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El Cuadernillo de Geometría Analítica fue elaborado en el Centro de Regularización y Apoyo Educativo Intelimundo, por el siguiente equipo:
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Dirección Académica y Proyectos de InvestigaciónMarisol Roman García y César Pasten Vilchis
Gerencia de innovación educativaRené Quiroz Díaz
Coordinación de diseñoJosé Iván Torres Hernández
AutorRené Quiroz Díaz y César Pasten Vilchis
Diseño de interiores y portadaStephanie Quiroz Roman
ISBN: En tramite.
Intelimundo (René Quiroz Díaz), Calle Aldama 23-B, San Antonio Tecomitl, Milpa Alta,C.P. 12100, México D.F.
Marzo de 2013Impreso en México / Printed in Mexico
2
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICALa geometría analítica, es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el Álgebra y la Geometría Euclidiana.
1. Sistemas de coordenadas rectangulares.El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto 0 llamado origen.
2°. Cuadrante
(-x, y)
1er. Cuadrante
(x, y)
3er. Cuadrante
(-x, -y)
4°. Cuadrante
(x, -y)
Eje XAbscisas
Eje YOrdenadas
Origen(Cruce de ejes)
Los ejes X y Y se llaman ejes coordenadas y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
Observa que los cuatro cuadrantes se enumeran siempre en sentido contrario a las maneci-llas del reloj.
Abscisas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje vertical o eje Y.
La “x”es positiva cuando este a la derecha del eje Y. La “x” es negativa cuando este a la izquierda del eje Y.
Ordenadas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje horizontal o al eje X.
La “y” es positiva cuando está por encima del eje X. La “y” es negativa cuando está por de-bajo del eje X.
3
Actividad.
1.- Las coordenadas sirven para fijar la posición de un: ________________
2.- La distancia de un punto al eje Y se llama: ________________
3.- La distancia de un punto al eje X se llama: ________________
4.- La pareja ordenada de números reales (X, Y) son las ______________ de un punto.
5.- ¿Cuál es la abscisa de P(2,3)? ____
6.- ¿Cuál es la ordenada de P(4,3)? _____
7.- ¿En qué cuadrante está un punto si sus coordenadas son negativas? _________________
8.- ¿En qué cuadrante está un punto cuya abscisa es negativa y cuya ordenada es positiva? __________________
9.- ¿En qué cuadrante se encuentra el punto B(−5,0)? __________________________________
10.- ¿Cuáles son los signos de las coordenadas en cada uno de los cuadrantes?
Cuadrante IV
Cuadrante IICuadrante III
Abscisa: X Ordenada: Y
Cuadrante I
11.- Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos.+Y
-Y
-x +x-5 -4 -3 -2 1 0 1 3 52 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x y
( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),
4
12.- Ubica los puntos en el plano y unelos en oden a las coordenadas dadas.
(-6,-2) (-8,-2) (-10,-4) (-12,-4) (-16,0) (-16,4)(-12,8) (-10,8) (-8,6) (-6,6) (-6,8) (-8,10) (-8,12) (-4,16) (0,16) (4,12) (4,10) (2,8) (2,6) (4,6) (6,8) (8,8) (12,4) (12,0) (8,-4) (6,-4) (4,-2) (2,-2) (2,-4) (4,-6) (4,-8) (0,-12) (-4,-12) (-8,-8) (-8,-6)(-6,-4) (-6,-2) (-6,0) (-4,-2) (0,-2) (2,0) (2,4) (0,6) (-4,6) (-6,4) (-6,0) (12,-16) (12,-12) (2,-2) (10,-10) (14,-10) (16,-12) (16,-8) (14,-6) (12,-6) (10,-10) (8,-10) (6,-16) (2,-16) (2,-14) (4,-10) (8, -10) (12,-12)
1614121086420-2-4-6-8-10-12-14-16-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-0
2
4
6
8
10
12
14
16
5
2. Distancia entre dos puntos en el plano.Para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano se recurrirá a la siguiente figura:
y
x
P1
P2
y2 - y1
x2 - x1
x1 x2
R
La distancia entre los puntos P1 y P2 se puede obtener mediante la construcción de un trián-gulo rectángulo cuyos catetos miden x2 − x1 y y2 − y1 respectivamente.
