1. Fsica,conceptos yaplicacionesSptima edicin revisada

2. SEPTIMA EDICION REVISADAFsica,conceptos yaplicacionesSptima edicin revisadaPaul E. TippensProfesor EmritoSouthern Polytechnic State UniversityTraduccinAngel Carlos Gonzlez RuizUniversidad Nacional Autnoma de MxicoRevisin tcnicaAna Elizabeth Garca HernndezCinvestav-Instituto Politcnico NacionalM eG r a wH i l lMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRIDNUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILNMONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 3. Publisher: Javier Neyra BravoDirector editorial: Ricardo Martn del Campo MoraEditor sponsor: Luis Amador Valdez VzquezFsica, Conceptos y aplicacionesSptima edicin revisadaProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. EducacinDERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la sptima edicin revisada en espaol por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, Inc.Corporativo Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015 Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin Alvaro ObregnC.P 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN : 978-607-15-0471-5(ISBN: 970-10-6260-4 edicin anterior)Translated from the 7th edition ofPHYSICS. Copyright MMVII by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.Previous editions 2001, 1991. 1985, 1978, and 1973.ISBN-13: 978-0-07-301267-X2345678901 209876543201Impreso en Per. Printed in PerImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Printed by Empresa Editora El Comercio S.A.The McGrQW-Hill Companies 4. Acerca del autorPaul E. Tippens ha escrito dos libros de texto de gran xito para McGraw-Hill Companies,as como el material complementario correspondiente. Su libro ms reconocido, Fsica, conceptosy aplicaciones, gan el Premio McGuffey, prestigioso y antiguo galardn otorgado a loslibros de texto cuya excelencia se ha demostrado a lo largo de los aos. Por aadidura, es autorde Fsica tcnica bsica, segunda edicin. Esos libros se han traducido al espaol, francs,chino y japons. Entre otros trabajos del autor se cuentan cuatro volmenes de tutoriales com-putarizadosy numerosos documentos publicados en ediciones destacadas. El doctor Tippenses miembro activo de la Text and Academic Authors Association (t a a ) y un firme defensorde la tarea de brindar informacin, asesora y trabajo en red para los creadores de propiedadintelectual. Fungi durante un par de aos como VP/presidente electo de la t a a , asociacin quese considera como una institucin muy importante para dar voz a los autores con objeto de asegurarsus derechos de propiedad intelectual. Tiene un doctorado en administracin educativapor la Universidad de Aubum y una maestra en fsica por la Universidad de Georgia. Adems,ha terminado varios cursos breves en al menos otras cuatro universidades reconocidas. En laactualidad, es profesor emrito de la Universidad Politcnica Estatal del Sur en Marieta, Georgia,donde ha dado clases de fsica para bachillerato durante 30 aos.AgradecimientosUn texto clsico como el que ahora tiene el lector en sus manos es una obra en mejorapermanente. La lectura crtica y la revisin del autor, de los editores y de profesores y estudiantescontribuyen a mejorarlo, a enriquecerlo. As, el libro se convierte en una suerte de medio porel que los lectores mantienen un dilogo constante con el autor, lo que irremediablementedesemboca en nuevas ediciones o en ediciones revisadas, como la presente.En este sentido, el profesor Vctor Manuel Jimnez Romero, del Colegio Rossland,merece un reconocimiento especial por la meticulosa y paciente revisin que hizo de estaobra. Sus ideas, observaciones y sugerencias resultaron muy valiosas en el momento de editaresta sptima edicin revisada.Asimismo, se extiende un agradecimiento a los profesores siguientes, quienes con susideas y comentarios han contribuido a enriquecer el libro.Alfonso Alfaro Pea CECyT 7 1PNAlfonso Espinosa Navarro Colegio Micheletngel Pea Chaparro CECyT 7 IPNAvelardo Cruz Colegio WestminsterFernando Varela CECyT 3 IPNFrancisco J. Surez Alvarado CECyT 15 IPNGabriel de Anda Lpez CECyT 7 IPNGabriel Ramrez Guzmn Colegio deBachilleres de Quintana Roo, plantel 2Gamaliel Teja Gutirrez CECyT 7 IPNHomero Garca Martnez ITESM campusSanta FeHugo Ramos ngeles CECyT 3 IPNIsaac Hernndez Ardieta UVM CoacalcoIsmael Muoz ITESM campus HidalgoIsrael vila Garca UVM CoacalcoJavier Rangel Pez Universidad deGuadalajaraJess Homero Cruz Reyes CECyT 7 IPNJess Manuel Heras Martnez CECyT 7 IPNJos Luis Noriega Corella CECyT 7 IPNLeonel Infante Colegio Hebreo Monte Sinay Hebreo TarbutLeonel Ramrez Ramrez La Salle BenjamnFranklinLyzzette Tiburcio Colegio WashingtonManuel Cruz Nava CECyT 7 IPNMarco Antonio Crdenas Ayala UVM TlalpanMarcos Angulo Tamayo CECyT 7 IPNMarcos F. Amaro Merino CECyT 7 IPNMariana Crdenas Ramos Universidad deGuadalajaraMiguel ngel Marcial ENP 7 UNAMMiguel ngel Vzquez Ibarra UVM LomasVerdesMoiss Gustavo Martnez CECyT 7 IPNRafael Morales Contreras CECyT 7 IPNRaquel Nez Mora CECyT 7 IPNRodolfo Vega Garca CECyT 7 IPNSilvia Maffey Garca CECyT 2 IPNv 5. Para Jared Andrew Tippens y Elizabeth Marie TippensY para todo el elenco de apoyo: Sarah, Travis y Ryan TippensSer bisnieto es estupendo: plenitud de alegra y sin responsabilidades 6. Resumen de contenidoJ J j j j j l MecnicaCaptulo 1 Introduccin 1Captulo 2 Matemticas tcnicas 6Captulo 3 Mediciones tcnicasy vectores 34Captulo 4 Equilibrio traslacionaly friccin 68Captulo 5 Momento de torsin y equilibriorotacional 93Captulo 6 Aceleracin uniforme 111Captulo 7 Segunda ley de Newton 137Captulo 8 Trabajo, energa y potencia 157Captulo 9 Impulso y cantidad demovimiento 179Captulo 10 Movimiento circular uniforme196Captulo 11 Rotacin de cuerpos rgidos220Captulo 12 Mquinas simples 245Captulo 13 Elasticidad 265Captulo 14 Movimiento armnico simple279Captulo 15 Fluidos 301Termodinmica,ondas mecnicas ysonidoCaptulo 16 Temperatura y dilatacin 329Captulo 17 Cantidad de calor 350Captulo 18 Transferencia de calor 369Captulo 19 Propiedades trmicas dela materia 383Captulo 20 Termodinmica 403Captulo 21 Movimiento ondulatorio 426Captulo 22 Sonido 441Electricidad, magnetismoy pticaCaptulo 23 La fuerza elctrica 463Captulo 24 El campo elctrico 478Captulo 25 Potencial elctrico 496Captulo 26 Capacitancia 512Captulo 27 Corriente y resistencia 532Captulo 28 Circuitos de corrientecontinua 548Captulo 29 Magnetismo y campomagntico 567Captulo 30 Fuerzas y momentos de torsinen un campo magntico 589Captulo 31 Induccin electromagntica601Captulo 32 Circuitos de corriente alterna622Captulo 33 Luz e iluminacin 642Captulo 34 Reflexin y espejos 661Captulo 35 Refraccin 678Captulo 36 Lentes e instrumentospticos 696Captulo 37 Interferencia, difracciny polarizacin 714Captulo 38Captulo 39Fsica modernaLa fsica modernay el tomo 731La fsica nucleary el ncleo 757vii 7. Prefacio xiiiCaptulo 1 Introduccin 11.1 Qu es la fsica? 21.2 Qu importancia tienen las matemticas? 31.3 Cmo estudiar fsica? 3Captulo 2 Matemticas tcnicas 62.1 Nmeros con signo 72.2 Repaso de lgebra 102.3 Exponentes y radicales (optativo) 122.4 Solucin a ecuaciones cuadrticas 152.5 Notacin cientfica 162.6 Grficas 182.7 Geometra 192.8 Trigonometra del tringulorectngulo 22Captulo 3 Mediciones tcnicas yvectores 343.1 Cantidades fsicas 353.2 El Sistema Internacional 363.3 Medicin de longitud y tiempo 123.4 Cifras significativas 393.5 Instrumentos de medicin 413.6 Conversin de unidades 423.7 Cantidades vectoriales y escalares 453.8 Suma o adicin de vectores por mtodosgrficos 473.9 Fuerza y vectores 493.10 La fuerza resultante 513.11 Trigonometra y vectores 523.12 El mtodo de las componentes para lasuma o adicin de vectores 553.13 Notacin de vectores unitarios(opcional) 163.14 Resta o sustraccin de vectores 61Captulo 4 Equilibrio traslacional yfriccin 684.1 Primera ley de Newton 694.2 Segunda ley de Newton 694.3 Tercera ley de Newton 704.4 Equilibrio 714.5 Diagramas de cuerpo libre 724.6 Solucin de problemas de equilibrio 754.7 Friccin 79Captulo 5 Momento de torsin yequilibrio rotacional 935.1 Condiciones de equilibrio 945.2 El brazo de palanca 955.3 Momento de torsin 965.4 Momento de torsin resultante 995.5 Equilibrio 1005.6 Centro de gravedad 72Captulo 6 Aceleracin uniforme 1116.1 Rapidez y velocidad 1126.2 Aceleracin 1136.3 Movimiento uniformementeacelerado 1146.4 Otras relaciones tiles 1166.5 Resolucin de problemas deaceleracin 1176.6 Convencin de signos en problemas deaceleracin 1196.7 Gravedad y cuerpos en cada libre 1216.8 Movimiento de proyectiles 1266.9 Proyeccin horizontal 1266.10 El problema general de lastrayectorias 129Captulo 7 Segunda ley de Newton 1377.1 Segunda ley de Newton sobre elmovimiento 1387.2 Relacin entre peso y masa 1407.3 Aplicacin de la segunda ley de Newtona problemas de un solo cuerpo 1437.4 Tcnicas para resolver problemas 1457.5 Resolucin de problemas deaceleracin 1177.6 Convencin de signos en problemas deaceleracin 1197.7 Gravedad y cuerpos en cada libre 1217.8 Movimiento de proyectiles 1267.9 Proyeccin horizontal 1267.10 El problema general de lastrayectorias 129Captulo 8 Trabajo, energa ypotencia 1578.1 Trabajo 1588.2 Trabajo resultante 1598.3 Energa 1618.4 Trabajo y energa cintica 162viii 8. Contenido ix8.5 Energa potencial 1658.6 Conservacin de energa 1668.7 Energa y fuerzas de friccin 1688.8 Potencia 171Captulo 9 Impulso y cantidad demovimiento 1799.1 Impulso y cantidad de movimiento 1809.2 Ley de la conservacin de la cantidad demovimiento 1829.3 Choques elsticos e inelsticos 185Captulo 10 Movimiento circularuniforme 19610.1 Movimiento en una trayectoria circular 19710.2 Aceleracin centrpeta 19710.3 Fuerza centrpeta 20010.4 Peralte de curvas 20110.5 El pndulo cnico 20410.6 Movimiento en un crculo vertical 20510.7 Gravitacin 20710.8 El campo gravitacional y el peso 20910.9 Satlites en rbitas circulares 21010.10 Leyes de Kepler 213Captulo 11 Rotacin de cuerposrgidos 22011.1 Desplazamiento angular 22111.2 Velocidad angular 22311.3 Aceleracin angular 22411.4 Relacin entre los movimientos rotacionaly rectilneo 22611.5 Energa cintica rotacional: momento deinercia 22711.6 La segunda ley del movimiento en larotacin 22911.7 Trabajo y potencia rotacionales 23211.8 Rotacin y traslacin combinadas 23311.9 Cantidad de movimiento angular 23511.10 Conservacin de la cantidad demovimiento angular 236Captulo 12 Mquinas simples 24512.1 Mquinas simples y eficiencia 24612.2 Ventaja mecnica 24712.3 La palanca 24912.4 Aplicaciones del principio de la palanca25012.5 La transmisin del momento de torsin 25312.6 El plano inclinado 25512.7 Aplicaciones del plano inclinado 258Captulo 13 Elasticidad 26513.1 Propiedades elsticas de la materia26613.2 Mdulo de Young 26813.3 Mdulo de corte 27113.4 Elasticidad de volumen; mdulovolumtrico 27213.5 Otras propiedades fsicas de losmetales 273Captulo 14 Movimiento armnicosimple 27914.1 Movimiento peridico 28014.2 La segunda ley de Newton y laley de Hooke 28314.3 Trabajo y energa en el movimientoarmnico simple 28414.4 El crculo de referencia y el movimientoarmnico simple 28614.5 Velocidad en el movimiento armnicosimple 28714.6 Aceleracin en el movimiento armnicosimple 28914.7 El periodo y la frecuencia 29114.8 El pndulo simple 29314.9 El pndulo de torsin 294Captulo 15 Fluidos 