capitulo v flujo gradualmente variado aamp
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CAPITULO VFLUJO GRADUALMENTE VARIADO
5.1GENERALIDADES.El flujo gradualmente variado constituye una clase especial del flujo permanente no
uniforme, el cual se caracteriza por una variación continua del tirante (y con ello el
área, la velocidad, etc.) a lo largo del canal. Este tipo de flujo se presenta en la
llegada o salida de estructuras hidráulicas tales como represas, compuertas,
vertederos, etc; y es general cuando las condiciones geométricas de la sección
transversal o del fondo del canal cambian abruptamente; o bien cuando en el
recorrido se presenta algún obstáculo que haga variar las condiciones del
movimiento.
FIG. No 5.1
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
5.2CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES:Para el estudio práctico de este tipo de flujo se suelen adoptar algunas hipótesis
como las que enumeren a continuación:
1. El flujo es permanente, es decir, que las características del flujo son constantes
en el intervalo de tiempo considerado.
2. Las líneas de corriente son prácticamente paralelas, es decir, que la distribución
de presiones es hidrostática en cada sección del canal.
3. La pendiente del fondo del canal es uniforme y pequeña, de tal manera que el
tirante del flujo es el mismo, cuando la vertical o normal se toma como referencia
al fondo del canal, y además, no ocurre incorporación del aire al interior del flujo.
4. El canal es prismático, lo que significa que la forma y la alineación del canal son
constantes.
5. La forma de distribución de velocidades en las distintas secciones es constante,
de modo que el coeficiente de Coriolis α, se mantiene constante.
6. El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante del flujo y constante en
el tramo del canal considerado.
7. La pérdida de energía más importante es la fricción. Para el calculo de la
pendiente de la línea de energía en una sección se utilizan las mismas formulas
que en flujo uniforme, utilizando la velocidad media, el radio hidráulico media, el
radio hidráulico y el coeficiente de rugosidad de la propia sección. Esta es una
de las hipótesis mas importantes para el estudio del flujo gradualmente variado y
permite el uso de las formulas del flujo uniforme, aun cuando no demostrado, la
practica ha confirmado su uso.
5.3ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.Considerado el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud diferencial dx
en un canal como se muestra, en la Fig. No 5.2.
FIG. No 5.2
TRAMO DE LONGITUD dx
Donde:
E = Energía total para una sección cualquiera
dE = diferencial de energía o cambio de energía en el dx
dx = Longitud diferencial del tramo del canal
dZ = Incremento en la altura o carga de posición de la sección en el dx
SE = Pendiente de energía o de cargas totales, constante en el dx considerado,
pero variable a lo largo de la dirección x.
SW= Pendiente de la superficie libre o eje hidráulico
SO = Pendiente longitudinal del fondo del canal, constante.
Θ = Angulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con la horizontal.
β = Angulo que forma el horizonte de energía con la línea de alturas totales.
d = Tirante perpendicular o normal a la sección.
y = Tirante vertical.
En general se cumple que:
O W ES S S≠ ≠
θ ≠ β
,cos.
Pyd == Para θ pequeño.
Estudiando una sección cualquiera del flujo, como la representada en la sección 1,
se obtiene que la carga o energía total sobre el plano de referencia es:2
2E Z y
g ∨= + + (Ec. 5.1)
Siendo α = coeficiente de Coriolis que se asume constante en el tramo del canal
considerados, los otros términos ya se definieron anteriormente.
Tomando el fondo del canal como el eje x, y diferenciando la Ec. 5.1 con respecto a
esta longitud, se tiene:
2
( )2
dE dZ dy d
dx dx dx dx g ∨= + + (Ec. 5.2)
Interpretación de cada uno de los términos:
a) E
dES
dx− = pendiente de la línea de energía, el signo negativo se debe al hecho
de que hay disminución de energía útil en el sentido del escurrimiento, luego
E
dES
dx= − (Ec. 5.3)
b) O
dZtg sen S
dx− = = = (para θ = pequeño), pendiente de fondo, el signo
negativo es debido a que Z decrece a medida que x crece, es decir, SO se
supone positiva si la inclinación es descendente hacia aguas abajo (Z decrece
cuando x crece) y negativa en caso contrario, luego:
O
dZS
dx= − (Ec. 5.4)
c)dx
dy
dy
dvv
gg
v
dx
d.)
2(
2 = (Ec. 5.5)
2 2( )
/
d d Q Q dA QT
dy dy A A dy A A T
∨ ∨= = − = − = − (Ec. 5.6)
2
( )2 /
d Q dy
dx g g A T dx ∨ = − (Ec. 5.7)
22
/F
g A T ∨ = (Ec. 5.8)
22( )
2
d dyF
dx g dx ∨ = − (Ec. 5.9)
2E O
dy dyS S F
dx dx− = − + −
2(1 ) O E
dyF S S
dx− = − = −
20
1 F
SS
dx
dy E
−−
= o20
0 1
1
F
S
S
Sdx
dyE
−
−= (Ec. 5.10).
gA
Tv
SS
dx
dy E2
0
1 −
−= o
gA
Tv
S
S
Sdx
dyE
20
0
1
1
−
−= (Ec. 5.11)
gA
Tv
SS
dx
dy E2
0
1−
−= o
gA
Tv
S
S
Sdx
dyE
20
0
1
1
−
−= (Ec. 5.12)
En la Ec. 5.12 reemplazando Q
A∨ = , de la ecuación de continuidad, resulta:
3
20
1gA
TQ
SS
dx
dy E
−
−= o
3
20
0
1
1
gA
TQ
S
S
Sdx
dyE
−
−= (Ec. 5.13)
Las ecuaciones (Ec. 5.10), (Ec. 5.11), (Ec. 5.12) y (Ec. 5.13) son diferentes formas
de representar la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado y se denomina
con el nombre de ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Estas
ecuaciones representan la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo
del canal; el tirante y, se mide a partir del fondo del canal, tomándose este fondo
como eje de abscisas (x).
5.4CURVAS DE REMANSO.Se conoce como curvas de remanso o ejes hidráulicos, a los perfiles longitudinales
que adquiere la superficie libre del liquido en un canal cuando se efectúa un
escurrimiento bajo las condiciones de flujo gradualmente variado la geometría de
las curvas de remanso obedece a diferentes causas como las condiciones de
pendiente del fondo y tirante real.
Geométricamente el perfil de la superficie libre está definido por los tirantes reales
que se tengan a lo argo del escurrimiento.
Acudiendo a la ecuación Ec. 5.13 y basándose en observaciones empíricas se ha
logrado obtener los diferentes tipos de curvas, cuya forma depende de las
condiciones de tirantes y pendientes que se tangan en cada caso.
5.5CLASIFICACIÓN Y NOMENCLATURA DE LAS CURVAS DE REMANSO.TIPOS DE PENDIENTES DE FONDO (SO)1. Pendiente Suave:
Se dice que la pendiente del fondo del canal es suave cuando, para las
condiciones hidráulicas (Q) y características del canal (b, T, n, SO) dadas, se
genera un tirante normal (yn) mayor que el critico (yc); esto es yn>yc, también
SO<SC.
