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8/18/2019 CAPITULO V FLUJO GRADUALMENTE VARIADO AAMP.pdf

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CURSO: MECANICA DE FLUIDOS II CAPITULO: V FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta Página 1

CAPITULO V

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

5.1 GENERALIDADES.

El flujo gradualmente variado constituye una clase especial del flujo permanente no

uniforme, el cual se caracteriza por una variación continua del tirante (y con ello el

área, la velocidad, etc.) a lo largo del canal. Este tipo de flujo se presenta en la

llegada o salida de estructuras hidráulicas tales como represas, compuertas,

vertederos, etc; y es general cuando las condiciones geométricas de la sección

transversal o del fondo del canal cambian abruptamente; o bien cuando en el

recorrido se presenta algún obstáculo que haga variar las condiciones del

movimiento.

FIG. No 5.1

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

5.2 CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES:

Para el estudio práctico de este tipo de flujo se suelen adoptar algunas hipótesis

como las que enumeren a continuación:

1. El flujo es permanente, es decir, que las características del flujo son constantes

en el intervalo de tiempo considerado.2. Las líneas de corriente son prácticamente paralelas, es decir, que la distribución

de presiones es hidrostática en cada sección del canal.

3. La pendiente del fondo del canal es uniforme y pequeña, de tal manera que el

tirante del flujo es el mismo, cuando la vertical o normal se toma como referencia

al fondo del canal, y además, no ocurre incorporación del aire al interior del flujo.

4. El canal es prismático, lo que significa que la forma y la alineación del canal son

constantes.





5. La forma de distribución de velocidades en las distintas secciones es constante,

de modo que el coeficiente de Coriolis α, se mantiene constante.

6. El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante del flujo y constante en

el tramo del canal considerado.

7. La pérdida de energía más importante es la fricción. Para el calculo de la

pendiente de la línea de energía en una sección se utilizan las mismas formulas

que en flujo uniforme, utilizando la velocidad media, el radio hidráulico media, el

radio hidráulico y el coeficiente de rugosidad de la propia sección. Esta es una

de las hipótesis mas importantes para el estudio del flujo gradualmente variado y

permite el uso de las formulas del flujo uniforme, aun cuando no demostrado, la

practica ha confirmado su uso.

5.3 ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.

Considerado el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud diferencial dx

en un canal como se muestra, en la Fig. No 5.2.

FIG. No 5.2

DEDUCCION DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Donde:

E = Energía total para una sección cualquiera

dE = diferencial de energía o cambio de energía en el dx

dx = Longitud diferencial del tramo del canal

dz = Incremento en la altura o carga de posición de la sección en el dxSE = Pendiente de energía o de cargas totales, constante en el dx considerado,





pero variable a lo largo de la dirección x.

SW= Pendiente de la superficie libre o eje hidráulico

SO = Pendiente longitudinal del fondo del canal, constante.

θ = Angulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con la horizontal.

β = Angulo que forma el horizonte de energía con la línea de alturas totales.

d = Tirante perpendicular o normal a la sección.

y = Tirante vertical.

En general se cumple que:

O W E S S S

θ ≠ β

,cos.

P yd Para θ pequeño.

Estudiando una sección cualquiera del flujo, como la representada en la sección 1,

se obtiene que la carga o energía total sobre el plano de referencia es:

g

v y z E

2

2

(Ec. 5.1)

Siendo α = coeficiente de Coriolis que se asume constante en el tramo del canal

considerados, los otros términos ya se definieron anteriormente.

Tomando el fondo del canal como el eje x, y diferenciando la Ec. 5.1 con respecto a

esta longitud, se tiene:

)2

(2

g

v

dx

d

dx

dy

dx

dz

dx

dE

(Ec. 5.2)

Interpretación de cada uno de los términos:

a) E

dE S

dx pendiente de la línea de energía, el signo negativo se debe al hecho

de que hay disminución de energía útil en el sentido del escurrimiento, luego

E

dE S

dx (Ec. 5.3)

b)O

dZ tg sen S

dx (para θ = pequeño), pendiente de fondo, el signo

negativo es debido a que Z decrece a medida que x crece, es decir, S O se





supone positiva si la inclinación es descendente hacia aguas abajo (Z decrece

cuando x crece) y negativa en caso contrario, luego:

O

dZ S

dx (Ec. 5.4)

c)dx

dy

dy

dvv

g g

v

dx

d .)

