esfuerzo en la masa de suelo 2

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieraDepartamento de Vas

Fundaciones

Material de apoyo de FundacionesParte II

Teora de Elasticidad para la Teora de Elasticidad para la Estimacin de Asentamientos y

Esfuerzos

Prof. Silvio Rojas

Septiembre, 2006

INTRODUCCIN.-

Este teme trata de la aplicacin de la teora de elasticidad en ladeterminacin de esfuerzos y deformaciones, que producen diferentes tiposde carga en la masa de suelo. Al inicio se mencionan algunos modelos quepueden representar la resistencia del suelo a travs de la variacin delmdulo con la profundidad. Luego se evala los asentamientos y esfuerzos,generados por distintas cargas, usando las respectivas ecuaciones de lateora de elasticidad, donde se apreciar la deformacin el suelo


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teora de elasticidad, donde se apreciar la deformacin el sueloverticalmente y la magnitud de los esfuerzos a distancias y profundidades,medidas a partir del punto de aplicacin de las cargas. El trabajo contieneuna serie de grficos que ayudan a determinar los esfuerzos y asentamientospara un medio representado por el semi-espacio de Boussinesq (mdulo deelasticidad constante con la profundidad) y para una capa de suelosobreyaciendo una base rgida (tambin con mdulo en la subcapasconstante). En el trabajo se expone brevemente algunos mtodos para laestimacin de asentamientos en el semiespacio elstico heterogneo(mdulo variable con la profundidad), tanto para carga circular como paracarga rectangular. Tambin se presenta la definicin de asentamientosdiferenciales, distorsin y deflexin, as como sus valores tolerables paradistintos tipos de estructuras. Se comenta los asentamientos medidos enfundaciones reales de tanques, construidos sobre arenas y arcillas. Porultimo se anexan algunos problemas.

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NDICE Pg.DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO 1ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERS PARA EL INGENIERO 2ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORA DE PLASTICIDAD 4ELASTICIDAD EN LE SENTIDO RESTRINGIDO 6

MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMTICAMENTE POR HOLL (1940) 8ESTIMACIN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORA DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA

9

CARGA PUNTUAL 9

CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA 15

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA 18

CARGA CON DISTRIBUCIN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA 22CARGA UNIFORME MAS CARGA TRIANGULAR 24

DOS CARGAS TRIANGULARES ASIMTRICAS 29DETERMINACIN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRFICOS 30CARGA TRIANGULAR Y RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA 30

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN REA CIRCULAR 31CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN REA RECTANGULAR 49ASENTAMIENTO ELSTICO DEBIDO DE UN REA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA 56

ASENTAMIENTOS INMEDIATOS DE FUNDACIONES SOBRE ARCILLA SATURADA 59

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MTODOS GENERALES PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS 61CAPA ELSTICA HOMOGNEA SOBRE BASE RGIDA 73CARGAAISLADA PUNTUAL 73

CARGA LINEAL SOBRE BASE RGIDA 74CARGA EN FAJA SOBRE BASE RGIDA INTERFAZ LISA (EGOROV, 1939) 75

INTERFAZ RUGOSA PARA CADA EN FAJA INFINITA SOBRE BASE RGIDA 76

CARGA CIRCULAR CAPA ELSTICA HOMOGNEA SOBRE BASE RGIDA 79

CARGA RECTANGULAR CAPA COMPRESIBLE SOBRE BASE RGIDA 82SUPERFICIE DE CARGA GENERAL CON BASE RGIDA 90SEMIESPACIO ELSTICO HETEROGNEO 91SEMIESPACIO ELSTICO HETEROGNEO CARGA EN FAJA 91SEMIESPACIO ELSTICO HETEROGNEO CARGA CIRCULAR 93SEMIESPACIO ELSTICO HETEROGNEO CARGA RECTANGULAR 94TEORA DE DOS CAPAS 102

DEFINICIONES DE ASENTAMIENTO Y ASENTAMIENTOS ADMISIBLES 104

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DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO.

La fig. 1 muestra la posible distribucin de esfuerzos que se producen en lamasa de suelo, debido a la aplicacin de una carga en la superficie.

Fig. 1.- Distribucin de esfuerzos producidos por diferentes tipos de carga.

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Esa distribucin de esfuerzos depende de:

Tipo de suelo.Su estructura.De la homogeneidad o heterogeneidad del suelo.Su espesor.De la forma y dimensiones de la carga.De las propiedades esfuerzo deformacin.De las propiedades esfuerzo deformacin.

Las propiedades esfuerzo deformacin generalmente no siguen una ley, sino quesu comportamiento esfuerzo deformacin es similar al mostrado en la fig.2.,donde se aprecia que el resultado obtenido depende del tipo de suelo y del gradode compactacin y consolidacin.

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Fig.2.- Comportamiento de un suelo real.


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Por tanto a travs de la teora de elasticidad, se trata de estimar ladistribucin de esfuerzos, a partir de un comportamiento idealizado,como el mostrado en la fig.3.

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Fig. 3.- Diferentes comportamientos considerados para un suelo idealizado. (a) Materialelstico; (b)Material rgido plstico; (c) Material elasto-plstico; (d) Materialelasto-plstico con ablandamiento.

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ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERES PARA EL INGENIEROPara un talud se estudia (fig. 4a), se estudia:Determine actuante

Determinar la resistencia fEstimar el factor de seguridad

fFS =Estimar el factor de seguridadEn el diseo de una fundacin (fig.4b), se estudia:Los esfuerzos transmitidos por Q a la masa de suelo no deben alcanzarla falla.Estos esfuerzos deben caer en el estado de equilibrio elstico.Para lograr esto, ya se aplicaQ aplicada, transmitir esfuerzos a la masa de suelo y producirdeformaciones correspondientes al rango elstico.

AreaQqq

admaplicada ==

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Fig. 4.- (a) Esfuerzos cortantes en un talud; (b) Distribucin de los esfuerzos que transmitela fundacin a la masa de suelo.

En el caso b de la fig.4, para la estimacin de estos esfuerzos ydeformaciones, se considera que el suelo es homogneo, isotrpico ylinealmente elstico.

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La teora de elasticidad para la solucin del problema de carga, estdesarrollada tomando en consideracin la teora del semiespacio deBoussinesq para carga puntual (fig.5).

