������ ������

����������������������������

LA_MATES_3ESO_1T_CAT_830048.indd 1 15/02/11 13:58

ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

1

CONTINGUTS1. Fraccions

1.1. Fraccions equivalents

2. El conjunt dels nombres racionals2.1. Concepte de nombre racional2.2. Representació i ordenació dels nombres

racionals2.3. Nombres racionals i nombres decimals

3. Operacions amb nombres racionals3.1. Suma, resta, multiplicació i divisió3.2. Potenciació i radicació3.3. Operacions combinades

4. Percentatges

Competènciamatemàtica

• Efectuar càlculs ambnombres racionals endiferentssituacions.

• Utilitzar el càlcul mental com a eina per a agilitarles operacions aritmètiques.

Competència en comunicació lingüística

• Organitzar la informació i integrar-la amb els conei-xements propis.

Competència per a aprendre a aprendre

• Utilitzar amb eficiència recursos, tècniques iestratègies per a nous aprenentatges i garantir-nel'eficàcia.

COMPETÈNCIESBÀSIQUES

6

Nombres racionals

Unitat 1

PREPARACIÓ DE LA UNITAT• Els nombres naturals són els nombres que fem servir per acomptar. Aquests formenun conjunt,el conjuntdelsnom-bres naturals que representem amb la lletra �

� : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

• Dosnombresnaturals sónprimers entre ells quanel seuúnicdivisor comú és 1.

• Per a calcular el M.C.D. de dos o més nombres se'n multi-pliquen els factors primers comuns elevats al menor ex-ponent.

• Per a calcular el m.c.m. de dos o més nombres se'n multi-pliquen els factors primers comuns i no comuns, elevats almajor exponent.

• El conjunt dels nombres enters es representa amb lalletra � i està format pels nombres naturals precedits designe i el 0.

� : {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

• Una fracció és l'expressió d'una divisió entre dos nom-bres: el numerador i el denominador.

Així doncs,

Qualsevol fracció és un nombre decimal limitat o il·limitatperiòdic.

Decimals limitats: −3,9; 4,25; 0,832…

Decimalsil·limitatsperiòdics

1 5 15

: =

7Nombres racionals

En general, les pel·lícules de cinema s'enregistren a 24 fotogrames persegon. És a dir, en un segon s'enregistren 24 imatges, que després, quanes projecten, aconsegueixen generar la sensació de moviment a lapantalla. Quants segons dura un fotograma? Quants fotogrames hi haen un minut?

— En el cinema mut la freqüència d'enregistrament era aproximada-ment de 17 fotogrames per segon. En aquest cas, quants fotogrameshi ha en un minut?

Mixtos: …9 7415, �

Purs: …0 23,�

8 Unitat 1

Una fracció és tota expressió amb la forma en què a i b són nombresenters i b ≠ 0.

Tota fracció està formada per dos termes:

ab

NumeradorDenominador

ab

1. FraccionsNo n'hi ha prou, amb els nombres enters, positius i negatius, per a expressarquantitats que es presenten habitualment. Així, per exemple, per a repartir unlitre de taronjada entre cinc amics cal fer la divisió 1 : 5 que pot expressar-semitjançant la fracció .1

5

RECORDA

Les fraccions, igual queels nombres enters,poden ser positives o negatives.

Tota fracciópositiva es pot expressar comelquocientdedosnombres enters, totsdospositius o tots dos negatius.

Tota fracciónegativaespot expressar comel quocient de dos nombres enters, un depositiu i un altre de negatiu.

− =−

= −23

23

23

++

= −−

=916

916

916

Una fracció es pot interpretar de tres maneres diferents:

Les fraccions es poden classificar en:

• Fraccions pròpies: fraccions més petites que la unitat.

• Fraccions iguals a la unitat:

→

• Fraccions impròpies: fraccions més grans que la unitat

→ 1 unitat +

Les fraccions amb signe es poden representar sobre la recta demanera semblanta la representació dels nombres enters.

–1 135

14

0–

33

1=

13

43

13

FRACCIÓ COM A PARTD'UN TOT O D'UNA UNITAT

FRACCIÓ COM A DIVISIÓENTRE DOS ENTERS

FRACCIÓ COM A RAÓDE MESURA

Quan diem que hem estat esperant durantun quart d'hora, això vol dir que hem dividitl'hora en 4 parts i el temps d'espera correspona una d'aquestes parts.

Per a repartir 2 L de taronjada entre cinc amicsfem la divisió 2 : 5.

2 525

0 4: ,= = L

La longitud de AB és de la longi-tud de CD.

C D

A B

35

9Nombres racionals

1.1. Fraccions equivalentsDues fraccions equivalents representen la mateixa part de la unitat i verifi-quen que el producte en creu dels seus termes dóna el mateix resultat.

Per a obtenir una fracció equivalent a una fracció determinada, podem procedirde duesmaneres, a partir de la propietat fonamental de les fraccions equivalents:

Si dividim, aconseguim simplificar la fracció. Tota fracció es pot simplificarfins a arribar a la fracció irreductible.

Vegem els diferents procediments per a calcular la fracció irreductible equiva-lent a una fracció donada.

Multipliquem el numerador i el deno-minador per unmateix nombre enterdiferent de 0.

Dividim el numerador i el denomina-dor per un mateix nombre enter di-ferent de 0.

812

2436

· 3· 3

812

46

: 2: 2

46

812

2436

■ Fraccions equivalents

Les fraccions i són equivalents si es compleix: a ⋅ d = b ⋅ ccd

ab

FIXA-T'HI

Dues fraccions, positives o negatives, sónequivalents si representen el mateix puntsobre la recta.

–1 +126

046

–

13

23

–

Una fracció s'anomena irreductible si el numerador i el denominador sónnombres primers entre ells.

Dividim successivament el numeradori el denominador entre divisors comunsde tots dos fins a obtenir-ne la fraccióirreductible.

10501260

105126

3542

56

= = =

Descomponem el numerador i el denomina-dor en factors primers.

Dividim el numerador i el denominador pelsfactors primers.

10501260

2 3 5 5 72 2 3 3 5 7

56

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

Calculem el M.C.D. dels termes de la fracció.

Dividim el numerador i el denominador pelseu M.C.D.