30115.1 Densidad 30215.2 Presin 30415.3 Presin del fluido 30515.4 Medicin de la presin 30815.5 La prensa hidrulica 31015.6 Principio de Arqumedes 31115.7 Flujo de fluidos 31515.8 Presin y velocidad 31715.9 Ecuacin de Bemoulli 31815.10 Aplicaciones de la ecuacin deBernoulli 320E S S B " Termodinmica,ondas mecnicas ysonidoCaptulo 16 Temperatura ydilatacin 32916.1 Temperatura y energa trmica 33016.2 La medicin de la temperatura 33116.3 El termmetro de gas 33516.4 La escala de temperatura absoluta 33616.5 Dilatacin lineal 338 9. Contenido16.6 Dilatacin superficial 34116.7 Dilatacin volumtrica 34216.8 La dilatacin anmala del agua 344Captulo 17 Cantidad de calor 35017.1 El significado del calor 35117.2 La cantidad de calor 35117.3 Capacidad de calor especfico 35317.4 La medicin del calor 35517.5 Cambio de fase 35817.6 Calor de combustin 364Captulo 18 Transferenciade calor 36918.1 Mtodos de transferenciade calor 37018.2 Conduccin 37118.3 Aislamiento: el valor R 31418.4 Conveccin 37518.5 Radiacin 376Captulo 19 Propiedades trmicas dela materia 38319.1 Gases ideales, ley de Boyle yley de Charles 38419.2 Ley de Gay-Lussac 38619.3 Leyes generales de los gases 38719.4 Masa molecular y mol 38919.5 La ley del gas ideal 39119.6 Licuefaccin de un gas 39219.7 Vaporizacin 39319.8 Presin de vapor 39419.9 Punto triple 39619.10 Humedad 397Captulo 20 Termodinmica 40320.1 Calor y trabajo 40420.2 Funcin de la energa interna 40520.3 Primera ley de la termodinmica 40620.4 Procesos isobricosy el diagrama P-V 40720.5 Caso general para laprimera ley 40920.6 Procesos adiabticos 41020.7 Procesos isocricos 41120.8 Proceso isotrmico 41220.9 Segunda ley de latermodinmica 41220.10 Ciclo de Carnot 41420.11 La eficiencia de una mquina ideal 41520.12 Mquinas de combustin interna 41620.13 Refrigeracin 418Captulo 21 Movimientoondulatorio 42621.1 Ondas mecnicas 42721.2 Tipos de ondas 42721.3 Clculo de la rapidez de onda 42821.4 Movimiento ondulatorioperidico 42921.5 Energa de una onda partcula 43121.6 Principio de superposicin 43321.7 Ondas estacionarias 43421.8 Frecuencias caractersticas 435Captulo 22 Sonido 44122.1 Produccin de una onda sonora 44222.2 La velocidad del sonido 44322.3 Vibracin de columnas de aire 44522.4 Vibracin forzada y resonancia 44822.5 Ondas sonoras audibles 44822.6 Tono y timbre 45222.7 Interferencia y pulsaciones 45322.8 El efecto Doppler 454Electricidad,magnetismoy pticaCaptulo 23 La fuerza elctrica 46323.1 La carga elctrica 46423.2 El electrn 46623.3 Aislantes y conductores 46723.4 El electroscopio de hoja de oro 46723.5 Redistribucin de la carga 46923.6 Carga por induccin 46923.7 Ley de Coulomb 470Captulo 24 El campoelctrico 47824.1 El concepto de campo 47924.2 Clculo de la intensidad de campoelctrico 48224.3 Lneas de campo elctrico 48524.4 La ley de Gauss 38624.5 Aplicaciones de la ley de Gauss 38 10. ContenidoCaptulo 25 Potencial elctrico 496 29.7 Fuerza sobre un conductor por el que25.1 Energa potencial elctrica 497 circula una corriente 57725.2 Clculo de la energa potencial 499 29.8 Campo magntico de un conductor largo25.3 Potencial 501 y recto 57825.4 Diferencia de potencial 504 29.9 Otros campos magnticos 58025.5 Experimento de Millikan de la gota deaceite 50629.10 Histresis 58125.6 El electrn volt 507 Captulo 30 Fuerzas y momentosde torsin en un campoCaptulo 26 Capacitancia 512 magntico 58926.1 Limitaciones al cargar un conductor 513 30.1 Fuerza y momento de torsin en una26.2 El capacitor 515 espira 59026.3 Clculo de la capacitancia 517 30.2 Momento de torsin magntico sobre26.4 Constante dielctrica; permitividad 519 un solenoide 59226.5 Capacitores en paralelo y en serie 523 30.3 El galvanmetro 59226.6 Energa de un capacitor cargado 526 30.430.5El voltmetro de cc 593El ampermetro de cc 594Captulo 27 Corriente y resistencia 532 30.6 El motor de cc 59527.1 El movimiento de la carga elctrica 53327.2 La direccin de la corriente elctrica 535 Captulo 31 Induccin27.3 Fuerza electromotriz 535 electromagntica 60127.4 Ley de Ohm; resistencia 537 31.1 Ley de Faraday 60227.5 Potencia elctrica yprdida de calor 53931.2 Fem inducida por un conductor enmovimiento 60527.6 Resistividad 540 31.3 Ley de Lenz 60627.7 Coeficiente de temperatura de 31.4 El generador de ca 607la resistencia 541 31.5 El generador de cc 61127.8 Superconductividad 542 31.631.7Fuerza electromotriz en un motor 611Tipos de motores 612Captulo 28 Circuitos de corrientecontinua 54831.8 El transformador 61428.1 Circuitos simples;resistores en serie 549Captulo 32 Circuitos de corrientealterna 62228.2 Resistores en paralelo 551 32.1 El capacitor 62328.3 Fem inducida y diferencia de potencial 32.2 El inductor 626terminal 554 32.3 Corrientes alternas 62828.4 Medicin de la resistencia interna 555 32.4 Relacin de fase en circuitos de ca 62928.5 Inversin de la corriente a travs de una 32.5 Reactancia 631fuente Fem 556 32.6 Circuitos en serie de ca 63228.6 Leyes de Kirchhoff 557 32.732.8Resonancia 634El factor de potencia 635Captulo 29 Magnetismo y campomagntico 567 Captulo 33 Luz e iluminacin 64229.1 Magnetismo 568 33.1 Qu es la luz? 64329.2 Campos magnticos 570 33.2 Propagacin de la luz 64529.3 La teora moderna del magnetismo 570 33.3 Espectro electromagntico 64729.4 Densidad de flujo y permeabilidad 571 33.4 La teora cuntica 64829.5 Campo magntico y 33.5 Rayos de luz y sombras 649corriente elctrica 574 33.6 Flujo luminoso 65129.6 Fuerza sobre una carga en 33.7 Intensidad luminosa 653movimiento 574 33.8 Iluminacin 654 11. xii ContenidoCaptulo 34 Reflexin y espejos 66134.1 Las leyes de la reflexin 66234.2 Espejos planos 66434.3 Espejos esfricos 66534.4 Imgenes formadas por espejosesfricos 66734.5 La ecuacin del espejo 66934.6 Amplificacin 67134.7 Aberracin esfrica 673Captulo 35 Refraccin 67835.1 ndice de refraccin 67935.2 Leyes de refraccin 68035.3 Longitud de onda y refraccin 68335.4 Dispersin 68535.5 Refraccin interna total 68535.6 Fibras pticas y aplicaciones 68735.7 Es lo mismo ver que creer? 68935.8 Profundidad aparente 690Captulo 36 Lentes e instrumentospticos 69636.1 Lentes simples 69736.2 Longitud focal y la ecuacin delfabricante de lentes 69836.3 Formacin de imgenes mediantelentes delgadas 70136.4 La ecuacin de las lentes yel aumento 70336.5 Combinaciones de lentes 70536.6 El microscopio compuesto 70636.7 Telescopio 70836.8 Aberraciones de las lentes 708Captulo 37 Interferencia, difraccin ypolarizacin 71437.1 Difraccin 71537.2 Experimento de Young:interferencia 71537.3 La red de difraccin 71937.4 Poder de resolucin de instrumentos 72137.5 Polarizacin 724l/a a H K Fsica modernaCaptulo 38 La fsica moderna yel tomo 73138.1 Relatividad 73238.2 Eventos simultneos: la relatividad deltiempo 73338.3 Longitud, masa y tiemporelativistas 73438.4 Masa y energa 73738.5 Teora cuntica y el efecto fotoelctrico73938.6 Ondas y partculas 74038.7 El tomo de Rutherford 74238.8 Orbitas electrnicas 74238.9 Espectro atmico 74338.10 El tomo de Bohr 74538.11 Niveles de energa 74738.12 Lser y luz lser 75038.13 Teora atmica moderna 751Captulo 39 La fsica nuclear yel ncleo 75739.1 El ncleo atmico 75839.2 Los elementos 75939.3 La Unidad de Masa Atmica 76139.4 Istopos 76439.5 Defecto de masa y energade enlace 76639.6 Radiactividad 76939.7 Decaimiento radiactivo 77039.8 Vida media 77139.9 Reacciones nucleares 77339.10 Fisin nuclear 77439.11 Reactores nucleares 77539.12 Fusin nuclear 777ndice 1-1Manual de uso de HP 50G M-1 12. PrefacioLa sptima edicin de Fsica, conceptos y aplicaciones estescrita para un curso propedutico de un ao de introduccina la fsica. El nfasis en las aplicaciones y la amplia gama detemas cubiertos lo hace adecuado para estudiantes que se especializanen ciencia y tecnologa, lo mismo que en biologa,las disciplinas de la salud y las ciencias del ambiente. Tambinpuede emplearse en cursos introductorios en una variedad deinstituciones comerciales e industriales, donde las necesidadesde un curso de aplicaciones no limiten las futuras opciones educativasde sus estudiantes. En cuanto a las matemticas, que sehan revisado ampliamente, se suponen ciertos conocimientosde lgebra, geometra y trigonometra, pero no de clculo.Esta obra comenz en ediciones anteriores como un proyectoamplio para encarar la necesidad de un libro de textoque presente los conceptos fundamentales de la fsica de formacomprensible y aplicable por estudiantes con antecedentesy preparacin diversos. El objetivo fue escribir un libro detexto legible y fcil de seguir, pero tambin que ofreciera unapreparacin slida y rigurosa. Los generosos comentarios demuchos atentos lectores en tomo a las primeras seis edicioneshan contiibuido a conservar el objetivo, y el trabajo ha recibidoreconocimiento nacional que ha cobrado forma en el prestigiosoPremio McGuffey presentado por la Text and AcademicAuthors Association (ta a ) por su excelencia y larga duracin.En la fsica que se ensea en el bachillerato hay trestendencias que influyen hoy da en la instruccin; las basespara el estudio avanzado en casi cualquier rea:1. La ciencia y la tecnologa crecen exponencialmente.2. Los empleos disponibles y las opciones de carreras precisanmayores conocimientos de las bases de la fsica.3. En el nivel medio bsico, la preparacin en matemticasy ciencias (por diversas razones) no est mejorandocon la rapidez suficiente.La meta de esta sptima edicin de Fsica, conceptos yaplicaciones radica en atacar los dos frentes de los problemasocasionados por tales tendencias. Si bien brindamoslos conocimientos necesarios de matemticas, no nos comprometemoscon los resultados educativos.OrganizacinEl texto consta de 39 captulos que abarcan todo el espectrode la fsica: mecnica, fsica trmica, movimiento ondulatorio,sonido, electricidad, luz y ptica y fsica atmica y nuclear.Esta sucesin normal se adeca a las necesidades deun plan de estudios de bimestral, aunque puede usarse en unode tres semestres con un ligero cambio de orden en la exposicinde los temas. Tambin es posible utilizarlo en cursosms breves con una seleccin sensata de los temas. Dondees posible, la exposicin fue diseada de forma que sea posiblecambiar el orden de stos.Hay ciertas reas donde las explicaciones difieren de lasque se ofrecen en la mayor paite de los libros de texto. Unadiferencia relevante es el reconocimiento de que muchosestudiantes ingresan en su primer curso de fsica sin poderaplicar las habilidades bsicas del lgebra y la trigonometra.Han cursado los cursos anteriores, pero por diversas razonesparecen incapaces de aplicar los conceptos para resolverproblemas. El dilema radica en cmo lograr el xito sin sacrificarla calidad. En esta obra dedicamos todo un captulo arepasar las matemticas y el lgebra necesarias para resolverproblemas de fsica. Cuando otros libros de texto realizanun repaso semejante, lo hacen en un apndice o en materialcomplementario. Nuestro mtodo permite a los estudiantesreconocer la importancia de las matemticas y ponderar muypronto sus necesidades y sus deficiencias. Puede obviarse sinproblema, segn la preparacin de los estudiantes o a discrecinde cada maestro; sin embargo, no puede ignorarse comoun requisito fundamental en la resolucin de problemas.En seguida, abordamos la necesidad de satisfacer losestndares de calidad mediante la exposicin de la estticaantes que