Problemas de Deformaciones Planas Tpicos.

Terrapln

Muro de ContencinzY X

z

Y

zX Y

X

Cimentacin Corrida

F

Esfuerzo

Esfuerzo

Deformacin (a) EsfuerzoF

Deformacin (b) EsfuerzoF R

Deformacin (c) Esfuerzo

Deformacin (d) F = Significa en la Falla R = Significa Valor Residual

Deformacin (e)

Relaciones esfuerzo-deformacin de materiales ideales a) elstico, b) esfuerzoplstico rgido, c) elastoplstico, d) elastoplstico con ablandamiento, elastoplstico, e) relacin esfuerzo-deformacin tpica con un material real. esfuerzoreal.

Superficie del terreno

Tu Th Nu (b)Elemento A

Nh

(a)

( c)

Diagramas para ilustrar la definicin de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

Nivel fretico

Nivel del terreno

Z

X

X Area A

Nivel del terreno Nivel fretico

Z ZWW

X

X Area A

Z

Z

ZX Z y yX y Xy X XZ

y

Z 1X a)

y

2

3 X b)

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principales

a

a N TyHuecos (poros)

Selecciones de las partculas

Tx y XPunto de contacto entre partculas situadas por encima y debajo del plano de la seccion.

Definicin de los esfuerzos en un sistema de partculas

Concepto de Esfuerzos Efectivos

H

HA

Agua de Poro a Partcula Slida a

Area de Corte Transversal =

Consideracin del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltracin

Concepto de Esfuerzos Efectivosa1 a2 a3 a4

P4 P1 P2 P3 Area de Corte Transversal =

Fuerzas que actan en los puntos de contacto de las partculas de suelo en el nivel del punto A.

Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Sueloh h*z H2

H1

AZ

H2

C

B

Entrada

Vlvula (abierta)

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia arriba

Distribucin de Esfuerzos en una Masa de SueloEsfuerzo Total, W o Presin de Poros Q Esfuerzo Efectivo W o o

H1

H1 KW

H1 KW

H1 + z

H1KW zKsat

(H1z + zi)Kw

z(K i Kw)

H1 + H2 H1 KW H2K sat Profundidad (a) (H1 + H2 + h) Kw Profundidad (b) H2 K - hKw Profundidad

(c)

Variacin del (a) esfuerzo total; (b) presin de poro y (c) esfuerzo total; efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia arriba. arriba.

Distribucin de Esfuerzos en una Masa de SueloEntrada Q

H1

h

A

h*z H2

Z

H2

C

B

Salida

Vlvula (abierta)

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo

Distribucin de Esfuerzos en una masa de sueloEsfuerzo Total, W o Presin de Poro Q o Esfuerzo Efectivo W

H1

H1 KW

H1 KW

o

H1 + z

H1 KW zKsat

(H1z - zi)Kw

z(K + i Kw)

H1 + H2 H1 KW H2K sat Profundidad (a) (H1 + H2 - h) Kw Profundidad (b) H2 K + hKw Profundidad (c)

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin del abajo; (a) esfuerzo total; (b) presin de poros y (d) esfuerzo efectivo con la total; profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia abajo. abajo.

Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga Puntual.P

r X y

y

X

L

Z

(W z

Z

A(W y

(W x

Esfuerzos causados por un Carga PuntualBoussinesq (1883) resolvi el problema de los 1883) esfuerzos producidos en cualquier punto de un medio homogneo, elstico e istropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La grande. solucin de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P es2 x2 z x2 y 2 P 3 y z (W x ! 5 (1 2Q ) 2 3 2 2T L Lr ( L z ) L r

Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntual2 y2z y2 x2 P 3 x z (W y ! 5 (1 2Q ) 2 3 2 2T L Lr ( L z ) L r

y

3Pz 3 3Pz 3 (W z ! ! 5 2 2 5/ 2 2TL 2T (r z )r! x y2 2

donde:

L ! x2 y 2 z 2 ! r 2 z 2Q = relacin de poisson

Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaQ por metro

z

(Wz (WxX N

Esfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLos incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una carga lineal Q por metro, son

z 2Q (W z ! 2 2 2 T (x z ) x z 2Q (W x ! 2 2 2 T (x z ) xz 2Q (X xz ! 2 2 2 T (x z )2 2

3

Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)B

= carga por rea unitaria

x

r

dr X-r F H (Wz

X z

A

Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja InfinitaLoa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presin uniforme q que acta sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho B, son los siguientes: siguientes:

q (W z ! ?F senF cos( F 2H )A T q (W x ! ?F senF cos( F 2H )A T q (X xz ! senF sen( F 2H ) T

Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franjaq B (W q 2B 2.5B

= 0.90.7 0.5 0.3 0.06 2B 0.08 B

a

Carga de Franja flexible a Planta

(W q

= 0.2

3B

4B 0.1 0 B 2B 5B

Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja0.9q 0.8q 0.6q 0.5q B

0.4q 0.3q 2BV

Bajo el centro

0.2q 3B

4B

5B

=0.1qV

6B

0

0.2q 0.4q

0.6q

0.8q q

a)

b)

Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) lneas de igual incremento de car esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro

Carga con Distribucin Triangular sobre una Franja InfinitaB q

R1

R2 Z

X (WX

E

F (WV N

Carga con Distribucin Triangular sobre una Franja InfinitaCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribucin triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N estn dados por:

q x 1 (W v ! E sen 2 F 2 T B 2 x q z R1 1 (W x ! E 1n 2 sen 2 F B R2 T B 2 q 2z (X xz ! 1 cos 2 F B x 2T

Carga uniformemente distribuida sobre rea circular

una

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de una rea circular flexible de radio R cargada con una presin uniforme q esta dado por

1 (W v ! q 1 2 1 ( R / z )

3/ 2

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma grfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como

(W v ! qI W

Factor influencia l0.001 0 0.002 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.1 0.2 r =1 R 0.4 0.6 0.8 1

1

1.25 2 1.5

2

2.5 3 0.5r =0.75 R

0

3

4

z R ER

4

5 6

5

7 86 r =10 R 7

Carga uniforme qR

9

8V

9V

r

= q/

10

Valores del factor de influencia / para calcular el incremento de esfuerzo vertical total ( v bajo un rea circular uniformemente cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin del transportation Research board).

0.50

b/z= 3.0 2.0 1.9 1.6 1.4 1.2b/z =1.0 0.9

0.40

0.8 0.7

0.6

Influence Value I

0.30

b/z =0.5

0.4

0.30.20

0.2a b

P

0.10.10Z =I.P

Z

b/z=0

Z

0 0.01 2 4 6 8 01 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 0

a/z

Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957).

Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un rea Cuadrada con Carga UniformeCarga uniforme qB B

0.9q

0.8q 0.6q

0.5B

0.5B

0.4q 0.3q

B0.2q

B

0.1q

1.5B

1.5BV Bajo

el centro

2B=0.5qV

2B

2.5B

2.5B

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0

a)

b)

a) lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata. zapata.

Incremento de Presiones Verticales Bajo un rea Rectangular con Carga UniformeEl incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de un rea rectangular cargada uniformemente viene dado por:

(W v ! qI WDonde IW es funcin de m y n, parmetros definidos como: como

B m! z L n ! z

Presion uniforme q

0.25 0.24 0.23 0.22

B

m=3.0 m=2.4 m=2. m=1.8

m=m=1.6m=1.4

m=1.2 m=1.0 m=0.9 m=0.8 m=0.7 m=0.6

L ZV

0.21 0.20 0.19 0.18

0.18 0.17 0.16

N =ql Nota : m y n son intercambiablesV

Factor de influencia I

0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01 0.02 0.04 0.06 m=0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 2 3 456 8 10 m=0.1 m=0.2 m=0.3 m=0.4 m=0.5

Valores del factor de influencia IW para calcular el incremento de esfuerzo vertical total (Wv bajo la esquina de una rea rectangular uniformemente cargada (Segn Fadum, 1948) 1948)

n

Clculo aproximado del incremento de esfuerzo verticalPara reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un clculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirmide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, si el rea cargada es un rectngulo de longitud L y ancho B, el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estar dado aproximadamente por

qLB (W v ! ( L z )( B z )

Cualquier rea cargada puede considerarse como un nmero discreto de subreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terrenoq

LxB

1 2

1 2

Z

(L+z) x (B+z)

Mtodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo vertical total bajo un rea uniformemente cargada.

