esfuerzo en una masa de suelo 110402194720 phpapp02 copia

8/18/2019 Esfuerzo en Una Masa de Suelo 110402194720 Phpapp02 Copia

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Problemas de Deformaciones Planas Típicos.Problemas de Deformaciones Planas Típicos.

Muro deContención

Terraplén

Cimentación Corrida

zY

X

zY

X

zY

X



Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.

Esfuerzo

Deformación(a)

F

Esfuerzo

Deformación(c)

Esfuerzo

Deformación(e)

Esfuerzo

Deformación(b)

Esfuerzo

Deformación(d)

F FR

F !i"nifica en la FallaR !i"nifica #alor Residual



E l e m e n t o A

( a )

( b )

( c )

S u p e r f i c i e d e l t e r r e n o

T h

T u

N u

N h

Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil delDiagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del

terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.



N i v e l f r e á t i c oN i v e l d e l t e r r e n o

X X

Z

A r e a A

N i v e l f r e á t i c o

N i v e l d e l t e r r e n o

X X

Z

Z

A r e a A

W

W



Z Z

Z

Z

Z

y

y

yy

y

XX

XX

X

X

X

a )

y

X

Z

b )

1

!

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b)a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b)

esfuerzos principalesesfuerzos principales



N

y

X

T y

T " # u e c o $ ( p o r o $ )

S e l e c c i o n e $ d e

l a $ p a r t % c u l a $

& u n t o d e c o n t a c t o e n t r e

p a r t % c u l a $ $ i t u a d a $ p o r

e n c i m a y d e b a ' o d e l

p l a n o d e l a $ e c c i o n

a

a

Definición de los esfuerzos en un sistema de partículasDefinición de los esfuerzos en un sistema de partículas



Concepto de sfuerzos fecti!osConcepto de sfuerzos fecti!os

H "

$rea de Corte $rea de CorteTrans%ersal Trans%ersal & &

a

a

$"ua de 'oro $"ua de 'oro

'artcula !ólida'artcula !ólida

H

Consideración del esfuerzo efecti!o para una columnaConsideración del esfuerzo efecti!o para una columnade suelo saturado sin infiltraciónde suelo saturado sin infiltración



#uerzas $ue act%an en los puntos de contacto de las#uerzas $ue act%an en los puntos de contacto de laspartículas de suelo en el ni!el del punto ".partículas de suelo en el ni!el del punto ".

$rea de Corte $rea de CorteTrans%ersal Trans%ersal & &

a1

a2

a3

a4

P1 P

2

P3

P4

Concepto de sfuerzos fecti!osConcepto de sfuerzos fecti!os



Distribución de sfuerzos en una &asa de 'ueloDistribución de sfuerzos en una &asa de 'uelo

Entrada

#l%ula(abierta)

*+

,

-

C

$

*.

/ 0 z *.

h

strato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia arribastrato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia arriba



Distribución de sfuerzos en una &asa de 'ueloDistribución de sfuerzos en una &asa de 'uelo

!alida

#l%ula(abierta)

*+

,

-

C

$

*.

/ 0 z*.

h

Entrada 8

strato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia abaostrato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia abao



Distribución de sfuerzos en una masa de sueloDistribución de sfuerzos en una masa de suelo

strato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia abao+ !ariación delstrato de suelo en un tan$ue con infiltración (acia abao+ !ariación del*a) esfuerzo total+ *b) presión de poros *d) esfuerzo efecti!o con la*a) esfuerzo total+ *b) presión de poros *d) esfuerzo efecti!o con la

profundidad en un estrato de suelo con infiltración (acia abao.profundidad en un estrato de suelo con infiltración (acia abao.

ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad

Esfuerzo Total1 σ 'resión de 'oro µ Esfuerzo Efecti%o σ2

*+ γ 3

*+ γ 3 + z γ sat

*+ γ 3

(*+ +z 7 zi)γ 5 z(γ 2 4 i γ 5)

*+ γ 3 + *. γ sat (*+ 4 *. 7 /) γ 5 *. γ 2 4 / γ 5

o

o o

*+

*+ 4 z

*+ 4 *.