A las curvas generadas en este tipo de pendiente se las conoce como curvas
“M” (del ingles MILD: suave, subcritica)
Según Saint Vénant a las corrientes naturales de pendiente suave, en las que
existe calma, movimiento tranquilo, se las denomina ríos.
2. Pendiente critica.Es aquella pendiente de fondo con la cual se satisface, para las condiciones
dadas, que el tirante normal es igual al tirante critico. Aquí se cumple que:
yn = yc
SO = SC
Numéricamente, el valor de SC se calcula con la ecuación:2
2/3
.Q nS
AR =
A las curvas de remanso generadas en este tipo de pendiente se les nombra
curvas “C” (del ingles CRITICAL: critica).
3. Pendiente fuerte:Es aquella con la cual, para las condiciones dadas, se produce un tirante normal
menor que el crítico. En esta se cumple que:
yn < yc
SO > SC
A las curvas generadas en este tipo de pendiente se les conoce como curvas “S”
(del ingles STEEP: empinado, abrupto, supercrítico)
Según Saint Vénant a las corrientes naturales de pendiente fuerte, en las que
existen resaltos y otras irregularidades, se las denomina torrentes.
4. Pendiente horizontal:Es aquella en la cual SO = O y como consecuencia el tirante normal se hace
infinito, es decir:
En la ecuación de Manning:
2/3 1/21R S
n∨ =
Si S = O v = 0
Además, de la ecuación de continuidad:
0 n
QSi A y
A∨ = = → = ∞ → = ∞
A las curvas serenadas en este tipo de pendiente se les llama curvas “H” (del
ingles HORIZONTAL: horizontal)
5. Pendiente adversa:
Es aquella en la cual el líquido trabaja en contra de la gravedad, ya que el fondo
del canal en comparación a un plano horizontal, aumenta en el sentido del flujo,
es decir la pendiente es negativa
El tirante normal yn no existe en este tipo de pendiente por no tener significado
físico, lo cual se observa al sustituir el valor negativo de SO en la ecuación:
1/2 1/21OQ AR S
n=
A las curvas generadas en esta pendiente se les nombra como curvas “A” (del
ingles ADVERSE: adversa)
5.6ZONAS DE GENERACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO.a) Zona 1
Se dice que una curva de remanso se presenta en la zona 1, cuanto el tirante
real del escurrimiento posee valores mayores que el normal y el critico. Fig. No
5.3.
Es decir : y > yn , y > yc
Donde : yn > yc ó yc > yn
FIG. No 5.3
CURVA DE REMANSO EN ZONA 1
b) Zona 2
La curva de remanso se localiza en la zona 2 cuando el tirante real del flujo se
encuentra comprendido entre normal y el crítico, (Fig. No 5.4) pudiendo ser:
Es decir: C ny y y≤ ≤ ó n Cy y y≤ ≤
FIG. No 5.4
CURVA DE REMANSO EN ZONA 2
c) Zona 3
Es aquella que establece la generación del tirante real por debajo de los valores
del normal y del critico, pudiendo ser éste mayor que el aquel o viceversa. (Fig.
No 5.5)
Es decir:
y < yn ; y < yc ; siendo yn > yc ó yc > yn
FIG. No 5.5
CURVA DE REMANSO EN ZONA 3
Tomando en consideración la clasificación realizada por Bakmeteff, de las curvas de
remanso basada en el tipo de pendiente y las zonas de generación del perfil, se
tienen las curvas M1, M2, M3, C1, …… A2, A3, las mismas que se muestran en el
Cuadro No 5.1.
CUADRO No 5.1
CLASIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO
De acuerdo a los tipos de pendientes, se sabe que el tirante normal en las curvas H,
es infinito, mientras que en las curvas A, no es real, por lo cual en ambos casos, no
pueden existir ninguna curva de remanso en la zona 1, luego es imposible que
existan las curvas H1 y A1; de otro lado, la C2, no es una curva propiamente dicha
sino mas bien una recta (flujo critico uniforme). De este análisis se desprende que
de las 15 curvas de remanso aparentes que se pueden generar en realidad solo se
tienen 12 curvas.
5.7PROPIEDADES GENERALES DE LAS CURVAS DE REMANSO.Las siguientes propiedades son comunes a todas las curvas
1. Las curvas que tienen al tirante normal yn se acercan a ella asintóticamente.
En efecto, en la (Ec. 5.10):
21O ES Sdy
dx F
−=−
Si y tiende a yn el valor de SE tiende a SO lo que hace que:
Lim ( O ES S− ) = 0
ny y→
Y por lo cual: lim (dy/ dx) = 0
ny y→
2. Las curvas que tienden al tirante critico yc; se acercan a ella, en este punto, en
forma perpendicular a la línea del tirante critico yc
2lim (1 ) 0
C
F
y y
− =→
lim ( ( )
C
dy dx
y y
= ∞→
3. Cuando el tirante aumenta y tiende a ser muy grande las curvas tienden a ser
tangentes a una horizontal
2 22/3 2/3
. .lim lim ( ) lim ( ) 0
.E
n Q nS
R A R
∨= = =
y →∞ y →∞ y →∞
2 2 23
.lim lim( ) lim( ) 0
/ /
Q nF
gA T gA T
∨= = =
y →∞ y →∞ y →∞
lim (dy/dx) = SO
y →∞
Que corresponde a una línea horizontal que forma un ángulo θ (sen θ = SO) con
el fondo del canal (Fig. No 5.2) esto significa que la superficie del agua es
asintótica a la horizontal (curvas H2, A2)
5.8EJEMPLOS PRÁCTICOS DE CURVAS DE REMANSO.
En la Fig. No 5.6 se presentan algunos ejemplos prácticos de curvas de remanso o
perfiles del flujo y a continuación algunos comentarios acerca de dichos perfiles:
1. Perfiles tipo M
FIG. No 5.6
EJEMPLOS PRÁCTICOS DE PERFILES DE FLUJO
2. Perfiles tipo S
3. Perfil tipo C
4. Perfiles tipo H
5. Perfiles tipo A
5.9PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL TIPO DE CURVA DE REMANSO.Este procedimiento permite predecir la forma general del perfil del flujo lo que
constituye una parte muy significativa en todos los problemas de diseño de canal
para un flujo gradualmente variado. Las pautas que se sigue es como se indica:
1. Dibujar el perfil longitudinal del canal distorsionando las escalas vertical y
horizontal. Dado que un canal es una obra esencialmente lineal se deberá tener
una escala vertical mucho mayor que la horizontal, para hacer apreciable las
fluctuaciones de la curva de remanso o eje hidráulico.
2. En el perfil longitudinal marcar los cambios de pendiente y diferenciar los
distintos tramos que se origina, tanto por cambios de pendiente como por
cambios del tipo de material del fondo del canal.
