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Alonso Fernández Galián Tema 6: Geometría analítica en el plano

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TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias,…) por me-

dio de ecuaciones. La principal herramienta que se utiliza son los vectores.

6.1 VECTORES LIGADOS

Un vector ligado AB es un segmento orientado:

A es el origen del vector.

B es el extremo del vector.

Coordenadas de un vector: Las coordenadas de un vector ligado son los números que se

obtienen restando a las coordenadas de B las coordenadas de A.

21

21

,

,

bbB

aaA 2211 , ababAB

Ejemplo: Calcula las coordenadas de los siguientes vectores ligados:

(a) AB , con origen 1,2A y extremo 3,5B :

2,313,25 AB .

(b) CD , con origen 4,2C y extremo 3,1D :

1,343,21 CD .

(c) EF , con origen 2,4 E y extremo 1,1F

3,321,41 EF .

(d) GH , con origen 2,4G y extremo 5,0 H

2,120,45 EF .

Nota: Observamos que la primera coordenada del vector ligado nos indica cuánto avanza de

izquierda a derecha, y la segunda no indica cuánto avanza de abajo hacia arriba.

Tema 6: Geometría analítica en el plano

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El módulo de un vector: Se llama módulo de un vector ligado a

su longitud. El módulo del vector AB se indica por AB ,

Podemos calcularlo con el teorema de Pitágoras:

2

22

2

11 ababAB

Equipolencia de vectores. Dos vectores ligados son equipolentes si tienen las mismas

coordenadas.

Gráficamente, dos vectores ligados son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma

dirección y el mismo sentido.

Nota: Cada vector ligado tiene infinitos vectores ligados equipolentes con él.

Ejemplo: Considera los vectores ligados AB , CD , siendo:

1,1 A 1,6B 1,2C 3,3D

a) Comprueba que son equipolentes:

2,511,16 AB

2,513,23 CD

Sí son equipolentes.

b) Represéntalos gráficamente:

Ejemplo: Considera los puntos del plano 0,5A y 6,3B .

(a) Escribe las coordenadas de AB .

6,806,53 AB

(b) Calcula el módulo de AB .

1010036646)8( 22 AB u.l.


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6.2 VECTORES LIBRES. OPERACIONES

Un vector libre es un vector ligado junto con todos los que son equipolentes a él. Se nombra con

una legra minúscula, por ejemplo, u

.

El vector libre u

se representa mediante cualquiera de los vectores ligados que lo definen.

A partir de ahora trabajaremos siempre con vectores libres.

6.3 OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

Hay dos operaciones fundamentales con vectores libres: la suma y el producto por escalares:

Suma de dos vectores libres. La suma de dos vectores 21 ,uuu

y 21 , vvv

es igual al

vector que se obtiene sumando coordenada a coordenada:

22112121 ,,, vuvuvvuuvu

Ejemplo: Dibuja tres representantes del vector libre 2,1 u

.

Debemos dibujar tres vectores ligados de coordenadas 2,1 . Por ejemplo:

Por tanto:

EFCDABu

Nota: Intuitivamente, un vector libre es un vector que no está fijo, sino que podemos

representarlo donde nos convenga.


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Gráficamente, la suma de dos vectores se efectúa dibujando uno a continuación del otro y

uniendo el origen del primero con el extremo del segundo:

Nota: Si en lugar de hacer vu

hacemos uv

obtenemos obviamente el mismo resultado.

Gráficamente consiste en ir al extremo opuesto de un paralelogramo por un camino o por otro:

Producto de un escalar por un vector libre. El producto de un escalar ℝ por el vector

21 , uuu

es el vector que se obtiene multiplicando por las coordenadas de u

.

21 , uuu

Ejemplo: Calcula la suma de los siguientes pares de vectores:

(a) 0,3u

y 2,1v

2,42,10,3 vu

(b) 2,2u

y 3,1 v

1,33,12,2 vu

(c) 1,3 u

y 3,3v

2,03,31,3 vu

Nota: Observemos que si no se dice nada, representamos los vectores tomando como origen

el origen de coordenadas.


