ejercicios flujo gradualmente variado

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

155

Capitulo 5

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Determinacin de la profundidad crtica yC.

.m33.0y81.9x50.2

50.1ygB

Qygqy C3 2

2

C3 2

2

C3

2

C

Determinacin de la C de Chzy.

sm64.62C

020.081.9x8C

fg8C

2/1

El caudal segn la ecuacin de Chzy es:

ASRCQAvQ 0H

Determinacin de la pendiente crtica SC. En el caso de flujo crtico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crtica SC; as:

2CCH

2

2

C2

CCCH22

CCCH ARCQSASRCQASRCQ

Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de friccin de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una cada libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crtica. Determinar:

a. La profundidad crtica. b. El coeficiente C de Chzy. c. La pendiente crtica SC. d. La pendiente del canal S0. e. La profundidad normal yn. f. La n de Manning. g. El tipo de flujo. h. El perfil que se produce aguas arriba de la seccin terminal.


156

22

2

C2

CC

C2

2

C

33.0x50.233.0x250.2

33.0x50.264.62

50.1Syb

y2byb

C

QS

0032.0SC

Determinacin de la pendiente del canal S0.

0016.0S2

0032.0S 00

Determinacin de la profundidad normal yn.

n2/1

2/1

n

n2/10

2/1H0H yb0016.0y2b

ybCQASRCQASRCQ

n2/1

2/1

n

n y50.20016.0y250.2

y50.264.6250.1

la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinacin de la n de Manning.

014.0n64.62

42.0x250.242.0x50.2

nCy2b

yb

nC

Rn

6/16/1

n

n6/1

H

Determinacin del tipo de flujo. Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrtico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial. En la cada, punto B, se produce la profundidad crtica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, segn se muestra en el siguiente esquema.


157

a. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es suprcrtico. Determinacin de la profundidad crtica yC.

m01.1y52.132yE

32yy

23E CCminCCmin

Determinacin del caudal unitario q.

81.9x01.1qgyqgyqg

qygqy 33C

3C

22

3C3

2

C

ms/m195.3q

3

Determinacin de la profundidad normal.

5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

n SnqySy

n1qySy

n1q

.m18.1y0016.0

0165.0x195.3y n5/3

2/1n

Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar:

a. La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. b. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. c. La prfundidad crtica yC. d. El caudal. e. Trazar cualitativamente el perfil superficial.


158

como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crtico por lo tanto la hiptesis es falsa, entonces el flujo es subcrtico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crtica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal uno es subcrtico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinacin de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. La velocidad en el tramo 1 segn la ecuacin de Manning es:

2/110

3/21n1n

2/110

3/2H1n Syn

1vSRn1v

3/2

1n1n2/13/2

1n1n y42.2v0016.0y0165.01v

La energa existente para esa profundidad es:

1n1n

23/21n

1n

21n

1n y30.0y52.181.9x2y42.2

y52.1g2

vyE

la ecuacin anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario segn la ecuacin de Manning es:

16.1x0016.0x16.1x0165.01qySy

n1q 2/13/21n

2/110

3/21n

ms/m099.3q

3

Determinacin de la profundidad crtica yC es (para ambos canales):

.m99.0y81.9

0999.3yg

qy C32

C3

2

C


159

Determinacin de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.

5/3

2/12n

5/3

2/120

2n2n2/1

203/2

2n 0400.00165.0x099.3y

SnqyySy

n1q

yn 2 =0.44 m.

Perfiles superficiales. En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S.

A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y sta permanece constante hacia aguas abajo.

En el punto C se produce la profundidad crtica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrtico tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2


160

Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrtico. La manera fsicamente posible para pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.

Determinacin de la profundidad normal yn mediante la ecuacin de Manning.

n2/1

0

3/2

n

n2/10

3/2H ybSy2b

ybn1QASR

n1Q

al sustituir los valores numricos se tiene:

n2/1

3/2

n

n y00.400001.0y200.4

y00.401.0100.5

Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en rgimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar: a. La profundidad normal. b. La energa correspondiente a la profundidad normal. c. La profundidad crtica. d. La energa mnima e. La profundidad aguas arriba de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.


161

la ecuacin anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinacin de la energa correspondiente a la profundidad normal.

2

2

2

22

y00.4g2QyE

Ag2QyE

g2vyE


.m40.3E39.3x00.481.9x2

00.539.3E 22


.m54.0y81.9

00.400.5

yg

BQ

yg

qy C3

2

C

3

2

C3

2

C

Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrtico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinacin de la energa mnima.