2(

2

(Ec. 5.5)

2 2( )

/

d d Q Q dA QT

dy dy A A dy A A T

(Ec. 5.6)

2

( )2 /

d Q dy

dx g g A T dx

(Ec. 5.7)

22

/ F g A T

(Ec. 5.8)

22( )

2

d dy F

dx g dx

(Ec. 5.9)

2

E O

dy dyS S F

dx dx

2(1 )O E

dy F S S

dx

2

0

1 F

S S

dx

dy E

o

2

00

1

1

F

S S

S dx

dy E

(Ec. 5.10).

gA

T v

S S

dx

dy E

2

0

1

o

gA

T v

S

S

S dx

dy

E

2

0

0

1

1

(Ec. 5.11)

gA

T v

S S

dx

dy E

2

0

1

o

gA

T v

S

S

S dx

dy

E

2

0

0

1

1

(Ec. 5.12)

En la Ec. 5.12 reemplazandoQ

A , de la ecuación de continuidad, resulta:

3

2

0

1 gA

T Q

S S

dx

dy E

o

3

2

0

0

1

1

gA

T Q

S

S

S dx

dy

E

(Ec. 5.13)





Las ecuaciones (Ec. 5.10), (Ec. 5.11), (Ec. 5.12) y (Ec. 5.13) son diferentes formas

de representar la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado y se denomina

con el nombre de ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Estas

ecuaciones representan la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo

del canal; el tirante y, se mide a partir del fondo del canal, tomándose este fondo

como eje de abscisas (x).

5.4 CURVAS DE REMANSO.

Se conoce como curvas de remanso o ejes hidráulicos, a los perfiles longitudinales

que adquiere la superficie libre del liquido en un canal cuando se efectúa un

escurrimiento bajo las condiciones de flujo gradualmente variado la geometría de

las curvas de remanso obedece a diferentes causas como las condiciones de

pendiente del fondo y tirante real.

Geométricamente el perfil de la superficie libre está definido por los tirantes reales

que se tengan a lo largo del escurrimiento.

Acudiendo a la ecuación Ec. 5.13 y basándose en observaciones empíricas se ha

logrado obtener los diferentes tipos de curvas, cuya forma depende de las

condiciones de tirantes y pendientes que se tengan en cada caso.

5.5 CLASIFICACIÓN Y NOMENCLATURA DE LAS CURVAS DE REMANSO.

TIPOS DE PENDIENTES DE FONDO (S O )

1. Pendiente Suave:

Se dice que la pendiente del fondo del canal es suave cuando, para las

condiciones hidráulicas (Q) y características del canal (b, T, n, SO) dadas, segenera un tirante normal (yn) mayor que el critico (yc); esto es yn>yc, también

SO<SC.

A las curvas generadas en este tipo de pendiente se las conoce como curvas

“M” (del ingles MILD: suave, sub critica)

Según Saint Vénant a las corrientes naturales de pendiente suave, en las queexiste calma, movimiento tranquilo, se las denomina ríos.





2. Pendiente crit ic a.

Es aquella pendiente de fondo con la cual se satisface, para las condiciones

dadas, que el tirante normal es igual al tirante critico. Aquí se cumple que:

yn = yc

SO = SC

Numéricamente, el valor de SC se calcula con la ecuación:

2

2/3

.Q nS

AR

A las curvas de remanso generadas en este tipo de pendiente se les nombra

curvas “C” (del inglés CRITICAL: critica).

