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El Cuadernillo de Geometría Analítica fue elaborado en el Centro de Regularización y Apoyo Educativo Intelimundo, por el siguiente equipo:
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Dirección Académica y Proyectos de InvestigaciónMarisol Roman García y César Pasten Vilchis
Gerencia de innovación educativaRené Quiroz Díaz
Coordinación de diseñoJosé Iván Torres Hernández
AutorRené Quiroz Díaz y César Pasten Vilchis
Diseño de interiores y portadaStephanie Quiroz Roman
ISBN: En tramite.
Intelimundo (René Quiroz Díaz), Calle Aldama 23-B, San Antonio Tecomitl, Milpa Alta,C.P. 12100, México D.F.
Marzo de 2013Impreso en México / Printed in Mexico
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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICALa geometría analítica, es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el Álgebra y la Geometría Euclidiana.
1. Sistemas de coordenadas rectangulares.El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto 0 llamado origen.
2°. Cuadrante
(-x, y)
1er. Cuadrante
(x, y)
3er. Cuadrante
(-x, -y)
4°. Cuadrante
(x, -y)
Eje XAbscisas
Eje YOrdenadas
Origen(Cruce de ejes)
Los ejes X y Y se llaman ejes coordenadas y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
Observa que los cuatro cuadrantes se enumeran siempre en sentido contrario a las maneci-llas del reloj.
Abscisas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje vertical o eje Y.
La “x”es positiva cuando este a la derecha del eje Y. La “x” es negativa cuando este a la izquierda del eje Y.
Ordenadas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje horizontal o al eje X.
La “y” es positiva cuando está por encima del eje X. La “y” es negativa cuando está por de-bajo del eje X.
3
Actividad.
1.- Las coordenadas sirven para fijar la posición de un: Punto.
2.- La distancia de un punto al eje Y se llama: Abscisas.
3.- La distancia de un punto al eje X se llama: Ordenadas.
4.- La pareja ordenada de números reales (X, Y) son las Coordenadas de un punto.
5.- ¿Cuál es la abscisa de P(2,3)? 2
6.- ¿Cuál es la ordenada de P(4,3)? 3
7.- ¿En qué cuadrante está un punto si sus coordenadas son negativas? 3er. Cuadrante.
8.- ¿En qué cuadrante está un punto cuya abscisa es negativa y cuya ordenada es positiva? 2°. Cuadrante.
9.- ¿En qué cuadrante se encuentra el punto B(−5,0)? Entre el 2° y 3er Cuadrante.
10.- ¿Cuáles son los signos de las coordenadas en cada uno de los cuadrantes?
Cuadrante IV
Cuadrante IICuadrante III
Abscisa: X Ordenada: Y
Cuadrante I
11.- Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos.+Y
-Y
-x +x-5 -4 -3 -2 1 0 1 3 52 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x y
( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),
+--+
++--
-4-3-2-101234
4-2-320-5-404
4
12.- Ubica los puntos en el plano y unelos en oden a las coordenadas dadas.
1614121086420-2-4-6-8-10-12-14-16-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-0
2
4
6
8
10
12
14
16
(-6,-2) (-8,-2) (-10,-4) (-12,-4) (-16,0) (-16,4)(-12,8) (-10,8) (-8,6) (-6,6) (-6,8) (-8,10) (-8,12) (-4,16) (0,16) (4,12) (4,10) (2,8) (2,6) (4,6) (6,8) (8,8) (12,4) (12,0) (8,-4) (6,-4) (4,-2) (2,-2) (2,-4) (4,-6) (4,-8) (0,-12) (-4,-12) (-8,-8) (-8,-6)(-6,-4) (-6,-2) (-6,0) (-4,-2) (0,-2) (2,0) (2,4) (0,6) (-4,6) (-6,4) (-6,0) (12,-16) (12,-12) (2,-2) (10,-10) (14,-10) (16,-12) (16,-8) (14,-6) (12,-6) (10,-10) (8,-10) (6,-16) (2,-16) (2,-14) (4,-10) (8, -10) (12,-12)
5
2. Distancia entre dos puntos en el plano.Para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano se recurrirá a la siguiente figura:
y
x
P1
P2
y2 - y1
x2 - x1
x1 x2
R
La distancia entre los puntos P1 y P2 se puede obtener mediante la construcción de un trián-gulo rectángulo cuyos catetos miden x2 − x1 y y2 − y1 respectivamente.
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente:
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Actividad.
Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos cuyas coordenadas son:
5.- I(2,-6), J(2,-2)
d = (2 - 2)2 + (-2 - (-6))2
d = (0)2 + (-2 + 6)2
d = 0 + (4)2
d = 0 + 16d = 16 = 4 u
1.- A(4,1), B(3,-2)
d = (3 - 4)2 + (-2 - 1)2
d = (-1)2 + (-3)2
d = 1 + 9d = 10 = 3.16 u
2.- C(-7,4), D(1,-11)
d = (1 - (-7))2 + (-11 - 4)2
d = (1 + 7)2 + (-15)2
d = (8)2 + (-15)2
d = 64 + 225d = 289 = 17u
3.- E(-1,-5), F(2,-3)
d = (2 - (-1))2 + (-3 - (-5))2
d = (2 + 1)2 + (-3 + 5)2
d = (3)2 + (2)2
d = 9 + 4d = 13 = 3.6 u
4.- G(0,3), H(-4,1)
d = (-4 - 0)2 + (1 - 3)2
d = (-4)2 + (-2)2
d = 16 + 4d = 20 = 4.47 u
6.- K(-3,1), L(3,-1)
d = (3 - (-3))2 + (-1 - 1)2
d = (3 + 3)2 + (-2)2
d = (6)2 + 4d = 36 + 4d = 40 = 6.32u
6
Determina el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos coordenados:
2.- M(0,4), N(-4,1), O(3,-3)
M(0,4), N(-4,1)
d = (-4 - 0)2 + (1 - 4)2
d = (-4)2 + (-3)2
d = 16 + 9d = 25 = 5 u
N(-4,1), O(3,-3)
d = (3 - (-4))2 + (-3 -1)2
d = (3 + 4)2 + (-4)2
d = (7)2 + 16 d = 49 + 16d = 65 = 8.06 u
O(3,-3), M(0,4)
d = (0 - 3)2 + (4 - (-3))2
d = (-3)2 + (4 + 3)2
d = 9 + (7)2
d = 9 + 49d = 58 = 7.61 u
P = 25 + 65 + 58P = 5 + 8.06 + 7.61P = 20.67 u
1.- A(-2,5), B(4,3), C(7,-2)
A(-2,5), B(4,3)
d = (4 - (-2))2 + (3 - 5)2
d = (4 + 2)2 + (-2)2
d = (6)2 + 4d = 36 + 4d = 40 = 6.32 u
B(4,3), C(7,-2)
d = (7 - 4)2 + (-2 - 3)2
d = (3)2 + (-5)2
d = 9 + 25d = 34 = 5.83 u
C(7,-2), A(-2,5)
d = (-2 - 7)2 + (5 - (-2))2
d = (-9)2 + (5 + 2)2
d = 81 + (7)2
d = 81 + 49d = 130 = 11.40 u
P = 40 + 34 + 130P = 6.32 + 5.83 + 11.40P = 23.55 u
7
Verifica que los puntos A(−2, −3), B(−4, −5), C(−1, −6), son los vértices de un triángulo isósceles.
La longitud de un segmento es de 13u y las coordenadas de uno de sus extremos son A(8,6), obtén la ordenada del otro extremo si su abscisa es −4.
A(-2,-3), B(-4,-5)
d = (-4 - (-2))2 + (-5 - (-3))2
d = (-4 + 2)2 + (-5 + 3)2
d = (2)2 + (-2)2
d = 4 + 4d = 8
B(-4,-5), C(-1,-6)
d = (-1 - (-4))2 + (-6 - (-5))2
d = (-1 + 4)2 + (-6 + 5)2
d = (3)2 + (-1)2
d = 9 + 1d = 10
C(-1,-6), A(-2,-3)
d = (-2 - (-1))2 + (-3 - (-6))2
d = (-2 + 1)2 + (-3 + 6)2
d = (-1)2 + (3)2
d = 1 + 9d = 10
A(8,6), B(-4,y2)
13 = (-4 - 8)2 + (y2 - 6)2
132 = (-4 - 8)2 + (y2 - 6)2
169 = (-12)2 + (y2 - 6)2
169 = 144 + (y2 - 6)2
169 - 144 = (y2 - 6)2
25 = (y2 - 6)2
25 = y2 - 6 5 = y2 - 65 + 6 = y2
11 u = y2
Comprobación
A(8,6), B(-4,11)
d = (-4 - 8)2 + (11 - 6)2
d = (-12)2 + (5)2
d = 144 + 25d = 169 d = 13 u
Los triángulos isósceles tienen dos lados iguales y dado que los vértices B, C y C, A son iguales si se trata de los puntos correctos.
8
3. Área de un polígono.
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), … , Pn(xn,yn) los vértices de un polígono. El área (A) del polígono, es una función de las coordenadas de los vérti-ces que viene dada por la expresión:
x1x2x3
xnx1
y1y2y3
yny1
.
.
.
.
.
.
12A =
Actividad.
Determina el área de los siguientes polígonos definidos por los puntos:
2.- D(6,2), E(-1,7), F(-4,1)
6-1-46
2712
12A =
[42 + (-1) + (-8)] - [6 + (-28) + (-2)]
[42 - 1 - 8] - [6 - 28 - 2]
[33] - [-24]
33 + 24
57 = ( ) = = 28.5u2
12A =
12A =
12A =12A =
12A = 1
2571
572
1.- A(-4,-5), B(2,1), C(-1,3)
-42-1-4
-513-5
12A =
[-4 + 6 + 5] - [-12 + (-1) + (-10)]
[-4 + 11] - [ -12 - 1 - 10]
[7] - [-23]
7 + 23
30 = ( ) = = 15u2
12A =
12A =
12A =12A =
12A = 1
2301
302
Figura geométrica plana limitada por 3 o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices.
9
4.- J(-3,1), K(-2,5), L(2,4), M(1,0)
-3-221-3
15401
12A =
[-15 + (-8) + 0 + 1] - [0 + 4 + 10 + (-2)]
[-15 - 8 + 0 + 1] - [0 + 4 + 10 - 2]
[-22] - [12]
-34 = ( ) = = 17u2
12A =
12A =
12A =
12
341
342
12A =
6.- R(-7,1), S(-5,4), T(2,3), U(0,-5) y V(-4,-3)
-7-520-4-7
143-5-31
12A =
[-28 + (-15) + (-10) + 0 + (-4)] - [21 + 20 + 0 + 8 + (-5)]
[-28 - 15 - 10 + 0 - 4] - [21 + 20 + 0 + 8 - 5]
[-57] - [44]
-101 = ( ) = = 50.5u2
12A =
12A =
12A =
12
1011
1012
12A =
3.- G(-4,0), H(0,0), I(0,-3)
-400-4
00-30
12A =
[0 + 0 + 0] - [12 + 0 + 0]
[0] - [12]
-12 = ( ) = = 6u2
12A =
12A =
12A =
12
121
122
5.- N(-4,1), O(-2,4), P(5,5), Q(3,2)
-4-253-4
14521
12A =
[-16 + (-10) + 10 + 3] - [-8 + 15 + 20 + (-2)]
[-16 - 10 + 10 + 3] - [-8 + 15 + 20 - 2]
[-26 + 13] - [35 - 10]
[-13] - [25]
-38 = ( ) = = 19u2
12A =
12A =
12A =
12
381
382
12A =
12A =
10
Demuestra que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo y determina su área.