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente:
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Actividad.
Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos cuyas coordenadas son:
1.- A(4,1) B(3,-2) 2.- C(-7,4) D(1,-11) 3.- E(-1,-5) F(2,-3)
4.- G(0,3) H(-4,1) 5.- I(2,-6) J(2,-2) 6.- K(-3,1) L(3,-1)
6
Determina el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos coordenados:
1.- A(-2,5), B(4,3), C(7,-2) 2.- M(0,4), N(-4,1), O(3,-3)
7
Verifica que los puntos A(−2, −3), B(−4, −5), C(−1, −6), son los vértices de un triángulo isósceles.
La longitud de un segmento es de 13u y las coordenadas de uno de sus extremos son A(8,6), obtén la ordenada del otro extremo si su abscisa es −4.
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-60
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
x
y
8
3. Área de un polígono.
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), … , Pn(xn,yn) los vértices de un polígono. El área (A) del polígono, es una función de las coordenadas de los vérti-ces que viene dada por la expresión:
x1x2x3
xnx1
y1y2y3
yny1
.
.
.
.
.
.
12A =
Actividad.
Determina el área de los siguientes polígonos definidos por los puntos:
Figura geométrica plana limitada por 3 o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices.
1.- A(-4,-5), B(2,1), C(-1,3)
2.- D(6,2), E(-1,7), F(-4,1)
9
3.- G(-4,0), H(0,0), I(0,-3)
4.- J(-3,1), K(-2,5), L(2,4), M(1,0)
5.- N(-4,1), O(-2,4), P(5,5), Q(3,2)
6.- R(-7,1), S(-5,4), T(2,3), U(0,-5) y V(-4-3)
10
Demuestra que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo y determina su área.
1.- A(2,-2), B(-8,4), C(5,3)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
11
2.- D(0,9), E(-4,-1), F(3,2)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
12
3.- G(3,-2), H(-2,3), I(0,4)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
13
4.- J(-2,8), K(-6,1), L(0,4)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
14
4. División de un segmento.
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) los extremos de un segmento de recta, entonces la relación en que el punto P(x,y) divide al segmento P1P2 en dos partes proporcionales se define como:
Y
y2
y
y1
x2x1 x0X
P2
P1
PQ
R
Por geometría, los triángulos ΔP1PQy ΔPP2R son semejantes, la proporcionalidad que existe entre sus lados es:
P1PPP2
P1QPR
QPRP2
= =
NOTA:
P1Q = x - x1, PR = x2 - xQP = y - y1, RP2 = y2 - y
Entonces:
• Para determinar la razón dados los extremos y el punto de división se emplea:
x - x1
x2 - xr = o
y - y1
y2 - yr =
• Para encontrar el punto de división dados los extremos y la razón se utiliza:
x1 + rx2
r + 1x = ;y1 + ry2
r + 1y =
Importante:
• Si el punto de división P esta entre los puntos P1 y P2 la razón es positiva.• Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón es negativa.
Comparación de dos cantidades de la misma especie
CUANTAS VECES LA UNA CONTIENE A LA OTRA.
15
Actividad.
Determina la razón en que el punto P divide al segmento de recta de extremos P1 y P2.
Encuentra las coordenadas de un punto P(x,y) según los elementos dados.
1.- P1(0,2), P2(-2,4), P(2,0)
2.- P1(3,5), P2(-1,4), P(-5,3)
3.- P1 , P2(2,1), P 13
1318
,12
34
,
4.- P1(-5,1), P2(4,3), P(-3, )139
1.- P1(4,1), P2(5,-2), r = -2
2.- P1(-2,3), P2(4,5), r = 23
16
Grafica y determina las coordenadas que dividen al segmento en 4 pares.