3. Pendiente fuerte:

Es aquella con la cual, para las condiciones dadas, se produce un tirante normal

menor que el crítico. En esta se cumple que:

yn < yc

SO > SC

A las curvas generadas en este tipo de pendiente se les conoce como curvas “S”

(del ingles STEEP: empinado, abrupto, supercrítico)

Según Saint Vénant a las corrientes naturales de pendiente fuerte, en las que

existen resaltos y otras irregularidades, se las denomina torrentes.

4. Pendiente ho rizontal:

Es aquella en la cual SO = O y como consecuencia el tirante normal se hace

infinito, es decir:

En la ecuación de Manning:

2 /3 1/ 21 R S

n

Si S = 0 v = 0

Además, de la ecuación de continuidad:

0n

QSi A y

A





A las curvas serenadas en este tipo de pendiente se les llama curvas “H” (del

inglés HORIZONTAL: horizontal)

5. Pendiente adversa:

Es aquella en la cual el líquido trabaja en contra de la gravedad, ya que el fondo

del canal en comparación a un plano horizontal, aumenta en el sentido del flujo,

es decir la pendiente es negativa

El tirante normal yn no existe en este tipo de pendiente por no tener significado

físico, lo cual se observa al sustituir el valor negativo de SO en la ecuación:

1/ 2 1/ 21OQ AR S n

A las curvas generadas en esta pendiente se les nombra como curvas “A” (del

inglés ADVERSE: adversa)

5.6 ZONAS DE GENERACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO.

a) Zona 1

Se dice que una curva de remanso se presenta en la zona 1, cuanto el tirante

real del escurrimiento posee valores mayores que el normal y el critico. Fig. No5.3.

Es decir : y > yn , y > yc

Donde : yn > yc ó yc > yn

FIG. No 5.3

CURVA DE REMANSO EN ZONA 1

b) Zona 2

La curva de remanso se localiza en la zona 2 cuando el tirante real del flujo se

encuentra comprendido entre normal y el crítico, (Fig. No 5.4) pudiendo ser:

Es decir: C n y y y ó n C

y y y





FIG. No 5.4


c) Zona 3

Es aquella que establece la generación del tirante real por debajo de los valores

del normal y del critico, pudiendo ser éste mayor que el aquel o viceversa. (Fig.

No 5.5)

Es decir:

y < yn ; y < yc ; siendo yn > yc ó yc > yn

FIG. No 5.5


Tomando en consideración la clasificación realizada por Bakmeteff, de las curvas de

remanso basada en el tipo de pendiente y las zonas de generación del perfil, se

tienen las curvas M1, M2, M3, C1, …… A2, A3, las mismas que se muestran en elCuadro No 5.1.





CUADRO No 5.1

CLASIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO

De acuerdo a los tipos de pendientes, se sabe que el tirante normal en las curvas H,

es infinito, mientras que en las curvas A, no es real, por lo cual en ambos casos, no

pueden existir ninguna curva de remanso en la zona 1, luego es imposible queexistan las curvas H1 y A1; de otro lado, la C2, no es una curva propiamente dicha

sino mas bien una recta (flujo critico uniforme). De este análisis se desprende que

de las 15 curvas de remanso aparentes que se pueden generar en realidad solo se

tienen 12 curvas.

5.7 PROPIEDADES GENERALES DE LAS CURVAS DE REMANSO.

Las siguientes propiedades son comunes a todas las curvas1. Las curvas que tienen al tirante normal yn se acercan a ella asintóticamente.

En efecto, en la (Ec. 5.10):

21

O E S S dy

dx F

Si y tiende a yn el valor de SE tiende a SO lo que hace que:

Lim ( O E S S ) = 0n

y y





Y por lo cual: lim (dy/ dx) = 0

n y y

2. Las curvas que tienden al tirante critico yc; se acercan a ella, en este punto, en

forma perpendicular a la línea del tirante critico yc 2lim (1 ) 0

C

F

y y

lim ( ( )