2C

2

Cmin2C

2

Cmin

2C

Cmin ybg2QyE

Ag2QyE

g2v

yE


.m81.0E54.0x00.481.9x2

00.554.0E min22

min

Determinacin de la profundidad aguas arriba de la compuerta.

C

2

CB

2

B

2C

C

2B

B ybg2Qy

ybg2Qy

g2v

yg2

vy


2

2

2B

2

B 20.0x00.462.1900.520.0

y00.462.1900.5y

la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).


162

Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m, entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.

Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.

Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrtico. La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico, formndose ste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:

Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporcin 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una seccin terminal de cada libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisin inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide:

a. La profundidad normal. b. El caudal. c. La profundidad crtica. d. El nmero de Froude. e. La profundidad antes de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.


163

a. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es supercrtico. La velocidad crtica es:

C

2C

CC2

2

CC2

2

C3

2

T2A

g2v

T2A

Ag2Q

TA

AgQ1

AgTQ

Determinacin de la profundidad crtica. como la energa disponible es E0 = 3.00 m, entonces:

C

2CC

C0C

C0

2C

C0 ym2b2ymyb

yET2

AyEg2

vyE

al sustituir los valores numricos se obtiene la profundidad crtica yC:

C

2CC

C yx00.1x200.42y00.1y00.4

y00.3 , la cual se satisface para yC = 2.19 m.

Determinacin de la velocidad crtica.

.s/m98.3v81.9x2

v19.200.3

g2v

yE C2

C2

CC0

Determinacin del caudal Q.

.s/m95.53Q19.2x00.119.2x00.4x98.3QAvQ 32CC


La profundidad normal yn es aqulla que satisface la ecuacin de Manning.

ASRn1Q 2/10

3/2H


164

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.1y00.40004.000.11y200.4

y00.1y00.4013.0195.53

la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrtico, por lo tanto la hiptesis es falsa, entonces la pendiente es subcrtica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crtica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es subcrtico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinacin de la profundidad normal yn. La velocidad correspondiente a la ecuacin de Manning es:

2/1

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H 0004.000.11y200.4

y00.1y00.4013.01vSR

n1v

La energa existente para esta profundidad es:

g2vyE

2

n

al sustituir el valor de la energa y la expresin de la velocidad se tiene:

g2

0004.000.11y200.4

y00.1y00.4013.01

y00.3

2

2/1

3/2

2n

2nn

n

la ecuacin anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinacin del caudal Q. El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.- Mediante la utilizacin de la ecuacin de Manning.


165

22/1

3/2

2

2

777.2x00.1777.2x00.40004.000.11777.2x200.4

777.2x00.1777.2x00.4013.01Q

Q = 39.40 m3/s.

2.- Mediante la determinacin de la velocidad a partir de la energa especifica.

.s/m092.2v777.200.381.9x2vg2

v777.200.3

g2v

yE nn2

n2

nn

22nn 777.2x00.1777.2x00.4092.2QymybvQAvQ

Q = 39.37 m3/s.


1y00.1y00.481.9

yx00.1x200.440.391ymyb81.9ym2bQ1

AgTQ

32CC

C2

32CC

C2

3

2

la ecuacin anterior se satisface para yC = 1.82 m.

como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrtico y los perfiles son tipo M.

Determinacin del nmero de Froude.

32

2

32nn

n2

3

2

777.2x00.1777.2x00.481.9777.2x00.1x200.440.39F

ymyb81.9

ym2bQFAg

TQF

F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrtico.

Determinacin de la profundidad antes de la compuerta. Si se considera que en la compuerta no hay prdida de energa entonces la energa antes de la compuerta es igual a la energa despus de la compuerta por lo tanto:

22

2

221

2

121 Ag2Qy

Ag2QyEE


166

2222

2

22211

2

1ymybg2

Qyymybg2

Qy


22

2

2211

2

120.1x00.120.1x00.481.9x2

40.3920.1y00.1y00.481.9x2

40.39y

232.3y00.1y00.481.9x2

40.39y 2211

2

1

2

1122

111 y00.1y00.462.19x232.340.39y00.1y00.462.19y

simplificando y agrupando trminos semejante se obtiene:

036.1552y0y59.10140y37.193y55.93y62.19 2345

el polinomio anterior tiene como solucin:

67645.4;0629.3;54782.2;20001.1;80672.1

el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta.

En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.

Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energa de la compuerta con la de aguas debajo de sta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.