1.- A(2,-2), B(-8,4), C(5,3)
Distancia entre dos puntos.
A(2,-2), B(-8,4)
d = (-8 - 2)2 + (4 - (-2))2
d = (-10)2 + (4 + 2)2
d = 100 + (6)2
d = 100 + 36d = 136 = 11.66u
B(-8,4), C(5,3)
d = (5 - (-8))2 + (3 - 4)2
d = (5 + 8)2 + (-1)2
d = (13)2 + 1d = 169 + 1d = 170 = 13.03u
C(5,3), A(2,-2)
d = (2 - 5)2 + (-2 - 3)2
d = (-3)2 + (-5)2
d = 9 + 25d = 34 = 5.83u
Área:2-852
-243-2
12A =
[8 + (-24) + (-10)] - [6 + 20 + 16]
[8 - 24 - 10] - [42]
[-26] - [42]
-68 = ( ) = = 34u2
12A =
12A =
12A =
12
681
682
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
A
CB B,C = 13.03u
A,C = 5.83u A,B = 11.66u
11
2.- D(0,9), E(-4,-1), F(3,2)
Distancia entre dos puntos.
D(0,9), E(-4,-1)
d = (-4 - 0)2 + (-1 - 9)2
d = (-4)2 + (-10)2
d = 16 + 100d = 116 = 10.77u
E(-4,-1), F(3,2)
d = (3 - (-4))2 + (2 - (-1))2
d = (3 + 4)2 + (2 + 1)2
d = (7)2 + (3)2
d = 49 + 9d = 58 = 7.61u
F(3,2), D(0,9)
d = (0 - 3)2 + (9 - 2)2
d = (-3)2 + (7)2
d = 9 + 49d = 58 = 7.61u
Área:0-430
9-129
12A =
[0 + (-8) + 27] - [0 + (-3) + (-36)]
[0 - 8 + 27] - [0 - 3 - 36]
[19] - [-39]
58 = ( ) = = 29u2
12A =
12A =
12A =
12
581
582
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
D
F
E
D,E = 10.77u F,D = 7.61u
E,F = 7,61u
12
3.- G(3,-2), H(-2,3), I(0,4)
Distancia entre dos puntos.
G(3,-2), H(-2,3)
d = (-2 - 3)2 + (3 - (-2))2
d = (-5)2 + (3 + 2)2
d = 25 + (5)2
d = 25 + 25d = 50 = 7.07u
H(-2,3), I(0,4)
d = (0 - (-2))2 + (4 - 3)2
d = (0 + 2)2 + (1)2
d = (2)2 + 1d = 4 + 1d = 5 = 2.23u
I(0,4), G(3,-2)
d = (3 - 0)2 + (-2 - 4)2
d = (3)2 + (-6)2
d = 9 + 36d = 45 = 6.70u
Área:3-203
-234-2
12A =
[9 + (-8) + 0] - [12 + 0 + 4]
[9 - 8 + 0] - [16]
[1] - [16]
-15 = ( ) = = 7.5u2
12A =
12A =
12A =
12
151
152
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
G
IH
G,H = 7.07u
H,I = 2.23u
I,G = 6.70u
13
Área:-2-60-2
8148
12A =
[-2 + (-24) + 0] - [-8 + 0 + (-48)]
[-2 - 24 + 0] - [-8 + 0 - 48]
[-26] - [-56]
30 = ( ) = = 15u2
12A =
12A =
12A =
12
301
302
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
J
K
LJ,K = 8.06u
K,L = 6.70u
L,J = 4.47u
4.- J(-2,8), K(-6,1), L(0,4)
Distancia entre dos puntos.
J(-2,8), K(-6,1)
d = (-6 - (-2))2 + (1 - 8)2
d = (-6 + 2)2 + (-7)2
d = (-4)2 + 49d = 16 + 49d = 65 = 8.06u
K(-6,1), L(0,4)
d = (0 - (-6))2 + (4 - 1)2
d = (0 + 6)2 + (3)2
d = (6)2 + 9d = 36 + 9d = 45 = 6.70u
L(0,4), J(-2,8)
d = (-2 - 0)2 + (8 - 4)2
d = (-2)2 + (4)2
d = 4 + 16d = 20 = 4.47u
14
4. División de un segmento.
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) los extremos de un segmento de recta, entonces la relación en que el punto P(x,y) divide al segmento P1P2 en dos partes proporcionales se define como:
Y
y2
y
y1
x2x1 x0X
P2
P1
PQ
R
Por geometría, los triángulos ΔP1PQy ΔPP2R son semejantes, la proporcionalidad que existe entre sus lados es:
P1PPP2
P1QPR
QPRP2
= =
Por otro lado:
P1Q = x - x1, PR = x2 - xQP = y - y1, RP2 = y2 - y
Entonces:
• Para determinar la razón dados los extremos y el punto de división se emplea:
x - x1
x2 - xr = o
y - y1
y2 - yr =
• Para encontrar el punto de división dados los extremos y la razón se utiliza:
x1 + rx2
r + 1x = ;y1 + ry2
r + 1y =
Importante:
• Si el punto de división P esta entre los puntos P1 y P2 la razón es positiva.• Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón es negativa.
Comparación de dos cantidades de la misma especie.
NOTA:
CUANTAS VECES LA UNA CONTIENE A LA OTRA.
15
Actividad.
Determina la razón en que el punto P divide al segmento de recta de extremos P1 y P2.
2.- P1(3,5), P2(-1,4), P(-5,3)
r = = = = = - 2 o r = = = = - 2 x - x1x2 - x
-5 - 3-1 - (-5)
-84
y - y1y2 - y
3 - 54 - 3
-21
-8-1 + 5
1.- P1(0,2), P2(-2,4), P(2,0)
r = = = = - o r = = = = - x - x1x2 - x
2 - 0-2 - 2
2-4
12
y - y1y2 - y
0 - 24 - 0
-24
12
3.- P1( , ), P2(2,1), P( , )
r = = = = - = - o r = = = = - x - x1x2 - x
-2 -
330
y - y1y2 - y
-1 -
34
12
1318
13
13
1213
16-
53
110
1318
34
1318
518
136
- 110
4.- P1(-5,1), P2(4,3), P(-3, )
r = = = = o r = = = = x - x1x2 - x
-3 - (-5)4 - (-3)
27
y - y1y2 - y
- 13 -
139
139
139
149
49 2
7-3 + 54 + 3
Encuentra las coordenadas de un punto P(x,y) según los elementos dados.
1.- P1(4,1), P2(5,-2), r = -2
x = = = = = = 6
y = = = = = -5
x1 + rx2r + 1
4 + (-2)(5)-2 + 1
4 + (-10)-1
4 -10-1
-6-1
y1 + ry2r + 1
1 + (-2)(-2)-2 + 1
1 + 4-1
5-1
P(6,-5)
2.- P1(-2,3), P2(4,5), r =
x = = = = = = 0.4
y = = = = = = 3.8
x1 + rx2r + 1
-2 + (4)
615
y1 + ry2r + 1
P(0.4,3.8)
23
23
23
23
83
53+ 1
-2 +53
3 + (5)
23
23 + 1
103
53
3 +19353
195
16
3.- P1(0,5), P2(6,-1), r = 5
x = = = = = 5
y = = = = = = 0
x1 + rx2r + 1
306
y1 + ry2r + 1
P(5,0)
0 + (5)(6)5 + 1
0 + 306
5 + (5)(-1)5 + 1
5 + (-5)6
5 - 56
06
4.- P1(- ,0), P2(0,4), r =
x = = = = = - = -0.44
y = = = = = = 1.33
x1 + rx2r + 1
+ (0)
49
y1 + ry2r + 1
P(-0.44,1.33)
12
23
12
12
23
32+ 1
+ 032
0 + (4)
12
12 + 1
21
32
0 +2132
43
23
23-- -
Grafica y determina las coordenadas que dividen al segmento en 4 pares.
A(−3,2), B(1,6)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
A
B
R1R2
R3
Para R1:
= = = 3 r = 3
x = = = = = 0
y = = = = = 5
x1 + rx2r + 1
y1 + ry2r + 1
R1(0,5)
P1PPP2
AR1R1B
31-3 + (3)(1)
3 + 1-3 + 3
404
2 + (3)(6)3 + 1
2 + 184
204
Para R2:
= = = 1 r = 1
x = = = = = -1
y = = = = = 4
x1 + rx2r + 1
y1 + ry2r + 1
R2(-1,4)
P1PPP2
AR2R2B
22-3 + (1)(1)
1 + 1-3 + 1
2-22
2 + (1)(6)1 + 1
2 + 62
82
17
Para R3:
= = r =
x = = = = = - = -2
y = = = = = = 3
AR3R3B
P1PPP2
13
13
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)13
13 + 1
-3 + 13
43
8343
- 2412
2 + (6)13
13 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 63
43
12343
3612
R3(-2,3)
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 3 partes.
C(4,2) D(−5,7)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
C
D
R1 R2
Para R1:
= = = 2 r = 2
x = = = = = - = -2
y = = = = = 5.33
CR1R1D
P1PPP2
21
x1 + rx2r + 1
4 +(2)(-5)2 + 1
4 +(-10)3
4 - 103
63
x1 + rx2r + 1
2 +(2)(7)2 + 1
2 + 143
163
R1(-2,5.33)
Para R2:
= = r =
x = = = = = = = 1
y = = = = = = 3.66
CR2R2D
P1PPP2
12
x1 + rx2r + 1
4 + (-5)12
12 + 1
4 + - 52
32
2 + (7)12
12 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 72
32
11232
226
R2(1,3.66)12
4 - 52
32
3232
66
18
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 5 partes.
E(-3,2) F(1,6)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
F
E
R1R2R3
R4
Para R1:
= = = 4 r = 4
x = = = = = 0.2
y = = = = = 5.2
ER1R1F
P1PPP2
41
x1 + rx2r + 1
-3 +(4)(1)4 + 1
-3 + 45
15
x1 + rx2r + 1
2 +(4)(6)4 + 1
2 + 245
265
R1(0.2,5.2)
Para R2:
= = r =
x = = = = = - = -0.6
y = = = = = = 4.4
ER2R2F
P1PPP2
32
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)32
32 + 1
-3 + 3252
2 + (6)32
32 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 182
52
22252
4410
R2(-0.6,4.4)
32
3252
610
-
Para R3:
= = r =
x = = = = = - = -1.4
y = = = = = = 3.6
ER3R3F
P1PPP2
23
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)23
23 + 1
-3 + 2353
2 + (6)23
23 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 123
53
18353
5415
R3(-1.4,3.6)
23
7353
2115
-
19
Para R4:
= = r =
x = = = = = - = -2.2
y = = = = = = 2.8
ER4R4F
P1PPP2
14
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)14
14 + 1
-3 + 1454
2 + (6)14
14 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 64
54
14454
5620
R4(-2.2,2.8)
14
11454
4420
-
20
2.- A(0,4),B(3,7)
Pm = , = , = (1.5,5.5)0 + 32
32
4 + 72
112
3.- A(−1,3),B(9,11)
4.- A(5,−7),B(11,−4)
Pm = , = , = 8,- = (8,-5.5)5 + 112
-7 + (-4)2
162
-7 - 42
112
Pm = , = , = (4,7)-1 + 92
82
3 + 112
142
5. Punto medio.El punto medio del segmento de recta, es aquel punto que lo divide en dos segmentos igua-les.
Y
X
y2
ym
y1
x1 xm x2
P1
Pm
P2
Por tanto, las coordenadas del punto medio son:
x1 + x2
2y1 + y2
2,Pm =
Actividad.