M.C.D. (1050, 1260) = 210

10501260

1050 2101260 210

56

= =::

1. S'han de repartir 2 pans i 4 salsitxes, a parts iguals, entre 3comensals. Com duries a terme el repartiment?

2. Determina si les fraccions següents són equivalents.

a) i c) i e) i

b) i d) i f ) i

3. Simplifica aquestes fraccions fins a obtenir les fraccions irre-ductibles equivalents.

— Explica quin procediment has fet servir.

4. Si tensdues fraccionsqualssevol i en trobes les fraccions irre-ductibles corresponents, pots determinar a partir d'aques-tes si les fraccions inicials són equivalents? Justifica la tevaresposta.

4298

72168

10263

7242

34119

828

8109

682

− −−

−2436

105540

4218

342285

173252

360480

1, , , , , ,

888705−

6048

3528

2149

1535

:10 :3 :7

CB

ACTIVITATS

FIXA-T'HI

Hem vist que totes les fraccions equiva-lents representen el mateix punt sobre larecta.

Així doncs, cada nombre racional es cor-respon amb un sol punt sobre la recta.

0 1

69

=46

=23

FIXA-T'HI

Els nombres enters són un cas particularde nombres racionals, el representantcanònic dels qualsl té denominador 1.

a =a1

2. El conjunt dels nombresracionals

Ja coneixes el conjunt dels nombres naturals� i el dels nombres enters�. A con-tinuació definirem un nou conjunt que englobi les fraccions.

2.1. Concepte de nombre racionalDonada una fracció qualsevol podem calcular-ne infinites fraccions equivalents.

Cadascuna de les fraccions que formen un nombre racional és un represen-

tant d'aquest nombre. Així, les fraccions representen el mateix nom-

bre racional.

Així doncs:Nombre racional Representant canònic

→

→

Tot i quepodemrepresentar unnombre racionalmitjançant qualsevol de les frac-cions que el formen, és habitual fer servir el representant canònic.

El conjunt dels nombres racionals esdesigna mitjançant la lletra �.

Aquest conjunt inclou el dels nombresenters � i, per tant, el dels nombresnaturals �.

−32

−−

−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

32

32

64

1812

, , , ...

23

23

46

69

1015

1218

, , , , ...−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

23

46

69

, , ...

FRACCIÓ FRACCIONS EQUIVALENTS

1218

23

46

69

1015

, , , ...−−

− 2114

−−

−−

32

32

64

1812

, , , ...

El conjunt format per una fracció i totes les seves fraccions equivalents és unnombre racional.

5. Determina el representant canònic de cadascun dels nombresracionals següents.

84

103236

3025

312

54180

33187

, , , , ,−

−

6. Quants nombres racionals diferents hi ha enaquesta sèrie?

−−

12036

3220

288180

15045

1426

8855

, , , , ,

El representant canònic d'un nombre racional és la fracció irreductible dedenominador positiu, representant d'aquest nombre.

ACTIVITA

TS

10 Unitat 1

7. Representa gràficament aquests nombres racionals.

8. Ordena de major a menor aquests nombres racionals.

9. Escriu cinc nombres racionals compresos entre

i .

Indicació: pots tenir en compte que la semisuma de dosnombres (el resultat de la seva suma dividit entre 2) sempre seràigual a un nombre comprès entre tots dos i situat en el punt mitjàdel segment que determinen.

23

13

11110

56

23

45

32

, , , , ,− −

56

125

73

47

, , ,− −

2.2. Representació i ordenaciódels nombres racionals

Per a representar un nombre racional sobre la recta seguim el procedimentsegüent:

— Considerem el representant canònic del nombre racional.

— Fem la divisió entera del numerador entre el denominador. El quocientd'aquesta divisió determina els dos nombres enters que són extremsdel seg-ment on es col·locarà el nombre racional.

— Dividim el segment determinat per aquests dos nombres enters en tantesparts com indica el denominador de la fracció i prenem tantes parts comindica el residu de la divisió.

Observa que si el nombre racional és positiu, quedarà situat a la dreta del 0 i, siés negatiu, a l'esquerra.

Quan ordenem dos nombres racionals, els podrem comparar si els represen-tem sobre la recta i n'observem les posicions relatives.

34

35

– 104

– 104

– = 52

– ;

0 1 –1 0 0–3 –2 –135

–34 10

4–

51

22

12

–2 i – 3

Si es troba a la dreta de , es verifica .ab

cd

>cd

ab

–1 +1034

12

34

–

34

12

034

> > > −

RECORDA

Per adividir un segment enparts igualspodem recórrer al mètode deTales:

—Dibuixem el segment a i tracem unasemirecta des d'un dels seus extrems.Sobre la recta situem, consecutivament,un mateix segment b de longitud ar-bitrària, tantes vegades com divisionsvolem fer.

— Unim l'extrem lliure de l'últim segmentb amb l'extrem lliure del segment a i, totseguit, tracem projeccions paral·lelesdes dels extrems de cada segment b.

b

b

b

b

a

Comparació de nombresracionals

Podem comparar nombres racionalssense haver de representar-los sobre larecta.Per a comparar nombres racionals ambdenominador diferent, en primer llocen determinem els representants canò-nics, els reduïm a comú denominadori comparem les fraccions obtingudes. Sidues fraccions tenen el mateix denomi-nador positiu, és més gran aquella ambel numerador més gran.

Així doncs: perquè 20

15

18

15>

4

3

6

5>

Accedeixa lapàginawww.youtube.com/watch?v=G6sNHZNMM5o on trobaràsunvídeoexplicatiudecomdividirunseg-ment en parts iguals mitjançant el mè-tode deTales.

@

ACTIVITATS

11Nombres racionals

10. Escriu els nombres decimals següents, tot indi-cant-ne el període, i classifica'ls en periòdics purso mixtos.

21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454...,0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....

11. Classifica en limitats i il·limitats els nombres decimals següents:

; 0,42; 21,53; .

— Classifica en purs o mixtos els nombres decimals il·limitatsperiòdics.

2 424242 3 25 1 425 2 143, ...; , ; , ; , . −0 4,�

12

2.3. Nombres racionals i nombres decimalsTot nombre racional es pot expressarmitjançant una fracció i aquesta, al seu torn,com a nombre decimal.

Totes les fraccions equivalents d'una mateixa fracció es corresponen amb el ma-teix nombre decimal.

Expressió decimal d'un nombre racional

Quan busquem l'expressió decimal d'un nombre racional es poden donarels casos següents:

Així doncs, podem classificar els nombres racionals de la manera següent:

ab

23

23

46

69

812

23

0 6666666666, , , , , ... ,−−

→ →⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

....