3. Calcular yn y dibujar la línea de profundidad normal para cada tramo de acuerdo
a los datos particulares en cada uno. Hay que tener presente que de acuerdo a
la ecuación de Manning conjugada con la de continuidad:
22/12
5
3/5
2/13/5
).
()(.
.
S
nQ
P
Ayf
Pn
SAQ n ==→=
4. Calcular yc y dibujar la línea de profundidad critica para las secciones
transversales que se tengan. Recordar que de acuerdo a la ecuación general
para el flujo critico:3 32 2
( )C CC
C C
A AQ Qf y
g T T g= = =
5. Definir y ubicar las posibles secciones de control que se presenten a lo largo de
los tramos en estudio, entendiéndose como tales aquellas en que la altura de
agua depende de consideraciones distintas a las del movimiento gradualmente
variado (en el cual el tirante se calcula en función del caudal), y que determinan
puntos conocidos del eje hidráulico, tanto en ubicación, como en valor del tirante
real.
6. Establecer las condiciones de pendientes de fondo para cada tramo,
comparando el tirante normal con el crítico. Con esto se obtiene la letra de la
curva (M, C, S, H o A).
7. Establecer las condiciones de tirantes para cada tramo, comparando el tirante
real con el normal y el crítico. Con esto se establece la zona de generación de la
correspondiente curva de remanso, y por lo tanto el numero de la curva (1, 2 ó 3)
8. A partir de 6 y 7 se define el tipo de curva, con su marca y numero, para con
esto determinar su geometría usando el Cuadro No 5.1. Definido la geometría
del perfil y partiendo de la profundidad de control en cada sección de control,
trazar en cada tramo un perfil continuo.
9. Cuando el flujo es supercrítico en la porción aguas arriba de un tramo, pero
subcritico en la porción aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar la
profundidad critica en un lugar del tramo, esto se realiza a través del resalto
hidráulico.
5.10 SECCIÓN DE CONTROLSe conoce como sección de control a aquella sección particular de un canal en la
que la profundidad del flujo es conocida o pude ser controlada a un nivel requerido.
Este tipo de sección se conoce por dos elementos cuando es posible ubicarla
físicamente y además en donde el tirante real se puede calcular en función del
caudal.
Una sección crítica es una sección de control debido a que se puede establecer una
relación definida entre el tirante crítico y el gasto, esto a partir de la ecuación
general del flujo crítico.
Para el caso de una sección rectangular, se obtiene que la velocidad crítica es:
C Cgy∨ =
De otro lado, si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial,
ésta adquiere una celeridad c, es decir, una velocidad con respecto a la corriente,
que aproximadamente es igual a:
c gy=
Si se comparan los valores de la velocidad y celeridad, se observa que en el estado
crítico la velocidad es igual a la celeridad de dichas ondas. Si el régimen es
subcritico, la velocidad del flujo es menor que la critica y que la celeridad de dichas
ondas, por lo tanto, en este tipo de régimen, es posible la transmisión de disturbios
hacia aguas arriba; lo contrario acontece con el régimen supercrítico en el que los
disturbios solo se transmiten hacia aguas abajo.
Un mecanismo de control como una compuerta puede hacer sentir su influencia
hacia aguas arriba, es decir, el régimen subcritico está sujeto a un control desde
aguas abajo. Por el contrario, el régimen supercrítico no puede quedar influenciado
por lo que ocurre aguas abajo, y solo puede quedar controlado desde aguas arriba.
Para el cálculo del perfil del flujo variado se establece la sección de control que
proporcione las condiciones iniciales y se procede a calcular hacia aguas arriba de
la sección de control o hacia aguas abajo, según que el régimen en que se
desarrolla el perfil sea subcritico o supercrítico. Estas direcciones de cálculo se
indican en el Cuadro No 5.1 para todos los tipos de perfiles.
Algunos ejemplos de secciones de control son las presas, vertederos y compuertas
así como también la intersección bien definida de la línea del perfil de flujo y la
correspondiente al tirante critico, esto ultimo ocurre en el punto de cambio de
pendiente de dos tramos, el de aguas arriba de pendiente suave y el de aguas
debajo de pendiente fuerte, como se muestra en la Fig. No 5.7.
FIG. No 5.7
EJEMPLO DE UNA SECCIÓN DE CONTROL
5.11 MÉTODOS DE CÁLCULO.Una vez definido el tipo del perfil de flujo y los puntos de control se procede al
calculo numérico de los tirantes reales a lo largo del escurrimiento para cada uno de
los tramos con pendientes de fondo constante, en el Cuadro No 5.1 se indica el
sentido de cálculo a realizarse para cada tramo especificado.
El calculo de los perfiles del flujo gradualmente variado se realiza básicamente,
dando solución a la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado.
Existen varios procedimientos para el cálculo, los mismos que forma genérica se
pueden clasificar en tres métodos básicos, a saber:
• Método de Integración grafica
• Método de Integración directa
• Método numérico
MÉTODO DE INTEGRACIÓN GRAFICAEste método está basado en la integración artificial de la ecuación dinámica del flujo
gradualmente variado, mediante un procedimiento grafico.
EXPLICACIÓN DEL MÉTODOLa solución se refiere a la integral de la Ec. 5.13:
2
31
O ES Sdy
Q TdxgA
−=−
La cual se puede expresar en la forma:2
31
O E
Q T
gAdx dy
S S
−=
−(Ec. 5.14)
Donde:
Q, g, SO son constantes y T, A, SE son funciones del tirante y; por lo cual.2
31( )
O E
Q T
gAf y
S S
−=
−(Ec. 5.15)
Luego la Ec. 5.14 se puede escribir como:
dx = f(y) dy (Ec. 5.16)
Considerar dos secciones 1 y 2 de un canal a las distancias X1 y X2
respectivamente (medidos desde un origen arbitrario) y en las cuales se presentan
los tirantes y1, y2 (Fig. No 5.8)
FIG. No 5.8
TRAMO DE UN CANAL
La distancia a lo largo del fondo del canal será:
2 2
1 1
( )x y
dx f y dyx y
=∫ ∫
22 1
1
( )y
x x x f y dyy
∆ = − = ∫ (Ec. 5.17)
Uno de los conceptos elementales del cálculo integral aplicando la definición de
Riemann nos indica que:
2
1
( )y
f y dyy∫ es el área achurada A (Fig. No 5.9), formada por la curva, el eje y, y
las ordenadas de f(y) correspondiente a y1 e y2, es decir, f(y1) y f(y2):
FIG. No 5.9
ÁREA BAJO LA CURVA
De acuerdo a la Ec. 5.17 el valor de ∆x es igual al área sombreada, es decir:
2
1
( )y
x A f y dyy
∆ = = ∫Dicha área puede determinarse por medio de un planímetro, por el uso de la regla
de Simpson (considerando el área como un trapecio) o por cualquier otro
procedimiento que proporcione la precisión requerida.
