espacios vectoriales subespacios vectoriales (ii) · espacios vectoriales algebra problema 6.6.15...

Algebra

Espacios vectoriales

Subespacios vectoriales (II)

Espacios vectoriales Algebra

Teorema 6.6.13

Sea V un espacio vectorial sobre Zp, con p un numero primo. si Vtienen dimension n, entonces V tienen pn elementos.

Demostracion: Sea V un espacio vectorial sobre Zp, con p unnumero primo. si V tienen dimension n, entonces V tienen pn

elementos.Consideremos la base canonica Bc en V . Los elementos de la base,dados por su coordenadas, seran

Bc = {(1, 0, n. . ., 0), (0, 1, n. . ., 0), n. . ., (0, 0, n. . ., 1)}

Cada vector de V tiene unas coordenadas unicas, (α1, n. . ., αn)Bc .Como K = Zp, hay p elecciones para cada escalar α1, n. . ., αn.Como las elecciones son independientes, se aplica el principio demultiplicacion y se obtiene que hay pn vectores en V .

Teorema 6.6.13

Sea V un espacio vectorial sobre Zp, con p un numero primo. si Vtienen dimension n, entonces V tienen pn elementos.

Demostracion: Sea V un espacio vectorial sobre Zp, con p unnumero primo. si V tienen dimension n, entonces V tienen pn

elementos.Consideremos la base canonica Bc en V . Los elementos de la base,dados por su coordenadas, seran

Bc = {(1, 0, n. . ., 0), (0, 1, n. . ., 0), n. . ., (0, 0, n. . ., 1)}

Cada vector de V tiene unas coordenadas unicas, (α1, n. . ., αn)Bc .Como K = Zp, hay p elecciones para cada escalar α1, n. . ., αn.Como las elecciones son independientes, se aplica el principio demultiplicacion y se obtiene que hay pn vectores en V .

Problema 6.6.15

Dados dos subespacios vectoriales U1,U2 de un espacio vectorial,probad o refutad que U1 ∩ U2 es un subespacio vectorial.

Demostracion: El conjunto U1 ∩ U2 es un subespacio vectorial.Vamos a comprobar las condiciones (1) y (2) del teorema 6.6.2.

(1) Condicion (1). Sean u1, u2 ∈ U1 ∩ U2. Consideremos el vectorw = u1 + u2. u1 y u2 pertenecen a U1, ya que pertenecen aU1 ∩ U2. Y dado que U1 es subespacio, entonces w pertenecea U1. Un argumento simetrico muestra que w pertenece a U2.Como w pertenece a U1 y a U2, tambien pertenecera aU1 ∩ U2

(2) Condicion (2). Sea α un escalar y u1 ∈ U1 ∩ U2. Se sigue queu1 pertenece a U1 y a U2. Por tanto, αu1 ∈ U1 y αu1 ∈ U2.En consecuencia αu1 ∈ U1 ∩ U2, como querıamos.

Problema 6.6.15

Problema 6.6.16

Hallad el subespacio vectorial U1 ∩ U2 para los subespacios de R3

dados por

U1 = {(x , y , z) | 2x+3y−z = 0}, U2 = {(x , y , z) | −x+2y+5z = 0}

Solucion: Dado que los subespacios U1,U2 estan dados porecuaciones, el subespacio vectorial U1 ∩ U2 es el conjunto desoluciones de {

2x + 3y − z = 0−x + 2y + 5z = 0

Procedemos a usar Gauss para sacar la forma vectorial de lasolucion.

Problema 6.6.16

Hallad el subespacio vectorial U1 ∩ U2 para los subespacios de R3

dados por

U1 = {(x , y , z) | 2x+3y−z = 0}, U2 = {(x , y , z) | −x+2y+5z = 0}

Solucion: Dado que los subespacios U1,U2 estan dados porecuaciones, el subespacio vectorial U1 ∩ U2 es el conjunto desoluciones de {

2x + 3y − z = 0−x + 2y + 5z = 0

Procedemos a usar Gauss para sacar la forma vectorial de lasolucion.

Problema 6.6.16

(2 3 −1−1 2 5

2 3 −10 7 9

2x + 3y = zy = −9/7 · z

{x = 17/7 · zy = −9/7 · z

Luego las soluciones son: xyz

17−97

, t ∈ R

Entonces U1 ∩ U2 = L((17,−9, 7)).

Problema 6.6.18

Probad que en efecto el conjunto U1 + U2 es un subespaciovectorial de V como dice la definicion 6.6.17.

Demostracion: Para este problema solo os doy una pista. Teneisque usar las condiciones (1) y (2) del teorema 6.6.2.

Problema 6.6.18

Probad que en efecto el conjunto U1 + U2 es un subespaciovectorial de V como dice la definicion 6.6.17.