A(−3,2), B(1,6)
3.- P1(0,5), P2(6,-1), r = 5
4.- P1 - ,0 , P2(0,4), r = 12
23
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
17
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 3 partes.
C(4,2) D(−5,7)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
18
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 5 partes.
E(-3,2) F(1,6)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
19
20
2.- A(0,4),B(3,7)
3.- A(−1,3),B(9,11)
4.- A(5,−7),B(11,−4)
5. Punto medio.El punto medio del segmento de recta, es aquel punto que lo divide en dos segmentos igua-les.
Y
X
y2
ym
y1
x1 xm x2
P1
Pm
P2
Por tanto, las coordenadas del punto medio son:
x1 + x2
2y1 + y2
2,Pm =
Actividad.
Determina las coordenadas del punto medio definido por los puntos:
1.- A(3,5),B(2,−1)
21
5.- A ,1 , B ,2 12
13
6.- A ,-2 , B ,1 23
14
Si el punto medio de un segmento de recta es Pm(1,−3) y un extremo del segmento es P1(7,−1), ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?
22
6. Inclinación de una recta.La inclinación de una recta es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje X positivo y se mide, desde el eje X a la recta, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Pendiente: La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación y se calcula con la siguiente expresión:
y2
y1
x2x1 X
Y
x2 - x1
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
y2 - y1
M
c. oc. a
y2 - y1x2 - x1
m =y2 - y1x2 - x1
Para calcular la magnitud del ángulo se despeja de la siguiente manera:
tan θ = m
θ = tan−1(m)
Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de inclinación, son los siguientes.
Si m > 0 (positiva) entonces, elángulo es agudo (menor a 90°).
Si m < 0 (negativa) entonces, elángulo es obtuso (mayor a 90° y menor a 180°).
Si m = entonces, el ángulo esrecto (90°).
0 Si m = 0 entonces, el ángulo esllano (180°).
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
23
Actividad.
Determina la pendiente de los siguientes pares de puntos.
Encuentra la medida de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes puntos.
Los vértices de un triángulo son los puntos G(2,−2), H(−1,4), I(4,5). Determina la pendiente para cada uno de sus lados.
1.- A(-3,5), B(2,7) 2.- C(4,-2), D(7,-2) 3.- E(-1,2), F(4,-5)
4.- G(8,-2), H(0,-1) 5.- I(0,4), J(-3,0) 6.- K(-5,1), L(1,-3)
7.- M ,7 , H 3, 12
12 8.- O , P3
523
, 35
34
,- 32
1.- A(5,7), B(2,4) 2.- C(-1,2), D(-2,3) 3.- E(7,-1), F(7,4)
G(2,-2), H(-1,4) H(-1,4), I(4,5) I(4,5), G(2,-2)
24
La pendiente de una recta es 3. Si la recta pasa por los puntos A(2,−1) y el punto B, cuya or-denada es −5, ¿Cuál es el valor de su abscisa?
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene las coordenadas (3,−2) y la ordenada de B es −1, encuentra su abscisa.
25
Actividad.
Demuestra si la recta l1 que pasa por los puntos A(3, −1) y B(−6,5) es paralela o perpendicu-lar a la recta l2 que pasa por los puntos C(0,2) y D(−2, −1).
7. Líneas paralelas y perpendiculares.Si dos líneas rectas l1 y l2 son paralelas si sus pendientes son iguales.
m1 = m2
Dos líneas rectas l1 y l2 son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es -1.
-1m2
Demuestra que la recta que pasa por los puntos A(−2,1) y B(1, −4), es paralela a la recta que pasa por los puntos C(8, −7) y D(5, −2).