Determina las coordenadas del punto medio definido por los puntos:
1.- A(3,5),B(2,−1)
Pm = , = , = 2.5, = (2.5,2)3 + 22
5 + (-1)2
52
5 -12
42
21
5.- A ,1 , B ,2 12
13
Pm = , = , = , = (0.41,1.5)+2
1 + 22
32
32
12
13
2
56 5
12
6.- A ,-2 , B ,1 23
14
Pm = , = ,- = ,-0.5 = (0.45,-0.5)+2
-2 + 12
12
23
14
2
1112 11
24
Si el punto medio de un segmento de recta es Pm(1,−3) y un extremo del segmento es P1(7,−1), ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?
1=
(1)(2) = 7 + x22 - 7 = x2-5 = x2
7 + x22 -3 =
(-3)(2) = -1 + y2-6 - (-1) = y2-6 + 1 = y2-5 = y2
-1+ y22
P2(-5,-5)
22
6. Inclinación de una recta.La inclinación de una recta es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje X positivo y se mide, desde el eje X a la recta, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Pendiente: La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación y se calcula con la siguiente expresión:
y2
y1
x2x1 X
Y
x2 - x1
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
y2 - y1
M
c. oc. a
y2 - y1x2 - x1
m =y2 - y1x2 - x1
Para calcular la magnitud del ángulo se despeja de la siguiente manera:
tan θ = m
θ = tan−1(m)
Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de inclinación, son los siguientes.
Si m > 0 (positiva) entonces, elángulo es agudo (menor a 90°).
Si m < 0 (negativa) entonces, elángulo es obtuso (mayor a 90° y menor a 180°).
Si m = entonces, el ángulo esrecto (90°).
0 Si m = 0 entonces, el ángulo esllano (180°).
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
23
Actividad.
Determina la pendiente de los siguientes pares de puntos.
1.- A(-3,5), B(2,7)
m = = 7 - 52 - (-3)
25
5.- I(0,4), J(-3,0)
m = = = 0 - 4-3 - 0
-4-3
43
3.- E(-1,2), F(4,-5)
m = = = - -5 - 24 - (-1)
-75
75
4.- G(8,-2), H(0,-1)
m = = = - -1 - (-2)0 - 8
1-8
18
6.- K(-5,1), L(1,-3)
m = = = - -3 - 11 - (-5)
-46
46
112
52
-
7.- M ,7 , H 3,-
m = = = - 2210
12
32
- 7 32
3 - 1 2
65
112
-
8.- O , , P - ,
m = = = - 572
35
35
23
34
- 35
34 - 2
335 - -
9.- Q 5, 3 , R 3,-
m = = =
32
32- - 3
13 - 5
-3 - 2 3 2 21
-3 - 2 3 -4
Encuentra la medida de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes puntos.
4 - 72 - 5
-3-3
50
4 - (-1)7 - 7
50
Los vértices de un triángulo son los puntos G(2,−2), H(−1,4), I(4,5). Determina la pendiente para cada uno de sus lados.
G(2,-2), H(-1,4)
m = = = -24 - (-2)-1 - 2
6-3
H(-1,4), I(4,5)
m = = = 0.25 - 44 - (-1)
15
I(4,5), G(2,-2)
m = = = 3.5-2 - 52 - 4
-7-2
2.- C(4,-2), D(7,-2)
m = = = 0 -2 - (-2)7 - 4
03
3 - 2-2 - (-1)
1-1
24
La pendiente de una recta es 3. Si la recta pasa por los puntos A(2,−1) y el punto B, cuya or-denada es −5, ¿Cuál es el valor de su abscisa?
23
3 =
3(x2 - 2) = -5 + 1 3x2 - 6 = -4 3x2 = -4 + 6 3x2 = 2
x2 =
-5 -(-1)x2 - 2
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene las coordenadas (3,−2) y la ordenada de B es −1, encuentra su abscisa.
y2 - y1x2 - x1
tan 45° =
1 =
1(x2 - 3) = -1 + 2 x2 -3 = 1 x2 = 1 + 3 x2 = 4
-1 - (-2)x2 - 3
-1 + 2x2 - 3
25
Actividad.
Demuestra si la recta l1 que pasa por los puntos A(3, −1) y B(−6,5) es paralela o perpendicu-lar a la recta l2 que pasa por los puntos C(0,2) y D(−2, −1).
6-9
-3-2 = = -1-18
18Es perpendicular
7. Líneas paralelas y perpendiculares.Si dos líneas rectas l1 y l2 son paralelas si sus pendientes son iguales.
m1 = m2
Dos líneas rectas l1 y l2 son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es -1.
-1m2
Demuestra que la recta que pasa por los puntos A(−2,1) y B(1, −4), es paralela a la recta que pasa por los puntos C(8, −7) y D(5, −2).
C(8,-7), D(5,-2)
m2 = = -2 - (-7)5 - 8
5-3
A(-2,1), B(1,-4)
m1 = = -4 - 11 - (-2)
-53
-53
5-3=
Es paralela
Demuestra que los cuatro puntos A(−3,1), B(−2,5), C(2,4) y D(1,0), son los vértices de un cua-drado y que sus diagonales son perpendiculares.
Es un cuadrado por que sus vértices dan -1 entre si.
-4 -3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
y
xA
B
C
D
A(3,-1), B(-6,5)
m1 = = 5 - (-1)-6 - 3
6-9
C(0,2), D(-2,-1)
m2 = = -1 - 2-2 - 0
-3-2
A(-3,1), B(-2,5)
m1 = = 5 - 1-2 - (-3)
41
C(2,4), D(1,0)
m3 = = 0 - 41 - 2
-4-1
B(-2,5), C(2,4)
m2 = = 4 - 52 - (-2)
-14
D(1,0), A(-3,1)
m4 = = 1 - 0-3 - 1
1-4
26
Demostrar por medio de pendientes, que los puntos A(1,1), B(5,3), C(8,0) y D(4, −2) son vérti-ces de un paralelogramo.
Diagonal B(-2,5), D(1,0)
m1 = = 0 - 51 - (-2)
-53
Diagonal A(-3,1), C(2,4)
m2 = = 4 - 12 - (-3)
35
-53
35 = = -1-15
15Las diagonales son perpendiculares
A(1,1), B(5,3)
m1 = = 3 - 15 - 1
24
B(5,3), C(8,0)
m2 = = 0 - 38 - 5
-33
C(8,0), D(4,-2)
m3 = = -2 - 04 - 8
-2-4
D(4,-2), A(1,1)
m4 = = 1 - (-2)1 - 4
3-3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
A
B
C
D
Es un paralelogramo por que las pendientes (A,D) y (C,D) son paralelas al igual que lo son (B,C) y (D,A).
27
8. Ángulo entre dos rectas.El ángulo α, medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde la recta l1, de pendiente m1 a la recta l2 de pendiente m2 es:
m2 - m11 + m2m1
m2 - m11 + m2m1
Importante:
Para la correcta obtención del ángulo formado por dos rectas es necesario hacer de manera adecuada la selección de m1 y de m2, para ilustrar el procedimiento se obtendrá el valor del ángulo alfa.
Todo ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto el ángulo se mide como se indica en la figura.
m1 = 2 m2 = -3
2 -3
-3 - 21 + (-3)(2)-5
1 - 6-5-5
La selección de las pendientes se hará de la siguiente manera:
m1 Es siempre la pendiente donde comienza el ángulo, en este caso 2, m2 es siempre la pen-diente donde termina el ángulo, por lo tanto m2 será −3.
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina los ángulos interiores de los triángulos.
1.- A(4,2), B(0,1), C(6, −1)
1 2 3 4 5 6 7 0
3
2
1
-1
-2
y
x
AB
C
m1
m2
m3
A(4,2), B(0,1)
m1 =
m1 = =
1 - 20 - 4-1-4
14
B(0,1), C(6,-1)
m2 =
m2 = = -
-1-16-0
-26
13
C(6,-1), A(4,2)
m3 =
m3 = = -
2-(-1)4 - 63-2
32
28
ABC = tan-1
= tan-1
= tan-1
ABC = tan-1 = 32.47°
14
-14
13
-1 +
712
1121 -
7121112
13-
7 11
BCA= tan-1
= tan-1
= tan-1
BCA = tan-1 = 37.87°
13- -
32
-1 +
76
121 +
7632
32-
79
13
-
2.- D(−3, −1), E(4,4), F(−2,3)
D(-3,-1), E(4,4)
m1 =
m1 =
4 - (-1)4 - (-3)57
E(4,4), F(-2,3)
m2 =
m2 = =
3 - 4-2 - 4-1 -6
16
F(-2,3), D(-3,-1)
m3 =
m3 = = 4
-1 - 3-3 - (-2)-4-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
D
EF
m1
m2
m3
CAB = tan-1
= tan-1
= tan-1
CAB = tan-1 = -70.34° + 180° =
32
14
14
32
-1 +
74-
381 -
74-
58
145- 109.66°
- -
29
FDE= tan-1
= tan-1
= tan-1
FDE = tan-1 = 40.42°
574 -
571 + (4)
2372071 +
237
277
2327
DEF = tan-1
= tan-1
= tan-1
DEF = tan-1 = 26.07°
57
57
16-
161 +
2342
5421 +
234247422347
3.- G(−2,1), H(3,4), I(5,−2)
G(-2,1), H(3,4)
m1 =
m1 =
4 - 13 - (-2)35
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
xG
H
I
m1
m2
m3
H(3,4), I(5,-2)
m2 =
m2 = = -3
-2 - 45 - 3
-62
I(5,-2), G(-2,1)
m3 =
m3 = = -
1 - (-2)-2 - 5
3-7
37
EFD = tan-1
= tan-1
= tan-1
EFD = tan-1 = -66.50° + 180° =
16
-
- 4161 + (4)
236231 +
236
532310
-
- 113.5°
30
IGH = tan-1
= tan-1
= tan-1
IGH = tan-1 = 54.16°
35 -
351 +
3635
9351 -
36352635
37-
1813
37-
GHI = tan-1
= tan-1
= tan-1
GHI = tan-1 = 77.47°
35
185951 -
18545
92
-3 -351 + (-3)
-
-
-
4.- J(−4,1), K(2,3), L(1,−4)
J(-4,1), K(2,3)
m1 =
m1 = =
3 - 12 - (-4)26
13
K(2,3), L(1,-4)
m2 =
m2 = = 7
-4 - 31 - 2
-7-1
HIG = tan-1
= tan-1
= tan-1
HIG = tan-1 = 48.36°
187
971 +
187
16798
1 + (-3)37-
37 (-3)- -
L(1,-4), J(-4,1)
m3 =
m3 = = -
1 - (-4 )-4 - 1
5-5
55
= -1-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xJ
K
L
m1
m2m3
31
JKL = tan-1
= tan-1
= tan-1
JKL = tan-1 (2) = 63.43°
203
731 +
203
103
1 + (7) 13
13
7 -
¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos A(1,3), B(2,6), C(7,8), D(6,5)?