Unitat 1

El residu de la divisió a : b és 0després de treure'n una o més xi-fres decimals.

Obtenim un nombre decimal li-mitat.

1,4; 7,25

77 55220 1,400

29 410 7,25200

El residu de la divisió a : bmai no és 0, independentment dels decimals que en traguem.

Com que el residu ha de ser menor que el divisor, arribarà un moment en què es repetirà i, pertant, les xifres del quocient també es repetiran.

Així obtindrem un nombre decimal il·limitat periòdic.

15 1140 1,3636...7040704

19 610 3,166...40404

Si el període comença immediatament des-présde la coma, ésunnombredecimal il·limitatperiòdic pur.

1,3636... → 1 36,�

Si el període no comença immediatament des-prés de la coma, és un nombre decimal il·limitatperiòdicmixt.

3,166... → 3 16,�

Tot nombre racional es pot expressarmitjançant elnombredecimalque resultade dividir el numerador entre el denominador de qualsevol dels seus repre-sentants.

Periòdics mixtos

Periòdics pursDecimals il·limitats

Decimals limitats

Nombres racionals

��

Si accedeixes a la pàgina http:// descar-tes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_porcentajes/ Frac-ciones_4.htm podràs fer servir unaminia-plicacióper aesbrinarquantsdecimals, comamàxim, formen el període del nombre de-cimal corresponent a una fracció de deno-minador 11.

@

En un nombre decimal il·limitat i periòdic, les xifres amb el signe són aquelles que es repe-teixen, és a dir, les que formen el període.

(

ACTIVITA

TS

Expressió fraccionària d'un nombre racionalAcabemdeveureque totnombre racional ésunnombredecimal limitat o il·limitatperiòdic.

L'afirmació recíproca tambéés certa, és adir, tot nombredecimal limitat o il·limitatperiòdic és un nombre racional.

El nombre racional corresponent al decimal indicat serà aquell que tingui la frac-ció esmentada com a representant canònic.

7755

1 4294

7 251511

1 36= = =, , , ,196

3 16=

13Nombres racionals

La fracció generatriu d'un nombre decimal limitat o il·limitat periòdic és lafracció irreductible equivalent a aquest nombre decimal.

Troba la fracció generatriudelnombredecimal limitat1,75.

—Anomenem x la fracciógeneratriu:

x = 1,75

—Multipliquem l'expressióde x per la potència de10 necessària per a eli-minar la coma:

100 x = 175

—Aïllem x i simplifiquem lafracció:

Així doncs : 17574

, =

x = =175100

74

EXEM

PLE

1 Troba la fracció generatriu del nom-

bre decimal periòdic pur .

—Anomenem x la fracció generatriu:

—Multipliquem l'expressióde xper lapotència de 10 necessària perquèla coma quedi just després del pri-mer període:

100 x = 1645, 4 545…

—Al'expressióobtinguda restem l'ex-pressió inicial:

100 x = 1645,4545...

− x = 16,4545...

100 x − x = 1629

99 x = 1629

—Aïllem x i simplifiquem la fracció:

Així doncs: 16 4518111

,� =

x = =162999

18111

x = 16 45,�

16,45�

EXEM

PLE

2 Troba la fracció generatriu del nombre deci-

mal periòdicmixt .

—Anomenem x la fracció generatriu:

—Multipliquem l'expressió de x per lapotència de10necessària perquè la comaquedi just després del primer període iper la potència de 10 necessària perquèla coma quedi just abans del primer pe-ríode:

100 x = 46, 6666...

10 x = 4, 6666...

— Restem les dues expressions obtingudes:

100 x = 46, 6666...

−10 x = 4, 6666...

100 x − 10 x = 42

90 x = 42

—Aïllem x i simplifiquem la fracció:

Així doncs: 0 46715

,�

=

x = =4290

715

x = 0 46,�

0,46�

EXEM

PLE

3

FIXA-T'HI

El conjunt dels nombres racionals � és launió del conjunt dels nombres decimals li-mitats i el dels il·limitats i periòdics.

12. Troba l'expressió decimal d'aquests nom-bres racionals.

1311

27

413

56

44

25119

, , , , , ,−

−−−

13. Troba l'expressió fraccionària dels nombres decimals següents.

2,036; ; 9,99; ; ; ; ; ;

— Què passa quan el nombre és periòdic pur de període 9?

0 436, �21 45,�0 9,�

0 016,�

1 203,�9 07632, �75 012,�

Per a comprovar que la fracció obtinguda és la correcta, només hem de divi-dir-ne el numerador pel denominador. ACTIVITATS

14

3. Operacions amb nombresracionals

Hem vist que un nombre racional està format per una fracció i totes les sevesfraccions equivalents. Per a sumar, restar, multiplicar o dividir nombres racionals,prendrem representants d'aquests nombres i operarem com si fossin fraccions.

3.1. Suma, resta, multiplicació i divisióObserva com sumem els nombres racionals següents:

— Triem un representant de cada nombre racional. Podem triar-ne qualsevol;

ara bé, per a agilitzar el càlcul, s'aconsella fer servir els representants canò-

nics, i .

— Sumem aquestes fraccions. Per a fer-ho, reduïm les fraccions al mínim comúdenominador.

El resultat de la suma és el nombre racional del qual és un representant.

Demanera anàloga, per a restar,multiplicar o dividir nombres racionals, operemtambé amb representants de cadascun d'aquests nombres, generalment elscanònics, per la seva senzillesa. Observa els exemples.

610

824

+

35

13

1415

+ =

1415

35

13

915

515

1415

+ = + =

35

13

+

13

35

35

915

= 13

515

= 1415

+ =

610

= 824

=

• − → − = − =

• ⋅ →

2025

46

45

23

1215

1015

215

721

1025

133

25

215

157

615

157

25

157

52

7514

⋅ =

• → = ⋅ =: :

Unitat 1

Per a operar amb nombres racionals es tria un representant de cadascun is'efectua l'operació corresponent.

RECORDA

Reduir fraccions al mínim comú deno-minador significa trobar unes fraccionsnoves, equivalents a les primeres, el de-nominadorde lesquals sigui elmínimcomúmúltipledelsdenominadorsde les fraccionsindicades.

