esfuerzo en una masa de suelos

ESFUERZOS EN UNA MASA

DE SUELO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniera Civil

Mecnica de Suelos II Dr. Ing. Zenn Aguilar Bardales

Problemas de Deformaciones

Planas Tpicos

Muro de

Contencin

Terrapln

Cimentacin Corrida

zY

X

zY

X

zY

X


Relaciones esfuerzo-deformacin de materiales ideales a) elstico, b)

plstico rgido, c) elastoplstico, d) elastoplstico con

ablandamiento, e) relacin esfuerzo-deformacin tpica con un

material real.

Esfuerzo

Deformacin

(a)

F

Esfuerzo

Deformacin

(c)

Esfuerzo

Deformacin

(e)

Esfuerzo

Deformacin

(b)

Esfuerzo

Deformacin

(d)

F FR

F = Significa en la Falla

R = Significa Valor Residual


Elemento A

(a)

(b)

( c)

Superficie del terreno

Th

Tu

Nu

Nh

Diagramas para ilustrar la definicin de esfuerzo

a) Perfil del terreno.

b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.


Nivel freticoNivel del terreno

X X

Z

Area A

Nivel fretico

Nivel del terreno

X X

Z

Z

Area A

W

W


ZZ

Z

Z

Z

y

y

yy

y

XX

XX

X

X

X

a)

y

X

Z

b)

1

2

3

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo

b) Esfuerzos principales


N

y

X

Ty

Tx

Huecos (poros)

Selecciones de

las partculas

Punto de contacto entre

partculas situadas por

encima y debajo del

plano de la seccion.

a

a

Definicin de los esfuerzos en un sistema de partculas


HA

rea de Corte

Transversal =

a

a

Agua de Poro

Partcula Slida

H

Consideracin del esfuerzo efectivo para una columna de

suelo saturado sin infiltracin


Fuerzas que actan en los puntos de contacto de las partculas de

suelo en el nivel del punto A.

Area de Corte

Transversal =

a1 a2 a3

a4

P1 P2P3

P4

Concepto de Esfuerzos Efectivos


Distribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Entrada

Vlvula

(abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * z

H2

h

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia arriba



Variacin del (a) esfuerzo total; (b) presin de poro y (c) esfuerzo efectivo con

la profundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia arriba.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presin de Poros Esfuerzo Efectivo

H1 W

H1W zsat

H1 W

(H1z + iz)w z( izw)

H1 W H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 - hw

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)



Salida

Vlvula

(abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * z

H2

h

Entrada Q

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo


Distribucin de Esfuerzos en una masa de suelo

Estrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin del (a) esfuerzo

total; (b) presin de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato

de suelo con infiltracin hacia abajo.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presin de Poro Esfuerzo Efectivo

H1 W

H1 W zsat

H1 W

(H1z - zi)w z( + i w)

H1 W H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 + hw

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)


Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una

Carga Puntual.

Z

y

L

X

r

Z

X

P

y

z

x

y

A


23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 rL

zy

zLLr

yx

L

zxPx

Esfuerzos causados por un Carga Puntual

Boussinesq (1883) resolvi el problema de los

esfuerzos producidos en cualquier punto de unmedio homogneo, elstico e istropo como

resultado de una carga puntual aplicada sobre la

superficie de un semiespacio infinitamente

grande. La solucin de Boussinesq para losesfuerzos normales en un punto A causado por la

carga puntual P es:

Boussinesq


Esfuerzos Normales en A causados por

una Carga Puntual

23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 rL

zx

zLLr

xy

L

zyPy

y

2/522

3

5

3

)(2

3

2

3

zr

Pz

L

Pzz

donde:

22222

22

zrzyxL

yxr

= relacin de Poisson


z

X

N

Q /longitud unitaria

x

z

Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga

Lineal Vertical de Longitud Infinita


222

2

222

2

222

3

)(

2

)(

2

)(

2

zx

xzQ

zx

zxQ

zx

zQ

xz

x

z

Esfuerzos Causados por una Carga

Lineal Vertical de Longitud Infinita

Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una carga

lineal Q por metro, son


q = carga por rea

unitaria

B

X

X - r

z

A

drr

x

z

Esfuerzos en un Medio Elstico Causados por una

Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)


)2(

)2cos(

)2cos(

sensenq

senq

senq

xz

x

z

Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinita

Los incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presin

uniforme q que acta sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho

B, son los siguientes:


Isbaras o Bulbo de Presiones Verticales

Bajo una Carga Flexible de Franja

Carga de

Franja flexible

a a

Planta

q

B 2B 2.5B

B

2B

3B

4B

5B

0.7

0.5

0.3

0.2

0.06

0.08

0.1

0 B 2B

q =0.9

q =

B2B

3B

4B

5B

6B

=0.1qV

0.2q

0.3q

0.4q

0.5q

0.6q

0.8q

0.9q

Bajo el centroV

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q

a) b)

Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) lneas de igual incremento de

esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro


Bajo una Carga Flexible de Franja


Z

N

X

XV

q

B

R1R2

Carga con Distribucin Triangular

sobre una Franja Infinita


xB

zq

senR

Rn

B

z

B

xq

senB

xq

xz

x

v

22cos1

2

22

11

22

1

2

2

2

1

Carga con Distribucin Triangular sobre una Franja Infinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs del ancho de

la franja, lo cual conduce a una distribucin triangular, los incrementos de

esfuerzo en el punto N estn dados por:


qIv

2/3

2)/(1

11

zRqv

Carga uniformemente distribuida sobre una rea circular

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de

una rea circular flexible de radio R cargada con una presin uniforme q

esta dado por

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de

carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr,

1996) y por lo general se presentan en forma grfica (Foster y Ahlvin, 1954 )

o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el

incremento en el esfuerzo vertical total como:

Valores del factor de influencia / para calcular el incremento de esfuerzo vertical

total v bajo un rea circular uniformemente cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin del Transportation Research Board).

Factor influencia l

r

V

V

Carga uniforme q

= q/

0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8

r

R

=10

9

8

7

6

5

4

3

2.5

2 1.5

1.25

0

0.5

r

R

r

R

=0.75

=1

E

R

R

1

z

R

PZ

Z

=I.PZ

a b

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0

0.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4

b/z=

Infl

ue

nc

e V

alu

e I

a/z

b/z=0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

b/z =1.0

b/z =0.5

1.2

1.4

1.6

1.9

2.0

3.0

Factores de Influencia para Esfuerzos Verticales Generados

por una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957).


B B

Carga uniforme q

=0.5qV

0.2q

0.1q

0.3q

0.4q

0.6q

0.8q

0.9q

Bajo el

centro

V

0.5B0.5B

BB

1.5B1.5B

2B2B

2.5B2.5B

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0

a) b)

a) Lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total

b) Incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.


Bajo un rea Cuadrada con Carga Uniforme


z

Ln

z

Bm

El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de un

rea rectangular cargada uniformemente viene dado por:

Incremento de Presiones Verticales Bajo

un rea Rectangular con Carga Uniforme

qIv

Donde I es funcin de m y n, parmetros definidos como:

Valores del factor de

influencia I para

calcular el incremento

de esfuerzo vertical

total v bajo la

esquina de una rea

rectangular

uniformemente cargada

(Segn Fadum, 1948)

0.180.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.17

0.16

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.8

0.00

m=0.0

m=0.1

m=0.2

m=0.3

m=0.4

m=0.5

m=0.6

m=0.7

m=0.8

m=1.0

m=1.8

m=2.

m=2.4

m=3.0m=

m=1.2

m = 1 . 4

m = 1 . 6

m=0.9

Presion uniforme q

B

L

V

V =ql

N

Nota m n: y son intercambiables

Factor de influencia I

Z

n


))(( zBzL

qLBv

Clculo aproximado del incremento de

esfuerzo vertical

Para reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede

hacerse un clculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total

suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono

truncado o una pirmide truncada formados por lados con pendiente de

2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, si el rea cargada es

un rectngulo de longitud L y ancho B, el incremento promedio en

el esfuerzo vertical total a una profundidad z estar dado

aproximadamente por:


Cualquier rea cargada puede considerarse como un nmero discreto de

sub reas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie

del terreno

1 1

2 2

L x B

(L+z) x (B+z)

Z

q

Mtodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo

vertical total bajo un rea uniformemente cargada.


Ejercicio

Una cimentacin superficial cuadrada de 2m de lado, perfectamente

flexible, transmite a un depsito de suelo homogneo e isotrpico una

carga uniforme q = 200 KN/m2. Comparar la distribucin de los

incrementos de esfuerzo vertical, (v) bajo el centro de la zapata

considerando una carga distribuida y una carga puntual equivalente.

