espacios y subespacios vectoriales...espacios y subespacios vectoriales 12/22 coordenadas...

Espacios y Subespacios Vectoriales 1 / 22

Espacios y Subespacios Vectoriales

Rafael Ramírez Ros

Dedicación: 9 horas


Espacios Vectoriales

Índice

1 Espacios Vectoriales

2 Coordenadas

3 Subespacios Vectoriales



Tres espacios vectoriales típicos

1 El espacio Euclídeo n-dimensional:

Rn = {x = (x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}.

Los escalares xi son las componentes del vector x .2 El espacio de polinomios de grado ≤ n en la variable x :

Rn[x ] = {P(x) = p0 + p1x + · · ·+ pnxn : p0, . . . ,pn ∈ R} .

Los escalares pi son los coeficientes del polinomio P(x).3 El espacio de las matrices reales con m filas y n columnas:

Mm×n(R) =

A = a11 · · · a1n... . . . ...

am1 · · · amn

: a11, . . . ,amn ∈ R .

Los escalares aij son los elementos de la matriz A.



Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial E es un conjunto con las operacionesSuma de vectores: u,v ∈ E ⇒ u + v ∈ E ; yProducto por escalar: c ∈ R, u ∈ E ⇒ ·u ∈ E

tales queLa suma de vectores es asociativa, conmutativa, tieneelemento neutro: 0 y elemento opuesto: −u.El producto por escalar es asociativo y tiene elementoneutro: 1 · u = u.Ambas operaciones están relacionadas por laspropiedades distributivas:

(c + d) · u = c · u + d · u, c · (u + v) = c · u + c · v .



Convenciones & Abreviaturas

Notamos a los vectores con letras del alfabeto romano, enminúsculas y en negrita: u,v ,w ,x ,y , z .Notamos a los escalares con letras del alfabeto romano enminúsculas: a,b, c,d .Notamos a las matrices con las primeras letras delalfabeto romano en mayúsculas: A,B,C,D.Notamos a los espacios y subespacios vectoriales conletras del alfabeto romano en mayúsculas: E ,F ,G,H.CL = combinación linealLI = linealmente independienteLD = linealmente dependienteEV = espacio vectorialSEV = subespacio vectorial



Definiciones

Un vector u es una CL de unos vectores v1, . . . ,vncuando existen unos escalares c1, . . . , cn ∈ R tales que

u = c1 · v1 + · · ·+ cn · vn.

Los escalares c1, . . . , cn son los coeficientes de la CL. LaCL es trivial cuando todos sus coeficientes son nulos.

Un conjunto S ⊂ E es:LI cuando solo la CL trivial de sus vectores se anula.LD si hay CL no triviales de sus vectores que se anulan.generador de E cuando cualquier vector de E se puedeescribir como una CL de sus vectores.base de E cuando es simultáneamente LI y generador.



Propiedades

Polinomios de grados diferentes son LI.Cualquier subconjunto de un conjunto LI también es LI.Cualquier ampliación de un conjunto generador tambiénes generador.Un conjunto es LD si y solo si alguno de sus elementos esuna CL del resto.Cualquier conjunto LI se puede ampliar a una base(encontrando un menor no nulo).Cualquier conjunto generador se puede reducir a una base(escalonando la matriz formada por los generadores).



Dimensión

Todas las bases de un EV E tienen el mismo número devectores.Ese número es la dimensión de E y se denota dim E .A partir de ahora, salvo que se especifique lo contrario,solo consideramos EVs de dimensión finita.S LI y #S = dim E



Bases canónicas (o naturales)

La base natural de Rn es N = {e1, . . . ,en}, donde ei es elvector con todas sus componentes nulas menos lai-ésima, que es igual a 1.La base natural de Rn[x ] es N = {1, x , . . . , xn}.La base natural de R[x ] es N = {1, x , . . . , xn, . . .}, quetiene un número infinito de polinomios.La base natural deMm×n(R) es

N = {E11, . . . ,E1n, . . . ,Em1, . . . ,Emn},

donde Eij es la matriz con todos sus elementos nulosmenos el situado en la fila i y columna j , que es igual a 1.


Coordenadas

Índice


2 Coordenadas



Coordenadas

Definición

Si V = {v1, . . . ,vn} es una base de E , entonces todovector u ∈ E se puede escribir como una CL única devectores de V . Es decir, existen unos únicos escalaresc1, . . . , cn ∈ R tales que

u = c1 · v1 + · · ·+ cn · vn.

Las coordenadas del vector u en la base V son loscoeficientes de esa CL puestos en columna y se escribe:

uV =

c1...cn

.Si V = {v1, . . . ,vn} es una base, todas las coordenadasde v j en la base V son cero, salvo la j-ésima, que es uno.


Coordenadas

Coordenadas en las bases naturales

Las coordenadas de un vector x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn en labase natural N son sus componentes xi puestas encolumna. Es decir, xN = x t .Las coordenadas de un polinomioP(x) = p0 + p1x + · · ·+ pnxn ∈ Rn[x ] en la base natural Nson sus coeficientes pi puestos en columna.Las coordenadas de una matriz A = (aij) ∈Mm×n(R) en labase natural N son sus elementos aij puestos en columna.


Coordenadas

Matrices de cambios de base

Sea E un EV de dimensión n.Sean V = {v1, . . . ,vn} y W = {w1, . . . ,wn} dos bases.Sean uV y uW las coordenadas de u ∈ E en esas bases.Existe una única matriz CVW ∈Mn×n(R) tal que

uW = CVW uV , ∀u ∈ E .