En el cas de i tenim:

m.c.m. (3, 5) = 15

15 3 51 53 5

515

: ;= ⋅⋅

=

15 5 33 35 3

915

: ;= ⋅⋅

=

13

35

Si accedeixes a la pàginawww.homeschoolmath.net/worksheets/fraction_calculator.php podràs fer servir unaminiaplicacióperasumar, restar,multiplicar idividir fraccions.

@

Fraccionsamb calculadora

Algunes calculadores científiques estanpreparades per a operar amb nombresracionals en forma fraccionària. Sónaque-

lles amb la tecla

Observa com fem l'operació

Comprova si la calculadora ha obtingutel resultat correcte.

a1 + 22 5 EXEb/c a b/c

12

25

+ =

ab/c

14. Comprova per mitjà d'exemples cadascuna de les pro-pietats de les operacions ambnombres racionals que apa-reixen en aquesta pàgina.

15. Calcula:

a) c)

b) d)

16. Calcula:

a) b)

17. Troba l'oposat de cadascun dels següents nombres ra-cionals.

−− −

−34

52

12

1217

49

, , , ,

− ⋅ ⋅23

34

56

213

25

− − +

37

215

:320

512

−

− ⋅25

65

2448

3090

+ −

Propietats de la suma i de la multiplicacióLa suma i la multiplicació de nombres racionals tenen una sèrie de propietats,algunes similars a aquelles quehas estudiat per als nombres enters. Observa-lesa continuació.

15Nombres racionals

PROPIETATS DE LA SUMA PROPIETATS DE LA MULTIPLICACIÓ

• Propietat commutativa. Si canviem l'ordre dels sumands, elresultat no varia.

• Propietatassociativa. Enuna sumadediferents sumands, el re-sultat no depèn de la manera en què s'agrupin.

• Element neutre. El 0 és l'element neutre de la suma, ja que,en sumar 0 a qualsevol nombre racional, el resultat és el ma-teix nombre.

• Element oposat.Donat qualsevol nombre racional , existeix

un altre nombre racional anomenat l'oposat, , que sumat al

primer dóna com a resultat l'element neutre.

−ab

ab

ab

ab b

+ − = 0

ab

ab

+ =01

ab

cd

ef

ab

cd

ef

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab

cd

cd

ab

+ = +

• Propietat commutativa. Si canviem l'ordre dels factors, el re-sultat no varia.

• Propietat associativa. En un producte de diferents factors, elresultat no depèn de la manera en què s'agrupin.

• Element neutre. L'1 és l'element neutre de la multiplicació, jaque, si multipliquem per 1 qualsevol nombre racional, el resul-tat és el mateix nombre.

• Elementinvers. Donatqualsevolnombreracionaldiferentde0,

(a≠0), existeix un altre nombre racional anomenat l'invers, , que

multiplicat pel primer dóna coma resultat l'element unitat.

ba

ab

ab

ba

⋅ = 11

ab

ab

⋅ =11

ab

cd

ef

ab

cd

ef

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab

cd

cd

ab

⋅ = ⋅

• Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Per a multiplicar un nombre racional per una suma de nombresracionals, podemmultiplicar el nombre racional per cadascun dels sumands i sumar els resultats obtinguts.

ab

cd

ef

ab

cd

ab

ef

⋅ ⋅ ⋅+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +

CB

CB

ACTIVITATS

18. Efectua:

a) b) c) d)13

15

34

4

⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−13

13

8 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:25

25

3 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

3.2. Potenciació i radicacióEn algunes ocasions, ens podem trobar amb multiplicacions de nombres ra-cionals iguals, com ara la següent:

quatre vegades

Aquest producte es pot expressar com a , i és la potència de base el

nombre racional i exponent el nombre natural 4.

Per a calcular la potència d'unnombre racional, calcularem la potència d'undelsseus representants, generalment el canònic per senzillesa.

Així, per exemple:

Si l'exponent de la potència és un nombre enter negatiu, la podem transfor-mar en una altra amb exponent positiu. Observa:

Les operacions amb potències de base un nombre racional i exponent unnombre enter es fan de manera similar a les operacions amb potències debase una fracció i exponent un nombre enter.

25

ab a

b

ba

n

n

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

= =1

25

2

5

16625

4 4

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

ab

a

b

n n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

25

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

25

25

25

⋅ ⋅ ⋅

Unitat 1

RECORDA

n vegades

ab

ab

ab

ab

a

b

aa

ab

n n

n

nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ ⋅ ⋅ =

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−

...

1

nn nba

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

MULTIPLICACIÓ DE POTÈNCIESDE LA MATEIXA BASE

DIVISIÓ DE POTÈNCIESDE LA MATEIXA BASE POTÈNCIA D'UN PRODUCTE

ab

ab

ab

m n m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⋅ = ab

ab

ab

m n m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

: = ab

cd

ab

cd

n n n

⋅ = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

POTÈNCIA D'UNA POTÈNCIA POTÈNCIA D'EXPONENT 1 POTÈNCIA D'EXPONENT 0

ab

ab

mn

m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

=ab

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

= ab

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

= ≠1 ( 0)

ACTIVITA

TS

CB

Sabemque calcular l'arrel quadradad'unnombre ésbuscar un altre nombreque,elevat al quadrat, sigui igual al primer.

si, i només si

Així, per exemple:

perquè

També podem calcular l'arrel enèsima d'un nombre racional: és el nombre ra-cional que, elevat a la potència enèsima, és igual al primer.

si, i només si

Una arrel d'un nombre racional pot tenir un resultat, dos o cap en funció de laparitat de l'índex i del signe del radicand.

ab

cd

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=cd

ab

n =

23

49

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=49

23

=

ab

cd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=cd

ab

=

17Nombres racionals

19. Efectua si és possible, i raona la teva resposta:

a) b) c) d)

20. Ordena de menor a major aquests nombres racionals:

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−125512

56

1215

34

3

3 2 3

, , , ,55472

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1625

32243

5181

4−2764

3

FIXA-T'HI

Índexdel radical

Radicand Arrel

cd

ab

n =

Arrel343729

79

3 = − = −343729

79

3 1681

23

4 = ± − =1681

4 ?

Paritat de l'índex Imparell Imparell Parell Parell

Signe del radicand + − + −

Nombre d'arrels Una (positiva) Una (negativa) Dues (positiva i negativa) No en té.

Ordena demenor amajor aquests nombres racionals.

Trobem el representant canònic de cadascun dels nom-bres racionals.

