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Jesús Ocampo ContrerasAlejandro Morales Velázquez

Domingo Hernández GarcíaAlberto Guadarrama Herrera

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Basado en competenciaspara bachillerato

Libro de

La educación actual requiere de un modelo de aprendizaje, el cual no solo evalúe conocimientos, sino que también aprecie habilidades, actitudes y valores. Por este motivo, el modelo basado en competencias es una opción diferente para la educación de nuestros tiempos.

La Reforma Integral de la Educación Media Superior (riems), que está en curso, tiene como propósito esencial que los egresados de este nivel educativo estén mejor preparados para aprovechar las oportunidades y afrontar los desafíos del presente siglo.

Desde todas las asignaturas y espacios formativos en la escuela preparatoria debe haber una contribución, en donde los estudiantes adquieran las competencias genéricas, que determinan el perfil del egresado, así como las competencias disciplinares.

La presente asignatura se ubica en el tercer semestre del bachillerato universitario, su etapa de formación es básica, se enfoca en competencias y su vinculación con la realidad. Su campo de formación es Matemáticas, cuyo propósito general busca el desarrollo del razonamiento, la habilidad matemática y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de la ciencia.

La creación de este libro intenta dar el enfoque con base en competencias que los alumnos requieren para lograr el perfil deseado.

Por tal motivo, nuestra Máxima Casa de Estudios, a través de la Coordinación General de la Escuela Preparatoria (cgep), ha implementado una serie de acciones permanentes, tendientes a elevar el nivel académico de los alumnos, siendo una de ellas la elaboración y reestructuración de materiales didácticos.

Así, los autores presentamos este libro de texto de Geometría Analítica, el cual está apegado en su totalidad al programa de estudios vigente del currículum de estudios de la Escuela Preparatoria.

La estructura del libro responde a una necesidad de ligar los conocimientos que debe adquirir el alumno con su vida cotidiana. Este texto presenta en cada módulo un esquema de contenidos y lecturas relacionadas con el módulo en cuestión.

En el inicio de cada módulo se realiza, en la primera actividad, la explicación de la secuencia que debe seguir el docente como guía:

1) En la apertura, se establece:• Desarrollar actividades en el aula o en algún otro lugar propicio.• Crear un clima de confianza para el alumno, se indican los propósitos de la

actividad y las competencias que se espera desarrolle el alumno.• Competencia disciplinar: Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e

implícitos en una situación problema, considera el contexto en el que se generó.• Competencias genéricas: Expresa ideas y conceptos mediante representaciones

lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Presentación

• Manejar las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

• Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

• Revisar el ambiente de aprendizaje (espacio físico, disposición física del alumno, materiales y características de los alumnos).

• Reunirse con sus compañeros e integrar equipos de cuatro personas, y mediante una lluvia de ideas identificar sus conocimientos previos, los cuales se desarrollan con el tema sistemas de ecuaciones y elaborar un reporte que se presentará a todo el grupo.

• Reunir información relacionada con la actividad, mediante una investigación en la biblioteca o en internet, y compárala con el reporte antes elaborado.

• Identificar una situación de la vida cotidiana.• Indicar conceptos necesarios para resolver la situación problema.• Tener conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.• Mencionar el contenido, los propósitos y ejes problematizadores.• Revisar el ambiente de aprendizaje, espacio físico, disposición física del alumno,

materiales y características de los alumnos y si la actividad es en equipo o individual.

2) En el desarrollo, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, donde el alumno avanza paso a paso en el desarrollo, completando procesos; el docente se apoya de material didáctico a través de presentaciones en Power Point, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esto permite que el alumno participe en forma activa, además interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad. Se fomenta la motivación, donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno. Se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

3) En el cierre, se presenta la conclusión:Se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran dudas y se elabora un resumen de la actividad realizada.

EVALUACIÓN de:• La comprensión, planteamiento y solución de cada actividad.• La disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• El desarrollo de habilidades para plantear y resolver situaciones problema.

EVIDENCIAS DE DESEMPEÑO:• Ejercicios resueltos. • Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los alumnos.• Se anexan las actividades pertinentes que considere el profesor en el portafolio de evidencias.

El libro está integrado por cinco módulos, que obedecen al programa de la asignatura de Geometría Analítica:

Módulo 1: RECTA. Donde se contemplan procesos relacionados con la solución y planteamiento de situaciones problema aplicado a su vida cotidiana; éstos se pueden representar mediante una ecuación lineal que gráficamente representa una línea recta, se contempla pendiente, ángulo de inclinación y las diferentes formas de ecuaciones que representan una recta.

Módulo 2: CIRCUNFERENCIA. Donde intervienen procesos de la vida cotidiana que involucran modelos relacionados con las diferentes formas de representar la ecuación de una circunferencia.

Módulo 3: PARÁBOLA. Aquí se contemplan situaciones problema que se relacionan con el entorno del alumno, y se representan por las diferentes formas de la ecuación de la parábola.

Módulo 4: ELIPSE. Se examinan situaciones problema, las cuales se relacionan con la vida cotidiana del alumno y sus aplicaciones en las diferentes formas de representar la ecuación de la elipse.

Módulo 5: HIPÉRBOLA. Se analizan situaciones problema de la vida cotidiana del alumno, que se puedan representar mediante las diferentes formas de la ecuación de una hipérbola.

Al final de cada módulo, se plantea una actividad integradora, en la cual se examinan los diferentes conceptos vistos en las actividades del módulo, para realizar posteriormente una evaluación que se califica con una rúbrica, donde se comprueban las competencias obtenidas por el alumno.

Cada unidad está diseñada para apoyar al alumno en su aprendizaje, así como para unificar criterios entre los profesores de los diferentes planteles que conforman la escuela preparatoria de nuestra Institución.

Los Autores

Página

PRESENTACIÓN………………………………………….……............................ 6

MÓDULO 1: RECTA

Introducción………………………………………….……......................................... 13Conocimientos básicos …………………………………………….….…….............. 15Antecedentes………………………………………….……........................................ 15Secuencia didáctica………………………………………….......…………………….. 16Distancia entre dos puntos………………………………………......….…….............. 17División de un segmento en una razón dada………………………........…………… 19Punto medio………………………………………….……......................................... 20Pendiente, ángulo de inclinación y ángulo entre rectas …........……………………. 21Rectas paralelas……………………………………….……........................................ 31Rectas perpendiculares………………………………………….……......................... 32Distancia de un punto a una recta……………………………………............………. 33Actividad empleando las tics................................................................................. 34Actividad integradora………………………………………….……............................ 39Evaluación………………………………………….……............................................ 41Bibliografía………………………………………….……........................................... 44

MÓDULO 2: CIRCUNFERENCIA Introducción………………………………………….……………………….......…..... 47Secuencia didáctica general………………………………………….…..........…........ 49Conocimientos básicos ………………………………………….….................…....... 50Ecuación de la circunferencia con centro en el origen………………..........……..... 51Ecuación de la circunferencia con centro en C(h,k) forma ordinaria …...........…… 55Ecuación de la circunferencia en forma general……………….……........................ 59Actividad empleando las tics……………………………………….......…….............. 63Actividad integradora………………………………………….……............................ 64Evaluación………………………………………….……............................................ 66Bibliografía………………………………………….……........................................... 68

Índice

MÓDULO 3: PARÁBOLA

Introducción………………………………………….…………….........……………... 71Secuencia didáctica general…………………………………………...........……….... 75Conocimientos básicos…………………………………........……….……................. 79Ecuación con vértice V(0,0) (forma canónica) ……….........………………………… 80Ecuación con centro V(h,k) (forma ordinaria) ………….........…………….………… 86Ecuación general……………………………………….........….…………………….... 91Actividad empleando las tics……………………………………….…………............. 100Actividad integradora………………………………………….……………......…....... 101Evaluación………………………………………….……........................................... 103Bibliografía………………………………………….…….......................................... 106

MÓDULO 4: ELIPSE

Introducción…………………………………………………………….…….…….... 109Conocimientos básicos……………………..…….…………...................…..…….. 111Secuencia didáctica general………………………………………….…...……….... 114Ecuación con centro C(0,0) (forma canónica) ………………………....………..… 115Ecuación con centro C(h,k) (forma ordinaria) ………………………...…………… 120Ecuación general………………………………………………………..…….…….... 124Actividad empleando las tics……………………………………….……………...... 127Actividad integradora………………………………………….…….……………..... 131Evaluación………………………………………….……........................................ 132Bibliografía………………………………………….……........................................ 136

MÓDULO 5: HIPÉRBOLA

Introducción………………………………………….……………………………..... 139Conocimientos básicos………………………………………….………..…….….... 139Secuencia didáctica general………………………………………….….….........… 141Ecuación con centro C(0,0) (forma canónica) ………………………......………… 142Ecuación con centro C(h,k) (forma ordinaria) ……………………………...……… 148Ecuación general………………………………………….………………..……….... 153Actividad empleando las tics……………………………………….……………….. 156Actividad integradora………………………………………….……….…………..... 157Evaluación………………………………………….…………………….……...….... 158Bibliografía………………………………………….……....................................... 162

COMPETENCIAS QUE DESARROLLARÁEL ALUMNO:

•Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en un texto, considerando el contexto en el que se generó y en el que se recibe.

•Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

•Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

•Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

•Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

MÓDULO 1 Recta

Universidad Autónoma del Estado de México l Nivel Medio Superior

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PROPÓSITOS

• Desarrollar en el estudiante la capacidad para: utilizar el lenguaje, los conceptos y los principios básicos de Geometría Analítica; estos le permitirán construir representaciones, conceptos y objetos de su entorno que se modelan a través de la recta en diferentes situaciones de su contexto.

• Desarrollar las habilidades, destrezas y actitudes para conocer y emplear los diferentes elementos de la Geometría Analítica para la resolución de problemas, cuyo modelo involucre a la recta.

EJES TRANSVERSALES

Educación para la paz: Al favorecer la convivencia, discusión, tolerancia y confrontación de ideas para el trabajo individual y en equipo.

Educación del consumidor: Al analizar las características o cualidades de productos, bienes y servicios a través de modelos que involucran a la recta.

EJES PROBLEMATIZADORES

• ¿Qué formas rectas encuentras en tu entorno?

• ¿Cómo te ayuda a interpretar el estudio de la recta situaciones problema que involucran figuras y cuerpos geométricos en juegos, deportes y parques de diversiones, así como también en la resolución de problemas; la compra o venta de bienes y servicios diversos en el área de la economía?

RECTA

Plano cartesiano y trazo de segmentos.Punto medio.

Distancia entre dos puntos.

Pendiente de una recta.Ángulo de inclinación de una recta.

Ángulo entre dos rectas.

a) Rectas paralelas.b) Rectas perpendiculares.

c) Ecuación de la recta en sus diferentes formas: punto-pendiente, pendiente ordenada al origen,

general y simétrica.d) Distancia de un punto a una recta.

Geometría Analítica: 1. Recta

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INTRODUCCIÓN

Para poder desarrollar las competencias en el alumno, se plantean, en este módulo, ejercicios relacionados con su vida cotidiana; en los cuales se analizan los conceptos de distancia entre dos puntos; división de un segmento de recta en una razón dada; pendiente; ángulo de inclinación; paralelismo y perpendicularidad; ángulo entre dos rectas; distancia de un punto a una recta y las diferentes representaciones de su ecuación de la recta.

Los ejercicios guiarán paso a paso al estudiante, mediante instrucciones que le permitan fomentar el hábito de la investigación y la lectura para apropiarse de los conocimientos. De esta manera, el docente orientará el desarrollo, en el alumno, de habilidades, actitudes y valores que conforman sus competencias para lograr el propósito del módulo.

ANTECEDENTES

En Geometría Euclidiana, la recta, o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos; está compuesta de segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con el punto y plano. Son considerados conceptos apriorísticos, ya que su definición solo se pueden a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones que se basan en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la pendiente de la recta y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado término independiente u ordenada al origen y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.


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CONOCIMIENTOS BÁSICOS

Distancia entre dos puntos

Sistema unidimensional: Sistema bidimensional:

d = | x2 – x1 | d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

o d = | x1 – x2 | o d = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)

2

División de un segmento Coordenadas del punto medioen una razón dada

r = ; x = x1 + r (x2 – x1) x =

y = y1 + r (y2 – y1) y =

Pendiente de una recta Ángulo entre dos rectas

Dado el ángulo de inclinación: m = tan q tan q = con: m1 m2 ≠ –1

Dados dos puntos: m =

con x1 ≠ x2 m1 ; pendiente inicial m2 ; pendiente final

Condición de paralelismo: m1 = m2

Condición de perpendicularidad: m1 m2 = -1

Formas de la ecuación de una recta.Ecuación punto pendiente: y – y1 = m (x – x1)

Ecuación dos puntos: y – y1 = (x – x1) Ecuación de la pendiente ordenada al origen: y = mx + b

Ecuación simétrica: + = 1 Ecuación general: Ax + By + C = 0 m = – ; b = –

Distancia de un punto p (x1, y1) a una recta:

d =

y1 + y2

2

x1 + x2

2

|Ax1 + By1 + C|

A2 + B2

m2 – m1

1+ m2m1y2 – y1

x2 – x1

AP

AB

y2 – y1

x2 – x1

x y

a bA B

C B


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INTRODUCCIÓN

Conocimientos básicos

Una recta es un conjunto de puntos que cumplen la propiedad de que dos puntos, cualesquiera de ella, tienen la misma pendiente y su ecuación está representada por:

y = mx + b Donde: y representa la ordenada o variable dependiente. x representa la abscisa o variable independiente. m representa la pendiente. b representa la ordenada al origen o intercepción de la recta con el eje y

el rasgo característico es que los valores crecen o decrecen a razón constante. Esta razón constante es la pendiente de la recta. Cuando en una gráfica las ordenadas de los puntos son iguales, el segmento es horizontal y la pendiente vale cero.

Si las abscisas de los puntos son iguales, el segmento de recta es vertical y la pendiente no está definida (la división entre cero no está definida).

y

y

x

x


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SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL. MÓDULO 1: RECTA

• Desarrollar una actividad en el aula o en algún otro lugar que sea propicio.• Establecer un clima de confianza para el alumno e indicar los propósitos de la actividad

y las competencias que se espera desarrolle el alumno.• Manejar las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información

y expresar ideas. • Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.• Revisar el ambiente de aprendizaje (espacio físico, disposición física del alumno,

materiales y características de los alumnos).• Reunirse con sus compañeros e integrar equipos de cuatro personas, y mediante una

lluvia de ideas identificar sus conocimientos previos relacionados con el tema sistemas de ecuaciones y elaborar un reporte que se presentará a todo el grupo.

• Reunir información relacionada con la actividad mediante una investigación en la biblioteca o en internet y compararlo con el reporte antes elaborado.

• Identificar una situación de la vida cotidiana.• Indicar conceptos necesarios para resolver la situación problema.

• Conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.

• Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, se apoya del material didáctico a través de presentaciones en Powerpoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esta actividad permite que el alumno participe de forma activa e interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad.

• Se analizan y comparan los resultados obtenidos y, si son correctos, se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

• Se fomenta la motivación donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno, se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

• La conclusión se hará conjuntamente entre los alumnos y el profesor.• Evaluación.• Conocimientos, comprensión y aplicación. • Procedimental: Desarrollo de habilidades para plantear y resolver problemas.• Actitudes y valores: Disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• Evidencia del desempeño.

• Ejercicio resuelto.• Lista de control: Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de

los alumnos.• Rúbrica.• Lista de cotejo

• Portafolio de evidencias.• El profesor pasará lista conforme el alumno desarrolla su actividad, evaluará:

conocimientos, actitudes y valores.

APERTURA

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN

PROBLEMA

Conocimientosprevios:

DESARROLLO

CIERRE

Conclusión, se realiza la retroalimentación del tema, aclarando dudas y elaborando un resumen.


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RECTA • Distancia entre dos puntos

Reúnete con tus compañeros y formen equipos de cuatro a cinco personas y resuelvan lo siguiente:

Una persona que se ubica en el punto (0,0) realiza un recorrido hacia el norte, recorre 3 km; posteriormente, 5 kilómetros en dirección este. Calcula qué distancia debe recorrer para llegar al punto de partida, (considera la escala de: 1: 1km).

Conocimientos previos:

Efectúa una lluvia de ideas y una discusión grupal guiada para reconocer conocimien-tos previos

Realiza, en equipo, actividades de identifi-cación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

Elabora en equipo el reporte con los datos involucrados en la situación problema.

Con base en la información anterior, expresa en lenguaje matemático la situación problema y plantea el procedimiento de resolución.

Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas y reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología, uso de gráficos. Ubica los puntos en el plano y traza los recorridos.

- Ubicación de puntos- Plano cartesiano- Orientación

• Investigar ubicación de puntos en el pla-no cartesiano.

• Calcular las distancias en una y dos dimensiones.

• Ubicación y orientación.• Escalas.

• Ubicación de puntos del recorrido: Punto de inicio (0,0) Primer recorrido 3 km hacia el norte; corresponde al punto (0,3) Segundo recorrido 5 km hacia el este; corresponde al punto (5,3)

• Distancia que calcular entre los puntos: P1(0,0) y P2(5,3) x1= 0 y1= 0 x2= 5 y2= 3

situación problema

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_dqxkGJIn9k4/SvrjJhx-UmI/AAAAAAAAAEU/sqxANsiwwW8/s320/caminar.jpg


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Fórmula:

En forma individual realiza los cálculos indicados en la fórmula de distancia entre dos puntos y compárala con tus compañeros hasta que todos estén de acuerdo y coméntenlo al grupo y al profesor.

Sustitución de valores en la fórmula:

Presenta, para su evaluación, (al profesor, al grupo o al equipo) los resultados de este ejercicio.

Integra este producto evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias.

Toma de decisiones: seleccionar opciones que parecen iguales o examinar las decisiones de otros.

d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

(x2 − x1)2 = (5 − 0)2 = 25

(y2 − y1)2 = (3 − 0)2 = 9

d = 25 + 9 = 34

¿Existe algún otro método para calcular las distancias de los recorridos?


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En una pista de un cuarto de milla, dos vehículos compiten en una eliminatoria, ambos se descomponen; uno cuando había recorrido la tercera parte de la pista, y el otro cuando había recorrido las dos terceras partes. Si el inicio se encuentra ubicado en el origen de tu sistema de referencia y la pista es horizontal, calcula cuáles son las coordenadas donde se descompuso cada auto, en metros.


Efectúa una lluvia de ideas y una discusión grupal guiada para reconocer conocimien-tos previos.

Realiza, en equipo, actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema. Elabora en equipo el reporte con los datos involucrados en la situación problema.


Fórmulas:


Presenta, para su evaluación, (al profesor, al grupo o al equipo) los resultados de este ejercicio. Integra este producto evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias.


• Ubicación de puntos• Plano cartesiano• División de un segmento

en una razón dada.• Conversión de unidades.

• ¿Qué distancia es un cuarto de milla en metros?

• Puntos de trisección.

• Coordenadas del punto de inicio (0, 0)• Coordenadas del punto final (402.25,0)

• Puntos de trisección.

x = x1 + r (x2 − x1)y = y1 + r (y2 − y1)

RECTA • División de un segmento en una razón dada

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Un barco navega en línea recta desde la coordenada (3,−2) y llega hasta la coordenada (−5,6). Calcula cuál es la distancia que recorre si la gasolina se le termina a la mitad del recorrido.


Efectúa una lluvia de ideas y una discusión grupal guiada para reconocer conocimien-tos previos

Realiza en equipo actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlos en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

Elabora, en equipo, el reporte con los datos involucrados en la situación problema.

Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; asimismo reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología, uso de gráficos.

Fórmula:



Integra este producto evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el por-tafolio de evidencias.

Toma de decisiones: seleccionar opciones que parecen iguales o examinar las decisio-nes de otros.

• Ubicación de puntos• Plano cartesiano• Punto medio

• Diferentes formas de calcular punto medio.

• Punto de inicio (3, −2)• Punto final (−5, 6)

• Identificar las fórmulas que se van a usar.• Sustituir los datos en las fórmulas.• Realizar operaciones.• Simplificar los resultados.• Conclusiones.