167

En el punto E por ser una cada libre se produce la profundidad crtica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C hacia aguas abajo es supercrtico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrtico. La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico formndose ste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.

Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una seccin de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha seccin aumentar, disminuir o permanecer constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situacin e indicar el perfil superficial que se produce.


168


m21.2y81.9x50.3

00.36ygB

Qygqy C3 2

2

C3 2

2

C3

2

C

yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrtica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.

El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situacin.


169

Determinacin de la profundidad aguas arriba del resalto y1.

2

222

1

2

2

2

2

122

2

1

ygyq811

yy2

ygv811

yy2F811

yy2

2

1

2

22

21 50.2x81.950.2

00.5811250.2y

ygyq811

2y

y

m65.0y1 Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.

Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formacin de un resalto hidrulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar:

a. La profundidad aguas arriba del resalto. b. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. c. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formar el resalto

hidrulico.


170

Determinacin de la distancia xA B.

3/13A

3/13B22

3/4A

3/4B2BA yyqn

1133yy

gn1

43x

3/133/13

223/43/4

2BA 50.065.000.5x015.01

13350.065.0

81.9x015.01

43x

m50.52x BA

Determinacin de la profundidad aguas arriba de la compuerta.

g2yqy

g2yqy

g2v

yg2

vy 2

B

2

B2A

2

A

2B

B

2A

A

m22.2y81.9x2x90.0

00.590.081.9x2xy

00.5y A22

2A

2

A

A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidrulico formndose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1.

Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidrulico, determinar:

a. La profundidad aguas arriba de la compuerta. b. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. c. La profundidad secuente del resalto. d. La longitud desde el resalto hasta la seccin terminal de cada libre. e. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.


171

Determinacin de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3.

3/13B

3/13122

3/4B

3/4121B yyqn

1133yy

gn1

43x

3/133/13

1223/43/4

12 90.0y00.5x015.01

13390.0y

81.9x015.01

4300.30

la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinacin de la profundidad recuente del resalto y2.

2

111

2

2

1

1

1

221

1

2

ygyq811

yy2

ygv

811yy2

F811yy2

2

2

2

11

12 00.1x81.900.1

00.5811200.1y

ygyq811

2y

y

m81.1y2

En la cada en el punto C se produce la profundidad crtica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinacin de la profundidad crtica yC.

m37.1y81.9

00.5yg

qy C32

C3

2

C

Determinacin de la distancia x2 C.

3/132

3/13C22

3/42

3/4C2C2 yyqn

1133yy

gn1

43x


172

3/133/13

223/43/4

2C2 81.137.100.5x015.01

13381.137.1

81.9x015.01

43x

m60.143x C2


n2/1

0

2/1

n

n2/10

2/1H ybSy2b

ybn1QASR

n1Q

n2/1

2/1

n

n y00.80015.0y200.8

y00.8025.0100.11

la ecuacin anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinacin de la profundidad crtica yC. La condicin de flujo crtico es:

3/1

2

2

C

3/1

2

2

C3

23

C3C

2

3

2

bgQy

bgQy

bgbQy1

ybgbQ1

AgTQ

Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la seccin terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar:

a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crtica yC.c. Tipo de perfil que se produce. d. Calcular el perfil superficial mediante el mtodo de la funcin de Bresee

hasta 200.00 m aguas arriba del dique. e. Dibujar el perfil superficial.


173

.m58.0y00.8x81.9

00.11y C3/1

2

2

C

o tambin para canales rectangulares:

.m58.0y81.9x00.8

00.11ygb

Qyg

qy C3 22

C3 2

2

C3

2

C

como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrtica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.

3

n

C

0

n

yy

1zSyx

Para el presente caso, al sustituir los valores numricos se tiene:

82.0z00.680x02.158.01z

0015.002.1x

3

Tabla para el clculo del perfil M1

y (m) ny

yz x (m)

Distancia al origen

(m) 1.70 1.67 0.1972 * 1025.64 0.00 1.65 1.62 0.2116 9.83.61 42.03 1.61 1.58 0.2246 949.16 76.48 1.55 1.52 0.2466 896.10 129.54 1.52 1.49 0.2591 868.73 156.91 1.50 1.47 0.2680 850.16 175.48 1.47 1.44 0.2824 821.73 203.91

El valor de *1972.0 fue obtenido por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.