Reduïm a mínim comú denominador els representantscanònics.

Finalment, els ordenem de menor a major.

40128

25256

34

1132

516

4 1

= + <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

<⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

<⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

0

256256

88256

81256

80256

80256

, , , ,

11132

81256

516

516

, , , ,

516

1132

34

40128

252

0 1 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+, , , ,556

EXEM

PLE

5

Efectua:

a) L'índex és parell i el signe del radicand és positiu, per tant,tindrà dues arrels, una de positiva i una altra de negativa:

perquè

b) L'índex és imparell i el signe del radicand és negatiu,per tant, tindrà una arrel negativa:

perquè

b) L'índex és imparell i el signe del radicand és positiu,per tant, tindrà una arrel positiva:

perquè

a)144121

b)8

1253 − c)

10000032

5

144121

1211

= ±

102

5 3125100000

32

55⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= = =10000032

55 =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −25

8125

3

− = −8125

25

3

1211

1211

144121

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

EXEM

PLE

4

ACTIVITATS

18

3.3. Operacions combinadesDe la mateixa manera que amb les fraccions, amb els nombres racionals po-dem fer operacions combinades. Aquestes es regeixen per les mateixes nor-mes de prioritat establertes als altres conjunts numèrics:

— Resolució de parèntesis.

— Operació de potències i arrels.

— Multiplicacions i divisions en l'ordre en què apareixen.

— Sumes i restes.

Observa en els exemples següents com efectuar operacions combinades ambnombres racionals.

Unitat 1

RECORDA

abcd

ab

cd

a db c

= : = ⋅⋅

Un consell

A mesura que fas les operacions, sim-plifica sempre que et sigui possible.

D'aquesta manera, faràs servir nombresmés petits i, per tant, les operacions etresultaran més senzilles.

Un consell

En les fraccions enquè tenimoperacionsen el numerador i en el denominador, ésrecomanable resoldreper separat els dostermes per obtenir així una fracció méssenzilla.

D'aquestamanera evitaràs efectuarmol-tes operacions al mateix temps i faràsmenys errors.

Efectua:

En primer lloc, resolem els parèntesis i, després, la resta de les operacions teninten compte la seva prioritat.

43

8 728

15

10 1215

43

1528

15

215

4

3

15

28⋅ + − − = ⋅ − − = ⋅: : ++ ⋅ =1

5

152

= + = + =57

32

10 2114

3114

43

27

14

15

23

45

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

EXEM

PLE

6

Efectua:

—En primer lloc, efectuem separadament les operacions que apareixen en elnumerador i en el denominador del segon membre:

;

— Tornem a escriure l'operació combinada i hi substituïm les operacions delnumerador i del denominador pels valors trobats.

— Resolem les diferents operacions tenint en compte la seva prioritat

143

122110

34

1 10

2 21

34

521

63 2084

8384

+ = + ⋅⋅

= + = + =

143

112

32

35

143

122110

+−

+= +

32

35

2110

+ =112

12

− =

143

112

32

35

+−

+

EXEM

PLE

7

19Nombres racionals

Efectua:

56

32

14

718

12

43

52

12

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ −

− ⋅:

EXEM

PLE

8

Efectua:2

116

43

89

1

12

54

13

38

2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟:12

EXEM

PLE

9

2116

43

89

33

16

20

9

114

53

551

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ = ⋅ =22

12

54

34

916

2 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

13

38

12

1724

12

1712

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =: :

1

9161712

19 12

16 171

2768

68 2768

9568

+ = + ⋅⋅

= + = + =

—Resolem substituint el numerador i el de-nominador per les fraccions obtingudes.

55129568

55 68

12 95

11 173 19

18757

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=

—Efectuem les operacions del numerador i del denomina-dor tenint en compte la seva prioritat.

— Resolem substituint el numerador i el denominador perles fraccions obtingudes:

497278

49 8

72 7

79−

= − ⋅⋅

= −12

43

52

12

38

54

3 108

78

: − ⋅ = − = − = −

56

32

14

718

2536

38

718

50 27 2872

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ − = + − = + − = 44972

—Efectuem les operacions del numerador i del denominador tenint en comp-te la seva prioritat.

1

7 1

9

11

34

5

3

4

11

193

17

ACTIVITATS

21. Efectua:

a) b) c) d) e)

22. Efectua:

a) b) c) d)

23. Fes servir la calculadorawiris, disponible on line, per comprovar els resultats de les activitats 21 i 22.

334

25

2 112

243

32

35

− ⋅ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+: :

312

43

2 132

234

+ ⋅ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

32

43

235

32

7

+ ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

34

58

32

113

2

14

45

35

310

:

:

− ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⋅ +

34

12

43

1

12

34

58

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− +

:234

15

16

23

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅=

:

32

43

235

32

43

2 2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +

+

:

:

21

12

113

1514

75

4 132

2

−+

−

⋅ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

23

54

12

15

35

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

@

20 Unitat 1

24. Calcula el preu final d'un article el preudel qual és 31,75∑si li apliquem un augment d'un 18% d'IVA .

25. Calcula l'interès que produeixen 2000 ∑ si ens ofereixenun interès del 5% anual durant 8 anys.

Per a calcular el tant per cent d'una quantitat només cal multiplicar-la pelnombre decimal que representa el percentatge:

15 % de 60 = 60 · 0,15 = 9

Augment o disminució percentualÉs habitual, en la vida quotidiana, expressar descomptes, increments salarialso impostos amb percentatges.

4. Percentatges

Per a calcular l'augment (o la disminució) percentual d'una quantitat noméscal multiplicar aquesta quantitat per la unitat augmentada (o disminuïda)amb l'augment (o la disminució) percentual expressat en forma decimal.

EXEM

PLE

10 Decidim comprar un sofà el preu inicial del qual és 920 ∑ que té un descompte del 12%. Per a transportar-lo, comptem amb un

transportista la tarifa base del qual és 80∑ amb un recàrrec del 15% per a trajectes superiors a 50 km. Quant ens costarà en total lacompra i el transport del sofà si el nostre habitatge es troba a 60 km?

