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Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Ingeniería Civil

Cimentaciones. Profesor: Luis Ricardo Vásquez Varela, M.Sc.

Incremento de los esfuerzos en una masa de suelo causado por una carga de cimentación.

Referencias:

• Principios de Ingeniería de Cimentaciones (Das, 2001).• Foundation Design. Principles and Practices (Coduto, 2001).• Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics (Poulos &Davis, 1974).• Continuum Mechanics: Fundamentals (S. Valliappan, 1981).

23/10/2015 LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 1

DEFINICIONES Y RELACIONESFUNDAMENTALES.

Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics (Poulos & Davis, 1974).

Continuum Mechanics: Fundamentals (S. Valliappan, 1981).


Análisis de esfuerzos.

Convención de signos.

• Los esfuerzos normales (σi) sonpositivos hacia la superficie(compresión positiva en la mecánicade suelos).

• Los esfuerzos cortantes (τij) actúan en ladirección j sobre un plano normal al ejei.

• El esfuerzo cortante es positivo cuandoactúa:

– En dirección cartesiana negativa sobre un plano cuya normal sale en dirección cartesiana positiva.

– En dirección cartesiana positiva sobre un plano cuya normal sale en dirección cartesiana negativa.

• El equilibrio de los esfuerzos cortantesrequiere que τxy = τyx; τyz = τzy; τzx = τxz

• Todos los esfuerzos en la Figura sonpositivos:


Componentes de esfuerzo sobre unplano cualquiera.

• Las componentes de esfuerzo (pni)sobre cualquier plano con un vectornormal, n, se pueden expresar entérminos de esfuerzos en lascoordenadas x, y, & z.

• El cos(n, i) es el coseno del ángulo entren y la dirección i.


𝑝𝑛𝑥

𝑝𝑛𝑦

𝑝𝑛𝑧

=

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧

cos 𝑛, 𝑥cos 𝑛, 𝑦

cos 𝑛, 𝑧

Transformación de ejes de unsistema xyz a un sistema x’y’z’.

• Las componentes de esfuerzo en dossistemas de coordenadas se relacionanmediante la siguiente ecuación:

– S1: Matriz de esfuerzos respecto a x’y’z’.

– S: Matriz de esfuerzos respecto a xyz.

– A: Matriz de cosenos directores.

Esfuerzos principales.

• Existe una orientación de ejes en la cualtodos los esfuerzos cortantes son nulosy los esfuerzos normales tienen susvalores máximos.

• Dicha orientación define los planosprincipales sobre los cuales actúan los“esfuerzos principales” (σ1, σ2, σ3).

• Dichos esfuerzos se obtienen con lasraíces de la ecuación cúbica (J1, J2 & J3:invariantes de esfuerzo):


𝑆1 = 𝐴 𝑆 𝐴 𝑇

𝐴 =

cos 𝑥′, 𝑥 cos 𝑥′, 𝑦 cos 𝑥′, 𝑧

cos 𝑦′, 𝑥 cos 𝑦′, 𝑦 cos 𝑦′, 𝑧

cos 𝑧′, 𝑥 cos 𝑧′, 𝑦 cos 𝑧′, 𝑧

𝜎𝑖3 − 𝐽1 ∙ 𝜎𝑖

2 + 𝐽2 ∙ 𝜎𝑖 − 𝐽3 = 0

𝐽1 = 𝜃 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧

𝐽2 = 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦𝜎𝑧 + 𝜎𝑧𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦2 − 𝜏𝑦𝑧

2 − 𝜏𝑧𝑥2

𝐽3 = 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 − 𝜎𝑥𝜏𝑦𝑧2 − 𝜎𝑦𝜏𝑧𝑥

2 − 𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦2 + 2𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥

Direcciones normales de los planosprincipales.

Esfuerzo cortante máximo en unpunto.

• El esfuerzo cortante máximo sepresenta en un plano cuya normalforma un ángulo de 45° con lasdirecciones de σ1 y σ3.


𝜏𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =𝜎1 − 𝜎3

2

cos 𝑛𝑖 , 𝑥 =𝐴𝑖

𝐴𝑖2 + 𝐵𝑖

2 + 𝐶𝑖2

cos 𝑛𝑖 , 𝑦 =𝐵𝑖


2 + 𝐶𝑖2

cos 𝑛𝑖 , 𝑧 =𝐶𝑖


2 + 𝐶𝑖2

𝐴𝑖 = 𝜎𝑦 − 𝜎𝑖 𝜎𝑧 − 𝜎𝑖 − 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑦𝑧

𝐵𝑖 = 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎𝑖

𝐶𝑖 = 𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑦 − 𝜎𝑖

Esfuerzos octaédricos.

• Son esfuerzos que actúan sobre losocho planos de un octaedroimaginario alrededor de un punto.

• Los vectores normales a las carasdel octaedro tienen cosenosdirectores de ± 1/√3 con ladirección de los esfuerzosprincipales.

• Los esfuerzo octaédricos incluyenuna componente normal (σoct) yuna de corte (τoct)


𝜎𝑜𝑐𝑡 =𝜃

3=

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧

3=

𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3

3

𝜏𝑜𝑐𝑡 =

2𝜎1 − 𝜎2

2 + 𝜎2 − 𝜎32 + 𝜎3 − 𝜎1

2

3

𝜏𝑜𝑐𝑡 =1

3∙

2 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧

2+ 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥

2

+6 𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑥𝑧

2 + 𝜏𝑦𝑧2

Sistemas bidimensionales deesfuerzo.