Demuestra que los cuatro puntos A(−3,1), B(−2,5), C(2,4) y D(1,0), son los vértices de un cua-drado y que sus diagonales son perpendiculares.
-4 -3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
y
x
26
Demuestra por medio de pendientes, que los puntos A(1,1), B(5,3), C(8,0) y D(4, −2) son vérti-ces de un paralelogramo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
27
8. Ángulo entre dos rectas.El ángulo α, medido en sentido contario al de las manecillas del reloj, desde la recta l1, de pendiente m1 a la recta l2 de pendiente m2 es:
m2 - m11 + m2m1
m2 - m11 + m2m1
Importante:
Para la correcta obtención del ángulo formado por dos rectas es necesario hacer de manera adecuada la selección de m1 y de m2, para ilustrar el procedimiento se obtendrá el valor del ángulo alfa.
Todo ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto el ángulo se mide como se indica en la figura.
m1 = 2 m2 = -3
2 -3
-3 - 21 + (-3)(2)-5
1 - 6-5-5
La selección de las pendientes se hará de la siguiente manera:
m1 Es siempre la pendiente donde comienza el ángulo, en este caso 2, m2 es siempre la pen-diente donde termina el ángulo, por lo tanto m2 será −3.
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina los ángulos interiores de los triángulos.
1.- A(4,2), B(0,1), C(6, −1)
1 2 3 4 5 6 7 0
3
2
1
-1
-2
y
x
28
2.- D(−3, −1), E(4,4), F(−2,3)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
29
3.- G(−2,1), H(3,4), I(5,−2)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
30
4.- J(−4,1), K(2,3), L(1,−4)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
31
¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos A(1,3), B(2,6), C(7,8), D(6,5)?
1 2 3 4 5 6 7 8 0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
32
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pen-diente de −3, determina el valor de la pendiente de la recta inicial.
33
9. Línea recta.La línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que al tomar dos puntos dife-rentes P1 y P2, y obtener el valor de la pendiente, esta resulta siempre ser la misma.
AB
DC
E
mAE = mBD
Ecuación de la recta punto-pendiente de la recta.
Sea el punto A de coordenadas (x1, y1) y “m” una pendiente dada, la ecuación de la recta se puede obtener a partir del concepto de pendiente como se muestra a continuación.
y - y1x - x1
m =
m(x - x1) = y - y1
Ecuación de la recta punto - pendiente:
y - y1 = m(x - x1)
Al desarrollar esta ecuación, se llega a la ecuación de la recta en su forma general, que pue-de ser expresada con el siguiente formato:
Ax + By + C = 0
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina la ecuación de la recta en su forma general, que satis-faga con las siguientes condiciones.
1.- A(1,3), m = 2 2.- B(5,3), m = -2 3.- C(3,-2), m = 1 4.- D(0,-5), m = -4
34
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
y - y1 = m(x - x1)
y - y1 = (x - x1) y2 - y1x2 - x1
Calculando su pendiente:
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina la ecuación de la recta que determinan los siguientes pares de puntos en su forma general.
5.- E(2,0), m = 12 6.- F(-4,5), m = 3
2 7.- G(-1,-6), m = - 53 8.- H(0,0), m = - 4
5
1.- A(0,0), B(3,1) 2.- B(0,0), C(4,3) 3.- D(1,1), E(4,3)
4.- F(5,1), G(1,4) 5.- H(-5,2), I(3,2) 6.- J(4,1), K(-2,-5)
35
Ecuación pendiente - ordenada al origen.
Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen (intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:
y = mx + b
Donde:
Y
X0
b
(0,b)
m = pendiente
b = ordenada al origen
Esta forma también se le conoce como forma simplifica-
da o reducida.
Actividad.
Observa y completa las siguientes ecuaciones expresadas tanto en su forma pendiente - or-denada como en su forma general (La ecuación general no puede estar en fracciones):
7.- L 5, , M -1, 34
12 8.- O - ,- , P - ,2
513
15
14
Forma y = mx + b Forma general mPendiente
bOrdenada al origen
35
y = - x - 2
36
En las siguientes ecuaciones generales, obtén la ecuación pendiente - ordenada al origen y graficala.