Estimar a partir de qu profundidad los errores entre estas

distribuciones son inferiores a 0.1q.

a) Carga uniformemente distribuida:

C

q =200 kn/m2

BBA A

D

DC

2m

4 veces

1m


Utilizando el baco de Fadum:

Esquina Centro

Z

(m )

(m,n)

(KN/m )2

(KN/m )2

O

0.25

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

- -

4

2

1

0.67

0.50

0.40

0.33

0.29

0.25

0,247

0,233

0,177

0.125

0,086

0,062

0,046

0,037

0,027

200 200

49,4

46,6

35,4

25,0

17,2

12,4

9,2

7,4

5,4

197,6

186,4

141,6

100,0

68,8

49,6

36,8

29,6

21,6

,


b) Carga puntual:

Expresin de Boussinesq:

kxxP

z

Pv

80020022

2

33

Z(m)

V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

Tabulando:


Comparacin entre las dos distribuciones de v

- A partir de Z>2,20m error absoluto (`v-) /Dq < 0.1

4

3

2,2

2

1

0 50 100 150 200

V

V

V

(kN/m )2

CARGA DISTRIBUIDA

CARGA PUNTUAL

z(m)


Z

X XX

Z

Z

Tzx

Tzx

Tzx

TxzTxz

Txz

0

A

Bc

TResultantes de

esfuerzos sobre ab

a)b)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

CRCULO DE MOHR


B

A

C

1

3

T

Direccin de 1

Direccin de 3

(a)

REPRESENTACIN

DE ESFUERZOS

MEDIANTE EL

CRCULO DE MOHR

a) Estado de esfuerzos en

un punto.

b) Diagrama de Mohr para el

estado de esfuerzos en un

punto.


Representacin de los esfuerzos mediante el

crculo de Mohr.

22

cos)(

2cos22

cos

3131

31312

3

2

1

sensen

sen

El esfuerzo tangencial mximo en un punto, max es siempre igual

a (1-3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial mximo equivale al

radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial mximo se

produce en planos que forman 45 con la direccin del esfuerzoprincipal mayor.


Ejemplo

Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.


1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).

2. Se dibuja el crculo, utilizando estos puntos para definir el dimetro.

3. Se traza la lnea AA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cualacta el esfuerzo (2,0).

4. La interseccin de AA con el crculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5. Se traza la lnea BB por Op, paralela a BB.6. Se leen las coordenadas del punto X donde BB corta al crculo de

Mohr.

1

0

-1

1 2 3 4

C

AA

X

B

B

Op

C

A

432

OpB

B


Respuesta

2.5 kg/cm2

2 kg/cm2

4 kg/cm2

0.87

Sobre BB = 2.5 kg/cm2

= -0.87 kg/cm2


Otra solucin. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Trazapor el punto (4.0) la lnea CC paralela al plano sobre el que

acta el esfuerzo (4.0). CC es vertical.

4. CC corta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto

es el polo Op. Los pasos 5 y 6 anlogos al caso anterior.

Solucin por medio de las ecuaciones

2

2

2

3

2

1

/866.0602402

24

/5.260cos3240cos2

24

2

24

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

Pregunta para el alumno. Por qu es =120?

El resultado habra sido diferente si = 300?)


DIAGRAMAS p-q

En muchos problemas conviene representar, sobre un

diagrama nico, muchos estados de esfuerzos para una

determinada muestra del suelo. En otros problemas se

representa en un diagrama de este tipo el estado de

esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos

resulta muy pesado trazar los crculos de Mohr, e incluso

mas difcil ver lo que se ha representado en el diagrama

despus de dibujar todos los crculos .

Otro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede

ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos

cuyas coordenadas son:


231 p

231 q

+ si 1 forma un ngulo igual o

menor de 45 con la vertical

- si 1 forma un ngulo menor de 45 con la horizontal

En la mayora de los casos en los que se utiliza la representacin

puntual, los esfuerzos principales actan sobre planos verticales y

horizontales. En este caso, la ecuacin se reduce a

2,

2hh qp


Este mtodo equivale a representar un punto nico de un

circulo de Mohr: el punto ms alto si q es positivo o el ms

bajo si q es negativo. Numricamente, q equivale a la

mitad del esfuerzo desviador.

Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de

esfuerzos, se posee toda la informacin necesaria para

dibujar el crculo de Mohr correspondiente. Sin embargo,

el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el

crculo de Mohr para determinar la magnitud de los

esfuerzos principales a partir de un determinado estado

de esfuerzos.

esfuerzo en una masa de suelos

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