Demostracion: Para este problema solo os doy una pista. Teneisque usar las condiciones (1) y (2) del teorema 6.6.2.

Problema 6.6.18

Sean w1,w2 ∈ U1 + U2. Por definicion, existen u1, v1 ∈ U1 yu2, v2 ∈ U2 tales que w1 = u1 + u2 y w2 = v1 + v2. Sumemosahora ambos vectores.

w1 + w2 = u1 + u2 + v1 + v2 = (u1 + v1) + (u2 + v2)

Como u1 + v1 ∈ U1 y u2 + v2 ∈ U2 por ser U1,U2 subespaciosvectoriales, w1 + w2 pertenece a U1 + U2.

Analogamente, para la condicion (2), si α es un escalar,

α · w1 = α(u1 + u2) = αu1 + αu2

Por ser U1,U2 subespacios vectoriales, αu1 esta en U1 y αu2 estaen U2. Por tanto, α · w1 esta en U1 + U2.Esto muestra que se cumplen las dos condiciones de del teorema6.6.2.

Problema 6.6.18

Sean w1,w2 ∈ U1 + U2. Por definicion, existen u1, v1 ∈ U1 yu2, v2 ∈ U2 tales que w1 = u1 + u2 y w2 = v1 + v2. Sumemosahora ambos vectores.

w1 + w2 = u1 + u2 + v1 + v2 = (u1 + v1) + (u2 + v2)

Como u1 + v1 ∈ U1 y u2 + v2 ∈ U2 por ser U1,U2 subespaciosvectoriales, w1 + w2 pertenece a U1 + U2.Analogamente, para la condicion (2), si α es un escalar,

α · w1 = α(u1 + u2) = αu1 + αu2

Por ser U1,U2 subespacios vectoriales, αu1 esta en U1 y αu2 estaen U2. Por tanto, α · w1 esta en U1 + U2.Esto muestra que se cumplen las dos condiciones de del teorema6.6.2.

Problema 6.6.19

Supongamos que U1,U2 son subespacios de un espacio vectorial Vtal que U1 ∩ U2 = {0V }. Probad que todo v ∈ U1 + U2 se puedeescribir de manera unica como v = u1 + u2, donde u1 ∈ U yu2 ∈ U2.

Demostracion: Supongamos que v ∈ U1 + U2 se puede escribir dedos maneras diferentes, digamos como v = u1 + u2 y comov = w1 + w2, donde u1,w1 ∈ U1 y u2,w2 ∈ U2. Entonces:

0V = v − v = u1 + u2 − (w1 + w2) = u1 − w1 + u2 − w2

De aquı se deduce que u1 − w1 = w2 − u2. Como U1 essubespacio, u1 − w1 ∈ U1. Igualmente, como U2 es subespacio,entonces w2 − u2 ∈ U2. Por ultimo, como U1 ∩ U2 = {0V }, sededuce que u1 = w1 y w2 = u2.

Problema 6.6.19

Supongamos que U1,U2 son subespacios de un espacio vectorial Vtal que U1 ∩ U2 = {0V }. Probad que todo v ∈ U1 + U2 se puedeescribir de manera unica como v = u1 + u2, donde u1 ∈ U yu2 ∈ U2.

Demostracion: Supongamos que v ∈ U1 + U2 se puede escribir dedos maneras diferentes, digamos como v = u1 + u2 y comov = w1 + w2, donde u1,w1 ∈ U1 y u2,w2 ∈ U2. Entonces:

0V = v − v = u1 + u2 − (w1 + w2) = u1 − w1 + u2 − w2

De aquı se deduce que u1 − w1 = w2 − u2. Como U1 essubespacio, u1 − w1 ∈ U1. Igualmente, como U2 es subespacio,entonces w2 − u2 ∈ U2. Por ultimo, como U1 ∩ U2 = {0V }, sededuce que u1 = w1 y w2 = u2.

Teorema 6.6.20

Sea V un espacio vectorial y U1,U2 dos subespacios vectoriales deV . Se cumplen las siguientes proposiciones:

(1) U1 + U2 es el menor subespacio que contiene a U1 ∪ U2

(2) dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2)− dim(U1 ∩ U2).

Demostracion de (1): Tenemos que demostrar que si W es unsubespacio vectorial tal que U1 ⊆W y U2 ⊆W , entoncesU1 + U2 ⊆W . Sea v ∈ U1 + U2. Por la definicion de U1 + U2, vse puede escribir como v = u1 + u2, donde u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2.Como U1 ⊆W , U2 ⊆W y W es un subespacio, se deduce quev = u1 + u2 esta en W , como querıamos probar.

Teorema 6.6.20

Sea V un espacio vectorial y U1,U2 dos subespacios vectoriales deV . Se cumplen las siguientes proposiciones:

(1) U1 + U2 es el menor subespacio que contiene a U1 ∪ U2

(2) dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2)− dim(U1 ∩ U2).