El método se aplica a cualquier tipo de perfil de flujo en canales prismáticos y así
como a los no prismáticos de cualquier forma y pendiente.
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.El procedimiento de cálculo para este método es como sigue:
1. Construir la grafica f(y), para estos se fijan en forma adecuada los tirantes y,
considerando, en lo posible, un incremento constante y∆ (por ejemplo y= 2, 3, 5
o 10 cm); luego para cada valor de y, se calcula el correspondiente f(y). Estos
cálculos se resumen en el Cuadro No 5.2:
CUADRO NO 5.2
MODELO DE CALCULO PARA EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN GRAFICA
FIG. No 5.10
CURVAS f(y) PARA DIFERENTES CURVAS DE REMANSO
La curva se construye graficando la columna 1 contra la 9. Como información
adicional, en la Fig. 5.10, se muestra la forma de las curvas de f(y) para las
curvas de remanso generadas en pendiente suave y fuerte.
2. Evaluar las áreas parciales de la curva f(y) para cada dos valores consecutivos
de y, mediante el planímetro o realizando los cálculos geométricos al asumir a
las áreas parciales como trapecios; esto será mas aproximado cuanto mas
pequeño sea el y∆ . Las áreas parciales representan las distancias entre dos
secciones del canal, es decir, x∆ = A, los cuales se colocan en la columna 10
del Cuadro No 5.2.
3. Acumular las distancias obtenidas para cada tramo, a partir de la sección de
control considerada como punto de inicio de los cálculos, estos valores se
colocan en la columna 11.
MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA
La operación diferencial del flujo gradualmente variado, en cualquiera de sus
formas, no puede ser expresada explícitamente en términos del tirante y para
todos los tipos de sección de canal, entonces el cálculo en forma directa y exacta de
la ecuación no es posible en general. Sin embargo, se han introducido
simplificaciones que hacen posible la integración en casos particulares.
SOLUCIÓN DE BAKHMETEFF-VEN TE CHOWInicialmente se estudiaron métodos para la solución de canales típicos, entre los
que destacan los trabajos de Dupuit (1848) y Bresse (1860) que integraron la
ecuación para canales rectangulares muy anchos, y la de Tolkmitt (1898) para
canales parabólicas muy anchos, utilizando la formula de Chezy para expresar las
perdidas de frotamiento. En 1912 Bakhmeteff, inspirado en general por los trabajos
de Bresse y Tolkmitt propone una metodología que permite integrar la ecuación
para canales en forma cualquiera, introduciendo la llamada función de flujo variado.
En años posteriores, se continua con la idea de Bakhmeteff, eliminando algunas de
las limitaciones del método y tratando de lograr un procedimiento de calculo mas
directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos de Mononobe (1938),
Lee (1947), Von Seggern (1950), Chow (1955).
Una de las hipótesis fundamentales del método es la suposición que los llamados
exponentes hidráulicos se mantienen constantes en el tramo considerado.
A. PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN:Muchos investigadores ha sugerido procedimientos para definir el trabajo
originalmente desarrollado por Bakhmeteff; Ven Te Chow en particular, en base
al estudio de muchos de los trabajos expuestos anteriormente, desarrolló un
método que permite extender y consolidar la solución de Bakhmeteff
manteniendo la misma forma de la función de flujo variado.
El procedimiento que se presenta a continuación es valido principalmente para
canales prismáticos para cualquier tipo de sección transversal.
1. Planteo de la ecuación:
2
3
1
1
E
OO
S
SdyS
Q TdxgA
−=
−
La cual puede expresarse como:
dy
S
SgA
TQ
Sdx
E
.1
1
.1
0
3
2
0 −
−= (Ec. 5.18)
2. Transformación de la ecuación en términos de y, yn, yc, N y M: En la formula
de Manning
2/3 1/21Q AR S
n=
2/31K AR
n= (Ec. 5.19)
21/2 2 Q
Q K S KS
= = (Ec. 5.20)
2 2/3 21( ) NK A R C yn
= =
22 NQ
K C yS
= =
2
E N
QS
C y= (Ec. 5.22)
2
O Nn
QS
C y= (Ec. 5.23)
Dividiendo la Ec. 5.22 entre la Ec. 5.23, se tiene:2
2
NE
ONn
Q
S C y
QSC y
=
( )NnE
O
yS
S y= (Ec. 5.24)
Se define como factor de sección Z a:
−= yAZ
T
AZTAAZ
32/ =→=
De la ecuación general para el flujo critico, se tiene:
232
cc
ZT
A
g
Q ==
Es decir:
g
QZ c
22 = (Ec. 5.26)
Dividiendo (Ec. 5.26) ÷ (Ec. 5.25), resulta:
De donde:2
3
2
.
.
=
Z
Z
Ag
TQ c (Ec. 5.27)
De otro lado, la ecuación (Ec. 5.25), desde que el factor de sección Z es una
función del tirante, se puede suponer que:
MyCT
AZ .
32 == (Ec. 5.28)
Donde:
C = Coeficiente de proporcionalidad
M = Exponente hidráulico para cálculos de flujo critico que depende de la
forma de la sección y del tirante.
En caso de flujo critico, se tiene:McyCZ c .2 = (Ec. 5.29)
Dividiendo (Ec. 5.29) ÷ (Ec. 5.28), resulta:M
nc
y
y
Z
Z
= (Ec. 5.30)
Igualando (Ec. 5.27) y (Ec. 5.30), se obtiene:2
3
2
.
.
=
y
y
Ag
TQ c (Ec. 5.31)
Sustituyendo (Ec. 5.31) y (Ec. 5.24) en (Ec. 5.18), resulta:
dy
y
ycy
yc
Sdx
N
M
−
−=
)(1
)(11
0
(Ec. 5.32)
3. Artificio de integración:
Haciendo:
nn
yu dy y du
y= ⇒ = (Ec. 5.33)
Luego:
1ny
y u= (Ec. 5.34)
uy
y
y
y
y
y
y
y
n
cn
n
cc 1.. == (Ec. 5.35)
Sustituyendo (Ec. 5.33), (Ec. 5.34) y (Ec. 5.35) en (Ec. 5.32), se obtiene:
duy
u
uy
y
Sdx n
N
MM
n
c
−
−=
11
1.)(1
1
0
( )
1
M M N MC
nnN
O
yu u
yydx du
S u
− −
= −
duu
uy
yu
S
ydx
N
MNM
n
cM
n
−
−=
−
1
.)(
0
Descomponiendo la fracción en suma algebraica de fracciones, además
sumando y restando 1 al numerado del primer sumando se tiene:
1 1( )
1 1
M N MMn C
N NO n
y yu udx du
S u y u
− − += − − −
11 ( )
1 1
N MMn C
N NO n
y y udx du
S u y u
− = + − − −
Cambiando de signo a las denominaciones, las fracciones cambian de signo:
−
+
−−=
−
N
MNM
n
cN
n
u
u
y
y
uS
ydx
1.