174


.m47.0y81.9

00.1ygqy C3

2

C3

2

C

Determinacin de la pendiente crtica SC. En el caso de flujo crtico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crtica SC; as:

3C

2

2

C2

CCC22

CCC yCqSySyCqySyCq

Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de friccin de Chzy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crtica. El canal termina en una cada libre, determinar:

a. La profundidad crtica yC.b. La pendiente crtica. c. La pendiente del canal. d. La profundidad normal. e. El tipo de pendiente. f. El tipo de perfil que se produce en el canal. g. Calcular mediante el mtodo de la funcin de Bresse la distancia en la cual

la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.


175

32

2

C3C

2

2

C 47.0x00.5500.1S

yCqS

00318.0SC

Determinacin de la pendiente del canal S0.

000796.0S4

00318.0S 00

La pendiente del canal es subcrtica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinacin de la profundidad normal yn.

3/2

2/10

nn2/1

02/1

nn0n SCqyySyCqySyCq

.m74.0y000796.0x00.5500.1y

SCqy n

3/2

2/1n

3/2

2/10

n

La profundidad instantnea es y = 0.95 yn y = 0.95 x 0.74 y = 0.70 m. como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.

Determinacin de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.

3

n

C

0

n

yy

1zSy

x


176

Para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:

74.0z00.930x74.047.01z

000796.074.0x

3

Tabla de clculo del perfil M2

y (m) ny

yz x (m)

Distancia al origen

(m) 0.47 0.64 0.6897 120.55 120.55 0.70 0.95 1.4670 -126.09 -126.09

La distancia desde la cada libre donde ocurre la profundidad crtica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 ( 126.09) = 246.64 m Determinacin de la profundidad crtica yC.

m37.1y81.9

00.5yg

qy C32

C3

2

C

Problema F.II-5.10 En cierta seccin (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una cada libre, 90.00 m aguas debajo de la seccin (a). Determinar:

a. La profundidad crtica yC.b. La profundidad normal yn. c. Tipo de pendiente. d. Tipo de perfil que se produce. e. Calcular el perfil superficial mediante el mtodo de la funcin de Bresse

tomando incrementos y = 5 cm. f. La profundidad en la seccin terminal de cada libre.


177


5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

n SnqySy

n1qySy

n1q

.m06.1y004.0

014.0x00.5y n

5/3

2/1n

como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3

Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.

3

n

C

0

n

yy

1zSy

x

para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:

159.1z00.265x06.137.11z

004.006.1x

3

Tabla de clculo del perfil S3

y (m) ny

yz x (m)

Distancia al origen

(m) 0.53 0.50 0.5168 291.23 0.00 0.58 0.55 0.5754 * 322.47 31.24 0.63 0.59 0.6245 * 348.15 56.92 0.68 0.64 0.6897 381.43 90.20

Los valores * fueron obtenidos por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.


178

La profundidad del agua en la cada libre es de aproximadamente 0.68 m.


m54.1y81.9

00.6yg

qy C32

C3

2

C

Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contrada tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre est a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el mtodo de la funcin de Bresse. Si se produce un resalto hidrulico determinar su ubicacin.


179


5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

n SnqySy

n1qySy

n1q

.m74.3y0001.0

015.0x00.6y n5/3

2/1n

como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrtico. Clculo de perfil superficial M3 mediante la funcin de Bresse.

3

n

C

0

n

yy

1zSy

x

para el presente caso, al sustituir los valores numricos se tiene:

9302.0z00.37400x74.354.11z

0001.074.3x

3


y (m) ny

yz x (m)

Distancia al origen

(m) 0.500 0.1337 0.1337 * 349 0 0.748 0.20 0.2004 508 159 0.935 0.25 0.2510 617 268 1.122 0.30 0.3021 710 361 1.496 0.40 0.4066 814 465


180


En la seccin terminal del canal en el punto C, en la desembocadura, l a p r o f u nd i da d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrtico y el perfil que se produce en M2. Clculo del perfil superficial M2 mediante la funcin de Bresse.

9302.0z00.37400x


y (m) ny

yz x (m)

Distancia al origen

(m) 1.80 0.4813 0.4950 * 839 0 1.87 0.50 0.5168 720 119 1.94 0.52 0.5399 665 174 2.02 0.54 0.5634 595 244 2.16 0.58 0.6120 400 439



181

Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.

2

111

221

1

2

ygyq811

yy2F811

yy2

31

21

231

2

1

2

y81.900.6x811

2y

yygq8811

yy2

Tabla de clculo de las profundidades secuentes del resalto

Profundidad aguas arriba y1 (m) Profundidad aguas abajo y2 (m)

31

21

2 y81.900.6x811

2yy

0.50 3.58 0.748 2.78 0.935 2.37 1.122 2.06 1.496 1.59

La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico formndose ste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.