• Muchos problemas de la Mecánica deSuelos se analizan en dos dimensiones.

• El caso más importante es la condiciónde deformación plana, en la cual ladeformación en una de las direccionescoordenadas es nula.

• El otro caso corresponde a la condiciónde esfuerzo plano, en la cual el esfuerzoen una de las direcciones coordenadases nulo.

• En un sistema bidimensional lasrelaciones entre esfuerzos son muchomás simples.

• Esfuerzos normal y cortante en un plano queforma un ángulo θ con la dirección z.

• Esfuerzos principales:

• Esfuerzo cortante máximo:


𝜎𝜃 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 + 𝜎𝑥 − 𝜎𝑧 cos 2𝜃

2+ 𝜏𝑥𝑧 sin 2𝜃

𝜏𝜃 = 𝜏𝑥𝑧 cos 2𝜃 −𝜎𝑥 − 𝜎𝑧 sin 2𝜃

2

𝜎1

𝜎3=

𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 ±2

𝜎𝑥 − 𝜎𝑧2 + 4 ∙ 𝜏𝑥𝑧

2

2

𝜏𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =

2𝜎𝑥 − 𝜎𝑧

2 + 4 ∙ 𝜏𝑥𝑧2

2

Círculo de Mohr para larepresentación de esfuerzos.

• Es una solución geométrica paraobtener los esfuerzos en cualquierdirección en un sistemabidimensional.

• El ángulo 2θ1 es dos veces el ánguloentre los ejes x–z y los ejescorrespondientes a las direccionesde los esfuerzos principales (1 – 3).

• Lo mismo aplica para otrasdirecciones x’–z’.


Obtención del polo.

• El polo del círculo de Mohr es útil pararelacionar los esfuerzos en un puntosobre un plano físico con el diagramabidimensional de esfuerzos.

• El polo, P, es el punto sobre el círculo deMohr (Fig. a) tal que los esfuerzosnormal y cortante (σα, τα) sobre unplano α se obtienen en la intersecciónentre el círculo y una línea paralela alplano físico trazada por P (Fig. b).

• En el diagrama adjunto también seilustra la inclinación del plano principalmayor (β), es decir, aquel sobre el cualactúa el esfuerzo principal mayor, σ1,con respecto a la horizontal.


(a) Círculo de Mohr.

(b) Plano físico.

Análisis de deformaciones.

Definiciones básicas.

• En una situación bidimensional, lasdeformaciones normales se definen como:

• Donde ρx y ρz son los desplazamientos enlas direcciones x & z. Una deformaciónnormal es positiva si la longitud se reduce.

• La deformación cortante γxz es el cambiode forma (distorsión) del material y serelaciona con los desplazamientos de lasiguiente forma:


𝜀𝑥 = −𝜕𝜌𝑥

𝜕𝑥𝜀𝑧 = −

𝜕𝜌𝑧

𝜕𝑧

𝛾𝑥𝑧 = −𝜕𝜌𝑥

𝜕𝑧−

𝜕𝜌𝑧

𝜕𝑥

A’O’B’ es la posición y configuración final del ángulo recto original AOB.

Deformación cortante:γxz = – θ1 – θ2

Componentes de deformación entres dimensiones.

• En un sistema tridimensional se tienela matriz de deformaciones:

• En las deformaciones cortantes sesatisface que γij = γji.

Deformación en un plano.

• Las deformaciones normal (εθ) ycortante (τθ) sobre un plano inclinadoun ángulo θ con respecto al eje x son:

• Estas expresiones son similares, perono iguales, a las de los esfuerzosnormal y cortante sobre un plano.


𝜀𝑥12𝛾𝑦𝑥

12𝛾𝑧𝑥

12𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦

12𝛾𝑧𝑦

12𝛾𝑥𝑧

12𝛾𝑦𝑧 𝜀𝑧

𝜀𝜃 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑧

2+

𝜀𝑥 − 𝜀𝑧2

cos 2𝜃 +𝛾𝑥𝑧2

sin 2𝜃

𝛾𝜃 = 𝛾𝑥𝑧 cos 2𝜃 − 𝜀𝑥 − 𝜀𝑧 sin 2𝜃

Deformaciones principales.

• De forma análoga a los tres planos deesfuerzos principales, existen tres planosde deformaciones principales donde lasdistorsiones por cortantes on nulas.

• En un material elástico e isótropo losplanos de deformaciones principalescoinciden con los planos de esfuerzosprincipales.

• Las deformaciones principales se obtienende las raíces de la ecuación cúbica:


Transformación de ejes de unsistema xyz a un sistema x’y’z’.

• Las componentes de deformación endos sistemas de coordenadas serelacionan mediante la siguienteecuación:

– D1: Matriz de deformaciones respecto a x’y’z’.

– D: Matriz de deformaciones respecto a xyz.

– A: Matriz de cosenos directores.