1.- x + y - 3 = 0 2.- x - y - 2 = 0 3.- 3x - y + 4 = 0 4.- 2x + y + 3 = 0
5.- 5x - 4y + 12 = 0 6.- 2x - 5y - 30 = 0
7.- 4x + 9y - 63 = 0 8.- 2x + 7y - 4 = 0-2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
3x - y + 4 = 0
34
y = - x + 3
2x - 3y + 3 = 0
y = -2x
12 -5
37
Ecuación simétrica de la recta.La forma simétrica de la recta determina las intersecciones de la recta con los ejes y tiene la forma.
xa
yb+ = 1
Actividad.Transforma en su forma simétrica las siguientes ecuaciones.
Grafica las siguientes rectas y posteriormente transformalas a su forma general.
1.- x + y - 4 = 0 2.- 2x - 5y + 5 = 0 3.- x - 3y + 8 = 0 4.- x + 8y - 4 = 0
5.- -3x + 4y + 12 = 0 6.- 3x + 5y - 10 = 0 7.- x + 3y + 5 = 012 8.- - x + y - 4 = 02
513
1.- + = 1 x4
y5 2.- + = 1 x
7y8 3.- + = 1 x
6y7
4.- + = 1 x10
y-11
5.- + = 1 x-2
y-3 6.- + = 1 x
-5y-7
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
-11
38
Rectas paralelas.
Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente.
m1 = m2
Actividad.
Obtén la ecuación de la recta que pasa por A(−3,−1) y es paralela a la recta 2x + 3y − 5 = 0
Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2,2) y D(3,−4). Halla su ecuación.
-ABm =
39
Rectas perpendiculares.
Son aquellas rectas que cumplen con m1 ∙ m2 = -1
Actividad.
Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a 3x + 4y − 5 = 0 y pasa por D(−2,−1).
Demuestra que las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 2y = 11 y 3y + 2x = 6 son perpendiculares.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto K(10,2) y es perpendicular a la recta 4x − 6y = 12.
40
10. Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto P1(x1,y1) a una recta Ax + By + C = 0 esta dada por la fórmula:
Y
X
Ax + By + C = 0
P1(x1,y1)
dAx1 + By1 + C
A2 + B2d =
Actividad.
Determina la distancia del punto a la recta indicada.
1.- P(1,4), 2x − 7y + 3 = 0
2.- N(−2,5), 3x + 4y − 5 = 0
3.- G(−1,7), 12x + 5y + 26 = 0
4.- R(-3,-7), y - 3 = 0
41
11. Circunferencia.Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante:
Y
X
C(ℎ,k)
P(x,y)r
Definición:
Elementos:C: centro
r: radioP(x,y): punto cualquiera de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia.
• Forma canónica
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r, esta dada por la fór-mula:
x2 + y2 = r2
• Forma ordinaria
La ecuación de la circunferencia con centro en el puto C(ℎ, k) y radio r, esta dada por la fórmula:
(x - ℎ)2 + (y - k)2 = r2
• Forma general
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde A = C
Actividad.
Obtén la ecuación en su forma general de la circunferencia.
1.- C(0,0), r = 4 2.- C(0,0), r =
42
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (6,0).
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, −4) y pasa por el origen.
3.- C(3,-4), r = 6
5.- C(5,-12), r = 13 6.- C(-1,-6), r = 8
43
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (4, −1) y que pasa por (−1,3).
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro a A(−1,5) y B(−5, −7).
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (−2,3) que es tangente a la recta 20x − 21y − 42 = 0.
44
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, −5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0
Obtención del centro y radio a partir de la ecuación general.
A partir de la ecuación general pueden determinarse las coordenadas del centro y la longi-tud del radio; esto se realiza completando los trinomios cuadrados y simplificando.
