ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

INTRODUCCIN

El flujo gradualmente variado es un fenmeno que se presenta cuando el tirante de un

flujo vara a lo largo del canal con un gasto siempre constante, disminuyendo o

incrementndose dependiendo del tipo de flujo que se presenta, ya sea flujo

gradualmente acelerado (abatimiento) o flujo gradualmente retardado (remanso).

Las causas que producen el flujo gradualmente variado pueden ser diversas, entre ellas

pueden mencionarse a: cambios en la seccin geomtrica, cambios de la pendiente,

cambios en la rugosidad de las paredes y/o fondos, curvas horizontales en el trazo,

obstrucciones del rea hidrulica, etc.

Fundamentalmente en los problemas relacionados con el flujo gradualmente variado, se

desea calcular la distancia existente entre dos tirantes dados o los tirantes extremos entre

una distancia determinada; habiendo sido desarrollados diversos mtodos de clculo.

OBJETIVOS

Entender el comportamiento de flujo gradualmente variado, la influencia de los

controles que lo generan e identificar correctamente los perfiles de flujo que se

pueden presentar en canales.

Aplicar modelos matemticos desarrollados para el clculo de perfiles de flujo

gradualmente variado, contrastndolos con las mediciones realizadas en el

laboratorio.

Analizar perfiles de flujo experimentales y compararlos con resultados tericos.

PRINCIPIOS TERICOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Es el flujo permanente cuya profundidad varia de manera gradual a lo largo de la

longitud del canal. Esta definicin establece dos condiciones:

1) El flujo es permanente; es decir, las caractersticas hidrulicas de flujo

permanecen constantes para el intervalo de tiempo bajo consideracin.

2) Las lneas de corriente son paralelas; es decir, prevalece la distribucin

hidrosttica de presiones sobre la seccin del canal.

El flujo gradualmente variado puede ser de dos tipos:

Flujo variado retardado.- se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por

ende aumenta la profundidad en el sentido de la corriente.

Flujo variado acelerado.- se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta por ende

la profundidad del flujo disminuye en sentido de la corriente. Ocurre cuando la

pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando existe una cada vertical.

DERIVACIN DE LA ECUACIN PARA LA SUPERFICIE LIBRE EN FLUJO

GRADUALMENTE VARIADO

En el anlisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el comportamiento de

los perfiles de la lmina de agua. Esto se puede hacer con un anlisis del

comportamiento de la pendiente de la superficie del agua en funcin de las variables

geomtricas e hidrulicas del flujo, como se analizara a continuacin a partir de la

siguiente figura.

En cualquier seccin transversal la energa total H est dado por la expresin:

En donde:

H: energa total.

V: velocidad de flujo.

Y: energa de presin (P/ ).

Z: posicin respecto al plano de referencia.

Derivando la ecuacin (1) con respecto a x (distancia longitudinal) y considerando un

sistema de referencia (x,Y) con incrementos positivos hacia la derecha y hacia arriba

respectivamente, se obtiene:

.(2)

Donde

es el cambio de la energa respecto a la distancia x, es decir la pendiente de

friccin.

Viene a ser el cambio de la energa

cintica respecto a la distancia (x).

Es el cambio de elevacin del fondo del canal con respecto a la distancia, o

pendiente del fondo del canal.

Ahora escribiendo la ecuacin 2 en funcin de la variacin de la profundidad del flujo

con respecto a la distancia:

De aqu obtenemos:

CLASIFICACIN DE PERFILES EN FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

A efectos de identificar el comportamiento de la superficie libre en flujo gradualmente

variado, los perfiles se clasifican en funcin de su pendiente de fondo y tambin de su

rugosidad y el caudal que circula por ellos.

La pendiente crtica (Sc) resulta ser aquella pendiente para la cual en un canal de

geometra y rugosidad conocidas, por el que circula un caudal Q, el tirante normal

coincide con el tirante crtico.

1) En el caso que la pendiente de fondo sea negativa (S0 < 0), esto es la cota del

fondo del canal crece en la direccin del flujo, se clasifica como perfil tipo A

(pendiente adversa).

2) En el caso que la pendiente de fondo valga cero (S0 = 0), esto es canal de fondo

horizontal, se clasifica como perfil tipo H (pendiente nula).

3) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta igual a la pendiente crtica

(S0 = Sc), el perfil se clasifica como tipo C (pendiente crtica). Obsrvese que

esto implica (Yn = Yc).

4) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta mayor que la pendiente crtica

(S0 > Sc), el perfil se clasifica como tipo S (pendiente fuerte). Se verifica en

este caso (Yn < Yc).

5) Cuando la pendiente de fondo del canal resulta menor que la pendiente crtica

(S0 < Sc), el canal se clasifica como tipo M (pendiente suave). En esta

condicin se cumple (Yn > Yc).

En el caso de pendiente cero no existe la posibilidad de flujo uniforme; en efecto, para

S0 = 0 el tirante normal es Yn = . Para S0 S0 corresponde a Y < Yn y Sf < S0 corresponde a Y > Yn.

FR > 1 corresponde a Y < Yc y FR < 1 corresponde a Y > Yc.

Con la ayuda de estas desigualdades se puede observar fcilmente como se afecta el

comportamiento de dY/dx, al cambiar las magnitudes de Y, Yn y Yc.

Cualquiera que sea la pendiente, el gasto y la seccin del canal, las lneas que indican la

altura del tirante normal y del tirante critico respecto de la plantilla, dividen al espacio

en que puede desarrollarse el perfil del flujo en tres zonas, llamadas:

Zona 1. El espacio arriba de la lnea superior.

Zona 2. El espacio entre las dos lneas.

Zona 3. El espacio debajo de la lnea inferior.

En ciertos casos, algunas zonas pueden desaparecer, por ejemplo, la 2 cuando la

pendiente es crtica y Yn = Yc. Sin embargo, las restantes mantienen el nmero de la

zona antes asignado.

Dentro de cada zona queda alojado cualquier perfil, de modo que si:

El perfil de la superficie libre diverge de la plantilla.

El perfil de la superficie libre es paralelo a la plantilla.

El perfil de la superficie libre converge con la plantilla.

Esto significa que existen diferentes formas para el perfil del flujo gradualmente variado

(doce en total). La forma o tipo del perfil de flujo depende de las condiciones

particulares en el canal; es decir, el incremento o disminucin del tirante depende del

signo que resulte de dichas condiciones al imponerla en la ecuacin (3).

Por ejemplo para un canal de pendiente subcrtico o perfil de tipo suave:

Zona 1: Y>Yn>Yc; S0>Sf, FR 0, se forma remanso, perfil M1.

Zona 2: Yn>Y>Yc; S00, se forma remanso, perfil M3.

Con un anlisis similar al anterior para cada zona y cada pendiente se tienen diversas

situaciones, presentadas en la siguiente figura:

SECCIONES DE CONTROL

Las seccin del canal en que sea posible establecer una relacin definida entre el nivel

de la superficie libre del agua y el gasto correspondiente, se cono ce como seccin de

control. Dicha seccin impone sus condiciones al perfil del flujo y puede actuar tanto en

la direccin del flujo como en la direccin contraria. Por sus propiedades una estacin

de aforo es el sitio adecuado para una seccin de control y viceversa.

Algunos ejemplos de secciones de control son las presas, vertederos y compuertas.

MTODOS DE CLCULO

Para el clculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuacin (3); sin

embargo, la pendiente de friccin en flujos reales no es conocida y se debe determinar a

partir de alguna ecuacin de resistencia al flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunas

suposiciones, entre ellas:

Se consideran tramos de anlisis relativamente pequeos, de tal forma que se

pueda considerar flujo uniforme y as determinar la pendiente de friccin

utilizando una ecuacin de resistencia al flujo, usualmente Manning.

La pendiente del canal es pequea, por ende la profundidad de flujo vertical es

aproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo, es decir que no

se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.

El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidrulico y constante en

todo el tramo en consideracin.

Para conocer la variacin de la profundidad del flujo gradualmente variado en relacin

con la longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o aguas abajo de la seccin de

control, se emplean mtodos tericos aproximados entre los cuales los ms usados son:

el mtodo tramo a tramo y el de integracin grfica. Estos mtodos son aplicables a

canales prismticos y no prismticos.

MTODO DE TRAMO A TRAMO

En este mtodo se divide el canal en tramos cortos y se hacen los clculos etapa por

etapa. Es un mtodo simple aplicado a canales prismticos.

A partir de la ecuacin de energa se tiene:

.(4)

En donde:

y

..(5)

Remplazando (5) en (4) y despejando para x se obtiene:

x: longitud de cada tramo.