𝐷1 = 𝐴 𝐷 𝐴 𝑇

𝐴 =

cos 𝑥′, 𝑥 cos 𝑥′, 𝑦 cos 𝑥′, 𝑧

cos 𝑦′, 𝑥 cos 𝑦′, 𝑦 cos 𝑦′, 𝑧

cos 𝑧′, 𝑥 cos 𝑧′, 𝑦 cos 𝑧′, 𝑧

𝜀𝑖3 − 𝐼1 ∙ 𝜀𝑖

2 + 𝐼2 ∙ 𝜀𝑖 − 𝐼3 = 0

𝐼1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧

𝐼2 = 𝜀𝑥𝜀𝑦 + 𝜀𝑦𝜀𝑧 + 𝜀𝑧𝜀𝑥 − 14𝛾𝑥𝑦2 − 1

4𝛾𝑦𝑧2 − 1

4𝛾𝑧𝑥2

𝐼3 = 𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧 − 14𝜀𝑥𝛾𝑦𝑧

2 − 14𝜀𝑦𝛾𝑧𝑥

2 − 14𝜀𝑧𝛾𝑥𝑦

2 + 14𝛾𝑥𝑦𝛾𝑦𝑧𝛾𝑧𝑥

Deformaciones principales en unsistema bidimensional.

• Las deformaciones principales en unsistema bidimensional son:

• Los planos principales estáninclinados un ángulo θ1 con respectoa los ejes x & z:

Deformación cortante máxima enun punto.

• La deformación cortante máxima sepresenta en un plano cuya normalforma un ángulo de 45° con lasdirecciones de las deformacionesprincipales ε1 y ε3.


𝛾𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝜀1 − 𝜀3

𝜀1𝜀3

=𝜀𝑥 + 𝜀𝑧

2±

2𝜀𝑥 − 𝜀𝑧

2 + 𝛾𝑥𝑧2

2

𝜃1 =tan−1 𝛾𝑥𝑧

𝜀𝑥 − 𝜀𝑧2

Círculo de Mohr de deformaciones.

• El círculo de Mohr de deformacionesprovee una solución geométrica paraobtener las deformaciones en cualquierdirección.

• Las ordenadas representan un medio de ladeformación cortante.

• El diámetro del círculo de Mohr dedeformaciones es igual a la deformacióncortante máxima:

• El concepto del polo también puedeaplicarse para el círculo de Mohr dedeformaciones.


𝛾𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 =2

𝜀𝑥 − 𝜀𝑧2 + 𝛾𝑥𝑧

2

Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos.


Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos.

• La intensidad del esfuerzo varía de punto apunto dentro del continuo.

• Se debe establecer como varían las condicionesde esfuerzo dentro del continuo.

• Los esfuerzos son funciones continuas de lascoordenadas.

• El esfuerzo varía en magnitudes infinitesimalessi se considera una variación muy pequeña en laposición de la sección de análisis.

• Considerando un paralelepípedo en el sistemade coordenadas cartesianas, es posible plantearel equilibrio de fuerzas en tres dimensiones.

• El equilibrio de fuerzas se expresa en términosde esfuerzos y fuerzas de cuerpo al considerar eltamaño infinitesimal de las caras del elemento.

• El equilibrio de momentos alrededor delcentroide del paralelepípedo permite demostrarel carácter complementario de los esfuerzoscortantes (τij = τji) para evitar la rotación delelemento.

• De tal forma, solo se requieren seis (6)componentes independientes de esfuerzo de lasnueve (9) indicadas anteriormente para definirel estado de esfuerzos en un punto.

• Las seis (6) componentes de esfuerzo serelacionan mediante tres (3) ecuacionesdiferenciales de equilibrio, es decir, es unproblema estáticamente indeterminado.

Esfuerzos en coordenadas cartesianas. Esfuerzos en coordenadas cilíndricas.


zzzr

zr

rzrr

zzyzx

yzyyx

xzxyx

x

y

z

σz

σy

σx

τzy

τzx

τxz

τxy

τyx

τyz

σθ

τθr

τθz

x

y

z

θ r

σz

τzr

τzθ

σr

τrz

τrθ

• Ecuaciones de equilibrio en r, θ y z:• Sumatoria de fuerzas en la dirección x:

• Ecuaciones de equilibrio en x, y & z:

0

dxdydzX

dxdydxdydzz

dxdzdxdzdyy

dydzdydzdxx

F

xzxz

xz

xy

xy

xy

xx

xx

01

r

rrzrr Przrr

01

z

zrzzzr Przrr

021

P

rzrrrzr

Ecuaciones de equilibrio en coordenadascartesianas.

Ecuaciones de equilibrio encoordenadas cilíndricas.


0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Ecuaciones de compatibilidad entre deformaciones y desplazamientos.


Ecuaciones de compatibilidad dedeformaciones.

• Si las componentes de desplazamiento (ρx, ρy &ρz) son conocidas, es posible obtener de formaunívoca las seis componentes de deformación(εx … γzx).

• Sin embargo, la situación opuesta no es tansimple, pues a partir de un campo dedeformaciones definido por seis ecuaciones (εx… γzx) se trataría de determinar de formaunívoca tres incógnitas (ρx, ρy & ρz).

