8 geometria analítica - mates4teso.files.wordpress.com · dibuixa dos vectors equivalents i dos de...

327� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

Geometria analítica8INTRODUCCIÓ

Els vectors s’utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.

En aquesta unitat s’introdueixen també les diferentsequacions de la recta i com identificar el vectordirector, el pendent i l’ordenada a l’origen.

RESUM DE LA UNITAT

• Vector: AB� = (b1 − a1, b2 − a2)

• Mòdul: ⏐AB�⏐ =

• Equacions de la recta:

Vectorial: (x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)

Paramètriques:

Contínua:

Punt-pendent: y − b = m(x − a)

Explícita: y = mx + n

General: Ax + By + C = 0

x a

v

y b

v

−=

−

1 2

x a tvy b tv

= += +

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1

2

( ) ( )b a b a1 12

2 22− + −

1. Identificar els elementsd’un vector.

2. Efectuar operacions amb vectors.

3. Expressar les rectesmitjançant les sevesdiferents equacions.

4. Posicions relatives de dues rectes.

• Coordenades d’un vector.

• Mòdul, direcció i sentit.

• Vectors equivalents i paral·lels.

• Suma i resta de vectors.

• Multiplicació d’un vector per un nombre.

• Suma d’un punt i un vector.

• Equacions vectorial i paramètriques d’una recta.

• Equacions contínua i punt-pendent.

• Vector director, pendent i ordenada a l’origen de la recta.

• Equacions explícita i general.

• Rectes paral·leles, coincidents i secants.

• Rectes paral·leles als eixos de coordenades.

• Càlcul del mòdul d’un vector a partir de les seves coordenades.

• Identificació de vectors equivalents i paral·lels.

• Operacions amb vectors gràficament i analíticament.

• Operacions amb punts i vectorsgràficament i analíticament.

• Expressió de les diferents equacionsd’una recta: vectorial, paramètriques,contínua, punt-pendent, explícita i general, donats dos dels seus punts.

• Obtenció del vector director, del pendent i de l’ordenada a l’origen d’una recta.

• Estudi de la posició relativa de duesrectes.

• Identificació de rectes paral·leles als eixos de coordenades.

OBJECTIUS CONTINGUTS PROCEDIMENTS

327

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 327

Quines són les coordenades i el mòdul dels vectors següents?

Donats els punts A(3, 6), B(−3, 0), C (0, −5) i D(−2, 7), representa i calcula les coordenades i el mòdul dels vectors AB�, BC�, CD� i DA�.

2

1

Calcula les coordenades i el mòdul del vector següent:

Origen: A (2, 2)

Extrem: B (−3, −1)

Coordenades: AB�(−3 − 2, −1 − 2) = (−5, −3)

Mòdul: ⏐AB�⏐ = ( ) ( )− + − = + =5 3 25 9 342 2

328 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

OBJECTIU 1

IDENTIFICAR ELS ELEMENTS D’UN VECTOR8NOM: CURS: DATA:

EXEMPLE

A

1 X

Y

1

1 X

Y

1

1 X

Y

1

B

B AD

CE

F

G

H

I

J

• Vector: segment orientat AB� determinat per dos punts: A (a1, a2), origen del vector, i B (b1, b2), extrem del vector.

• Coordenades del vector: AB� = (b1 − a1, b2 − a2)

• Mòdul: ⏐AB�⏐ = ( ) ( )b a b a1 12

2 22− + −

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 328

Dibuixa dos vectors equivalents i dos de paral·lels, però que no siguin equivalents, a cadascun dels vectors donats. Demostra’n numèricament l’equivalència.

Dibuixa els vectors AB� i BA�, en què A(4, −1) i B(−5, 0), i contesta les qüestions següents:

a) Són equivalents?

b) I paral·lels?

c) Tenen la mateixa direcció?

d) Com són els seus sentits?

e) Quins són l’origen i l’extrem de cadascun?

f) Calcula’n els mòduls.

4

3

Determina si aquests vectors són equivalents:

AB� = (−2 − (−4), 3 − 2) = (2, 1)

CD� = (2 − 0, 2 − 1 = (2, 1)

EF� = (−1 − 3, −3 − (−1)) = (−4, −2)

AB� i CD� tenen les mateixes coordenades; per tant, són equivalents.

Les coordenades de EF� són proporcionals a les coordenades

de AB� i CD�: .

Els vectors AB�, CD� i EF� són paral·lels.

2

4

1

2−=

−

EXEMPLE

1 X

Y

1

A

BD

C

E

F

AF

D

C

EB

• Direcció d’un vector és la recta sobre la qual està situat el vector.