Semiespacios de Boussinessq limitados porun plano horizontal, de profundidad infinita yde extensin horizontal infinita.

Fig.5.- Semi_especio de Boussinessq

de extensin horizontal infinita.

Problemas no presentados por la teorade elasticidad, pueden ser resueltospor mtodos de superposicin, comolos mostrados en la fig. 6.

Fig.6.- Esfuerzos de la carga trapezoidal estimada por dos cargas triangulares.Prof. Silvio Rojas


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Condiciones sonnecesarias paraaplicar la teorade elasticidad:

Los esfuerzos transmitidos al suelo debenpermanecer en el rango elstico, de maneraque no produzca deformaciones plsticas enla masa de suelo.

Se debe establecer un mdulo elstico, representativo de la masa de suelo, por consiguiente la caracterstica del suelo y su

Disposiciones delos estratos quese puedenencontrar parauna formacinsedimentaria.

consiguiente la caracterstica del suelo y su disposicin lo deben permitir.

aplicacin de la teora de elasticidad puede hacerse con cierta confiabilidad

Aplicacin teora darresultados que se alejan unpoco de los reales.

Estratificacin con buzamiento Prof. Silvio Rojas

Aplicacin dela teora deelasticidad:

En arcillas homogneas saturadas, se utiliza concierta seguridad comprobada en campo ylaboratorio, para la estimacin de esfuerzos ydesplazamientos.

Se aplica con ciertas reservas para la estimacin de esfuerzos en arenas

En suelos arcillosos se utiliza para predecirasentamientos inmediatos.

En suelos granulares no es aplicable para predecir asentamientos.

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Desarrollada tericamentePoco sistematizada en

Entonces se estudiar :Ms desarrollada basada en la teora de elasticidadLa teora de elasticidad isotrpica

Teora de elasticidadanisotrpica (anisotropa Poco sistematizada en

bacos para aplicacinprctica.

ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORIA DE ELASTICIDADLas cargas aplicadas sobre el terreno producen deformaciones. La teorade elasticidad, proporciona las siguientes relaciones, para determinar ladeformacin vertical y el asentamiento vertical a travs de la integral delas deformaciones.

anisotrpica (anisotropatransversal).

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[ ]yxzz E =1 (1)

donde:z: Deformacin vertical.z: Incremento de esfuerzo en la direccin z producido por la cargacolocada al suelo.x: Incremento de esfuerzo en la direccin xproducido por la cargacolocada al suelo.y: Incremento de esfuerzo en la direccin y producido por la cargacolocada al suelo.: Coeficiente de Poisson.E: Mdulo de elasticidad del suelo.

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( )[ ] += z yxz dzES 01

(2)donde:S: Asentamiento vertical.dz: Diferencial de la profundidad z.

En la prctica son de inters las deformaciones verticales, es decir losasentamientos que se producen en la superficie del suelo, cuando la cargase aplica sobre el rea de la cimentacin. Sin embargo, la fig. 8, indica doscasos donde es de inters para el ingeniero deformaciones diferentes alas que ocurren en direccin vertical. Por ejemplo los corrimientosparalelos a la superficie del terreno son tambin peligrosas para lasestructuras soportadas, o incluso llegan a ser determinantes. Esto ocurre,por ejemplo, cuando los movimientos del terreno se deben a excavacioneslaterales o profundas. Tambin es determinante conocer lasdeformaciones tangenciales y radiales alrededor del tnel.

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Fig. 8.- (a) Edificaciones afectadas por la deformacin que producen las grietas de tensin.(b) Deformacin radiales y tangenciales que sufre la roca por la abertura del tnel.

Sin embargo, aqu se tratarn los asentamientos en el sentido vertical,producidos por fundaciones tales como las indicadas en la figura 9.

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Fig. 9.- (a) Losa de fundacin rgida de concreto donde se apoyan varias columnas(b) Zapata aislada rgida de concreto; (c) Relleno de material donde se apoya un tanque.

Una fundacin flexible puede considerarse, cuando: Almacenamiento de carburantes Pilas de minerales Almacenamientos a granel Prof. Silvio Rojas

Respecto a los parmetros de elasticidad E y , no son constantes enla masa de suelo, especialmente en depsitos de arena (ver fig. 10), poresta razn las expresiones obtenidas a partir de la teora de elasticidadno se deben aplicar para determinar los asentamientos en arenas, paraello se existen una serie de mtodos empricos, que se estudiaran msadelante.

Fig. 10.- (a) Fundacinapoyada en un estrato dearena; (b) Diagramaesfuerzo deformacinpara una arena.

En un estratode arcilla estosparmetrostienen pocavariacin.

por tanto la teora de elasticidad puede ser aplicada.para predecir los asentamientos inmediatosllamados tambin asentamientos elsticosAsentamiento inmediatos que se producen en losdepsitos de arcilla saturada en condiciones nodrenadas.

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100% distorsin0% cambio de volumen

Fig. 11.- Asentamiento instantneo debajo de la fundacin.

Si la arcilla est saturada, se habla de un mdulo no drenado Eu y elcoeficiente en esta caso tendr un valor de 0.5 ( = 0.5) y por tanto elasentamiento instantneo ocurrir sin cambio de volumen y con un cienpor ciento de distorsin. El mdulo cortante en este caso lo expresa lateora de elasticidad, como:

( )+= 12EuGu (3)

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++=COPIAR LAMINA

donde:Gu: Mdulo cortante no drenado.Eu: Mdulo de elasticidad no drenado.: Coeficente de Poisson para el caso no drenado.

zyxavolumtric ++=

[ ] [ ] [ ]yxzzxyzyxavolumtric EEE ++=111

Si =0.5, resulta:

[ ] 01 =++=zyxxyzavolumtric E

( ) ( ) '12'

'

12 +=

+=

EGEuGu

( ) ( ) ( ) ( ) 23

'1 tienese '1

'

23

'12'

12


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ELASTICIDAD EN EL SENTIDO RESTRINGIDOSe entiende as:Cumple la ley de Hooke, es decir la relacin esfuerzo deformacin seexpresa por:

=E E= E=

donde:E: Mdulo de elasticidad: Deformacin que sufre el suelo: Esfuerzo que produce la deformacin

EL mdulo de elasticidad (E) es el mismo en traccin que en compresinLa materia que constituye el semiespacio de Boussinesq tiene la resistenciasuficiente para seguir respondiendo elsticamente bajo las tensiones que seproduzcan en todos y cada uno de los puntos del semiespacio.