1
11
0
(Ec. 5.36)
Esta ecuación puede integrarse para toda la longitud x del perfil del flujo.
Debido a que el cambio de tirante en un flujo gradualmente variado
generalmente es pequeño, los exponentes hidráulicos N y M se pueden
suponer constantes dentro de los límites de integración.
Cuando los exponentes hidráulicos son notablemente dependientes de y en
los limites del tramo dado, este deberá subdividirse en otros tramos para
realizar la integración; entonces, en cada tramo, los exponentes se pueden
considerar constantes. Integrando la ecuación anterior, se tiene:
cteduu
u
y
y
u
duu
S
yx
u
N
MNu
M
n
cN
n +
−
+
−−= ∫∫
−
000 11
(Ec. 5.37)
La primera integral de la Ec. 5.37 depende solo de u y N y se designa por:
( , )1 N
u duF u N
o u=
−∫ (Ec. 5.38)
La cual se conoce como función de flujo variado de Bakhmeteff y se
encuentra tabulada en la Tabla B-1 del apéndice B (Hidráulica de Canales;
Ven Te Chow), ésta fue preparada inicialmente por Bakhmeteff en los años
1914-1915.
Chow pudo transformar la segunda integral de la Ec. 5.37:
1 N
u dudu
o u−∫ (Ec. 5.39)
En la forma de la función de flujo variado, con el siguiente artificio:
Haciendo:
a) ⇒=⇒= NJJN vuuv //
dvvN
Jdu
vu
vu
NJ
MNNJMN
JN
1/
))(/(
−
−−
=
==
(Ec. 5.40)
b) ( 1) 11
N JJ N M
N M N= ⇒ − + =
− +(Ec. 5.41)
Sustituyendo (Ec. 5.40) y (Ec. 5.41) en (Ec. 5.39), se tiene:
( )1
1 1
JN M JN M N
NN J
u u Jdu d
o ou N
−− −∨ ∨= ∨ ∨ =− − ∨∫ ∫
∫ −=
−+−v
J
N
JMN
N
J
dvv
v
N
J0
1)(
1
Pero:
( ) 1 ( 1) 1 1 1 0J J J
N M N MN N N
− + − = − + − = − =
Luego:0
( , )1 1 1
N M
N J J
u u J J d Jdu d F J
o o ou N N N
− ∨ ∨∨ ∨= ∨ = = ∨− −∨ −∨∫ ∫ ∫ (Ec. 5.42)
Donde:
( , )1 J
dF J
o
∨ ∨∨ =−∨∫
Es la misma función de flujo variado de Bakhmeteff excepto que las variables
u y N reemplazan por v y J respectivamente.
Sustituyendo (Ec. 5.38) y (Ec. 5.42) en (Ec. 5.37), y usando la notación para
las funciones de flujo variado, se tiene:
cteJvFN
J
y
yNuFu
S
yx
M
n
cn +
+−= ),(.),(
0
(Ec. 5.43)
La (Ec. 5.43) proporciona la distancia X que existe entre la sección
considerada y un punto arbitrario. Si se aplica esta ecuación entre dos
secciones consecutivas 1 y 2 de características conocidas, es decir,
colocando los límites de integración, la distancia L que existe entre estas
secciones es:
[ ] [ ]),(),(),(),()( 1212120
12 JvFJvFN
J
y
yNuFNuFuu
S
yxxL
M
n
cn −
+−−−=−=
Donde:
L = x2 – x1 = Distancia entre las secciones consecutivas 1 y 2 de
características conocidas.
1
n
yu
y= = Relación entre el tirante de una sección cualquiera y el tirante
normal
yn = Tirante normal
yc = Tirante critico
SO = Pendiente del fondo
M y N = Exponentes hidráulicos, son funciones de la geometría de la sección y
del tirante de agua. Las ecuaciones para su calculo (Ec. 5.49) y (Ec. 5.52),
para secciones trapezoidales se deducirán en la sección siguiente.
( , )1 N
u duF u N
o u=
−∫ = Función del flujo variado, calculado por Bakhmeteff,
cuyos valores se muestran en la Tabla A-1(Hidráulica de Canales: Máximo
Villón)
v y J = Variables introducidas por Ven Te Chow, siendo: /N Ju∨ =
1
NJ
N M=
+ +
( , )1 J
u dF j
o
∨∨ =− ∨∫ = Función del flujo variado, se calcula con la misma tabla
de Bakhmeteff entrando con los valores de v y J, en lugar de u y N.
B. CALCULO DE LAS EXPRESIONES DE LOS EXPONENTES HIDRAULICOS MY N.1. Calculo del exponente hidráulico N:
De la Ec. 5.21), se tiene:
2 4/32
1 NA R C yn
= (Ec. 5.45)
Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, resulta:
2
1 41 ( ) 2 1 1 1 1
3n n A n R n C N n y
n+ + = + (Ec. 5.46)
Derivando con respecto a y , se obtiene:
1 4 1 12
3
dA dRN
A dy R dy y+ = • (Ec. 5.47)
Pero: Tdy
dA =
Además:
2 12
( )dR d A dP dA T A dP
A P Pdy dy P dy dy P P dy
− −= = − + = −
Sustituyendo valores en (Ec. 5.47), se tiene:
2
2 4( )
3
T P T A dP N
A A P P dy y+ • − =
22 ( )
3
T A dPN y T
A A P dy
= + −
2 23 2
3
y A dPN T T
A P dy
= + −
2 25
3
y A dPN T
A P dy
= −
Para una sección trapezoidal, se cumple que:
( )A b Zy y= +
2T b Zy= +
22 1212 Zdy
dPZybP +=⇒++=
Con esto, la (Ec. 5.48), toma la forma:
+
+++−+
+= 2
212
12
)(2)2(5
).(3
2Z
yZb
yZybZyb
yZyb
yN
+++−
+
+=yZb
yZ
Zyb
ZybN
2
2
12
1
3
82
3
10
Dividiendo ambos miembros de las fracciones entre b , se obtiene:
2
2
1 ( / )10 1 2 ( / ) 8
3 1 ( / ) 3 1 2 1 ( / )
Z y bZ y bN
Z y b Z y b
+ += − + + + (Ec. 5.49)
Esta ecuación indica que N no es constante sino que varia con el tirante. En el
Cuadro No 5.2 se muestra los valores de N para secciones rectangulares (z =
0) y trapezoidales, la Fig. No 5.10 permite calcular estos valores para
secciones rectangulares, trapezoidales y circulares.