*a) *b) *c)



sfuerzos en un &edio lástico Causados por unasfuerzos en un &edio lástico Causados por unaCarga Puntual.Carga Puntual.

//

00

r r

00

PP

σ

σ

σ

σ zz

σ

σ 11

""



sfuerzos causados por un Carga Puntualsfuerzos causados por un Carga Puntual

2oussines$ *3445) resol!ió el problema de los2oussines$ *3445) resol!ió el problema de losesfuerzos 6producidos en cual$uier punto de unesfuerzos 6producidos en cual$uier punto de unmedio (omog7neo, elástico e isótropo comomedio (omog7neo, elástico e isótropo comoresultado de una carga puntual aplicada sobre laresultado de una carga puntual aplicada sobre lasuperficie de un semiespacio infinitamente grande. /asuperficie de un semiespacio infinitamente grande. /asolución de 2oussines$ para los esfuerzos normalessolución de 2oussines$ para los esfuerzos normalesen un punto " causado por la carga puntual P esen un punto " causado por la carga puntual P es

++

−−−=∆23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 r L

z y

z L Lr

y x

L

z x P x µ

π σ



sfuerzos 8ormales en " causados porsfuerzos 8ormales en " causados poruna Carga Puntualuna Carga Puntual

++

−−−=∆23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 r L

z x

z L Lr

x y

L

z y P y µ

π σ

2/522

3

5

3

)(2

3

2

3

z r

Pz

L

Pz z

+==∆

π π σ

donde9donde9

22222

22

zr z y x L

y xr

+=++=

+=

µ : relación de poisson: relación de poisson



zz

00

88

;; por metropor metro

∆σ9

∆σz

sfuerzos en un &edio lástico Causados por una Cargasfuerzos en un &edio lástico Causados por una Carga/ineal ertical de /ongitud <nfinita/ineal ertical de /ongitud <nfinita



sfuerzos Causados por unasfuerzos Causados por una CargaCarga/ineal ertical de /ongitud <nfinita/ineal ertical de /ongitud <nfinita

/os incrementos de esfuerzo en 8 debidos a la aplicación de una/os incrementos de esfuerzo en 8 debidos a la aplicación de unacarga lineal ; por metro, soncarga lineal ; por metro, son

222

2

222

2

222

3

)(

2)(

2

)(

2

z x

xz Q z x

z xQ

z x

z Q

xz

x

z

+=∆

+

=∆

+=∆

π τ

π

σ

π σ



: car"a por reaunitaria

22

00

0 - r 0 - r

σ

σzz

""

β

dr dr r r

δ

11

zz

sfuerzos en un &edio lástico Causados por unasfuerzos en un &edio lástico Causados por unaCarga de #rana *anc(o finito longitud infinita)Carga de #rana *anc(o finito longitud infinita)



Carga =niformemente Distribuida 'obreCarga =niformemente Distribuida 'obreuna #rana <nfinitauna #rana <nfinita

/oa incrementos de esfuerzos en el punto " producidos por una/oa incrementos de esfuerzos en el punto " producidos por unapresión uniformepresión uniforme q q $ue act%a sobre un frana fle1ible infinitamente$ue act%a sobre un frana fle1ible infinitamentelarga de anc(olarga de anc(o BB, son los siguientes9, son los siguientes9

[ ]

[ ]

)2(

)2cos(

)2cos(

δ β β π

τ

δ β β β

π

σ

δ β β β π σ

+=∆

+−=∆

++=∆

sen senq

senq

sen

q

xz

x

z



<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales2ao una Carga #le1ible de #rana2ao una Carga #le1ible de #rana

Carga deCarga de

#rana fle1ible#rana fle1ibleaa aa

PlantaPlanta

$

2 >2 >.?2

2

>2

52

@2

?2

A.B

A.?

A.5

A.>

A.A

A.A4

A.3

A 2 >2

σ

$ : A.

σ

$ :

< ób 2 lb d P i ti l< ób 2 lb d P i ti l



!