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La fig. 12, muestra el semiespacio y la ley de Hooke.Fig. 12.- (a) Semi_espacio deBoussinesq; (b) Ley deHooke.

En el siguiente caso, el semiespacio de Boussinesq debe reemplazarsepor un modelo isotrpico no homogneo, tal como se indica acontinuacin.MODELO DE CAPA ELASTICA SOBRE BASE RIGIDA

Este modelo considera:Capa elstica es homognea en todos sus puntosBase rgida es homognea en todos sus puntos Prof. Silvio Rojas


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Fig. 13.- Capa elstica con mduloconstante sobre base rgida.

Sin embargo el suelo no homogneo en todos sus puntos, ya que por logeneral el terreno es ms compacto y menos deformable a medida queincrementa la profundidad.

Algunas variaciones ms representativas del mdulo, se indicanen la fig. 14.

Funcin montoma

Fig. 14.- Modelos derepresentacin de lavariacin del mdulo. (a)Funcin montomacreciente; (b) Funcin linealcon mdulo inicial Eo; (c)Funcin lineal sin mduloinicial.

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Para semiespacio heterogneo, la ley ms sencilla que se puedeproponer para el mdulo (fig. 14b), es:E = E0 + m.z (5)donde:E: Mdulo de elasticidadm: Pendiente de la variacin del mduloz: ProfundidadLa pendiente puede ser expresada, usando los parmetros indicados enla fig. 14b, como:

0Em =

m

E0= (6)

Sustituyendo la ec.6 en la ec.5, se tiene:z

EE

mEE +=0

00 (7)

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+= z

EmEE

0

0 1 (8)

+=

zEE 10 (9)

Si m = 0 E = E0, entonces se obtiene el semiespacio de Boussinesq

Si m 0 y E0 = 0, el mdulo de Young vale cero en superficie, locual corresponde a la fig.14c.E0 = 0 (Constituye una limitacin terica muy seria, ya que esfsicamente inconcebible un material con esa propiedad), sin embargo,existen suelos muy especiales como arenas sueltas en superficie cuyadensidad aumenta con la profundidad y donde este modelo pudieraservir.

Tambin existe el semiespacio de Winkler, representado a travs de:Prof. Silvio Rojas


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k = (10)

donde:: asentamientos de los puntos: presin que causa el asentamientok: coeficiente de balasto o de reaccin vertical

semiespacio de Winkler,

k: coeficiente de balasto o de reaccin vertical

La ec. 10, indica que el asentamiento es proporcional a la presin () quelo causa a travs del coeficiente de balasto. Las unidades de estecoeficiente, son las correspondientes a un peso especifico, es decir(kg/m3 grs/cm3 ton/m3). Se puede decir que la zapata est flotandoen un fluido de densidad k que la zapata se hundi en el semiespacio deWinkler.

Si se expresa como:Prof. Silvio Rojas


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z= (11)La ec. 10, se escribe:

zk

=

(12)Sustituyendo la ec. 4, en la ec. 12, se tiene ahora que el mdulo debalasto es funcin del mdulo de young.

z

Ek =

Se aprecia que esta expresin de k, es la pendiente mde la recta de lafig. 14c, para un medio heterogneo sin mdulo inicial. Por tanto sedemuestra que el semiespacio de Winkler coincide con el modelo deheterogeneidad lineal con E0 = 0 en superficie.

El modelo fsico de Winkler, est representado en la fig.15.

Equivalente al modelo lineal sin mdulo en superficie

E = E0 + m.z

Eo=0m = E / z

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Fig. 15.- Modelo de Winkler.

MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMATICAMENTEPOR HOLL (1940)POR HOLL (1940)Frohlich, representa el modelo indica en la fig. 14a, de acuerdo a:

zEEoz=)(

para < 1 (14)donde:E(z): Variacin del mdulo con la profundidad.Eo: Mdulo de elasticidad en superficie.: Parmetro que define la variacin del mdulo

= 0 Boussinesq= 1 Winkler < 1 el mdulo no incrementa indefinidamente

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Consideraciones:Como < 1 el gradiente del mdulo de elasticidad disminuye enprofundidad, lo que se asemeja ms a la realidad en comparacin con lavariacin lineal (funcin montoma).Si = 0, coincide con el semiespacio de Boussinesq.Si = 1, coincide con el mdelo de Winkler.Si = 1, coincide con el mdelo de Winkler.

De lo anterior, se aprecia que las heterogeneidades posibles del terreno sonde gran dificultad para evaluarlas en el laboratorio o campo, e influyen en laestimacin de las tensiones y asentamientos que sufre la masa de suelo.

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ESTIMACIN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORA DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA

CARGA PUNTUALLa fig. 16, muestra este caso, ilustrando un punto donde se desea conocer los esfuerzos.

QQ

Fig. 16.-(a) Carga puntual aplicada en superficie y ubicacin del punto de inters en la masa de suelo(b) Punto en la masa de suelo representado a travs de un elemento tridimensional, donde seindican los esfuerzos que actan en el mismo.

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Las siguientes ecuaciones permiten calcular los esfuerzos vertical, radial, tangencialy cortante en el elemento de suelo considerado.

5

3

23

_

pi

QzV =33

_

zQV+

=pi

(15)

(16)2/522 )(2_ zrV += pi

+++

+=

2/122222/522

2

)(21

)(3

2_

zrzzr

v

zr

zrQr

pi

+++

+=

2/122222/322 )(1

)()21(2:_ zrzzrzrz

vQpi

+=

2/522

2

)(23

:_zr

rzQrz

pi

(17)

(18)

(19)

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Donde:_v: Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento. Tambin seusar la simbologa "z".Q: Carga puntual aplicada en la superficie del suelo: Radio para ubicar el elemento desde el punto de aplicacin de la carga.r: Distanda horizontal desde de la lnea vertical al punto donde se ubica elelementoelementoz: Profundidad a la cual se encuentra el elemento: Coefieciente de Poisson_r: Esfuerzo horizontal en la direccin de "r" sobre caras verticales delelemento. Tambin se usar la simbologa "r"_: Esfuerzo horizontal en la direccin de " " sobre caras verticales delelemento. Tambin se usar la simbologa " "rz: Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales del elemento.Tambin se usar la simbologa " rz