RECORDA

Un percentatge és una proporció expres-sada com una quantitat de cada 100 uni-tats. Així doncs, la podem expressar comuna expressió fraccionària amb denomi-nador 100 o com una expressió decimal:

1515100

0 15% ,= =

—El preu del sofà té un descompte del 12%. Així doncs, restarem l'expressió deci-mal del percentatge a la unitat i el multiplicarem per la quantitat inicial:

1 − 0,12 = 0,88; 920 · 0,88 = 809,6∑

—El transport té un recàrrec del 15%. Així doncs, sumarem l'expressió decimal delpercentatge a la unitat i el multiplicarem per la quantitat inicial:

EXEM

PLE

11 Comprem unes accions per un valor de 800 ∑. El primer mes pugen un 30% i el segon mes tornen a pujar un 10%més. Calcula el

preu de les accions el segonmes. Quin tant per cent d'augment representa?

1r mes: augment del 30 % : 800 · 1,3 = 1040; L'augment de les accions ha estat: 1144 − 800 = 344

2n mes: augment del 10 % : 1040 · 1,1 = 1144

El preu de les accions és de 1144∑ que representa un augment del 43% del seu valor inicial.

344800

100 43⋅ = %

1 + 0,15 = 1,15; 80 · 1,15 = 92∑

901,6∑

En l'exemple 11 hem aplicat els percentatges encadenats que són diversosaugments o disminucions percentuals successius aplicats a una quantitat.

Interès simpleUna altra aplicació que es fa servir molt sovint en el camp econòmic és l'interèssimple. L'interès simple és la quantitat que produeix un capital durant un perí-ode de temps amb un augment percentual determinat (que s'anomena tipusd'interès).

I = c · i · t

(c = capital, i = interès en forma decimal, t = temps en anys)

FIXA-T'HI

Per a calcular el tant per cent equivalentd'augment o disminució de percentatgesencadenats, només calmultiplicar els aug-ments o disminucions successius.

En l'exemple 11:

1,1 · 1,3 = 1,43 (43 % d'augment)

Total

ACTIVITA

TS

En un estadi se celebrarà un concert. Si el primer dia es ven de les entrades, el segon dia

de la resta, i encara queden 17100 entrades a la taquilla, quina capacitat té l'estadi?

25

14

ENTRADES VENUDES EN FALTEN PER VENDRE

Primerdia

1

41

1

4

4 1

4

3

4− =

−=

Segondia

2

5

3

4

6

20

3

10⋅ = =

3

4

3

10

15 6

20

9

20− =

−=

ENTRADES VENUDES EN FALTEN PER VENDRE

Primerdia

1

438000 9 500⋅ = 38000 − 9500 = 28500

Segondia

2

528500 11400⋅ = 28500−11400=17100

ACTIVITATS

21Nombres racionals

26. Tres germans es reparteixen un premi de 350∑.

Si el primer rep del que rep el segon; i el segon,

del que obté el tercer; quants diners tindrà cada germà

al final?

27. Dues amigues es disposen a menjar una pizza quan unad'elles diu:

«Prendré la meitat de la quarta part del que quedi desprésque tu hagis agafat tres quartes parts de lameitat».

— Determina la fracció de pizza que prendrà cadascunaen aquest moment.

— Quina fracció de la pizza quedarà per més endavant?

28. Entre les parts i les parts d'un nombre hi ha una di-

ferència de 44.

Quin és aquest nombre?

29. Si a la sisena part dels d'un nombre s'afegeixen els dels

seus i s'hi resta la tercera part dels seus , s'obté 1226.

Troba aquest nombre.

30. Si poso la primera xifra d'unnombredequatre xifres en l'úl-

tima posició, obtindré un segon nombre que és elsdel primer.Determina el nombre.

1192

12

35

38

37

35

23

271

2

Comprensió de l'enunciatTorna a llegir atentament l'enunciat i fes un esquema amb lesdades del problema.

Planificació de la resolució— Construïm la següent taula de dades.

Després del segon dia queden per vendre de les entrades,

o bé 17100. Si anomenem x la capacitat de l'estadi:

Execució del pla de resolució—Aïllem el valor de x.

Revisió del resultat idel procés seguitLa capacitat de l'estadi és de 38000 persones.Comprovem el resultat completant la taula de dades.

x = ⋅ =17100 209

38 000

920

17100⋅ =x14

Primer dia

25

Segon dia 17100

920

ACTIVITATSRESOLTES

Fraccionsequivalents

2222 Unitat 1

SÍNTESI

Tot nombre racional es pot expres-sar mitjançant el nombre decimalque resulta de dividir el numeradorentre el denominador de qualsevoldels seus representants.

Tot nombre racional és un nombredecimal limitat, il·limitat periò-dic pur o il·limitat periòdic mixt.De la mateixa manera, tot nombredecimal limitat o il·limitat i periò-dic és un nombre racional.

La fracció generatriu d'un nombredecimal limitat o il·limitat i periòdicés la fracció irreductible equivalenta aquest nombre decimal.

5Una fracció és tota expressió amb la forma en què a i b són nombresenters, i b ≠ 0.

Les fraccions i són equivalents si es compleix:

a ⋅ d = b ⋅ c

Una fracció és irreductible si el numerador i el denominador són nombresprimers entre si.

El conjunt format per una fracció i totes les fraccions equivalents és unnombre racional.

Cadascuna de les fraccions que formen un nombre racional és un represen-tant d'aquest nombre.

La fracció irreductible de denominador positiu que és representant d'unnombre racional s'anomena representant canònic d'aquest nombre.

4

2

3

cd

ab

ab

1

Fracció

Representants

Operacions

NOMBRERACIONAL

té infinites

4

1

3

2amb denominadorcent representa un Percentatge

permeten definir

es fan servirels seus

per a fer

es podenexpressar com a

Nombredecimal

5tambés'expressa com a

23Nombres racionals 23

Fraccions

31. Com es representa matemàticament una fracció?

— Digues què indiquen els dos termes d'una fracció.

32. D'una finca de 63 hectàrees en volem obtenir 294 par-cel·les amb la mateixa extensió. Quantes hectàrees tindràcada parcel·la? Expressa el resultat en forma de fracció.

33. Escriu una fracció equivalent a amb denominador 20.

— Pots trobar una fracció equivalent amb denominador5?

34. Simplifica les fraccions següents.

a) b) c) d)

35. Demostra de tres maneres diferents que les fraccions i

són equivalents.

El conjunt dels nombres racionals

36. Raona si l'afirmació següent és certa o falsa: «Entre dos nom-bres racionals diferents sempre hi ha un altre nombre ra-cional».