*

+

,

- . 1 / 0

. /

. ! /

. * /

. + /

. , / . /

. 2 /

a ' o e l c e n t r o0

. . / . * / . , / . / /

a ) b )

Fran;a infinita con caFran;a infinita con car r "a uniformemente distribuida< a) lneas de i"ual incremento de"a uniformemente distribuida< a) lneas de i"ual incremento de

esfuerzo %ertical total1 b) incremento del esfuerzo %ertical total ba;o el centroesfuerzo %ertical total1 b) incremento del esfuerzo %ertical total ba;o el centro

<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales2ao una Carga #le1ible de #rana2ao una Carga #le1ible de #rana



8

β

0

σ0

σ

$

2

R3

R>

Carga con Distribución TriangularCarga con Distribución Triangularsobre una #rana <nfinitasobre una #rana <nfinita



Carga con Distribución TriangularCarga con Distribución Triangularsobre una #rana <nfinitasobre una #rana <nfinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a tra!7s delCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a tra!7s delanc(o de la frana, lo cual conduce a una distribución triangular,anc(o de la frana, lo cual conduce a una distribución triangular,los incrementos de esfuerzo en el punto 8 están dados por9los incrementos de esfuerzo en el punto 8 están dados por9

−+=∆

+−=∆

−=∆

x B

z q

sen

R

Rn

B

z

B

xq

sen B xq

xz

x

v

22cos1

2

2

2

11

221

2

2

2

1

β π

τ

β α

π

σ

β α π

σ



Carga uniformemente distribuida sobreCarga uniformemente distribuida sobre unaunaárea circular área circular

+−=∆

2/3

2)/(1

1

1 z Rqvσ

l incremento del esfuerzo !ertical total a una profundidadl incremento del esfuerzo !ertical total a una profundidad z z bao elbao el

centro de una área circular fle1ible de radiocentro de una área circular fle1ible de radio RR cargada con unacargada con unapresión uniformepresión uniforme q q esta dado por esta dado por

'in embargo, para puntos diferentes de los situados bao el'in embargo, para puntos diferentes de los situados bao elcentro de carga, las soluciones tienen una forma e1tremadamentecentro de carga, las soluciones tienen una forma e1tremadamente

complicada *Earr, 3) por lo general se presentan en formacomplicada *Earr, 3) por lo general se presentan en formagráfica *#oster "(l!in, 3?@ ) o en tablas *"(l!in =ler, 3>).gráfica *#oster "(l!in, 3?@ ) o en tablas *"(l!in =ler, 3>).n el punto 8 , puede escribirse el incremento en el esfuerzon el punto 8 , puede escribirse el incremento en el esfuerzo!ertical total como!ertical total como

σ σ qI v=∆



3actor influencia3actor influencia l l 44

#alores del factor de influencia => para calcular el incremento de esfuerzo %ertical

total ∆>% ba;o un rea circular uniformemente car"ada? (!e"@n Foster A $l/%in1

55

66

.(+.b85-

! .



&

Z

Z

-7(&Z

a b

.(+.

.(*.

.(!.

.(.

.(1.

..(.1 * , , , . . .1 1.1 * *

7 n f l u e n c e

0 a l u e

9 7 :

a85

b85-.

.(1

.(

.(!

.(*

.(,

.(;

.(

.(2

b85 -1(.

b85 -.(+

1(

1(*

1(,1(2

(.

!(.

#actores de <nfluence para sfuerzos erticales Fenerados#actores de <nfluence para sfuerzos erticales Fenerados

por una Carga de Terrapl7n *Gbsterberg, 3?B).por una Carga de Terrapl7n *Gbsterberg, 3?B).

<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales



) )

<ar=a uniforme /

-.(+/ 0

.(/

.(1/

.(!/

.(*/

.(,/

.(/

.(2/

a'o el

centro

0

.(+.(+

1(+1(+

(+(+

. .(/ .(*/ .(,/ .(/ .

a) b)

a) líneas de igual incremento de esfuerzo !ertical total, b) incrementoa) líneas de igual incremento de esfuerzo !ertical total, b) incremento

del esfuerzo !ertical total bao el centro de la zapata.del esfuerzo !ertical total bao el centro de la zapata.