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21

22 )__(_ rzVh +=

( ) ( )[ ] 21

22223

522

2

)(1

23

_

+

+

= zrz

zr

Qhpi

(20)

(21)

Esfuerzo resultante en un plano horizontal (_h):

)(2 + zrpi

( ) ( ) ( )[ ]21

2226

22222

1123

_

+

+

+= zrz

zrzr

Qhpi

( ) ( ) ( )21

22

22

4

222

123

:_

+

+

+= rz

zr

z

zr

Qhpi

(22)

(23)

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Definicin del ngulo :

2

2cos

cos

=

=

z

z

(25)

( )2222

23

_

zr

zQh+

=

pi (24)

2cos

=

z

(26)Por tanto se puede escribir:

2

2 1cos23

:_ pi =Qh

( )2222

23

:_zr

zQh+

=

pi

(27)

(28)

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Variando el ngulo que define el pto. de aplicacin

Veamos los esfuerzos en los planos horizontales:h=4ton/m2 (se buscara la isobara de este valor de esfuerzo) cuando Q=1ton.De la ec. 27 se puede escribir:

pi

22 cos83

: =Q (29)

180180,

18010,

1800 pipipi =

Los resultados se indican en la fig. 17 y 18.

(30)

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Fig. 17- Representacin de la isobara de esfuerzo de 4 ton/m2, funcin de la ubicacin del punto.Prof. Silvio Rojas


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Fig. 18.- Isobara producida con esfuerzo horizontal de 4 ton/m2, resultante en planos horizontales, poruna carga puntual de 1 ton.

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Distribucin de esfuerzos producidos en un plano vertical (ver fig. 19):Datos:Q =1 ton. = r = 2 m. (distancia que define la ubicacin del plano vertical)z = 0, 0.1, ... 5 (variacin de la profundidad)Aplicando la ec. 3, resulta:

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Fig.19.-Distribucinde los esfuerzos en unplano vertical ubicadoa 2m del punto deaplicacin de Q = 1ton.


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Buscando la profundidad donde ocurre el mximo esfuerzo.

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Esfuerzos vertical en un plano horizontal ubicado a 2 m (ver fig. 20).Datos:Q = 1 ton.z = 2 mr = -5, -4 .... 4 (variacin del radio)

Q est aplicadaen superficie

Fig. 20.- Distribucindel esfuerzo vertical enun plano horizontalubicadoa 2 m deprofundidad.

z= 2 m

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Isobaras de esfuerzos vertical (ver fig. 21):z = 4 ton/m2 y z = 8 ton/m2. Q =1 tonA partir de la ec.1, se escribe:

Variando el ngulo en el siguiente rango:

180360,

18010,

1800: pipipi =

Resulta:

Fig. 21.- Isbaras de esfuerzo vertical 4 y 8 ton/m2.Prof. Silvio Rojas


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La expresin para calcular el asentamiento producido por una carga puntual, vienedada por:

En un plano horizontal

Donde:S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una lnea horizontalE: Mdulo de elasticidad del suelo: Coeficiente de PoissonDatos, para el asentamiento superficial (ver fig. 22):Q = 1 ton = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0 (superficie) = 90 (representa unalnea horizontal)r = 0.1, 0.2, ..... 10 (variacin de r)

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Fig. 22.- Asentamiento superficial a diferentes distancias del pto de aplicacinde Q.

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Datos, para el asentamiento a distintas profundidades (fig. 23):

z = 0.1, 0.2,....10 m

E = 1000 ton/m2 = 0.5 = 0 (representa lnea vertical)r =0 (lnea vertical coincide con lnea de accin de Q)

En un plano vertical

Donde:

S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una lnea vertical.E: Mdulo de elasticidad del suelo.

: Coeficiente de Poisson.

En un plano vertical

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Fig. 23.- Asentamiento en la lnea de accinde Q a diferentes profundidades.

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CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITALa fig. 24, muestra una carga lineal de longitud, infinita, la cual producedeterminados esfuerzos en un elemento de suelo, representado por un cubo. Ademsse indica la direccin del esfuerzo principal actuando en el cubo.Las siguientes ecuaciones, permiten calcular los esfuerzos:

222

3

)(..2

:zx

zQz

+=

pi (33)222 )(.: zxz += pi

.)(..2

:222

2

+=

zx

zxQx

pi

2.

..2:

pi

zQy =

.)(..2

:222

2

+=

zx

zxQxz

pi

2._ pi

zQmx =

(34)

(33)

(35)

(36)

(37)Prof. Silvio Rojas


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Fig. 24.- Esfuerzos en unelemento de suelo producidospor una carga lineal.

Nota: La simbologa se corresponde con las utilizadas para una carga puntual.Se considera que los esfuerzos principales coinciden con las siguientes direcciones:

r =1 =2 y =3

2.

..2:1 pi

zQ=

0:2 =

(38)



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Veamos las isbaras para los esfuerzos:z = 4 ton/m2 1= 4 ton/m2 cuando Q = 1 ton/mA partir de las ecuaciones 33 y 38, se escribe:

)(cos..

.2: 3

pi

z

Q=

)cos(..1

.2:1

pi Q=

(40)

(41)222

3

)(..2

:zx

zQz

+=

pi 2

.

..2:1

pi

zQ=

.1 piDonde:: Radio para el ploteo de la isobara de z = 4 ton/m2 l: Radio para el ploteo de la isobara de 1 = 4 ton/m2Con la ayuda de la fig. 24, se puede expresar que las coordenadas (x,z) para elploteo, vienen dadas por:

)sin().(:)( =x )cos().(:)( =z

)sin().(1:)(1 =x )cos().(1:)(1 =z

(42)

(43)

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donde:x,z: Coordenadas para la isobara z = 4 ton/m2xl,zl: Coordenadas para la isbara 1= 4 ton/m2Haciendo variar el ngulo , en el siguiente rango se obtiene la fig. 25.