C

dy dx

y y

3. Cuando el tirante aumenta y tiende a ser muy grande las curvas tienden a ser

tangentes a una horizontal

2 22/3 2/3

. .lim lim ( ) lim ( ) 0

. E

n Q nS

R A R

y y y

2 2 2

3

.lim lim ( ) lim ( ) 0

/ /

Q n F

gA T gA T

y y y

lim (dy/dx) = SO

y

Que corresponde a una línea horizontal que forma un ángulo θ (sen θ = SO) con

el fondo del canal (Fig. No 5.2) esto significa que la superficie del agua es

asintótica a la horizontal (curvas H2, A2)

5.8 EJEMPLOS PRÁCTICOS DE CURVAS DE REMANSO.

En la Fig. No 5.6 se presentan algunos ejemplos prácticos de curvas de remanso o

perfiles del flujo y a continuación algunos comentarios acerca de dichos perfiles:





FIG. No 5.6

EJEMPLOS PRÁCTICOS DE PERFILES DE FLUJO

1. Perfiles tipo M

2. Perfiles tipo S

3. Perfil tipo C

4. Perfiles tipo H

5. Perfiles tipo A

5.9 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL TIPO DE CURVA DE REMANSO.

Este procedimiento permite predecir la forma general del perfil del flujo lo que

constituye una parte muy significativa en todos los problemas de diseño de canal

para un flujo gradualmente variado. Las pautas que se sigue es como se indica:

1. Dibujar el perfil longitudinal del canal distorsionando las escalas vertical yhorizontal. Dado que un canal es una obra esencialmente lineal se deberá tener





una escala vertical mucho mayor que la horizontal, para hacer apreciable las

fluctuaciones de la curva de remanso o eje hidráulico.

2. En el perfil longitudinal marcar los cambios de pendiente y diferenciar los

distintos tramos que se origina, tanto por cambios de pendiente como por

cambios del tipo de material del fondo del canal.

3. Calcular yn y dibujar la línea de profundidad normal para cada tramo de acuerdo

a los datos particulares en cada uno. Hay que tener presente que de acuerdo a

la ecuación de Manning conjugada con la de continuidad:

2

2/12

5

3/5

2/13/5

).

()(.

.

S

nQ

P

A y f

P n

S AQ n

4. Calcular yc y dibujar la línea de profundidad critica para las secciones

transversales que se tengan. Recordar que de acuerdo a la ecuación general

para el flujo critico:

3 32 2

( )C C C

C C

A AQ Q f y

g T T g

5. Definir y ubicar las posibles secciones de control que se presenten a lo largo de

los tramos en estudio, entendiéndose como tales aquellas en que la altura de

agua depende de consideraciones distintas a las del movimiento gradualmente

variado (en el cual el tirante se calcula en función del caudal), y que determinan

puntos conocidos del eje hidráulico, tanto en ubicación, como en valor del tirante

real.

6. Establecer las condiciones de pendientes de fondo para cada tramo,

comparando la pendiente normal con el crítico. Con esto se obtiene la letra de la

curva (M, C, S, H o A).

7. Establecer las condiciones de tirantes para cada tramo, comparando el tirante

real con el normal y el crítico. Con esto se establece la zona de generación de lacorrespondiente curva de remanso, y por lo tanto el numero de la curva (1, 2 ó 3)

8. A partir de 6 y 7 se define el tipo de curva, con su marca y numero, para con

esto determinar su geometría usando el Cuadro No 5.1. Definido la geometría

del perfil y partiendo de la profundidad de control en cada sección de control,

trazar en cada tramo un perfil continuo.

9. Cuando el flujo es supercrítico en la porción aguas arriba de un tramo, pero

subcritico en la porción aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar la





profundidad critica en un lugar del tramo, esto se realiza a través del resalto

hidráulico.

5.10 SECCIÓN DE CONTROL

Se conoce como sección de control a aquella sección particular de un canal en la

que la profundidad del flujo es conocida o pude ser controlada a un nivel requerido.

Este tipo de sección se conoce por dos elementos cuando es posible ubicarla

físicamente y además en donde el tirante real se puede calcular en función del

caudal.

Una sección crítica es una sección de control debido a que se puede establecer una

relación definida entre el tirante crítico y el gasto, esto a partir de la ecuación

general del flujo crítico.