CUADRO No 5.2
VALORES DE N PARA CANALES RECTANGULARES
FIGURA No 5.11
CURVA DE VALORES DE N
2. Calculo del exponente hidráulico M:
De la (Ec. 5.28), se tiene:3
MAC y
T= (Ec. 5.50)
Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, se obtiene:
3ln A - ln T = ln C + M ln y
Derivando respecto a y , se tiene:
3 1dA dT M
A dy T dy y=
(3 )y dA A dT
MA dy T dy
= − (Ec. 5.51)
Para una sección trapezoidal, se cumple que:
( ) 2dA
A b Zy y b Zydy
= + ⇒ = +
Zdy
dTZybT 22 =→+=
Sustituyendo en la (Ec. 5.51), se tiene:
yM =
( )b Zy y+( )
3( 2 ) (2 )2
b Zy yb Zy Z
b Zy
++ − • +
23( 2 ) 2 ( )
( 2 ) ( )
b Zy Zy b ZyM
b Zy b Zy
+ − +=+ +
Dividiendo ambos miembros de la fracción entre b2, se obtiene:
[ ] [ ][ ][ ])/(1)/(21
)/(1)/(2/(213 2
byZbyZ
byZbyZbyZM
+++−+= (Ec. 5.52)
Esta ecuación indica que si Z=0 (sección rectangular) M=3, pero, para una
sección trapezoidal M varía con el tirante.
En el Cuadro No 5.3, se muestra valores de M para secciones trapezoidales y
la Fig. No 5.12 permite calcular éstos valores para secciones trapezoidales y
circulares.
CUADRO No 5.3
VALORES DE M PARA CANALES TRAPEZOIDALES
FIGURA No 5.12
CURVA DE VALORES DE M
C. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.Para determinar el perfil, el canal se divide en un número de tramos, de tal forma
que en cada tramo las secciones 1 y 2 consideradas deben estar a una distancia
tal que los exponentes hidráulicos M y N se mantienen constantes.
La longitud de cada tramo se calcula de la (Ec. 5.44) a partir de los tirantes
conocidos o supuestos en los extremos del tramo.
La aplicación de este procedimiento requiere la siguiente operatoria:
1. Calcular el tirante normal yn y el tirante critico yc en el tramo a partir de Q y
SO.
2. Calcular los exponentes hidráulicos N y M para un tirante promedio a partir
de los tirantes en los extremos, es decir, para 1 2
2
y yy
+= :
Estos valores se pueden determinar haciendo uso de las Ec. 5.49 y Ec. 5.52,
o las Fig. No 5.11 y Fig. No 5.12 o los Cuadros No 5.2 y No 5.3.
3. Calcular1
NJ
N M=
+ +
4. Calcular para la sección inicial y final del tramo los valores de:
/N J
n
yu y u
y= ∨ =
5. Calcular las funciones de flujo variado F(u, N) y F(v, J) con ayuda de la Tabla
A-1 del apéndice B. (Hidráulica de Canales: Máximo Villón).
6. Aplicar la (Ec. 5.44) para obtener la longitud del tramo que separa las dos
secciones extremas.
SOLUCION DE BRESSE:En 1860 Bresse introdujo ciertas hipótesis que permitieron una simplificación e
integración matemática de la expresión diferencial del flujo gradualmente variado.
Esta solución es un caso particular, en la que la hipótesis fundamental es la de
considerar una sección rectangular muy ancha, es decir, donde R 0 y.
En efecto dada la sección rectangular:
A = by
P = b + 2y
T = b
2 1 2
by yR
yb yb
= =+ +
En la cual si b >> y → y/b ≈ 0 ∴ R = y
A. PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN.Bresse utilizó la formula de Chezy para expresar las pérdidas de frotamiento,
considerado el C de Chezy constante, pero para los cálculos que se requieren,
aquí se utiliza la relación propuesta por Manning, es decir: 1/6 /C R n=
1. Planteamiento de la ecuación
La ecuación diferencial del flujo variado, de acuerdo a la (Ec. 5.18), se puede
expresar como:2
311
1 EO
O
Q T
gAdx dy
SSS
−=
−(Ec. 5.54)
2. Conversión de la ecuación en términos de y , yn, yc; la ecuación del caudal
de acuerdo a la formula de Chezy se expresa;1/2 1/2
E EQ C A RS C A R S= =
Donde para una sección rectangular muy ancha, se tiene:
A = by, R = y
Luego:1/2 1/2
EQ C b y y S=
De donde:2
2 2 3E
QS
C b y= (Ec. 5.55)
En el caso de un flujo uniforme: y = yn y SE = SO, luego2
2 2 3On
QS
C b y= (Ec. 5.56)
Dividiendo (Ec. 5.55) ÷ (Ec. 5.56), resulta:
3( )nE
O
yS
S y= (Ec. 5.57)
De otro lado, en la relación:
TA
gQ
gA
TQ
/
/3
2
3
2
=
Usando la ecuación general del flujo critico:32C
C
AQ
g T=
Se tiene:32
3 3
/
/CA TQ T
gA A T=
Y para el caso de una sección rectangular, se obtiene:3 32
3 3 3
/
/Cb y bQ T
gA b y b=
23
3( )CyQ T
gA y= (Ec. 5.58)
Sustituyendo (Ec. 5.58) en (Ec. 5.54), resulta
3
3
1 ( )1
1 ( )
C
nO
y
ydx dy
ySy
− =
−
(Ec. 5.59)
Si se compara la (Ec. 5.59) con la (Ec. 5.32) se observa que en forma son
iguales, siendo N = M = 3 para el caso particular de que se trate de una
sección rectangular muy ancha.
3. Artificio de Integración:
Haciendo:
n
yZ dy y d Z
yn= ⇒ =
Además:
1ny
y Z=
1C C C Cy y y y
y y y y Z= • = •
Sustituyendo estos valores en (59), resulta:
33
3
11 ( )
11
1
C
nn
O
y
y Zdx y dZ
SZ
− • = −
3 3
3
3
3
( / )
1
C n
n
O
Z y yy Zdx dZ
ZSZ
−
= −
3 3
3
( / )
1n C n
O
y Z y ydx dZ
S Z
−= − 3 3
3
1 1 ( / )
1n C n
O
y Z y ydx dZ
S Z
− + −= − 3
3
1 ( / )1
1n C n
O
y y ydx dZ
S Z
−= + −
3
3
1 ( / )1
1n C n
O
y y ydx dZ
S Z
−= − −
33
1 ( / )1
nC n
O
y dZdx dz y y
S Z
= − − − ∫ ∫ ∫
{ }31 ( / ) ( )nC n
O
yx Z y y Z cte
S = − − ∅ + (Ec. 5.60)
Aplicando la (Ec. 5.60) entre dos secciones consecutivas 1 y 2 de
características conocidas, la distancia L que los separa es:
[ ]{ }32 1 2 1 2 1/ ( ) 1 ( / ) ( ) ( )n O C nL x x y S Z Z y y Z Z = − = − − − ∅ − ∅
Donde:
x = Distancia de la sección desde un origen arbitrario.
L = x2-x1 = Distancia entre las secciones consecutivas 1 y 2
yn, yc = Tirante normal y critico respectivamente.