18090,

180.89,

180.90: pipipi =

Fig.25.- Isbaras de los esfuerzos z = 4 ton/m2 1= 4 ton/m2 producidos por una caraga Q = 1 ton/m

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El asentamiento de la superficie, respecto a un punto inmvil situado a unaprofundidad "d" bajo la carga lineal tal como se muestra en la fig. 26, se determinaa travs de:El desplazamiento horizontal, viene dado por la siguiente expresin:

QSx ).21).(1.(: += (44)E

QSx.2

).21).(1.(:

+=

El asentamiento vertical, se estima a travs de:

=

x

dE

QSz ln.1..2:2

pi

(44)

(45)Asentamiento en superficie

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Fig. 26.- Ubicacin de un pto en la masa de suelo donde se deseadeterminar el asentamiento producido por una carga lineal infinita.

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Consideremos los siguientes datos para la estimacin del asentamiento vertical (verfig. 27):Q = 1 ton/m v = 0.5 E =1000 ton/m2 d= 2 m.

El resultado se muestra en la fig. 27

Fig. 27.- Asentamiento producido por una carga lineal.Prof. Silvio Rojas


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CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJAINFINITA

La fig. 28 muestra la geometra y los parmetros necesarios para calcular losesfuerzos en un punto de la masa de suelo,producidos por una carga en franja.

Expresiones derivadas para la fig. a:

)).2cos(.sin.(:_ pi

++= qv

)).2cos(.sin.(:_ pi

+= qx

).2sin()sin(.:_ pi

+= qxz

(46)

(47)

(48)

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Fig. 28.- (a) y (b) Ubicacin del punto en anlisis a travs de ngulosy longitudes,para la estimacin de los esfuerzos.

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)).2cos()..2sin(.2.(: pi

+=q

z

)).2cos()..2sin(.2.(: pi

=qh

(49)

(50)

Expresiones derivadas para la fig. b

)).2cos()..2.(sin(: pi

q

zh =

)).2sin(.2.(:1 pi

+=q

)).2sin(.2.(:3 pi

=q

(51)

(52)

(53)

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Fundaciones

Donde:_v z : Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento._x h : Esfuerzo horizontal sobre las caras horizontales del elemento._rz zh : Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales delelemento.

q: Esfuerzo que transmite la franja al suelo.1, 3: Esfuerzos principales que se producen en el elemento analizado., , , 1, 2, : Angulos que definen la ubicacin del punto.L1, L2: Longitudes necesarias para determinar los ngulos.z: Profundidad del pto.

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Fundaciones

1: =z q=:1

Algunas consideraciones: Para 2. = 180, resulta:

0:=zh q=:3

De la fig.28b, resultan las siguientes relaciones:

z=:cos

2:)1cos(

Lxa +

=

2:)1sin(

Lz

=

)21(180:.2 +=

(54)

(55)

(56)

(57)

Expresando los ngulos en funcin de la distancia (x, z)

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Fundaciones

ax

z

=:)3tan(

[ ]2122)(:1 zaxL +=

)1sin(:

).2sin( =

(58)

(59)

(60)

Expresando los ngulos en funcin de la distancia (x,z)

1)1sin(

:.2

).2sin(La

=

=

2.

1.2

:)2sin(Lz

La

(60)

(61)

[ ]2122)(:2 zaxL ++=(62)

[ ][ ]

+++

=

21

221

22 )(.

)(.2

:).2sin(axz

z

zax

a (63)

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Fundaciones

.

)(:cos

21

22 zx

z

+=

[ ][ ] [ ]

+++=

21

2221

22 )(.

)(.2

sin:.2axz

z

zax

aa .

)(cos:

21

22 zx

zar

+=

Sustituyendo las expresiones de los ngulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y

(64)

(65)

Expresando los ngulos en funcin de la distancia (x,z)

Sustituyendo las expresiones de los ngulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y 53, resulta:

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+

++

+

+

++

+=

21

2221

2221

22

21

2221

22

)(cos2cos.

)(.

2

....

)(.

2sin

:)(

zx

zar

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qxz

pi

(66)

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Fundaciones

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]

++

+

+

++

+=

21

2221

2221

2221

22 )(.

2)(

.

2sin:)(1

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qx

pi (67)

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+

++

+

+

++

+=

21

2221

2221

22

21

2221

22

)(cos2cos.

)(.

2)1(

....

)(.

2sin

:)(

zx

zar

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aar

qxx

pi

(68)

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Fundaciones

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

++

+

+

++

+=

21

2221

22

21

2221

22

)(.

2)1(

....

)(.

2sin

:)(3

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aa

qx

pi

(69)

( )[ ] [ ]

+

++

+=

21

2221

2221

22 )(cos2sin.

)(.

2:)(

zx

xa

axz

z

zax

aqxzh

pi (70)

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Fundaciones

Consideremos los siguientes datos:q = 10 ton/m2 a = 2 m (semi- ancho de la franja)z = 5 m (Esfuerzos en elementos de suelos ubicados a una profundidad de 5 m)x = -10, -9....10 (longitud del plano horizontal)Los resultados se muestran en la fig. 29.

Fig. 29.- Esfuerzos

Z = 5 m

Fig. 29.- Esfuerzosproducidos por unafranja cargada conq = 5 ton/m2 a unaprofundidad de 5 m.

Tarea:

Determine los esf. 1, 3 1, 3 1, 3 1, 3 principales a partir de z, x, xz. Compare con los grficos

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Fundaciones

Determinacin de la abscisa para la cual ocurre el cortante mximo

TOL=10-5x:=2

( )[ ] [ ]

+

++

+=

21

2221

2221

22 )(cos2sin.

)(.

2:)(

zx

xa

axz

z

zax

aqxzh

pi

( )[ ] [ ] + ++ + )()( zxaxzzax

)(:)( xzhdxd

xf =

x:=root(f(x),x)x=3.109

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Determinacin de la abscisa para la cual ocurre el esfuerzo sigma "x" mximo

TOL=10-5

x:=3


Fundaciones

( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ]

+

++

+

+

++

+=

21

2221

2221

22

21

2221

22

)(cos2cos.

)(.

2)1(

....

)(.

2sin

:)(

zx

za

axz

z

zax

a

axz

z

zax

aa

qxx

pi

)(:)( xzhdxd

xf =x:=root(f(x),x)x=5.008

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Fundaciones

CARGA CON DISTRIBUCIN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJAINFINITA

La fig. 30.- muestra la ubicacin de un punto en la masa de suelo donde sedesea determinar los esfuerzos producidos por una carga triangular.

Fig. 30.- Elementos de ubicacin de unpunto sometidoa carga triangular.