37. Determina el representant canònic d'aquests nombres ra-cionals.

— Per què s'acostumen a fer servir els representants canò-nics i no d'altres?

38. Pots trobar la fracciógeneratriud'unnombredecimal il·limitatno periòdic? Justifica la teva resposta.

39. Les fraccions i són representants d'un mateix

nombre racional? En cas afirmatiu, determina el seu repre-sentant canònic.

— Digues si les fraccions considerades són equivalents.

40. Representa sobre la recta numèrica els nombres racionalssegüents.

— Escriu-los ordenats de major a menor.

41. Troba l'expressió decimal d'aquests nombres racionals.

42. Ordena del més petit al més gran aquests nombres:

4,23427; ; ; ; ; .

43. Classifica aquests nombres decimals en limitats o il·limitats:3,25; 2,111...; 71,34567812; 54,2373737...; 0,7777...; 12,1515;102,393939...; 0,0020202...

— Dels nombres decimals il·limitats, digues quins són pe-riòdics purs i quins són periòdics mixtos.

44. Troba l'expressió fraccionària dels nombres decimals:

Operacions amb nombres racionals

45. Calcula:

a)

b)

c)

46. Calcula mentalment:

47. Troba l'oposat i l'invers dels nombres racionals següents.

48. Expressa en forma d'una sola potència:

a) c)

b) d)

4 23427, �

7 6 0 019 3 4 2 9 27 41 5 12, ; , ; , ; , ; , ; , ; 2 116 0 3463, ; , .

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

14

14

6 3 4

:−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

35

34

37

37

12 7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:73

73

73

4 6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−− −

7

4

1

5

12

5

6

23

3

1, , , ,

554

12

13

35

32

74

78

+ − ⋅, , , :

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛⎝⎜

⎞25

23

17

56

:⎠⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

29

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

29

24

115

43⎢⎢

⎤

⎦⎥ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

19

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35

23

29

715

3 29 9 346, ; , ;

4 23427,�4 23427, �4 23427, �4 23427,�

165

286

34

229

5427

1254

, , , , ,−

−−

− −1520

37

25

1612

, , ,

70175−

−1435

1520

2830

1821

7520

1216

, , , ,

108

1512

−1026855

−15084

4275

360420

912

R

R

R

R

R

R

R

R

1ACTIVITATS

24

49. Calcula:

a) b)

50. Troba la fracció resultant.

a) b)

— Utilitza la calculadora per a expressar els resultats enforma decimal i comprovar que són correctes.

51. Resol:

a) c)

b) d)

— Fes servir la calculadora wiris, disponible on line, per acomprovar els resultats obtinguts.

52. Efectua les operacions següents utilitzant fraccions gene-ratrius.

a) c)

b) d)

53. Calcula:

a) b)

54. En època de rebaixes, una botiga de roba aplica un des-compte del 20% en tots els seus articles. Quant haurem depagar per uns pantalons i una samarreta que abans costa-ven 55∑ i 25∑ respectivament?

55. Al març, el preu de la gasolina era de 92 cèntims d'euro. Almaig va pujar un 5%, al juliol va tornar a pujar un 10% i al se-tembre va baixar un 3%. Quant paguem al setembre siomplim el cotxe amb 40 L de gasolina?

— Si accedeixes a la pàginawww.gasofa.es trobaràs unagràfica amb l'evolució dels preus de la gasolina delsdarrers mesos.

56. Durant quant de temps ha estat dipositat un capital de 5500∑al 8 % si ha produït un interès de 1100∑ ?

Problemes

57. Un rellotge s'endarrereix d'hora en una setmana. Quant

s'endarrerirà en quatre dies? I en un mes?

58. Un comerciant ven els d'una peça de tela. L'endemà, ven

de peça al matí i a la tarda. Determina la fracció de tela

venuda i la que li resta per vendre.

59. Un dipòsit d'aigua que contenia de la seva capacitat va

perdre del seu contingut. Més tard s'hi va afegir del to-

tal, però va perdre la meitat de la part que contenia al co-

mençament. Quina part del dipòsit va quedar plena?

60. Un tren inicia el seu trajecte amb un grup reduït de viat-gers. A la segona estació, el nombre de persones que hipuja és dos cinquenes parts de les que hi havia al comença-ment. A la tercera baixa la tercera part de les persones quehi ha al tren. A la quarta en baixen 2 persones, i queden fi-nalment 12 viatgers al tren.

a) Quantes persones hi havia en iniciar el trajecte?

b) Quantes persones han utilitzat aquest servei?

61. Un tangram està format per cinc triangles, un quadrat i untrapezi, queespodenacoblardemaneresdiferentsperacons-truir figures geomètriques diferents.

a) Quina fracció del tangram representa cadascuna de lespeces que el formen?

b) Quina fracció del tangram està acolorida?

— Siaccedeixesa lapàginahttp://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_112_g_2_t_1.html hi trobaràs un tangraminteractiu, que et pot ajudar a fer l'activitat.

1

5

2

3

6

4

7

12

13

815

16

12

29

34

23

32

23

32

1

132

94

23

94

2

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −−

+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

14

23

112

3

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2021

145

23

49

2 112

11

112

⋅ − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

:

3 24 2 51 0 5

112

2 3, : , ,

: ,+

+

12

0 2514

0 3

0 6 0 9

+ −, : ,

, : ,

�

� �

0 6 5 4 1 3 3 6, , : , ,� � � �

+( ) +( )2 7 3 5, ,� �

−

3 5 5 6, ,⋅�

2 3 3 125, ,+

234

52

23

45

1

1 2 114

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦

:

⎥⎥ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

112

1 2

14

1

215

− ⋅−

+

113

235

−

+

7847921

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

827

3

Unitat 1

�

ACTIVITATS

1

@

@ @

A

A

A

A

25

Més a fons

62. Troba la fracció irreductible equivalent i l'expressió deci-mal d'aquestes fraccions.

Per a saber l'expressió decimal que obtindrem a partir d'unnombre racional, descompon en factors primers elsdenominadors de les fraccions irreductibles i completala taula.

63. Extreu factor comú de cadascuna de les expressions se-güents.

a) c)

b) d)

64. Expressa en forma d'una sola potència, si x ≠ 0:

— Calcula el valor de l'expressió si x = 5.

65. Escriu l'expressió fraccionària dels nombres decimals se-güents:

, , , , , 2,27, ,

, , .

Indica quins són purs i quins són mixtos.