El siguiente ejemplo muestra el procedimiento:
x2 + y2 − 6x + 8y − 11 = 0
Inicialmente se agrupan “x” y “y”, el termino independiente se coloca del lado derecho.
x2 − 6x + y2 + 8y = 11
Ahora se completan cuadrados tanto para “x” como para “y”, se suma la misma cantidad que se utiliza para completar el trinomio del lado derecho.
x2 - 6x + + y2 + 8y + = 11 + + 62
2 82
2 62
282
2
Desarrollando y simplificando:
x2 − 6y + 9 + y2 + 8y + 16 = 11 + 9 + 16(x − 3)2 + (y + 4)2 = 36
45
Una vez llegando a la ecuación canónica se obtienen las coordenadas del centro y la lon-gitud del radio.
x - 3 = 0 y + 4 = 0x = 3 y = - 4
C(3,-4)
Actividad.
Encuentra las coordenadas de centro y la longitud del radio de las circunferencias siguientes.
1.- x2 + y2 + 6x - 4y - 12 = 0
2.- x2 + y2 + 4x + 12y + 36 = 0
3.- x2 + y2 - 8x - 2y + 1 = 0
4.- x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0
46
5.- 2x2 + 2y2 + 12x - 2y - 3 = 0
6.- 3x2 + 3y2 - 6x + 5y = 0
Demuestra que las circunferencias 4x2 + 4y2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 − 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
47
12. Parábola.
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.
P(x,y)
D Y
V
D´R
F X
PF = PD
Elementos:
V: Vertice
F: Foco
DD´: Directriz
LR: Lado recto
p: parametro
(distancia del vértice al foco o a la directriz)p p
De acuerdo con el signo del parámetro se determina la concavidad de la parábola:
p es positivo p es negativo
Horizontal
Vertical
Formulas.
Parábola horizontal con vértice en elorigen.
Parábola vertical con vértice en e lorigen.
Parábola horizontal con vértice en el origen.
Parábola vertical con vértice en el origen.
48
Actividad.
Halla todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 = 4x
2.- x2 = -12y
3.- y2 + 12x = 0
-3 -2 -1 1 2 30
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
49
4.- x2 - 16y = 0
5.- 20y - x2
6.- 20x2 = 64y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
50
Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisfaga las condiciones y traza la gráfica.
1.- Foco en (3,0) 2.- Foco en (-4,0) 3.- La directriz x + 4 = 0
4.- La directriz y - 4 = 0 5.- LR = 10 y abre hacia la derecha.
6.- LR = 8 y abre hacia arriba.
1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x -5 -4 -3 -2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
3
2
1
-1
y
x
51
Formulas.
Parábola horizontal con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (y - k)2 = 4p(x - ℎ)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ + p, k)Directriz: x + p = ℎLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje y = kGeneral: Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
0 D´ ℎXR
pp F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Parábola vertical con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (x - ℎ)2 = 4p(y - k)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ,k + p)Directriz: y + p = kLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje x = ℎGeneral: Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
D´
ℎ X
Rp
p
F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Actividad.
Determina todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 + 8x + 8 = 0
-4 -3 -2 -1 1 20
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
52
2.- x2 + 4y + 8 = 0
3.- y2 - 12x - 48 = 0
4.- x2 + 4x + 16y + 4 = 0
-3 -2 -1 1 2 30
1
-1
-2
-3
-4
y
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
53
5.- x2 + 10x - 20y + 25 = 0
6.- y2 + 8y + 6x + 16 = 0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
-11 -12 -13 -14 -15
-3 -2 -1 1 20
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
54
7.- y2 + 8y + 20x + 56 = 0
8.- x2 + 2x + 4y - 19 = 0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
-11
-12
-13
-14
-4 -3 -2 -1 1 2 30
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
x
55
9.- 4x2 - 12x - 16y + 41 = 0
10.- 16y2 + 8y - 24x + 49 = 0
-2 -1 1 2 3 4 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
1 20
1
-1
y
x
56
Escribe la ecuación de la parábola con base a los datos proporcionados.