• Si los valores de las componentes dedesplazamiento son únicos y sus funciones soncontinuas (ρx, ρy & ρz), es claro que entre lascomponentes de deformación (εx … γzx) debeexistir cierta interrelación.

• Dicha interrelación se define mediante las“ecuaciones de compatibilidad dedeformaciones”.

• Considere la existencia de datos experimentalespara un estado de deformación plana, los cualesdefinen tres funciones f, g & h.

– Examine la consistencia de esta información y como se podría emplear para obtener los desplazamientos a partir de las deformaciones:

𝜀𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜀𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦 𝛾𝑥𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑦

𝜀𝑥 =𝜕𝜌𝑥

𝜕𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜀𝑦 =

𝜕𝜌𝑦

𝜕𝑦= 𝑔 𝑥, 𝑦

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝜌𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜌𝑦

𝜕𝑥= ℎ 𝑥, 𝑦

– Analizando las derivadas parciales de segundo orden de las funciones f, g & h se pueden proponer algunas relaciones entre ellas:

– Por lo tanto, la información experimental debería satisfacer la siguiente ecuación:

• Este tipo de ecuación se denomina “ecuación decompatibilidad de deformaciones”.

• Para una situación tridimensional, encoordenadas cartesianas, se tendría:


𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕3𝜌𝑥

𝜕𝑥𝜕𝑦2

𝜕2𝑔

𝜕𝑥2=

𝜕3𝜌𝑦

𝜕𝑦𝜕𝑥2

𝜕2ℎ

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕3𝜌𝑥

𝜕𝑥𝜕𝑦2+

𝜕3𝜌𝑦

𝜕𝑦𝜕𝑥2

𝜕2ℎ

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑔

𝜕𝑥2

zxzx

zyyz

yxxy

zxxz

yzzy

xyyx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yxzyxz

xzzyxy

zyzyxx

zxyzxyz

yxyzxyz

xxyzxyz

2

2

2

2

2

2

Relaciones esfuerzo – deformación.

• El estado de esfuerzos en un punto sedefine mediante seis (6) componentes deesfuerzo.

– Se proponen tres (3) ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas aplicadas.

– Este análisis es independiente de las deformaciones o del comportamiento del medio y, por lo tanto, se puede aplicar a cualquier tipo de material.

• El estado de deformación en un punto sedefine mediante seis (6) componentes dedeformación.

– Se proponen seis (6) ecuaciones de compatibilidad de deformaciones que relacionan de forma unívoca las deformaciones y los desplazamientos en un punto.

– Este análisis es independiente de los esfuerzos o del comportamiento del medio y, por lo tanto, se puede aplicar a cualquier tipo de material.

• En la situación general tridimensional setienen 15 incógnitas: seis esfuerzos, seisdeformaciones y tres desplazamientos.

– Hasta ahora se han derivado nueve ecuaciones: tres de equilibrio de esfuerzos y seis de compatibilidad de deformaciones.

– Se requieren seis ecuaciones adicionales que relacionen los esfuerzos y las deformaciones.

– Estas seis ecuaciones se denominan “ecuaciones constitutivas” y están basadas en el comportamiento macroscópico del material.


• Las relaciones esfuerzo –deformación de los materialesreales son muy complejas y estánafectadas por múltiples factores:

– Las condiciones de carga (estática,dinámica, etc.).

– El tiempo de aplicación de lacarga.

– La temperatura y otras condicionesambientales.

• No es posible proponer una leyconstitutiva única para todos losmateriales y en todas las posiblescondiciones.

• Se proponen idealizaciones delcomportamiento agrupadas en dosclases:

– Comportamiento independientedel tiempo, como la elasticidad y laplasticidad.

– Comportamiento dependiente deltiempo, como la visco elasticidad yla visco plasticidad.


• Relaciones esfuerzo – deformación.

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc. 2323/10/2015

σ

ε

σ

ε

σ

ε

Elástico lineal Elástico no lineal Anelástico: Disipación de energía

• Relaciones idealizadas esfuerzo – deformación independientes del tiempo.


σ

ε

σ

ε

σ

ε

E

Elástico lineal Elástico perfectamente plástico Elástico – plástico con ablandamiento por deformación

P P

fricción

fricción P

• Relaciones idealizadas esfuerzo – deformación dependientes del tiempo.


σ

ε'

ε

t

σ

ε

η:coeficiente de viscosidad

σ0/E0

σ0/η0

η

σ

σ

E0

σ

η0

σ

E1

σ

η1

σ

Amortiguador viscoso (material newtoniano)

Modelo de Maxwell Modelo de Kelvin – Voigt

Creep: σ = σ0

σ

t

ε0/E0

Relajación: ε = ε0 en t = 0

Elasticidad lineal – Ley de Hookegeneralizada.

• La elasticidad lineal se basa en variaspresunciones:

– Existe una relación unívoca entre esfuerzosy deformaciones, definida por la ley deHooke e independiente del tiempo y elhistorial de carga.

– El cambio en las deformaciones debido alcambio en los esfuerzos es instantáneo.

– El sistema es completamente reversible ytoda la energía que ingresó al mismo serecupera con la descarga.

• En condiciones unidimensionales:

– E es conocido como el “módulo deelasticidad”.

• Para el caso general se tiene (Cauchy):

– [D]: Matriz de elasticidad.