182

El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un grfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior.

Determinacin de la profundidad crtica yC es (para ambos canales):

.m37.1y81.9

00.5ygqy C3

2

C3

2

C


5/3

2/11n

5/3

2/110

1n1n2/1

103/2

1n 0328.002.0x00.5y

SnqyySy

n1q

yn 2 = 0.70 m.

Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura est formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidrulico determinar si ste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formar.


183


5/3

2/12n

5/3

2/120

2n2n2/1

203/2

2n 0025.002.0x00.5y

SnqyySy

n1q

yn 2 =1.52 m.

En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidrulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formndose un resalto hidrulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.

Tomando como hiptesis la posibilidad I. La profundidad y1 del resalto hidrulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.


184

2

111

221

1

2

ygyq811

yy2

F811yy2

3

2

231

2

1

2

70.0x81.900.5x811

270.0y

ygq8811

yy2

La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es fsicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hiptesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hiptesis la posibilidad II. La profundidad y2 del resalto hidrulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.

2

222

122

2

1

ygyq811

yy2

F811yy2

3

2

132

2

2

1

52.1x81.900.5x811

252.1y

ygq8811

yy2

La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual s es fsicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hiptesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinacin de la distancia donde se forma el resalto hidrulico. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.

3

n

C

0

n

yy

1zSy

x

para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:

2678.0z00.608x52.137.11z

0025.052.1x

3


185


y (m) ny

yz x (m)

Distancia al punto A

(m) 0.70 0.46 0.472 * 202.83 0 1.22 0.80 0.9505 331.64 128.81


Seccin de aproximacin 1 - 1.

Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construccin de un puente requiere de la construccin de una pila de 2.00 m de dimetro. Si la pila es hidrodinmica y no ofrece resistencia al flujo, determinar:

a. Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qu. b. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. c. Qu tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. d. A cuntos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la

profundidad normal yn 1. (realice el clculo mediante un solo paso)


186

Determinacin de la energa existente en la seccin de aproximacin antes de colocar la pila.

g2ymyb

QyEg2A

QyEg2

vyE 22

111

2

112

2

11

21

11

m32.2E81.9x200.2x00.200.2x00.6

00.5000.2E 1222

1

Determinacin de la profundidad crtica yC 1 en la seccin de aproximacin.

1y00.2y00.681.9

y00.2x200.600.501

ymybg

ym2bQ1

AgTQ

321C1C

1C2

321C1C1

1C12

3

2

La ecuacin anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Seccin donde es colocar la pila 2 - 2.

Determinacin de la profundidad crtica yC 2 en la seccin 2.

1y00.2y00.481.9

y00.2x200.400.501

ymybg

ym2bQ1

AgTQ

322C2C

2C2

322C2C2

2C22

3

2

La ecuacin anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinacin de la energa mnima en la seccin 2 2

m48.2E81.9x286.1x00.286.1x00.4

00.5086.1E min222

min


187

La energa mnima necesaria para que el agua pase a travs de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energa disponible en la seccin 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mnima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la seccin de aproximacin para adquirir la suficiente energa para poder pasar. Esta nueva energa en la seccin 1 -1 debe ser igual a la mnima; es decir, E1N = 2.48 m.

m48.281.9x2y00.2y00.6

00.50y 22N1N1

2

N1

La ecuacin anterior tiene cinco races, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condicin de flujo sub crtico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinacin de la pendiente S0 del canal.

3/10

3/422

0

2

3/2

3/2

0

2

3/2H

02/1

03/2

H APnQS

AAPnQS

ARnQSASR

n1Q

3/102111

3/42

1122

0ymyb

m1y2bnQS

000954.0S00.2x00.200.2x00.6

00.2100.2x200.6015.000.50S 03/102

3/4222

0

A continuacin se muestran en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1 y = 1.01 x 2.00 y = 2.02 m

Tabla para el clculo del perfil M1 mediante el mtodo paso a paso

y A P 3/4HR g2v2

E E S x104 S

x104 SS0

x104 x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

2.25 23.63 16.06 1.67 0.23 2.48 - 6.0795 - -

2.02 20.28 15.03 1.49 0.31 2.33 0.15 9.1845 7.63201 1.90798 786.17


188

La ecuacin de continuidad indica que

1212

12221121 q00.4

00.5qqbb

qbqbqQQ

Energa especifica en la seccin 2. Como en la seccin 2 la altura del agua es la profundidad crtica yC2, entonces la energa especfica en la seccin 2 es la energa mnima; es decir,

3/1

3/22

23

22

22C2 81.9q

23E

gq

23Ey

23E

3/1

3/21

3/2

3/2

23/1

3/2

1

23/1

3/22

2 81.9q

45

23E

81.9

q45

23E

81.9q

23E

Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reduccin produce la profundidad crtica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reduccin es crtico. Se pide:

a. El caudal. b. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. c. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reduccin hacia aguas arriba

hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.


