforma equipos de trabajo y lean su resu-men. Al terminar, expliquen con sus palabras qué entienden por determinantes.

m1 = 8 m2 = 8

x

y

m2 = 8

18

m1=

x

y

Act iv idad 10

Act iv idad 11


64


65

Polígonos: perímetros y áreas

Un polígono es una fi gura cerrada formada por tres o más lados no colineales que coinciden en sus extremos, llamados vértices. El triángulo es el polígono con la menor cantidad de lados.

Como recordarás, el perímetro de una fi gura geométrica re-gular o irregular, a excepción de la circunferencia, es el valor de la suma de las magnitudes de sus lados. El área es el valor de la superfi cie delimitada por los lados de la fi gura. En geometría analítica, para encontrar el perímetro de una fi gura geométrica colocada en un plano cartesiano, de la cual se conocen las coor-denadas de sus vértices, se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos, con el fi n de saber cuáles son las longitudes de sus lados para luego sumarlas. A continuación aprenderás a calcular el área de un polígono regular. Encontraremos primero una ex-presión para calcular el área de un triángulo.

Un determinante es un arreglo matemático para sumar todos los

productos tomando un elemento de cada fi la de una matriz cua-

drada. Se aplica en la resolución de sistemas de ecuaciones de

n incógnitas.

Sabermatemát icoate át coUn determinante es un arreglo matemático para sumar todos los

productos tomando un elemento de cada fi la de una matriz cua-

drada. Se aplica en la resolución de sistemas de ecuaciones de

n incógnitas.

66

Se tiene un triángulo cuyas coordenadas de sus vértices son P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3). El área se puede calcular mediante la expresión:

Para cualquier polígono mayor de tres lados, es más sencillo si se utiliza un determinante con las parejas ordenadas de los vértices, como se presenta a continuación.

El perímetro se obtiene calculando las longitudes de los lados utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Y luego sumamos los resultados.

Para calcular el área del pentágono cuyos vértices tienen como coordenadas: A(2, −3), B(6, 0), C(1, 5), D(−3, 3), E(−2, −3)

A12

x y

x y

x y

x y

C

B

AE

D

x

y

Ejemplo



67

1 Calcula el ángulo que existe entre las rectas l1 y l2, las cuales están dadas por lo puntos:a l1: A(−8, 9), B(9, −6)

l2: C(6, 5), D(−2, −8) b l1: A(6, 1), B(−1, 7)

l2: C(0, 5), D(7, −8) c l1: A(9, 0), B(0, 9)

l2: C(−8, 0), D(0, 9)

2 Encuentra los ángulos interiores de los siguientes triángulos si sus vértices son:a A(2, 7), B(−1, 8), C(−7, −2) b P(−10, 2), Q(1, 8), R(6, −3) c K(10, 1), L(5, 3), M(−3, −1) d F(0, 0), G(−4, 7), H(8, 1) e A(0, −3), B(0, 3), C(7,−5)

Ejemplo

Ejerc ic ios

68

3 Encuentra el valor de m1 en la siguiente fi gura.

4 Calcula en tu cuaderno la longitud de las medianas del trián-gulo A(1, 8), B(7, 2), C(−6, −2) y anota aquí la respuesta.

5 Encuentra una pendiente perpendicular a la recta dada por los puntos (8, −5) y (−2, 12).

70°

m1 = ?

m2= –1

x

y

Ejerc ic ios



69

¿Descubr is teque…?queAl terminar esta unidad es conveniente que refl exiones sobre lo

aprendido. Hagamos una breve revisión.

1 ¿Localizaste los puntos?

__________ Sí __________ No

2 ¿Identifi caste las simetrías en un lugar geométrico?

__________ Sí __________ No

3 ¿Ahora puedes calcular distancias, pendientes y ángulo de in-

clinación?

__________ Sí __________ No

4 ¿Aprendiste a calcular áreas y perímetros de polígonos?

__________ Sí __________ No

5 ¿Reconoces las características de las líneas notables del

triángulo?

__________ Sí __________ No

6 ¿Elaboraste un formulario?