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Geométricamente, el vector u

:

-Por módulo, el módulo de u

multiplicado por .

-Por dirección, la misma que u

.

-Por sentido, el mismo que u

si es positivo y el

contrario si es negativo.

Combinaciones lineales. Se denomina combinación lineal de los vectores u

y v

a cualquier

expresión de la forma vu

, con , ℝ.

Nota (dependencia lineal): Se dice que un vector depende linealmente de otros si puede

expresarse a partir de ellos. Por ejemplo:

-Dado un vector u

, otro vector v

depende de él si existe un tal que uv

.

-Dados dos vectores u

y v

, un tercer vector w

depende de ellos si existen un y tales que

vuw

.

Ejemplo: Sean los vectores 0,2u

y 2,1v

. Calcula las siguientes combinaciones

lineales:

(a) vu

23 .

4,44,20,62,120,2323 vu

(b) vu

2 .

2,52,10,42,10,222 vu

Ejemplo: Calcula los siguientes productos del vector 1,3u

por distintos escalares:

(a) 2,61,322 u

(b) 3,91,333 u

(c) 4,121,344 u

(d) uu

1,31,311 , el opuesto de u

.

(e) 3,91,333 u

Geométricamente:


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6.4 EL VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO

Se denomina vector de posición del punto 21 , aaA al

vector que va del origen de coordenadas al punto, OA .

Observamos que las coordenadas del vector de posición de

un punto coinciden con las coordenadas del punto:

2121 ,0,0 aaaaOA

6.5 DIFERENTES FORMAS DE LA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Dada una recta del plano, vamos a escribir una ecuación (de hecho, varias) que deban satisfacer

los puntos de la misma.

6.5.1 La ecuación vectorial de la recta. Sea r la recta que:

-Tiene la dirección del vector 21 , ddd

.

-Pasa por el punto 21 , aaA .

Buscamos la relación que deben cumplir las coordenadas de un punto genérico yxP , de la

recta.

En el dibujo vemos que:

APOAOP ,

pero dAP

para algún valor de .

dOAOP

,

Esta expresión es la llamada ecuación vectorial de la recta. La escribimos en coordenadas:

2121 ,,, ddaayx

Dando distintos valores a vamos obteniendo las coordenadas yx, de los distintos puntos de

la recta.

6.5.2 Las ecuaciones paramétricas de la recta. Si en la ecuación vectorial aislamos la

coordenada x por un lado y la coordenada y por otro obtenemos:


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22

11

day

dax

Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas de la recta.

6.5.3 La ecuación continua de la recta. Si ahora despejamos el parámetro e igualamos se

obtiene:

2

2

1

1

d

ay

d

ax

2

2

1

1

d

ay

d

ax

Esta igualdad se denomina ecuación continua de la recta.

6.5.4 La ecuación general o implícita de la recta. Si desarrollamos la ecuación continua y

expresa-mos todos sus términos ordenados en el lado izquierdo obtenemos:

0122112 adadydxd

Sean:

2da el coeficiente de x,

1db el coeficiente de y,

1221 adadc el término independiente:

tenemos entonces:

0 cbyax , abddd ,, 21

Esta igualdad se denomina ecuación general o implícita de la recta. Es importante recordar que

los coeficientes de x y de y son las coordenadas del vector director de la recta, pero

intercambiadas y una de ellas con el signo cambiado.

6.5.5 La ecuación explícita de la recta. Despejamos ahora y en la ecuación general:

b

cx

b

ay

Sean m y n, respectivamente, el coeficiente de x y el término independiente:

tan1

2 d

d

b

am , se denomina pendiente,

b

cn , se denomina ordenada en el origen.

tenemos:

nmxy

Esta igualdad se denomina ecuación explícita de la recta.

6.5.6 La ecuación punto-pendiente de la recta. Veamos finalmente otra ecuación para la recta,

que se utiliza cuando conocemos un punto de la misma, 21 , aaA , y la pendiente, m.