189

Energa especifica en la seccin 1.

81.9x2x00.4q00.4E

g2yqyE

g2vyE 2

21

121

21

11

21

11

Como no existe prdida de energa entre las secciones 1 y 2 entonces

3/1

3/21

3/2

3/2

2

21

21 81.9q

45

23

81.9x2x00.4q00.4EE

la ecuacin anterior se satisface para q1 = 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es: s/m50.66Q00.5x3.13QbqQ 311

El caudal unitario q2 es: m/s/m63.16q3.1345qq

45q 32212

La profundidad crtica yC1 es: m62.2y81.93.13y

gq

y 1C32

1C3

21

1C

La profundidad crtica yC2 es: m04.3y81.963.16y

gq

y 1C32

1C3

22

2C

Determinacin de la profundidad normal yn1 en el tramo 1.

1n12/1

0

3/2

1n1

1n12/10

3/2H ybSy2b

ybn1QASR

n1Q

1n2/1

3/2

1n

1n y00.5001.0y200.5

y00.5014.0150.66

la ecuacin anterior se satisface para yn1 = 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crtico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2


190

Clculo del perfil superficial.

SSEEx

0

12

A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.


y A P 3/4HR g2v2

E E S S SS0 x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

4.00 20.00 13.00 1.776 0.563 4.563 - 0.00122 - -

4.11 20.55 13.22 1.801 0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180 -0.00018 450

1m45tg

1m

Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ngulo de inclinacin respecto a la horizontal de 45 fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una cada libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de y = 10.00 cm.


191


La profundidad crtica es aqulla que satisface la siguiente ecuacin:

100.11y2y00.381.9

y00.1x200.300.151

m1y2ybg

ym2bQ1

AgTQ

32

CC

C2

32

CC

C2

3

2

la ecuacin anterior se satisface para yC = 1.19 m


La profundidad normal yn es aqulla profundidad que satisface la ecuacin de Manning.

2nn

2/10

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymybn1QASR

n1Q

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.1y00.3001.000.11y200.3

y00.1y00.3015.0100.15

la ecuacin anterior se satisface para yn = 1.58 m

yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la cada se

produce la profundidad crtica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a

alcanzar la profundidad normal yn formndose un perfil M2.

Esquema del perfil superficial.


SSEE

x0

12



192


y A P 3/4HR g2v2

E E S S S-S0 x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

1.19 4.99 6.37 0.72 0.46 1.65 - 0.00282 - -

1.29 5.53 6.65 0.78 0.38 1.67 -0.02 0.00215 0.00249 -0.0015 13.33

1.39 6.10 6.93 0.84 0.31 1.70 -0.03 0.00163 0.00189 -0.0009 33.33

1.49 6.69 7.22 0.90 0.26 1.75 -0.05 0.00128 0.00146 -0.0005 100.00

1.55 7.05 7.39 0.94 0.23 1.78 -0.03 0.00108 0.00118 -0.0002 150.00

1.57 7.17 7.44 0.95 0.22 1.79 -0.01 0.00102 0.00105 -0.00005 200.00

m66.496

Determinacin del caudal.

C

32CC

3

3

2

ym2bymybg

QTAgQ1

AgTQ

s/m26.39Q50.1x00.2x200.5

50.1x00.250.1x00.581.9Q 332

Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crtico a una profundidad de 1.50 m. En determinada seccin su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide:

a. El caudal. b. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. c. Hacer los clculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la

distancia x entre los lmites de variacin de y.


193

Determinacin de la pendiente crtica S0 C en el tramo 1. La pendiente crtica es aqulla que satisface la ecuacin de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC.

3/10

3/422

0

2

3/2

3/2

0

2

3/2H

02/1

03/2

H APnQS

AAPnQS

ARnQSASR

n1Q

3/102111

3/42

1122

0ymyb

m1y2bnQS

0065.0S50.1x00.250.1x00.5

00.2150.1x200.5025.026.39S C03/102

3/4222

C0

Determinacin de la pendiente crtica S0 en el tramo 2.