– {σ}: Seis componentes de esfuerzo.

– {ε}: Seis componentes de deformación.


𝜀𝑥 =𝜎𝑥

𝐸

𝜎 = 𝐷 𝜀

• Para el caso general, la matriz [D] puedeescribirse como:

• Se requieren 36 constantes elásticas pararelacionar las seis componentes de esfuerzo conlas seis componentes de deformación.

• Para un material con anisotropía general, las 36constantes son independientes entre sí y sonfunciones de los ejes de coordenadas.

• Las propiedades de muchos materiales sonindependientes de una dirección en particular,lo cual permite reducir el número de constantes.

• Por ejemplo: por simetría, Dij = Dji, y el númerode constantes se reduce a 21.

• Si se asume simetría elástica alrededor de losplanos xy, yz & zx se tiene un material ortótropoy el número de constantes se reduce a 12: D11,D12, D13, D21, D22, D23, D31, D32, D33, D44, D55 y D66.

• Si cada plano y cada eje son de simetría elásticay las propiedades del material en un punto sonlas mismas en todas las direcciones, el materialse denomina isótropo y el número deconstantes elásticas se reduce a tres: D11, D12 yD44.

• Estas tres constantes se pueden representar pordos parámetros:

– El módulo de elasticidad, E, y la relación de Poisson, ν.

– Las constantes de Lamè, λ y μ.


𝐷 =

𝐷11 𝐷12 𝐷13 𝐷14 𝐷15 𝐷16

𝐷21 𝐷22 𝐷23 𝐷24 𝐷25 𝐷26

𝐷31 𝐷32 𝐷33 𝐷34 𝐷35 𝐷36

𝐷41 𝐷42 𝐷43 𝐷44 𝐷45 𝐷46

𝐷51 𝐷52 𝐷53 𝐷54 𝐷55 𝐷56

𝐷61 𝐷62 𝐷63 𝐷64 𝐷65 𝐷66

Relaciones esfuerzo – deformación enmaterial isótropo.

• La experimentación ha demostrado que unesfuerzo normal aplicado en una direcciónproduce deformaciones en las direccionesortogonales.

• Asimismo, por la definición de isotropía seconsidera que los esfuerzos normales noproducen deformaciones cortantes.

• G: Módulo de cortante.

• Los esfuerzos se pueden expresar en términosde las deformaciones:

• Donde λ & μ se denominan parámetros de Lamè(D11 = λ+2μ, D12 = λ & D44 = μ):


zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

00000

00000

00000

0002

0002

0002

G

E

E

12

211

yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

12:

EG

G

G

G

zxzx

yz

yz

xy

xy

Relaciones entre parámetros demateriales homogéneos, isótropos yelásticos lineales.

• Deformación volumétrica (K: módulobulk).

• Relaciones entre parámetroselásticos:

• Módulo constreñido en función de lacompresibilidad volumétrica delsuelo (mv):


𝜀𝑣 =1 − 2𝜈

𝐸𝜃 =

𝜃

3𝐾

𝜀𝑣 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧

𝜃 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧

𝐾 =𝐸

3 1 − 2𝜈=

2 1 + 𝜈 𝐺

3 1 − 2𝜈

𝐸 =9𝐾𝐺

3𝐾 + 𝐺𝜈 =

3𝐾 − 2𝐺

2 3𝐾 + 𝐺

𝜆

𝐺=

2𝜈

1 − 2𝜈

𝑚𝑣 =1 + 𝜈 1 − 2𝜈

1 − 𝜈 𝐸

INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL (Δσv) EN UNA MASA DE SUELO.

Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics (Poulos & Davis, 1974).

Principios de Ingeniería de Cimentaciones (Das, 2001).


Notas muy importantes.

• Las ecuaciones y gráficos que sepresentan en esta sección son, en sumayor parte, soluciones elásticas linealesderivadas para materiales isótropos yhomogéneos.

• Estas herramientas permiten calcular losincrementos de esfuerzo desarrollados enun medio continuo debido a la aplicaciónde una carga en un punto, sección o áreadel mismo.

• Considerando el principio del esfuerzoefectivo, es claro que estas solucionescorresponden a incrementos de esfuerzostotales (Δσ), los cuales evolucionarán enincrementos de esfuerzos efectivos (Δσ’)de acuerdo con las características físicas(porosidad, saturación, permeabilidad) ymecánicas (deformabilidad) de losmateriales.

• La hipótesis de linealidad no es incorrectasi se puede acotar el rango de esfuerzosde trabajo de los depósitos de suelo y suscapas constitutivas.

• Los incrementos de esfuerzos totalesdeben sumarse a las condiciones inicialesde esfuerzo, las cuales tienen en cuenta:

– Los esfuerzos geo-estáticos presentes.

– La historia de esfuerzos.

– El mecanismo de formación del depósito(mineralogía, microestructura).

– El régimen del agua subterránea (red deflujo, distribución de las presiones deporo).


Método 2:1 para estimar el incremento del esfuerzo vertical.

• Es un método simplificado paraestimar el incremento del esfuerzovertical (Δσz) bajo el centro de unárea rectangular de dimensiones B xL.

• Se presume que el área de influenciade la carga se incrementa en unarelación 2 (Vertical) : 1 (Horizontal).