EjercicioUna cimentacin superficial cuadrada de 2m de lado , perfectamente flexible, transmite a un depsito de suelo homogneo e isotrpico una carga uniforme (q = 200 KN/m2. Comparar la distribucin de los incrementos de esfuerzo vertical, ((Wv) bajo el centro de la zapata considerando una carga distribuida y una carga puntual equivalente. Estimar a partir de equivalente. que profundidad los errores entre estas distribuciones son inferiores a 0.1(q. a) Carga uniformemente distribuidaB A B A

1m 2m

C

D C D

q =200 kn/m2

4 veces

Utilizando el baco de FadumEsquina CentroZ (m)

(m,n) 4 2 1 0.67 0.50 0.40 0.33 0.29 0.25 0,247 0,233 0,177 0.125 , 0,086 0,062 0,046 0,037 0,027

(KN/m )

2

(KN/m )

2

O 0.25 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

200 49,4 46,6 35,4 25,0 17,2 12,4 9,2 7,4 5,4

200 197,6 186,4 141,6 100,0 68,8 49,6 36,8 29,6 21,6

Carga puntualExpresin de Boussinesq

3P (W v ! 3 2Tz P ! 2 x 2 x 200 ! 800k2Z(m)V

0,25

0,50

1,00 1,50

2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

(KN/M2)

6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

Comparacin entre las dos distribuciones de (WvA partir de Z>2,20m p error absoluto ((`Wv-(W) /Dq < 0.1 (( (W)0 50 100 150 200V

(kN/m )

2

1

2 2,2V

CARGA DISTRIBUIDA CARGA PUNTUAL

3

V

4 z(m)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO CRCULO DE MOHRZ Tzx Txz X Txz X X Txz c Tzx Z a) Tzx Z b) B A T 0 Resultantes de esfuerzos sobre ab

Direccin de

REPRESENTACIN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL CRCULO DE MOHR

A3

T

1 C 3 B

Direccin de(a)T

1

A ( Coordenados1

,T )

a) estado de esfuerzos en un punto. b) Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto.

2

3

2

Circulo de Mohr

1

+2

3

(b)

Representacin de los esfuerzos mediante el crculo de Mohr.

W1 W 3 W1 W 3 W U ! W 1 cos U W 3 sen U ! cos 2U 2 2 W1 W 3 X U ! (W 1 W 3 ) senU cos U ! sen2U 22 2

El esfuerzo tangencial mximo en un punto, Xmax es siempre igual a (W1-W3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial )/2 mximo equivale al radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo Mohr. tangencial mximo se produce en planos que forman 45 45 con la direccin del esfuerzo principal mayor. mayor.

Ejemplo2kg/cm2

B

300

4kg/cm

2

4kg/cm

2

B

2kg/cm

2

Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B. B-

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se representa los puntos (4,0) y (2,0). Se dibuja el crculo, utilizando estos puntos para definir el dimetro. dimetro. Se traza la lnea AA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual acta el esfuerzo (2,0). La interseccin de AA con el crculo Mohr en el punto (4,0) es el polo. polo. Se traza la lnea BB por Op, paralela a BB. BB. Se leen las coordenadas del punto X donde BB corta al crculo de BB Mohr. Mohr.1 C

0

A

Op Op B B A A

X -1 1 2 2 B B 3 3

4 4

C

W = 2.5 kg/cm2 Sobre BB X = -0.87 kg/cm2

2.5 kg/cm2

Respuesta4 kg/cm 0.872

2 kg/cm2

Otra solucin. Los pasos 1 y 2 igual que antes. solucin. 3. Trazapor el punto (4.0) la lnea CC paralela al plano sobre Traza el que acta el esfuerzo (4.0). CC es vertical. 4. CC corta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 anlogos al caso anterior. Solucin por medio de las ecuaciones

W 1 ! 4kg / cm 2W 3 ! 2kg / cm 2U ! 120r 42 42 cos 240r ! 3 cos 60r ! 2.5kg / cm 2 WU ! 2 2 42 XU ! sen240r ! sen60r ! 0.866kg / cm 2 2(preguntas para el alumno. Por qu es U =120r? El resultado alumno. =120r habria sido diferente si U = 300r?) 300r

DIAGRAMAS p-q pEn muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama nico, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra del suelo. En otros problemas se suelo. representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos diferentes. resulta muy pesado trazar los crculos de Mohr, e incluso mas difcil ver lo que se ha representado en el diagrama despus de dibujar todos los crculos . Otro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas son

W1 W 3 p! 2

W1 W 3 q!s 2

+ si W1 forma un ngulo igual o menor de 45 con la vertical 45 - si W1 forma un ngulo menor de 45 con la horizontal 45

En la mayora de los casos en los que se utiliza la representacin puntual, los esfuerzos principales actan sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la horizontales. ecuacin se reduce a

WY W h WY W h p! ,q ! 2 2

Este mtodo equivale a representar un punto nico de un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o Mohr: el mas bajo si q es negativo. Numricamente, q equivale negativo. a la mitad del esfuerzo desviador. desviador. Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la informacin necesaria para dibujar el crculo de Mohr correspondiente. Sin correspondiente. embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el crculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos. esfuerzos.