• Sentit d’un vector és la manera de recórrer el segment AB, és a dir, de fixar l’origen i l’extrem.

• Vectors equivalents són els que tenen el mòdul, la direcció i el sentit iguals; per tant, les seves coordenades també són iguals.

• Vectors paral·lels són els que tenen la mateixa direcció, i les coordenades són proporcionals.

2 X

Y

2

1 X

Y

1


8

AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 329

Les coordenades dels punts A, B, C i D són:

A (−1, 3) B (0, 6) C (4, −7) D (−4, 0)

Calcula el resultat d’aquestes operacions:

a) AB� + CD� b) AB� − CD� c) CD� − AB� d) AB� − AB� e) CD� + CD� f) –AB� − CD�

Troba gràficament el vector suma u�+ v� i el vector diferència u�− v�.2

1

Donats els vectors u� i v�de la figura, calcula gràficament i per coordenades els vectors u�+ v� i u�− v�.


8NOM: CURS: DATA:

EXEMPLE

OBJECTIU 2

EFECTUAR OPERACIONS AMB VECTORS

v�

u�

v�

u�

Vector equivalent a v�

Vector equivalent a u�

Vector equivalent a u�

Vector equivalent a v�

u� − v�u� + v�

• Per sumar gràficament dos vectors u� i v�, n’agafem un, u�, i amb origen al seu extrem dibuixem un vector equivalent a v�. La suma u� + v�és un altre vector que té d’origen l’origen de u�, i l’extrem és l’extrem de v�.

• En coordenades, si les coordenades de u� són (u1, u2) i les coordenades de v�són (v1, v2), el vector suma és: u� + v�= (u1 + v1, u2 + v2)

• Per restar gràficament dos vectors u� i v�, agafem vectors que hi siguin equivalents i que tinguin el mateix origen, i la diferència és un altre vector que té com a origen l’extrem de v�, i, com a extrem, l’extrem de u�.

• En coordenades, si les coordenades de u� són (u1, u2) i les coordenades de v�són (v1, v2), el vector diferència és: u� − v�= (u1 − v1, u2 − v2)

u� = (1 − (−1), 2 − (−1)) = (2, 3)v�= (−3 − (−2), 4 − 2) = (−1, 2)u� + v�= (2 + (−1), 3 + 2) = (1, 5)u� − v�= (2 − (−1), 3 − 2) = (3, 1)

2 X

Y

X

Y

X

Y

2

1 X

Y

1

1 X

Y

1

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 330

Resol els apartats següents:

a) Si A(3, −4) i el vector u�= (−3, 5), calcula les coordenades del punt B = A + u�, i representa el resultat gràficament.

b) Si A' (−3, 0) és el traslladat de A pel vector v�, quines són les coordenades de v�?

a) B = A + u�= (3, −4) + (−3, 5) = (3 + (−3), −4 + 5) = (0, 1)

b) A' = A + v�→ (−3, 0) = (3 + v1, −4 + v2) → v1 = −6 y v2 = 4

Donat el vector u�, d’origen A(2, −1) i extrem B(3, −2), calcula gràficament i analíticament el producte de u� pels nombres 2 i −1.

u�= AB� = (3 −2, −2 − (−1)) = (1, −1)

2u�= 2 ⋅ (1, −1) = (2, −2)

(−1)u�= (−1) ⋅ (1, −1) = (−1, 1)

EXEMPLE

(−1)u�

2u�

u�

EXEMPLE

B

A

• Per multiplicar un vector u�per un nombre real k, multipliquem el mòdul del vector pel nombre real i mantenim la direcció del vector. El sentit serà el mateix si k és positiu, i contrari si k és negatiu.

• En coordenades, si u�= (u1, u2), el producte d’un nombre real k per un vector u� el calculem multiplicantcada coordenada pel nombre k.

• La suma d’un punt A més un vector u� és un altre punt B que resulta de traslladar el punt Asegons el vector u�.

• En coordenades, si A(a1, a2) i u�= (u1, u2), la suma és el punt B(b1, b2) = (a1 + u1, a2 + u2).