la dinmica. La primera, segunda y tercera leyesde Newton se explican al principio para ofrecer conocimientoscualitativos de la fuerza, mas la exposicin integral dela segunda ley se difiere hasta que se han comprendido losconceptos de diagrama de cuerpo libre y equilibrio esttico.Lo anterior permite a los estudiantes forjar sus conocimientossobre una base lgica y continua; de manera simultnea, lashabilidades matemticas se refuerzan de manera paulatina. Enotros libros el tratamiento de la esttica en captulos ulterioressuele precisar un repaso de fuerzas y vectores. Con el mtodode esta obra, es posible ofrecer ejemplos ms detallados deaplicaciones significativas de la segunda ley de Newton.Tambin incluimos un captulo sobre mquinas simplesa fin de ofrecer a los maestros la posibilidad de hacernfasis en muchos ejemplos del mundo real que implicanconceptos de fuerza, fuerza de torsin, trabajo, energa yeficiencia. Este captulo puede omitirse sin dificultad si eltiempo es escaso, pero ha gozado de gran aceptacin enalgunos colegios donde las aplicaciones son primordiales.La fsica moderna se aborda como un curso generalsobre los principios de la relatividad, fsica atmica ynuclear. En este caso, la exposicin es tradicional y lostemas han sido elegidos de forma que los estudiantes puedancomprender y aplicar las teoras subyacentes a muchasaplicaciones modernas de la fsica atmica y la nuclear.Novedades en la sptima edicinCambios en el contenido Exposicin sobre vectores. Se hace nfasis en el mtodotradicional de las componentes en la suma de vecto-xiii 13. xiv Prefaciores, pero se ha aadido una opcinque permite usar vectores unitarios. Segunda ley de Newton. Desdeel principio se presenta la relacinentre la aceleracin y la fuerza afin de ofrecer conocimientos cualitativosde fuerza, aunque despusque se ha tenido prctica considerablecon los diagramas de cuerpolibre se hace una exposicin msdetallada. Energa cintica de rotacin. Una adicin significativaampla la explicacin de la rotacin en los problemasde conservacin de la energa, ya que se abarca elproblema de los objetos que tienen a la vez movimientosde traslacin y de rotacin. Ondas electromagnticas. Antes de la exposicin dela luz y la ptica se presenta ms ampliamente el temade las ondas electromagnticas. Ejemplos. Se han agregado ejemplos nuevos y todoslos presentados se han vuelto a trabajar para simplificarla explicacin y esclarecer el proceso de resolucinde los problemas. Se han eliminado las secciones sobre electroqumica yel captulo sobre electrnica con base en comentariosvertidos por lectores y revisores.Programa de imgenes mejoradas Fotografas de entrada de captulo. Se ha hechoun esfuerzo por lograr que la fsica luzca ms visualmediante la inclusin de fotografas introductorias encada captulo acompaadas por un breve comentario.Esas imgenes se eligieron con sumo cuidado para quedemostraran los conceptos y las aplicaciones expuestasen los captulos. Figuras. Todas las figuras fueron revisadas o redibuja-das.En muchos casos, se insertaron fragmentos de fotografasen los dibujos para mejorarlos, adems de que seusaron ms recuadros de color para destacar conceptos.Determine la masa de un cuerpo cuyo peso en la Tierra es de 100 N. Si esta masa se llevaraa un planeta distante donde g = 2.0 m /s 2, cul sera su peso en ese planeta?Plan: Primero hallamos la masa en la Tierra, donde g = 9.8 m /s 2. Como la masa es constante,podemos usar el mismo valor para determinar el peso en el planeta distante dondeg = 2.0 m /s 2.Solucin:El peso del planeta esW _ 1 0 0N8 9.8 m/s2= 10.2 kgFigura 3.3 Se usan calibradores para medirun dimetro interno.W = mg (10.2 kg)(2 m/s2); W = 20.4 NPrrafos de pianeacinLos estudiantes de primer curso suelen decir: es que no spor dnde empezar. Para encarar esta queja hemos incluidoun paso adicional para muchos de los ejemplos del libro. Losprrafos del plan tienden un puente entre la lectura de unproblema y la aplicacin de una estrategia de aprendizaje.Temas de fsica cotidianaSe han incluido apostillas a lo largodel texto para fomentar el intersy motivar el estudio ulterior.w w w .mhhe.com/bachillerato/tippensfis7eMcGraw-Hill ofrece abundantesartculos en lnea y apoyos para estudiarque mejoran de forma considerablela experiencia de enseary aprender fsica (en ingls).Digital Conten Manager/Administrador de contenidodigitalEs un disco compacto de slo lectura(CD-ROM) que contiene todaslas ilustraciones del libro. Losprofesores pueden usarlas paraelaborar presentaciones a la medidaSabe cunto tiempopasan los satlitesexpuestos a la luzsolar para recargar susbateras? Para la rbitaterrestre baja, toman60 min de luz solar y 35min de oscuridad. Lossatlites en la rbitageosncrona (GEO) dela Tierra, que se hallanmucho ms distantes,pasan menos tiempo enla sombra de nuestroplaneta. Se exponen22.8 h a la luz del Soly 1.2 a la oscuridad.Durante el periodooscuro, la potencia parahacer caminar a lossatlites debe procedercompletamente de lasbateras.de su clase u otras herramientas similares (en ingls).Programas interactivosHay un total de 16 programas interactivos disponibles enel CD-ROM y en lnea en el Online Learning Center. Estosprogramas ofrecen un mtodo fresco y dinmico paraensear y aprender los fundamentos de la fsica medianteapplets completamente precisos que funcionan con datosreales (en ingls).Caractersticas que se conservanSe han conservado varias caractersticas de las edicionesanteriores, las cuales captan y mantienen la atencin de losestudiantes. Entre ellas se cuentan las siguientes:Preparacin en matemticasEl captulo 2 se dedica ntegramente a repasar las matemticasy la trigonometra indispensables para resolver problemasde fsica. 14. Prefacio xvObjetivos del captuloA fin de encarar los problemas de los resultados educativos,cada captulo empieza con una definicin clara de losobjetivos. El estudiante sabe desde el principio qu temasson relevantes y qu resultados cabe esperar.Estrategias de resolucin de problemasA lo largo del texto se han incluido secciones destacadas encolor con procedimientos detallados, paso por paso, para resolverproblemas difciles de fsica. Los estudiantes puedenemplear estas secciones como gua hasta familiarizarse conel proceso de razonamiento necesario para aplicar los conceptosfundamentales expuestos en el libro. Gracias a los numerososejemplos incluidos se refuerzan estas estrategias.Redaccin informativaUn sello de las ediciones previas que continua destacandoen esta edicin es la presentacin de la fsica con un estiloamigable e informativo.Uso de colorSe ha utilizado el color para destacar en el texto las caractersticaspedaggicas. Los ejemplos, las estrategias deaprendizaje y las ecuaciones ms importantes se han destacadocon color, adems de que se han usado tonos diversospara hacer nfasis en algunas partes de las figuras.Ejemplos textualesA lo largo de todos los captulos hay una profusin deejemplos resueltos, que sirven como modelos para que elestudiante mire cmo aplicar los conceptos expuestos enel libro. El alumno aprende a formarse un cuadro generalde la situacin y luego pone en prctica lo aprendido pararesolver el problema.Material al final de cada captuloAl terminar cada captulo se incluye un juego de auxiliarespara el aprendizaje que ayudan al estudiante a repasar elcontenido recin expuesto, a evaluar lo captado de los conceptosms relevantes y a utilizar lo aprendido.9 Resmenes. Se ofrece un resumen detallado de todoslos conceptos esenciales. Asimismo, en el texto sedestacan las ecuaciones importantes, adems de que seresumen al terminar cada captulo.e Palabras clave. Al final de cada captulo se enumeranlas palabras clave, las cuales se destacan tambinen negritas la primera vez que aparecen en el texto.Entre estas palabras se cuentan los trminos centralesexplicados en el captulo, de forma que el estudiantepueda comprobar cunto comprende de los conceptosque les subyacen.9 Preguntas de repaso. Se han incluido ms de 500preguntas cuyo propsito es fomentar la reflexin yestimular las ideas, as como mejorar el pensamientoconceptual. Problemas y problemas adicionales. Se ofrecenms de 1750 problemas elaborados especialmente yque van de lo simple a lo complejo, pasando por lomoderado. En la presente edicin se ha hecho un granesumen y repasoResmenesConceptos clavePreguntas depensamientocrticoProblemasPreguntasde repasoProblemasadicionalesProblemas adicionales ^ 15. xvi Prefacioesfuerzo por comprobar la exactitud de los problemasy de las respuestas dadas a los de nmero impar. Nota:No se ha puesto asterisco al lado de los problemas sencillos;los moderados tienen uno y los complejos, dos. Preguntas de pensamiento crtico. Para la resolucinde 250 problemas, aproximadamente, se precisa una reflexinmoderada o mayor que los dems. Con ellos sebrindan ejemplos de aprendizaje que guan al estudiantey construyen habilidades de resolucin de problemas.Nota: Segn la naturaleza de la pregunta, se dan algunasrespuestas a ciertas preguntas pares y a ciertas impares.Complementos en InglsOnline Learning Center/Centro de aprendizaje en lneaw w w .mhhe.com/bachillerato/tippensfis7eEntre los recursos en lnea para el estudiante se cuentan: Preguntas para estudiar. Hay preguntas de verdade-ro-faso, seleccin mltiple y de completar partes. Tutoriales. El autor ha preparado un completo juegode mdulos de enseanza en PowerPoint, basados enla Web, para cada captulo del libro. Estos tutorialesson estupendos para hacer un repaso antes y despusde clase, antes de los exmenes parciales y tambinde los finales. Asimismo, son de suma utilidad paralos estudiantes que faltan a clase o que quieren mayorprctica y explicacin acerca de los conceptos fsicos. Programas interactivos. McGraw-Hill se enorgullecede brindarle una coleccin de applets interactivos excepcionales,sin par. Estos programas interactivos ofrecenun mtodo fresco y dinmico para ensear los fundamentosde la fsica al dar a los estudiantes programasmuy precisos y que funcionan con datos reales. Los programasinteractivos permiten a los estudiantes manipularparmetros y mejorar as su comprensin de 16 delos temas ms difciles de la fsica, ya que observan losefectos producidos por tal manipulacin. En cada programainteractivo se incluye una herramienta de anlisis(modelo interactivo), un tutorial que describe su funcionamientoy un texto que describe sus temas centrales.Los usuarios pueden ir de un ejercicio a otro y de unaherramienta a otra con slo hacer clic con el ratn.Por aadidura, los recursos en lnea tambin incluyen: Manual del profesor, con las soluciones a todos losproblemas del final de cada captulo, as como notasacerca de los experimentos de laboratorio. El Online Learning Center puede cargarse sin problemaen sistemas de administracin del curso comoBlackboard, WebCT, eCollege y PageOut.Digital Content Manager/Administrador de contenido digitalEn este disco compacto (CD-ROM) se incluyen todas lasilustraciones, fotografas y tablas presentadas en el texto,junto con los 16 programas interactivos. Con el softwarepuede elaborar fcilmente una presentacin multimedia ala medida. Puede organizar las figuras como desee; aadiretiquetas, lneas y sus propias ilustraciones; integrar materialde otras fuentes; editar y escribir notas de la clase; y leofrece la posibilidad de colocar su clase multimedia en unapresentacin hecha con otro programa, como PowerPoint.CD-ROM de pruebas y recursos del maestroEl programa de pruebas electrnicas complementario esflexible y fcil de utilizar. Permite a los maestros crearpruebas con base en temas especficos del libro. Permiteemplear diversos tipos de preguntas, adems de que elprofesor puede aadir las propias. Puede crear varias versionesde una prueba, y sta puede exportarsepara usarla con algn sistema de administracinde cursos, como WebCT, BlackBoardo PageOut. El programa est disponible paraWindows y Macintosh.Manual del maestroEl manual del maestro est incluido en el Ti-ppensOnline Learning Center y en el discocompacto de pruebas y recursos del maestro.Slo pueden acceder a l los maestros.Publicacin a la medidaSaba que puede disear su propio texto omanual de laboratorio usando cualquier textode McGraw-Hill y su propia material a fin decrear un producto a la medida que se ajusteespecficamente a su programa de estudios yobjetivos del curso? Comuniqese con su representantede ventas de McGraw-Hill paraconocer ms acerca de esta posibilidad.