1 2 3 4 5 6 7 8 0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
A
B
C
Dm1
m2m3
m4
A(1,3), B(2,6)
m1 =
m1 = = 3
6 - 32 - 1
31
B(2,6), C(7,8)
m2 =
m2 =
8 - 67 - 2
25
C(7,8), D(6,5)
m3 =
m3 = = 3
5 - 86 - 7
-3-1
D(6,5), A(1,3)
m4 =
m4 = =
3 - 51 - 6
-2-5
25
LJK = tan-1
= tan-1
= tan-1
LJK = tan-1 (2) = 63.43°
43
131 -
4323
13
13
- (-1)
1 + (-1)
KLJ = tan-1
= tan-1
KLJ = tan-1 = 53.13°-8-6
-1 - 71 + (-1)(7)
-8
1 - 7
32
DAB= tan-1
= tan-1
= tan-1
DAB = tan-1 = 49.76°
135
651 +
135
115
1 + (3) 25
253 -
1311
BCD= tan-1
= tan-1
= tan-1
BCD = tan-1 = 49.76°
135
651 +
135
115
1 + (3) 25
253 -
1311
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pen-diente de −3, determina el valor de la pendiente de la recta inicial.
-24
135° = tan-1
tan(135°) =
-1 =
-1(1 - 3m1) = -3 - m1 -1 + 3m1 = -3 - m1 3m1 + m1 = -3 + 1 4m1 = -2
m1 = = -
1 + (-3)(m1)-3 - m1
1 + (-3)(m1)-3 - m1
1 - 3m1
-3 - m1
12
= tan-1
= tan-1
= tan-1
= tan-1 (-1) = -45° = 135°
52
321 +
5252
1 + (-3)
-3 -
-
-
12
-12
-
Comprobación
ABC= tan-1
= tan-1
= tan-1
ABC = tan-1 = -49.76° + 180°
135
651 +
135
115
1 + (3)25
25 - 3
1311
-
-
-
CDA= tan-1
= tan-1
= tan-1
CDA = tan-1 = -49.76° + 180°
135
651 +
135
115
1 + (3)25
25 - 3
1311
-
-
-
= 130.23°
= 130.23°
33
9. Línea recta.La línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que al tomar dos puntos dife-rentes P1 y P2, y obtener el valor de la pendiente, esta resulta siempre ser la misma.
AB
DC
E
mAE = mBD
Ecuación de la recta punto-pendiente de la recta.
Sea el punto A de coordenadas (x1, y1) y “m” una pendiente dada, la ecuación de la recta se puede obtener a partir del concepto de pendiente como se muestra a continuación.
y - y1x - x1
m =
m(x - x1) = y - y1
Ecuación de la recta punto - pendiente:
y - y1 = m(x - x1)
Al desarrollar esta ecuación, se llega a la ecuación de la recta en su forma general, que pue-de ser expresada con el siguiente formato:
Ax + By + C = 0
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina la ecuación de la recta en su forma general, que satis-faga con las siguientes condiciones.
1.- A(1,3), m = 2
y - 3 = 2(x - 1)y - 3 = 2x - 2(-2x + y -1 =0)
2.- B(5,3), m = -2
y - 3 = -2(x - 5)y - 3 = -2x + 102x + y - 13 = 0
3.- C(3,-2), m = 1
y - (-2) = 1(x - 3)y + 2 = x - 3(-x + y + 5 = 0)
4.- D(0,-5), m = -4
y - (-5) = -4(x - 0)y + 5 = -4x4x + y + 5 = 0
2x - y + 1 = 0-x - y - 5 = 0
34
5.- E(2,0), m =
y - 0 = (x - 2)
2y = 1(x - 2)2y = x - 2x - 2y -2 = 0
12
12
6.- F(-4,5), m =
y - 5 = (x - (-4))
2(y - 5) = 3(x + 4)2y - 10 = 3x + 123x - 2y + 12 + 10 = 03x - 2y + 22 = 0
32
32
7.- G(-1,-6), m = -
y - (-6) = - (x - (-1))
3(y + 6) = -5(x + 1)3y + 18 = -5x - 55x + 3y + 18 + 5 = 05x + 3y + 23 = 0
53
53
8.- H(0,0), m = -
y - 0 = - (x - 0)
5(y) = -4(x)5y = -4x4x + 5y + 0 = 0
45
45
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
y - y1 = m(x - x1)
y - y1 = (x - x1) y2 - y1x2 - x1
Calculando su pendiente:
Actividad.
En los siguientes ejercicios determine la ecuación de la recta que determinan los siguientes pares de puntos en su forma general.
1.- A(0,0), B(3,1)
y - 0 = (x - 0)
y = (x)3y = xx - 3y = 0
1 - 03 - 0
13
2.- B(0,0), B(-4,3)
y - 0 = (x - 0)
y = (x)-4y = 3x3x + 4y = 0
3 - 0-4 - 0
3-4
3.- D(1,1), E(4,3)
y - 1 = (x - 1)
y - 1 = (x - 1)3(y - 1) = 2(x - 1)3y - 3 = 2x - 22x - 3y - 2 + 3 = 02x - 3y + 1 = 0
3 - 14 - 123
4.- F(5,1), G(1,4)
y - 1 = (x - 5)
y - 1 = (x - 5)-4(y - 1) = 3(x - 5)-4y + 4 = 3x - 153x + 4y - 15 - 4 = 03x + 4y - 19 = 0
4 - 11 - 53-4
5.- H(-5,2), I(3,2)
y - 2 = (x - (-5))
y - 2 = (x - (-5))8(y - 2) = 0(x - 5)8y - 16 = 0
2 - 23 - (-5)08
6.- J(4,1), K(-2,-5)
y - 1 = (x - 4)
y - 1 = (x - 4)-6(y - 1) = -6(x - 4)-6y + 6 = -6x + 246x - 6y - 24 + 6 = 06x - 6y - 18 = 0
-5 - 1-2 - 4-6-6
35
7.- L(5, ), M(-1, )
y - = (x - 5)
y - = (x - 5)
y - = (x - 5)
-24(y - ) = x - 5
-24y + 12 = x - 5x + 24y - 5 - 12 = 0x + 24y - 17 = 0
12
34
34
12-
-1 - 514-611
-24
12
12
12
12
8.- O , P
y - = (x - )
y + = (x + )
y + = - (x + )
-4(y + ) = 27(x + )
-4y - 1 = 27x + 927x + 4y + 9 + 1 = 027x + 4y + 10 = 0
15
274
15
920
115
14
14
25- ,1
413- ,-
- -14- 2
5- 13- -
13-
-13
13
14
14
13
Ecuación pendiente - ordenada al origen.
Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen (intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:
y = mx + b
Donde:
Y
X0
b
(0,b)
m = pendiente
b = ordenada al origen
Esta forma también se le conoce como forma simplifica-
da o reducida.
Actividad.
Observa y completa las siguientes ecuaciones expresadas tanto en su forma pendiente - or-denada como en su forma general (La ecuación general no puede estar en fracciones):
Forma y = mx + b Forma general mPendiente
bOrdenada al origen
35
y = - x - 2 3x + 5y + 10 = 0 -235-
36
En las siguientes ecuaciones generales, obtén la ecuación pendiente - ordenada al origen y graficala.
1.- x + y - 3 = 0
y = -x + 3y x-1 40 31 2
2.- x - y - 2 = 0
y = x - 2y x-1 -30 -21 -1
3.- 3x - y + 4 = 0
y = 3x + 4y x-1 10 41 7
4.- 2x + y + 3 = 0
y = -2x - 3y x-1 -10 -31 -5
5.- 5x - 4y + 12 = 0
4y = 5x + 12y =
y = x + 3
y x-1 1.75 0 3 1 4.25
5x + 124
54
6.- 2x - 5y - 30 = 0
5y = 2x - 30y =
y = x - 6
y x-1 -6.4 0 -6 1 -5.6
2x - 305
25
7.- 4x + 9y - 63 = 0
9y = -4x + 63y =
y = x + 7
y x-1 7.44 0 7 1 6.55
-4x + 639
-49
8.- 2x + 7y - 4 = 0
7y = -2x + 4y =
y = - x +
y x-1 0.28 0 0.57 1 0.28
-2x + 47
27
47
-2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
3x - y + 4 = 0
34
y = - x + 3
2x - 3y + 3 = 0
y = -2x
12 -5
3x + 4y - 12 = 0
2x + y = 0
x - 2y - 10 = 0
y = 3x + 4
3y = 2x + 3y = x + 1 2
3
y = x - 5 12
0
+1
+3
+4
-2
3
3423
-
37
Ecuación simétrica de la recta.La forma simétrica de la recta determina las intersecciones de la recta con los ejes y tiene la forma.
xa
yb+ = 1
Actividad.Transforma en su forma simétrica las siguientes ecuaciones.
1.- x + y - 4 = 0x + y = 4 4x4
y4+ = 1
2.- 2x - 5y + 5 = 02x - 5y = -5 -5x-52
+ y = 1
3.- x - 3y + 8 = 0x - 3y = -8 -8
+ = 1y83
x-8
4.- x + 8y - 4 = 0x + 8y = 4 4
+ 2y = 1x4
+ = 1x4
y2
5.- -3x + 4y + 12 = 0-3x + 4y = -12 -12
x4 + = 1y
-3
-3x-12 + = 14y
-12x + = 1y
-12-3
-124
6.- 3x + 5y - 10 = 03x + 5y = 10 103x10 + = 15y
10x + = 1y
2103
7.- x + 3y + 5 = 0
x + 3y = -5 -5
x-5 = + = 1y
12
12
12
x-5 + = 13y
-5
12
x-10 -5
3
8.- - x + y - 4 = 0
- x + y = 4 4x4 = + = 1y
1225
25
25
x-10
13
13
-
Grafica las siguientes rectas y posteriormente transformalas a su forma general.
1.- + = 1
5x + 4y - 20 = 0
x4
y5
x20
=20x4 + = 2020y
5
2.- + = 1
8x + 7y - 56 = 0
x7
y8
x56
=56x7 + = 5656y
8
3.- + = 1
7x + 6y - 42 = 0
x6
y7
x42
=42x7 + = 4242y
8
4.- + = 1
-11x + 10y + 110 = 0
x10
y-11
x-110
=-110x
10 + = -110-110y-11
6.- + = 1
-7x - 5y - 35 = 0
x-5
y-7
x35
=35x-5 + = 3535y
-7
5.- + = 1
-3x - 2y - 6 = 0
x-2
y-3
x6
=6x-2 + = 66y
-3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
-11
38
Rectas paralelas.
Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente.
m1 = m2
Actividad.