__________ Sí __________ No

70

1 Localiza los puntos en el siguiente plano cartesiano:a A(7, 8)

b B(−8, 9)

c C(1, −4)

d D(0, −3)

e E(−9, −8)

f

g

2 Encuentra tres pares ordenados que perte-nezcan a los siguientes lugares geométricos.a y = –x + 8

b y = 2x – 9

c y = x2 – 5x +8

3 Encuentra el lugar geométrico que repre-sente:a La ordenada es la mitad de la abscisa

b El cuadrado de la abscisa es ocho ve-ces la ordenada

c Cuyos puntos equidistan tres unida-des del punto (1, 1)

d x2 + 4y2 − 4= 0

■ ◆ ■ ◆ ■ ◆ ■ Sistema de ejes coordenados

Evaluación sumativa

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1x

y

71

e 3x2 + 3y2 = 12

f y2 + 4y − x − 12= 0

4 De los siguientes triángulos, encuentra:■ El perímetro■ El área■ Los ángulos interiores■ Los puntos medios de sus lados■ La longitud de las medianas

a A(2, −2), B(4, 4), C(−2, 2)

b A(5, −1), B(−7, 1), C(−1, −3)

c A(−2, −2), B(2, −3), C(−1, 2)

d A(4, −8), B(−2, 6), C(−8, 4)

5 Calcula el valor de la pendiente y el ángu-lo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:a (−3, 8), (7, −2)

b (5, 1), (−3, −3)

c (4, −9), (−7, 9)

d (4, 0), (8, 0)

e (7, 8), (7, −2)

6 Encuentra las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento dado por los puntos:a P1(8, −3), P2(−9, 7), r=

b P1(−9, −3), P2(0, 4), r=

c P1(10, −12), P2(5, −8), r=

d P1(1, −2), P2(7, 15), r=

e P1(4, 7), P2(−4, 17), r = 2

f P1(0, −1), P2(−1, 0), r = 1

Sistema de ejes coordenados 1Evaluación sumativa

72

Evaluación sumativa

7 Obtén el valor de m2 en la siguiente fi gura.

8 Determina el valor de m1 en la siguiente fi gura.

9 Se tiene un pentágono cuyos puntos son:A(−2, 2)B(−3, −2)C(0, −4)D(5, 1)E(2, 3)Encuentra su perímetro y área.

x

y 80°

m1 = 2

m2 = ?

30°

m2= –2.14

m1= ?

x

y


73

Distancias interplanetar ias y estelares

Cuando vas en coche y ves pasar el paisaje, los objetos cercanos parecen moverse más rápido que los lejanos. Los árboles del pra-do que hay junto a la carretera pasan a toda velocidad, pero las montañas lejanas se desplazan a paso de tortuga. Si observas va-rios objetos desde dos posiciones distintas verás que mientras más lejano esté un objeto, menos te parecerá que se desplaza respecto a ti cuando cambias de posición. La Luna está tan lejos que parece que no se mueve, por eso siempre te acompaña adon-dequiera que vayas.

La diferencia de posición de los objetos cercanos respecto a los lejanos cuando los miras desde posiciones distintas se lla-ma paralaje. La paralaje sirve para medir distancias a los planetas y a las estrellas más cercanas.

Sistema de ejes coordenados 1Las matemáticas y sus apl icaciones

74

Para entender mejor el concepto de paralaje te invitamos a hacer el si-guiente experimento. Párate a tres o cuatro metros de un librero y ponte un dedo frente a los ojos con el brazo extendido. Cierra el ojo izquierdo. ¿Frente a qué libro se ve el dedo? Cie-rra el ojo derecho (¡y abre el izquier-do!) ¿Frente a qué libro se ve ahora el dedo? ¿Qué distancia hay entre ambos libros?

Ahora acércate un poco el dedo a los ojos y repite el experimento. ¿Qué distancia hay entre los libros frente a los cuales queda el dedo cuando cie-rras uno y otro ojo?

Observa que cuanto más cerca se encuentre el dedo, mayor será la dife-rencia de posición respecto al fondo

de libros que ve cada ojo. La paralaje, o ángulo paraláctico, es una medida de la distancia a la que se encuentra un objeto.


Las matemáticas y sus apl icaciones

75

La mayoría de las estrellas están tan lejos que sirven de fondo para medir la paralaje de otros objetos, como los planetas del Sistema Solar. Las dos posiciones que se usan para determinar la paralaje tienen que estar muy separadas para que el ángulo se pueda medir.

Por lo general se hacen mediciones de la posición del planeta respecto a las estrellas lejanas desde dos lugares situados en la-dos opuestos de la Tierra. Tomando puntos distintos de la su-perfi cie terrestre podemos obtener una separación máxima en-tre posiciones de observación de 12 800 km (el diámetro de la Tierra).

Conociendo la paralaje y la distancia entre las dos posiciones de observación, se puede calcular la distancia a la que se encuen-tra el planeta usando la geometría de los triángulos.