RECTA • Punto medio

situación problema

Fuente: http://www.mundoinsolito.net/el-barco-mas-rapido-del-mundo/


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RECTA • Pendiente de una recta, ángulo de inclinacióny ángulo entre rectas

Forma con tus compañeros equipos de cuatro a cinco personas y resuelvan lo siguiente:

Considere la información de las ventas de tres compañías en dos años diferentes:

2007 2009Ventas de compañía X $500,000.00 $600,000.00Ventas de compañía Y $500,000.00 $800,000.00Ventas de compañía Z $500,000.00 $300,000.00

Con base en los datos calcula:a) Cuál fue el incremento o decremento en las ventas de cada empresa por año.b) Traza una gráfica, utiliza el eje horizontal para los años y el eje vertical para las ventas.c) Con base en las gráficas, menciona cuál es el comportamiento cuando hay ganancias y

cuando hay pérdidas (pendiente positiva o pendiente negativa).d) Calcula el ángulo que existe entre la compañía X y la compañia Y.


Efectúa una lluvia de ideas y una discusión grupal guiada para reconocer conocimientos previos.

Realiza, en equipo, actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

El incremento, también llamado variación o pendiente, para la compañía X, por año es:


Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; asimismo reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos.

Fórmula:

• Recta.• Segmento de recta.• Concepto de pendiente.• Ganancias y pérdidas de una empresa.• Incrementos. • GeoGebra o similar.

Incremento, variación o pendiente es:cambio en ycambio en x

situación problema

y2 − y1

x2 − x1

∴ m =

Fuente: http://mba.americaeconomia.com/articulos/reportajes/8-pasos-para-una-reunion-de-trabajo-exitosa


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Y su ángulo de inclinación es:




Las gráficas, utilizando GeoGebra, son:

q = tan-1 (50,000)q = 89° 59‘ 55.87“

Esto indica que la compañía X gana $50,000.00 por año.

Calcula Para la compañía Y:

Para la compañía Z:

El signo negativo indica que la compañía Z, tuvo pérdidas por la cantidad de $100,000.00.

Para trazar la gráfica de la compañía X, el primer punto es (2007, 500,000), que lo representamos en el sistema de referencia como (7, 5) y el segundo punto es (2009, 600,000), representado por (9, 6); al unir estos puntos, formamos lo que se conoce como un segmento de recta.

De la gráfica observamos que la inclinación de la recta en la compañía Y es más pronunciada que la de la compañía X, y esta aseveración se comprueba con los ángulos de inclinación; además, se trazan en sentido ascendente. Esto se refleja en el resultado de las pendientes, ya que en la compañía Y es mayor, y además como las pendientes son positivas, indican que hay ganancias.

Con respecto a la pendiente de la compañía Z, al trazar la gráfica, el sentido es descendente y es la razón del signo negativo de la pendiente y el ángulo, lo que indica que hay pérdida.

600,000 − 500,000 100,000 2009 − 2007 2

= = 50,000.00


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Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la próxima semana se tienen disponibles 120 horas de trabajo para producirlos. Es posible asignar horas de trabajo de fabricación para cualquiera de estos. Además, puesto que ambos productos generan buenas utilidades, a la gerencia le interesa aprovechar el total de 120 horas durante la semana. Cada unidad producida del producto A requiere 3 horas de trabajo y cada unidad del producto B, requiere 2.5 horas.



Realiza, en equipo, actividades de iden-tificación y búsqueda de información relevante para aplicarlos en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.



a) Plantea una ecuación que indique el total de horas de trabajo empleadas para producir x unidades del producto A, así como y unidades del producto B es igual a 120.

b) Traza la gráfica de la ecuación.

c) ¿Cuántas unidades del producto A se pueden fabricar si se producen 30 unidades del producto B?

d) Si la gerencia decide producir solo un producto, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede fabricar del producto A? ¿El máximo del producto B?

• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• GeoGebra o similar.• Intersecciones con los ejes.

• Llamemos x al número de unidades fabricadas del producto A.

• Llamemos y al número de unidades fabricadas del producto B.

• Ecuación que indique que el total de horas de trabajo empleadas para producir x unidades del producto A y y unidades del producto B es igual a 120.

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Fuente: http://www.aloeverabeaute.fr/details-le+gel+d+aloe+vera+est+certifie+kasher+et+halal+-24.html


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Describe en diferentes pasos el proceso que resuelve la situación problema, las carac-terísticas de las propuestas reconociendo en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos.

¿Cuántas unidades del producto A se pueden fabricar si se producen 30 unidades del producto B?:

Gráficamente si y = 30, trazamos una recta horizontal hasta cortar la gráfica de la recta y trazamos una recta vertical hasta cortar el eje x, obtenemos un resultado para la producción de A de 15 unidades.

La gráfica, utilizando GeoGebra, queda de la siguiente manera:


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Fórmula:





3x + 2.5y = 120

3x + 2.5(30) = 120

Aplicando las propiedades de la igualdad, despeja el valor de x.

Si la gerencia decide producir solo un producto. ¿Cuál es la cantidad máxima que se puede fabricar del producto A? ¿El máximo del producto B?

Si solo se fabrica el producto A, significa que y = 0, por lo que gráficamente obtenemos la intersección con el eje x, y el resultado es 40 unidades del producto A.

Si solo se fabrica el producto B, significa que x = 0, por lo que gráficamente obtenemos la intersección con el eje y, y el resultado es 48 unidades del producto B.

Analíticamente:

Si y = 0 ; 3x + 2.5(0) = 120 ; por lo tanto: x = 1203

= 40

Si x = 0 ; 3(0) + 2.5y = 120 ; por lo tanto: y = 1202.5

= 48

Si no se fabrica ningún producto de B, se fabrica un máximo de 40 A.

Si no se fabrica ningún producto de A, se fabrica un máximo de 48 B.


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Con tus compañeros formen equipos de cua-tro o cinco personas y resuelvan lo siguiente:

Sea y = 3x + 25

Donde y es el salario semanal de un vendedor en dólares.

Y x es el número de unidades vendidas durante la primera semana.

Complementa los procesos que a conti-nuación se indican para que comprendas el funcionamiento de la ecuación del salario.


Efectúa una lluvia de ideas y una discusión grupal guiada para reconocer conocimien-tos previos.

Realiza, en equipo, actividades de iden-tificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.


Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; además, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, proce-dimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos.

Su pendiente es 3 y la intersección de y es 25.

Utilizando GeoGebra o cualquier otro software, traza la gráfica:

situación problema


27

Observa que se remarcó solo para valores positivos de x, y. Explica cuál es la razón.

Explica qué significa el valor de la pendiente.

Explica cuál es el salario que se ganaría si no se vendiera ninguna unidad.





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Reúnete con tus compañeros y formen equipos de cuatro a cinco integrantes para resolver lo siguiente:

Se espera que el valor de una máquina disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Dos puntos de datos indican que el valor de la máquina en un año, después de la compra, será de $120,000.00 y su valor después de cinco años será de $48,000.00. Determina:

a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina, considera como valor V, y antigüedad en años t .

b) Interpreta el significado de la pendiente.






Con los datos de la situación problema conocemos dos puntos:

Fórmula:


Depreciación.

En un año, el valor será: $120,000.00En cinco años será de: $ 48,000.00

(1, 120,000) = (x1, y1) (5, 48,000) = (x2, y2)

y − y1 = m (x − x1)

y − 120,000 = 48,000 − 120,000

5 − 1 (x − 1)

situación problema

Fuente: http://www.forosperu.net/temas/hay-una-base-subterranea-entre-peru-y-paraguay.337866/pagina-5


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Realiza el procedimiento en tu cuaderno:

y −120,000 = −72,0004

(x − 1)

y −120,000 =

y −120,000 = −18,000x + 18,000 18,000x + y − 138,000 = 0Ecuación general de la recta.

La pendiente m = −18,000

Despejando el valor de y de la ecuación general de la recta:

y = −18,000x + 138,000

Donde y representa el valor (V) de la máquina y x representa el tiempo (t).


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La siguiente ecuación representa la depreciación de una computadora. Calcula:

a) Cuál es el valor de la computadora después de que ha pasado un año.

b) Cuál es su valor después de tres años.

c) Cuánto vale la pendiente y cuál es su significado.

y = −1,500x + 10,000




Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las caracterís-ticas de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora y uso de simbología, uso de gráficos.

Presenta para su evaluación (al profesor, al grupo o al equipo) los resultados de este ejercicio.



Para calcular cuánto vale la computadora después de un año, significa que x vale 1; y se sustituye en la ecuación:

y = − 1,500x + 10,000

De la misma forma, para cuando x vale 3:

La pendiente vale −1,500

y significa que la depreciación por año de la computadora es de 1,500.

situación problema

Fuente: http://tabletpcss.net/wp-content/uploads/2011/04/Tablet-Pc-Convertible.jpg


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Se desea construir una vía paralela a otra, para mayor seguridad en el tren ligero de la Ciudad de México, que pase por la coordenada (1, −2), si la ecuación que modela una de ellas es:2x + 4y = 8 Obtén la ecuación que modela la nueva vía.



Realiza en equipo actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedi-mientos utilizados, uso de calculadora y uso de simbología, uso de gráficos.




• Condición de paralelismo.

• Condición de paralelismo.• Cálculo de pendientes.• Ecuación que se utilizará.• Sustitución de datos.• Realizar operaciones.• Obtención de la ecuación.

Pendiente de la vía:

m = − 24

= − 12

Ecuación que se utilizará:y − y1 = m (x − x1)

Sustitución de datos:

y − (−2) = − 12

(x − 1)

Realizando operaciones:2 (y + 2) = − x + 1

Ecuación de la nueva vía:x +2y + 3 = 0

RECTA • Rectas paralelas

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Fuente: http://moririaporella.blogspot.mx/2010_05_01_archive.html


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Dos calles atraviesan por un jardín de la colonia san Javier en forma perpendicular, si la ecuación que representa una de ellas es:

3x − 6y + 3 = 0

y su punto de intersección es: (1, 1).Obtén la ecuación que modela la otra calle.

Condición de perpendicularidad.

• Condición de perpendicularidad.• Cálculo de pendientes.• Ecuación que se utilizará.• Sustitución de datos.• Realizar operaciones.• Obtención de la ecuación.

Pendiente de la vía actual:

m = − 3−6

=12

Pendiente de la nueva vía por condición de perpendicularidad:m = −2

y − y1 = m(x − x1)x1 = 1; y1 = 1

RECTA • Rectas perpendiculares


Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos.



Ecuación que se utilizará:


Realizando operaciones:

Ecuación de la nueva calle:


situación problema



Fuente:http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD22/mcs/paseandoporelbarrio.html


33


La Calzada de los Muertos en Teotihuacán se puede modelar como una recta:

5x + 2y − 10 = 0

Si te encuentras en la zona de acceso cuya coordenada es: (−2, 1) ubicada en forma perpendicular a la calzada, cuánto tienes que caminar para llegar a esta. Considera como unidades metros.



Realiza, en equipo, actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlos en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las caracterís-ticas de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos.




• Distancia de un punto a una recta.

• Distancia de un punto a una recta.• Ecuación que se utilizará.• Sustitución de datos.• Realizar operaciones.• Obtención del resultado.

Ecuación a utilizar

d = |Ax1 + By1 + C|

A2 + B2


d = |5(−2) + 2(1) − 10|

52 + 22


d = |−10 + 2 − 10|

25 + 4 =

18

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RECTA • Distancia de un punto a una recta

situación problema

Fuente: http://latravesia.files.wordpress.com/2008/11/teot51.jpg


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Realizaremos con la ayuda de Graphmatica un dibujo (casa) y utiliza los conocimientos de este módulo.

actividadempleando tics

PROCEDIMIENTO

1. En una hoja milimétrica, haz un boceto de los trazos que vas graficar en Graphmatica (utiliza solo rectas).

2. Muestra tu boceto a tu profesor, él te indicará si es apto para graficarse en el software. 3. Inicia Graphmatica desde tu ordenador.

En la ventana de trabajo, aparece la pantalla de la siguiente forma:


35

Antes de comenzar a ingresar las ecuaciones, cambia el color de fondo de la pantalla. Se-lecciona Opciones de la barra de herramientas, da clic en la opción de Papel gráfico.

Posteriormente da clic en la opción de Papel gráfico, aparecerá la siguiente pantalla.

Presiona la pestaña Colores.


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Ahí puedes cambiar, desde el fondo de la pantalla hasta el color de las gráficas. Da clic en la opción Monocromo y después Aceptar.

Y la pantalla se verá de la siguiente forma:


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Otra opción que te será útil son las barras de desplazamiento, las cuales puedes habilitar, al dar clic en Ver, de la barra de herramientas. Busca la opción Barras de desplazamiento.

INGRESO DE FUNCIONES

El ingreso de funciones se hace en el renglón blanco de entrada.

4. Base de la casa. Ingresa la siguiente ecuación: y = −5 {−6,6}. Al término de ingresar los datos, presiona enter. Los valores que están entre llaves es el dominio de la recta (y se colocan de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba). Ten en cuenta que es necesario dejar un espacio entre la ecuación y el dominio.

5. Barda izquierda. Ingresa la ecuación: x = −6 {−5,3} 6. Barda derecha. Ingresa la ecuación: x = 6 {−5,3}

Puerta7. Ingresa la ecuación: x = −2 {−5,−1} 8. Ingresa la ecuación: x = 2 {−5,−1} 9. Ingresa la ecuación: Y = −1 {−2,2}

Ventana izquierda10. Ingresa la ecuación: y = 1 {−5,−2} 11. Ingresa la ecuación: y = 3 {−5,−2} 12. Ingresa la ecuación: x = −5 {1,3} 13. Ingresa la ecuación: x = −2 {1,3}


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Ventana derecha14. Ingresa la ecuación: y = 1 {2,5} 15. Ingresa la ecuación: y = 3 {2,5} 16. Ingresa la ecuación: x = 2 {1,3} 17. Ingresa la ecuación: x = 5 {1,3}

Techo izquierdoEl techo tiene una cierta inclinación; por ello, se necesitan dos puntos para obtener la ecua-ción. Utilizaremos los siguientes: a(−8,1) y b(0,9)

(y − y1) = y2− y1

x2− x1

(x − x1)

Sustituyendo valores se tiene que:

(y − 1) =9 − 10 + 8

(x + 8)

Se realizan operaciones y se tiene:

(y − 1) = 88

(x + 8)

Simplificando:(y − 1) = (x + 8)

18. Ingresa la ecuación: (y − 1) = (x + 8) {−8,0}

Techo derecho19. El procedimiento es similar al paso anterior para graficar el techo derecho, ahora los

puntos son: c(0,9) y d(8,1).


(y − 9) = 1 − 98 − 0

(x − 0)

Se realizan operaciones y se tiene:

(y − 9) = −8 8

(x − 0)

Simplificando:(y − 9) = −x

20. Ingresa la ecuación: (y − 9) = −x {0,8}

Chimenea21. Ingresa la ecuación: x = 3 {6,8} 22. Ingresa la ecuación: x = 4 {5,8} 23. Ingresa la ecuación: y = 8 {3,4}

PARA GUARDAR

Para guardar las gráficas que hayas construido da un clic en Archivo y luego en Guardar como. Posteriormente, escribe Integradora1 y da un clic en Aceptar.


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Se desea construir un parque recreativo de forma hexagonal regular de tal manera que en los vértices se coloquen postes de alumbrado, para lo cual se requieren los siguientes elementos: a. Traza en el plano cartesiano el hexágono re-

gular que mida de lado 50 metros (a escala). b. Coloca una letra y sus coordenadas a

cada vértice.

ACTIVIDAD INTEGRADORA

c. Ubica el centro donde se colocará una fuente. d. ¿Existen segmentos paralelos en tu trazo? Justifica tu respuesta analíticamente. e. Determina las ecuaciones de las rectas que contiene cada lado. f. Traza las apotemas y obtén las ecuaciones de las rectas que las contienen. g. En el contorno se colocará una banqueta con guarnición. Calcula el perímetro. h. Calcula el área total del parque.

a. Trazo del hexágono

situación problema

Fuente: http://www.visitingargentina.com/esp/la-pampa/images/santa-rosa-centro-recreativo-don-tomas.jpg


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b. Coloca una letra y sus coordenadas en cada vértice.

c. Ubica el centro donde se colocará una fuente.

d. ¿Existen segmentos paralelos en tu trazo? Justifica tu respuesta analíticamente.

Los lados paralelos son los que se encuentran uno enfrente del otro, y para justificar la res-puesta, se utiliza la condición de paralelismo.

Calculando las pendientes como deben ser:

e. Cada integrante del equipo debe construir la ecuación de cada lado y cuando las tengan todas, intégrenlas en un reporte para comentarlas con el grupo y el profesor.

f. Traza las apotemas y determinen, de igual forma, las ecuaciones de cada una.

g. En el contorno, se colocará una banqueta con guarnición. Calcula el perímetro.

h. Calcula el área total del parque.


41

EVALUACIÓN

1) Dos calles atraviesan por un jardín en forma perpendicular de la colonia san Lucas, si la ecuación que representa una de ellas es:

5x − 8y − 7 = 0 y su punto de intersección es: (3, 1)

Obtén la ecuación que modela la otra calle.

2) Se espera que el valor de un automóvil disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Dos puntos de datos indican que el valor de la máquina en un año después de la compra será de $100,000.00 y su valor después de cinco años será de $50,000.00. Determina:

a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina, en su forma general y en su forma simétrica. Considera como valor V, y antigüedad en años t.

b) Interpreta el significado de la pendiente.

3) Una persona se atraviesa por un jardín en forma perpendicular a una calle que se encuentra representada por la ecuación 3x − 6y + 3 = 0, si la persona se encontraba ubicada al inicio del jardín, en la coordenada (3, −2). Calcula cuál es la distancia que recorrió.

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situación problema

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EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE

Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en una situación problema, considera el contexto en el que se generó.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos y aplica diferentes enfoques.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos o analíticos.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

EVALUACIÓN TOTAL

RÚBRICA


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En este módulo se plantearon diferentes tipos de actividades relacionadas con el concepto de recta y segmento de recta. Se trató de motivar al alumno con situaciones de su entorno y, además, guiándolo para fomentar el aprendizaje autónomo, ya que otros procedimientos se resolvieron y algunos los contestó con el auxilio de sus compañeros o con la orientación del profesor.

Se plantearon también investigaciones de conceptos que el alumno debió realizar por anticipado a la resolución de las actividades, con el objetivo de que se familiarice con estos y además se fomente la lectura en ellos.

resumen

R


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Para el alumno

Fuenlabrada, Samuel (2007). Geometría Analítica, México, McGraw-Hill Interamericana.

Lehmann, Charles (2008). Geometría Analítica, México, Limusa.

Ruiz Basto, Joaquín (2006). Geometría Analítica, México, Publicaciones Cultural.

Para el docente

Jiménez, René (2010). Matemáticas III. Geometría Analítica: Enfoque por Competencias. México, Pearson Prentice Hall.

Méndez, H. A. (2009). Matemáticas 3. Bachillerato. México, Santillana.

Ruiz Basto, Joaquín (2005). Geometría Analítica Básica, Bachillerato, México, Publicaciones Cultural.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Para el alumno

Barot S., M. (2009). Matemáticas. Geometría Analítica Preuniversitario, México, Santillana.

Kindle J., H. (2007). Geometría Analítica, México, McGraw Hill.

Ruiz Basto, Joaquín (2010). Matemáticas 3. Geometría Analítica Básica, México, Patria.

Para el docente

González C., J. (2009). Geometría Analítica, México, Trillas-SEP.

Pimienta P., J.H. (2010). Matemáticas 3. Geometría Analítica, Bachillerato. México, Pearson Prentice Hall.

Swokowski, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, México, Cengage Learning Editores.

MESOGRAFÍA

www.geogebra.org, consultada el 3 de mayo de 2014.

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/libros/matematicas/geometria/indice.htm, consultada el 3 de mayo de 2014.

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ejer_pro_sec_conica.html, consultada el 3 de mayo de 2014

http://www.youtube.com/watch?v=BZFrJFfNmSc, consultada el 3 de mayo de 2014.

http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u7.pdf, consultada el 3 de mayo de 2014.

http://www.prepa5.unam.mx/profesor/publicacionMate/15XI.pdf, consultada el 3 de mayo de 2014.

bibliografía

COMPETENCIAS QUE DESARROLLARÁ EL ALUMNO:

•Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en un texto, considerando el contexto en el que se generó y en el que se recibe.

•Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

•Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

•Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

•Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

MÓDULO 2 Circunferencia


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PROPÓSITOS

Desarrollar en el estudiante la capacidad para:

• Utilizar el lenguaje, los conceptos y principios básicos de Geometría Analítica que le permitan construir representaciones, conceptos y objetos de su entorno; los cuales se modelan a través de la circunferencia en diferentes situaciones de contexto.

• Incrementar habilidades, destrezas y actitudes para conocer y emplear los diferentes elementos de la Geometría Analítica para la resolución de problemas, cuyo modelo in-volucre a la circunferencia

EJES TRANSVERSALES

• Educación para la paz: al favorecer la convivencia, discusión, tolerancia y confrontación de ideas para el trabajo individual y en equipos.

• Educación del consumidor: al analizar las características o cualidades de productos, bie-nes y servicios a través de modelos que involucran a la circunferencia.


¿Qué formas circulares encuentras en tu entorno?

¿Cómo te ayuda el estudio de la circunferencia a interpretar situaciones problema que involucran figuras y cuerpos geométricos en juegos, deportes y parques de diversiones así como también en la resolución de situaciones problema?

ESQUEMA GRÁFICO DE CONTENIDOS

CIRCUNFERENCIA

Ecuación general

Ecuación con centro fuera del origen

Ecuación con centroen el origen

Geometría Analítica: 2. Circunferencia

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INTRODUCCIÓN

Hipócrates

A Hipócrates, matemático griego nacido en la isla de Quíos, se deben dos problemas presentes en las matemáticas de todos los tiempos: la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo.

En la búsqueda de la cuadratura del círculo, Hipócrates encontró el primer caso de cuadratura de una figura curvilínea, llamada lúnula. Después halló muchas otras figuras de este mismo tipo perfectamente cuadrables; pero no llegó al círculo.

La invención de la rueda

Quizá la rueda sea uno de los inventos más importantes de la historia. Prácticamente cualquier máquina construida desde el comienzo de la revolución industrial posee en mayor o menor medida la presencia de la rueda, por lo que es difícil imaginar un sistema mecanizado sin la presencia de la rueda o un componente simétrico que se mueva de forma circular alrededor de un eje.

Basados en diagramas de antiguas tablillas de arcilla, la primera rueda de la que se tiene constancia fue usada en Mesopotamia en torno al 3,500 a. de C. Pero pese a que no existan evidencias arqueológicas, se cree que las primeras ruedas pudieron aparecer en Sumeria en torno al año 8,000 a. de C., siendo su invención el resultado de una lenta evolución de la combinación del rodillo y el trineo.

Se tiene constancia de que los primeros hombres utilizaban rodillos bajo objetos de gran peso para poder moverlos más sencillamente. Del mismo modo, también existen evidencias de que en la antigüedad el hombre situaba patines bajo grandes cargas, dado la facilidad para subir la carga, dando lugar a lo que hoy conocemos como trineo.

En un momento dado, para facilitar el transporte de grandes cargas, el hombre comenzó a combinar el rodillo y el trineo. A medida que este se movía adelante sobre el primer rodillo, el segundo rodillo se situaba bajo la parte frontal de la carga para sostener el peso cuando esta carga superara en más de su mitad el primer rodillo.

Pronto, el hombre descubriría que en los rodillos que habían cargado varias veces grandes pesos comenzaban a aparecer surcos a causa del uso. Asimismo se percataron de que cuanto más profundos fueran los surcos, los trineos avanzaban más distancia antes de necesitar el siguiente rodillo.

Esto llevó a que los rodillos fueran sustituidos por ruedas. Durante este proceso, la madera entre los surcos del rodillo se eliminó

Fuente del texto: http://recuerdosdepandora.com/histo-ria/inventos/la-invencion-de-la-rueda/


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formando un eje. Al trineo se le pegaron unas clavijas de madera para que estas se unieran al eje en cada uno de sus laterales. De este modo, cuando las ruedas avanzaban, el eje también avanzaba, pero el trineo se mantenía siempre en la misma posición respecto al eje gracias a las clavijas, eliminando entonces la necesidad de otros rodillos.

De este punto, se cree que para facilitar la fabricación, se comenzaron a hacer los ejes y las ruedas por separado, uniéndolos más tarde mediante una clavija, llegando a tener lo que hoy en día se conoce como la rueda.

Secciones cónicas

El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.

Fuente: es.wikipedia.org/wiki/Hipérbola#/media/file:Cono_y_secciones.org


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• Desarrollar una actividad en el aula o en algún otro lugar que sea propicio.• Establecer un clima de confianza, por parte del docente, para el alumno, indicar los

propósitos de la actividad y cuáles son las competencias que se espera desarrolle el alumno.

• Reunirse con sus compañeros e integrar equipos de cuatro personas y, mediante una lluvia de ideas, identificar sus conocimientos previos relacionados con el tema sistemas de ecuaciones; asimismo, elaborar un reporte que se presentará a todo el grupo.

• Reunir información relacionada con la actividad mediante una investigación en la biblioteca o en internet y compararla con el reporte antes elaborado.


• Tener los conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.

Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, se apoya de material didáctico a través de presentaciones en Powerpoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esto permite que el alumno participe de forma activa, e interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad.

Se analizan y comparan los resultados obtenidos y, si son correctos, se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

Se fomenta la motivación, donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno; se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

La conclusión se hará conjuntamente entre los alumnos y el profesor.• Evaluación.• Conocimientos, comprensión y aplicación.• Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver problemas.• Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• Evidencia del desempeño. • Ejercicio resuelto.• Lista de control: se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los

alumnos.• Rúbrica.• Lista de cotejo.• Portafolio de evidencias.• El profesor pasará lista conforme el alumno desarrolla su actividad, se evaluará:

conocimientos, actitudes y valores.

APERTURA

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMA


DESARROLLO

CIERRE

Conclusión, se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran dudas y se elabora un resumen.

SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL. MÓDULO II: CIRCUNFERENCIA


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Definición de la circunferencia

Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante.

El círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.


Elementos notables de la circunferencia

Centro: un punto fijo del plano del cual equidistan los puntos que pertenecen a la circun-ferencia.

Radio: magnitud constante que existe entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.

Recta secante: línea recta que intersecta a la circunferencia en dos de sus puntos.

Cuerda: segmento de recta secante, cuyos extremos son los dos puntos de intersección con la circunferencia, la cuerda es una línea perpendicular al radio y este pasa por su punto medio.

Diámetro: máxima cuerda de una circunferencia que pasa por el centro y su magnitud igual a dos radios.

Recta tangente: línea recta que intersecta a la circunferencia en uno de sus puntos, y que es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Longitud de una circunferencia o perímetro: es la magnitud del arco total que resulta de multiplicar dos veces la constante p por la magnitud de su radio.

Arco de circunferencia: la parte comprendida entre los puntos, de una circunferencia AB.


51

Al considerar dos puntos de una circunferencia, se determinan dos arcos coterminales, cuyas longitudes sumadas equivalen a la longitud de la circunferencia.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

• La ecuación de la circunferencia cuando su centro está en el origen C (0,0) es:

x2 + y2 = r2

Donde r es el radio.

centro

cuerda

tangente

diámetro

arco

P (x,y)


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Uno de los cenotes mayas que se encuentran en Yucatán tiene una superficie de 806 metros cuadrados, obtén la medida del radio.




Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las caracterís-ticas de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ven-tajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora y uso de simbología.

¿Cuál es la variable del problema?, represéntala con la letra r.

El área de un círculo es:

El planteamiento de la ecuación es:

Despejando el valor de r.

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son dos:

• Cómo se calcula el área de un círculo.• Propiedades de la igualdad.

Sea r la medida del radio.

pr2

pr2 = 806

r = 16.02 y r = −16.02

El valor que nos representa el radio del cenote es el valor positivo, ya que no existen dimensiones negativas

CIRCUNFERENCIA

situación problema

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_NpINLHeo8rM/RmTwqIvQJJI/AAAAAAAABbE/PRFgg6gGjIA/s400/4.jpg


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Resumen de la actividad y conclusiones, evaluación a través de una rúbrica.

Conclusión:El radio mide 16.02 metros.

Resumen de los principales conceptos vistos en la actividad.

• Cómo se calcula el área de un círculo.• Propiedades de la igualdad.


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Actividad individual, resuelve lo siguiente:

Una alberca en forma circular tiene un trampolín cuya longitud es la sexta parte de su diámetro. Si el trampolín mide 1.5 metros de largo. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de la alberca?


Realiza una representación gráfica de la situación problema. Toma como referencia el origen colocando en el centro de la circunferencia.


Si el trampolín es la sexta parte del diámetro, cuánto mide el radio:

¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en el origen?

El planteamiento de la ecuación es:

Presenta, para su evaluación, (al profesor, al grupo o al equipo) los resultados de este ejercicio. Integra este producto evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias.


• Elementos de una circunferencia.• Ecuación de la circunferencia.• Propiedades de la igualdad.

r = 4.5 m

x2 + y2 = r2


situación problema


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La ecuación de la circunferencia, cuando su centro se ubica fuera del origen en C(h,k), es:(x − h)2 + (y − k)2 = r2


En el Parque Hundido (Distrito Federal, México), se encuentra un reloj floral, cuya construcción data de 1977 y que lo conforma una carátula floral de 9.72 metros de diámetro. Lo adornan 18,000 plantas de diversas especies. Fue elaborado por artesanos de Zacatlán, Puebla.

Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia y considera que su centro está en el punto P (6,2) en metros.



Realiza, en equipo, actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención

• Elementos de la circunferencia.• Ecuación de la circunferencia con centro

en C(h,k).

CIRCUNFERENCIA • Ecuación de la circunferencia con centro en C(h,k) forma ordinaria

CIRCUNFERENCIA

situación problema

Fuente: http://mexico.pordescubrir.com/wp-content/uploads/2008/07/elrelojbygatoazul.jpg


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de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.

Realiza una representación gráfica de la situación problema.

Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las caracterís-ticas de las propuestas; asimismo, reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ven-tajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora y uso de simbología, uso de gráficos.

¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen?

De los datos se sabe que:

• El centro se encuentra en:

• El radio mide:

• Se sustituye en la ecuación:

Realizando operaciones, se tiene que la ecuación que representa la situación problema es:

Resumen de la actividad y conclusiones, evaluación a través de una rúbrica

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

C(6,2) h = 6 k = 2

radio = 4.86 m

(x − 6)2 + (y − 2)2 = 23.6196


x

Fuente: http://mexico.pordescubrir.com/wp-content/uploads/2008/07/elrelojbygatoazul.jpg


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El Ojo de Londres, también conocido como Millennium Wheel (Rueda del Milenio), terminado en 1999, fue la mayor noria-mirador del mundo hasta el 2006. El London Eye alcanza una altura de 135 metros. Está localizado a un lado del río Támesis. De acuerdo con los datos proporcionados en la imagen:

a) Determina la magnitud del radio.b) Determina la ecuación ordinaria de la

circunferencia que modela la situación problema.

c) Traza la gráfica.



Realiza una representación gráfica de la situación problema, de acuerdo con la imagen anterior.

Haz, en equipo, actividades de identificación y búsqueda de información relevante para aplicarlas en la obtención de los elementos geométricos o analíticos relacionados con la situación problema.


El radio del círculo es:

Las ecuación de la circunferencia es:

Sustituyendo los datos:

Gráfica de la circunferencia con los datos proporcionados:


• Punto medio.• Ecuación de la circunferencia

con centro en C(h,k).

r = 67.5

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

(x − 67.5)2 + (y − 67.5)2 = (67.5)2


x

y situación problema

Fuente: http://2mxlif1h1cy7vfm836vsho188v.wpengine.netdna-cdn.com/wp-content/uploads/2013/08/london-eye.jpg


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El Ángel de la Independencia es el símbolo oficial de la Ciudad de México y quizá el más bello de todos los monumentos que adornan el Paseo de la Reforma.

Se sabe que la base tiene por ecuación:

x2 + y2 − 24x − 24y + 144 = 0

Determinar :a) La ecuación ordinaria.b) Elementos (centro, radio).




Haz una representación gráfica de la situación problema. Toma como referencia un extremo del círculo, para colocar el plano cartesiano tangente al mismo.


La ecuación que representa la situación de contexto es:

Agrupa términos de x, así como en y:

Completa los cuadrados.

x2 + y2 − 24x − 24y + 144 = 0

(x − 12)2 + (y − 12)2 = 144

situación problema

Fuente: http://www.mexicomaxico.org/Reforma/reformaGlor.htm


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Presenta, para su evaluación, al profesor, al grupo o al equipo los resultados de este ejer-cicio.




Partiendo de la ecuación:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Desarrollando los binomios y agrupando:

x2 − 2xh + h2 + y2 − 2yk + k2 = r2

Tenemos: x2 + y2 − 2xh − 2yk + h2 + k2 − r2 = 0

Haciendo: D = −2h; E = −2k; F = h2 + k2 − r2

Se obtiene: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, la cual nos representa la forma general de la ecuación de la circunferencia.

De la forma general

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

si D2 + E2 + 4F > 0 representa una circunferencia de centro en:

C = −D − E

2 2, y radio r =

D2 + E2 − 4F

2

CIRCUNFERENCIA • Ecuación de la circunferenciaen forma general


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La Catedral de Oviedo en España posee un vitral circular en la parte superior, si el sistema de referencia tiene su origen en el piso a una distancia vertical del centro del vitral de 18 metros, y el diámetro del vitral es de 10 metros. Obtén la ecuación que representa la circunferencia en su forma general.



Haz un bosquejo gráfico de la situación problema, de acuerdo con los datos proporcionados.



• Desarrollo de un binomio al cuadrado.• Ecuación de la circunferencia

en su forma general.

CIRCUNFERENCIA

situación problema

Fuente: http://abentin40gmailcom.blogspot.mx/2009/07/iglesias-y-catedrales-espanolas.html


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¿Cuáles son los elementos que necesitas para construir la ecuación de la circunferencia?

Sustitución de datos en la ecuación de la cir-cunferencia:

Simplificación de operaciones:




Resumen de los principales conceptos vistos en la actividad.• Cómo se calcula el área de un círculo.• Propiedades de la igualdad.

(x − h)2 + (y − k)2 = r2


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Un libramiento que se puede modelar como una recta pasa en forma tangente a una glorieta, si el origen del sistema de referencia, se encuentra en el centro de la glorieta y la ecuación que representa al libramiento es:

x − 2y + 2 = 0

Construye la ecuación general de la circunferencia.





¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta?

¿Cuáles son los elementos que necesitas para construir la ecuación de la circunferencia?

Sustitución de datos en la ecuación de la circunferencia.


• Desarrollo de binomios al cuadrado.• Ecuación general de la circunferencia. • Distancia de un punto a una recta.

d = |Ax1 + By1 + C|

A2 + B2

Centro (0,0)Radio

situación problema


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Integra este producto evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias. Resumen de la actividad y conclusiones, evaluación a través de una rúbrica.

Resumen de los principales conceptos vistos en la actividad.• Cómo se calcula el área de un círculo.• Propiedades de la igualdad.

Realiza, con la ayuda del algún software (Graphmatica), el siguiente dibujo (bicicleta), uti-liza los conocimientos de este módulo.


PROCEDIMIENTO

1. En una hoja milimétrica, realiza los trazos que vas a graficar en Gaphmatica (utiliza solo rectas y circunferencias).

2. Obtén todas y cada una de las coordenadas que utilizarás para obtener las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias.

Para construir la ecuación de una recta, solo necesitas dos puntos.Para construir la ecuación de la circunferencia, necesitas el centro y el radio.

3. Ten presente que en las rectas debes de limitar su trazo. (Dominio)4. Al tener todas las ecuaciones, ingrésalas al software Gaphmatica y automáticamente se

trazarán las gráficas.

El software es gratuito y lo puedes bajar de internet.


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Analiza y reflexiona (de manera individual o en equipo de cuatro personas) la siguiente situación problema presentada por el docente:

El área restringida del volcán Xinantécatl (Nevado de Toluca) es circular, con un radio de 6 kilómetros. Dibuja en el plano cartesiano ubicando el centro de Toluca como el origen y traza el área restringida del volcán, determina su ecuación y considera que se ubica a 22 kilómetros al suroeste de Toluca. Traza un diámetro y las dos rectas tangentes que describen el ángulo con vértice en el centro de Toluca.



Comenten entre los compañeros del equipo la forma en que se puede resolver el problema y elabora individualmente, o en equipo, un mapa conceptual, un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema.

Cuando todos estén de acuerdo, coméntenlo al grupo y al profesor.

Contesta con tus compañeros de equipo las preguntas antes expuestas y complementen los cálculos faltantes:


Describe, en diferentes pasos, el proceso que resuelve la situación problema, las características de las propuestas; asimismo,

a) En tu cuaderno, traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, en el plano cartesiano.

Con los datos proporcionados obtén:b) Las coordenadas del centro.c) Magnitud del radio.d) Rectas tangentes.e) La ecuación ordinaria y general de la

circunferencia.f) Si consideras el sistema de referencia en

el centro de la laguna del volcán, cómo es la ecuación de la circunferencia.

g) Por último traza el círculo de zona restringida y calcula cuánto mide esta área.

• Trazo del plano cartesiano.• Ecuación de la circunferencia con centro

en el origen y centro en (h,k).


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reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedi-mientos utilizados, uso de calculadora y uso de simbología, uso de gráficos.




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EVALUACIÓN

En la imagen, se observa que hay un círculo; considerando el sistema de referencia en el centro del círculo, obtén la ecuación de la circunferencia que delimita al círculo si su diámetro es de 40 metros.

Plantea y desarrolla el problema en tu cuaderno.

El diámetro de la estructura circular es de 6 m en la parte superior; de 10 metros en la parte media y de 12 metros en la parte inferior:

Determina las ecuaciones ordinarias de las tres circunferencias, considerando como base que el sistema de referencia es tangente en la circunferencia de la parte más baja.


La imagen presenta una glorieta, si consideras el sistema de referencia como se muestra, determina los elementos de la circunferencia contenida y su ecuación en sus diferentes formas si el diámetro de esta es de 25 metros.


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situación problema

situación problema

Fuente: http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://fce-study.netdna-ssl.com/2/images/upload-flashcards/91/31/55/8913155_m.

jpg&imgrefurl=http://www.cram.com

Fuente: http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://bjccyrlw.com/UploadFiles/

images/20131222154744291.jpg&imgrefurl=http://bjccyrlw.com

Fuente: http://www.laopiniondemurcia.es/murcia/2009/09/23/eliminan-isletas-

redonda-tranvia-rodee-centro-plaza/199312.html&h=296&w=289&tbnid=4jBQFcB_CkF5

GM&zoom=1&tbnh=227&tbnw=222&usg=__GkZ7UVHGHgIVNlWIa-KF6lbQg5Q=&docid=A_

SvT8Raop7LfM


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Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.


EVALUACIÓN TOTAL

RÚBRICA

PROPÓSITOS FORMATIVOS POR COMPETENCIAS

En este módulo se desarrolló lo siguiente: primero se aplicó la ecuación con centro en el origen del sistema de referencia (canónica) de la circunferencia; después fuera del sistema de referencia (ordinaria) y por último la general; estos ejemplos de adaptaron a situaciones reales. Desde luego, el alumno vio que sí tiene aplicación real y de una forma más tangible para poder desarrollar procesos y planteamiento de situaciones que tienen que ver con su entorno y la forma en que los puede representar en un modelo matemático aplicando la circunferencia, ordenando e interpretando los datos explícitos e implícitos en una situación problema y considerando el contexto en el que se generó.

Construyó e interpretó modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos o geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales con un modelo circular.

Formuló y resolvió problemas matemáticos, aplicó diferentes enfoques. Importante: el alumno desarrolló su pensamiento crítico, analítico y reflexivo de las situaciones de contexto que se presentaron mediante los modelos presentados en este módulo mediante el planteamiento de un modelo a través de la circunferencia.

resumen

R


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bibliografía

Para el alumno




Para el docente





Para el alumno




Para el docente




MESOGRAFÍA








• Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en un texto, considerando el contexto en el que se generó y en el que se recibe.

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos o geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

MÓDULO 3 Parábola


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PROPÓSITOS

Desarrollar en el estudiante la capacidad para: • Comprender los elementos que componen una parábola.• Representar, en el plano cartesiano, la gráfica de una parábola.• Resolver situaciones problema que se modelan a través de una parábola.