E1 : energa especfica para la seccin inicial del tramo.

E2 : energa especfica para la seccin final del tramo.

S0 : pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cm/cm).

Sf : pendiente de friccin, tambin denominado gradiente hidrulico medio del tramo.

Se calcula para la profundidad media del tramo dada por:

Y1 : profundidad del agua en la seccin inicial del tramo.

Y2 : profundidad del agua en la seccin final del tramo.

Para el sistema de unidades tcnico, internacional o MKS:

Para el sistema C.G.S:

Am : rea de la seccin media de profundidad Ym.

Rm : radio hidrulico de la seccin media de profundidad Ym.

Q : caudal.

n : coeficiente de rugosidad del canal segn Manning.

Para aplicar este mtodo se debe conocer la profundidad de la seccin inicial y la clase

de variacin. Tomando incrementos o decrementos Y, la profundidad siguiente ser

El signo es (+) si la variacin es retardada hacia aguas abajo y el signo es (-) si es

acelerada. El valor de los intervalos que se adopten (x, Y) puede ser cualquiera,

pero entre ms pequeo sea, es mayor la exactitud del mtodo.

La siguiente figura nos muestra el clculo de tramo a tramo.

MTODO DE INTEGRACIN GRAFICA

El mtodo tiene como base la expresin diferencial presentada en la ecuacin (3), que

cuando se consideran tramos se convierte en la siguiente expresin.

Para sistema tcnico, internacional o M.K.S:

Para el sistema C.G.S:

g : aceleracin de gravedad = 980 cm/s2 = 9.8 m/s.

R: radio hidrulico.

Como las variables A y Sf son funcin de la profundidad Y, la ecuacin (6) puede

expresarse como:

. (7)

Puesto que esta expresin no es integrable directamente, se debe recurrir a otros

mtodos aproximados como el de la

integracin grfica.

Si se grafica en coordenadas

rectangulares la funcin F(Y) se tiene

una curva.

Segn la figura, la curva est limitada por F(Y0) y F(Yn). El rea debajo de la curva

corresponde a la integral de la ecuacin (7) o sea la longitud entre las secciones de

profundidades Y0 y Yn. Para encontrar esta rea numricamente se procede as:

Se divide el rea en trapecios de bases F(Y1) y F(Y2) y altura Y= Y2-Y1.

El rea de cada trapecio (

)

.. Longitud del flujo gradualmente variado.

EQUIPOS

Canal de laboratorio de mecnica de fluidos.

Canal de laboratorio de mecnica de fluidos

HERRAMIENTAS

Limnmetro

Reglas

MATERIALES

Agua

Tabla de valores de caudales

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Colocar el canal en una pendiente pronunciada.

2. Encender la bomba y permitir que circule un caudal en el canal mediante la

vlvula.

3. Esperar que el flujo en el vertedero se estabilice para aforar el caudal que pasa

por el canal.

4. Manipular la compuerta al final del vertedero para generar la curva de remanso.

5. Mirar la variacin del perfil del agua. Si es bien pronunciada continuar con los

pasos siguientes; de o contrario modificar la pendiente del canal y el caudal

hasta lograr visualizar bien la variacin del perfil.

6. A partir del control (compuerta) marcar en el canal con pasos de 10 cm a lo

largo de la curva.

7. Medir con el Limnmetro el tirante del flujo en cada marca que se hizo.

8. Anotar los datos experimentales.

TOMA DE DATOS

Q(cm/s) : 2410

q=(cm/s) 223,1481

Z1(cm) 0

L(cm) 220,5

n: 0,01

B(cm): 10,8

Z2(cm): 8,8

N L(cm) Medida con el Limnmetro Mediciones echas con una regla

Y Y (tirante)

1 0 - 17.50

2 10 - 16.90

3 20 - 16.40

4 30 34.10 -

5 40 33.70 -

6 50 33.50 -

7 60 32.80 -

8 70 32.40 -

9 80 32.00 -

10 90 31.50 -

11 100 31.10 -

12 110 30.70 -

13 120 30.30 -

14 130 29.80 -

15 140 29.40 -

CLCULOS

1. Calculo de la pendiente del canal:

2. Calculo del tirante normal:

Yn = 1.9124 cm

3. Calcule la profundidad crtica Yc

4. Calcule la pendiente crtica y verifique el tipo de perfil.

Ac = Yc*B = 3.703*10.8 = 39.987 cm2

Rc = Ac/(B+2*Yc) = 39.987/(10.8+2*3.703) = 2.1965

5. Tome como profundidad inicial la misma de la prctica de laboratorio para

L=0, y dando incrementos de Y arbitrarios, calcule las distancias x entre

secciones y la distancia total L medida en el laboratorio.