Obtén la ecuación de la recta que pasa por A(−3,−1) y es paralela a la recta 2x + 3y − 5 = 0
Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2,2) y D(3,−4). Halla su ecuación.
-ABm =
-23m = y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = (x -(-3))
y + 1 = (x + 3)
3(y + 1) = -2(x + 3)3y + 3 = -2x - 62x + 3y + 3 + 6 = 02x + 3y + 9 = 0
-23
-23
C(-2,2), D(3,-4)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = (x - (-2))
y - 2 = (x + 2) 5(y - 2) = -6(x + 2)5y - 10 = -6x - 126x + 5y - 10 + 12 = 06x + 5y + 2 = 0
-65
y2 - y1x2 - x1
m = = =-4 - 23 - (-2)
-65-65
A(7,8)
y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = (x - 7)
5(y - 8) = -6(x - 7)5y - 40 = -6x + 42 6x + 5y - 40 - 42 = 06x + 5y - 82 = 0
-65
39
Rectas perpendiculares.
Son aquellas rectas que cumplen con m1 ∙ m2 = -1
Actividad.
Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a 3x + 4y − 5 = 0 y pasa por D(−2,−1).
3x + 4y - 5 = 0-ABm1 = = -3
4
-1m1
m2 = = =-1-34
43
D(-2,-1)
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = (x - (-2))
y + 1 = (x + 2)
3(y + 1) = 4(x + 2)3y + 3 = 4x + 84x - 3y + 8 - 3 = 04x - 3y + 5 = 0
43
43
Demuestra que las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 2y = 11 y 3y + 2x = 6 son perpendiculares.
3x + 2y = 113x + 2y - 11 = 0
-ABm1 = = -3
2
3y + 2x = 62x + 3y - 6 = 0
-ABm2 = = -2
3
-32
66
-23 = = 1
No son perpendiculares.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto K(10,2) y es perpendicular a la recta 4x − 6y = 12.
4x - 6y = 124x - 6y - 12 = 0
-ABm1 = = -4
-6
-1m1
m2 = = = --123
32
K(10,2)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = (x - 10)
2(y - 2) = -3(x - 10)2y - 4 = -3x + 303x + 2y - 30 - 4 = 03x + 2y - 34 = 0
46= = 2
3 - 32
40
10. Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto P1(x1,y1) a una recta Ax + By + C = 0 esta dada por la fórmula:
Y
X
Ax + By + C = 0
P1(x1,y1)
dAx1 + By1 + C
A2 + B2d =
Actividad.
Determina la distancia del punto a la recta indicada.
1.- P(1,4), 2x − 7y + 3 = 0
d = = = = 3.15
2.- N(−2,5), 3x + 4y − 5 = 0
d = = = = 95
3.- G(−1,7), 12x + 5y + 26 = 0
d = = = = 4913
4.- R(-3,-7), y - 3 = 0
d = = = = 10
41
11. Circunferencia.Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante:
Y
X
C(ℎ,k)
P(x,y)r
Definición:
Elementos:C: centro
r: radioP(x,y): punto cualquiera de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia.
• Forma canónica
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r, esta dada por la fór-mula:
x2 + y2 = r2
• Forma ordinaria
La ecuación de la circunferencia con centro en el puto C(ℎ, k) y radio r, esta dada por la fórmula:
(x - ℎ)2 + (y - k)2 = r2
• Forma general
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde A = C
Actividad.
Obtén la ecuación en su forma general de la circunferencia.
1.- C(0,0), r = 4
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 0)2 + (y - 0)2 = (4)2
x2 + y2 = 16x2 + y2 - 16 = 0
2.- C(0,0), r =
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 0)2 + (y - 0)2 =
x2 + y2 =
x2 + y2 - = 0
2
3434
42
3.- C(3,-4), r = 6
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 3)2 + (y - (-4))2 = (6)2 x2 - 6x + 9 + (y + 4)2 = 36x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 36x2 + y2 - 6x + 8y + 25 = 36x2 + y2 - 6x + 8y + 25 - 36 = 0x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0
5.- C(5,-12), r = 13
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 5)2 + (y - (-12))2 = (13)2 x2 - 10x + 25 + (y + 12)2 = 169x2 - 10x + 25 + y2 + 24y + 144 = 169x2 + y2 - 10x + 24y + 169 = 169x2 + y2 - 10x + 24y + 169 - 169 = 0x2 + y2 - 10x + 24y = 0
6.- C(-1,-6), r = 8
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - (-1))2 + (y - (-6))2 = (8)2 (x + 1)2 + (y + 6)2 = 64x2 + 2x + 1 + y2 + 12y + 36 = 64x2 + y2 + 2x + 12y + 37 = 64x2 + y2 + 2x + 12y + 37 - 64 = 0x2 + y2 + 2x + 12y - 27 = 0
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (6,0).
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = (6)2
x2 + y2 = 36x2 + y2 - 36 = 0
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, −4) y pasa por el origen.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 3)2 + (y - (-4))2 = (5)2
x2 - 6x + 9 (y + 4)2 = 25x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 25x2 + y2 - 6x + 8y + 25 = 25x2 + y2 - 6x + 8y + 25 - 25 = 0x2 + y2 - 6x + 8y = 0
43
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (4, −1) y que pasa por (−1,3).
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro a A(−1,5) y B(−5, −7).
x1 + x22
y1 + y22Pm = C = ,
A(-1,5), B(-5,7)
-1 + (-5)2
5 + (-7)2 C = ,
-1 - 52
5 - 72 C = ,
-62
-22 C = ,
C = (-3,-1)
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (−2,3) que es tangente a la recta 20x − 21y − 42 = 0.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - (-2))2 + (y - 3)2 = (5)2
(x + 2)2 + y2 - 6y + 9 = 25x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 9 - 25 = 0x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0
d = r = = = = = = 5 14529
44
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, −5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0
7x - 9y = 102x - 5y = -2
x72
y-9-5
(1)(2)
(1)(2)
= (7)(-5) - (-9)(2)
= -35 + 18 = -17TI
10-2
y-9-5
(1)(2)
= (10)(-5) - (-9)(-2)
= -50 - 18 = -68x72
TI10-2
(1)(2)
= (7)(-2) - (10)(2)
= -14 - 20 = -34
x = = = 4-68-17
y = = = 2-34-17
C(4,2)
Obtención del centro y radio a partir de la ecuación general.
A partir de la ecuación general pueden determinarse las coordenadas del centro y la longi-tud del radio; esto se realiza completando los trinomios cuadrados y simplificando.
El siguiente ejemplo muestra el procedimiento:
x2 + y2 − 6x + 8y − 11 = 0
Inicialmente se agrupan “x” y “y”, el termino independiente se coloca del lado derecho.
x2 − 6x + y2 + 8y = 11
Ahora se completan cuadrados tanto para “x” como para “y”, se suma la misma cantidad que se utiliza para completar el trinomio del lado derecho.
x2 - 6x + + y2 + 8y + = 11 + + 62
2 82
2 62
282
2
Desarrollando y simplificando:
x2 − 6y + 9 + y2 + 8y + 16 = 11 + 9 + 16(x − 3)2 + (y + 4)2 = 36
45
Una vez llegando a la ecuación canónica se obtienen las coordenadas del centro y la lon-gitud del radio.
x - 3 = 0 y + 4 = 0x = 3 y = - 4
C(3,-4)
Actividad.
Encuentra las coordenadas de centro y la longitud del radio de las circunferencias siguientes.
1.- x2 + y2 + 6x - 4y - 12 = 0
x + 3 = 0 y - 2 = 0x = -3 y = 2
C(-3,2)
2.- x2 + y2 + 4x + 12y + 36 = 0
x2 + 4x + y2 + 12y = -36
x2 + 4x + + y2 + 12y + = - 36 + +
x2 + 4x + 4 + y2 + 12y + 36 = -36 + 4 + 36(x + 2)2 + (y + 6)2 = 4
42
2122
242
2122
2 x + 2 = 0 y + 6 = 0x = -2 y = -6
C(-2,-6)
3.- x2 + y2 - 8x - 2y + 1 = 0
x2 - 8x + y2 - 2y = -1
x2 - 8x + + y2 - 2y + = -1 + +
x2 - 8x + 16 + y2 - 2y + 1 = -1 + 16 + 1(x - 4)2 + (y - 1)2 = 16
-82
2-22
2-82
2-22
2 x - 4 = 0 y - 1 = 0x = 4 y = 1
C(4,1)
4.- x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 4y = 12
x2 + 6x + + y2 - 4y + = 12 + +
x2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = 12 + 9 + 4(x + 3)2 + (y - 2)2 = 25
62
2-42
262
2-42
2
x2 - 10x + y2 + 4y = 7
x2 - 10x + + y2 + 4y + = 7 + +
x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 7 + 25 + 4(x - 5)2 + (y + 2)2 = 36
-102
242
2-10 2
242
2 x - 5 = 0 y + 2 = 0x = 5 y = -2
C(5,-2)
46
5.- 2x2 + 2y2 + 12x - 2y - 3 = 0
2x2 + 12x + 2y2 - 2y = 3
x2 + 6x + y2 - y =
x2 + 6x + + y2 - y + = + +
x2 + 6x + 9 + y2 - y + = + 9 +
(x + 3)2 + (y - )2 =
62
2-12
26 2
2-12
2
232
32
14
32
14
12
434
x + 3 = 0 y - = 0
x = -3 y = .
C(-3, )
12
12
12
r2 =
r =
434434
6.- 3x2 + 3y2 - 6x + 5y = 0
3x2 - 6x + 3y2 + 5y = 0
x2 - 2x + y2 + y = 0
x2 - 2x + + y2 + y + = +
x2 - 2x + 1 + y2 + y + = 1 +
(x + 1)2 + (y + )2 =
-22
2
2
2
3
2536
2536
56
6136
53
53
53 -2
2
2
2
253
53
x + 1 = 0 y + = 0
x = -1 y = - .
C(-3,- )
56
56
12
r2 =
r =
6136
6136
Demuestra que las circunferencias 4x2 + 4y2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 − 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
4x2 - 16x + 4y2 + 12y = -13
x2 - 4x + y2 + 3y =
x2 - 4x + + y2 + 3y + = + +
x2 - 2x + 4 + y2 + 3y + = + 4 +
(x - 2)2 + (y + )2 = 3
-42
232
2
4
94
32
-134
-134
-42
232
2
-134
94
x - 2 = 0 y + = 0
x = 2 y = - .
C(2,- )
32
32
32
12x2 - 48x + 12y2 + 36y = -55
x2 - 4x + y2 + 3y =
x2 - 4x + + y2 + 3y + = + +
x2 - 2x + 4 + y2 + 3y + = + 4 +
(x - 2)2 + (y + )2 =
-42
232
2
12
94
32
-5512
-5512
-42
232
2
-5512
94
53
Las circunferencias son concéntricas por que tienen el centro en el mismo punto.
47
12. Parábola.
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.
P(x,y)
D Y
V
D´R
F X
PF = PD
Elementos:
V: Vertice
F: Foco
DD´: Directriz
LR: Lado recto
p: parametro
(distancia del vértice al foco o a la directriz)p p
De acuerdo con el signo del parámetro se determina la concavidad de la parábola:
p es positivo p es negativo
Horizontal
Vertical
Formulas.