1.- V(3,2),F(3,4)
2.- V(-6,-4),F(0,4)
3.- V(2,4),F(-3,4)
4.- V(3,-1),F(3,-5)
5.- V(4,1), directriz: x = 2
6.- V(4,1), directriz: y = -3
7.- V(4,-2), LR = 8; abre a la derecha.
8.- V(1,2), LR = 8; abre hacia abajo.
9.- F(2,-3), directriz: x = 6
10.- F(-2,2), directriz: y = 4
57
13. Elipse.Lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que la suma de distancias a dos puntos fijos lla-mados focos es igual a una constante (2a).
PF1 + PF2 = 2a
C: Centro.V1,V2: Vertices.F1,F2: Focos.B1,B2: Extremos del eje menor.V1V2 = 2a (eje mayor).F1F2 = 2c (eje focal).B1B2 = 2b (eje menor).
LR = (lado recto).
e = < 1 (excentricidad).
2b2
aca
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C
P(x, y)
Elementos y ecuación.
Elipse horizontal con centro en el origen.
Elipse vertical con centro en el origen.
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C(0, 0)
Y
X
R1F1
R2
V1
L1
B2 B1
F2
V2
L2
C(0, 0)
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0)
Extremos del eje menor: B(0,±b)
x2
a2y2
b2
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
x2
b2y2
a2
58
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
x2
251.- + = 1y2
9
y2
252.- + = 1x2
9
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
5
6
-5
-6
59
x2
1693.- + = 1y2
144
y2
94.- + = 1x2
4
y2
255.- + = 1x2
16
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
y
x12 14 -12 -14
12
14
-12
-14
C
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
60
x2
496.- + = 1y2
25
7.- x2 + 4y = 4
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
-2 -1 1 2 0
1
-1
y
x
61
8.- 2x2 + 3y2 = 12
9.- 9x2 + 4y2 = 36
-3 -2 -1 1 2 30
2
1
-1
-2
y
x
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
62
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- F(±4,0), V(±5,0) 2.- F(0,±8), V(0,±17) 3.- Lr = 5, V(±10,0)
4.- F(0, ±6), semieje menor = 8 5.- F(±5,0), e = 58
6.- V(±5,0), B(0, ±4)
10.- 16x2 + 25y2 = 400
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
63
Formulas.
Elipse horizontal con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ ± a, k)
Foco: F(ℎ ± c, k)
Extremos del eje menor: B(ℎ, k ± b)
(x-ℎ)2
a2(y-k)2
b2
Elipse vertical con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ, k ± a)
Foco: F(ℎ, k ± c)
Extremos del eje menor: B(ℎ ± b, k)
(x-ℎ)2
b2(y-k)2
a2
General
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
1.- + = 1(x - 3)2
16(y - 2)2
9
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
64
2.- + = 1(x - 5)2
169(y + 5)2
49
3.- + = 1(y + 3)2
36(x - 6)2
16
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
65
4.- + = 1(x + 5)2
9(y - 1)2
4
5.- + = 1x2
16(y - 2)2
25
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
4
3
2
1
-1
-2
y
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
66
6.- + = 1(x - 4)2
4(y - 3)2
9
7.- x2 + 16y2 - 10x + 64y + 73 = 0
1 2 3 4 5 6 7 0
7
6
5
4
3
2
1
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
-1
-2
-3
-4
y
x
67
8.- 4x2 + y2 - 16x - 6y - 11 = 0
9.- 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
68
10.- 5x2 + 9y2 + 30x - 36y + 36 = 0
-3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
5
4
3
2
1
-1
y
x
69
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- V1(−2,3), V2(8,3) y F1(−1,3), F2(7,3) 2.- V1(−2,−5), V2(−2,3) y F1(−2, −4), F2(−2,2)
3.- V1(0,0), V2(8,0) y B1(4,3), B2(4,−3) 4.- B1(3,2), B2(3,6) y eje mayor = 10
5.- V1(−4,5), V2(16,5) y e = 45
6.- e = y F1(0,0) F2(0, −4)23
7.- V1(−4,6), V2(−4, −4) y un foco F1(−4,−3) 8.- F1(−9,−2), F2(−3,−2) y e = 35
70
14. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre cons-tante.