Como antes, consideremos un punto genérico de la recta, yxP , .


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Según la definición de pendiente, debe cumplirse:

max

ay

1

2tan

Despejando y se obtiene:

12 axmay

21 aaxmy

Esta igualdad se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

6.6 EJEMPLOS

Nota: Para representar la recta basta calcular dos

puntos de la misma:

13

30

yx

Ejemplo 2: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que por los puntos

2,1 A y 2,3B .

Un vector director de la recta es: 4,2 ABd

1) Ecuación vectorial: 4,22,1, yx

[…]

Ejemplo 1: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por el

punto 1,3A y tiene vector director 2,3 u

.

1) Ecuación vectorial: 2,31,3, yx

2) Ecuaciones paramétricas:

21

33

y

x

3) Ecuación continua: 2

1

3

3

yx

4) Ecuación general: 0932 yx , vector director: 2,3 d

.

5) Ecuación explícita: 33

2 xy , pendiente:

3

2m

6) Ecuación punto-pendiente: 133

2 xy


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Ejemplo 4: Escribe en las formas continua y explícita la ecuación de la recta que tiene

ecuación general:

01125 yx

(a) Un vector director de la recta es:

5,2, abd

Para determinar un punto de la recta, damos un valor a una de las variables y calculamos el

valor correspondiente de la otra. Por ejemplo, haciendo 1x :

30112151 yyx

La recta pasa por el punto 3,1A . Su ecuación continua es, por lo tanto:

5

3

2

1

yx

(b) Para expresar la ecuación en forma explícita despejamos y en la ecuación general:

2

11

2

5 xy

[…]

2) Ecuaciones paramétricas:

42

21

y

x

3) Ecuación continua: 4

2

2

1

yx

4) Ecuación general: 0824 yx , vector director: 4,2d

Simplificando: 042 yx 2,1d

5) Ecuación explícita: 42 xy , pendiente: 2m .

6) Ecuación punto-pendiente: 212 xy

Ejemplo 3: Escribe en forma punto-pendiente, explícita y general y continua la ecuación de

la recta que pasa por el punto 2,5A y tiene pendiente 4/1m .

1) Ecuación punto-pendiente: 354

1 xy

2) Ecuación explícita: 4

7

4

1 xy , 74 xy

3) Ecuación general: 074 yx , vector director: 1,4d

.

4) Ecuación general: 1

2

4

5

xx.


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Rectas paralelas a los ejes: Las rectas paralelas a los ejes tienen una coordenada constante:

-Una recta paralela al eje x tiene ecuación:

0yy

-Una recta paralela al eje y tiene ecuación:

0xx

Ejemplo 6: Escribe en las formas punto-pendiente, explícita, general y continua la ecuación

de la recta que pasa por el punto 4,5A y forma un ángulo de 60º con el semieje positivo

de abscisas:

La pendiente de la recta es:

3º60tan m

(como es habitual en matemáticas, es preferible dejar la raíz indicada)

-Las ecuaciones punto-pendiente, explícita y general son:

Ecuación punto-pendiente: 453 xy

Ecuación explícita: 4353 xy

Ecuación general: 04353 yx , vector director: 3,1d

.

-La ecuación continua es:

3

4

1

5

yx

Ejemplo 5: Escribe directamente la ecuación general de la recta r que pasa por el punto

1,6 A y tiene vector director 1,3d

.

El vector director de la recta es 1,3, abd

. Así, debe tener ecuación general:

03 cyx

Como el punto 1,6 A pertenece a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación:

0)1(36 c

036 c

9c

Así, la recta r tiene ecuación general:

093 yx

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6.7 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Dos rectas del plano pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Veamos cómo decidirlo:

Rectas escritas en forma general. Sean r y s dos rectas de ecuación general, respectivamente:

0: cbyaxr , abd r ,

0: cybxas , abd s ,

La posición relativa de r y s dependerá de la proporcionalidad de los coeficientes. Veamos:

1. Si las dos rectas son coincidentes, sus ecuaciones deben ser equivalentes. Por tanto, los

coeficientes deben ser proporcionales.