EJES TRANSVERSALES

Educación para la paz: invitar al alumno a favorecer la convivencia, discusión, tolerancia y confrontación de ideas para el trabajo individual y en equipo, aportando ideas o proyectos para la creación de espacios físicos que involucran a la parábola en su diseño, tales como parques, jardines, auditorios, bibliotecas, salones, entre otros.

Educación del consumidor: al analizar las características o cualidades de productos, bienes y servicios a través de modelos que involucran a la parábola.


¿Cuál es la importancia de conocer los elementos para determinar la ecuación y la gráfica de una parábola? ¿Cuál es la importancia de transformar la ecuación general de una parábola a su forma ordinaria? ¿Cuál es el sentido de representar, en forma geométrica, una parábola en el plano cartesiano? ¿Qué aplicaciones tiene la parábola en la vida cotidiana?


PARÁBOLA

Foco.Directriz.

Otros elementos:Vértice.

Lado recto.Magnitud del parámetro p.

Formas de la ecuación de la parábola.

Ordinaria.Canónica. General.

Geometría Analítica: 3. Parábola

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En este módulo se presentan situaciones problema que se modelan con una parábola, en un principio con la construcción de esta con base en la definición; posteriormente con otros elementos de la parábola, y por último situaciones problema, donde se pide determinar todos los elementos, así como también se les proporciona una ecuación general para que determinen sus elementos y al mismo tiempo construyan la gráfica.

Las aplicaciones que existen en este módulo, con respecto a la vida cotidiana de los alumnos, tienen una gran variedad. Pero es importante que el alumno comprenda el proceso de la representación de este tipo de problemas por medio de la parábola en sus diferentes formas y aplicaciones, para que se involucre con el espacio que lo rodea; sobre todo en la arquitectura de épocas pasadas contrastando con la arquitectura actual; así como también en las decoraciones interiores de una estructura (edificio, templos, casas, estadios deportivos, parques de recreación y juegos) y espacios abiertos como los que se muestran en las diferentes situaciones problema en este libro.

La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas.

En Matemáticas, la parábola (del griego παραβολh) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son, en este caso, parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad, como se muestra en la figura anterior con el rebote de la pelota.

Fuentes:http://es. wikipedia.org/wiki/Archivo:Cono_y_seccio-nes.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg

INTRODUCCIÓN


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El matemático griego Menecmo1 descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 a. de C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de elipses, hipérbolas y parábolas.

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

Además, mostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 a. de C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad, esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco, se refleja paralelamente al eje, sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

1. Menecmo (ca. 380, ca. 320 a. de C.) fue un matemático y geómetra

griego. Nació en el primer tercio del siglo iv antes de Cristo, en Alopeconnesus

(actualmente en Turquía). Era hermano de

Dinóstrato.

INTRODUCCIÓN

Fuente del texto: www.monografias.com/trabajos82/conicas/conicas.shtml.

Fuente: http://recuerdosdepandora.com/historia/inventos/historia-de-la-energia-solar/


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DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA

Este diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde) y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul).

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz; en la actualidad, se define como un lugar geométrico.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.

Aplicaciones en nuestro entorno

Son innumerables las aplicaciones de la parábola en nuestro entorno, por citar algunos podemos mencionar que en el área de las telecomunicaciones están presentes en antenas satelitales, radiotelescopios o radares; en Ingeniería se utilizan en la construcción de acueductos, puentes colgantes, de arco, cúpulas, entre otros. En el campo de la Óptica tenemos las lentes para uso personal, a una escala mayor existen lentes para telescopios. La parábola tiene múltiples aplicaciones científicas, por ejemplo, cuando se lanza un proyectil, como una piedra o una pelota, su trayectoria es una parábola si no se consideran factores de menos importancia, como resistencia del aire y giros del proyectil sobre sí mismo; esta variación puede llegar a ser apreciable en los casos en el que el artefacto inicie su movimiento con gran velocidad; por ejemplo, la bala de un cañón.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Diferentes elementos de una parábola.

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Erdfunkstelle_Raisting_2.jpg


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Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.

En el mundo, la Plaza San Pedro, en la ciudad del Vaticano, es ejemplificación perfecta sobre parábola, muestra dos parábolas.

En Lima Perú, en julio de 2007, se inauguró el Circuito Mágico del Agua, es un conjunto de 13 fuentes ornamentales que se construyeron en el Parque de la Reserva, patrimonio cultural de la nación. Estas fuentes han marcado un récord Guinness al ser "El complejo de fuentes más grande del mundo en un parque público", un parque público que se encuentra completamente enrejado y al cual se ingresa pagando un boleto de ingreso.

En el campo de la Óptica

Quizá la característica más importante de la parábola es su propiedad óptica. Considérese un espejo, en forma de copa, con una sección transversal parabólica. Si se coloca una fuente de luz en el foco, los rayos de luz son reflejados por el espejo en el que todos los rayos son paralelos al eje. Este hecho se utiliza en el diseño de faros. En forma inversa, si los rayos de luz paralelos (como los de una estrella) llegan a un espejo parabólico serán “enfocados” hacia el foco. Este es la base para el diseño de un tipo de telescopio reflejante. La propiedad óptica de la parábola es demostrada por lo general por medio del cálculo, pero hay una manera de hacerlo que involucra solo geometría y álgebra.

Fuente: http://amarengo.org/articulos/circuito

Fuentes: http://evoluciondehornos.

blogspot.mx/

http://apliparaboloide.blogspot.mx/


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• Desarrollar una actividad en el aula o en algún otro lugar propicio.• Establecer por parte del docente, un clima de confianza para el alumno; se indican los

propósitos de la actividad y las competencias que se espera desarrolle el estudiante.• Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva; se debe comprender cómo

cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.• Revisar el ambiente de aprendizaje, (espacio físico, disposición física del alumno,

materiales y características de los alumnos).• Reunirse en equipos de cuatro personas y mediante una lluvia de ideas identificar sus

conocimientos previos relacionados con el tema sistemas de ecuaciones y elaborar un reporte que se presentará a todo el grupo.

• Juntar información relacionada con la actividad mediante una investigación en la biblioteca o en internet y compárala con el reporte antes elaborado.


• Tener conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.

Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, se apoya de material didáctico a través de presentaciones en electrónico, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esto permite que el alumno participe en forma activa, pues interactúa de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad.

Se analiza y comparan los resultados obtenidos y, si son correctos, se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

Se fomenta la motivación donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno, se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

La conclusión se hará conjuntamente entre los alumnos y el profesor.• Evaluación.• Conocimientos, comprensión y aplicación • Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver problemas.• Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• Evidencia del desempeño. • Ejercicio resuelto.• Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los

alumnos.• Rúbrica.• Lista de cotejo.• Portafolio de evidencias.

APERTURA



DESARROLLO

CIERRE

Conclusión, se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran dudas y se elabora un resumen.

SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL. MÓDULO III: PARÁBOLA


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Construcción de la parábolay sus elementos con papel

MATERIAL • Hoja de papel encerado o papel albanene

(preferentemente).• Plumón o lápiz.• Regla.• Escuadra.


Competencias que desarrollar:

Coloca la hoja de papel revolución, hoja blanca (bond), encerado o albanene, en la paleta de tu banca, después traza una línea recta a lo largo de lo ancho de la hoja. A la línea trazada se le conoce como directriz.

Ahora dibuja un punto a cierta distancia de la recta sobre la hoja de papel, a ese punto se conoce con el nombre de foco.

DOBLEZ DE LA HOJA

Primero realiza un pliegue a lo largo de toda la recta que trazaste llamada directriz.

Después con ambos elementos en la hoja, se procede a doblar la hoja varias veces, de tal forma que la porción de recta directriz pase por el foco.

• Uso de regla y escuadra.• Concepto de parábola y elementos que la

constituyen como foco, directriz, vértice, lado recto.

• Comprender los elementos que componen una parábola.

• Representar en el plano cartesiano la gráfica de una parábola.

situación problema


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Entre más dobleces hagas, mejor trazada quedará tu parábola; si observas en la siguiente imagen, la porción de recta directriz en todo momento debe pasar y coincidir con el foco.

Terminado de doblar la hoja, se forma una curva, la cual recibe el nombre de parábola.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Dobla la hoja de tal forma que el doblez sea perpendicular a la directriz y el foco quede en el doblez.

A la recta formada se le denomina eje de simetría.

Al punto de intersección de la parábola con el eje de simetría se le conoce como vértice.

Dobla la hoja de tal forma que el doblez esté sobre el foco y este sea perpendicular al eje de simetría.

Fotografías: autores.


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A la cuerda que se forma se le denomina lado recto.

Con lo anterior, has obtenido los trazos de la parábola y de sus elementos, los cuales son: • Foco• Vértice• Lado recto• Directriz• Eje de simetría

CONDICIÓN QUE DEFINE AL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA PARÁBOLA

Elige un punto cualquiera, este debe estar en la parábola, mide la distancia entre ese punto y el foco y, posteriormente, la distancia perpendicular entre ese punto y la directriz.

Elige otro punto y vuelve a medir.

Como has observado, las distancias siempre son iguales.

Te invitamos a que veas este video y observes detalladamente esta actividad con papel albanene.http://www.youtube.com/watch?v=O_C34-a2hTs

Conclusión:


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F: foco de la parábola. Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice.

V: vértice. Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. Punto medio del segmento AF

|DD‘|: directriz de la parábola. Recta fija, perpendicular al eje de simetría.

|FP|: radio focal o radio. Segmento de recta que une un punto de la parábola con el foco.


Diferentes elementos de una parábola

Otros elementos de la parábola |EE‘| Eje de simetría o eje de la parábola: recta perpendicular a la directriz y que pasa por el vértice y el foco.

|CC‘| Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

|BB‘| Cuerda focal: segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco.

|LR| Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje de simetría.

NOTA

Esta nomenclatura puede cambiar (de letras), lo importante es que sepas identificar cada elemento de la parábola.

Lo anterior lo podemos resumir de la siguiente forma:

Fuente: http://iguerrero.wordpress.com/2009/10/17/topicos-de-geometria-analitica-29/


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Actividad individual

Un reflector con forma parabólica tiene una profundidad de 10 centímetros, si el foco incandescente está a 4.5 centímetros del vértice a lo largo del eje de simetría. Determina:

a) Coordenadas del vértice y del foco.b) La ecuación de la parábola.c) El ancho que tiene la lámpara al nivel del foco incandescente.d) El diámetro del reflector.


Identifica las características de los pará-metros que intervienen en el problema analizado.

Si realizas un bosquejo de la situación problema, de acuerdo con la imagen del reflector y utilizas el plano cartesiano con una escala; podrás comparar y comprender mejor la situación.

Como puedes observar, se trata de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x; utiliza la ecuación:

• Operaciones con números reales.• Ecuación de la parábola con vértice en

el origen.• Jerarquía de operaciones.

• Identifica las expresiones matemáticas que representen la situación problema.

• Realiza el procedimiento matemático para obtener la solución.

• Analiza y compara los resultados obtenidos.

• Si son correctos se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

y2 = 4px

PARÁBOLA • Ecuación con vértice v(0,0) (forma canónica)

situación problema

Fuente: http://www.chw.net/foro/fotografia-digital-f115/332488-reflector-parabolico-flash-beauty-dish-con-camara-de-aluminizado.html


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De la imagen y del bosquejo se observa que:

por lo tanto la magnitud del parámetro p es la distancia del vértice al foco: Se sustituyen valores en la ecuación:

Realizando las operaciones, tenemos la ecuación que representa la situación problema:

El ancho que tiene la lámpara a nivel del foco incandescente es la longitud del lado recto LR:

El semidiámetro de la lámpara la obtienes sustituyendo el valor de x = 10 cm en la ecuación de la parábola:

El diámetro es el doble de la coordenada y:


Las coordenadas del vértice son V(0,0); y las del foco, F(4.5,0)

p = 4.5

y2 = 18x

LR = 4p LR =LR = 18 cm Si y2 = 18x y = 13.42

⇒ diámetro = 13.42(2) = 26.84 cm



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Una antena satelital con forma parabólica tiene una profundidad de 3.5 centímetros y 40 centímetros de diámetro. Determina:

a) La posición del receptor que se coloca en el foco de la parábola de la antena.


Realiza un bosquejo de la situación pro-blema de acuerdo con la figura de la estructura y el plano cartesiano, utiliza una escala y compáralo.

Es conveniente que coloques el vértice en el origen V(0,0) y como se trata de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x que se abre a la izquierda, utilizamos la siguiente ecuación:

La parábola pasa por el punto D (−3.5, 20). Se sustituye en la ecuación:

Realiza las operaciones pertinentes:

Modificada de http://namforts.com/malonez/

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Fórmula de la distancia entre dos puntos.• Operaciones algebraicas.• Ecuación de la parábola con vértice en

el origen.

y2 = −4px

situación problema


83

Despeja a p:

El valor de p es:

La posición del receptor es:


p = 40014

p = 28.57 cm

28.57 cm a la izquierda del vértice.



84

M3

basa

do en

comp

etenc

ias

Reúnete con tus compañeros y forma equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra un anuncio de forma parabólica, en el cual el vértice está en el origen del sistema de referencia y la altura del vértice al foco es de 2 metros, dicho foco se localiza en la nariz de Mike; con los datos proporcionados determina:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema y compáralo con tus compañeros.

Con los datos proporcionados determina:a) Vértice y foco.b) La ecuación canónica y general de la

parábola.c) El valor del lado recto.d) Ecuación de la directriz.


• Identifica las características de los pará-metros que intervienen en el problema analizado.

• Elabora en equipo un resumen, incluye las conclusiones obtenidas en la discusión grupal.

• Agrega las hipótesis de solución del problema mencionado.

Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo indicando los pasos que se deben seguir.


Contesta con tus compañeros de equipo las preguntas y complementen los cálculos faltantes:

Fuente: http://www.skyscrapercity.com/showthread.

php?t=530857

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Fórmula de la distancia entre dos puntos• Operaciones algebraicas.• Ecuación de la parábola con vértice en

el origen.


• Desarrolla el procedimiento matemático para obtener la solución.

• Analiza y compara los resultados obtenidos; si son correctos se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

• Proponer hipótesis.• Identificar las variables.• Plantear ecuaciones. • Realizar operaciones.• Comparar cantidades.• Verificar hipótesis.

y

x0

F (0,-2)

situación problema


85

a) En este caso la forma parabólica es vertical, es decir, con eje focal que coincide con el eje Y. Realiza el bosquejo de la situación problema.

b) Las coordenadas del vértice y foco son:

Ahora se determina el valor del parámetro p, distancia del vértice al foco: V (0,0) y F (0 −2)

c) Para determinar la ecuación canónica se sustituyen los datos en la misma: V (0,0) y p = 2

Ahora iguala con cero:

d) El valor del lado recto es:

e) La ecuación de la directriz se localiza hacia arriba del vértice V (0,0), y corta al eje Y.


V (0,0) y F (0, −2)

⇒ p = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

p = 4 entonces p = 2

x2 = −4py

x2 = −8y Ecuación canónica

x2 + 8y = 0 Ecuación general

LR = |4p|

⇒ LR = |4(2)∴ LR = 8

y = k + p

y −2 = 0 Ecuación de la directriz


F (0, -2)

V (0,0)


86

M3

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comp

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ias


Formas de la ecuación de la parábola: forma ordinaria

En esta forma la parábola tiene vértice fuera del origen, es decir V(h,k), esto ya se mencionó anteriormente en las fórmulas de la tabla, pero no está por demás recordarlas.

Fuente: http://iguerrero.wordpress.com/2009/10/17/topicos-de-geometria-analitica-29/


87


El cable principal del puente Golden Gate tiene forma de un arco parabólico, la altura de las torres de acero son de 200 metros, la cual parte del nivel de la carretera. Calcula la altura del cable que se encuentra a 160 m de distancia partiendo del centro hacia cualquier lado. Considera que el cable se encuentra a 3 metros sobre la carretera en la parte más baja.


• Identifica las características de los parámetros que intervienen en el problema analizado.



Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo, e indiquen los pasos que se deben seguir.


Contesten con tus compañeros de equipo las preguntas y complementen los cálculos faltantes:

En este caso, la forma parabólica es vertical, es decir, con eje focal paralelo al eje Y. Realiza el bosquejo de la situación problema.

Las coordenadas del vértice son:

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Fórmula de la distancia entre dos puntos.• Operaciones algebraicas.• Ecuación de la parábola con vértice

en el origen.



• Analiza y compara los resultados obte-nidos; si son correctos se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

• Proponer hipótesis.• Identificar los datos.• Plantear ecuaciones. • Realizar operaciones.• Comparar cantidades.• Verificar hipótesis.

Con base en el esquema anteriorV (640, 70).

Fuente: http://www.citypictures.net/r-tourist-places-245-golden-gate-bridge-from-baker-beach-san-francisco-california-3493.htm

situación problema

PARÁBOLA • Ecuación con vértice v(h,k) (forma ordinaria)

0


88

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ias

Ahora se determina el valor del parámetro p, utiliza la ecuación ordinaria paralela al eje Y, sustituye el vértice V(640,70) y el punto Q(0,267) por donde pasa la parábola; realiza el procedimiento con las operaciones adecuadas:

Con V (640,70) P=788 y el punto P (640 + 160,y) = p (800,y) se sustituye la ecuación (x−h)2 = 4p(y−k); se obtiene la altura del cable que se localiza a 160 m del vértice hacia cualquier lado (considerándolo a la derecha). Se tiene:


(x − h)2 = 4p(y − k)

409,600788

= p

p = 519.7970 (800 − 640)2 = 4(519.7970) (y − 70)(160)2 = 3,152 (y − 70)

25,6003,152

= (y − 70)

y = 78.12 m


Analiza la siguiente:

De la estructura parabólica que aparece en la imagen, realiza lo siguiente: en tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, de acuerdo con la imagen.


a) En este caso, la forma parabólica es vertical, es decir, con eje focal paralelo al eje Y.

a) Determina las coordenadas del lado recto en el segundo cuadrante.

b) La distancia de p.c) Coordenadas del vértice (V).d) Coordenadas del foco (F).e) La ecuación ordinaria de la parábola.f) La ecuación de la directriz.

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Elementos de la parábola.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.

situación problema

Fuente: http://www.absolut-canada.com/el-estadio-nacional-de-canada/


89

Compáralo con el de tus compañeros.

b) Determina las coordenadas de los ex-tremos del lado recto con las medidas obtenidas de la situación problema:

c) La distancia del vértice al foco es el parámetro p:

Sustituyendo datos:

despeja p:

d) Coordenadas del vértice (V):

e) Coordenadas del foco (F):

f) Ya sabes que el vértice es: V(−15, 9), donde h = −15, k = 9, el valor del parámetro p = 6:

Sustituye los datos en la ecuación ordinaria de la parábola:

La ecuación ordinaria de la parábola es:

g) La recta directriz corta al eje Y entonces la ecuación es:y = k + py = 9 + 6y = 15y − 15 = 0


R(−3 − 24,3) ∧ L(−3,3)∴ R(−27,3) ∧ L(−3,3)

La distancia del lado recto es:

LR = |4p| ⇒ 4p = 24

p = 24/4 p = 6

V −242

− 3,3 + 6 ⇒ V(−15,9)

Como es vertical y se abre hacia abajo, entonces la forma ordinaria de la parábola es: (x − h)2 = − 4p(y − k)


V (−15,9)


90

M3

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comp

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ias

Forma con tus compañeros equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

Calcula la altura máxima que puede tener un camión, cuyo ancho es de 2.6 metros, para que pueda pasar libremente por un túnel de la ciudad de Guanajuato, que tiene forma de arco parabólico. La altura del túnel es de 4 metros y tiene un ancho de 6 metros.





Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo e indiquen los pasos que se deben seguir.


Contesta con tus compañeros de equipo las preguntas y complementen los cálculos faltantes:

En este caso, la forma parabólica es vertical, es decir, con eje focal paralelo al eje Y. Realiza el bosquejo de la situación problema.

Como se trata de una parábola cuyo eje focal está en eje y, abriendo hacia abajo; utilizamos la siguiente ecuación:

El vértice está en el punto, V (3,0), h = 3 y k = 0, las coordenadas de uno de los puntos por donde pasa la parábola es P(0, −4), x = 0, y = −4

Se sustituyen en la ecuación para obtener el valor de p:

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Elementos de la parábola.• Operaciones algebraicas.• Ecuación de la parábola con vértice en

V(h,k).