0055.0S001.00035.0S001.0SS 2020C020

Determinacin de la profundidad normal en el tramo 2.

22n2n1

2/10

3/2

22n1

22n2n12/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymybn1QASR

n1Q

22n2n

2/1

3/2

22n

22n2n y00.2y00.50055.000.21y200.5

y00.2y00.5025.0126.39

la ecuacin anterior se satisface para yn1 = 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1


194


SSEE

x0

12


Tabla para el clculo del perfil C1 mediante un solo paso.

y A P 3/4HR g2v2

E E S S SS0 x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

1.57 12.78 12.02 1.09 0.481 2.051 - 0.00541 -

1.50 12.00 11.71 1.03 0.546 2.046 0.005 0.00650 0.00596 0.00054 9.25

Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un ro. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crtica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide:

a. La profundidad crtica yC. b. La profundidad normal yn. c. El caudal Q. d. El tipo de perfil superficial. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidrulico si este se

produce. g. Calcular mediante el mtodo paso a paso el perfil superficial calculado

cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crtica.


195

Si se considera como hiptesis que la pendiente del canal es supercrtica (yC > yn) entonces:

m00.6y00.932yE

32y CCminC

Determinacin del caudal.

81.9x00.5x00.6QgbyQgb

Qygb

Qy 2323C22

3C3 2

2

C

m/s/m03.46q00.5

16.230qbQqm/s/m16.230Q 33

Determinacin de la profundidad normal yn


ASRn1Q 2/10

3/2H

n2/1

3/2

n

n y00.50067.0y200.5

y00.5013.0116.230

la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hiptesis es correcta.


196

Perfiles superficiales.

Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.

En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crtica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.

Para pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico se tiene que formar un resalto hidrulico.

Si se considera como hiptesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.

2

111

221

1

2

ygyq811

yy2

F811yy2

3

2

231

2

1

2

16.5x81.903.46x811

216.5y

ygq8811

yy2

y2 = 6.93 m

lo cual es fsicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidrulico.


197

Esquema y clculo del perfil superficial.

SSEEx

0

12

A continuacin, se muestran forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

Tabla para el clculo del perfil S1 mediante el mtodo paso a paso

y A P 3/4HR g2v2 E E S x 10-5

S x 10-5

S-S0 x 10-5

x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

56 280 117 6.868 0.034 56.034 - 1.64 - - 0.00

54 270 113 6.817 0.037 54.037 1.997 1.80 1.72 68.28 298.53

52 260 109 6.762 0.040 52.040 1.997 1.96 1.88 668.12 298.90

50 250 105 6.705 0.043 50.043 1.997 2.13 2.05 667.95 298.97

48 240 101 6.643 0.047 48.047 1.996 2.35 2.24 667.76 298.91

m61.1195


198

Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es supercrtico. La velocidad crtica es:

C

2C

CC2

2

CC2

2

C3

2

T2A

g2v

T2A

Ag2Q

TA

AgQ1

AgTQ

Determinacin de la profundidad crtica. como la energa disponible es E0 = 2.40 m entonces:

C

2CC

C0C

C0

2C

C0 ym2b2ymyb

yET2

AyEg2

vyE

al sustituir los valores numricos se obtiene la profundidad crtica yC:

C

2CC

C yx00.2x200.62y00.2y00.6

y40.2 , la cual se satisface para yC = 1.76 m.

Determinacin de la velocidad crtica.

.s/m54.3v81.9x2

v76.140.2

g2v

yE C2

C2

CC0

Determinacin del caudal Q

Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la seccin de entrada. Se pide:

a. La profundidad crtica yC.b. El caudal Q. c. La profundidad normal yn. d. El tipo de perfil que se produce. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Calcular la distancia mnima desde la entrada del canal a la que se puede

ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b.

g. Dibujar el nuevo perfil superficial.