Parábola horizontal con vértice en elorigen.
Parábola vertical con vértice en elorigen.
Parábola horizontal con vértice en el origen.
Parábola vertical con vértice en el origen.
48
Actividad.
Halla todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 = 4x y2 = 4px4p = 4
p = = 1 44
F = (1,0)
V = (0,0)-3 -2 -1 1 2 3
0
3
2
1
-1
-2
-3
y
xV F
D
D´
L
R
p p
2.- x2 = -12y x2 = 4py4p = -12
p = = -3 -124
F = (0,-3)
V = (0,0)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
F
v
D D´
L R
p
p
3.- y2 + 12x = 0 y2 = - 12x y2 = 4px
4p = -12
p = = -3 -124
F = (-3,0) V = (0,0)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
D
D´
L
Rp p
VF
DD´: x + p = 0 x + 1 = 0 x = -1
DD´: y + p = 0 y + (-3) = 0 y - 3 = 0 y = 3
DD´: x + p = 0 x + (-3) = 0 x - 3 = 0 x = 3
49
4.- x2 - 16y = 0 x2 = 16y x2 = 4px4p = 16
p = = 4 164
V = (0,0) F = (4,0) DD´: x + p = 0 x + 4 = 0 x = -4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
xV F
D
D´
L
Rp p
5.- (20y - x2 = 0)- -20y + x2 = 0 x2 = 20y x2 = 4py
4p = 20
p = = 5204
V = (0,0)
F = (0,5)
DD´: y + p = 0 y + 5 = 0 y = -5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xV
F
D D´
L R
p
p
6.- 20x2 = 64y 5
x2 = y x2 = 4py
645
4p =
p = = 4
645
645 16
5
V = (0,0)
F = (0, )165
DD´: y + p = 0 y + = 0 y = -
165
165
165
645
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xV
F
D D´
L R
50
Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisfaga las condiciones y traza la gráfica.
1.- Foco en (3,0) R: y2 = 12x
1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xF
2.- Foco en (-4,0) R: y2 = -16x
-5 -4 -3 -2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
xF
3.- La directriz x + 4 = 0R: y2 = 16x
4.- La directriz y - 4 = 0R: x2 = -16y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
D D´
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
D
D´
5.- LR = 10 y abre hacia la derecha.R: y2 = 10x
6.- LR = 8 y abre hacia arriba.R: x2 = 8y
1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
L
R
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
3
2
1
-1
y
x
L R
51
Formulas.
Parábola horizontal con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (y - k)2 = 4p(x - ℎ)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ + p, k)Directriz: x + p = ℎLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje y = kGeneral: Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
0 D´ ℎXR
pp F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Parábola vertical con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (x - ℎ)2 = 4p(y - k)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ,k + p)Directriz: y + p = kLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje x = ℎGeneral: Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
D´
ℎ X
Rp
p
F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Actividad.
Determina todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 + 8x + 8 = 0 y2 = -8x - 8 y2 = -8(x + 1)(y - k)2 = 4p(x - h)(y - 0)2 = -8(x - (+1))(y - 0)2 = -8(x - 1)
4p = -8
p = = -2-84
V(h,k) =(-1,0)
F(h+p,k) = (-1 + (-2),0) = (-1 - 2,0) F = (-3,0)
DD´: x + p = h x + (-2) = -1 x - 2 = -1 x = -1 + 2 x = 1
-4 -3 -2 -1 1 20
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xV
D
F
D´
L
Rp p
52
2.- x2 + 4y + 8 = 0 x2 = -4y - 8 x2 = -4(y + 2)(x - h)2 = 4p(y - k)(x - 0)2 = -4(y - (+2))(x - 0)2 = -4(y - 2)
4p = -4
p = = -1-44
V(h,k) =(0,-2) DD´: y + p = k y + (-1) = -2 y - 1 = -2 y = -2 + 1 y = -1
-3 -2 -1 1 2 30
1
-1
-2
-3
-4
y
x
VD
F
D´
L R
p
3.- y2 - 12x - 48 = 0 y2 = 12x + 48 y2 = 12(x + 4)(y - k)2 = 4p(x - h)(y - 0)2 = 12(x - (+4))(y - 0)2 = 12(x - 4)
4p = 12
p = = 3124
V(h,k) =(-4,0)
F(h,k + p) = (0 ,-2 + (-1)) = (0,-2 - 1) F = (0,-3)
F(h + p,k) = (-4 + 3,0) F = (-1,0)
DD´: x + p = h x + 3 = -4 x = -4 - 3 x = -7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
xV F
D
D´
L
R
ℎ
42
4.- x2 + 4x + 16y + 4 = 0 x2 + 4x = -16y - 4
x2 + 4x + = -16y - 4 +
x2 + 4x + 4 = -16y - 4 + 4 (x + 2)2 = -16y (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (+2))2 = -16(y - 0) (x - 2)2 = -16(y - 0)
242
2
4p = -16
p = = -4 -164
V(h,k) =(-2,0) F(h,k + p) = (-2,0 + (-4)) F = (-2,-4)
DD´: y + p = k y + (-4) = 0 x - 4 = 0 x = 4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xV
D
F
ℎ D´
L R
p
p
53
102
5.- x2 + 10x - 20y + 25 = 0 x2 + 10x = 20y - 25
x2 + 10x + = 20y - 25 +
x2 + 10x + 25 = 20y - 25 + 25 (x + 5)2 = 20y (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (+5))2 = 20(y - 0) (x - 5)2 = 20(y - 0)
2102
2
4p = 20
p = = 5204
V(h,k) =(-5,0) F(h,k + p) = (-5,0 + 5) F = (-5,5)
DD´: y + p = k y + 5 = 0 y = -5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xV
D
F
-11 -12 -13 -14 -15
D´
L R
p
p
82
6.- y2 + 8y + 6x + 16 = 0 y2 + 8y = -6x - 16
y2 + 8y + = -6x - 16 +
y2 + 8y + 16 = -6x - 16 + 16 (y + 4)2 = -6x (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+4))2 = -6(x - 0) (y - 4)2 = -6(x - 0)
282
2V(h,k) =(0,-4)4p = -6
p = = -1.5 -64
F(h + p,k) = (0 + (-1.5 ), 4) F = (-1.5,-4)
DD´: x + p = h x + (-1.5) = 0 x - 1.5 = 0 x = 1.5
-3 -2 -1 1 20
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
V
D
F
D´
L
R
p
54
4p = -20
p = = -5 -2048
2
7.- y2 + 8y + 20x + 56 = 0 y2 + 8y = -20x - 56
y2 + 8y + = -20x - 56 +
y2 + 8y + 16 = -20y - 56 + 16 (y + 4)2 = -20x - 40 (y + 4)2 = -20(x + 2) (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+4))2 = -20(x - (+2)) (y - 4)2 = -20(x - 2)
282
2
V(h,k) =(-2,-4)
F(h,p + k) = (-2 + (-5), -4) F = (-2 - 5,-4) F = (-7,-4)
DD´: x + p = k x + (-5) = -2 x - 5 = -2 x = -2 + 5 x = 3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
V
D
F
-11
-12
-13
-14 D´
ℎ
k
p p
L
R
22
8.- x2 + 2x + 4y - 19 = 0 x2 + 2x = -4y + 19
x2 + 2x + = -4y + 19 +
x2 + 2x + 1 = -4y + 19 + 1 (x + 1)2 = -4y + 20 (x + 1)2 = -4(y - 5) (x -h)2 = 4p(y - k) (x - (+1))2 = -4(y - (+5)) (x - 1)2 = -4(y + 5)
222
24p = -4
p = = -1 -44
V(h,k) =(-1,5)
F(h,k + p) = (-1,5 + (-1)) F = (-1,5 - 1) F = (-1,4)
DD´: y + p = k y + (-1) = 5 y - 1 = 5 y = 5 + 1 y = 6
-4 -3 -2 -1 1 2 30
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
x
V
LF
D´
R
D
pk
ℎ
55
9.- 4x2 - 12x - 16y + 41 = 0 4 x2 - 3x = 4y -
x2 - 3x + = 4y - +
x2 - 3x + 2.25 = 4y - 10.25 + 2.25 (x - 1.5)2 = 4y - 8 (x - 1.5)2 = 4(y - 2) (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (-1.5))2 = 4(y - (-2)) (x + 1.5)2 = 4(y + 2)
414
32
232
2414
4p = 4
p = = 4 44
V(h,k) =(1.5,2)
F(h,k + p) = (1.5,2 + 1) F = (1.5,3)
DD´: y + p = k y + 1 = 2 y = 2 - 1 y = 1
-2 -1 1 2 3 4 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
VD
F
D´
p
ℎ
k
10.- 16y2 + 8y - 24x + 49 = 0 16 y2 + y - x + = 0
y2 + y + = x - +
y2 + y + = x - + (y + )2 = x - 3 (y + )2 = (x - 2) (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+ ))2 = (x - (-2)) (y - )2 = (x + 2)
12
32
4916
12 2
212 3
24916 2
212
12
116
32
4916
116
14
32
14
32
14
32
14
32
4p =
p = = 4
32
32
38
V(h,k) =(2,- )14
F(h + p,k) = (2 + ,- ) F = ( ,- )
38
14
198
14
DD´: x + p = h x + = 2 x = 2 - x =
38 3
8138
38
32
1 20
1
-1
y
x
V F
D
D´
L
R
p
ℎ
k
56
Escribe la ecuación de la parábola con base a los datos proporcionados.
1.- V(3,2),F(3,4) R: x2 - 6x - 8y + 25 =0
2.- V(-6,-4),F(0,4) R: y2 + 8y - 16x - 80 = 0
3.- V(2,4),F(-3,4) R: y2 - 8y + 20x - 24 = 0
4.- V(3,-1),F(3,-5) R: x2 - 6x + 16y + 25 = 0
5.- V(4,1), directriz: x = 2 R: y2 - 2y - 8x + 33 = 0
6.- V(4,1), directriz: y = -3 R: x2 - 8x - 16y + 32 = 0
7.- V(4,-2), LR = 8; abre a la derecha. R: y2 + 4y - 8x + 36 = 0
8.- V(1,2), LR = 8; abre hacia abajo. R: x2 - 2x + 8y - 15 = 0
9.- F(2,-3), directriz: x = 6 R: y2 + 6y + 8x - 23 = 0
10.- F(-2,2), directriz: y = 4 R: x2 + 4x + 4y - 8 = 0
57
13. Elipse.Lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que la suma de distancias a dos puntos fijos lla-mados focos es igual a una constante (2a).
PF1 + PF2 = 2a
C: Centro.V1,V2: Vertices.F1,F2: Focos.B1,B2: Extremos del eje menor.V1V2 = 2a (eje mayor).F1F2 = 2c (eje focal).B1B2 = 2b (eje menor).
LR = (lado recto).
e = < 1 (excentricidad).
2b2
aca
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C
P(x, y)
Elementos y ecuación.
Elipse horizontal con centro en el origen.
Elipse vertical con centro en el origen.