- a 5-, i sv Q Sedi - PooLpsom Oiedt N Sfcow-beoklnfo - y Oottonsp l f - f i p p c n s Phvsics * * * * Info rmation C en te r 1Paul E. Tippens, Southern Polytechnic State University em * . ^ 9 Bfrftin 8 BsSHi H 8 BHSSHpHSffisBS 1! /. Q,';-' . LeamlngCentet Physics, Sevsrtk Eeijcn is de signad for th e ncn-cakuiLis pfry. -s taken by studentswho are pursung caresrs in Science or engneering technoiogy. Content is built through: extensiva use of exampies with detailed solutions designad to deve'op students' probiem-; solving skis.t>iigjw.M.-CTtion s 16. Prefacio xviiReconocimientosRevisores de la presente edicinDeseamos reconocer y dar las gracias a los revisores de estaedicin. Su contribucin, aunada a sus sugerencias constructivas,ideas novedosas e invaluables consejos fueronsignificativos en el desarrollo tanto de esta edicin comodel material complementario. Entre los revisores se hallan:Abraham C. Falsafi National Institute o f TechnologyBaher Hanna Owens Community CollegeKevin Hulke Chippewa Valley Technical CollegeBenjamin C. Markham Ivy Tech State CollegeJames L. Meeks West Kentucky Community & TechnicalCollegeJohn S. Nedel Columbus State Community CollegeRusell Patrick Southern Polytechnic State UniversitySulakshana Plumley Community College o f AlleghenyCountyAugust Ruggiero Essex County CollegeErwin Selleck SUNY College o f Technology en CantnRich Vento Columbus State Community CollegeCarey Witkov Broward Community CollegeTodd Zimmerman Madison Area Technical CollegeAgradecimientos especialesEl autor y McGraw-Hill agradecen a Rich Vento, profesorde la Columbus State Community College, por revisar porcompleto la exactitud del manuscrito de esta edicin. Loscomentarios de Rich fueron invaluables para esta edicin.Tambin damos un agradecimiento especial a RusellPatrick, profesor en la Southern Polytechnic State University,por actualizar el banco de pruebas que complementaesta obra.Revisores de ediciones previasLas personas siguientes revisaron ediciones previas del libro.Sus comentarios y sus consejos mejoraron mucho lalegibilidad, precisin y actualidad del texto.Shaikh Ali City College o f Fort LauderdaleFred Einstein County College o f MorrisMiles Kirkhuff Lincoln Technical InstituteHenry Merril Fox Valley Technical CollegeSam Nalley Chcittanooga State Technical CommunityCollegeAjay Raychaudhuri Seneca College ofArts and TechnologyCharles A. Schuler California State University o f Pen-nsylvaniaScott J. Tippens Southern Polytechnic State UniversityBob Tyndall Forsyth Technical Community CollegeRon Uhey ITT Tech InstituteCliff Wurst Motlow State Community CollegeEl equipo de! libro de McGraw-HillEl autor desea expresar su enorme respeto y gratitud por elesfuerzo del gran equipo de profesionales de McGraw-Hillque ha dado incontables horas de su tiempo y conocimientopara desarrollar y producir esta edicin de Fsica. Agradezcode manera particular a mi editor de desarrollo, LizRecker, por mucho el mejor editor con que he trabajado enmuchos aos. Gloria Schiesl, la gerente snior de proyecto,trabaj larga y arduamente a fin de que la produccinno tuviera ningn obstculo. Daryl Brufiodt (SponsoringEditor), Todd Turner (Marketing Manager), Jeffry Schmitt(Media Producer), Judi David (Media Project Manager),Carrie Burger (Lead Photo Research Coordinator), LauraFuller (Production Supervisin) y Shirley Oberbroeckling(Managing Developmental Editor) tambin realizaron tareasde suma importancia en esta revisin. 17. PARTE I Meca nicaIntroduccinCentro espacial Kennedy,en Florida. En lasinstalaciones de serviciode cargas peligrosas lostrabajadores observan elMars Exploration Rover-2(MER-2) subir por la rampapara probar su movilidad yfacilidad de maniobra. Loscientficos y los ingenierosaplican el mtodo cientficopara verificar que elvehculo puede realizartareas semejantes a lasrequeridas en la exploracinde Marte. (Foto de laNASA.)El conocimiento de la fsica es esencial para comprender el mundo. Ninguna otra ciencia haintervenido de forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales.Basta mirar al pasado para advertir que la experimentacin y el descubrimiento forman uncontinuum que corre desde las primeras mediciones de la gravedad hasta los ms recienteslogros en la conquista del espacio. Al estudiar los objetos en reposo y en movimiento, loscientficos han podido deducir las leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones eningeniera mecnica. La investigacin de los principios que rigen la produccin de calor, luzy sonido ha dado paso a incontables aplicaciones que han hecho nuestra vida ms cmoda ynos han permitido convivir mejor con nuestro entorno. La investigacin y el desarrollo en lasreas de la electricidad, el magnetismo y la fsica atmica y nuclear han desembocado en unmundo moderno que habra sido inconcebible hace tan slo 50 aos (vase figura 1.1).Es difcil imaginar siquiera un producto de los que disponemos hoy da que no supongala aplicacin de un principio fsico. Ello significa que, independientemente de la carrera quese haya elegido, es indispensable entender la fsica, al menos hasta cierto punto. Es verdadque algunas ocupaciones y profesiones no requieren una comprensin tan profunda de ellacomo la que exigen las ingenieras, pero la realidad es que en todos los campos de trabajo seusan y aplican sus conceptos. Dotado de slidos conocimientos de mecnica, calor, sonidoy electricidad, el lector contar con los elementos necesarios para cimentar casi cualquierprofesin. Adems, si antes o despus de graduarse le fuera necesario cambiar de carrera,sabr que cuenta con un conocimiento bsico de ciencias y matemticas en general. Si tomacon seriedad este curso y dedica a su estudio una dosis especial de tiempo y energa, tendrmenos problemas en el futuro. As, en los cursos posteriores y en el trabajo podr viajar sobrela cresta de la ola en lugar de mantenerse simplemente a flote en un mar tormentoso.1 18. 2 Captulo 1 IntroduccinFigura 1.1 En muchas ocupaciones se hallan aplicaciones de los principios de la fsica.{Fotos cortesa de Hemera, Inc.)Qu es la fsica?Aun cuando haya estudiado la materia en secundaria, es probable que slo tenga una vagaidea de lo que realmente significa la fsica y en qu se diferencia, por ejemplo, de la ciencia.Para nuestros propsitos, las ciencias pueden dividirse en biolgicas y fsicas. Las cienciasbiolgicas se ocupan de los seres vivos, en tanto que las fsicas tienen como objeto de estudiola parte no viva de la naturaleza.La fsica puede definirse como la ciencia que investiga los conceptos fundamentalesde la materia, la energa y el espacio, as como las relaciones entreellos.De acuerdo con esta amplia definicin, no hay fronteras claras entre las ciencias fsicas,lo cual resulta evidente en reas de estudio como la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica,la geofsica, la electroqumica y muchas otras especialidades.El objetivo de esta obra es brindar una introduccin al mundo de la fsica, con un nfasisen las aplicaciones. Con ello, el vasto campo de esta disciplina se simplifica a los conceptosesenciales subyacentes en todo conocimiento tcnico. Estudiar usted mecnica, calor, luz,sonido, electricidad y estructura atmica. El tema fundamental de todos ellos, y probablementeel ms importante para el alumno principiante es la mecnica.La mecnica se refiere a la posicin (esttica) y al movimiento (dinmica) de la materiaen el espacio. La esttica es el estudio de la fsica aplicado a los cuerpos en reposo. La dinmicase ocupa de la descripcin del movimiento y sus causas. En ambos casos, el ingeniero otcnico se encarga de medir y describir las cantidades fsicas en trminos de causa y efecto.Un ingeniero, por ejemplo, aplica los principios de la fsica para determinar qu tipo deestructura ser ms eficaz en la construccin de un puente. Su inters se centra en el efectode las fuerzas. Si un puente terminado llegara a fallar, la causa de la falla requerira ser analizadapara aplicar ese conocimiento a las construcciones futuras de ese tipo. Es importantesealar que el cientfico define como causa la sucesin de hechos fsicos que desembocan enun efecto. 19. Cmo estudiar fsica? 3Qu Importancia tienen las matemticas?Las matemticas sirven para muchos fines. Son a la vez filosofa, arte, metafsica y lgica.Sin embargo, todos estos aspectos se subordinan a su funcin principal: son una herramientapara el cientfico, el ingeniero o el tcnico. Una de las mayores satisfacciones que brinda unprimer curso de fsica es que se cobra mayor conciencia de la importancia de las matemticas.Un estudio de fsica revela aplicaciones concretas de las matemticas bsicas.Supongamos que se desea predecir cunto tarda en detenerse un automvil que se desplazacon cierta rapidez. Primero es necesario controlar cuantas variables sea posible. En laspruebas, buscar que cada frenado sea uniforme, de modo que la rapidez media se aproximea la mitad de la rapidez inicial. Expresado en smbolos esto puede escribirse:^ media ^Tambin se controlarn las condiciones y la pendiente de la carretera, el clima y otros parmetros.En cada prueba se registrar la rapidez inicial (v.), la distancia a la que se detiene elvehculo (.v) y el tiempo en que lo hace ( t). Tambin puede tomar nota de la rapidez inicial, delcambio de rapidez, as como de la distancia y el tiempo necesarios para detener el automvil.Cuando todos estos factores se han registrado, los datos sirven para establecer una relacintentativa. No es posible hacer esto sin usar las herramientas que ofrecen las matemticas.Con base en la definicin de rapidez como la distancia recorrida por unidad de tiempo seobserva que la distancia de frenado, x en nuestro ejemplo, puede ser producto de la velocidadmedia v /2 multiplicada por el tiempo, t. La relacin tentativa podra ser^ tX = t O X =2 2Obsrvese que hemos usado smbolos para representar los parmetros importantes y las matemticaspara expresar su relacin.Esta proposicin es una h i p t e s i s v ia b l e . A partir de esta ecuacin es posible predecir ladistancia a la que se detendr cualquier vehculo con base en su rapidez inicial y el tiempo