Por el mtodo de tramo a tramo

DATOS Clculos Mtodo Tramo a Tramo

N L(cm) Y(cm) A(cm) V(cm/s) E(cm) Ym(cm) Am(cm) Pm(cm) Rm(cm) Sf x(cm) L(cm)

1 0 17,5 189 12,7513 17,5829 17,2 185,76 45,2 4,1097 0,0003040 0,0000 0,0000

2 10 16,9 182,52 13,2040 16,9889 16,65 179,82 44,1 4,0776 0,0003279 12,4932 12,4932

3 20 16,4 177,12 13,6066 16,4944 16,3 176,04 43,4 4,0562 0,0003445 4,9957 17,4890

4 30 16,2 174,96 13,7746 16,2967 15,95 172,26 42,7 4,0342 0,0003624 12,4850 29,9739

5 40 15,7 169,56 14,2133 15,8030 15,525 167,67 41,85 4,0065 0,0003861 8,7354 38,7093

6 50 15,35 165,78 14,5373 15,4577 15,1 163,08 41 3,9776 0,0004120 12,4724 51,1817

7 60 14,85 160,38 15,0268 14,9651 14,625 157,95 40,05 3,9438 0,0004443 11,2174 62,3991

8 70 14,4 155,52 15,4964 14,5224 14,2 153,36 39,2 3,9122 0,0004763 9,9639 72,3630

9 80 14 151,2 15,9392 14,1295 13,75 148,5 38,3 3,8773 0,0005141 12,4439 84,8069

10 90 13,5 145,8 16,5295 13,6393 13,3 143,64 37,4 3,8406 0,0005565 9,9451 94,7520

11 100 13,1 141,48 17,0342 13,2479 12,9 139,32 36,6 3,8066 0,0005986 9,9346 104,6866

12 110 12,7 137,16 17,5707 12,8574 12,5 135 35,8 3,7709 0,0006456 9,9226 114,6093

13 120 12,3 132,84 18,1421 12,4678 12,05 130,14 34,9 3,7289 0,0007052 12,3835 126,9927

14 130 11,8 127,44 18,9109 11,9823 11,6 125,28 34 3,6847 0,0007732 9,8882 136,8809

15 140 11,4 123,12 19,5744 11,5953

L=x= 136,8809

Observaciones:

La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a

disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.

La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a

disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.

De los clculos S0 > SC (flujo supercrtico cuando el flujo es uniforme), es decir el tirante normal es menor al tirante critico (Y > Yc > Yn

)

El tipo de perfil que se observa es un tipo S1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Y (

cm)

L (cm)

metodo tramo a tramo

Y vs L

Empleando el mtodo de integracin grafica

DATOS Mtodo de Integracin Grfica

N L(cm) Y(cm) A(cm) P(cm) R(cm) Sf V(cm/s) Fr F(Y) F(Ym) Y x(cm) L(cm)