Elementos y ecuación.
Hipérbola horizontal con centro en el origen.
Y
XC
I1
L1
F1R1
V1
B2
V2
L2
F2R2
B1 P(x, y)
I2
C: CentroV1,V2: VérticesF1,F2: FocosB1,B2: Extremos del eje conjugadoV1V2 = 2a (eje transverso o real)F1F2 = 2c (eje focal)B1B2 = 2b (eje conjugado o imaginario)
LR = (lado recto)
e = < 1 (excentricidad)
l1 y l2: Asíntotas
ca
2b2
a
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0 )
Extremos del eje conjugado: B(0,±b)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ba
ba
x2
a2y2
b2
71
Hipérbola vertical con centro en el origen.
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ab
ab
y2
a2x2
b2
Actividad.
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
x2
81y2
91.- - = 1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
72
y2
8x2
52.- - = 1
y2
16x2
43.- - = 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
-3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
73
x2
36y2
644.- - = 1
x2
25y2
95.- - = 1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
74
y2
46.- x2 - = 1
7.- 9x2 − 4y2 = 36
-3 -2 -1 1 2 3 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
75
8.- 4x2 − 9y2 = 36
9.- 4x2 − 5y2 - 20 = 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
76
10.- 5x2 − 6y2 + 30 = 0
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.
1.- V(0,±3) y F(0,±5) 2.- F(±5,0), V(±4,0)
3.- Lr = , V(±3,0)83 4.- V(±6,0), e =
5.- F(±5,0), Eje real = 8 6.- F(0,±13), Eje imaginario = 24
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
77
Formulas.
Hipérbola horizontal con centro (h,k)
Hipérbola vertical con centro (h,k)
ba
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ ± a,k)
Foco: F(ℎ ± c,k)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ,k ± b)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(y - k)2
b2(x - ℎ)2
a2
ba
ab
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ,k ± a)
Foco: F(ℎ,k ± c)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ ± b,k)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(x - ℎ)2
b2(y - k)2
a2
ab
General
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Donde A y C de signo contrario.
78
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
(x + 2)2
16(y - 3)2
91.- - = 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
79
(y - 3)2
16(x + 2)2
92.- - = 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
80
(x - 4)2
25(y - 5)2
253.- - = 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 0
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
x
81
(y + 2)2
36(x - 1)2
254.- - = 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
82
5.- x2 − 4y2 − 2x + 16y − 7 = 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
83
6.- 9x2 − 4y2 + 18x - 24y + 9 = 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
84
7.- 9x2 − 16y2 + 36x + 32y - 124 = 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
85
8.- 4x2 − 9y2 - 4x + 18y - 44 = 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
86
9.- 4x2 − y2 - 4y - 40 = 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
87
10.- x2 − y2 - 6x - 4y + 4 = 0
1 2 3 4 5 0
-1
-2
-3
-4
y
x
88
1.- C(-2,2), V1(4,2), F1(6,2) eje transversal paralelo al eje X.
2.- V1(3,1), V2(-3,1) y F1(5,1), F2(-5,1)
3.- V1(-4,4), V2(-4,-6) y F1(-4,5), F2(-4,-7)
4.- V1(-1,3), V2(3,3) e = 32
5.- F1(8,2), F2(2,2) e = 54
6.- C(-3,2), V(1,2) y eje imaginario = 4.
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.