defrenado. Cuando una hiptesis se ha aplicado el suficiente nmero de veces para tener un gradode seguridad razonable de que es verdadera, se le llama t e o r a c i e n t f i c a . En otras palabras, cualquierteora cientfica no es ms que una hiptesis viable que ha resistido la prueba del tiempo.Por tanto, podemos damos cuenta de que las matemticas son tiles para obtener frmulasque nos permiten describir los hechos fsicos con precisin. Las matemticas adquierenmayor relevancia aun en la resolucin de esas frmulas con cantidades especficas.Por ejemplo, en la frmula anterior sera relativamente fcil hallar los valores de x, v y tcuando se conocen las otras cantidades. Sin embargo, muchas relaciones fsicas implican mayoresconocimientos de lgebra, trigonometra e incluso clculo. La facilidad con que puedadeducir o resolver una relacin terica depende de sus conocimientos de matemticas.En el captulo 2 se presenta un repaso de los conceptos matemticos necesarios para entendereste texto. Si desconoce alguno de los temas expuestos debe estudiar atentamente esecaptulo. Preste especial atencin a las secciones sobre potencias de 10, ecuaciones literales ytrigonometra. De su habilidad para aplicar las herramientas matemticas depender en granmedida su xito en cualquier curso de fsica.Cmo estudiar fsica?La lectura de un texto tcnico es diferente de la de otros temas. Es indispensable prestar atencinal significado especfico de las palabras para comprender el tema. En los textos tcnicosse utilizan a menudo grficas, dibujos, tablas y fotografas, elementos siempre tiles y a vecesincluso esenciales para describir los hechos fsicos. Debe estudiarlos con detenimiento paraentender bien los principios.Gran parte del aprendizaje se obtiene a partir de las exposiciones en el aula y de losexperimentos. El alumno principiante suele preguntarse: "Cmo puedo concentrarme por 20. 4 Captulo 1 Introduccincompleto en la clase y al mismo tiempo tomar notas precisas? Por supuesto, quiz no sea posiblecomprender cabalmente todos los conceptos expuestos y, adems, tomar apuntes completos.Por ello, debe aprender a anotar slo las partes importantes de cada leccin. Cerciresede escuchar bien la explicacin de los temas. Aprenda a reconocer las palabras clave, comotrabajo, fuerza, energa y cantidad de movimiento'.La preparacin adecuada antes de la clase le dar una buena idea de qu partes de la exposicinse explican en el texto y cules no. Si se presenta un problema o una definicin enel texto generalmente es mejor que anote una palabra clave durante la clase y centre toda laatencin en lo que explica el profesor; despus puede complementar la nota.Cada estudiante que entra en un curso de fsica para principiantes cuenta ya con los requisitosy las habilidades necesarias para aprobarlo; por ende, si no lo hace se deber a otrasrazones: acaso falta de motivacin, una excesiva carga de trabajo, un empleo externo, enfermedadeso problemas personales. Los consejos siguientes provienen de profesores con experienciaque han tenido xito en los cursos para estudiantes de los primeros niveles de fsica. La responsabilidad final del aprendizaje corresponde al estudiante. El maestro es unmero facilitador, la escuela es un simple campus y el texto es slo un libro. Asista puntualmentea las clases, preparado para los temas que se expondrn. Estudie antes el materialy anote las preguntas que desee plantear al profesor. El aprendizaje oportuno es aprendizaje eficaz. Es mejor estudiar una hora cada da de lasemana que 20 el sbado y el domingo. Despus de cada clase o exposicin emplee su horalibre ms prxima para reforzar lo que ha aprendido de los temas presentados. Repase algunosejemplos. Cuanto ms tiempo deje pasar ms olvidar de la clase y perder ms tiempo.Si espera hasta el fin de semana necesitar al menos una hora simplemente para revisar yreconstruir la clase a partir de sus notas. Estudiar todo poco antes del examen no funciona',mejor repase los problemas que ya haya resuelto y trabaje en el libro otros semejantes. El aprendizaje cabal va ms all del saln de clases. A fin de retener y aplicar lo aprendidoen el saln, es indispensable que resuelva problemas por su cuenta. Solicite la ayudade otras personas, incluida la del profesor, despus de haberse esforzado en contestar losproblemas asignados. No hay sustituto para la participacin activa en el pensamiento yen los procedimientos necesarios para resolver problemas. Repase las habilidades bsicas. En el captulo 2, que versa sobre matemticas tcnicas,destaca las habilidades que tal vez estn un tanto dbiles o haya que pulir. Asegrese deque entiende bien esos temas. Estudie el plan de actividades. Procure estar enterado de los temas que se incluirn enlos exmenes, cundo se llevarn a cabo stos y cmo influirn en la calificacin final. Busque un compaero y pdale su nmero telefnico. Establezca un sistema de compaerismodonde cada uno informe al otro sobre las actividades de clase o de laboratorioa las que no haya asistido. Pida a esa persona que recoja los materiales impresos y lasinstrucciones que se den cuando usted no est presente. La organizacin es la clave del verdadero aprendizaje. Mantenga al da una carpeta deargollas, dividida por secciones con sus respectivos ttulos: Material impreso recibido,Notas, Problemas, Exmenes calificados, Prcticas de laboratorio calificadas. Si tiene dificultades, pida ayuda cuanto antes. Hoy da los estudiantes tienen a su alcanceuna gran cantidad de material de estudio que otrora slo exista en sueos. Hay tutorialesasistidos por computadora, internet, guas de soluciones, manuales de resolucinde problemas e incluso otros libros de textos que explican los mismos temas. Su profesoro bibliotecario le indicarn qu y cmo puede conseguirlos, pero usted es responsable deobtenerlos.Tras muchos aos de ensear fsica en el bachillerato he notado que la razn ms comnpor la que a muchos estudiantes de los primeros niveles se les dificulta la materia es la mala1 Como sinnimos de cantidad de movimiento, tambin se emplean momento lineal e mpetu. (N. del E.) 21. Cmo estudiar fsica? 5planificacin y organizacin. Hoy da un estudiante puede tomar dos o tres materias, inclusoms, mientras cursa fsica. Por aadidura, puede trabajar en un empleo de medio tiempo; o estarcasado y tener hijos; o contar con varias actividades extraclase; o asistir al curso de fsicaaun antes de terminar los cursos de matemticas necesarios para entender la materia. Prontose torna evidente que no alcanza el tiempo para ahondar en una sola rea de estudio. Porconsiguiente, debe establecer un calendario riguroso, con objetivos y prioridades firmes. Paraayudarle en su elaboracin, le recomiendo que considere tambin los aspectos siguientes: En cuanto a la preparacin para el bachillerato y para su futuro en el mundo tcnico dela actualidad, la fsica es el curso ms importante de los primeros niveles. (Debatir congusto sobre esta afirmacin con cualquier persona, y a menudo lo hago.) No espere entender a cabalidad los principios de la fsica del mismo modo que aprendelos de otras materias no tcnicas. La verdadera comprensin de la disciplina se logra conla aplicacin y la resolucin de problemas. Debe aplicar un concepto poco despus deque se le haya explicado; de otro modo, slo perder el tiempo intentando reconstruir susideas. Trate de programar una hora libre inmediatamente despus de su clase de fsica eintente trabajar con los ejemplos mientras la leccin an est fresca en su mente. Organice sus hbitos de estudio en tomo a la naturaleza de las materias que cursa. Muchasdisciplinas obligatorias precisan numerosas lecturas y elaboracin de informes, ypueden encararse diferente de las matemticas y la fsica. Todas son importantes, peroestas ltimas no pueden aprenderse bien si estudia todo al final. Cuando los temas sucesivosrequieren entender los temas anteriores crece la posibilidad de rezagarse pronto. Nunca he dado un curso de fsica sin que falte alguien que se queje porque la ansiedadpor los exmenes es la principal razn de sus malas calificaciones. Cierto, se trata de unproblema real, ms grave en unos que en otros. Me parece que la mejor forma de lidiarcon l es procurndose una preparacin completa y apropiada. Debe trabajar con cuantosejemplos sea posible antes del examen. En el basquetbol la victoria puede depender de untiro libre al final. El triunfador es el jugador que ha encestado tantos tiros libres que susreflejos se hallan condicionados para responder incluso bajo presin. 22. Matemticas tcnicasLas matemticas son unaherramienta fundamentalpara todas las ciencias. Enla grfica que aparece en lapantalla de la computadorase muestra una aplicacinde la trigonometra.(Foto de Paul E. Tippens.)ObjetivosCuando termine de estudiar este captulo el alumno:1. Demostrar su habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir unidades tcnicasde medida.2. Resolver frmulas sencillas para cualquier cantidad que aparezca en la frmulay realizar evaluaciones por sustitucin.6 23. 2.1 Nmeros con signo 73. Resolver problemas sencillos que impliquen operaciones con exponentes yradicales.4. Realizar operaciones matemticas comunes en notacin cientfica.5. Trazar una grfica a partir de datos tcnicos especficos e interpretar nuevainformacin con base en aqulla.6. Aplicar las reglas elementales de la geometra para calcular ngulos desconocidosen situaciones concretas.Suele ser decepcionante abrir un libro de fsica y ver que empieza con matemticas. Naturalmente,usted desea aprender slo las cosas que considera necesarias. Quiere tomar medidas,operar mquinas o motores, trabajar con algo o al menos saber que no ha perdido el tiempo.Segn su experiencia, podr omitir gran parte o todo este captulo, a juicio de su profesor.Tenga presente que los fundamentos son importantes y que ciertas habilidades matemticasson indispensables. Tal vez comprenda perfectamente los conceptos de fuerza, masa, energa yelectricidad, pero quiz no sea capaz de aplicarlos en su trabajo por falta de conocimientos matemticosfundamentales. Las matemticas son el lenguaje de la fsica. A lo largo de la obra noshemos esforzado por lograr que ese lenguaje sea tan sencillo y relevante como sea necesario.En cualquier ocupacin industrial o tcnica tenemos que efectuar mediciones de algntipo. Puede tratarse de la longitud de una tabla, el rea de una hoja de metal, el nmero detornillos que hay que pedir, el esfuerzo al que est sometida el ala de un avin o la presinen un tanque de aceite. La nica forma en que podemos dar sentido a esos datos es mediantenmeros y smbolos. Las matemticas brindan las herramientas necesarias para organizarlos datos y predecir resultados. Por ejemplo, la frmula F = ma expresa la relacin entreuna fuerza aplicada (F) y la aceleracin (a) que sta produce. La cantidad m es un smboloque representa la masa de un objeto (una medida de la cantidad de materia que contiene). Atravs de los pasos matemticos apropiados podemos usar frmulas como sa para predeciracontecimientos futuros. Sin embargo, en muchos casos se precisan conocimientos generalesde lgebra y geometra. Este captulo le ofrece un repaso de algunos de los conceptos esencialesen matemticas. El estudio de las diferentes secciones del captulo podr ser asignadou omitido a criterio de su profesor.Nmeros con signo-----24C +0C------ 10C y -Figura 2.1A menudo es necesario trabajar con nmeros negativos y positivos. Por ejemplo, una temperaturade - 10C significa 10 grados "abajo del punto de referencia cero, y 24C una temperaturaque est 24 grados arriba del cero (vase la figura 2.1). Los nmeros se refieren a la magnitudde la temperatura, mientras que el signo ms o menos indica el sentido respecto al cero. Elsigno menos en 10C no indica falta de temperatura; significa que la temperatura es menorque cero. El nmero 10 en 10C describe cuan lejos de cero se halla la temperatura; el signomenos es necesario para indicar el sentido respecto del cero.El valor de un nmero sin signo se conoce como su valor absoluto. En otras palabras, siomitimos los signos de +7 y 7, el valor de ambos nmeros es el mismo. Cada nmero esta siete unidades del cero. El valor absoluto de un nmero se indica por medio de un smboloformado por barras verticales. El nmero +7 no es igual que el nmero 7; pero 1+71 s esigual que I 71. Cuando se realizan operaciones aritmticas que incluyen nmeros con signo seusan sus valores absolutos.Los signos ms y menos tambin se emplean para indicar operaciones aritmticas; porejemplo:7 + 5 significa sumar el nmero +5 al nmero +7"7 5 significa restar el nmero +5 del nmero + 7 Si queremos indicar la suma o la resta de nmeros negativos, resulta til emplear parntesis:(+7) + ( - 5 ) significa sumar el nmero 5 al nmero + 7 (+7) ( 5) significa restar el nmero 5 del nmero + 7 24. 