La paralaje también sirve para determinar la distancia a las estrellas más cercanas. Las dos posiciones de medición tienen que estar tan separadas para medir la paralaje estelar que el diá-metro de la Tierra no basta. Por lo general, se mide desde dos puntos opuestos de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Para eso hay que dejar pasar seis meses entre una medición y la otra. Tomando puntos distintos de la órbita de la Tierra alrededor del Sol podemos obtener una separación máxima de 300 millones de kilómetros (diámetro promedio de la órbita de la Tierra).

El método de la paralaje funciona bien para las estrellas que se encuentran a distancias de hasta 100 años-luz (cerca de mil millones de millones de kilómetros). En términos astronómicos es una distancia pequeña: del Sol al centro de nuestra galaxia hay unos 30 000 años-luz. De nuestra galaxia a la de Andrómeda —nuestra vecina galáctica más cercana— hay 2 millones de años-luz.

Fuente: Ruiz Concepción y De Régules, Sergio. Crónicas geométricas, Biblioteca Juvenil Ilustrada, Editorial Santillana, 2003.

Sistema de ejes coordenados 1Las matemáticas y sus apl icaciones

Recapitulac ión

76

Parejas ordenadas. Representaciones ma-temáticas que expresan un orden deter-minado; se representan (a, b), donde a y b son los elementos de la pareja or-denada.

Parejas ordenadas iguales. Es importante resaltar que dos parejas ordenadas son iguales cuando ambos términos son exac-tamente iguales. Es decir: (a, b) = (x, y) si a = x y b = y.

Plano cartesiano. Son dos líneas perpendi-culares cuyo punto de intersección se de-nomina origen. A la línea horizontal se le llama eje x y a la línea vertical eje y. Para localizar un punto en el plano cartesiano se utiliza la pareja ordenada P(x, y).

Asimismo, al eje de las x lo nombra-mos eje de las abscisas y al de las y eje de las ordenadas.

Lugar geométrico. Gráfica cuyos puntos satisfacen una ecuación algebraica, la cual tiene dos variables que se colocan en un plano cartesiano y que se traduce en soluciones reales.

Investigación de gráfi cas.

■ Intersecciones con los ejes. Son los va-lores en los que la línea del lugar geomé-trico cruza los ejes coordenados.

■ Simetría. En un plano cartesiano, dos puntos son simétricos si están a la misma distancia de un punto (x0, y0).

Existen dos tipos de simetría:� Con los ejes: Si f (x) = f (−x) es simétrica con respec-

to al eje y. Si f (y) = f (−y) es simétrica con respec-

to al eje x.� Con el origen. Si se cumplen las dos

condiciones anteriores.

Segmento no dirigido. Cuando calculamos la distancia entre dos puntos, sin im-portar el sentido en que ambos se en-cuentran.

Segmento dirigido. Longitud entre dos puntos en la cual es necesario indicar el sentido en que se realiza la medición.

Distancia entre dos puntos.

Esta fórmula nos ayuda a calcular la dis-tancia entre dos puntos cualesquiera ubi-cados en un plano cartesiano.

Punto de división. Cuando la división se refi ere a un par de puntos localizados en un plano cartesiano tenemos:

Punto medio. La expresión


Elaborado según la Reforma curricularcon un enfoque educativo centrado en el aprendizaje.

Matemáticas 3

Mat

emát

icas

3

Arturo Méndez HinojosaArturo Méndez Hinojosa

BACH

ILLE

RAT

O

Matemáticas 3 ayuda a comprender la geometría analítica desde una perspectiva sencilla y amena, que va más allá de la ejecución de fórmulas; además le da un especial énfasis a la comprensión lectora, ya que la adecuada interpretación de la información permite la solución de problemas, por ello incluye la sección Leyendo matemáticas donde se plantean, entre otros, problemas geométricos relacionados con la vida cotidiana y la educación ambiental, tales como calcular la distancia que viaja la mariposa Monarca para hibernar en nuestro país. Asimismo está enriquecida con abundantes ejercicios, actividades, lecturas y curiosidades matemáticas.

Desarrollada con una pedagogía centrada en el aprendizaje, esta obra te brinda la posibilidad de entender la representación de los lugares geométricos y su aplicación a través de ejercicios y modelos matemáticos relacionados con la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola; así aprenderás a observar, comparar, relacionar, razonar en forma abstracta y analítica para plantear y resolver problemas geométricos. Esperamos que aprendas mucho y te diviertas.

Matematicas 3 DGB cover.indd 1Matematicas 3 DGB cover.indd 1 3/7/07 7:03:04 PM3/7/07 7:03:04 PM

geometria analitica sistemas de coordenadas

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