Demostracion de (1): Tenemos que demostrar que si W es unsubespacio vectorial tal que U1 ⊆W y U2 ⊆W , entoncesU1 + U2 ⊆W . Sea v ∈ U1 + U2. Por la definicion de U1 + U2, vse puede escribir como v = u1 + u2, donde u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2.Como U1 ⊆W , U2 ⊆W y W es un subespacio, se deduce quev = u1 + u2 esta en W , como querıamos probar.

Teorema 6.6.20

Demostracion de (2): Si U1 ∩ U2 = {0V }, entonces por elproblema 6.6.19, todo vector v ∈ U1 + U2 se escribe de maneraunica como v = u1 + u2, donde u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2. Esto pruebaque en este caso dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2).Supongamos ahora que Si U1 ∩ U2 6= {0V }. Sea B1 = {u1, . . . , ur}una base de U1 ∩U2. Dicha base se puede completar hasta obteneruna base de U1, ya que esos vectores linealmente independientes.Pongamos que los vectores que completan la base sonB2 = v1, . . . , vk . Se tiene que dim(U1) = k + r .

Teorema 6.6.20

Analogamente, se puede completar {u1, . . . , ur} hasta obtener unabase de U2. Sean B3 = {w1, . . . ,wm} los vectores que completanla base de U2. Se cumple que dim(U2) = k + m. Una base deU1 + U2 es B1 ∪ B2 ∪ B3 La dimension de U1 + U2 es

dim(U1 + U2) = |B1 ∪ B2 ∪ B3| = r + k + m =

r + dim(U1)− r + dim(U2)− r

= dim(U1) + dim(U2)− dim(U1 ∩ U2)

Problema 6.6.21

Sea K un cuerpo y V = K 3. Comprobad el teorema anterior paralos siguientes espacios vectoriales:

(1) U1 = {(α, 0, 0) | α ∈ K} y U2 = {(0, 0, β) | β ∈ K}.(2) U1 = L((1, 1, 0), (0, 1, 2) y U2 = L((2, 1, 0), (0, 1, 1)).

Solucion: Para (1), tenemos que U1 = L((1, 0, 0)) yU2 = L((0, 0, 1). Los vectores (1, 0, 0) y (0, 0, 1) son linealmenteindependientes por ser vectores de la base canonica. Suinterseccion es {0V }. Por tanto,

dim(U1 +U2) = dim(U1) + dim(U2)− dim({0V }) = 1 + 1− 0 = 2

Problema 6.6.21

Sea K un cuerpo y V = K 3. Comprobad el teorema anterior paralos siguientes espacios vectoriales:

(1) U1 = {(α, 0, 0) | α ∈ K} y U2 = {(0, 0, β) | β ∈ K}.(2) U1 = L((1, 1, 0), (0, 1, 2) y U2 = L((2, 1, 0), (0, 1, 1)).

Solucion: Para (1), tenemos que U1 = L((1, 0, 0)) yU2 = L((0, 0, 1). Los vectores (1, 0, 0) y (0, 0, 1) son linealmenteindependientes por ser vectores de la base canonica. Suinterseccion es {0V }. Por tanto,

dim(U1 +U2) = dim(U1) + dim(U2)− dim({0V }) = 1 + 1− 0 = 2

Problema 6.6.21

Para (2), argumentamos que el subespacio vectorial U1 ∩ U2 seranlos vectores formados por las combinaciones lineales de vectores delas bases de ambos subespacios. Observando los vectores de lossubespacios puestos por filas, se sigue que son linealmenteindependientes y, por tanto, bases.(

1 1 00 1 2

) (2 1 00 1 1

)Vamos a averiguar que vector es combinacion lineal de ambasbases.

1 1 00 1 22 1 00 1 1

1 1 00 1 20 −1 00 1 1

1 1 00 1 20 0 20 0 −1

Problema 6.6.21

El ultimo vector es combinacion lineal de los vectores de ambasbases. Luego, U1 ∩ U2 = L((0, 1, 1)). Aplicamos la formula de ladimension:

dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2)− dim(U1 ∩ U2) = 2 + 2− 1 = 3

Problema 6.6.24

Hallad en V = R3 un subespacio U2 tal que V = U1 ⊕ U2, donde

U1 = {(x , y , z) | −x + y + 5z = 0}

Solucion: Pasamos a forma vectorial el subespacio U1. Es unaunica ecuacion independiente y entonces ponemos x = y + 5z : x

y + 5zyz

Luego U1 = L((1, 1, 0), (5, 0, 1)) y tiene dimension 2. Paracompletar hasta una base de R3 ponemos el vector (0, 0, 1) comoprueba la forma escalonada de la siguiente matriz: 1 1 0

5 0 10 0 1

∼ 1 1 0

0 −5 10 0 1

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