8 Captulo 2 Matemticas tcnicasCuando se suman nmeros con signo es til recordar la regla siguiente:Regla d e la suma: para sumar dos nmeros del mismo signo, sumamos susvalores absolutos y ponemos el signo en comn al resultado (suma). Para sumardos nmeros de diferente signo, encontramos la diferencia entre sus valoresabsolutos y asignamos al resultado el signo del nmero de mayor valor.Considere los ejemplos que siguen:(+6) + (+2) = +(6 + 2) = +8( - 6 ) + ( - 2 ) = - ( 6 + 2) = - 8(+6) + ( - 2 ) = +(6 - 2) = +4( - 6 ) + (+2) = - ( 6 - 2) = - 4Examinemos ahora el procedimiento de la resta. Siempre que a un nmero le restamosotro, cambiamos el signo del segundo nmero y despus lo sumamos al primero, aplicandola regla de la suma. En la expresin 7 5, el nmero +5 va a ser restado del nmero +7. Laresta se realiza cambiando primero +5 por 5 y luego sumando los dos nmeros que ahoratienen diferente signo: (+7) + (5) = +(7 5) = +2.Regla d e la re s ta : para restar un nmero, b, con signo de otro nmero, a, consigno, cambiamos el signo de b y luego sumamos este nmero a a aplicandola regla de la suma.Analice los ejemplos siguientes:(+8) -- (+5) = 8 - 5 = 3(+8) -- ( - 5 ) = 8 + 5 = 13( - 8 ) -- (+5) = - 8 - 5 = -1 3( - 8 ) -- ( - 5 ) = - 8 + 5 = - 3r/s viLa velocidad de un objeto se considera positiva cuando ste se mueve hacia arriba y negativacuando se mueve hacia abajo. Cul es el cambio de velocidad de una pelota quegolpea el piso a 12 metros por segundo (m/s) y rebota a 7 m/s? Consulte la figura 2.2.Plan: Primero establecemos como positivala direccin ascendente o hacia arriba,as que podemos usar los mismos signospara la velocidad. La velocidad inicial es12 m/s porque la pelota se est moviendohacia abajo. Despus su velocidad es+7 m/s, pues se mueve hacia arriba. Elcambio de velocidad ser la velocidad finalmenos la inicial.+7 m/s-12 m/sFigura 2.2 25. 2.1 Nmeros con signo 9Solucin:Cambio en la velocidad = velocidad final velocidad inicial= ( + 7 m/s) (12 m/s)= 7 m/s + 12 m/s = 19 m/sSin entender los nmeros con signo podramos haber supuesto que el cambio registrado enla rapidez era de slo 5 m/s (12 7). Sin embargo, tras pensarlo un momento, nos damoscuenta de que la rapidez debe disminuir primero a cero (un cambio de 12 m/s) y que luego sealcanza una rapidez de 7 m/s en direccin opuesta (un cambio adicional de 7 m/s).En una multiplicacin cada nmero se llama factor y el resultado es el producto. Ahora podemosestablecer la regla de la multiplicacin para nmeros con signo:Regla de la multiplicacin: si dos factores tienen signos iguales, su productoes positivo; si tienen signos diferentes, su producto es negativo.Veamos estos ejemplos:(+2)(+3) = +6 (3)(4) = +12(2)( + 3) = 6 ( 3)(+4) = 12Suele resultar til una ampliacin de la regla de la multiplicacin para los productos queresultan de multiplicar varios factores. En vez de multiplicar una serie de factores, de dos endos, podemos recordar queEl producto ser positivo si todos los factores son positivos o si existe un nmeropar de factores negativos. El producto ser negativo si hay un nmeroimpar de factores negativos.Considere los ejemplos que siguen:(2)(+2)(3) = +12 (dos factores negativos,par)(2)(+4)(3)(2) = - 4 8 (tres factores negativos,impar)(3)3 = (3)(3)(3) = - 2 7 (tres factores negativos, impar)Observe que en el ltimo ejemplo se us un superndice 3 para indicar el nmero de vecesque el nmero 3 deba usarse como factor. El superndice 3 escrito en esta forma se llamaexponente.Cuando se desea dividir dos nmeros, el que va a ser dividido se llama dividendo y entreel que se divide ste se llama divisor. El resultado de la divisin se denomina cociente. Laregla para dividir nmeros con signo es la siguiente:Regla de la divisin: el cociente de dos nmeros con signos iguales es positivoy el cociente de dos nmeros con signos diferentes es negativo.Por ejemplo( + 2) -v- ( + 2) = +1 ( - 4 ) -h ( - 2 ) = +2En caso de que el numerador o el denominador de una fraccin contenga dos o ms factores,la regla siguiente tambin es til:El cociente es negativo si el nmero total de factores negativos es impar; encaso contrario, el cociente es positivo. 26. 1 0 Captulo 2 Matemticas tcnicasPor ejemplo,(~4)(3)2(~ 2 )(~ 2 )(3)(2 )(-3 )= 6 par +2 imparEs conveniente que practique la aplicacin de todas las reglas expuestas en esta seccin.Es un grave error suponer que ha entendido estos conceptos sin comprobarlo adecuadamente.Una fuente importante de errores en la resolucin de problemas de fsica es el uso de losnmeros con signo.Repaso de lgebraEl lgebra es en realidad una generalizacin de la aritmtica, en la que se usan letras parareemplazar nmeros. Por ejemplo, aprenderemos que el espacio ocupado por algunos objetos(su volumen, V) puede calcularse multiplicando el largo (/) por el ancho (>) y por la altura (h).Si se asignan letras a cada uno de esos elementos, establecemos una frmula general, comoVolumen = largo X ancho X alturaV = l b h (2.1)La ventaja de las frmulas es que funcionan en cualquier situacin. Dado el largo, el anchoy la altura de cualquier slido rectangular podemos usar la ecuacin (2.1) para calcular suvolumen. Si deseamos averiguar el volumen de un bloque rectangular de metal, slo debemossustituir los nmeros apropiados en la frmula.3EX23& Calcule el volumen de un slido que tiene las medidas siguientes: largo, 6 centmetros(cm); ancho, 4 cm, y alto, 2 cm.Plan: Recuerde o localice la frmula para calcular el volumen y luego sustituya las letras(literales) con las cantidades proporcionadas.Solucin: La sustitucin da por resultadoV = Ibh= (6 cm)(4 cm)(2 cm)= 48 (cm X cm X cm) = 48 cm3El tratamiento de las unidades que dan por resultado un volumen expresado en centmetroscbicos se comentar ms adelante. Por ahora, cntrese en la sustitucin de nmeros.Cuando las letras se sustituyen por nmeros en una frmula es muy importante insertarel signo apropiado de cada nmero. Considere la frmula siguiente:P = c2 abSuponga que c = +2, a = - 3 y b = +4. Recuerde que los signos ms y menos incluidosen las frmulas no se aplican a ninguno de los nmeros que pueden ser sustituidos. En esteejemplo, tenemos:P = (c)2 - (a)(b)= (+2)2 - (-3X + 4 )= 4 + 12 = 16Resulta sencillo advertir que si se confunde un signo de la frmula con el signo de alguno delos nmeros sustituidos podra cometerse un error. 27. 2.2 Repaso de lgebra 11Con frecuencia es necesario resolver (despejar) una frmula o una ecuacin para unaletra que es slo parte de la frmula. Suponga que deseamos encontrar una frmula para calcularel largo de un slido rectangular a partir de su volumen, su altura y su ancho. Las letrasque aparecen en la frmula V = ah tendrn que reorganizarse para que la / aparezca sola enel lado izquierdo. El reordenamiento de la frmula no es difcil si recordamos algunas reglaspara trabajar con ecuaciones.Bsicamente, una ecuacin es un enunciado matemtico que dice que dos expresionesson iguales. Por ejemplo,2b + 4 = 3b - 1es una ecuacin. En este caso, es evidente que la letra b representa la cantidad desconocida o,mejor dicho, la incgnita. Si sustituimos b = 5 en ambos lados o miembros de esta ecuacin,obtenemos 14 = 14. Por tanto, b = 5 es la solucin de la ecuacin.Podemos obtener soluciones para igualdades realizando las mismas operaciones en losdos lados de la ecuacin. Considere la igualdad 4 = 4. Si sumamos, restamos, multiplicamoso dividimos el nmero 2 en ambos lados, no se altera la igualdad. Lo que hacemos es, enefecto, aumentar o disminuir la magnitud de cada lado, pero la igualdad se conserva. (Serconveniente que usted verifique el enunciado anterior para la igualdad 4 = 4.) Observe tambinque si se eleva al cuadrado o se obtiene la raz cuadrada en los dos lados no se altera laigualdad. Si se realiza la misma serie de operaciones en cada miembro de una ecuacin esposible obtener finalmente una igualdad con una sola letra en el miembro izquierdo. En estecaso, se dice que hemos resuelto (o despejado) la ecuacin para esa letra.Resuelva para m la ecuacin que sigue:3 m 5 = m + 3Pa n: La clave es dejar sola la m en un lado del signo igual y del otro un nmero solo.Mientras sumemos o restemos la misma cantidad en cada lado, la ecuacin seguir siendoverdadera.Solucin: Primero sumamos +5 a ambos lados y luego restamos m de los dos lados:3/72 5 + 5 = m + 3 + 53 m = m + 83 m m = m + 8 m2 m = 8Por ltimo, dividimos ambos lados entre 2:2 m 8~2~ ~~ 2m = 4Para comprobar esta respuesta, sustituimos m = 4 en la ecuacin original y obtenemos7 = 7, lo cual demuestra que m = 4 es la solucin.En las frmulas, la solucin de una ecuacin tambin puede expresarse por medio deletras. Por ejemplo, la ecuacin literalax 5b = cpuede resolverse para x en trminos de a, b y c. En casos como ste, decidimos de antemanocul de las letras ser la incgnita. En nuestro ejemplo, elegiremos x. Las dems letras setratan como si fueran nmeros conocidos. Sumando 5b a ambos lados se obtieneax 5b + 5b = c + 5bax = c + 5b 28. 12 Captulo 2 Matemticas tcnicasAhora dividimos ambos lados entre a para obtenerax c + 5ba ac + 5bx =aque es la solucin para x. Los valores para a, b y c en una situacin concreta se sustituyen parahallar un valor especfico de x.w /y / V!El volumen de un cono circular recto se expresa con la frmulatjr 2hV = (2.2)Cul es la altura del cono si su radio es r = 3 cm y V = 81 centmetros cbicos (cm3)?