Z = y/yn = Relación entre el tirante en una sección cualquiera y el tirante
normal.
SO = Pendiente del fondo.
cteZ
garcZ
ZZ
Z
dZZ +
+−
−++=
−= ∫ 12
3tan.
3
1
)1(
1ln
6
1
1)(
2
2
3 (Ec. 5.62)
Φ(z) = Función del flujo gradualmente variado calculado por Bresse y cuyos
valores se muestran en el Cuadro No 5.4.
4. Conversión de (yc/yn)3 a C2 SO/g:
Con fines de hacer más convenientemente el cálculo el término (yc/yn)3 se
puede expresar como C2SO/g, mediante el siguiente proceso:
De la ecuación (Ec. 5.56), se tiene:2
32 2n
O
Qy
C S b=
Y para una sección rectangular, resulta:32C
C
AQ
g T=
3 32Cb yQ
g b=
2
23
gb
Qyc = (Ec. 5.64)
Dividiendo (Ec. 5.64) ÷ (Ec.5.63), se obtiene:2
3( )C O
n
y C S
y g= (Ec. 5.65)
Sustituyendo (Ec. 5.64) en (Ec. 5.59), se tiene:
[ ] cteZgSCZS
yx n +−−= )()/.1( 0
2
0
21( ) ( )n
nO O
y Cx Z y Z cte
S S g= − − ∅ + (Ec. 5.66)
Aplicando la (Ec. 5.66) entre dos secciones consecutivas 1 y 2 de
características conocidas, la distancia L que los separa es:
[ ]22 1 2 1 2 1/ ( ) (1/ / ) ( ) ( )n O n OL x x y S Z Z y S C g Z Z= − = − − − ∅ − ∅ (Ec. 5.67)
B. USO PRÁCTICO DE LAS ECUACIONES.1. Las Ec. 5.61 y Ec. 5.67 se pueden usar para el calculo de la longitud entre 2
secciones, pueden ser consecutivas o extremas (longitud total de la curva de
remanso).
2. Las Ec. 5.60 y Ec. 5.66 resultan más convenientes para el cálculo del perfil,
en este caso, la distancia desde el origen se calcula por diferencia.
3. El coeficiente C de Chezy se mantiene constante durante los cálculos su
valor se encuentra con la relación propuesta por Manning, es decir:1/6 1/6/ /C R n y n= =
Donde y es el valor promedio de los tirantes extremos y1, y2, o sea:
1 2
2
y yy
+=
MÉTODO NUMÉRICO:El método numérico es el que tiene aplicaciones mas amplias debido a que es
adecuado para el análisis de perfiles de flujo tanto en canales prismáticos como no
prismáticos. Se caracteriza porque para el calculo se divide el canal en pequeños
tramos y se calcula cada tramo uno a continuación de otro.
Existen diversos métodos que permiten integral en forma numérica la ecuación del
flujo permanente gradualmente variado. La aplicabilidad o conveniencia de cada
uno de las características de la situación particular a resolver.
Los métodos de integración numérica mas utilizada son el método directo por
tramos y el método de tramos fijos.
MÉTODO DIRECTO POR TRAMOSEste método es simple y aplicable a canales prismáticos. Se utiliza para calcular la
distancia Δx del tramo a la cual se presenta un tirante y2 (conocido o fijado por el
calculista) a partir de una tirante y1 conocido y los demás datos.
A. DEDUCCIÓN DE LA FORMULA.1. Si se considera un tramo del canal con secciones 1 y 2 separadas entre sí una
distancia Δx, como se muestra en la Fig. No 5.13.
FIGURA No 5.12
CURVA DE VALORES DE M
La ley de conservación de energía establece que:2 21 2
2 1 2 2 1 22 2 fz y z y h
g g ∨ ∨+ + = + + + − (Ec. 5.68)
2. Para ángulos pequeños se cumple que:
1 2O
Z Ztg sen S
x −= = =
∆
Es decir:
1 2 OZ Z S x− = ∆
3. De acuerdo al concepto de energía especifica, energía referida al fondo del canal,
se puede escribir:21
1 2E y
g ∨= +
4. Si en el tramo no existen singularidades, la perdida de energía hf1-2, se debe
exclusivamente a la fricción, por lo tanto:
f1 2
2h
1 ES dx− = ∫Si las secciones 1 y 2 están suficientemente cercanas puede aproximarse:
1 2
f1 2h2
E EE
S Sx S x−
+= ∆ = ∆
5. Sustituyendo valores en la Ec. 5.68 y resolviendo para x∆ , se tiene:
1 2 EOS x E E S x∆ + = + ∆ (Ec. 5.69)
2 1EOS x S x E E∆ − ∆ = − (Ec. 5.70)
2 1( )EOS S x E E− ∆ = − (Ec. 5.71)
2 1
EO
E Ex
S S
−∆ =−
(Ec. 5.72)
Donde:
x∆ = distancia del tramo desde una sección 1 de características conocidas
hasta otra en que se produce un tirante y2.
2 1E E− = energía especifica (E = y + α v2/2g) para los tramos 1 y 2
OS = pendiente del fondo del canal
ES = pendiente promedio de la línea de energía
1 2
2E E
E
S SS
+=
22/3
.( )E
nS
R
∨=
B. PROCEDIMIENTO DE CALCULOEl procedimiento a seguir es como se indica:
1. Comenzar el calculo en una sección cuyas características del escurrimiento
sean conocidas (sección de control) y avanzar hacia donde esa sección de
control ejerce su influencia.
2. Calcular en esa sección la energía especifica: 21 1 1 /2E y g= + ∨ y la pendiente
de la línea de energía1ES con la formula de Manning
3. Darse un incremento de tirante Δy arbitrario de acuerdo a la tendencia del
perfil de flujo y calcular y2 = y1+Δy, para este tirante calcular la energía
especifica E2 y la pendiente de la línea de energía2ES
4. Calcular la pendiente de la línea de energía promedio en el tramo, es decir:
1 2
2E E
E
S SS
+=
5. Calcular Δx mediante la ecuación:
2 1
E EO O
E E Ex
S S S S
− ∆∆ = =− −
Si x∆ es positivo el cálculo se habrá avanzado hacia aguas abajo y si es
negativo hacia aguas arriba.
En general para variaciones de Δy pequeñas, el cálculo de ΔE resulta
conveniente calcular como:2
(1 )E y F∆ = ∆ − (Ec. 5.73)
Donde F es el número de Froude promedio en el tramo, es decir:
1 2
2
F FF
+=
/F
gA T
∨=
6. Tabulación de datos
Para el cálculo manual cuando se efectúan aplicaciones sucesivas a lo largo
del canal, resulta conveniente elaborar una tabla con el fin de abreviar los
cálculos. Una forma adecuada para la tabulación, se muestra en el Cuadro No
5.5.