<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales<sóbaras o 2ulbo de Presiones erticales2ao un Hrea Cuadrada con Carga =niforme2ao un Hrea Cuadrada con Carga =niforme



z

Ln

z

B

m

=

=

l incremento en el esfuerzo !ertical debao la es$uinal incremento en el esfuerzo !ertical debao la es$uinade unde un área rectangular cargada uniformemente !ienedado por9

<ncremento de Presiones erticales 2ao<ncremento de Presiones erticales 2aoun Hrea Rectangular con Carga =niformeun Hrea Rectangular con Carga =niforme

σ σ qI v =∆

Donde <Donde <σ

es función de m n, parámetros definidoses función de m n, parámetros definidos

comocomo9



alores del factor de influencia <alores del factor de influencia <σ

para calcular el incremento de esfuerzopara calcular el incremento de esfuerzo!ertical total!ertical total

σ

σ!! bao la es$uina de una área rectangular uniformementebao la es$uina de una área rectangular uniformemente

cargada *'eg%n #adum, 3@4)cargada *'eg%n #adum, 3@4)

.1 .1

.12

..

.1

.

.!

.*

.+

.1;

.1,

.1+

.1*

.1!

.1

.11

.1.

..2

..

..;

..,

..+

..*

..!

..

..1

..1 .1 1 ! * + , 1.. .! .*.. ..* .., ., .

...m-..

m-.1

m-.

m-.!

m-.*

m-.+

m-.,

m-.;

m-.

m-1.

m-1m-

m-*m-!. m-

m-1

m - 1 *m - 1 ,

m-.2

&re$ion uniforme /

)

> 0

0 -/l

N

Nota m n ? y $on intercambiable$

Z

n



Cálculo apro1imado del incremento deCálculo apro1imado del incremento deesfuerzo !erticalesfuerzo !ertical

Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,puede (acerse un cálculo apro1imado del incremento de esfuerzopuede (acerse un cálculo apro1imado del incremento de esfuerzo!ertical total suponiendo $ue la carga aplicada se distribue dentro!ertical total suponiendo $ue la carga aplicada se distribue dentrode un cono truncado o una pirámide truncada formados por ladosde un cono truncado o una pirámide truncada formados por ladoscon pendiente de > en la !ertical 3 en la Eorizontal, por eemplo,con pendiente de > en la !ertical 3 en la Eorizontal, por eemplo,si el área cargada es un rectángulo de longitudsi el área cargada es un rectángulo de longitud LL anc(o anc(o BB, el, elincremento promedio en el esfuerzo !ertical total a unaincremento promedio en el esfuerzo !ertical total a unaprofundidad z estará dado apro1imadamente por profundidad z estará dado apro1imadamente por

))(( z B z LqLB

v++

=∆σ



Cual$uier área cargada puede considerarse como un n%mero discretoCual$uier área cargada puede considerarse como un n%mero discretode subáreas, $ue distribuen una carga puntual aplicada sobre lade subáreas, $ue distribuen una carga puntual aplicada sobre lasuperficie del terrenosuperficie del terreno

11

> " )

(>@5) " (@5)

Z

/

&7todo apro1imado para calcular el incremento promedio de esfuerzo&7todo apro1imado para calcular el incremento promedio de esfuerzo

!ertical total bao un área uniformemente cargada.!ertical total bao un área uniformemente cargada.

ercicio

ercicio



ercicio ercicio

=na cimentación superficial cuadrada de >m de lado ,=na cimentación superficial cuadrada de >m de lado ,perfectamente fle1ible, transmite a un depósito de sueloperfectamente fle1ible, transmite a un depósito de suelo(omog7neo e isotrópico una carga uniforme(omog7neo e isotrópico una carga uniforme $ : >AA I8Jm$ : >AA I8Jm>>..

Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo !ertical,Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo !ertical,** σ

σ!!) bao el) bao el centrocentro de lade la zapata considerando una cargazapata considerando una carga

distribuida una carga puntualdistribuida una carga puntual e$ui!alentee$ui!alente. stimar a partir de. stimar a partir de$ue$ue profundidadprofundidad los errores entre estas distribuciones sonlos errores entre estas distribuciones soninferiores a A.3inferiores a A.3

q q ..

a) Carga uniformemente distribuidaa) Carga uniformemente distribuida

<

/ -.. n8m

A A

B

B<

* vece$

1m



=tilizando el Hbaco de #adum=tilizando el Hbaco de #adum

E$/uina <entro

Z(m ) (mCn)

(DN8m ) (DN8m )

.+

.+.

1..

1+.

..

+.

!..

!+.

*..

- -

*

1

.,;

.+.

.*.

.!!

.2

.+

.C*;

.C!!

.C1;;

.1+

.C.,

.C.,

.C.*,

.C.!;

.C.;

.. ..

*2C*

*,C,

!+C*

+C.

1;C

1C*

2C

;C*

+C*

12;C,

1,C*

1*1C,

1..C.

,C

*2C,

!,C

2C,

1C,

,



Comparación entre las dos distribuciones deComparación entre las dos distribuciones deσ

σ!!

" partir de K>,>Am" partir de K>,>Am→

error absoluto *error absoluto * `̀σv-v-

σ

σ) /Dq <) /Dq <0.10.1

*

!

C

1

. +. 1.. 1+. ..0

0

0

(N8m )

<A6GA B7ST67H7BA

<A6GA &HNTHA>

5(m)



Z

X XX

ZZ

T5"

T5"

T5"

T"5T"5

T"5.

A

c

T 6e$ultante$ de

e$fuer5o$ $obre ab

a) b)

'T"DG D '#=RG' 8 =8" &"'" D '=/G'T"DG D '#=RG' 8 =8" &"'" D '=/GCLRC=/G D &GERCLRC=/G D &GER

A

M



A

<

1

!

T

B i r e c c i I n d e 1

( a )

1

1

!

!

J

@

A ( < o o r d e n a d o $ C )T

T

< i r c u l o d e F o h r

( b )

RPR'8T"C<M8D '#=RG'&D<"8T /

CLRC=/G D &GER

a)a) estado de esfuerzos enestado de esfuerzos enun punto.un punto.

b)b) Diagrama de &o(r paraDiagrama de &o(r parael estado de esfuerzosel estado de esfuerzosen un punto.en un punto.



Representación de los esfuerzos mediante elRepresentación de los esfuerzos mediante el

círculo de o!r.círculo de o!r.

θ σ σ

θ θ σ σ τ

θ σ σ σ σ θ σ θ σ σ

θ

θ

2

2

cos)(

2cos22

cos

3131

31312

3

2

1

sen sen

sen

−=−=

−++=+=

El esfuerzo tangencial m"#imo en un punto,El esfuerzo tangencial m"#imo en un punto,τma#ma# eses

siempre igual a $siempre igual a $σ

%&%&σ

')(* es decir, el esfuerzo tangencial')(* es decir, el esfuerzo tangencial

m"#imo e+uiale al radio del círculo de o!r. Este esfuerzom"#imo e+uiale al radio del círculo de o!r. Este esfuerzo

tangencial m"#imo se produce en planos +ue formantangencial m"#imo se produce en planos +ue forman - /0- /0

con la dirección del esfuerzo principal mayor.con la dirección del esfuerzo principal mayor.



E1emploE1emplo

2e pide calcular los esfuerzos sobre el plano 3&3.2e pide calcular los esfuerzos sobre el plano 3&3.

! . .

* = 8 c m

* = 8 c m

= 8 c m

= 8 c m



%.%. 2e representa los puntos $,4) y $,4).2e representa los puntos $,4) y $,4).

.. 2e dibu1a el círculo, utilizando estos puntos para definir el di"metro.2e dibu1a el círculo, utilizando estos puntos para definir el di"metro.

'.'. 2e traza la línea2e traza la línea AA’ AA’ por el punto $,4), paralela al plano sobre el cualpor el punto $,4), paralela al plano sobre el cual

act5a el esfuerzo $,4).act5a el esfuerzo $,4).