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Fundaciones

Los esfuerzos en el pnnto se estiman a travs de:

= )2sin(

21

..: pi

Bxq

v(71)

+

= )2sin(

21

21

...:2

2

pi

RR

Bz

Bxq

x

+=

pi .

.2)2cos(1..2

:Bzq

xz

De la fig. se determina:

(72)

(73)

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Fundaciones

(74)

(75)

Angulos y radios en funcin de (x,z)

(76)

(77)

Sustituyendo las ecuaciones 74, 75 y 76 en las ecuaciones 71, 72 y73, resulta:

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Fundaciones

(78)

(79)

Considerando los siguientes datos:b= 2 m q = 10 ton/m2 z = 5 m B = 2.bx = 0,1.... 10El resultado lo muestra la fig. 31.

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Fundaciones

La carga est aplicada es en superficie

Compresin

Fig. 31.- Esfuerzos producidos en un elemento de suelo por una carga triangular.

Tensin

Compresin

Tensin

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Fundaciones

El asentamiento superficial que produce la carga triangular se estima atravs de la siguiente expresin:

Esta ec. se escribe como:

(80)

(81)donde:: Asentamiento superficial variando con la distancia x.E: Mdulo del suelo.: Coeficiente de Poisson.Consideremos los siguientes datos:q = 10 ton/m2 b= 2mx = 0,1.. 10 = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0El resultado se muestra en la fig. 32.

(81)

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Fundaciones

Fig. 32.- Asentamiento producido por una carga triangular.

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CARGA UNIFORME MS CARGA TRIANGULARLa fig. 33, muestra el caso de carga uniforme ms carga triangular, ascomo todos los elementos necesarios para la ubicacin de un punto de lamasa de suelo, donde se quiere estimar los esfuerzos que produce estesistema de carga.Los esfuerzos vertical, horizontal y cortante, en un punto de la masa desuelo, se estimarn a travs de las siguientes expresiones:


Fundaciones

(82)suelo, se estimarn a travs de las siguientes expresiones:(82)

(82)

(83)

(84)

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Fundaciones

Fig. 33.- Geometra requerida para la ubicacin de un elementode suelo bajo el sistema de carga uniforme y triangular.

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Fundaciones

Donde:q: Esfuerzos que transmite la carga en superficie en la masa de sueloro, r1, r2: Radios de las lneas para ubicar el elemento de la masa desuelo.

a, b: Ancho de distribucin de las cargas.z: Profundidad a la cual se ubica el elemento.x: Abscisa que ubica al punto en la masa de suelo.1, 2, 3, 4, y : Angulos que definen la geometra

De la fig. se escriben las siguientes relaciones:

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Fundaciones

(85)

(86)

(87)Angulos y distancias

Si x < a:

(87)

(88)

(89)

Angulos y distanciasescritas en funcin de (x,z)

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Fundaciones

(90)

(91)

(92)(93)(94)

(95)

(96)

Angulos y distanciasescritas en funcin de (x,z)

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Fundaciones

(97)

Las ecuaciones 82, 83 y 84, se escribirn ahora de la siguiente manera:Para x a:Para x a:



Fundaciones

(99)

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Fundaciones

(100)

Para x a: (carga uniforme)

(101)

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Fundaciones



Fundaciones

(103)

Consideremos los siguientes datos para la estimacin de los esfuerzos:

Los resultados se muestran en la fig. 34.

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Fundaciones

Fig. 34.- Variacin de los esfuerzos a una profundidad de 5 m producidos por una cargauniforme y triangular

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Fundaciones

DOS CARGAS TRIANGULARES AXIMETRICAS

La fig. 35, muestra la geometra de una carga triangular asimtrica.

Fig. 35.- Carga triangular asimtrica.

+

++=

12ln2

23ln2

r

r

a

z

r

r

bz

bxba

a

xqx

pi

++=

pi

bxba

a

xqz

=

pi

bz

a

zqxz

(104)

(105)



Fundaciones

DOS CARGAS TRIANGULARES SIMETRICAS

La fig. 36 muestra la geometra de una carga triangular asimtrica.

Fig. 36.- Carga triangularsimtrica.simtrica.

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Fundaciones

Los esfuerzos en punto de la masa de suelo, que produce la carga triangular puedeestimarse por:

( ) ( )

++= 2121

pi

bxP

v

( ) ( )

++=2

21ln22121Ro

RRb

z

bxP

h pi

(107)

(108)

Robbpi

( )[ ]21 pi

=bzP

xz(109)

De la fig. 36, se determina:

( ) ( ) R2 R1 222222 zbxzbxzxRo +=++=+= (110)

( ) ( )RoR

bRoRRoR

bRoR

+=

+=

2222cos

1211cos

222222

(111)

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DETERMINACIN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRFICOSCarga triangular y rectangular de longitud infinita

La fig. 37 y 38, presenta estos casos.


Fundaciones

Tarea:

Compare los resultados de la fig. 37, con los obtenidos con la ayuda de las ec. 107, 108, 109, 110, 111.

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Fundaciones

Fig. 37.- Esfuerzosprincipales bajo unacarga triangular delongitud infinita.

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Fundaciones

Fig. 38.-Esfuerzosprincipales bajouna cargarectangular delongitud infinita.longitud infinita.

Tarea:Compare losresultados con losobtenidos por las ec.49, 50, 51, 52 y 53.

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Fundaciones

Carga uniformemente distribuida sobre un rea circularEsta situacin se puede presentar tericamente cuando la carga sobre el terrenoes producida, no por un elemento estructural sino por una capa pura como unacopio de mineral, etc.