• El método ofrece resultadoscomparables con soluciones másrigurosas para valores de z entre B y4B; no debe emplearse para z entre 0y B.


∆𝜎𝑧 =𝑞0 ∙ 𝐵 ∙ 𝐿

𝐵 + 𝑧 . 𝐿 + 𝑧

q0

B

B + z

z

Cimentación:B x L

Δσz

2 vertical :1 horizontal

Incremento de esfuerzos debido a una carga concentrada en la superficie.

• Una solución de este problema fuedesarrollada por J. V. Boussinesq en1885.

– El suelo se representa como unmedio continuo, homogéneo,isótropo y elástico lineal.

– La carga puntual se aplica en lasuperficie del continuo semi-infinito y define el origen decoordenadas del problema.

– Boussinesq desarrolló ecuacionespara obtener esfuerzos normales,esfuerzos cortantes ydesplazamientos en coordenadascilíndricas (r, θ, z).


𝑟 =2𝑥2 + 𝑦2

x

z

y

P

r

z

A

R

𝑅 =2𝑟2 + 𝑧2

E, ν

• Ecuaciones de incremento deesfuerzos:

• Ecuaciones de desplazamientos enr & z:

– En estas ecuaciones E: módulo de Young; ν: relación de Poisson.

• En la referencia de Poulos & Davis(1974) se encuentra otra soluciónpara este problema, propuesta porKelvin.


∆𝜎𝑧 =3𝑃𝑧3

2𝜋𝑅5

∆𝜎𝑟 = −𝑃

2𝜋𝑅2

−3𝑟2𝑧

𝑅3 +1 − 2𝜈 𝑅

𝑅 + 𝑧

∆𝜎𝜃 = −1 − 2𝜈 𝑃

2𝜋𝑅2

𝑧

𝑅−

𝑅

𝑅 + 𝑧

∆𝜃 =1 + 𝜈 𝑃𝑧

𝜋𝑅3

∆𝜏𝑟𝑧 =3𝑃𝑟𝑧2

2𝜋𝑅5

𝜌𝑧 =𝑃 1 + 𝜈

2𝜋𝐸𝑅2 1 − 𝜈 +

𝑧2

𝑅2

𝜌𝑟 =𝑃 1 + 𝜈

2𝜋𝐸𝑅

𝑟𝑧

𝑅2−

1 − 2𝜈 𝑟

𝑅 + 𝑧

• En los textos de Ingeniería deCimentaciones ha trascendido unaecuación de la forma:

– Esta ecuación permite estimar elincremento del esfuerzo vertical total(Δσv) en un punto.

– Nótese la ausencia de laspropiedades del material (E & ν) enesta solución.


∆𝜎𝑣 =3 ∙ 𝑃

2𝜋 ∙ 𝑧2 1 +𝑟𝑧

252

=𝑃

𝑧2 ∙ 𝐼𝐵

Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal en la superficie.

• A partir de la solución del problemade Boussinesq es posible evaluar elincremento de los esfuerzos debido auna carga vertical, lineal e infinita,aplicada sobre el medio semi –infinito.

• Ecuaciones para deformación plana(εy = 0):


∆𝜎𝑥 =2𝑝

𝜋∙𝑥2𝑧

𝑅4

∆𝜎𝑦 = ∆𝜎𝑧 ∙ 𝜈 =2𝑝𝜈

𝜋∙𝑧3

𝑅4

∆𝜎𝑧 =2𝑝

𝜋∙𝑧3

𝑅4

∆𝜏𝑥𝑧 =2𝑝

𝜋∙𝑥𝑧2

𝑅4

x

z

y

x

z

A

𝒑

𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂

∞

∞

E, ν

Incremento de esfuerzos bajo un área circular uniformemente cargada.

• Mediante la integración de la ecuaciónde Boussinesq para carga puntual sepuede evaluar el incremento deesfuerzo vertical bajo áreas cargadas.

• Considere una presión uniforme, q0,aplicada sobre un área cargada dediámetro B y un elemento diferencial(dr * dθ) en dicha área:

• El incremento de esfuerzo vertical paraun punto A, bajo el centro del áreacargada, se obtiene como:


𝑑∆𝜎𝑧 =3 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑟

2𝜋 ∙ 𝑧2 ∙ 1 +𝑟𝑧

252

∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∆𝜎𝑧 = 𝜃=0

𝜃=2𝜋

𝑟=0

𝑟=𝐵2 3 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑟

2𝜋 ∙ 𝑧2 ∙ 1 +𝑟𝑧

252

∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃

∆𝜎𝑧 = 𝑞0 ∙ 1 −1

1 +𝐵2𝑧

232

r

z

B/2

q0

dr dθ

AC

r

zE, ν

• Para el punto A, y todos los puntos sobre el eje z (r = 0), se proponen lassiguientes ecuaciones para calcular el incremento de los esfuerzos normalesen r y θ.

• Nótese que τrz = 0.