199

.s/m31.59Q76.1x00.276.1x00.6x54.3QAvQ 32CC



ASRn1Q 2/10

3/2H

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.2y00.6005.000.21y200.6

y00.2y00.6014.0131.59

la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrtico por lo tanto la hiptesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrtica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:

Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua movindose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el lmite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situacin descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:


200


SSEE

x0

12


Tabla para el clculo del perfil S1 mediante el mtodo paso a paso

y A P 3/4HR g2v2

E E S x 10-3 S

x 10-3 S-S0

x 10-3 x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

2.10 21.42 15.39 1.55 0.40 2.50 - 0.992 - - -

2.00 20.00 14.94 1.48 0.46 2.46 0.04 1.20 1.096 3.904 10.25

1.90 18.62 14.49 1.40 0.53 2.43 0.03 1.45 1.330 3.670 8.17

1.80 17.28 14.04 1.32 0.62 2.42 0.01 1.80 1.630 3.37 2.97

1.76 16.89 13.91 1.30 0.65 2.419 0.001 1.92 1.860 3.140 0.32

m71.21

Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada seccin se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar:

a. La profundidad crtica yC.b. El coeficiente n de Manning. c. El tipo de perfil superficial que se forma. d. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la

compuerta.


201


m27.0y81.9x50.1

65.0ygb

Qygqy C3 2

2

C3 2

2

C3

2

C

Determinacin del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es:

00063.0S1600

00.1SLzS 000

3/2

3/52/102/1

0

3/22/1

03/2

H PQAS

nASPA

n1QASR

n1Q

0205.0n70.0x250.165.0

70.0x50.100063.0ny2bQybS

n 3/23/52/1

3/2

3/52/10

como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrtica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:


xSSEESSEE

x 0210

12



202

Tabla para el clculo del perfil M1 mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas.

x y A P 3/4HR g2v 2 E S (10-4)

S (10-4)

S-S0 (10-4)

E

(m) (m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m)

1.00 1.50 3.50 0.3231 0.0096 1.0096 2.442 -- -- 1.0096

685 0.75 1.125 3.00 0.2704 0.0170 0.7670 0.519 3.81 2.43 0.857

685 0.84 1.26 3.18 0.2910 0.0136 0.8530 3.843 3.14 3.11 0.815

685 0.80 1.20 3.10 0.2821 0.0149 0.8149 4.370 3.41 2.84 0.832

685 0.817 1.226 3.134 0.2861 0.0143 0.8310 4.130 3.29 2.96 0.825

685 0.810 1.215 3.120 0.2845 0.0146 0.8250 4.220 3.33 2.92 0.827

La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.

Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m3/s/m, con una pendiente longitudinal S0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una cada libre. Determinar:

a. La profundidad crtica yC-b. La profundidad normal yn. c. El tipo de perfil que se produce. d. La profundidad a 20.00 m de la cada. e. La profundidad a 40.00 m de la cada.


203


m61.0y81.9

50.1yg

qy C32

C3

2

C


m93.1y0001.0

020.0x50.1yS

nqyySyn1q n

5/3

2/1n

5/3

2/10

nn2/1

03/2

n

como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrtica y el perfil es tipo M, el canal termina en una cada libre donde se produce la profundidad crtica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formndose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:


xSSEESSEE

x 0210

12

A continuacin se muestran, en forma tabulada, los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.


204

Tabla para el clculo del perfil M2 mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas.

x y g2

v 2 E S (10-4) S

(10-4) S-S0

(10-4) E

(m) (m) (m) (m) (m)

0.621 0.309 0.918 46.25 0.918

20 0.700 0.234 0.934 29.55 37.90 - -36.90 0.992

20 0.758 0.200 0.958 22.66 34.46 - 33.46 0.985

20 0.758 0.186 0.971 20.17 33.21 - -32.21 0.982

20 0.796 0.181 0.977 19.26 32.76 - -31.76 0.982

20 0.800 0.181 0.981 18.94 32.60 -31.60 0.981

20 1.000 0.115 1.115 9.00 13.97 - -12.97 1.011

20 0.896 0.143 1.039 12.98 15.96 - -14.96 1.011

20 0.868 0.152 1.020 14.42 16.68 - -15.68 1.012

20 0.860 0.155 1.015 14.87 16.91 - 15.91 1.013

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

205

Capitulo 6

FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL

Las expresiones de u y v son:

x32uy

yx3y2-x31uy

u

y33vx

yx3y2-x31vx

v

para que exista funcin potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir:

00y

x32x

y33yu

xv

entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe funcin potencial. Determinacin de la funcin potencial:

yfy

yf2x3x2x32

xu

x

2

C2y3y3yfy33yfvyfv

y

2

C2y3y3

2x3x2yf

2x3x2

222

Cy3x22y3

2x3 22

Problema F.II-6.01 La funcin de corriente para flujo bidimensional es: yx3y2x31 . Hallar la funcin potencial.

ejercicios flujo gradualmente variado

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