• Propón hipótesis.• Identifica las variables.• Plantea ecuaciones.• Realiza operaciones.• Compara cantidades.• Verifica hipótesis.

(x − h)2 = −4p(y − k)

(0 − 3)2 = −4p(−4 − 0)

p = 0.5625

situación problema


91

Si sustituyen p = −0.5625 en la ecuación original obtienen:

Con lo anterior, ahora es posible determinar la coordenada del punto Q (x, y), donde y es

la altura, recuerda que x = 3 + 2.62

= 4.3 m

distancia desde el lado izquierdo del túnel al punto Q, horizontalmente.

Ahora y; la distancia vertical se obtiene sus-tituyendo en la ecuación ordinaria.

La altura máxima que debe tener un camión es de:


⇒ (x − 3)2 = −4(0.5625)(y − 0)∴ (x − 3)2 = −2.25y Ecuación ordinaria

1.69−2.25

= y

y = −0.75 m

y = −0.75 + 4 ∴y = 3.24 m



Formas de la ecuación de la parábola: forma general

Toda ecuación de una parábola se puede escribir en la siguiente forma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Analizando la ecuación, se tienen los siguientes casos:Caso 1: Si A = 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 , la ecuación representa una parábola con eje horizontal, al quedar reducida

a Cy2 + Dx + Ey + F = 0Caso 2: Si A = 0, C ≠ 0, D = 0, la ecuación queda reducida a Cy2 + Ey + F = 0 representando según sus

raíces sean:a) Reales y diferentes dos rectas diferentes (paralelas al eje X).b) Reales e iguales dos rectas coincidentes (paralelas al eje X).c) Complejas ningún lugar geométrico en el campo de los números reales.

Lo anterior se justifica con el siguiente análisis: la ecuación Cy2 + Ey + F = 0 es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces de esta ecuación son reales y diferentes, entonces podemos escribirla como:

C(y – r1) (y – r2) = 0 ------------------ P

En donde r1 y r2 son las raíces y el lugar geométrico correspondiente consiste en dos rectas diferentes, y = r1 ∧ y = r2, ambas paralelas al eje X. Si las raíces de P son reales y además iguales, (r1 = r2 = r) el lugar geométrico consta de dos rectas que coinciden y representadas geométricamente por una sola recta (y = r) paralela al eje X. Por último, si las raíces de P son complejas, no existe ningún lugar geométrico en el campo de los números reales.

Caso 3: Si A ≠ 0 , C = 0 , E ≠ 0 , la ecuación representa una parábola con eje vertical, al reducirse a la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0

Caso 4: Si A ≠ 0, C = 0, E = 0, la ecuación se reduce a Ax2 + Dx + F = 0 representando según sus raíces sean:a) Reales y diferentes dos rectas diferentes (paralelas al eje Y).b) Reales e iguales dos rectas coincidentes (paralelas al eje Y).c) Complejas ningún lugar geométrico en el campo de los números reales.

La ecuación Ax2 + Dx + F = 0 es una ecuación cuadrática en la variable x. Los incisos a, b y c se pueden explicar de manera análoga que en el caso 2.


92

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ias

REDUCCIÓN DE LAS FORMAS GENERALES

De la parábola a las ordinarias

Las formas generales de la ecuación de la parábola se pueden reducir a las formas ordinarias; para ello, se utilizan los siguientes procedimientos:

a) El procedimiento más utilizado es el de completar directamente el trinomio cuadrado perfecto, sin emplear las relaciones que se van a describir.

b) La ecuación de la forma Cy2 + Dx + Ey + F = 0 se puede reducir a su forma ordinaria (y – k)2 = 4p (x – h), empleando las siguientes relaciones:

p = − D

4C k = − E

2C h = E 2 − 4CF

4CD Estas expresiones se pueden comprobar completando el trinomio cuadrado perfecto en y, como a continuación se explica:Agrupando los términos en y ∧ pasando los otros dos términos al segundo miembro de la igualdad:

Dividiendo los términos por C:

Completando el trinomio en y:

Factorizando el primer miembro:

Factorizando − DC

en el segundo miembro:

Multiplicando y dividiendo por 4:

De aquí se deducen las expresiones citadas en el recuadro del inciso b.

c) La ecuación de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0 se puede reducir a su forma ordinaria (x – h)2 = 4p(y – k), empleando las siguientes relaciones:

p = − E

4A h = − D

2A k =D2 − 4AF

4AE

Cy2 + Ey = −Dx − F

y2 + y = − x − EC

DC

FC

y2 + EC

y + E2C

2

= − DC

x − FC

+ E

2C

2

y − − E2C

2

= − DC

x + E − 4CF4C

2

2

y − − E2C

2

= − DC

x + E4C

2

2 − FC

y + E2C

= − DC

x − FC

+ E4C

y − − E2C

2

= 4 − D4C

x − E − 4CF4CD

2

y − − E2C

2

= − DC

x − E − 4CF4CD

2

2 2

2


93

Igual que en el caso anterior, estas expresiones se pueden comprobar completando el trinomio cuadrado perfecto en x.

En la siguiente tabla se resume todo lo anterior.

Fórmulas para reducir la ecuación general de la parábola a su forma ordinaria


94

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ias

Reúnete con tus compañeros y formen equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente: En la imagen se muestra una cubierta de forma parabólica, un claro de 12 metros y la altura de 4 metros; con los datos proporcionados determina lo siguiente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema.

Con los datos proporcionados determina: a) Vértice.b) Valor del parámetro p.c) Longitud del lado recto.d) Coordenadas del lado recto. e) Coordenadas del foco.f) La ecuación ordinaria.g) Ecuación general.h) Ecuación de la recta directriz.


Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo e indiquen los pasos que se deben seguir.


Contesten con tus compañeros de equipo las preguntas y complementen los cálculos faltantes:

a) Realiza un bosquejo de la situación problema.

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_uNBL7RCYByQ/SJxsUoMhlfI/AAAAAAAAALI/4oY_lVpCXAo/s320/Entrada+estadio+ol%C3%ADmpico.JPG

• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Fórmula de la distancia entre dos puntos.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.

• Proponer hipótesis• Identificar las variables• Plantear ecuaciones • Realizar operaciones• Comparar cantidades• Verificar hipótesis

PARÁBOLA • Ecuación general

situación problema


95

b) Con base en los datos de la situación problema, las coordenadas del vértice son:

Así como las coordenadas de dos puntos por donde pasa son: A(0,0) y B(12,0). c) Valor del parámetro p, lo obtienen aplicando la ecuación ordinaria de la parábola; y sustituyendo el vértice donde h = 6, k = 4 y alguno de los puntos A o B pertenecen a la parábola. En este caso utiliza A(0,0):

d) Longitud del lado recto:

e) Coordenadas del foco, las obtienen a partir del vértice V(6,4) localizándolo hacia abajo verticalmente, por lo que se resta

p = 94

a la ordenada del vértice, si V(6,4)

entonces:

f) Coordenadas del lado recto, lo determinas a partir de las coordenadas del foco, ahora para este caso la abscisa es la que varía (es decir la x); para la derecha se suma la mitad

de la longitud del lado recto 4p

2 y para la

izquierda se resta:

Las coordenadas del lado recto son:

La forma ordinaria de la parábola (abre hacia abajo) es: (x − h)2 = −4p(y − k)

36 = 16p

= p3616

⇒ p = 3616

= 94

∴p = 94

LR = |4p| ⇒ LR = 494

∴LR = 9

6,4 −F94

6,⇒ F16 − 9

4 6,∴ F

74

Coordenadas del foco.

Si F 6, 74

, entonces:

6 − ,R74

92

∧ 6 + ,L74

92

para la izquierda para la derechade F, le restas 2p de F, le sumas 2pa la absisa. a la absisa.

,R 74

12 − 92

∧ ,L 74

12 + 92

,R 74

32

∧ ,L 74

212

V ,4122

⇒ V(6,4)


96

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comp

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ias

g) Ya saben que el vértice es, donde h = 6,

k = 4, y el valor del parámetro: p = 94

Sustituyéndolos en la ecuación ordinaria de la parábola:

Finalmente, la ecuación ordinaria de la parábola es: h) Ahora si desarrollan la ecuación ordinaria; obtienen la ecuación general:

i) La ecuación de la recta directriz es:


(x − h)2 = −4p(y − k)

(x − 6)2 = −9(y − 4)

(x − 6)2 = −9(y − 4)

x2 − 12 x + 9y = 0 Ecuación general.

y = k + p ∴y = 4 + 94

⇒ y = 16 + 944y = 25

4y − 25 = 0



97


El puente de la imagen tiene un largo de 140 metros; el cual coincide con el lado recto de la parábola que se forma con su estructura, determina:

a) La ecuación general de la parábola.


Realiza un bosquejo de la situación problema, de acuerdo con la figura de la estructura y el plano cartesiano, utiliza una escala y compáralo.

El lado recto es igual a 140 m; por lo tanto:

Despejando a p; se tiene que:

Las coordenadas del vértice son:

Donde:

Como se trata de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje y, utilizamos la siguiente ecuación:

Se sustituyen los valores de h, k, así como de p; en la ecuación:

Desarrollando el binomio al cuadrado.

Efectuando operaciones del lado derecho de la igualdad:

Igualando la ecuación a cero, se tiene que:

La ecuación general de la estructura que tiene forma parabólica es:

• Operaciones con números reales.• Trazo del plano cartesiano.• Ecuación de la parábola con vértice en

v(h,k).• Jerarquía de operaciones.

MODELO

LR = |4p||4p| = 140 m

p = 1404

∴ p = 35 m

V(−70,35)

h = −70 k = 35

(x − h)2 = −4p(y − k)

x2 + 140x + 4,900 = − 140y + 4,900

x2 + 140x + 140y = 0

situación problema

Fuente: http://www.turismoenfotos.com/items/japon/tokio/939_puente-etiai/


98

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El puente que se muestra tiene una forma parabólica, su ecuación se puede escribir de la forma general: x2 − 20x + 200y − 28 = 0

Transforma la ecuación a su forma ordinaria y exprésala en metros.


Ecuación: Se sabe que:

Se utilizarán las siguientes fórmulas:


V(h, k).• Jerarquía de operaciones.

x2 − 20x + 200y − 28 = 0

A = 1 D = −20 E = 200 F = −28

−E4A

p =

D2 − 4AF

4AEh =

−D2A

k =

situación problema

Fuente: http://structure-imagineering.blogspot.mx/2008/10/case-study-of-lupu-bridge.html


99

Comienza por conocer el valor de p:

Ahora sustituye en la segunda fórmula para conocer h:

Por último determina, el valor de k:

Como se trata de una parábola cuyo eje focal está en eje y, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituye ahora los valores de p, h y k, previamente obtenidos.

Realizando operaciones tenemos que la ecuación ordinaria del puente es:


−204(1)

p =

p = −5

− (−20)2(1)

h =

h = 10

(−20)2 − 4(1)(−28)4(1)(200)

k =

1625

k =

(x − h)2 = −4p(y − k)

x − = −4(5)(y − 10)1625

2

x − = −20(y − 10)1625

2



100

M3

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comp

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ias

Realiza con la ayuda del software Graphmatica el siguiente dibujo (carita), utiliza los conocimientos de este módulo y de los pasados.

1. En una hoja milimétrica realiza los trazos que vas a realizar en Graphmatica (utiliza solo rectas y circunferencias).

2. Obtén todas y cada una de las coordenadas que utilizaras para obtener las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias.

3. Ten presente que en las rectas debes de limitar su trazo (dominio).4. El total de ecuaciones que debes obtener es de 11.5. Al tener todas las ecuaciones ingrésalas al software Graphmatica. 6. Guarda tu imagen con el nombre de Integradora 2, en tu carpeta de evidencias. 7. Colorea tu diseño en Paint.



101

Analiza y reflexiona (de manera individual o en equipo de cuatro personas) lo siguiente:

El área bajo la canasta en las canchas de basquetbol tiene forma de parábola, con un ancho de 4 metros en la zona de tiro de castigo, y una distancia máxima de 6 metros, hasta el límite de la línea de juego detrás de la canasta. La figura muestra la posición de un jugador durante un partido.

a) ¿A qué distancia de la línea de juego mencionada se encuentra dicho jugador?


• Identifica las características de los pará-metros que intervienen en el problema analizado.

• Elabora en equipo un resumen, incluye las conclusiones obtenidas en la discu-sión grupal.

Agrega además las hipótesis de solución del problema mencionado.

Comenten entre los compañeros del equipo la forma en que se puede resolver el problema y elabora individualmente o en equipo un mapa conceptual o un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema.

Cuando todos estén de acuerdo, coménten-lo al grupo y al profesor.

Contesta, con tus compañeros de equipo, las siguientes preguntas y complementen los cálculos faltantes:

b) ¿Qué tan lejos está la base del poste frente al jugador?


v(h,k).• Jerarquía de operaciones.




• Proponer hipótesis.• Identificar cuál es la variable.• Plantear una ecuación.• Realizar operaciones.• Comparar cantidades.• Verificar hipótesis.


situación problema

Joaquín Ruiz Basto. Matemáticas III. Geometría Analítica, p. 163


102

M3

basa

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ias



• Elabora, de manera individual, un bosquejo (gráfica) de la situación problema con base en la información.

• Elabora, de manera individual o colectiva, (el número de integrantes que el profesor indique) un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema.

• Integra este producto, evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor, en el portafolio de evidencias.

• Conocimientos: comprensión, plantea-miento y solución de ecuaciones.

• Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual.

• Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y obtener las ecuaciones correspondientes.

• Evidencia del desempeño: integra este producto, evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor, en el portafolio de evidencias.


103

EVALUACIÓN

El cable principal tiene forma de un arco parabólico, la altura de las torres de acero son de 250 metros la cual parte del nivel de la carretera. Calcula la altura del cable que se encuentra a 180 m metros de distancia partiendo del centro hacia cualquier lado. Considera que el cable se encuentra a 4 m metros sobre la carretera en la parte más baja.

Plantea y resuelve el problema en tu cuaderno de trabajo.

Calcula la altura máxima que puede tener un camión, cuyo ancho es de 2.80 metros, para que pueda pasar libremente por un túnel, que tiene forma de arco parabólico. La altura del túnel es de 6 metros y tiene un ancho de 8 metros.


El puente que se muestra tiene una forma parabólica, su ecuación se puede escribir de la forma general:x2 − 100x + 50y − 8 = 0. Transforma la ecuación a su forma ordinaria y exprésala en metros.


situación problema

situación problema

situación problema

Fuente: http://janameee.blogspot.mx/


104

M3

basa

do en

comp

etenc

ias



Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

EVALUACIÓN TOTAL

RÚBRICA



105

En este módulo se desarrolló lo siguiente: primero se aplicó la ecuación canónica de la parábola, después la ordinaria y por último la general; todos los ejercicios se desarrollaron para situaciones de contexto reales y desde luego que el alumno vea que sí tiene aplicación real y de una forma más tangible para poder desarrollar procesos y planteamiento de situaciones que tienen que ver con su entorno y la forma en que los puede representar. Además, el alumno aplicó un modelo matemático, identificó, ordenó e interpretó los datos explícitos e implícitos en una situación problema; por último, consideró el contexto en el que se generó.

Construyó e interpretó modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos o geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales con un modelo parabólico.

Formuló y resolvió problemas matemáticos, aplicó diferentes enfoques. Importante, el alumno desarrolló su pensamiento crítico, analítico y reflexivo de las situaciones de contexto que se presentaron mediante los modelos presentados en este módulo mediante el planteamiento de un modelo a través de la parábola.

resumen

R


106

M3

basa

do en

comp

etenc

ias

bibliografía

Para el alumno




Para el docente





Para el alumno




Para el docente




MESOGRAFÍA











MÓDULO 4 Elipse


108

M4

basa

do en

comp

etenc

ias

PROPÓSITOSDesarrollar en el estudiante la capacidad para:

• Conocer y utilizar el concepto y los elementos de la elipse para el trazo de su gráfica (es lo que se trabaja en la actividad que se presenta).

• Aplicar la ecuación de la elipse en sus diferentes formas.

• Resolver situaciones problema que se modelan a través de la elipse.

EJES TRANSVERSALESEducación en valores: se responsabiliza del cuidado personal y ambiental, a través del análisis, crítica y discusión de situaciones problema que involucran a la elipse, así como su representación geométrica.

Educación para la paz: se interesa en favorecer la convivencia, discusión, tolerancia y confrontación de ideas para el trabajo individual y en equipo, aportando ideas o proyectos para la creación de espacios físicos que involucran a la elipse en su diseño, tales como: micas de lentes, bocinas, platos de cerámica, pistas de atletismo, auditorios, salas, entre otros.

Educación del consumidor: analiza las características o cualidades de productos, bienes y servicios, a través de modelos que involucran elipses.

EJES PROBLEMATIZADORES• ¿Cuál es la importancia de conocer todos los elementos de la elipse?

• ¿Qué elementos son necesarios para determinar la ecuación y la gráfica de una elipse?

• ¿Cuál es la importancia de transformar la ecuación general de una elipse a su forma ordinaria?

• ¿Cuál es el sentido de representar una elipse en el plano cartesiano?

• ¿Qué aplicaciones tiene la elipse en la vida cotidiana?

ESQUEMA GRÁFICO DE CONTENIDOSELIPSE

Elementos para su definición.Focos y vértices.

Formas de la ecuación de la elipse.Canónica.Ordinaria. General.

Otros elementos:Centro.Vértices.

Lado recto.Eje mayor.Eje menor.

Excentricidad.

Geometría Analítica: 4. Elipse

109

INTRODUCCIÓN

En este módulo se presentan situaciones problema que se modelan con una elipse, en un principio con su construcción, con base en la definición y, por último, situaciones problema donde se pide determinar todos sus elementos; así, a los alumnos se les proporciona una ecuación general para que determinen sus elementos y al mismo tiempo construyan la gráfica.

Las aplicaciones que existen en este módulo, con respecto a la vida cotidiana de los alumnos, tienen una gran variedad. Es importante que el alumno comprenda el proceso de la representación de este tipo de problemas por medio de la elipse en sus diferentes formas y aplicaciones, para que se involucre con el espacio que lo rodea, sobre todo en la arquitectura de épocas pasadas contrastando con la arquitectura actual; así como también se dé cuenta en las decoraciones interiores de una estructura (edificios, templos, casas, estadios, parques de recreación y juegos) y espacios abiertos como los que se muestran en las diferentes situaciones problema en este módulo.

Historia de la elipse La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de las secciones cónicas fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

Los movimientos relativos de la Tierra con respecto al Sol

La Tierra tiene dos movimientos diferentes que lleva a cabo al mismo tiempo: uno de rotación en torno a un eje imaginario que pasa por los polos (eje polar); otro de translación, el cual sigue una órbita elíptica alrededor del Sol en la que este ocupa uno de los focos. El plano que contiene esta órbita se denomina plano de la eclíptica y nuestro planeta tarda un año en recorrerlo por completo. La pequeña excentricidad de la eclíptica (0.01673) hace que la distancia entre el Sol y la Tierra sea distinta en invierno y en verano.

Fuente: http://www.absoluterprotecsol.com/trayectoria-solar.htm

Fuente del texto: es.wikipedia.org/wiki/Elipse


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El movimiento de rotación hace que una sección de ella se vea iluminada de forma periódica por el Sol, esto origina el día y la noche. El movimiento de traslación hace que los tiempos de exposición al Sol sean variables originando las estaciones. Esta variación en los tiempos de exposición es debido a que el eje de rotación de la Tierra permanece prácticamente siempre paralelo a sí mismo con un ángulo de 66º 33´ respecto al plano de la eclíptica (plano que contiene a la trayectoria de la Tierra), esta desviación se denomina oblicuidad de la eclíptica. La oblicuidad de la eclíptica permite explicar, por un lado, el distinto calentamiento de la Tierra en función de su posición en la órbita (estaciones); por otro, la distinta duración del día y la noche a lo largo del año.

La superficie terrestre recibe los rayos con una inclinación diferente, según la época del año, y, por tanto, la radiación solar efectiva que incide en un metro cuadrado de superficie horizontal varía considerablemente. En invierno los rayos del Sol caen en un ángulo pequeño respecto a la horizontal, lo contrario que en verano, en que el ángulo es mucho mayor. Por esta razón, la radiación solar total incidente es muy superior en verano que en invierno, si se considera la radiación solar incidente en un determinado periodo, también es mucho mayor en las horas centrales del día que en las horas cercanas al amanecer o la puesta del Sol.