• El desplazamiento en z se calcula con la siguiente ecuación:


∆𝜎𝑟= ∆𝜎𝜃=𝑞0

2∙ 1 + 2𝜈 −

2 1 + 𝜈 𝑧

𝐵2

2

+ 𝑧2

12

+𝑧3

𝐵2

2

+ 𝑧2

32

𝜌𝑧 =2 ∙ 𝑞0 ∙

𝐵2∙ 1 − 𝜈2

𝐸∙ 1 +

2𝑧

𝐵

212

−2𝑧

𝐵∙ 1 +

2𝑧𝐵

2 ∙ 1 − 𝜈 ∙ 1 +2𝑧𝐵

212

• Para el punto C (r, θ, z), elincremento de esfuerzo vertical(Δσz) se puede estimar con loscoeficientes publicados por Ahlvin& Ulery (1962).

– La distancia radial (r) y laprofundidad del punto (z) seexpresan en función del radio delárea cargada (½B).

– En la tabla adjunta se presenta elvalor de influencia, I, donde:


Profundidadcomo: z/(½B)

Distancia radial como: r/(½B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.500

0.1 0.999 0.999 0.998 0.996 0.976 0.484

0.2 0.992 0.991 0.987 0.970 0.890 0.468

0.3 0.976 0.973 0.963 0.922 0.793 0.451

0.4 0.949 0.943 0.920 0.860 0.712 0.435

0.5 0.911 0.902 0.869 0.796 0.646 0.417

0.6 0.864 0.852 0.814 0.732 0.591 0.400

0.7 0.811 0.798 0.756 0.674 0.545 0.367

0.8 0.756 0.743 0.699 0.619 0.504 0.366

0.9 0.701 0.688 0.644 0.570 0.467 0.348

1.0 0.646 0.633 0.591 0.525 0.434 0.332

1.2 0.546 0.535 0.501 0.447 0.377 0.300

1.5 0.424 0.416 0.392 0.355 0.308 0.256

2.0 0.286 0.286 0.268 0.248 0.224 0.196

2.5 0.200 0.197 0.191 0.180 0.167 0.151

3.0 0.146 0.145 0.141 0.135 0.127 0.118

4.0 0.087 0.086 0.085 0.082 0.080 0.075

∆𝜎𝑧 = 𝑞0 × 𝐼


Pro

fun

did

ad (

z) e

n m

últ

iplo

s d

e (

½B

)Incremento de σz como porcentaje de la presión aplicada en la superficie (q0).

Nota: Los números en cada curvarepresentan la distancia desde elcentro del área cargada enmúltiplos de ½B.

Foster & Ahlvin (1954) en Poulos & Davis (1974).


Pro

fun

did

ad (

z) e

n m

últ

iplo

s d

e (

½B

)Incremento de σr como porcentaje de la presión aplicada en la superficie (q0).


Relación de Poisson = 0.5.



Pro

fun

did

ad (

z) e

n m

últ

iplo

s d

e (

½B

)Incremento de σθ como porcentaje de la presión aplicada en la superficie

(q0).





Pro

fun

did

ad (

z) e

n m

últ

iplo

s d

e (

½B

)Incremento de τrz como porcentaje de la presión aplicada en la superficie

(q0).




Incremento de esfuerzos bajo un área rectangular uniformemente cargada

• A partir de la ecuación deBoussinesq se puede evaluar elincremento del esfuerzo vertical enun punto A bajo la esquina de unárea rectangular cargada.

– Considere una presión uniforme (q0) aplicada sobre un diferencial de área.

– De tal forma, se define una carga elemental, dP (puntual).


𝑑𝑃 = 𝑞0 × 𝑑𝑥 × 𝑑𝑦

𝑑∆𝜎𝑧 =3 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑧3

2𝜋 ∙ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧252 z

y

x

q0

dxdy

A

L

B

E, ν

• El incremento del esfuerzo vertical (Δσz) en el punto A se obtienemediante la integración de:

– Donde el factor de influencia, I, se define como:

• Donde m = B/z y n = L/z.

– Si (m²+n²+1) < (m²n²), el argumento de tan-1 se hace negativo y en tal caso el factor se calcula como (Bowles, 1997):


∆𝜎𝑧 = 𝑦=0

𝑦=𝐿

𝑥=0

𝑥=𝐵 3 ∙ 𝑞0 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑧3

2𝜋 ∙ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧252

= 𝑞0 ∙ 𝐼

• La solución para la esquina de unárea rectangular se puede extenderpara cualquier punto considerando elprincipio de superposición.

• Un caso de interés es el incrementode esfuerzo vertical bajo el centro deun área rectangular, uniformementecargada, de dimensiones L x B.

• Donde m1 = L/B y n1 = z/(½B)


∆𝜎𝑧 = 𝑞0 ∙ 𝐼𝑐

Incremento promedio del esfuerzo vertical de un estrato bajo la esquina de un área rectangular cargada.

• En ocasiones, se requiere evaluar elincremento promedio del esfuerzovertical, Δσz promedio, entre valoreslímites de 0 y H en la dirección z.

• El factor Ia se denomina “factor deinfluencia de Griffiths” y es funciónde las dimensiones normalizadas my n.