1 0 17,5 189,0 45,8 4,1 0,00029 12,75 0,0009 25,22 0,00 0,00 0,00 0,00

2 10 16,9 182,5 44,6 4,1 0,00032 13,20 0,0010 25,23 25,23 0,60 15,14 15,14

3 20 16,4 177,1 43,6 4,1 0,00034 13,61 0,0011 25,24 25,24 0,50 12,62 27,76

4 30 16,2 175,0 43,2 4,1 0,00035 13,77 0,0011 25,25 25,25 0,20 5,05 32,80

5 40 15,7 169,6 42,2 4,0 0,00038 14,21 0,0012 25,26 25,26 0,50 12,63 45,43

6 50 15,35 165,8 41,5 4,0 0,00040 14,54 0,0013 25,28 25,27 0,35 8,84 54,28

7 60 14,85 160,4 40,5 4,0 0,00043 15,03 0,0014 25,29 25,28 0,50 12,64 66,92

8 70 14,4 155,5 39,6 3,9 0,00046 15,50 0,0016 25,31 25,30 0,45 11,39 78,31

9 80 14 151,2 38,8 3,9 0,00049 15,94 0,0017 25,33 25,32 0,40 10,13 88,43

10 90 13,5 145,8 37,8 3,9 0,00054 16,53 0,0019 25,35 25,34 0,50 12,67 101,10

11 100 13,1 141,5 37 3,8 0,00058 17,03 0,0021 25,37 25,36 0,40 10,14 111,25

12 110 12,7 137,2 36,2 3,8 0,00062 17,57 0,0023 25,39 25,38 0,40 10,15 121,40

13 120 12,3 132,8 35,4 3,8 0,00067 18,14 0,0025 25,42 25,41 0,40 10,16 131,56

14 130 11,8 127,4 34,4 3,7 0,00074 18,91 0,0029 25,46 25,44 0,50 12,72 144,28

15 140 11,4 123,1 33,6 3,7 0,00081 19,57 0,0032 25,49 25,48

L=x= 144,2820

Observaciones:

La seccin de control se encuentra en L=0 y para esa posicin el tirante vale Y = 17.5 a partir de ese punto el tirante comienza a

disminuir hasta que se establece un flujo uniforme aproximadamente.

De los clculos S0 > SC (flujo supercrtico cuando el flujo es uniforme), es decir el tirante normal es menor al tirante critico

(Y > Yc > Yn )

El tipo de perfil que se observa es un tipo S1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Y (

cm)

L (cm)

metodo de integracion grafica

Y vs L

RESULTADOS

INTERPRETACIN DE RESULTADOS

Por ambos mtodos se obtienen longitudes que se acercan a lo que en un inicio se ha

planteado a medir en el canal de laboratorio que es 140 cm.

CONCLUSIONES

Podemos concluir en lo siguiente a partir de los clculos, en la experiencia se obtuvo:

S0 = 0.0399093

Sc = 0.0059

De aqu tenemos S0 > Sc por lo tanto la PENDIENTE ES PRONUNCIADA es decir

se tiene que Yn < Yc.

Tambin tenemos que para ambos mtodos de tramo a tramo como el mtodo de

integracin grfica: Sf < S0 por lo tanto Y > Yc >Yn. (ZONA 1)

A partir de esto podemos ubicar el perfil del flujo gradualmente variado en el cuadro de

doble entrada, obteniendo un REMANSO SUBCRITICO EN UN PERFIL FUERTE

(S1).

METODO TRAMO A TRAMO

Y(cm) S0 Sf x(cm)

17,5 0.0399 0,0003040 0,0000

16,9 0.0399 0,0003279 12,4932

16,4 0.0399 0,0003445 4,9957

16,2 0.0399 0,0003624 12,4850

15,7 0.0399 0,0003861 8,7354

15,35 0.0399 0,0004120 12,4724

14,85 0.0399 0,0004443 11,2174

14,4 0.0399 0,0004763 9,9639

14 0.0399 0,0005141 12,4439

13,5 0.0399 0,0005565 9,9451

13,1 0.0399 0,0005986 9,9346

12,7 0.0399 0,0006456 9,9226

12,3 0.0399 0,0007052 12,3835

11,8 0.0399 0,0007732 9,8882

11,4 0.0399

L=x= 136,8809

METODO DE INEGRACION GRAFICA

Y(cm) S0 Sf x(cm)

17,5 0.0399 0,00029 0,00

16,9 0.0399 0,00032 15,14

16,4 0.0399 0,00034 12,62

16,2 0.0399 0,00035 5,05

15,7 0.0399 0,00038 12,63

15,35 0.0399 0,00040 8,84

14,85 0.0399 0,00043 12,64

14,4 0.0399 0,00046 11,39

14 0.0399 0,00049 10,13

13,5 0.0399 0,00054 12,67

13,1 0.0399 0,00058 10,14

12,7 0.0399 0,00062 10,15

12,3 0.0399 0,00067 10,16

11,8 0.0399 0,00074 12,72

11,4 0.0399 0,00081

L=x= 144,2820

Como una verificacin de los clculos se adjunta la siguiente foto tomada en la

experiencia del laboratorio.

en esta imagen se observa el remanso subcrtico aqu se observa que se forma un

resalto

Las longitudes del resalto son:

Segn el mtodo de tramo a tramo: 136.8809 cm

Segn el mtodo de integracin grfica: 144.2820 cm

Que estn alrededor de la longitud fijada en el inicio: 140 cm