(Suponga que tt = 3.14.)Plan: Primero resolvemos la frmula para h en trminos de r y V; luego debemos sustituirlos valores que tenemos para V, tt y r.Solucin: Al multiplicar ambos lados por 3 se obtiene3V = ir rhSi dividimos ambos miembros entre rrr2 resulta3y _ irr2h 3V htt}-2 7r r 2 7rr2 1Por tanto, la altura h est dada por:3Vh = 2 7r rSustituyendo los valores que tenemos de V, tt y r nos queda3(81 cm3) 243 cm3n = ------------------r = ------------ t = 8.60 cm(3.14)(3cm) 28.26 cm-La altura del cono es 8.60 cm.Exponentes y radicales (optativo)Con frecuencia resulta necesario multiplicar una misma cantidad cierto nmero de veces. Unmtodo abreviado para indicar el nmero de veces que una cantidad se toma como factor des misma consiste en usar un superndice numrico conocido como exponente. Esta notacinsigue el esquema presentado a continuacin:Para cualquier nmero a: Para el nmero 2:a = a 1 2 = 21a X a = a2 2 X 2 = 22a X a X a = a3 2 X 2 X 2 = 23a X i X a X f l = a4 2 X 2 X 2 X 2 = 24 29. 2.3 Exponentes y radicales (optativo) 13Las potencias del nmero a se leen como sigue: a2 se lee a cuadrada : a3, a cbica";y a4, a a la cuarta potencia. En general, se dice que a" representa a elevado a la 77-simapotencia. En tales ejemplos, la letra a es la base y los superndices numricos 1, 2, 3, 4 y nson los exponentes.Repasaremos varias reglas que es necesario seguir al trabajar con exponentes.Regla 1 : Cuando se multiplican dos cantidades de la misma base su productose obtiene sumando algebraicamente los exponentes:(a'")(a") = a'n+" Regla de la multiplicacin (2.3)Ejemplos:(24)(23) = 24 + 3 = 272 5 3 x x y x 3 = x2 + 5 +y 3 3= x y 10 3Regla 2 : Cuando a no es cero, un exponente negativo se define con cualquierade las expresiones siguientes:a~n = y = Exponente negativo (2.4)Ejemplos:a - 41' a" y a"1 a~n1 i102134 8 l _ 10-2 . hEn un edificio en construccin, dos postes de tabique se han reforzado con un miembro cruzado,como se muestra en la figura 2.10. Calcule el ngulo C por medio de la geometra.Plan: Supngase que los dos postes son paralelos y que, por tanto, el miembro cruzadoforma una recta que los corta. Empiece con el ngulo dado y luego aplique las reglas 1 y 2para hallar cada uno de los ngulos.Solucin: El ngulo A mide 60 de acuerdo con la regla 1; el ngulo B mide 60 segn laregla 2, porque segn sta, los ngulos internos son iguales. Finalmente, aplique la regla1 de nuevo para encontrar que el ngulo C mide 60. A partir de este ejemplo, se observaque los ngulos alternos externos tambin son iguales, pero no es necesario postular unanueva regla.Figura 2.10Un tringulo es una figura cerrada plana con tres lados. En la figura 2.11 se ejemplificaun tringulo con lados a, b y c y ngulos A, B y C. Un tringulo como ste, en el que no haydos lados ni dos ngulos iguales, se llama tringulo escaleno.Un tringulo de especial inters para nosotros es el tringulo rectngulo, que se ejemplificaen la figura 2.12. Un tringulo rectngulo tiene un ngulo igual a 90 (dos de los ladosson perpendiculares). El lado opuesto al ngulo de 90 se llama hipotenusa.Regla 3 : En cualquier tipo de tringulo, la suma de los ngulos internos esigual a 180.A + B + C = 180Corolario: Para cualquier tringulo rectngulo (C = 90), la suma de los dosngulos ms pequeos es igual a 90.A + B = 90En este caso, se dice que los ngulos A y B son complementarios.Figura 2.11 Un tringulo escaleno. Figura 2.12 En un tringulorectngulo uno de los ngulos internosdebe ser recto. 38. 22 Captulo 2 Matemticas tcnicasmr/s r..y Aplique las reglas de la geometra para determinar los ngulos desconocidos en el casoilustrado en la figura 2.13.Pa n: Observe toda la figura; busque las rectas perpendiculares (las que forman tringulosrectngulos). Con base en el ngulo de 30 que se proporciona, aplique las reglas de lageometra para hallar el valor de los otros ngulos.Solucin: Puesto que la recta MC es perpendicular a la recta RQ, tenemos un tringulorectngulo en el que el ngulo menor es de 30. La aplicacin del corolario a la regla 3produce:30 + B = 90 o B = 60En virtud de que los ngulos opuestos son iguales, D tambin es igual a 60. La recta NFes perpendicular a la recta RP, por lo que A + D = 90. Por consiguiente,A + 60 = 90 30Figura 2.13Otra regla importante para la geometra se basa en los lados de un tringulo rectngulo. Abordaremosel teorema de Pitgoras en la seccin 2.8.El teorema de Pitgoras:Figura 2.14Trigonometra del tringulo rectnguloA menudo es necesario determinar las longitudes y los ngulos a partir de figuras de tres ladosconocidas como tringulos. Si aprende algunos principios que se aplican a todos los tringulosrectngulos, mejorar de manera significativa su habilidad para trabajar con vectores.Adems, con las calculadoras porttiles los clculos son relativamente sencillos.Primero repasemos algunos de los temas que ya conocemos acerca de los tringulos rectngulos.Seguiremos la convencin de usar letras griegas para identificar los ngulos y letrasromanas para los lados. Los smbolos griegos que se usan comnmente son:a alfa /3 beta y gama6 theta 4> phi 8 deltaEn el tringulo rectngulo de la figura 2.14, los smbolos R ,x y y se refieren a las dimensionesde los lados, mientras que 6,y 90 corresponden a los ngulos. Recuerde que en un tringulorectngulo la suma de los ngulos ms pequeos es igual a 90:> + 6 = 90Se dice que el ngulo es complemento de 9 y viceversa.Tringulo rectngulo 39. Tambin existe una relacin entre los lados, la cual se conoce como el teorema dePitgoras:Teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados.R2 = je + y2 Teorema de Pitgoras (2.12)La hipotenusa se define como el lado mayor. En la prctica, puede ubicarlarecordando que es el lado directamente opuesto al ngulo recto; es la rectaque une los dos lados perpendiculares.iJy de cable de retn se necesita para formar un tirante desde lo alto de un poste' telefnico de 12 m, hasta una estaca clavada en el suelo a 8 m de la base del poste?Pian: Trace un esquema del problema como en la figura 2.15, donde se advierta que elcable de retn forma un tringulo rectngulo con el poste perpendicular al suelo. Etiquetela figura y aplique el teorema de Pitgoras para determinar la longitud del cable.Solucin: Identifique la longitud R del cable como la hipotenusa de un tringulo rectnguloy despus, con base en el teorema de Pitgoras:R2 = (12 m)2 + (8 m)2= 144 m2 + 64 m2 = 208 m2Al obtener la raz cuadrada a los dos miembros de la ecuacin se obtieneR = V208 m2 = 14.4 mRecuerde dar su respuesta con tres cifras significativas. En este libro suponemos que todaslas mediciones tienen tres dgitos significativos. En otras palabras, la altura del poste es12.0 m y la base del tringulo es 8.00 m, a pesar de que, por comodidad, se han especificadocomo 12 m y 8 m.2.8 Trigonometra dei tringulo rectngulo 238 mFigura 2.15En general, para hallar la hipotenusa el teorema de Pitgoras puede expresarse comoR = Vx_ + y Hipotenusa (2.13)En algunas calculadoras electrnicas, la secuencia de teclas para introducir la informacinpodra ser* E E E >' CZI E D E S (2.i4)En este caso, x y y son los valores de los lados ms cortos, y los smbolos que aparecen encerradosen recuadros son las teclas de operacin en la calculadora. Conviene comprobar lasolucin del problema anterior con x = 8 y y = 12. (El procedimiento de introduccin dedatos depende de la marca de la calculadora.) 40. 24 Captulo 2 Matemticas tcnicasFigura 2.16 Todos los tringulos rectngulos que tienen los mismos ngulos internosson semejantes; es decir, sus lados son proporcionales.opuesto a 4>Figura 2.17Por supuesto, el teorema de Pitgoras sirve tambin para hallar cualquiera de los ladosms cortos si se conocen los otros lados. La solucin para x o para y esx = V R 2 - y2 y = V i?2 - x2 (2.15)La trigonometra es la rama de las matemticas que se basa en el hecho de que los tringulossemejantes son proporcionales en sus dimensiones. En otras palabras, para un ngulodado, la relacin entre dos lados cualesquiera es la misma, independientemente de las dimensionesgenerales del tringulo. En los tres tringulos de la figura 2.16, las razones de los ladoscorrespondientes son iguales siempre que el ngulo sea de 37. A partir de la figura 2.16 seobserva quey tambin3 - ! - f i4 yi yi4 _ 3>1 y 25 *1Una vez que se ha identificado un ngulo en un tringulo rectngulo, debe marcarse ellado opuesto y el adyacente al ngulo. En la figura 2.17 se muestra el significado de opuesto,adyacente e hipotenusa. Es conveniente que estudie la figura hasta que entienda plenamenteel significado de tales trminos. Compruebe que el lado opuesto a 9 es y y que el lado adyacentea 9 es x. Observe tambin que los lados descritos como opuesto y adyacente cambiancuando nos referimos al ngulo 4>.En un tringulo rectngulo hay tres relaciones importantes entre los lados: el seno, elcoseno y la tangente, que en el caso del ngulo 9 se definen as:sen 9 =eos 9 =tan 9 =op 9hipady9hipop 9ady(2.16)Para cerciorarse de que ha comprendido estas definiciones, compruebe las expresiones siguientespara los tringulos de la figura 2.18:sen 9 = tan a = ytan JL = 1 2r 9Figura 2.18 (a) (b) (c) 41. 2.8 Trigonometra del tringulo rectngulo 25Primero debe identificar el ngulo recto y luego marcar el lado ms largo (el opuesto al ngulode 90) como hipotenusa. Despus, para un ngulo en particular, es preciso que identifiquelos lados opuesto y adyacente.En cualquier calculadora cientfica es fcil obtener los valores constantes de las funcionestrigonomtricas. Lea el manual de la calculadora para que aprenda a obtener el seno, elcoseno o la tangente de un ngulo, as como para determinar el ngulo cuyo seno, coseno otangente es una razn especfica. El procedimiento exacto depende de la calculadora. selapara comprobar queeos 47 = 0.682En casi todas las calculadoras debemos introducir el nmero 47 y luego oprimir la tecla| eos | para que aparezca en la pantalla el resultado. Compruebe los datos siguientes:tan 38 = 0.781 eos 31 = 0.857sen 22 = 0.375 tan 65 = 2.145Para hallar el ngulo cuya tangente es 1.34 o el ngulo cuyo seno es 0.45 hay que invertirel procedimiento anterior. Con una calculadora, por ejemplo, se introduce primero el nmero1.34 y luego se teclea alguna de estas secuencias, segn la calculadora: IINV j tan | ARC|tan I, o bien, ltan-1 l- Cualquiera de estas secuencias da como resultado el ngulo cuya tangentees el valor introducido. En los ejemplos anteriores obtuvimostan 9 = 1.34 0 = 53.3sen 9 = 0.45 0 = 26.7Ahora ya puede aplicar la trigonometra para hallar los ngulos o lados desconocidos deun tringulo rectngulo. El procedimiento siguiente para resolver problemas le ser til.Estrategia para resolver problemasAplicacin de trigonometra1. Trace el tringulo rectngulo a partir de las condicionesplanteadas en el problema. (Marque todos los ladosy ngulos, ya sea con el valor conocido o con unsmbolo del valor que se desconoce.)2. Asle un ngulo para su estudio; si se conoce uno delos ngulos, es el que debe seleccionar.3. Marque cada lado de acuerdo con la relacin que guardacon el ngulo elegido, ya sea op, ady o hip.4. Decida cul es el lado o ngulo que se va a calcular.5. Recuerde las definiciones de las funciones trigonomtricas:sen 9 = OPhipeos 9 =adyhiptan 9 opady6. Elija la funcin trigonomtrica que incluya (a) la cantidaddesconocida y (b) ninguna otra cantidad desconocida.7. Escriba la ecuacin trigonomtrica apropiada y resuelvapara el valor desconocido.Ejemplo 2.10 Cul es la longitud del segmento de cuerda x en la figura 2.19?Plan: El paso 1 de la estrategia de resolucin de problemas ya est completo. Proseguiremoscon los dems hasta determinar la longitud del segmento de cuerda x.20 m. hip 42. 