∆𝜎𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =1

𝐻 0

𝐻

𝑞0 ∙ 𝐼 𝑑𝑧 = 𝑞0 ∙ 𝐼𝑎

∆𝜎𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚

∆𝜎𝑧

𝑚 =𝐵

𝐻𝑛 =

𝐿

𝐻

• Para un estrato de suelo limitadoentre las profundidades H1 y H2

se puede proponer:

– Donde:


∆𝜎𝑧

∆𝜎𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐻2 𝐻1Sec

ción

∆𝜎𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑞0

𝐻2 ∙ 𝐼𝑎 𝐻2− 𝐻1 ∙ 𝐼𝑎 𝐻1

𝐻2 − 𝐻1

𝐼𝑎 𝐻2= 𝐼𝑎 𝑧 = 0 𝑎 𝐻2 = 𝑓 𝑚 =

𝐵

𝐻2, 𝑛 =

𝐿

𝐻2

𝐼𝑎 𝐻1= 𝐼𝑎 𝑧 = 0 𝑎 𝐻1 = 𝑓 𝑚 =

𝐵

𝐻1, 𝑛 =

𝐿

𝐻1

Incremento del esfuerzo vertical bajo un área cargada que representa un terraplén.

• Para un terraplén con lasdimensiones indicadas, elincremento del esfuerzo verticalbajo el mismo se calcula como:

• Donde q0 = γ.H.

– γ & H son el peso unitario delmaterial y la altura del terraplén,respectivamente.


∆𝜎𝑧 =𝑞0

𝜋

𝐵1 + 𝐵2

𝐵2∙ 𝛼1 + 𝛼2 −

𝐵1

𝐵2∙ 𝛼2

𝛼1 = tan−1𝐵1 + 𝐵2

𝑧− tan−1

𝐵1

𝑧

𝛼2 = tan−1𝐵1

𝑧

∆𝜎𝑧 = 𝑞0 ∙ 𝐼𝑡


Carta de Osterberg (1957) para establecer el factor It en función de B1/z y B2/z.

Incremento del esfuerzo vertical bajo una superficie de forma irregular.

• En 1942, Newmark propuso la construcción de una carta para la solucióngráfica de la ecuación de Boussinesq de incremento del esfuerzo vertical bajoun área circular uniformemente cargada.

• Redefiniendo el radio del área circular como: R = ½B, se puede reescribir laecuación de la siguiente forma:

• Evaluando esta ecuación para diferentes incrementos de Δσz / q0 se obtienenlos valores asociados de R/z.


∆𝜎𝑧 = 𝑞0 ∙ 1 −1

1 +𝐵2𝑧

232

𝑅

𝑧=

2

1 −∆𝜎𝑧

𝑞0

−23

− 1

• Con los valores de R/z se trazan unaserie de círculos concéntricos.

– El diagrama incluye una línea AB cuyalongitud es unitaria (z).

– El primer círculo es un punto.

– El segundo círculo tiene un radio de0.2698*(AB).

– El último círculo tiene radio infinito.

– Se divide el diagrama en 20 seccionesiguales mediante líneas radiales.

– El valor de influencia, Iv, de cadaelemento es:


𝐼𝑣 =1

10 × 20= 0.005

Δσz / q0 R/z

0.0 0.0000

0.1 0.2698

0.2 0.4005

0.3 0.5181

0.4 0.6370

0.5 0.7664

0.6 0.9174

0.7 1.1097

0.8 1.3871

0.9 1.9084

1.0 ∞

• Para emplear la carta de Newmark en el cálculo del incremento del esfuerzo verticalbajo un área uniformemente cargada (q0) se sigue el siguiente procedimiento:

– Se identifica la profundidad (z) bajo la superficie del área cargada donde va acalcularse el incremento de esfuerzo vertical.

– Se adopta una escala z:AB y se dibuja la planta de la superficie cargada con lasdimensiones correspondientes.

– Se pone la planta dibujada sobre la carta de Newmark, haciendo coincidir el puntode interés con el centro de la carta.

– Se cuentan el número (N) de elementos que quedan dentro del contorno de laplanta.

– Se calcula el incremento de esfuerzo como:


∆𝜎𝑧 = 𝐼𝑣 ∙ 𝑁 ∙ 𝑞0

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.


Ejemplo 1.

• Una superficie rectangular flexible mide 1.5 metros de ancho x 3.0 metrosde largo en planta y soporta una carga uniformemente distribuida de 96kPa. Determine el incremento del esfuerzo vertical debido a esta carga auna profundidad de 3.81 metros debajo del centro del área rectangular.

– Soluciones por el método 2:1, con el ábaco de carga en la esquina, con el ábaco de carga en el centro y con la carta de Newmark (ver siguiente).


Ejemplo 2.

• Para el caso mostrado en la figuradetermine el incrementopromedio del esfuerzo verticalbajo el centro del área cargada auna profundidad entre 3.0 metrosy 5.0 metros, es decir, entre lospuntos A y A’.


Ejemplo 3.

• Determine el incremento del esfuerzo vertical en los puntos A1 y A2 delterraplén que se presenta a continuación:


Ejemplo 4.

• Una superficie rectangular flexible de 2.5 metros de ancho por 5.0 metrosde largo soporta una carga distribuida de q0 = 145 kN/m². Determine elincremento de esfuerzo vertical a una profundidad de 6.25 metros pordebajo del centro del área cargada empleando la carta de Newmark.


incremento de los esfuerzos en una masa de suelo causado ... · pdf filede esfuerzo plano, en...

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