CUADRO No 5.4
CUADRO PARA EL MÉTODO DIRECTO POR TRAMOS
Explicación de la tabla:
Fila 1: A partir de un valor conocido para y1 se calcula los valores
correspondientes a las columnas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, donde:2/ , /2Q A E y g∨ = = + ∨
Los valores de las columnas 9, 11, 12 y 13 no se pueden calcular porque
necesitan cálculos con y2
El valor inicial de L1 puede ser el dato correspondiente al cadenamiento de la
sección inicial de la aplicación, o bien ser un valor fijado por el calculista, por
ejemplo L1 = 0
Fila 2: A partir de un valor para y2 se calculan los valores correspondientes a
las columnas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 10 al igual como se hizo para y1 el valor de
la columna 9 se determina a partir de los obtenidos en la columna 8 para las
filas 1 y 2, considerando los subíndices apropiados. El valor de la columna 11
se determina con los obtenidos en la columna 10 para las filas 1 y 2.
El valor de la columna 12 se obtiene con lo obtenido en la columna 11 y el
dato de pendiente del canal SO.
El valor de la columna 13 se obtiene con la (Ec. 5.72). Mientras que el valor de
la columna 14 se obtiene acumulando los valores de Δx que se vayan
encontrando en cada aplicación.
Las demás filas de la tabla se calculan en forma similar, considerando para
cada tramo el primer valor del tirante para la fila 1 y el segundo valor para la
fila 2.
MÉTODO DE TRAMOS FIJOS.Este método es aplicable tanto para canales prismáticos como no prismáticos. Se
utiliza para calcular el tirante y2 que se presenta en una sección 2 previamente
especificado de un tramo de longitud Δx a partir del tirante conocido y1 en la sección
1, y los demás datos.
A. ECUACIÓN DEL MÉTODO:La ecuación de este método es en esencia la misma del método directo por
tramos, salvo en la forma final, esto es, en función de la variable a calcular, así
de la Ec. 5.69, se tiene:
1 2 EOS x E E S x∆ + = + ∆ (Ec. 5.74)
Donde:2
22
/22
QE y g y
gA= + ∨ = + (Ec. 5.75)
1 2
2E E
E
S SS
+= (Ec. 5.76)
2 22 2 2 2/3
2/3 2/3 5
. .( ) . ( )
( / )E
n Q n PS Q n
R A A P A
∨= = =
(Ec. 5.77)
Δx = distancia especificada del tramo desde una sección 1 de características
conocidas hasta la sección 2 donde el tirante es desconocido.
B. PROCEDIMIENTO DE CALCULO:Conocidas las características hidráulicas en la sección 1 y la longitud del tramo
Δx, la cual es (+) si los cálculos se realizan hacia aguas abajo y (-) hacia aguas
arriba de la sección 1, el procedimiento consiste en suponer un valor tentativo
del tirante y2 en la sección 2 y ajustar por tanteos dicho valor hasta que con
algún valor supuesto de éste se satisfaga la igualdad de los dos miembros de la
Ec. 5.74.
Para ordenar los cálculos es conveniente tabular los resultados en una tabla
como la que se muestra en el Cuadro No 5.5.
CUADRO No 5.5
CUADRO PARA EL MÉTODO DE TRAMOS FIJOS
El significado de cada columna es como sigue:
Columna 1: kilometraje que define la sección de cálculo. El valor inicial de x,
puede ser el dato correspondiente al cadenamiento de la sección inicial de la
aplicación, o bien en un valor fijado por el calculista, por ejemplo 0, los valores
siguientes se obtiene acumulando los Δx.
Columna 2: valor de Δx entre la sección en estudio y la sección anterior
generalmente constante.
Columna 3: pendiente de fondo x columna 2, generalmente constante
Columna 4: profundidad en la sección. En la fila 1, para un y1 conocido se
calculan los valores de las columnas 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13, los valores de
las columnas 14, 15 y 16 no se pueden calcular porque se requieren cálculos
con y2. En la fila 2 para un y2 supuesto se calculan los valores de las columnas
desde la 5 hasta la 16
Columna 5: A = (b +zy) y
Columna 6: 22 1P b z y= + +
Columna 7: R = A/P
Columna 8: radio hidráulico a la 2/3, sin comentario
Columna 9: v = Q/A
Columna 10: carga de velocidad, sin comentario
Columna 11: E = y + v2/2g (col 4 + col 10)
Columna 12: primer miembro de la ecuación 75 (col 3 + col 11)
Columna 13: 22/3
.( )E
nS
R
∨=
Columna 14: 1 2
2E E
E
S SS
+= (promedio de los valores de la columna 13 para las
filas 1 y 2)
Columna 15: columna 14 por columna 2
Columna 16: segundo miembro de la ecuación (75) (col 11 + col 15 de la fila 2)
El valor supuesto de y2 será el adecuado, si el resultado obtenido en la columna
16 para la fila 2 es igual o suficientemente próximo al de la columna 12 para la
fila 1. En caso de que no lo fuera, toda la línea de cálculos de la fila 2 debe ser
eliminada y se debe comenzar nuevamente los cálculos con otro valor tentativo
de y2 hasta que se cumpla con la igualdad de valores de las columnas 16 y 12
Para las aplicaciones sucesivas el tirante y2 encontrado se tomará el
correspondiente para y1 y con este valor conocido se aplicará el mismo
procedimiento para calcular el nuevo y2, así hasta terminar con los tramos
necesarios.
Para simplificar el calculo de y2, resulta conveniente expresar la Ec. 5.74 en f(y2),
así sustituyendo las Ec. 5.75 y Ec. 5.76 en Ec. 5.74, se obtiene:
1 2
2 2
1 22 21 2
. .2 2 2 2O E E
Q Q x xS x y y S S
gA gA
∆ ∆∆ + + = + + +
1 2
2 2
1 22 21 22 2 2 2O E E
Q x Q xS x y S y S
gA gA
∆ ∆∆ + + − = + + (Ec. 5.78)
Reemplazando (Ec. 5.77) en (Ec. 5.78), resulta:22 2
2 2 2/311 22 5 2
1 1 2
. . ( )2 2 2O
PQ x QS x y Q n y
gA A gA
∆∆ + + − = + +
22 2 2/31
51
. . ( )2
PxQ n
A
∆ (Ec. 5.79)
En la (Ec. 5.79) si SO, Δx, y1, Q son datos, el primer miembro es un valor
constante C, es decir:22 2 2
2/311 2 5
1 1
. .. ( )
2 2O
PQ x Q nC S x y
gA A
∆= ∆ + + − (Ec. 5.80)
Y el segundo miembro es una función de y2, con lo cual se tiene:22 2 2
2/312 2 2 5
2 1
. .( ) ( )
2 2
PQ x Q nf y y C
gA A
∆= + + = (Ec. 5.81)
La (Ec. 5.81) se puede resolver por tanteos, dando valores a y2 y calculando el
valor de 2( )f y para lo cual se puede hacer la siguiente tabla:
La solución adecuada para y2 será aquella que se hace que:
2( )f y = C