26 Captulo 2 Matemticas tcnicasEjemplo 2.11Solucin: De acuerdo con los pasos 2 y 3, se elige el ngulo de 40 como referencia yluego se marcan en la figura los lados op, ady e hip. En el paso 4, se toma la decisin deresolver para x (el lado opuesto al ngulo de 40). En seguida, puesto que la funcin senoincluye op e hip, elegimos la funcin y escribimos la ecuacinsen 40 = 20 mResolvemos para x multiplicando ambos lados por 20 m, y obtenemosx = (20 m) sen 40 o x = 12.9 mEn algunas calculadoras podemos hallar x de esta forma:(20 m) sen 40 = 20 [ x ] 40 f^hTI Q = 12-9 mEl procedimiento vara segn la calculadora. Debe comprobar esta respuesta y usar sucalculadora para mostrar que el lado y = 15.3 m.^ Un automvil sube por la rampa mostrada en la figura 2.20, cuya base es de 20 m y tieneuna altura de 4.3 m. Cul es el ngulo de su inclinacin?Plan: Trace un esquema y mrquelo (vase la figura 2.20) sin perder de vista la informacinproporcionada y las relaciones del ngulo de inclinacin. Luego siga la estrategia deresolucin de problemas.Solucin: Identifique los lados op, ady e hip para el ngulo 6 y observe que la funcintangente es la nica que implica los dos lados conocidos. Escribimosop 4.3 mtan 6 = = ------- o tan 6 = 0.215ady 20 mEl ngulo 6 es aquel cuya tangente es igual a 0.215. En la calculadora obtenemos6 = 12.1En algunas calculadoras la secuencia de teclas sera4.3 [ 20 ^ F 1En algunas calculadoras hay que usar INV TAN, ATAN, ARCTAN u otros smbolos en vezde tan-1. Lo reiteramos: es preciso que lea el manual incluido con su calculadora.Figura 2.20 43. f s y2 estimen y repasoResumenEl propsito de este captulo es repasar las matemticas tcnicas.Ahora que ha terminado de estudiarlo, regrese y repaselos objetivos planteados al principio. Si no se siente seguro dehaberlos alcanzado, sera conveniente que diera otro repaso.Asegrese de haber entendido los temas importantes del captuloantes de aplicar los conceptos de fsica que se presentanen captulos posteriores. Recuerde lo siguiente:e Para sumar nmeros con signos iguales, sumamos sus valoresabsolutos y asignamos a la suma el signo comn. Parasumar nmeros con signos diferentes, hallamos la diferenciade sus valores absolutos y le asignamos al resultado elsigno del nmero mayor.0 Para restar un nmero b de un nmero a, cambiamos elsigno del nmero b y despus lo sumamos al nmero a,aplicando la regla de la suma. Cuando multiplicamos o dividimos un grupo de nmeroscon signo, el resultado ser negativo si la cantidad totalde factores negativos es impar; de lo contrario, el resultadoser positivo. Las frmulas pueden reordenarse (despejar) para resolveruna incgnita especfica, realizando operaciones equivalentes(suma, resta, multiplicacin, divisin, etctera) enambos miembros de la igualdad. Las reglas siguientes se aplican a los exponentes y radicales(optativa):aman = am + n aam = a'"-11 (a'n)na"( a (a b f = a"b"Z"ab = V a ^ /b ama"V'm _ Qm/nEn la notacin cientfica se usan potencias positivas o negativasde base 10 para expresar nmeros grandes o pequeosen notacin abreviada.Las grficas sirven para presentar una descripcin continuade la relacin entre dos variables, a partir de los datosobservados.Cuando dos rectas se intersecan, forman ngulos opuestosque son iguales entre s.Cuando una recta corta dos rectas paralelas, los ngulosinternos altemos son iguales.En cualquier tringulo, la suma de los ngulos internoses 180; en un tringulo rectngulo, la suma de los dosngulos ms pequeos es igual a 90.La aplicacin del teorema de Pitgoras y de las funcionestrigonomtricas bsicas es fundamental para el estudio dela fsica.R2 = x2 + y2 sen 9 = - ^eos 9 =adyhiptan 6 =hipopadyConceptos clavengulo 19 factor 9 seno 24ngulo recto 20 frmula 10 tangente 24base 13 grado 19 teorema de Pitgoras 23cociente 9 hipotenusa 21 tringulo 21coseno 24 notacin cientfica 17 tringulo escaleno 21dividendo 9 paralela 20 tringulo rectngulo 21divisor 9 perpendicular 20 trigonometra 24ecuacin cuadrtica 15 producto 9exponente 9, 12 radical 14Preguntas de repaso2.1. La suma de dos nmeros es siempre mayor que suresta o diferencia. Es verdadera esta afirmacin?Para justificar su respuesta, d algunos ejemplos.2.2. Si el nmero (8) se resta del nmero (+4), cules el resultado? Cul sera el resultado si el segundonmero se hubiera restado del primero? Cul esla suma de estos dos nmeros?2.3. En un da fro de invierno, la temperatura cambia de5C a + 10C. Cul es el cambio de temperatura?2.4.2.5.2.6 .Cul ser el cambio si la temperatura vuelve a descenderhasta 5C? Explique la diferencia.Es cierto que un nmero negativo elevado a unapotencia impar ser siempre negativo?Indique con claridad la diferencia entre 92 y (9)2.Ambas expresiones son iguales? Por qu s o porqu no?Comente dos formas en las que se usan nmeros positivosy negativos cuando se trabaja con frmulas.27 44. Al sustituir nmeros con signo en frmulas que contienenoperaciones de sumas y restas, qu precaucioneses necesario tomar?2.7. Cuando se pasa un trmino de un lado de una ecuacinal otro, su signo cambia. Explique cmo funcionaeste procedimiento y por qu.2.8. La multiplicacin cruzada se usa a veces en el reordenamientode frmulas en las que una fraccin esigual a otra. Por ejemplo,cdse convierte en cid = beExplique por qu funciona este procedimiento y comentelos riesgos que implica.2.9. Un error muy comn en el reordenamiento de frmulasconsiste en cancelar trminos en lugar de factores.Lo siguiente no est permitido:x + y A'2 + y2 x + y-------- ^ * ------- - x + > 12.10. Si la grfica de dos variables (x, y) es una recta, sepuede decir que cuando x se incrementa en 10 unidades,la variable y debe aumentar tambin 10 unidades?Se puede afirmar que si el valor de x se duplica,el valor de y tambin debe duplicarse?2.11. Cuando dos rectas paralelas son cortadas por unarecta en forma transversal, los ngulos alternos internosas formados son iguales. Tambin los ngulosaltemos externos lo son?2.12. Uno de los ngulos de un tringulo rectngulo mide33. Cunto miden los otros dos ngulos?2.13. Una ventana tiene 6 ft de alto. Una diagonal de dospor cuatro, de 9 ft de largo, encaja con precisindesde una esquina superior hasta la esquina inferioropuesta. Cul es el ancho de la ventana?2.14. El complemento

+ 6 =90. Demuestre que el seno de un ngulo es igual alcoseno de su complemento.2.15. Si los ngulos

-ProblemasSeccin 2.1 Repaso de nmeros con signosEn los problemas 2.1 a 2.26, resuelva la operacin indicada.Resp. +7Resp. +2Resp. 10Resp. - 5Resp. +6Resp. -3 6Resp. -4 8Resp. +2Resp. 4Resp. +2Resp. - 32 .1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.2.10.2.11.2.12.2.13.2.14.2.15.2.16.2.17.2.18.2.19.2.20.2.21.2.22.+2) + (+5)~ 2) + (6)-4 ) - (-6 )+ 6) - ( + 8) 3) - ( + 7)-1 5 ) - (+18)-4 ) - (+3) - (-2 )- 6 ) + (-7 ) - (+4)2)(3)16)(+2)- 6 ) (3)(2)6)(+2)(2)3)(4)(2)(2)6)(2)(3)(4)-6 ) - (-3 )-1 4 ) -T- (+7)f 16)(-4 )1-18)( - 6)4'216- 4(2)(3)(- 1)(2)(1)(-6X+4)2.23.2.24.(-16X4)2( 4)( !)(2)2(12)(6)(2)(-6) 2.25. (2)(+4) - 7 7 ^ - (-5 )(+2)Resp. +8Resp.02.26. (2)(2), (3)(2)(S(-4)(1) (6)(-2)En los problemas 2.27 a 2.30, halle lo que se pide.2.27. Las distancias por arriba del nivel del suelo son positivasy las distancias por debajo de dicho nivel sonnegativas. Si un objeto se deja caer desde 20 pies(ft) por encima del nivel del suelo a un hoyo de 12ft de profundidad, cul ser la diferencia entre laposicin inicial y la final? Resp. 32 ft2.28. En fsica, el trabajo se mide en joules (J) y puede serpositivo o negativo, segn la direccin de la fuerzaque realiza dicho trabajo. Cul ser el trabajo totalrealizado si los trabajos de las fuerzas son 20 J, 40J y 12 J?2.29. La temperatura de un perno es - 12C. (a) Si la temperaturase eleva en 6C, cul ser la temperaturanueva? (b) Si la temperatura original desciende 5C,cul ser la temperatura nueva? (c) Si la temperaturaoriginal se multiplica por un factor de 3,cul ser la temperatura resultante?Resp. (a) 6C, (b) -1 7 C, (c) 36C28 Captulo 2 Resumen y repaso 45. 2.30. Un metal se dilata cuando se calienta y se contraecuando se enfra. Supongamos que la longitud deuna varilla cambia 2 milmetros (mm) por cada1C de temperatura. Cul ser el cambio total ensu longitud cuando la temperatura cambia de 5 a30C?Seccin 2.2 Repaso de lgebraEn los problemas 2.31 a 2.46, determine el valor de x cuandoEn los problemas 2.57 a 2.70, resuelva las frmulas para laletra indicada.a = 2, b = 3 y c = 2.2.31. x = a + b + c2.32. x = a b c2.33. x = b + c a2.34. x = b(a c)b c2.35.x = a2.36.a + bx = c2.37.IIIo2.38.bac2.39. x (a c)be2.40. x = a 2 + b2 + c32.41. x = V a 2 + b2 +2.42.c-lIOII2.43. 2 ax b = c2.44. ax + bx = 4c2 ab2.45.3 ax = ---c--2.46.4 ac 2xT ~ T ~ 16Resp.Resp. +5Resp. + -Resp. V T 75Resp. Resp. +1En los problemas 2.47 a 2.56, resuelva las ecuaciones para laincgnita (la letra desconocida).Resp. m = 6Resp. m = - 4Resp. x = 36Resp. x = 2Resp. R = +52.47. 5 m -- 16 = 3 m2.48. 3p == lp - 162.49. 4 m == 2 (m ~- 4)2.50. 3 (m - 6 ) = 62.51.X3 ~~(4)(3)2.52. P _3262.53.96X= 482.54. 14 == 2{b - 7)2.55. R2 =- (4)2 + (3):2.56.12 ~-1- _j_ 1P 62.57. y = ir, r2.58. P y = n R TT2.59. F = m (ia2.60. s = v t + d, dm v2.61.F = ----- , RR2.62. s = at , a2.63. 2a s= vj v2,2.64.c Q2 = 2y, y2.65. 1 1 i 1R R R22.66. M V=F t t2.67. 111 v m y = j2.68.PXVX P2V2 ,Ti T2 2.69. v = v + a t a2.70. c2 = a2 + b2, lResp. R =Resp. aV/Resp. RmvResp. a =V2f - v2iR2sRi R2Resp. aSeccin 2.3 Exponentes y radicalesEn los problemas 2.71 a 2.92, simplifique las expresiones me-diantelas leyes de los exponentes y de los radicales.2.71. 25 27 Resp. 2122.72. 32 23 332.73. x7x3_ _ Resp. x102.74. X'.T_V312.75. a 2a2 Resp. 2.76. a3a~2b~2b23 12.77.252 a3bResp. ^2.78.2ab32.79.2x17x12Resp. 2x52.80. (abV22.81. (m 3) 2 Resp. m62.82. (n3c~2)~22.83. (4 X 102)3 Resp. 64 X 1062.84. (6 x icr2r 22.85. "^64 Resp.42.86.Captulo 2 Resumen y repaso 29 46. 2.87.2.88. v e r____2.89. V 4 X 1042.90. V 8 X 10272.91. Av/ 32a102.92. V U + 2)2Seccin 2.5 Notacin cientficaResp. x3Resp. 2 X 102Resp. 2a22.127. 6 X 10~3 - 0.0752.128. 0.0007 - 4 X 1034 X 10~6 + 2 X 10~52.129. -4 X 1026 X 1Q3 + 4 X 1021 X 103600 - 3 000En los ejercicios 2.93 a 2.100, exprese los nmeros decimalesen notacin cientfica.2.130.2.131.0.00032.132. (4 X 10~3)2Seccin 2.6 GrficasResp. 6.90 X 10 2Resp. 6 X 10-4Resp. - 8 X 1062 X 102.93. 400002.94. 672.95. 4802.96. 4970002.97. 0.00212.98. 0.7892.99. 0.0872.100. 0.000967Resp. 4 X 104Resp. 4.80 X 102Resp. 2.1 X 10~3Resp. 8.7 X 10~22.133. Trace una grfica para los siguientes datos registradosde un objeto que cae libremente a partir del reposo.Rapidez, ft/s 32 63 97 129 159 192 225En los ejercicios 2.101 a 2.108, exprese los nmeros en notacindecimal.2.101.2.102.2.103.2.104.2.105.2.106.2.107.2.108.4 X 1064.67 X 1033.7 X 1011.4 X 1053.67 X 1024 X 10"16 X 10~34.17 X 10~5Resp. 4,000,000Resp. 37Resp. 0.0367Resp. 0.006Tiempo, s 1 2 3 4 5 6 7Qu rapidez cabe esperar despus de 4.5 s? Qutiempo se requiere para que el objeto alcance unarapidez de 100 ft/s? Resp. V=144 ft/s, t = 3.1 s2.134. El avance de un tomillo con cuerda hacia la derechaes proporcional al nmero de vueltas completas. Sehan registrado los datos siguientes para un tornilloen particular:Avance, in 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Nm. de vueltas 16 32 48 64 80 96En los ejercicios 2.109 a 2.132, simplifique y exprese como unsolo nmero escrit