2. Si las dos rectas son paralelas, sus vectores directores también lo son y, por tanto, tienen las

coordenadas proporcionales. Como las coordenadas del vector director determinan los coefi-

cientes de x e y tenemos:

3. Si las dos rectas son secantes, sus vectores directores deben ser no paralelos. Así, concluimos:

En caso de que las rectas r y s sean secantes, el punto de intersección es la solución del sistema

formado por sus ecuaciones.

Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas:

013: yxr y 052: yxs

Como los coeficientes de x e y no son proporcionales, las rectas son secantes:

1

3

2

1

[...]

r y s son secantes b

b

a

a

r y s son paralelas c

c

b

b

a

a

r y s son coincidentes c

c

b

b

a

a

Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas:

052: yxr y 0436: yxs

Los coeficientes de x e y son proporcionales, sin serlo las ecuaciones:

4

5

3

1

6

2

Por tanto, las rectas son paralelas.

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Dos rectas paralelas pueden expresarse siempre a partir del mismo vector director.

Rectas escritas en forma explícita. Sean r y s dos rectas de ecuación explícita, respectivamente:

nmxyr :

nxmys :

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Así, deducimos:

Una forma alternativa de calcular la paralela a una recta por un punto dado es la siguiente:

r y s son secantes mm

r y s son paralelas nnymm

r y s son coincidentes nnymm

Ejemplo: Encuentra la recta que pasa por el punto 3,2A y es paralela a 45: xyr .

La recta buscada tiene pendiente 5m . Su ecuación punto-pendiente será, por tanto:

325 xy

En forma general:

0135 yx

[…]

El punto de intersección de las rectas debe satisfacer ambas ecuaciones:

1

2...

052

013

y

x

yx

yx

El punto de intersección de r y s es 1,2P .

Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta s que es paralela a 0724: yxr y que pasa

por el punto 5,3P .

La recta r tiene vector director 4,2d

. Así, cualquier paralela suya tendrá ecuación:

024 cyx

Como el punto 5,3P pertenece a la recta s, sus coordenadas satisfacen la ecuación:

052)1(4 c

01012 c

2c

Así, s tiene ecuación 0224 yx . Simplificando:

012: yxs

13

6.8 RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas perpendiculares tienen pendientes invertidas y de signo contrario.

r

sm

mrs1

Demostración: Hay que usar trigonometría:

º180s )º180tan(tan s

º90r )º180tan(

1tan

r

Por tanto:

rr

ssm

m1

tan

1)º180tan(tan

La mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio

del mismo.

Veamos cómo se calcula mediante un ejemplo.

Ejemplo: Calcula la mediatriz del segmento de extremos 2,3A y 4,1B .

[…]

Ejemplo: Calcular la recta s perpendicular a r: 52 xy que pasa por el punto 4,0 P .

La pendiente de r es 2rm .

La pendiente de s es, entonces:

2

11

r

sm

m

Escribamos la recta s en forma punto-pendiente:

)0(2

14

xy

Finalmente, pasamos a forma general:

082 yx

14

[…]

1º) El punto medio de un segmento tiene por coordenadas las medias respectivas de las

coordenadas de los extremos del intervalo.

3,12

42,

2

13

2,

2

2211 MMbaba

M

2º) Ahora vamos a calcular la recta que pasa por A y B, expresándola en forma explícita para

calcular su pendiente.

-El vector director es: 2,4 ABd AB

-Calculamos la ecuación de la recta:

14083042)2,3(

cccyxA

-La recta que pasa por A y B es, por tanto,

01442 yx

simplificando: 072 yx

-Pasamos a forma explícita:

2

7

2

1 xy

-La pendiente es, por tanto:

2/1ABm

3º) Calculamos finalmente la mediatriz:

-Punto: 3,1M .

-Pendiente: 22/1

1

m .

La mediatriz que estábamos buscando es:

3)1(2 xy

012 yx

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