Para una carga puntual el esfuerzo est dado por:

3 3zQ

= (112)( ) 23

25

22 zr

zQz

+

=

pi

dQ dAq =

( )25223

z 23d

zr

zdQ+

=

pi

La fig.39 muestra una carga circular uniformemente distribuida, a partir de la cual sededucen algunas expresiones:

En este caso:

(112)

(113)

(114)

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Fundaciones

Fig. 39.- (a) Area circular bajo unacarga uniformementedistribuida.(b) Seccin indicandoun punto en eje central del rea

dAqdQ =

drdrdA =

drdrqdQ =

(115)

(116)(117)

( ) drdrqzrzd Z +

= pi

25

22

3

23 (118)

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Fundaciones

( ) drdzrrzqd Z

+

= pi

25

22

3

23 (119)

( ) 23 2

0 0 25

22

3

+

=

pi

pi

b

Z drdzr

rz

qd (120)

( ) 1 3223

Z

+=

zbzq (121)( )2322Z

+ zb

(121)

eje elen solamente Z Izq = (122)Otra expresin equivalente a la anterior es la siguiente. Con la ayuda de la fig.39b,se escribe:

Iz: Factor de influencia

( ) 1

11 123

223

22

3

+

=

+=

z

bq

zbzqZ

(123)En el EJE

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Fundaciones

( ) Izqq == Z3Z cos1 EJE Vea la fig. 39 (124)

( )1121

++

(125)( ) cos12cos

221 3

++

+==

qr

EJe

Eje

( )

1

1

12

1221

21

223

2

+

+

+

++

==

z

bz

bq

r

(126)

0= r (127)Egorov (1958)z para cualquier punto del semiespacio, se expresa:

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+

++= pk

t

tEtn

tn

tn

nAqokz ,1

111

122

22

22pi (128)

EJe

Eje

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Fundaciones

donde:

E(k), o(k,p): Integrales elpticas completas de segunda y tercera especia, demdulos k y parmetros p.t, n, k y p, se expresan a travs de:

a

rt = (129)

a

zn =

( )222

14k

tn

t

++

=

( )21t4

-p t+

=

(130)

(131)

(132)Adems:A =1, si t 1 Prof. Silvio Rojas

donde:

a: Radio de carga circular

q: Esfuerzo aplicado por carga circular


Fundaciones

Las figuras 40, 41, 42 y 43, presentan este caso que permite obtener el esfuerzovertical y los esfuerzos principales, en cualquier punto.

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Fig. 40.- EsfuerzosFig. 40.- Esfuerzosverticales producidospor una cargauniformemente sobreuna superficiecircular.

Chequeo:qs = 10 ton/m2v=? Para z/a =1 y x/R=0

Lnea que representa centro del crculo

Lnea que representa el borde del crculo

Zona fuera del crculo

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Para obtener el esfuerzo principal menorBorde

Chequeo:qs = 10 ton/m21=? 3=? Para z/a =1 y x/R=0Compare con v.

Dibuje crculo de Morh

Para obtener el esfuerzo principal mayor

Eje

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Fundaciones

Fig. 41.- Esfuerzos principales bajo una cargauniformemente repartida sobre una superficiecircular.

Lambe y Whitman:Lambe y Whitman:

En la superficie situada bajo elrea cargada, la variacin delesfuerzo horizontal esaproximadamente igual a lavariacin del esfuerzo vertical,como en una prueba decompresin istropica. En estecaso la deformacin horizontal esde compresin y los puntossituados en la superficie debenmoverse hacia el eje de carga.

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Fig. 42.- Valores de 1001/P y100 3/P para superficie circularflexible.

Esfuerzos en el eje

z

x

= y

=

zz

Tarea:

Para determinada carga qs y determinada relacin z/a, determine:1=? 3=? z=? x =?, xz =?Use fig. 40 y 41

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Fundaciones

Fig. 43.- Factor de influencia para el incremento de esfuerzo vertical total bajo un rea circular.

z/R Eje

Borde

Fuera del rea cargada

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Fundaciones

Asentamiento elstico debajo de un rea circular uniformemente distribuida. Para laestimacin del mismo se partir de la fig. 44 para la ubicacin de un punto fuera delrea cargada.

P

Fig. 44.- Elementos definir el radio de un punto.

P P

Cuando a = 0Prof. Silvio Rojas


Fundaciones

( )212222222 cos2 cos2 ++=++= razarrazar (133)La fig. 45, define la ubicacin de un punto bajo una carga puntual.

Fig. 45.- Elementos de ayuda en el caso de cargapuntual.

( ) ( )[ ] cos122

1 2pi

+

+=

EQS (134)( )[ ] cos122

pi

+

=

ES

( ) ( )

+

+=

2

2

122

1S

pi

z

EQ

(134)

(135)

Para la carga circular se plantea:ddrrqdQ = (136)

(137)( ) ( ) pi

pi ddrrzE

qzrS

b

+

+=

0

2

02

2

1212

1),(En cualquier pto

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Solucin de la integral anterior, resulta en funcin de integrales elpticas de primera ysegunda clase Egorov (1958), Harr (1966)Solucin ms simple es la propuesta por Ahlvin Y Ulery (1962):


Fundaciones

( ) ( ) ( )

+

+= HA

bzb

Eq

zrS 11, (138)A,H: Funciones tabuladas

El asentamiento de bajo del centro (a=0), se presenta como:( )

( )( )

( )

pi

pi ddrrzrzr

z

Eq

zSb

+

++

+=

0

2

0 21

2223

22

2 122

1),0( Carga circular en Eje (139)

Harr (1966), obtuvo la expresin de asentamiento en la lnea vertical delcentro:( ) ( ) ( )

+++

=2

22

1121112),0(

nn

nnn

Eqb

zS Eje (140)

donde n=z/b a=0 en el centro

Si n=0 (z=0) asentamiento en superficieProf. Silvio Rojas


Fundaciones

( ) ( )E

qbS2120,0 = (141)

Terzaghi (1943) determin:S(b,0): Asentamiento en el borde( ) ( )0,020, SbS =

pi(142)

Sm: Asentamiento promedioSm: Asentamiento promedio( )0,085.0 SSm = (143)

La fig. 46, muestra la ubicacin de un punto P, en el cual se desea determinar losesfuerzos y asentamiento, de acuerdo a Ahlvin y Ulery (1962).

Fig. 46.- (a) Elementos de ubicacin de unpunto P; (b) Definicin de los puntos enlas capas de un suelo estratificado.

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Los autores definen la deformacin vertical y el esfuerzo vertical, atravs de :

( ) ( )[ ]BAE

qz

++

=

211

( )BAqz

+=

(144.a)

(144.b)

z: Deformacin vertical bajo un rea circular uniformemente cargada a cualquierprofundidad y distancia r.

z: Esfuerzo vertical a la profundidad z y distancia r.z: Esfuerzo vertical a la profundidad z y distancia r.