Fuente: http://www.absoluterprotecsol.com/images/trayectoria-diaria.jpg


111

Construcción de una elipse

Conocimientos previos:Uso de regla y escuadra, concepto de elipse y elementos que la constituyen como focos, centro, vértice, lado recto, eje mayor y eje menor.

MATERIAL • Hoja milimétrica (preferentemente) o en su caso una hoja de cuadro chico. • Plumón o lápiz• Regla• Escuadra

Se describe a continuación la construcción de la elipse en forma práctica (método del jardinero).

Se sujetan los extremos de un hilo de longitud dada por 2a (que es la longitud del eje mayor) a dos puntos fijos F1 ∧ F2 teniendo en cuenta que 2a debe de ser mayor que la longitud F1 F2. Con un lápiz se tensa al hilo y se va moviendo el lápiz de tal manera que el hilo esté siempre tenso, con lo cual se llega a trazar la elipse conocidos sus vértices y focos.

Otra forma de construir la elipse

1. Dibuja una circunferencia en una hoja de papel.2. Dibuja un punto fuera de la circunferencia (que no coincida con el centro).3. Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto

dibujado.4. Deshaz el doblez. 5. Repite las operaciones tres y cuatro haciendo coincidir otro punto de la circunferencia.

Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El punto dibujado es uno de los focos; el otro foco, el centro de la circunferencia.

Dibuja la curva.

En la página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrarás todo sobre las curvas.

Definición de elipse como lugar geométrico

La elipse es el lugar geométrico descrito por todos los puntos P (x, y) que están en plano, de tal manera que la suma de las distancias de cualquiera de ellos a dos puntos fijos (focos) es constante e igual a la longitud del eje mayor (distancia entre los vértices). Esto es: |PF‘| + |FP| = V‘V

|PF‘| + |FP| = 2a

ELIPSE • Conocimientos básicos

situación problema


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Elementos de la elipse

F y F’: Focos de la elipse.V∧V’: Vértices de la elipse.C: Centro de la elipse.|VV‘| : Eje mayor. |BB‘|: Eje menor.|FP|∧|F‘P|: Radio vectores.|CV|∧|CV‘|= a: Semieje mayor.|CA|∧|CA‘|= b : Semieje menor.|EE‘|: Cuerda focal: segmento de recta que une dos puntos de la elipse y que pasa por al-guno de los focos.|LL‘|: Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal.|DD‘|: Diámetro: cuerda que pasa por el centro.|CF|∧|CF‘|: Distancia del centro al foco.2c = Distancia focal. L: Eje focal: recta que pasa por los focos, vértices y centro.L’: Eje normal: recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal.|UU‘|: Cuerda: segmento de recta que une a dos puntos de la elipse.El cálculo de los elementos de la elipse en forma canónica se resume en la siguiente tabla.


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• Desarrollar una actividad en el aula o en algún otro lugar propicio.• Establecer un clima de confianza para el alumno, por parte del maestro, se indican los

propósitos de la actividad y las competencias que se espera desarrolle el estudiante.• Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.• Revisar el ambiente de aprendizaje, espacio físico, disposición física del alumno,

materiales y características de los alumnos.• Reunirse con sus compañeros e integra equipos de cuatro personas y mediante una llu-

via de ideas identifiquen sus conocimientos previos relacionados con el tema.• Juntar información relacionada con la actividad mediante una investigación en la

biblioteca o en internet.


• Conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.

Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, se apoya de material didáctico a través de presentaciones en Powerpoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esto permite que el alumno participe en forma activa; asimismo, interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad.

Se analiza y comparan los resultados obtenidos y, si son correctos, se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

Se fomenta la motivación donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno, se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

La conclusión se hará conjuntamente entre los alumnos y el profesor.• Evaluación.• Conocimientos, comprensión e identificación de ecuaciones que se van a utilizar. • Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver problemas.• Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• Evidencia del desempeño. • Ejercicio resuelto.• Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los

alumnos.• Rúbrica.• Lista de cotejo• Portafolio de evidencias.

APERTURA

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN

PROBLEMA


DESARROLLO

CIERRE

Conclusión, se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran

dudas y se elabora un resumen.

SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL. MÓDULO IV. ELIPSE


115

ELIPSE • Ecuación con centro C(0,0) (forma canónica)

Reúnete con tus compañeros, forma equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra un plato de una vajilla, el cual tiene forma de una elipse. Considera el centro a la mitad del plato, si el largo mide 30 centímetros y el ancho 12 centímetros, con los datos proporcionados determina lo siguiente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema en el plano cartesiano, utiliza una escala adecuada y compáralo con tus compañeros.

b) Vértices, focos y puntos del eje menor. c) La ecuación (canónica) con centro en

(0, 0). d) El valor del lado recto.e) La longitud del eje mayor.f) La longitud del eje menor.g) La excentricidad.


Comenten entre los compañeros del equipo la forma en que se puede resolver la situación problema trazando el esquema. Cuando todos estén de acuerdo, coméntenlo al grupo y al profesor.

b) Las coordenadas del centro, vértices y puntos del eje menor, se obtienen del esquema.

Es necesario conocer el valor de c, de la relación fundamental:


• Operaciones con números reales.• Ecuación de la elipse con

centro en el origen.• Trazo en el plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.

Del esquema anterior: C (0,0)V1(15,0) V2(−15,0) y B1(0,6) b2(0,−6) a2 = b2 + c2

c = (15)2 − (6)2

c = 13.75

B1

B2

V2 V1

situación problema


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Como se trata de una elipse cuyo eje focal coincide con el eje x, la ecuación es:

Sustituyen los valores de a = 15 y de b = 6 en la ecuación:

c) La ecuación que representa la situación problema es:

d) Sustituyendo los valores de a = 15 y b = 6 obtenemos el lado recto.

e) Sustituyendo el valor de a = 15, obtenemos la longitud del eje mayor:

f) Sustituyendo el valor de b = 6, obtenemos la longitud del eje menor:

g) Sustituyendo el valor de a = 15, c = 13.75


x2 y2

a2 b2+ = 1

x2 y2

225 36 + = 1

|LR| = 2b2

a

|LR| = 4,8

|VV‘| = 2a|VV‘| = 2(15) = 30 |BB‘| = 2b|BB‘| = 2(6) = 12

e = ca

< 1

e = 0.916 < 1


Actividad individual, analiza la siguiente:

Se construye un puente en forma de arco semielíptico, el puente tiene un claro de 120 pies y una altura máxima de 25 pies. Elija un sistema de coordenadas apropiado y obtenga la altura del arco a una distancia de 10 y 30 pies del centro.

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema. Con los datos proporcionados determina:

Conocimientos previos: • Operaciones con números reales.• Ecuación de la elipse con centro

en el origen.• Trazo en el plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.• Un pie es igual a 0.3048 metros

situación problema

Fuente: http://www.soyviajes.com/oporto.html


117

Una forma de resolver la situación problema es el modelo siguiente:

Obteniendo las coordenadas del centro, vértices y punto del eje menor del esquema anterior:

Como se trata de una elipse, cuyo eje focal coincide con el eje x, la ecuación es:

Sustituyen los valores de a = 60 y de b = 25 en la ecuación:

La ecuación que representa la situación problema es:

Sustituyendo el valor de x = 10 obtenemos la altura y.

Primera conclusión:

Sustituyendo el valor de x = 30 obtenemos la altura y.

Segunda conclusión:


Centro: C(0,0)Vértices: V1(60,0) V2 (−60,0) yPunto del eje menor B1(0,25).Entonces: a = 60 y b = 25

x2 y2

a2 b2+ = 1

x2 y2

3,600 625+ = 1

35(625) 36 y2 =

y = 24.65

A partir del centro a 10 pies, la altura será de 24.65 pies (30)2 y2

3,600 625+ = 1

y = 21.65

A partir del centro a 30 pies, la altura será de 21.65 pies.


B1

V2 V1


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Actividad individual: analiza lo siguiente:

Se construye una mesa en forma elíptica, como se observa en la imagen. Considera el centro de la elipse en el centro de la mesa. La distancia entre los focos de 219 centímetros y una excentricidad de e = 0.84.

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema.

b) Las coordenadas de los vértices.c) Las coordenadas de los focos.d) Lado recto.e) Ecuación canónica.



Se conoce la distancia entre los focos, 2c = 219 cm, por lo tanto el valor de c es:

De igual forma se conoce el valor de la excentricidad e = 0.84, cuya fórmula rela-ciona los valores de a y de c. Mediante la fórmula se procede a conocer el valor de a.

• Operaciones con números reales.• Ecuación de la elipse con centro

en el origen.• Trazo en el plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Punto medio.• Propiedades de la igualdad.

c = 219 cm 2

c = 109.5 cm

e = ca

109.5 cm a = 0.84

a =

a = 130.3 cm

situación problema


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Es necesario conocer el valor de b, de la relación fundamental:

Despejando y sustituyendo valores, se tiene que:

Con los valores anteriores es posible obtener las coordenadas del centro, vértices, focos y puntos del eje menor. Con base en el esquema anterior nos queda:

Lado recto:

Como se trata de una elipse cuyo eje focal coincide con el eje y, la ecuación es:

Sustituyen los valores de a = 130.3 y de b = 70.62 en la ecuación:

La ecuación que representa la situación problema es:


a2 = b2 + c2

b = (130.3)2 − (109.5)2

b = 70.62 cm

Centro: C(0,0)Vértices: V1(0,130.3) V2(0,−130.3)Focos: F1(0,109.5) F2(0,−109.5)Puntos del eje menor:B1(70.62,0) B2(−70.62,0)

|LR| = 2b2

a|LR| =

|LR| = 76.54 cm x2 y2

b2 a2+ = 1

x2 y2

4,987.18 16,978.09+ = 1


PARA SABER MÁS

RELOJ DE SOL TIPO ANALEMÁTICO

El reloj de sol es un instrumento usado desde tiempos muy remotos con el fin de medir el paso de las horas, minutos y segundos (tiempo). En español se le denomina también cuadrante solar. Emplea la sombra arrojada por un gnomon, o en el caso particular de la imagen mostrada, dicha sombra la proyecta una persona, haciendo la función de aguja horaria. Los relojes analemáticos son muy adecuados para lugares públicos, patios de colegios, plazas, entre otros.

Fuente: http://www.tadforo.com/relojesyjoyas/?cat=3


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El cálculo de los elementos de la elipse con centro C(h, k). (Forma ordinaria) se resume en la siguiente tabla.


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ELIPSE • Ecuación con centro C(h, k) (forma ordinaria)


El presente medallón tiene una forma elíptica, considera lo siguiente: el centro en la coordenada c(−40,−60), la distancia entre focos es de 105 centímetros, y la distancia del semieje menor es CB = 60 centímetros.

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano.

Con los datos proporcionados determina: a) Las coordenadas de los vértices y de los

focos.b) Punto extremo del eje menor.c) Lado recto.d) Excentricidad.e) La ecuación ordinaria.


Elabora un esquema con todos los pasos que consideres necesarios para resolver la situación problema e integra este producto, evaluado de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias para compararlo después.


• Relacionar los datos con los elementos de la elipse.

• Jerarquizar las operaciones.• Realizar la ecuación de la elipse

con centro en C (h, k)• Trazar en el plano cartesiano.• Utilizar el lenguaje común

y lenguaje algebraico.• Localizar el punto medio.

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_w8gBeZROOlA/TEakoAeWyFI/AAAAAAAAKjA/HvBcfDs355M/s1600/IMG_3725a.jpg

x

B‘ C

F

F

y

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Se conoce la distancia entre los focos, 2c = 105 cm, por lo tanto el valor de c es:

De igual forma se conoce el valor del semi eje menor CB = 60 cm, por lo tanto:

Es necesario conocer el valor de a, de la relación fundamental:


c = 105 cm 2

c = 52.5 cm

b = 60 cm

a2 = b2 + c2

a = (60)2 + (52.5)2

a = a = 79.72 cm

Es posible obtener las coordenadas de los vértices, focos y el otro punto del eje menor. Mediante las fórmulas correspondientes y sustituyendo en cada una de ellas los siguientes valores: h = −40 k = −60 a = 79.72 b = 60 y c = 52.5. Se tiene que:

b) Vértices:V(h, k + a)V´(h, k − a)

c) Focos:F(h, k + c)F´(h, k − c)

d) Un punto extremo del eje menor B (h +b, k )

e) Lado recto:

f) El valor de la excentricidad es:

g) Como se trata de una elipse cuyo eje focal coincide con el eje y, la ecuación es:

Sustituyen los valores de a = 79.72 y de b = 60 en la ecuación:

La ecuación ordinaria que representa la situación problema es:


V1(−40, −60 + 79.72) V1(−40,19.72)V2(−40, −60 − 79.72) V2(−40, −139.72)

F1(−40, −60 + 52.5) F1(−40, −7.5)F2(−40, −60 − 52.5) F2(-40, −112.5)

B1(−40 + 60, −60) B1(20, −60)

|LR| = 2b2

a

|LR| =

|LR| = 90.32 cm

e = ca

< 1

e =

e = 0.66 < 1

(x − h)2 (y − k)2

b2 a2+ = 1

(x + 40)2 (y + 60)2

3,600 6,355.28+ = 1



123

Actividad en equipo, resuelve lo siguiente:

Se muestra la maqueta de un estadio cuyo techo tiene una forma elíptica, considera lo siguiente: la magnitud del eje mayor es de 14 unidades, mientras que la magnitud del lado recto es de 9.42 unidades y el centro se ubica en la coordenada C (10,−7). Determina:


Con los datos proporcionados determina: b) Las coordenadas de los vértices

y de los focos .c) Las coordenadas del eje menor.d) Excentricidad.e) La ecuación ordinaria.

Conocimientos previos: • Relacionar los datos con los elementos de la elipse.

• Jerarquizar las operaciones.• Realizar la ecuación de la elipse

con centro en C (h, k).• Trazar en el plano cartesiano.

2a = 14

a =

a = 7 unidades

LL = 2b2

a

9.42 = 2b2

7

Elaboren un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema e integren este producto; se evaluará de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias para compararlo después.


Se conoce la magnitud del eje mayor de la elipse, por lo tanto:

De igual forma se conoce la magnitud del lado recto y con el dato anterior es posible conocer el valor de b de la siguiente manera:

situación problema

Fuente: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=646635&page=3


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Es necesario conocer el valor de c, de la relación fundamental:


a2 = b2 + c2

c = c = c = 4 unidades

Es posible obtener las coordenadas de los vértices, focos y puntos del eje menor. Mediante las fórmulas correspondientes y sustituyendo en cada una de ellas los siguientes valores: h = 10 k = −7 a = 7 b = 5.74 y c = 4. Se tiene que:

b) Vértices:V (h + a, k)V´(h − a, k)

c) Focos:F (h + c, k)F´(h − c, k)

d) Coordenadas de los puntos extremos del eje menor

B (h, k + b)B´(h, k − b)

e) El valor de la excentricidad es:

f) Como se trata de una elipse cuyo eje focal coincide con el eje x, la ecuación es:

Sustituyen los valores de a = 7 y de b = 5.74 en la ecuación:

La ecuación ordinaria que representa la situación problema es:

V1(10 + 7, − 7) V1(17, − 7)V2(10 − 7, − 7) V2(3, − 7)

F1(10 + 4, − 7) F1(14, −7)F2(10 − 4, − 7) F2(6, − 7)

B1(10, − 7 + 5.74) B1(10, − 1.26)B2(10, − 7 − 5.74) B2(10, − 12.74)

e = ca

< 1

e = 4 7

< 1

e = 0.57 < 1

(x − h)2 (y − k)2

a2 b2+ = 1

(x − 10)2 (y + 7)2

49 32.94+ = 1

Toda ecuación de la elipse se puede escribir en la denominada fórmula general, la cual se representa de la siguiente forma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Donde los valores de A y C son diferentes de cero y tienen el mismo signo.

Si A > C es una elipse vertical (eje focal paralelo al eje Y)Si A < C es una elipse horizontal (eje focal paralelo al eje X)

Recíprocamente, la ecuación en su forma general se puede reducir a la forma ordinaria, mediante el método de completar cuadrados.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE



125

ELIPSE • Ecuación general


La trayectoria de la luna alrededor de la Tierra es de forma elíptica de tal manera que cuando se encuentra en su apogeo la distancia es de 406,700 kilómetros y cuando se encuentra en su perigeo es de 356,410 kilómetros. Considera que la excentricidad es de 0.88. Obtén la ecuación que describa la trayectoria de la Luna alrededor de la Tierra en su forma general.

Participa en la valoración diagnóstica, pro- puesta y dirigida por el profesor, para reconocer su experiencia, disposición, conocimientos previos, ideas alternativas o preconcepciones en relación con el tema de elipse.

Elabora en equipo un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema e integra este producto; se evalurá de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias para compararlo después.

Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_5-1b6mpK4CQ/TTMqQY9eESI/AAAAAAAABhg/2f4-Nn3zNgY/s1600/orbita_lunar_01.jpg

Considerando el centro de la trayectoria elíptica en el origen, y de forma horizontal la ecuación es:

El valor del eje mayor 2a se obtiene al sumar las distancias del apogeo y perigeo:

El valor del semieje mayor a se obtiene al dividir entre dos:

Con la excentricidad obtenemos c. Sustituyendo datos:

El valor de b se obtiene de la relación fundamental de la elipse.

Sustituye los datos:

Sustituyendo los valores en la ecuación de la elipse:

Elevando al cuadrado los denominadores:

x2 y2

a2 b2+ = 1

Apogeo = 406,700 kmPerigeo = 356,4102a = 406,700 + 356,410 = 763,110 km

a = 763,110 2 = 381,555 km

e = c a

0.88 = c381,555

c = 335,768.4 km

b2 = a2 − c2

b = b = 181,229.32 km

x2 y2

(381,555)2 (181,229.32)2+ = 1

situación problema


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Multiplicando toda la expresión por (3.28 × 1010)(1.455 × 1011) se tiene que:

(3.28 × 1010)(1.455 × 1011)x2 (3.28 × 1010)(1.455 × 1011) y2

1.455 × 1011 3.28 × 1010+ = 1 (3.28 × 1010)(1.455 × 1011)

La ecuación general que representa la situación problema es: (3.28 × 1010)x2 + (1.455 × 1011) y2 = 4.7724 × 1021

3.28 × 1010x2 + 1.45 × 1011y2 = 4.77 × 1021 = 0

Integra este producto evaluado con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias.

(x − 10)2 (y + 7)2

49 32.94+ = 1


Con base en los resultados de la situación problema de la página 160. Transforma la ecuación ordinaria a la general.

(x − 10)2 (y + 7)2

49 32.94+ = 1

Conocimientos previos:• Relacionar los datos con los

elementos de la elipse.• Jerarquizar las operaciones.• Realizar la ecuación general de la elipse.

Elabora un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideres necesarios para resolver la situación problema e integren este producto. Esta actividad se evaluará de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias para compararlo después.

La ecuación ordinaria es:

Multiplicando toda la expresión por (49)(32.94) se tiene que: Simplificando se tiene que:

Desarrollando los binomios al cuadrado:

(32.94)(x − 10)2 + (49)(y + 7)2 = 1,614.06

Multiplicando por los coeficientes se tiene que:

Agrupando términos:

La ecuación general que representa la situación problema es:

Actividad en equipo:

Con base en lo anterior, transforma las ecuaciones ordinarias a la forma general de las actividades de las páginas 118 y 121; así como 123 y 126.

32.94x2 + 49y2 − 658.8x + 686y + 3,294 + 2,401 − 1,614.06 = 0

32.94x2 + 49y2 − 658.8x + 686y + 4,080.94 = 0


situación problema


127

Realiza, con la ayuda del software Graphmatica, el siguiente un dibujo (barco); utiliza los conocimientos de este módulo.

actividademplenado tics

Procedimiento

1. En una hoja milimétrica realiza un boceto de los trazos que vas graficar en Graphmatica (utiliza solo rectas).

2. Muestra tu boceto a tu profesor, él te indicará si es apto para graficarse en el software. 3. Inicia Graphmatica desde tu ordenador.

En la ventana de trabajo aparece la pantalla de la siguiente forma:


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comp

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Te recomendamos cambiar el color del fondo de la pantalla, repite los pasos que realizaste en la actividad integradora 1.