Si sabem que A(−3, 3) i B(−1, 5), calcula gràficament i analíticament k ⋅ AB.

a) k = 2

b) k = −4

c) k =

d) k = 3

1

2

3

Si traslladem el punt A pel vector u�per obtenir el punt B, calcula els valors de x i y. Representa els punts traslladats.

a) A(0, −5) u�(x, y ) → B(5, 0)

b) A(−3, x) u�(4, 3) → B(y, 2)

4

1 2

A

B

X

Y

1

1 X

Y

1

2 X

Y

2


8

AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 331


OBJECTIU 3

EXPRESSAR LES RECTES MITJANÇANT LES SEVES DIFERENTS EQUACIONS8NOM: CURS: DATA:

Donats els punts A(−2, 5) i B(−1, 1) d’una recta:

a) Calcula l’equació vectorial i les equacions paramètriques.b) Estudia si el punt C(−1, 9) pertany a la recta.

Com que la recta passa pels punts A i B, podem agafar com a vector director de la recta v�= AB� = (−1 − (−2), 1 − 5) = (1, −4).

a) Les equacions que ens demanen són:

• Equació vectorial: (x, y ) = (−2, 5) + t ⋅ (1, −4)

• Equacions paramètriques:

b) En les equacions paramètriques substituïm les coordenades del punt C per x i y: .

Aïllem t en les dues equacions: . Com que en els dos casos obtenim el mateix valor,

determinem que C(−1, 9) pertany a la recta.

t

t

= − + =

= −−

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

1 2 19 5

41

− = − += −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1 29 5 4

tt

x ty t

= − += −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

25 4

EXEMPLE

Donada aquesta equació vectorial d’una recta: (x, y) = (4, 8) + t ⋅ (−3, 5), indica un punt d’aquesta recta i el seu vector director.

Escriu l’equació vectorial i les equacions paramètriques de la recta que passa pels punts A(−5, 2) i B(0, 1).

Estudia si els punts A(7, 4), B(1, 2) i C (0, 0) pertanyen o no a la recta: x ty t

= +=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 223

2

1

• Si A(a, b) és un punt de la recta, v�= (v1, v2) és un vector de la recta i t és un nombre real, podem obtenir qualsevol punt P(x, y ) de la recta amb l’equació vectorial:

(x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)

• El vector v�= (v1, v2) s’anomena vector director de la recta.

• Les equacions paramètriques de la recta són: x a t vy b t v

= += +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⋅⋅

1

2

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 332

Donada la recta expressada en forma vectorial: (x, y) = (2, 1) + t ⋅ (4, 3)

a) Troba’n les equacions en forma contínua, punt-pendent i explícita.b) Indica’n el pendent i l’ordenada a l’origen.

a) Un punt de la recta és A(2, 1), el seu vector director és v�= (4, 3), i l’equació contínua

és: . Si multipliquem en creu, tenim que 4(y − 1) = 3(x − 2), i obtenim l’equació

punt-pendent de la recta: y − 1 = (x − 2)

Per acabar, aïllem y, i operem per obtenir l’equació explícita de la recta:

y − 1 = →

b) El pendent és i l’ordenada a l’origen és .n = −1

2m =

3

4

y x= −3

4

1

2

3

4

3

2x −

3

4

x y−=

−2

4

1

3

EXEMPLE

Si A(a, b) és un punt concret de la recta, v�= (v1, v2) és el seu vector director i P(x, y) és un punt genèric,tenim les equacions de la recta següents:

• Equació contínua:

• Equació punt-pendent: y − b = m(x − a)

• Equació explícita: y = mx + n

• és el pendent de la recta i és l’ordenada a l’origen.n = bv

va− 1

2

m = v

v1

2

x av

y bv

− = −

1 2

Donada la recta del gràfic, determina’n:

a) Les coordenades de dos punts.

b) El vector director.

c) L’equació contínua.

Expressa l’equació que passa pel punt A(1, −2) i que té de vector director v�= (−1, 1) mitjançant les seves equacions:

a) Punt-pendent.

b) Explícita.

5

4

1 X

Y

1


8

AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 333


8NOM: CURS: DATA:

Resol els apartats següents:

a) Troba l’equació general de la recta que passa pels punts P(1, −2) i Q(0, 3).b) Indica’n el pendent i l’ordenada a l’origen.

a) Calculem el vector director: PQ� = (0 − 1, 3 − (−2)) = (−1, 5) = (B, −A)

Per tant, −5x − y + C = 0

Per trobar el valor de C substituïm un dels punts donats, per exemple, Q(0, 3), i aïllem C: −5 ⋅ 0 − 3 + C = 0 → C = −3

L’equació general o implícita de la recta és: −5x − y − 3 = 0

b) El pendent és i l’ordenada a l’origen és .n =−

= −3

13m =

−= −

5

15

EXEMPLE

Calcula l’equació general de la recta que passa pels punts A(2, 2) i B(−2, 3).