A, B: Funciones tabuladas (Tabla 1,2 y 3).Adems para el caso de suelo estratificado, sugieren que el asentamiento puede serestimado como:

=

=n

iziizSe

1

(145)

zi: Deformacin vertical en el centro de cada capaZi: Espesor de la capa i

Asentamiento a cualquier profundidad (z) y a cualquier distancia r: Prof. Silvio Rojas

( ) ( ) ( )

+

+= HA

bZ

Ebq

zrS 11,

(146)S(r,z): AsentamientoA,H: Funciones tabuladas (Tabla 1, 2 y 3)

Tabla 1.- FuncinA (Segn R.G.Ahlvin y H. R.Ulery, 1962)Eje

Borde

( )BAqz

+=

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Fundaciones

Cont. Tabla 1.

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Fundaciones

Tabla 2.- Funcin B (Segn R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

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Fundaciones

Cont. Tabla2.

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Fundaciones

Tabla 3.- Funcin H (Segn R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)

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Fundaciones

Cont. Tabla 3.

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Fundaciones

En la fig. 47, se presenta la distribucin de presiones verticales calculadas por Fostery Ahlvin (1954).

Se observa que en los puntos a un mismo nivel bajo el circulo cargado, la tensin esprcticamente constante, excepto en la circunferencia lmite de la carga y conprofundidades z/a < 2. El borde del crculo cargado es una lnea singular en la cual lapresin es tericamente la mitad de la carga sobre el crculo.En la fig. 48, de foster y Ahlvin (1954) se presentan los asentamientos en todo elsemiespacio para el caso en que = 0.5. La relacin entre el asentamiento en elcentro y en el borde es pi/2.

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Fundaciones

Fig. 47.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribucintensiones verticales segn Foster y Ahlvin (1954). Prof. Silvio Rojas


Fundaciones

Valores para determinar asentamiento

Eje

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Fig. 48.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribucin de asentamientos para = 0.5, segn Foster y Ahlvin (1954).

Borde


Fundaciones

( ) ( )[ ])()(2

)1(112)0,( kkz EtktEqa

rS ++=

Schleicher (1926), en la superficie del terreno, presento:(147)

k(k), E(k), integrales elpticas de primera y segunda especie

2

2

14

t

tK+

= (148)r

a

rt = (149)Bajo el centro del crculo el asiento

( )E

qaSz

212 =

(150)

Ejemplo:x = 0 z = 0 ( ) ( )2120,0 =

EbqS para = 0,5 75,0

2)0,0( =EbqS 50,1

.

.

=

qbES

El mismo valor de la grfica.

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Fundaciones

En la fig. 49 de Barber (1963), se presenta la distribucin de presiones en labase del circulo para un coeficiente de Poisson = 0.5. Se aprecia que z=0 en el centro, y a medida que se retira del centro este esfuerzo incrementahasta cierta distancia (borde).Suelo cargado horizontalmente

Fig. 49.- Carga circularrepartida uniformemente.Carga horizontal extensible.Distribucin de tensionessegn Barber (1963).segn Barber (1963).

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Fundaciones

En la fig. 50, se presenta la distribucin en la vertical del centro de z y r, para unmedio con = 0.5 y = 0, producidos por una carga vertical circular uniforme. Seobserva que el coeficiente de no influye en la tensin vertical, cuando la carga esextensible. La influencia de es notable para la tensin radial.La condicin Inextensible:Es una condicin tal que, en la superficie del crculo no pueden producirseEs una condicin tal que, en la superficie del crculo no pueden producirse

movimientos horizontales.

Para carga inextensible o rugosa. Carga circular uniforme.

Distribucin de tensiones en la vertical del centro del crculo, viene dada por lasfrmulas. Schiffman (1968)

( ) ( )

+= azK

a

z

zap

z/,0

/111 20

2/3

2 (151)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

++

+

+== azK

a

zazK

za

z

za

zPr

/,02

/,0'112221 2

002/322

3

2/1220 (152)

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Fundaciones

( )

+

=

21

0 /1/

tan/2)/,0('az

az

z

aazK pi (153) ( ) ( )[ ]22

20 /1

/8/,0az

azK+

=pi (154)

Fig. 50.- Cargacircular repartida

no influye en la tensin vertical para carga extensible influencia de es notable para la tensin radial

circular repartidauniformemente.Carga vertical.Distribucin detensiones segnSchiffman (1968).(a) Tensionesverticales. (b)Tensiones radiales.

Z/a

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Fundaciones

La fig. 51, presenta la variacin de la tensin tangencial sobre la superficie delcrculo, para el caso de carga inextensible. Se aprecia la gran influencia delcoeficiente de Poisson. En el borde del crculo (r/a = 1) la tensin tangencial esinfinita. Tambin la fig. muestra los asentamientos que se presentan en superficie,producidos por una carga circular repartida, para = 0.5 y = 0; en este caso sepuede apreciar la gran influencia del coeficiente de Poisson.

En z = 0En z = 0( )

( ) 22121

ra

rPrz

=

pi

Si (r/a < 1) (155)

rz = 0 Si (r/a) > 1 (156)

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Fundaciones

Dsitribucin de tensiones tangenciales

No hay corte en superficie

Fig. 51.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical inextensible. Distribucin detensiones tangenciales y asentamientos sobre la superficie del crculo, para = 0.5 y = 0, segnSchiffman (1968).

tangenciales en la superficie.

Cortante en borde tiende a infinito

Prof. Silvio Rojas


Fundaciones

En lo anterior se aprecia, que existen dos casos de carga:

Lisa extensible:Corresponde al caso en que la superficie del suelo, puede extenderse librementesin que la carga o el elemento transmisor de la carga al terreno presente ningunacoaccin al movimiento de ste. El esfuerzo tangencial sobre la superficie delterreno sera siempre nulo, y esto sera por lo tanto, la condicin de contornoterreno sera siempre nulo, y esto sera por lo tanto, la condicin de contornoimpuesta para resolver el problema.

Rugosa o inextensible:

Se presenta cuando las condiciones de carga son tales que el suelo no puedeextenderse. Sera el caso por ejemplo de una cimentacin rugosa que coaccionasetotalmente el movimiento de la superficie del terreno en contacto con lacimentacin. Para resolver el problema elstico se impondra entonces, comocondicin de contorno, que bajo la carga los desplazamientos horizontales fuerannulos.

Prof. Silvio Rojas

esfuerzo en la masa de suelo 2

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