CVW es la matriz del cambio de base de V a W .La columna j-ésima de CVW es igual a las coordenadas delvector v j en la base W .


Coordenadas

Propiedades de las matrices de cambios de base

Toda matriz de cambio de base es invertible.La matriz del cambio inverso es la inversa de la matriz delcambio: (CVW )

−1 = CWV .La matriz del cambio compuesto es el producto de lasmatrices del cambio: CVW = C

UW C

VU .

Trucos con bases naturales: Si N es la base natural,1 Es más fácil construir CVN que C

NV .

2 CVW = CNW C

VN = (C

WN )

−1CVN .


Subespacios Vectoriales

Índice


2 Coordenadas




Definición y propiedades

Un subconjunto no vacio F ⊂ E es un SEV cuando:1 u,v ∈ F ⇒ u + v ∈ F ;2 u ∈ F y c ∈ R⇒ c · u ∈ F .

F SEV⇒ 0 ∈ F .F SEV⇔ Toda CL de vectores de F sigue estando en F .Si S es un subconjunto de E , entonces [S] es el SEVformado por todas las posibles CLs de vectores de S.Decimos que [S] es el SEV generado por S.Los SEV del plano Euclídeo R2 son: 1) {0}; 2) rectas quepasan por 0; y 3) el plano.Los SEV del espacio Euclídeo R3 son: 1) {0}; 2) rectasque pasan por 0; 3) planos que pasan por 0; y 4) elespacio.



Ecuaciones, generadores y bases

Si F es un SEV de Rn de dimensión d , 1 ≤ d ≤ n, entoncesExisten matrices A ∈Mm×n tales que rango A = n − d y

F ={

x ∈ Rn : Ax t = 0};

Existen subconjuntos S ⊂ E tales que #S ≥ d y F = [S];Existen subconjuntos LI B ⊂ E tales que #B = d yF = [B].Decimos que el sistema lineal homogéneo Ax t = 0 son lasecuaciones de F , S genera F y B es una base de F .

Si F es un SEV de un EV arbitrario E , los conceptos anterioresse pueden generalizar. Por ejemplo, las ecuaciones pasan aescribirse como AuV = 0, donde V es una base (usualmente,la natural) de E .



Propiedades de la dimensión

Sea F un SEV de un EV E de dimensión finita. Entonces:0 ≤ dim F ≤ dim E .dim F = 0⇔ F = {0}.dim F = dim E ⇔ F = E .Toda base de F se puede ampliar a una base de E .S subconjunto LI de F y #S = dim F ⇒ S base de F .S generador de F y #S = dim F ⇒ S base de F .

Si F y G son dos SEVs de un EV E de dimensión finitatales que F ⊂ G. Entonces:

dim F ≤ dim G.dim F = dim G⇔ F = G.Toda base de F se puede ampliar a una base de G.



Suma e intersección

Dados dos SEV F y G de un EV E ,Su suma es F + G = {v + w : v ∈ F ,w ∈ G}; ySu intersección es F ∩G = {u : u ∈ F ,u ∈ G}.

u ∈ F ∩G⇔ u ∈ F y u ∈ G.u ∈ F + G⇔ ∃v ∈ F y ∃w ∈ G tales que u = v + w .F ∩G es el mayor de los SEVs contenidos en F y en G.F + G es el menor de los SEVs que contienen a F y a G.Fórmula de Grassmann: Si dim E



Métodos de cálculo

Generadores base: Escalonar la matriz formada alponer en columnas (o filas) las coordenadas de losvectores de la base.Base ecuaciones: Escalonar la matriz ampliadaformada al poner en columnas las coordenadas de losvectores de la base, a ñadiendo una última columna conlas coordenadas genéricas.Ecuaciones base: Resolver el sistema linealhomogéneo y asignar valores “astutos” a las variableslibres (a saber, cada vector de la base se encuentratomando una variable libre igual a uno y el resto nulas).Base suma: Juntar bases y eliminar los vectores LD.Ecuaciones intersección: Juntar los sistemas deecuaciones y eliminar las ecuaciones LD.



Suma directa

Dados dos SEV F y G de un EV de dimensión finita, lassiguientes condiciones son equivalentes:

1 F ∩G = {0}.2 dim(F + G) = dim F + dim G.3 Cualquier vector de F + G se descompone de forma única

como suma de uno de F y otro de G.4 Al juntar unas bases de F y G, queda una base de F + G.5 Si v ∈ F y w ∈ G, pero v ,w 6= 0, entonces v y w son LI.

Cuando se cumpla alguna de estas condiciones, decimos queF + G es una suma directa (o que F y G son SEV LI) yescribimos F ⊕G.



Complementarios

Un complentario de un SEV F en un EV E , es cualquierSEV G tal que F ⊕G = E .F y G complementarios en E ⇒ dim F + dim G = dim E .F y G son complementarios en E si y sólo si se cumplealguna de las siguientes condiciones (son equivalentes):

F ∩G = {0} y F + G = E .Cualquier vector de E se descompone de forma únicacomo suma de uno de F y otro de G.

Métodos para calcular complementarios:1 Ampliar una base de F a una base de E y tomar como G el

SEV generado por los vectores añadidos.2 Si AuV = 0 son las ecuaciones de F en una base V del EV

E , basta tomar como G el SEV generado por los vectorescuyas coordenadas en la base V son las filas de A.

Espacios VectorialesCoordenadasSubespacios Vectoriales

espacios y subespacios vectoriales...espacios y subespacios vectoriales 12/22 coordenadas...

Documents