A partir de l’equació 2x − 3y + 2 = 0 d’una recta, troba’n el vector director, el pendent i l’ordenada a l’origen.

Quina és l’equació general o implícita de la recta que té com a equació explícita y = 3x + 4?

Donada l’equació −2x + y − 8 = 0 d’una recta, escriu-ne l’equació punt-pendent.9

8

7

6

L’equació general o implícita de la recta és de la forma:

Ax + By + C = 0

en què A, B i C són nombres reals.

El vector director de la recta és v�= (B, −A).

El pendent de la recta és .

L’ordenada a l’origen o punt de tall amb l’eix Y és .nC

B=

−

mA

B=

−

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 334

OBJECTIU 4

POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES

Estudia la posició relativa dels parells de rectes següents:

a) r : b) r : y = 5x − 2

s: x − 3y − 12 = 0 s: (x, y) = (2, −1) + t (−2, 1)

a) El vector director de r és (3, 1) i el vector director de s és (−3, −1). Els vectors directors

són proporcionals: .

Per comprovar si les rectes són paral·leles o coincidents, agafem el punt (−2, 0) de r i el substituïm a s per veure si es compleix o no la seva equació: −2 − 3 ⋅ 0 − 12 � 0, i deduïm que no pertany a s. Les rectes r i s són paral·leles.

b) El pendent de r és m = 5 i el vector director de s és v�= (−2, 1), per tant, el pendent

de s és . Les rectes r i s són secants.m' =−

= −1

2

1

25�

1

3

1

3=

−−

x y+ =23 1

EXEMPLE

POSICIONS VECTORS DIRECTORS PENDENTS EQUACIÓ GENERAL

Paral·leles (igual direcció i sense punts comuns)

ProporcionalsIguals

m = m'

Coincidents (igual direcció i tots els punts comuns)

ProporcionalsIguals

m = m'

Secants (diferent direcció i un punt en comú)

No proporcionalsDiferents

m � m'

A

A

B

B

C

C' ' '= �

A

A

B

B

C

C' ' '= =

A

A

B

B' '�

Escriu l’equació d’una recta paral·lela a la recta r : y = −x + 5 que passi pel punt (0, 0) de totes les formes indicades:

a) Vectorial. b) Punt-pendent. c) General.

Escriu l’equació d’una recta secant a la recta r : y = −x + 5 que passi pel punt (0, 0) de totes les formes indicades:

a) Vectorial. b) Punt-pendent. c) General.

2

1

=u2�

u1�v2�

v1�

=u2�

u1�v2�

v1�

�u2�

u1�v2�

v1�

NOM: CURS: DATA:


8

AD

AP

TAC

IÓ C

UR

RIC

ULA

R

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 335


8

Expressa la recta que passa pels punts A(0, 3) i B(4, 3) mitjançant les seves equacions:

a) Vectorial. b) General.

a) El seu vector director és AB� = (4 − 0, 3 − 3) = (4, 0), i passa per qualsevol dels punts donats, per exemple, per A. L’equació vectorial és: (x, y ) = (0, 3) + t ⋅ (4, 0)

b) Com que els dos punts donats tenen com a segona coordenada 3, l’equació general és: y = 3.

EXEMPLE

Estudia la posició relativa dels parells de rectes següents:

a) r : b) r : y = 2x − 1 c) r : −3x − 3y + 3 = 0

s: x + 2y − 1 = 0 s: y − 3 = −(x + 2) s: x + y + 2 = 0

x y+=

−−

1

4

1

2

3

Escriu l’equació general i les paramètriques de les rectes següents:

Expressa les rectes següents mitjançant les equacions vectorial i explícita:

a) Paral·lela a l’eix Y, i que passa pel punt .

b) Paral·lela a l’eix X, i que passa pel punt B(0, 7).

A −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

3

20,

5

4

Donada la recta que passa per un punt A(a, b), que té com a vector director v�= (v1, v2), si una de les sevesdues coordenades és zero, la recta és paral·lela a un dels eixos de coordenades.

• Si v1 � 0 i v2 = 0, l’equació de la recta és y = b. És una recta paral·lela a l’eix X.

• Si v1 = 0 i v2 � 0, l’equació de la recta és x = a. És una recta paral·lela a l’eix Y.

Les rectes paral·leles als eixos no es poden expressar mitjançant una equació en forma contínua, ja que una de les coordenades del seu vector director és zero.

s

r

t X

Y

830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 336

8 geometria analítica - mates4teso.files.wordpress.com · dibuixa dos vectors equivalents i dos de...

Documents