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C(0, 0)
Y
X
R1F1
R2
V1
L1
B2 B1
F2
V2
L2
C(0, 0)
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0)
Extremos del eje menor: B(0,±b)
x2
a2y2
b2
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
x2
b2y2
a2
58
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
x2
251.- + = 1y2
9
x2
a2 + = 1y2
b2
C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±5,0)F1F2: (±c,0) = (±4,0)B1B2: (0,±b) = (0,±3)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(4) = 8B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = = 3.6
e = < 1 = < 1 = 0.8 < 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
45
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
C = (0,0)V1V2: (0,±a) = (0,±5)F1F2: (0,±c) = (0,±4)B1B2: (±b,0) = (±3,0)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(4) = 8B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = = 3.6
e = < 1 = < 1 = 0.8 < 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
45
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
5
6
-5
-6
y2
252.- + = 1x2
9
x2
b2 + = 1y2
a2
59
x2
1693.- + = 1y2
144
x2
a2 + = 1y2
b2C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±13,0)F1F2: (±c,0) = (±5,0)B1B2: (0,±b) = (0,±12)V1V2 = 2a = 2(13) = 26F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(12) = 24
LR = = = =
e = < 1 = < 1
2b2
a2(12)2
132(144)
1328813
ca
513
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
y
x12 14 -12 -14
12
14
-12
-14
CV1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
y2
94.- + = 1x2
4
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
y2
255.- + = 1x2
16 C = (0,0)V1V2: (0,±a) = (0,±5)F1F2: (0,±c) = (0,±3)B1B2: (±b,0) = (±4,0)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = = = 6.4
e = < 1 = < 1 = 0.6 < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1
L2 R2
R1
x2
b2 + = 1y2
a2
x2
b2 + = 1y2
a2
60
x2
496.- + = 1y2
25
x2
a2 + = 1y2
b2
2b2
a2(5)2
72(25)
7507
ca
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
7.- x2 + 4y2 = 4 4
x2
a2 + = 1y2
b2
x2
4 + = 1y2
1
2b2
a2(1)2
22(1)
222
ca
-2 -1 1 2 0
1
-1
y
xC V1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
61
8.- 2x2 + 3y2 = 12 12
x2
a2 + = 1y2
b2
2x2
12 + = 13y2
12x2
+ = 1y2
123
122 x2
6 + = 1y2
4
2b2
aca
-3 -2 -1 1 2 30
2
1
-1
-2
y
xCV1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
9.- 9x2 + 4y2 = 36 36
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
x2
b2 + = 1y2
a2
9x2
36 + = 14y2
36x2
+ = 1y2
364
369x2
4 + = 1y2
9
62
10.- 16x2 + 25y2 = 400 400
C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±5,0)F1F2: (±c,0) = (±3,0)B1B2: (0,±b) = (0,±4)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = = = 6.4
e = < 1 = < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xCV1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- F(±4,0), V(±5,0)
x2
25 + = 1y2
9
2.- F(0,±8), V(0,±17)
x2
225 + = 1y2
289
3.- Lr = 5, V(±10,0)
x2
100+ = 1y2
25
4.- F(0, ±6), semieje menor = 8
x2
16 + = 1y2
52
5.- F(±5,0), e = 58
x2
64 + = 1y2
39
6.- V(±5,0), B(0, ±4)
x2
25 + = 1y2
16
x2
a2 + = 1y2
b2
16x2
400 + = 125y2
400x2
+ = 1y2
40025
40016x2
25 + = 1y2
16
63
Formulas.
Elipse horizontal con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ ± a, k)
Foco: F(ℎ ± c, k)
Extremos del eje menor: B(ℎ, k ± b)
(x-ℎ)2
a2(y-k)2
b2
Elipse vertical con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ, k ± a)
Foco: F(ℎ, k ± c)
Extremos del eje menor: B(ℎ ± b, k)
(x-ℎ)2
b2(y-k)2
a2
General
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
1.- + = 1(x - 3)2
16(y - 2)2
9
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
a 2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
yy
y
64
2.- + = 1(x - 5)2
169(y + 5)2
49
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
y
x
C V1
V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
2b2
a2(7)2
132(49)
49813
ca
3.- + = 1(y + 3)2
36(x - 6)2
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
a
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(4)2
62(16)
6326
ca
ℎ,k
65
4.- + = 1(x + 5)2
9(y - 1)2
4
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
4
3
2
1
-1
-2
y
xC V1V2 F1F2
B2
L1L2
R2 R1
B1
5.- + = 1x2
16(y - 2)2
25
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
C = (ℎ,k) = (0,2)V1V2: (h,k±a) = (0,2±5) = (0,7) y (0,-3)F1F2: (h,k±c) = (0,2±3) = (0,5) y (0,-1)B1B2: (h±b,k) = (0±4,2) = (4,2) y (-4,2)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = =
e = < 1 = < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
66
6.- + = 1(x - 4)2
4(y - 3)2
9
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca 1 2 3 4 5 6 7
0
7
6
5
4
3
2
1
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
7.- x2 + 16y2 - 10x + 64y + 73 = 0
x2 - 10x + 16y2 + 64y = -73
x2 - 10x + +16(y2 + 4y) = -73 +
x2 - 10x + 25 + 16(y2 + 4y + ) = -73 + 25 + 16( )
(x - 5)2 + 16(y2 + 4y + 4) = -48 + 64(x - 5)2 + 16(y + 2)2 = 16 16
102
2102
2
42
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
(x - 5)2
16 + = 1(y + 2)2
1616
(x - 5)2
16 + = 1(y + 2)2
1
2b2
a2(1)2
424
12
ca
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C V1V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
67
8.- 4x2 + y2 - 16x - 6y - 11 = 0
4x2 - 16x + y2 - 6y = 11
4(x2 - 4x) + y2 - 6y + = 11 +
4(x2 - 4x + ) + y2 - 6y + 9 = 11 + 9 + 4( )
4(x2 - 4x + 4) + (y - 3) = 20 + 164(x - 2)2 + (y -3)2 = 36 36
42
242
2
62
262
2
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
(x - 2)2+ = 1(y - 3)2
36364
(x - 2)2
9 + = 1(y - 3)2
36
2b2
a2(3)2
62(9)
6186
ca
-2 -1 1 2 3 4 5 6 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
9.- 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0
4x2 - 8x + 9y2 - 36y = -44(x2 - 2x) + 9(y2 - 4y) = -4
4(x2 - 2x + ) + 9(y2 - 4y + ) = -4 + 4( ) + 9( )
4(x2 - 2x + 1) + 9(y2 - 4y + 4) = -4 + 4 + 364(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36 36
22
242
222
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
4(x - 1)2
36 + = 19(y - 2)2
36(x - 1)2
+ = 1(y - 2)2
364
369
(x - 1)2
9 + = 1(y - 2)2
4
68
-3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
10.- 5x2 + 9y2 + 30x - 36y + 36 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)3
83
ca
5x2 + 30x + 9y2 - 36y = -365(x2 + 6x) + 9(y2 - 4y) = -36
5(x2 + 6x + ) + 9(y2 - 4y + ) = -36 + 5( ) + 9( )
5(x2 + 6x + 9) + 9(y2 - 4y + 4) = -36 + 45 + 365(x + 3)2 + 9(y - 2)2 = 45 45
62
242
262
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
5(x + 3)2
45 + = 19(y - 2)2
45(x + 3)2
+ = 1(y - 2)2
455
459
(x + 3)2
9 + = 1(y - 2)2
5
2b2
a2(5)
3103
ca
23
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
5
4
3
2
1
-1
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1
L2
R2
R1
69
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- V1(−2,3), V2(8,3) y F1(−1,3), F2(7,3)
(x - 3)2
25 + = 1(y - 3)2
9
2.- V1(−2,−5), V2(−2,3) y F1(−2, −4), F2(−2,2)
(x + 2)2
7 + = 1(y + 1)2
16
3.- V1(0,0), V2(8,0) y B1(4,3), B2(4,−3)
(x - 4)2
16 + = 1(y - 0)2
9
4.- B1(3,2), B2(3,6) y eje mayor = 10
(x - 3)2
25 + = 1(y - 4)2
4
5.- V1(−4,5), V2(16,5) y e = 45
6.- e = y F1(0,0) F2(0, −4)23
(x - 6)2
100 + = 1(y - 5)2
36(x - 0)2
5 + = 1(y + 2)2
9
7.- V1(−4,6), V2(−4, −4) y un foco F1(−4,−3) 8.- F1(−9,−2), F2(−3,−2) y e = 35
(x + 4)2
9 + = 1(y - 1)2
25(x + 6)2
25 + = 1(y + 2)2
16
70
14. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre cons-tante.
Elementos y ecuación.
Hipérbola horizontal con centro en el origen.
Y
XC
I1
L1
F1R1
V1
B2
V2
L2
F2R2
B1 P(x, y)
I2
C: CentroV1,V2: VérticesF1,F2: FocosB1,B2: Extremos del eje conjugadoV1V2 = 2a (eje transverso o real)F1F2 = 2c (eje focal)B1B2 = 2b (eje conjugado o imaginario)
LR = (lado recto)
e = < 1 (excentricidad)
l1 y l2: Asíntotas
ca
2b2
a
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0 )
Extremos del eje conjugado: B(0,±b)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ba
ba
x2
a2y2
b2
71
Hipérbola vertical con centro en el origen.
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ab
ab
y2
a2x2
b2
Actividad.
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
x2
81y2
91.- - = 1
2b2
a2(3)2
92(9)
9189
ca
ba
3x9
x3
ba
3x9
x3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2
F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
72
y2
8x2
52.- - = 1
2b2
aca
138
ab
85
ab
85
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
y2
16x2
43.- - = 1
2b2
a2(2)2
42(4)
484
ca
ab
42
ab
42
-3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1
L2R2
R1
l2
l1
x2
b2 - = 1y2
a2
x2
b2 - = 1y2
a2
73
x2
36y2
644.- - = 1
C = (h,k) = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±6,0) = (6,0) y (-6,0)F1F2: (±c,0) = (±10,0) =(10,0) y (-10,0)B1B2: (0,±b) = (0,±6) = (0,6) y (0,-6)V1V2 = 2a = 2(6) = 12F1F2 = 2c = 2(10) = 20B1B2 = 2b = 2(8) = 16
LR = = = = =
e = > 1 = > 1 =
l1: y = x = x = x y l2: y = - x = - = - x
2b2
a2(8)2
62(64)
6128
9ca
106
ba
86
43
643
53
ba
86
43
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
xCV1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
25y2
95.- - = 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
ba
35
ba
35
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
x2
a2 - = 1y2
b2
74
y2
46.- x2 - = 1
2b2
a2(2)2
12(4)
181
ca
ba
21
ba
21
-3 -2 -1 1 2 3 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xCV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
7.- 9x2 − 4y2 = 36 36
2b2
a2(3)2
22(9)
2182
ca
ba
32
ba
32
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
xCV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
x2
1 - = 1y2
4
x2
a2 - = 1y2
b2
9x2
36 - = 14y2
36x2
4 - = 1y2
9
75
8.- 4x2 − 9y2 = 36 36
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ba
23
ba
23
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2 F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
9.- 4x2 − 5y2 - 20 = 0
2b2
aca
ba
ba
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2
L1L2
R2 R1
l2
l1
F1F2
B1
B2
x2
a2 - = 1y2
b2
4x2
36 - = 19y2
36x2
9 - = 1y2
4
x2
a2 - = 1y2
b2
4x2
20 - = 15y2
20x2
5 - = 1y2
4
4x2 - 5y2 = 20 20
76
10.- 5x2 − 6y2 + 30 = 0
y2
a2 - = 1x2
b2
5x2
-30 - = 16y2
-30y2
5 - = 1x2
6
5x2 - 6y2 = -30 -30
x2
6- - = 1y2
5-
2b2
aca
115
ab
5656
ab
56
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xCV1V2 F1F2
L1L2
R2 R1
l2
l1
B1
B2
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.