66. Ordena de menor a major les fraccions següents:

, , , , , , , .

67. Efectua les següents operacions amb nombres decimals i ia continuació comprova'n el resultat amb les fraccions ge-neratrius corresponents:

a) c)

b) d)

68. Calcula:

a) d)

b) e)

c) f )

69. Extreu tots els factors possibles de les arrels següents:

a) d)

b) e)

c)

70. Calcula i expressa el resultat en la fracció irreductible corres-ponent:

a) c)

b) d)

71. Calcula:

a) c)

b)

72. Calcula:

a) c)

b) d)

FACTORS DEL DENOMINADOR EXPRESSIÓ DECIMAL

............., ............. o tots dos. Limitada

Ni ............. ni ............. Periòdica pura

............., ............. o tots dos, junta-ment amb altres. Periòdica mixta

5 13 2 152

, ,� �⋅ 1 35

1 32

11 23

−+ −

−

2

,,

,

�

�

52 53

21 5

− +,,

253

3 08 0 25+ − +, ,

25

114

12

3

535

23

− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

180288

3

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2516

2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

103

59

13

32

2

2 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

34

27

32

45

13

5 2 113

+ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

65

65

36

29

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

83

83

83

6 5 9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· :

75

75

8 7

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

32

94

13

3 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· ·

1251458

3−

−155526250

5

12606300

75

36 3−

×,

53

2 613

:,

721

96

× −− +2 35

102 5

,,

−−

51 2

106,

:521

12 1

−,

− −3 09 2 01, ,� �

13 6 7 26, ,� �

−

1 278 2 078, ,−

5 217 2 21, ,+

89

−109

− 87

65

56

−76

− 65

76

5 87,�−3 9,�

7 1139, �−11 053, �10 01,

�103 82,�−0 08,

�0 573,�−3 28,�

27

34

a b a b+( ) + +( )

615

25

425

2 3y y y+ +

2 22

23 5 3

2

x xx

x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −

: :⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2 32

2x

25

35

15

2x x+ +

27

23

2 3a a a+ +

328

2114

109240

106

51300

3549

, , , , ,

Nombres racionals

1ACTIVITATS

A

26

INVESTIGA73. En la vida quotidiana, les lents tenen moltes aplicacions. S'uti-

litzenenulleres i lentsdecontacteperacorregirdefectesvisuals,però tambéencàmeres fotogràfiques, telescopisomicroscopis,per a observar objectes llunyans o petits.

Unade les unitats que caracteritzen les lents són les diòptries,la magnitud de les quals depèn fonamentalment de la geo-metria de la lent.

Amb l'ajuda dels enllaços següents:

http://ca.wikilingue.com/es/Diòptria

http://ca.wikipedia.org/wiki/Diòptria

http://www.academiaminas.com/formulas/FISICA/OPTICA/optica_geometrica.htm

respon a les qüestions següents:

a) Escriu la definició de diòptria.

b) Com és una lent les diòptries de la qual són negatives?I si són positives?

c) Escriu la relació que hi ha entre les diòptries i la distàn-cia focal.

d) Quantes diòptries té una lent la distància focal de la qualés de 4 m? I si la distància focal és de 25 cm?

e) Una lent de 5 diòptries, quina distància focal té? Ide − 0,20 diòptries?

Quan unim dues lents primes podem obtenir una altralent la distància focal de la qual és:

on f1 y f2 són la distància focal de les dues lents pri-mes.

f ) Quina serà la distància focal d'una lent formada peruna lent dedistància focal 3m i una altra dedistància fo-cal 30 cm? Quantes diòptries tindrà?

1 1 1

1 2fff= +

Unitat 1

AVALU

ACIÓ

Tria la fracció equivalent a .

a) b) c)

Simplifica la fracció fins a arribar a una fracció

irreductible.

Ordenadelméspetitalmésgranaquestsnombres racionals.

Determina la fracció generatriu dels nombres decimals se-güents:

a) 3,145 b) c)

Calcula:

a) b)

— Expressa el resultat en formadecimal i en formadeper-centatge.

Efectua:

a) c)

b) d)

Calcula:

Amb L d'aigua s'han omplert vuit gots iguals.

Quina capacitat té cada got?

Un pare disposa en el seu testament que el fill gran hereti

del que hereti el mitjà, i aquest, del que rebi el petit.

Si enelmomentdemorir, el pare teniauncapital de23580

∑, quants diners heretarà cadascun dels germans?

1

54

12

32

⋅ −−

:9

8

7

6

5

4

3

2

32

43

32

34

12

43

1

12

34

58

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− +

:

161296

412

54

2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

36169

14

14

4 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

232

34

− +

0 083,�

2 116,�

32

56

23

53

, , ,−

240260−

150180

− 90180

− 75180

−512

CB

CB

CB

@

Els hindús indicaven les fraccions escrivint el numerador sobre el denomi-nador.

Els àrabs van adoptar aquest sistema i hi van afegir la barra horitzontal. D'aques-ta manera es van crear el símbols actuals.

43

4—3

CRÒNICA MATEMÀTICA

27

Metalls preciososLa puresa de l'or es mesura en quirats. Quan diem que un objecte d'orté 18 quirats, vol dir que, de 24 parts de l'objecte, 18 són d'or.

En canvi, amb l'argent és habitual mesurar-ne la puresa en mil·lèsimes.Quan diem que un objecte d'argent té 900 mil·lèsimes, vol dir que, de1 000 parts de l'objecte, 900 són d'argent.

Quadrats màgicsEn un quadrat màgic, totes les files, co-lumnes i diagonals sumen la mateixaquantitat.

Completa el següent quadrat màgic.Demostra el teu enginy

Nombres racionals

Connecta't a la pàgina següent i am-plia els teus coneixements sobre qua-drats màgics.

www.xtec.cat/~bfiguera/curios7.html

Observa detingudament aquesta demostració i troba-hi l'error lògicque duu a una conseqüència evidentment errònia.

Siguin a i b dos nombres enters que compleixen:

, és a dir, 4 a = 6 b

L'última igualtat es pot transformar successivament en les següents:

14 a − 10 a = 21 b − 15 b

15 b − 10 a = 21 b − 14 a

5 (3 b − 2 a) = 7 (3 b − 2 a)

I si ara dividim els dos membres per 3 b − 2 a, tenim:

5 = 7

a b6 4

=

83

133

163

4