.. 6a intersección de6a intersección de A’A’ A’A’ con el círculo o!r en el punto $,4) es el polo.con el círculo o!r en el punto $,4) es el polo.

/./. 2e traza la línea2e traza la línea B’B’ B’B’ por 7por 7pp, paralela a, paralela a BB. BB.

8.8. 2e leen las coordenadas del punto 9 donde2e leen las coordenadas del punto 9 donde B’B B’B: corta al círculo de: corta al círculo de

o!r.o!r.

"N

.

Gp

2N

2N



Respuesta Respuesta

+ = 8 c m

= 8 c m

* = 8 c m

. ;

2obre 332obre 33 σ

; ./ <g(cm; ./ <g(cm

τ

; &4.=> <g(cm; &4.=> <g(cm



Otra soluciónOtra solución. 6os pasos % y igual +ue antes.. 6os pasos % y igual +ue antes.

'. ?raza@por el punto $.4) la línea'. ?raza@por el punto $.4) la línea C’C’ C’C’ paralela al plano sobreparalela al plano sobre

el +ue act5a el esfuerzo $.4).el +ue act5a el esfuerzo $.4). C’C’ C’C’ es ertical.es ertical.

.. C’C’ C’C’ corta al círculo de o!r solamente en $.4) de formacorta al círculo de o!r solamente en $.4) de forma+ue este punto es el polo 7+ue este punto es el polo 7

pp. 6os pasos / y 8 an"logos al caso. 6os pasos / y 8 an"logos al caso

anterior.anterior.

Solución por medio de las ecuaciones Solución por medio de las ecuaciones

2

2

2

3

2

1

/866.0602402

24

/5.260cos3240cos2

24

2

24

120/2/4

cmkg sen sen

cmkg

cmkg cmkg

−=°−=°−

=

=°−=°−

++

=

°===

θ

θ

τ

σ

θ σ σ

$$ preguntas para el alumno preguntas para el alumno. Por +uB es. Por +uB esθ

;%4;%4°

C El resultadoC El resultado

!abria sido diferente si!abria sido diferente siθ

; '44; '44°

C)C)



DIAGRAMAS p-q DIAGRAMAS p-q

En muc!os problemas coniene representar, sobre unEn muc!os problemas coniene representar, sobre un

diagrama 5nico, muc!os estados de esfuerzos para unadiagrama 5nico, muc!os estados de esfuerzos para unadeterminada muestra del suelo. En otros problemas sedeterminada muestra del suelo. En otros problemas se

representa en un diagrama de este tipo el estado derepresenta en un diagrama de este tipo el estado de

esfuerzos de muc!as muestras diferentes. En tales casosesfuerzos de muc!as muestras diferentes. En tales casos

resulta muy pesado trazar los círculos de o!r, eresulta muy pesado trazar los círculos de o!r, eincluso mas difícil er lo +ue se !a representado en elincluso mas difícil er lo +ue se !a representado en el

diagrama despuBs de dibu1ar todos los círculos .diagrama despuBs de dibu1ar todos los círculos .

7tro mBtodo para dibu1ar el estado de esfuerzos puede7tro mBtodo para dibu1ar el estado de esfuerzos puedeser adoptar un punto representatio de los esfuerzosser adoptar un punto representatio de los esfuerzos

cuyas coordenadas soncuyas coordenadas son



2

31 σ σ +=

p

231 σ σ −

±=q

sisiσ%% forma un "ngulo igual oforma un "ngulo igual o

menor demenor de -- /0 con la ertical/0 con la ertical

& si& siσ

%% forma un "ngulo menor deforma un "ngulo menor de-- /0 con la !orizontal/0 con la !orizontal

En la mayoría de los casos en los +ue se utiliza laEn la mayoría de los casos en los +ue se utiliza la

representación puntual, los esfuerzos principales act5anrepresentación puntual, los esfuerzos principales act5an

sobre planos erticales y !orizontales. En este caso, lasobre planos erticales y !orizontales. En este caso, la

ecuación se reduce aecuación se reduce a

2,

2

hh q p σ σ σ σ

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