La pantalla se ve de la siguiente forma:

Otra opción que te será de utilidad son las barras de desplazamiento, las cuales las puedes habilitar, dando clic en Ver de la barra de herramientas. Busca la opción Barras de desplazamiento.

4. Ingreso de funciones

El ingreso de funciones se hace en el renglón blanco de entrada.


129

ChimeneasIngresa la siguiente ecuación: Elipse 1 (x+4.5)^2/2.25 + (y−14)^2 = 1. Al término de ingresar los datos presiona Enter. Los valores que están entre llaves es el dominio de la recta (y se colocan de izquierda a derecha, o de abajo hacia arriba). Ten en cuenta que es necesario dejar un espacio entre la ecuación y el dominio. Posteriormente, ingresa las ecuaciones siguientes:

Elipse 2 (x−1.5) ^ 2/2.25 + (y−14)^2= 1Elipse 3 (x−7.5) ^ 2/2.25 + (y−14)^2= 1

Rectas de las chimeneasLínea 1 x = −6 {6,14} Línea 4 x = 3 {6,14}Línea 2 x = −3 {6,14} Línea 5 x = 6 {6,14}Línea 3 x = 0 {6,14} Línea 6 x = 9 {6,14} Techo del barco Horizontal 1 y = 6 {−13,14}

Pared izquierda puntosComo se trata de una diagonal, necesitamos dos puntos para obtener la ecuación; por ello, se utiliza el siguiente par de coordenadas: (−8,0) y (−13,6)Diagonal izquierda y = −6*(x+8)/5 {−13,−8}

Pared derechaComo se trata de una diagonal, necesitamos dos puntos para obtener la ecuación; por ello, se utiliza el siguiente par de coordenadas: (9,0) y (14,6)Diagonal derecha y = 6*(x−9)/5 {9,14}

Fondo del barco y = 0 {−8,9}

VentanasIzquierda: (x+6)^2+(y−3)^2<1Central: x^2+(y−3)^2 = 1Derecha: (x−6)^2+(y−3)^2<1

Cadenax = 14 {0,6}

Ancla Parábola superior izquierda (x−13)^2 = y+1 {12,14}Parábola superior derecha (x−15)^2 = y+1 {14,16}Parábola inferior (x−14)^2 = 4(y+2) {12,16}

5. Para guardar

Para guardar las gráficas que hayas construido da un clic en Archivo y luego en Guardar como. Posteriormente, escribe Integradora 3 y da un clic en Aceptar.


130

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6. Colorea tu diseño en Paint.

Más ejemplos: (opcional)


131


Lisa invitó de vacaciones a Toño. Ella está decorando su nueva casa; asimismo, observó que la mayoría de las nuevas decoraciones son figuras cónicas (circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas); además, se dio cuenta que estas figuras están relacionadas con los temas del curso de Geometría Analítica:

Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_MJkiHrrJahs/S7evePl6OII/AAAAAAAAAqA/o6FX7dqaVlY/s1600/CUPULA+ELIPTICA+SAN+CARLOS+CUATRO+FUENTES.jpg

f) Eje menor. g) Excentricidad.h) La ecuación ordinaria y general de la

elipse. i) Ahora si consideras el sistema de

referencia en el centro del relieve, ¿cuál es la ecuación canónica?

j) Por último, cómo trazarías la elipse en la pared, para colocar la figura exactamente como se muestra en la figura.

• Realizar un esquema• Identificar los datos.• Relacionar los datos con los elementos de

la elipse.• Identificar el tipo de ecuación.• Sustituir los datos.• Realizar operaciones.• Simplificar la ecuación.


Lisa le preguntó a Toño que cómo trazaría un nicho en una pared en forma elíptica para copiar y colocar el relieve que se muestra en la figura exactamente, que también posee forma de elipse. El relieve tiene un claro de 2.1 metros y una altura de 3.60 metros con contornos y el grosor de dicho contorno de 20 centímetros.

Ayuda a Lisa y Toño a determinar:


Con los datos proporcionados determina: b) Centro. c) Vértices. d) Lado recto.e) Eje mayor.

Elabora un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema e integra este producto; se evaluará de acuerdo con las instrucciones del profesor en el portafolio de evidencias para compararlo después.

Realiza, de manera individual, un esquema y componentes de identificación y búsqueda de información relevante (identificación de datos, símbolos matemáticos, constantes y variables) relacionada con la situación problema.

situación problema


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EVALUACIÓN

La imagen muestra el estadio Coliseo, originalmente se construyó en la década de los veinte, fue escenario de los Olímpicos de 1932 y en Los Ángeles en 1984. Cuya forma es elíptica, considera lo siguiente: la magnitud del eje mayor es de 84 unidades; mientras que la magnitud del eje menor, de 64 unidades. El centro del sistema de referencia se ubica en el vértice del eje menor de la parte inferior del lado izquierdo de la imagen, coloca el eje Y a lo largo del eje menor; ahora con estos datos determina:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano.

b) Las coordenadas de los vértices. c) Las coordenadas de los focos.

Realiza el planteamiento y desarrollo del problema en tu cuaderno.

Fuente: http://newsimg.bbc.co.uk/media/images/

44223000/jpg/_44223348_stadium416.jpg

d) Punto del eje menor.e) Lado recto.f) Excentricidad.g) La ecuación ordinaria y general.h) Gráfica con sus elementos.

Describe, en diferentes pasos, el proceso y resuelve la ecuación obtenida anteriormente, analiza (en grupo con la asesoría del profesor) las características de las propuestas; reconoce en ellas elementos similares, limitantes, ventajas, desventajas, procedimientos utilizados, uso de calculadora, uso de simbología y uso de gráficos. Trabajo colaborativo: cooperación guiada y organizadores gráficos diversos: esquema o diagrama de comparación.

Ecuación ordinaria, vertical.

Ecuación general.

Ahora si consideras el sistema de referencia en el centro del relieve, ¿cuál es la ecuación canónica?

situación problema


133

EVALUACIÓN

Este estadio tiene forma de elipse, con medidas de 200.63 metros el claro más grande a lo largo de la línea amarilla (longitud del eje mayor) y 160 metros el claro corto o ancho del estadio (longitud del eje menor), como lo muestra la imagen; considera el origen del sistema de referencia en la parte inferior en el vértice del eje mayor de la elipse, así como el eje Y sobre la línea amarilla a lo largo del eje mayor y por el centro del estadio; con estos datos determina:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano.

b) Las coordenadas de los vértices. c) Las coordenadas de los focos.

Realiza el planteamiento y el desarrollo del problema en tu cuaderno.

La imagen muestra el aeropuerto de Beijing; que estrenó su nueva Terminal 3, un edificio de 2,900 metros de longitud con forma de dragón chino, que albergó 17,000 atletas que visitaron el país asiático durante los pasados Juegos Olímpicos. Tiene forma elíptica en la parte inferior, como se muestra en la imagen; el claro más largo (horizontal) mide 160 metros y claro corto (verticalmente) 80 metros, con los datos proporcionados determina:

a) En tu cuaderno, traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano.

b) Coordenadas del centro de la elipse.c) Las coordenadas de los vértices. d) Las coordenadas de los focos. e) Puntos del eje menor.

Realiza el planteamiento y el desarrollo del problema en tu cuaderno.

Fuente: http://i437.photobucket.com/albums/qq98/

romanitossss/chateau200mts63cm.jpg

d) Puntos del eje menor.e) Lado recto.f) Excentricidad.g) La ecuación ordinaria y general. h) Gráfica con los elementos más importantes.

Fuente: http://www.plataformaarquitectura.cl/cpgarq/

albums/userpics/10007/beijing_airport.jpg

f) Lado recto.g) Excentricidad.h) La ecuación ordinaria. i) Gráfica con sus elementos.

situación problema

situación problema


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RÚBRICA para figuras en Graphmatica (evaluación tics)

ASPECTOS Excelente Bueno Regular Deficiente

Creatividad y Originalidad

La figura es muy original y creativa, además de trazos complicados.

La figura es original, creativa y los trazados son simples.

La figura es simple y carece de creatividad.

La figura es muy simple y carece por completo de creatividad.

Cónicas

La figura contiene las cuatro cónicas (recta, circunferencia, parábola y elipse) y ocupa el máximo de ecuaciones (25 ecuaciones).

La figura contiene SOLO tres de las cuatro cónicas (recta, circunferencia, parábola y elipse). Ocupa el máximo de ecuaciones (25 ecuaciones).

La figura contiene SOLO tres de las cuatro cónicas (recta, circunferencia, parábola y elipse). Ocupa un número razonable de ecuaciones (de 14 a 20 ecuaciones).

La figura contiene SOLO dos de las cuatro cónicas (recta, circunferencia, parábola y elipse).

Orden y pulcritud

Existe un orden excepcional, ordenado, atractivo, con una distribución adecuada en el espacio de trabajo, que permite la legibilidad del gráfico.

Existe un orden muy bueno y relativamente atractivo, con una distribución regular en el espacio de trabajo, que permite la legibilidad del gráfico.

Existe poco orden y poco atractivo, con una distribución regular en el espacio de trabajo, que dificulta la legibilidad del gráfico.

Aparenta ser desordenada y diseñada aprisa.

Diseño (Paint)

El diseño en Paint es excelente, los colores usados favorecen para ayudar a la legibilidad del gráfico. Se crea un ambiente agradable, en el cual se añaden más elementos al dibujo que en el software no se pueden trazar.

El diseño en Paint es aceptable, los colores utilizados favorecen a la figura principal, se crea un ambiente agradable, en el cual se añaden algunos elementos al dibujo que en el software no se pueden trazar.

Los colores utilizados no favorecen a la figura principal, dificultan la visibilidad y se pierde el ambiente.

Diseño muy vano.

Modo de entrega

Archivo electrónico: en CD o mail. Impreso: directo del programa.ILUSTRADO: impreso de Paint.

Solo se entrega:Impreso: directo del programa.ILUSTRADO: impreso de paint.

Solo lo entrega:Impreso: directo del programa.

No entrego nada.

Nombre del maestro/a: __________________________________________

Nombre del estudiante: __________________________________________ Grupo: __________


135

En este módulo se plantearon diferentes tipos de actividades relacionadas con el concepto de elipse, se trató de motivar al alumno con situaciones de su entorno y además guiándolo para que se pueda fomentar el aprendizaje autónomo, ya que algunos procedimientos se resolvieron y otros los tuvo que contestar con el auxilio de sus compañeros o con la orientación del profesor.

Se plantearon, también, investigaciones de algunos conceptos que el alumno debió realizar por anticipado a la resolución de las actividades, con el objetivo de que se familiarizara con los conceptos, además de fomentar la lectura en ellos.

resumen

R


Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en una situación problema, el alumno considera el contexto en el que se generó.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos y aplica diferentes enfoques.



EVALUACIÓN TOTAL

RÚBRICA



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bibliografía

Para el alumno




Para el docente





Para el alumno




Para el docente




MESOGRAFÍA











MÓDULO 5 Hipérbola


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PROPÓSITOSDesarrollar en el estudiante la capacidad para:

• Comprender los elementos que componen una hipérbola.

• Representar en el plano cartesiano la gráfica de una hipérbola.

• Resolver situaciones problema que se modelan a través de una hipérbola.

EJES TRANSVERSALESEducación en valores: al responsabilizarse del cuidado personal y ambiental, a través del análisis, crítica y discusión de situaciones problema que involucran a la hipérbola, así como su representación geométrica.

Educación para la paz: al interesarse por favorecer la convivencia, discusión, tolerancia y confrontación de ideas para el trabajo individual y en equipo, aportando ideas o proyectos para la creación de espacios físicos que involucran a la hipérbola en su diseño tales como: edificios, jardines, auditorios, salas, entre otros.

Educación del consumidor: al analizar las características o cualidades de productos, bienes y servicios, a través de modelos que involucran a la hipérbola.

EJES PROBLEMATIZADORES•¿Cuál es la importancia de conocer los elementos para determinar la ecuación y la gráfica de la hipérbola en

diferentes situaciones problema?

•¿Cuál es la importancia de transformar la ecuación general de una hipérbola a su forma ordinaria?

•¿Qué aplicaciones tiene la hipérbola en diferentes situaciones de contexto?


HIPÉRBOLA

Elementos para su definición.Focos y vértices.

Otros elementos:Centro.

Lado recto.Eje transverso.Eje conjugado.Excentricidad.

Formas de ecuación de la hipérbola:Canónica.Ordinaria.General.

Geometría Analítica: 5. Hipérbola

139

INTRODUCCIÓN

En este módulo se presentan situaciones problema que se modelan con una hipérbola, en un principio con la construcción de esta con base en la definición, y por último situaciones problema, donde se pide determinar sus elementos, así como también se les proporciona una ecuación general para que determinen sus elementos y al mismo tiempo los alumnos construirán la gráfica.

Las aplicaciones, que existen en este módulo con respecto a la vida cotidiana de los alumnos, tienen una gran variedad. Por tal motivo, es importante que el alumno comprenda el proceso de la representación de este tipo de problemas por medio de la hipérbola en sus diferentes formas y aplicaciones, para que se involucre con el espacio que lo rodea, sobre todo en la arquitectura de épocas pasadas contrastando con la arquitectura actual; así como también se dé cuenta en las decoraciones interiores de una estructura (edificios, templos, casas, estadios, parques de recreación y juegos), y espacios abiertos como los que se muestran en las diferentes situaciones problema en este módulo.

Historia de la hipérbolaSegún la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.Fuente del texto: es.wikipedia.org/wiki/Hipérbola


Definición de hipérbola como lugar geométrico

La hipérbola es el lugar geométrico descrito por un número infinito de puntos en el plano, de tal modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano F´ y F (llamados focos), es siempre una cantidad constante igual a 2a y menor a la distancia que existe entre esos puntos fijos.

Esto es: |PF‘| − |PF| = 2a

La hipérbola consta de dos ramas diferentes y de longitud infinita donde: VV´=2a Eje focal o eje transverso FF´= 2c Distancia focal BB´= 2b Eje conjugado (o eje imaginario) c Centro de la hipérbola LR o LR´ Lado recto λ o λ´ Asíntotas


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Elementos de la hipérbola

F y F’: Focos de la hipérbola. C: Centro de la hipérbola. a: Eje focal: recta que pasa por los focos, vértices y centro. a´: Eje normal: recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. V y V’: Vértices de la hipérbola.|VV‘|: Eje transverso: es la porción del eje focal comprendida entre los vértices. |BB‘|: Eje conjugado de la hipérbola: porción del eje normal comprendida entre los puntos B y B’ que tiene como punto medio el centro.

|UU‘|: Cuerda: segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola.|EE‘|: Cuerda focal: cuerda que pasa por un foco.|LL‘|: Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal.|DD‘|: Un diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.|PF| y |PF‘|: Radios vectores de P.

Formas de la ecuación de la hipérbola: forma canónica


141

• Desarrollar una actividad en el aula o en algún otro lugar que sea propicio.• Establecer un clima de confianza para el alumno, por parte del docente; se indican los

propósitos de la actividad y las competencias que se espera desarrolle el estudiante.• Manejar las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información

y expresar ideas. • Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, se comprenderá como cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.• Revisar el ambiente de aprendizaje, espacio físico, disposición física del alumno,

materiales y características de los alumnos.• Reunirse con sus compañeros e integrar equipos de cuatro personas y mediante una

lluvia de ideas identifiquen sus conocimientos previos relacionados con el tema sistemas de ecuaciones y elaboren un reporte que se presentará a todo el grupo.

• Reunir información relacionada con la actividad mediante una investigación en la biblioteca o en internet y compáralo con el reporte antes elaborado.


Conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación problema.

Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador, aplica la estrategia de solución de situaciones problema, se apoya de material didáctico a través de presentaciones en Powerpoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Esto permite que el alumno participe de forma activa e interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad.

Se analizan y comparan los resultados obtenidos y, si son correctos, se transfieren a diferentes situaciones de contextos.

Se fomenta la motivación donde prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno; se resaltan aciertos y se aprende de los errores.

La conclusión se hará conjuntamente entre los alumnos y el profesor.Evaluación.Conocimientos, comprensión y aplicación. Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver problemas.Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.• Evidencia del desempeño. • Ejercicio resuelto.• Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos,

actitudes y valores de los alumnos.• Rúbrica.• Lista de cotejo.• Portafolio de evidencias.

APERTURA



DESARROLLO

CIERRE

Conclusión, se realiza la retroalimentación del tema, se aclara dudas y se elabora un resumen.

SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL. MÓDULO 5: HIPÉRBOLA


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Construcción de una hipérbola con regla y compás

MATERIAL • Hoja milimétrica (preferentemente) o en su caso una hoja de cuadro chico. • Plumón o lápiz.• Regla.• Escuadra.• Compás.

Conocimientos previos:Uso de regla y escuadra, concepto de hipérbola, y elementos que la constituyen como focos, centro, vértice, lado recto, ejes conjugados y eje transverso.

Para dibujar una hipérbola, se utiliza una regla o escuadra y un compás, los pasos son los siguientes: • Coloca dos puntos (estos serán los focos F y F´).• Obtén el punto medio de F y F´ que será el centro C de la hipérbola.• En el centro traza una perpendicular a FF´(esta recta será el eje conjugado). • A partir del centro C, ubica los vértices V y V´ que estarán a una distancia a de C. • A partir del centro C, ubica a B y B´ que estarán a una distancia b de C. • Se construye el rectángulo partiendo de ambos vértices, las dimensiones de la figura son:

de base tiene la distancia de a y de altura b. • Se marcan puntos cualesquiera a la derecha de F y a la izquierda de F´ procura que estos

sean simétricos. P1, P2, P3, P4…• Coloca el compás en el vértice y abre hasta P1, realiza el trazo y posteriormente invierte

el compás, ahora coloca la punta en el punto P1 y realiza el trazo.• Repite el anterior paso tantas veces sea necesario para que se tenga una hipérbola más

detallada. • Une las intersecciones y el resultado es la curva.

situación problema

situación problema

Actividad individualAnaliza lo siguiente:

El corset que se muestra a continuación tiene forma hiperbólica. Considera el centro de esta en el origen, con los datos proporcionados determina lo siguiente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano utilizando una escala y compáralo con tus compañeros.

Con los datos proporcionados determina:b) Vértices y focos. c) La ecuación canónica. d) El valor del lado recto.e) Ecuación de las asíntotas.

x

10 cm

V F30 cm

y

HIPÉRBOLA • Ecuación con centro C(0,0) (forma canónica)


143

Conocimientos previos

Analiza la forma en que se puede resolver el problema y elabora un diagrama de flujo, indica los pasos que se deben seguir. Comenta con tu profesor el análisis al que has llegado.

Realiza un bosquejo de la situación problema, de acuerdo con la figura de la estructura y el plano cartesiano, utilizando una escala y compáralo.

b) De la imagen se observa que las coordenadas del vértice y de los focos son:

También el valor de a y c son:

Es necesario conocer el valor de b, para ello se utiliza la relación fundamental:

Despejando b se tiene que:

Si sustituyes los valores de a = 30 y c = 40, tiene que:

Como se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje x, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituye los valores de a = 30 y b = 700 en la ecuación:

c) Realizando las operaciones pertinentes, tenemos la ecuación con centro C(0,0) que representa la situación problema:

d) Para el lado recto, sustituye los valores de a = 30 y b = 700 de en la ecuación:

• Operaciones con números reales.• Ecuación de la hipérbola con centro en

el origen.• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Fórmula de la distancia entre dos puntos.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.

V(30,0) V‘(−30,0)F(40,0) F‘(−40,0)

a = 30 y c = 40

c2 = a2 + b2

b2 = c2 − a2

b = c2 − a2

b = b = b = 700 x2 y2

a2 b2− = 1

x2 y2

900 700− = 1

|LR| = 2b2

a

|LR| =

|LR| = 2 (700) 30


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e) Para determinar las ecuaciones de las asíntotas, con los valores de a y b, sustituye en las ecuaciones siguientes:


|LR| = (1,400) 30

|LR| = 46.66 cm

Primero, λ: y = ba

x

λ: y = 700 30

x

Ahora para, λ‘: y = − ba

x

λ‘: y = − 700 30

x


SABÍAS QUE…

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas solo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejan perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Actividad en equipo.