1.- V(0,±3) y F(0,±5)
y2
9 - = 1x2
16
2.- F(±5,0), V(±4,0)
x2
16 - = 1y2
9
3.- Lr = , V(±3,0)83
x2
9 - = 1y2
4
4.- V(±6,0), e =
x2
36 - = 1y2
9
5.- F(±5,0), Eje real = 8
x2
16 - = 1y2
9
6.- F(0,±13), Eje imaginario = 24
y2
25 - = 1x2
144
77
Formulas.
Hipérbola horizontal con centro (h,k)
Hipérbola vertical con centro (h,k)
ba
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ ± a,k)
Foco: F(ℎ ± c,k)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ,k ± b)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(y - k)2
b2(x - ℎ)2
a2
ba
ab
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ,k ± a)
Foco: F(ℎ,k ± c)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ ± b,k)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(x - ℎ)2
b2(y - k)2
a2
ab
General
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Donde A y C de signo contrario.
78
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
(x + 2)2
16(y - 3)2
91.- - = 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
C V1V2F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
(x - ℎ)2
a2 - = 1(y - k)2
b2C = (h,k) = (-2,3)V1V2: (h±a,k) = (-2±4,3) = (2,3) y (-6,3)F1F2: (h±c,k) = (-2±5,3) =(3,3) y (-7,3)B1B2: (h,k±b) = (-2,3±3) = (-2,6) y (-2,0)V1V2 = 2a = 2(4) = 8F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = =
e = > 1 =
l1: y - k = (x - h) l2: y - k = - (x - h)
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ba
ba
92
l1: y - 3 = (x - (-2))34
l1: y - 3 = (x + 2)34
l1: y - 3 = x +34
64
l1: y = x + + 334
64
l1: y = x +34
92
l2: y - 3 = - (x - (-2))34
l2: y - 3 = - (x + 2)34
l2: y - 3 = - x -34
64
l2: y = - x - + 334
64
l2: y = - x +34
32
79
(y - 3)2
16(x + 2)2
92.- - = 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
(y - k)2
a2 - = 1(x - ℎ)2
b2C = (ℎ,k) = (-2,3)V1V2: (h,k,±a) = (-2,3,±4) = (-2,7) y (-2,-1)F1F2: (h,k±c) = (-2,3±5) = (-2,8) y (-2,-2)B1B2: (h±b,k) = (-2±3,3) = (1,3) y (-5,3)V1V2 = 2a = 2(4) = 8F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = =
e = > 1 =
l1: y - k = (x - h) l2: y - k = - (x - h)
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ab
ab
l1: y - 3 = (x - (-2))43
l1: y - 3 = (x + 2)43
l1: y - 3 = x +43
83
l1: y = x + + 343
83
l1: y = x +43
173
l2: y - 3 = - (x - (-2))43
l2: y - 3 = - (x + 2)43
l2: y - 3 = - x -43
83
l2: y = - x - + 343
83
l2: y = - x +43
13
80
(x - 4)2
25(y - 5)2
253.- - = 1
(x - ℎ)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(5)2
52(25)
5505
ca
ba
ba
l1: y - 5 = (x - 4)55
l1: y - 5 = x - 4 l1: y = x - 4 + 5l1: y = x + 1
l2: y - 5 = - (x - 4)55
l2: y - 5 = -x + 4l2: y = -x + 4 + 5l2: y = -x + 9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 0
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
81
(y + 2)2
36(x - 1)2
254.- - = 1
(y - k)2
a2 - = 1(x - ℎ)2
b2
2b2
a2(5)2
62(25)
6506
ca
ab
ab
l1: y - (-2) = (x - 1)65
l1: y + 2 = x - 65
l1: y = x - - 265
65
l1: y = x - 65
165
l2: y - (-2) = - (x - 1)65
l2: y + 2 = - x +65
l2: y = - x + - 265
65
l2: y = - x - 65
45
253
65
65
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
82
5.- x2 − 4y2 − 2x + 16y − 7 = 0
2b2
aca
102
ab
l1: y - 2 = (x - 1)28
l1: y - 2 = x -
l1: y = x - + 2
l1: y = x +
l2: y - 2 = - (x - 1)
l2: y - 2 = - x +
l2: y = - x + + 2
l2: y = - x +
12
12
12
12
12
32
ab
28
12
12
12
12
12
52
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2R2
R1
l2
l1
x2 - 4y2 - 2x + 16y = 7x2 - 2x - 4y2 + 16y = 7
x2 - 2x + + 4(y2 - 4y) = 7 +
x2 - 2x + 1 - 4(y2 - 4y + ) = 7 + 1 + (-4 )
(x - 1)2 - 4(y2 - 4y + 4) = 8 - 16(x - 1)2 - 4(y - 2)2 = -8 -8
22
222
2
42
242
2
(y - k)2
a2 - = 1(x - h)2
b2
(y - 2)2
2 - = 1(x - 1)2
8
(x - 1)2
-8 - = 14(y - 2)2
-8(y - 2)2
- = 1(x - 1)2
8-8-4
83
6.- 9x2 − 4y2 + 18x - 24y + 9 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ab
l1: y - 3 = (x - (-1))32
l1: y - 3 = (x + 1)
l1: y - 3 = x +
l1: y = x + + 3
l2: y - 3 = - (x - (-1))
l2: y - 3 = - (x + 1)
l2: y - 3 = - x -
l2: y = - x - + 3
3232
32
32
32
l1: y = x + 32
92
l1: y = - x -
ab323232
32
32
32
32
32
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
9x2 + 18x - 9y2 - 24y = -9 9(x2 + 2x) - 4(y2 + 6y) = -9
9(x2 + 2x + ) - 4(y2 + 6y + ) = -9 + 9 +(-4 )
9(x2 + 2x + 1) - 4(y2 + 6y + 9) = -9 + 9 - 369(x + 1)2 - 4(y+ 3)2 = - 36 -36
22
262
2
(y - k)2
a2 - = 1(x - h)2
b2
(y + 3)2
9 - = 1(x + 1)2
4
9(x + 1)2
-36 - = 14(y + 3)2
-36(x + 1)2
- = 1(y + 3)2
-369
22
262
2
-36-4
84
7.- 9x2 − 16y2 + 36x + 32y - 124 = 0
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ba
l1: y - 1 = (x - (-2))34
l1: y - 1 = (x + 2)
l1: y - 1 = x +
l1: y = x + + 1
3434
64
34
64
l1: y = x + 34
52
ba
l2: y - 1 = - (x - (-2))34
l2: y - 1 = - (x + 2)
l2: y - 1 = - x -
l2: y = - x - + 1
3434
64
34
64
l2: y = - x - 34
12
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2
F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
9x2 + 36x - 16y2 + 32y = 124 9(x2 + 4x) - 16(y2 - 2y) = 124
9(x2 + 4x + ) - 16(y2 - 2y + ) = 124 + 9 +(-16 )
9(x2 + 4x + 4) - 16(y2 - 2y + 1) = 124 + 36 - 169(x + 2)2 - 16(y- 1)2 = 144 144
42
222
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
(x + 2)2
16 - = 1(y - 1)2
9
9(x + 2)2
144 - = 116(y - 1)2
144(x + 2)2
- = 1(y - 1)2
1449
42
222
2
14416
85
8.- 4x2 − 9y2 - 4x + 18y - 44 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ba
l1: y - 1 = (x - 0.5)23
l1: y - 1 = x -
l1: y = x - + 1
l1: y = x -
23
23
13
23
23
l2: y - 1 = - (x - 0.5)
l2: y - 1 = - +
l2: y = - x + + 1
l2: y = - x +
13
ba2323
23
13
23
43
13
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
xC V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
4x2 - 4x - 9y2 + 18y = 44 4(x2 - x) - 9(y2 - 2y) = 44
4(x2 - x + ) - 9(y2 - 2y + ) = 44 + 4 +(-9 )
4(x2 - x + ) - 9(y2 - 2y + 1) = 44 + 1 - 9
4(x - )2 - 9(y - 1)2 = 36
36
12
222
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
4(x - )2
36 - = 19(y - 1)2
36
364
12
222
2
369
14
12
12
(x - )2
- = 1(y - 1)212
(x - )2
9 - = 1(y - 1)2
4
12
86
9.- 4x2 − y2 - 4y - 40 = 0
2b2
a2(6)2
32(36)
3723
ca
ba
l1: y - (-2) = (x - 0)63
l1: y + 2 = 2x l1: y = 2x - 2
l2: y - (-2) = - (x - 0)
l2: y + 2 = - 2xl2: y = - 2x - 2
ba
63
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
CV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
4x2 - y2 - 4y = 40 4x2 - (y2 + 4y) = 40
4x2 - (y2 + 4y + ) = 40 +(- )
4x2 - (y2 + 4y + 4) = 40 - 44x2 - (y + 2)2 = 36 36
42
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
4x2
36 - = 1(y + 2)2
36
364
x2
- = 1(y + 2)2
36
x2
4 - = 1
42
2
(y + 2)2
36
87
10.- x2 − y2 - 6x - 4y + 4 = 0
1 2 3 4 5 0
-1
-2
-3
-4
y
x
CV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
2b2
a2(1)2
12(1)
121
ca
ba
l1: y - (-2) = (x - 3)11
l1: y + 2 = x - 3 l1: y = x - 3 - 2
l2: y - (-2) = - (x - 3)
l2: y + 2 = - x + 3l2: y = - x + 3 - 2
ba
11
l1: y = x - 5 l 2: y = - x + 1
x2 - 6x2 - y2 - 4y = -4 x2 - 6x - (y2 - 4y) = -4
x2 - 6x + - (y2 + 4y) = -4 +
x2 - 6x + 9 -(y2 + 4y + ) = -4 + 9 + (- )
(x - 3)2 - (y2 + 4x + 4) = 5 - 4(x - 3)2 - (y + 2)2 = 1
62
2
42
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
62
2
(x - 3)2
1 - = 1(y + 2)2
1
42
2
88
1.- C(-2,2), V1(4,2), F1(6,2) eje transversal paralelo al eje X.
2.- V1(3,1), V2(-3,1) y F1(5,1), F2(-5,1)
3.- V1(-4,4), V2(-4,-6) y F1(-4,5), F2(-4,-7)
4.- V1(-1,3), V2(3,3) e = 32
(x + 2)2
36 - = 1(y - 2)2
28
(y + 1)2
25 - = 1(x + 4)2
11
5.- F1(8,2), F2(2,2) e = 54
(x - 1)2
4 - = 1(y - 3)2
5
(x - 3)2
16 - = 1(y - 2)2
9
6.- C(-3,2), V(1,2) y eje imaginario = 4.
(x + 3)2
16 - = 1(y - 2)2
4
x2
9 - = 1(y - 1)2
16
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.