En la imagen se muestra una lámpara, de tal forma que la iluminación proyectada tiene forma hiperbólica. Considera su centro en el origen, con los datos proporcionados determina lo siguiente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano, utiliza una escala y compáralo con tus compañeros.

b) Vértices y focos. c) La ecuación con centro C(0,0) canónica. d) El valor del lado recto.e) Ecuación de las asíntotas

Fuente: http://cosas.files.wordpress.com/2010/02/lamp.png

80 cm

80 cm

F(0,90)V

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_ZYGsgtywuMU/SuYWzm6j3wI/AAAAAAAAADs/muMDewjxXRI/s320/cometa_caracteristicas2

situación problema


145

Conocimientos previos.

Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo e indiquen los pasos que seguir. Cuando todos estén de acuerdo, coméntenlo al grupo y al profesor.

a) En este caso (la forma hiperbólica es vertical, es decir, con eje focal paralelo al eje Y), y realizando el (bosquejo), de la situación problema.

b) Las coordenadas del centro, vértice y focos ya se proporcionaron.

Es necesario conocer el valor de b, para ello se utiliza la relación fundamental:

Despejando a b se tiene que:

Sustituye los valores de a = 80 y c = 90; por lo tanto:

c) Como se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituyen los valores de a = 80 y de b = 1,700 en la ecuación:

Realizando las operaciones pertinentes, tienes la ecuación que representa la situación problema es:

d) Lado recto; sustituye los valores de a = 80 y de b = 1,700 en la ecuación:

• Operaciones con números reales.• Ecuación de la hipérbola

con centro en el origen.• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.• Propiedades de la igualdad.

Del esquema anterior: C(0,0)V1(0,80) V2(0,−80)F1(0,90) F2(0,−90) c2 = a2 + b2 b = c2 − a2

b = 902 − 802 b = b = 1,700 y2 x2

a2 b2− = 1

y2 x2

6,400 1,700− = 1

|LR| = 2b2

a

|LR| =

|LR| = 2 (1,700) 80

|LR| =

|LR| = 42.5 cm


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f) Para determinar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola con los valores de a y b, sustituye en las ecuaciones siguientes:


Primero para, λ: y = ab

x

λ: y = 80 1,700

x

Ahora para, λ‘: y = − ab

x

λ‘: y = − 80 1,700 x


SABÍAS QUE…

Mujeres con cuerpo tipo reloj de arena

Las mujeres con este tipo de cuerpo tienen los hombros y caderas de la misma proporción y, además, poseen una cintura bien definida. Por estas razones, pueden escoger cualquier tipo de traje de baño.

Fuente: http://www.vistelacalle.com/wp-content/uploads/2010/11/reloj-de-arena.jpg

Actividad en equipo.Reúnete con tus compañeros y forma equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra la Catedral de Brasilia, Brasil, la estructura aparenta tener aspecto hiperbólico; cuya ecuación es la

siguiente: x2 y2

289 169− = 1 ; en metros.

Determina lo siguiente: a) En tu cuaderno traza un esquema

(bosquejo) de la situación problema.b) Vértices y focos. c) La ecuación canónica d) El valor del lado recto.e) Ecuación de las asíntotas.

Conocimientos previos: • Operaciones con números reales.• Ecuación de la hipérbola

con centro en el origen.• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.

situación problema


147


Como se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje x, tienes que:

a) Las coordenadas de los vértices:

b) Las coordenadas de los focos:

c) La longitud del eje conjugado:

d) La longitud del eje transverso:

e) La longitud del lado recto:

f) La excentricidad:

g) Las ecuaciones de las asíntotas:

h) Gráfica:


a2 = 289 ⇒ a = 17 ∧ b2 = 169 ⇒ b = 13Necesitas conocer el valor de c; por lo tanto tenemos que: c2 = a2 + b2

c2 = 289 + 169 c = 458c2 = 458 c = 21.4 m V(a,0) ⇒ V(17,0)V‘(−a,0) ∧ V‘(−17,0)

F(c,0) ∴ F(21.4,0)F‘(−c,0) ∧ F‘(−21.4,0) |BB‘| = 2b

|BB‘| = 2(13) |BB‘| = 26 m

|VV‘| = 2a

|VV‘| = 2(17) |VV‘| = 34 m

|LR| = 2b2

a

|LR| =

|LR| =

|LR| = 19.88 m

e = ca

> 1 e = 21.4 17

λ: y = ba

x λ‘: y = − ba

x

λ: y = 13 17

x λ‘: y = − 13 17

x



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Formas de la ecuación de la hipérbola: forma ordinaria

Para determinar la ecuación de la hipérbola, primero, se necesita entender una traslación de ejes coordenados.

Ecuaciones de traslación de ejes coordenados

Considere un sistema original o primario de ejes coordenados X y Y ∧ un punto P(x, y) referido desde O(0, 0), otro sistema secundario de ejes X’ y Y’ con el mismo punto referido desde O’(h, k) denominado P’(x’, y’), entonces:

De la figura, se observa que:

1. Existen dos sistemas de ejes coordenados, el primario X y Y y el secundario X’ y Y’

2. Existe un solo punto, que referido al sistema primario tiene coordenadas P(x, y) y referido al sistema secundario tiene coordenadas P’(x’, y’).

3. El punto P(x, y), referido desde el origen O(0, 0) y el punto P’(x’, y’), referido desde O’(h, k) es el mismo, por lo tanto:

horizontalmente: x = x’ + h y verticalmente: y = y’ + k

4. Las ecuaciones de transformación por traslación de coordenadas son:

x = x’ + h donde: (h, k) son las coordenadas del origen O’ y = y’ + k del sistema secundario X’, Y’.

Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la hipérbola se obtiene trasladando los ejes coordenados de modo que el centro coincida con el punto C(h, k). Por lo que la ecuación

con relación a los nuevos ejes X’ ∧ Y’ es: x‘2 y‘2

a2 b2− = 1 ---------------- A


149

Por las ecuaciones de traslación x = x’ + h despejando a x’ ==> x’ = x - h ---------- B y = y’ + k despejando a y’ ==> y’ = y - k

Sustituyendo B en A se obtiene:

(x − h)2 (y − k)2

a2 b2− = 1 Ecuación ordinaria paralela al eje X.

Similarmente se obtiene:

(y − k)2 (x − h)2

a2 b2− = 1 Ecuación ordinaria paralela al eje Y.


150

M5

basa

do en

comp

etenc

ias

Actividad en equipo.Reúnete con tus compañeros y forma equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra una cruz que utilizaron los caballeros templarios; como se observa, las extremidades tienen una forma hiperbólica tanto de manera horizontal como de manera vertical. Considera la distancia entre el vértice y el centro de 1.7 centímetros. Con los datos proporcionados determina lo siguiente:

En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo), de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano, utiliza una escala y compáralo con tus compañeros.

• Las coordenadas de los vértices.• Las coordenadas de los focos.• La ecuación ordinaria de la hipérbola

(horizontal).



De la imagen, se observa que las coordenadas del centro, vértices y de los focos: se sabe que a = 1.7 y c = 4

Es necesario conocer el valor de b, de la relación fundamental se despeja y se tiene que:

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_rpYhlwQG0zc/TTvxSnflEII/AAAAAAAAA3E/8Uge7iaZWPY/s1600/

templar-0.png


con centro en fuera del origen c(h,k).• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.

Del esquema anterior: C(−8, −8)V1(−8, −16) V2(−8, −9.7) y F1(−8, −4) F2(−8, −12) c2 = a2 + b2

b = c2 − a2

HIPÉRBOLA • Ecuación con centro C(h,k) (forma ordinaria)

-x

-y

C

F

4cm

4cmsituación problema


151

Sustituye los valores de a = 1.7 y de c = 4, se tiene que:

c) Como se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituyen los valores de a = 1.7 y de b = 4.7 cm en la ecuación:

Realizando las operaciones pertinentes, tenemos la ecuación que representa la situación problema:


b = 42 − 1.72

b = b = 13.11 = 3.62

(y − k)2 (x − h)2

a2 b2− = 1

(y + 8)2 (x + 8)2

2.89 13.11− = 1


SABÍAS QUE…

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la Tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie.

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-w0fURADYiUs/TWHF4b0J0gI/AAAAAAAAG8I/LUqgEGEB1zo/s1600/image002.jpg


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Reúnete con tus compañeros y formen equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra una lámpara de tal forma que la iluminación proyectada por esta tiene forma hiperbólica. Considera el centro fuera del origen y que pasa por el punto P(0,0); como se observa en la imagen, ahora con los datos proporcionados determina lo siguiente:


b) Vértice y foco.c) La ecuación ordinaria de la parábola.


Fuente: http://cosas.files.wordpress.com/2010/02/lamp.png


con centro fuera del origen c(h,k).• Trazo del plano cartesiano.• Lenguaje común y lenguaje algebraico.• Operaciones algebraicas.

Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama de flujo e indiquen los pasos que seguir. Cuando todos estén de acuerdo, coméntenlo al grupo y al profesor

De la imagen, se observa que las coordenadas del centro y vértices son:

Como se trata de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo con el eje y, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituye los valores conocidos en la ecuación:


Dividiendo el primer termino:


Se pasa el 9 para el otro lado de la igualdad:

C(0.8,0.75) h = 0.8, k = 0.75 P(0,0) x = 0, y = 0V(0.8, 1) V´(0.8, 0.5) 2a = 0.5 a = 0.25

(y − k)2 (x − h)2

a2 b2− = 1

(0 − 0.75)2 (0 − 0.8)2

(0.25)2 b2− = 1

0.5625 0.64 0.0625 b2

− = 1

9 − 0.64 b2

= 1 0.64 b2

= 1 + 9

situación problema


153

Realizando operaciones y despejando a b2 tenemos que:

Se saca la raíz cuadrada:

El valor de b es:

La ecuación ordinaria de la situación problema es:

0.64 b2

= 10

b2 =

b2 =

b = 0.253

(y − 0.75)2 (x − 0.8)2

0.0625 0.064− = 1

Formas de la ecuación de la hipérbola: forma general

La ecuación de la hipérbola se puede escribir en la siguiente forma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Donde A y C tienen signos diferentes y son también diferentes de cero.

Si la ecuación de una hipérbola está expresada en forma general, se puede obtener su fórmula reducida utilizando el método de completar trinomios cuadrados perfectos.

HIPÉRBOLA • Ecuación forma general

Reúnete con tus compañeros y formen equipos de cuatro a cinco personas y analicen lo siguiente:

En la imagen se muestra una torre de una central nucleoeléctrica, cuya forma es hiperbólica. Considera el vértice fuera del origen del sistema de referencia, asimismo, uno de los focos tiene 40 metros a la derecha del vértice. Ahora con los datos proporcionados determina lo siguiente:


b) Coordenadas de los vértices y focosc) La ecuación general de la hipérbola.


Fuente: http://estaticos01.cache.el-mundo.net/mundodinero/imagenes/2009/02/04/1233756013_0.jpg

• Operaciones con números reales.• Ecuación general de la hipérbola.• Trazo del plano cartesiano.• Operaciones algebraicas.

situación problema


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Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elaboren un diagrama o esquema e indiquen los pasos que seguir. Cuando todos estén de acuerdo, coméntenlo al grupo y al profesor.

De la imagen se observa que las coordenadas del centro, vértices y focos son:

Es necesario conocer el valor de b, de la relación fundamental se despeja y se tiene que:

Sustituye los valores de a = 40 y de c = 80, se tiene que:

Como se trata de una hipérbola, cuyo eje focal es paralelo con el eje x, utilizamos la siguiente ecuación:

Sustituyendo valores en la ecuación:

Elevando al cuadrado los denominadores

Multiplicando ambos términos por (1,600) (4,800)

Se tiene que:

Realizando operaciones y desarrollando el termino al cuadrado:

Efectuando operaciones:

Reduciendo los términos semejantes tenemos que

C(0,120) h = 0 k = 120V(40,120) V´(−40,120) 2a = 80 a = 40 mF(80,120) F´(−80,120) 2c = 160 c = 80 m

b = c2 − a2

b =

b = 6,400 − 1,600 b = 4,800 = 69.3 m (x − k)2 (y − h)2

a2 b2− = 1

(x − 0)2 (x − 120)2

1,600 4,800− = 1

= 1(1,600)(4,800)

4,800x2 − (1,600)(y − 120)2 = 7,680,000

4,800x2 − 1,600y2 + 384,000y − 23,040,000 = 7,680,000


155

La ecuación general es:


4,800x2 − 1,600y2 + 384,000y − 300,720,000 = 0


HIPÉRBOLA • de la ecuación general a la ordinaria

Actividad individual.

Con claridad se observa que la hipérbola se aplica en diseño de muebles y objetos decorativos, así como diferentes refractarios que forzosamente deben tener una forma hiperbólica y que cumplen un fin, como el que se muestra en la imagen; su ecuación se puede escribir de la forma general:

16x2 − 9y2 − 192x + 576y − 8640 = 0(Expresada en centímetros).


Ecuación:

Agrupando términos:

Se factoriza (16) y (9):

Completa el cuadrado:

Ahora termina el procedimiento en tu cuaderno.

x0

y

Transforma la ecuación a su forma ordinaria y determina sus elementos.

• Operaciones con números reales.• Trazo del plano cartesiano.• Ecuación de la parábola

con vértice en V(h,k).• Jerarquía de operaciones. 16x2 − 9y2 − 192x + 576y − 8640 = 0

16(x2 − 12x) − 9(y2 + 64y) = 8640

16(x2 − 12x + (12/2)2) − 9(y2 + 64y + (64/2)2) = 8640 + 16(12/2)2) − 9(64/2)2

situación problema


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Actividad individual.

La imagen presenta una estructura de un tanque elevado en forma de hipérbola, y se representa por la ecuación de la forma general que se puede escribir

x2 – 3y2 – 4x + 12y – 11 = 0(Expresada en metros).

Transforma la ecuación a su forma ordinaria, determina sus elementos y gráfica.


Ecuación:

Agrupa términos:

Factoriza y completa el cuadrado:

Ahora termina el procedimiento en tu cuaderno.

Fuente:http://3.bp.blogspot.com/_ghRVEnKOyyE/SjhGZw-hbcI/AAAAAAAAATg/SJSX6njwQbk/S220/hiperbola+torre.jpg


V(h,k).• Jerarquía de operaciones.

x2 – 3y2 – 4x + 12y – 11 = 0

(x2 – 4x) + (– 3y2 + 12y) = 11

Realiza, con la ayuda del software Graphmatica, el siguiente dibujo y utiliza los conocimientos de este módulo.

PROCEDIMIENTO1. En una hoja milimétrica realiza los trazos que vas graficar en Graphmatica (utiliza solo

rectas y circunferencias)2. Obtén todas y cada una de las coordenadas que utilizarás para obtener las ecuaciones de

las rectas y de las circunferencias. 3. Ten presente que las rectas debes de limitar su trazo (dominio).4. El total de ecuaciones que deben obtener es de 11.5. Al tener todas las ecuaciones, ingrésalas al software Graphmatica. 6. Guarda tu imagen con el nombre de Integradora 2 en tu carpeta de evidencias. 7. Colorea tu diseño en Paint.

actividademplenado tics

situación problema


157


Analiza y reflexiona (de manera individual o en equipo de cuatro personas) la siguiente situación problema presentada por el maestro: en un parque recreativo, Paco observó un banco de piedra con dos piezas entrecruzadas de forma hiperbólica, como se muestra en la figura, le agradó el diseño para reproducirlo en madera; con los conocimientos que tienes de la hipérbola, (primero en tu libreta), ayuda a Paco a determinar los elementos más importantes para poder reproducirlo adecuadamente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano mostrado.

b) Centro.c) Vértices.d) Lado recto.e) Eje mayor.f) Eje menor.g) Excentricidad.h) La ecuación ordinaria y general de la

hipérbola.



• Elabora, en equipo, un resumen, incluye las conclusiones obtenidas en la discusión grupal.

Agrega además las hipótesis de solución del problema mencionado.

Comenten, entre los compañeros del equipo, la forma en que se puede resolver el problema y elabora individualmente o en equipo un mapa conceptual o un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema.


i) Ahora si consideras el sistema de referencia en el centro del relieve, cuál es la ecuación canónica.

j) Por último, cómo trazarías la hipérbola en la pared, para colocar la figura exactamente como se muestra en la figura.

• Operaciones con números reales.• Trazo del plano cartesiano.• Ecuación de la parábola

con vértice en V(h,k).• Jerarquía de operaciones.




• Proponer hipótesis.• Identificar las variables.• Plantear ecuaciones. • Realizar operaciones.• Resolver la operaciones.• Comparar cantidades.• Verificar hipótesis.

y

x

0

20 cm

Distancia entre vértices25 cm

Punto de cruce entre las dos piezas

situación problema


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Contesta con tus compañeros de equipo las preguntas antes expuestas y complementen los cálculos faltantes:


Resumen de los principales conceptos vistos en la actividad.• Elabora, de manera individual, un bosquejo (de la

gráfica) de la situación problema, con base en la información.

• Elabora, de manera individual o colectiva (el número de integrantes que el profesor indique), un diagrama de flujo o un esquema con todos los pasos que consideren necesarios para resolver la situación problema.

• Integra este producto. La evaluación se realiza de acuerdo con las instrucciones del profesor, en el portafolio de evidencias.Conocimientos: comprensión, planteamiento y solución de ecuaciones.Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo.Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y obtener las ecuaciones correspondientes.Evidencia del desempeño: integra este producto, se evaluará de acuerdo con las instrucciones del profesor, en el portafolio de evidencias.

Actividad en equipo.

En la figura se muestra un conducto de forma hiperbólica por donde pasa un fluido, en el cual el origen del sistema de referencia coincide con el centro de la parte estrangulada del conducto; el diámetro mayor es de 12 centímetros; el menor, de 4 centímetros y el ancho de reducción o parte estrangulada es de 18 centímetros; con los datos proporcionados determina lo siguiente:


Plantea y desarrolla el problema en tu cuaderno:

b) Centro, vértice y foco.c) La ecuación canónica y general de la

hipérbola.d) El valor del lado recto.e) Ecuación de las asíntotas.

EVALUACIÓN

situación problema


159

EVALUACIÓN

En la figura se muestra una lámpara, de tal forma que la iluminación proyectada tiene forma hiperbólica. Considera el centro fuera del origen del sistema de referencia y una de las ramas de la hipérbola pasa por el origen O(0,0); con los datos proporcionados determina lo siguiente:

a) En tu cuaderno traza un esquema (bosquejo) de la situación problema, de acuerdo con la figura y el plano cartesiano, utiliza una escala.


Con los datos proporcionados determina:b) Vértices y focos. c) El valor del lado recto.d) Ecuación de las asíntotas.

La imagen presenta una estructura de un tanque elevado en forma de hipérbola, la cual está representada por la ecuación de la forma general que se puede escribir:

9x2 – 4y2 – 18x – 16y + 29 = 0(Expresada en metros).

Transforma la ecuación a su forma ordinaria.


Fuente: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/ 4080020/Lecciones/Imagenes/figura%207.2..JPG

situación problema

situación problema


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ias

RÚBRICA


Identifica, ordena e interpreta los datos explícitos e implícitos en una situación problema, considerando el contexto en el que se generó.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.



EVALUACIÓN TOTAL



161

En este módulo se desarrolló, primero, la aplicación de la ecuación canónica de la hipérbola; después la ordinaria y por último la general; los ejercicios se aplicaron a situaciones de contexto reales y desde luego que el alumno vea que sí tiene aplicación real y de una forma más tangible para poder desarrollar procesos y planteamientos de situaciones que tienen que ver con su entorno y la forma en que los puede representar; se aplicó un modelo matemático en donde se identificaron, ordenaron e interpretaron los datos explícitos e implícitos en una situación problema y se consideró el contexto en el que se generó.

El alumno construyó e interpretó modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos o geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales con un modelo hiperbólico.

Formuló y resolvió problemas matemáticos, aplicó diferentes enfoques. Esta actividad fue importante, porque el alumno desarrolló su pensamiento crítico, analítico y reflexivo de las situaciones de contexto, que se presentaron mediante los modelos presentados en este módulo, a través del planteamiento de un modelo de la hipérbola.

resumen

R


162

M5

basa

do en

comp

etenc

ias

bibliografía

Para el alumno




Para el docente





Para el alumno




Para el docente




MESOGRAFÍA







geometrÍa analÍtica - dia.diauaemex.comdia.diauaemex.com/geometria analítica cbu 2009.pdf · en...

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