Para el caso de una sección rectangular, se obtiene que la velocidad crítica es:

C C gy

De otro lado, si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial,

ésta adquiere una celeridad c, es decir, una velocidad con respecto a la corriente,

que aproximadamente es igual a:

c gy

Si se comparan los valores de la velocidad y celeridad, se observa que en el estado

crítico la velocidad es igual a la celeridad de dichas ondas. Si el régimen es

subcritico, la velocidad del flujo es menor que la critica y que la celeridad de dichas

ondas, por lo tanto, en este tipo de régimen, es posible la transmisión de disturbios

hacia aguas arriba; lo contrario acontece con el régimen supercrítico en el que losdisturbios solo se transmiten hacia aguas abajo.

Un mecanismo de control como una compuerta puede hacer sentir su influencia

hacia aguas arriba, es decir, el régimen subcritico está sujeto a un control desde

aguas abajo. Por el contrario, el régimen supercrítico no puede quedar influenciado

por lo que ocurre aguas abajo, y solo puede quedar controlado desde aguas arriba.





Para el cálculo del perfil del flujo variado se establece la sección de control que

proporcione las condiciones iniciales y se procede a calcular hacia aguas arriba de

la sección de control o hacia aguas abajo, según que el régimen en que se

desarrolla el perfil sea subcritico o supercrítico. Estas direcciones de cálculo se

indican en el Cuadro No 5.1 para todos los tipos de perfiles.

Algunos ejemplos de secciones de control son las presas, vertederos y compuertas

así como también la intersección bien definida de la línea del perfil de flujo y la

correspondiente al tirante critico, esto ultimo ocurre en el punto de cambio de

pendiente de dos tramos, el de aguas arriba de pendiente suave y el de aguas

debajo de pendiente fuerte, como se muestra en la Fig. No 5.7.

FIG. No 5.7

EJEMPLO DE UNA SECCIÓN DE CONTROL

5.11 MÉTODOS DE CÁLCULO.

Una vez definido el tipo del perfil de flujo y los puntos de control se procede al

calculo numérico de los tirantes reales a lo largo del escurrimiento para cada uno de

los tramos con pendientes de fondo constante, en el Cuadro No 5.1 se indica el

sentido de cálculo a realizarse para cada tramo especificado.

El calculo de los perfiles del flujo gradualmente variado se realiza básicamente,

dando solución a la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado.

Existen varios procedimientos para el cálculo, los mismos que forma genérica se

pueden clasificar en tres métodos básicos, a saber:

Método de Integración grafica

Método de Integración directa Método numérico





MÉTODO DE INTEGRACIÓN GRAFICA

Este método está basado en la integración artificial de la ecuación dinámica del flujo

gradualmente variado, mediante un procedimiento grafico.

EXPLICACIÓN DEL MÉTODO

La solución se refiere a la integral de la Ec. 5.13:

2

31

O E S S dy

Q T dx

gA

La cual se puede expresar en la forma:

2

3

1

O E

Q T

gAdx dyS S

(Ec. 5.14)

Donde:

Q, g, SO son constantes y T, A, SE son funciones del tirante y; por lo cual.

2

31

( )O E

Q T

gA f y

S S

(Ec. 5.15)

Luego la Ec. 5.14 se puede escribir como:

dx = f(y) dy (Ec. 5.16)

Considerar dos secciones 1 y 2 de un canal a las distancias X 1 y X2

respectivamente (medidos desde un origen arbitrario) y en las cuales se presentan

los tirantes y1, y2 (Fig. No 5.8)

FIG. No 5.8TRAMO DE UN CANAL





La distancia a lo largo del fondo del canal será:

2 2

1 1

( ) x y

dx f y dy x y

22 1

1

( ) y x x x f y dy y (Ec. 5.17)

Uno de los conceptos elementales del cálculo integral aplicando la definición de

Riemann nos indica que:

2

1

( ) y

f y dy y es el área achurada A (Fig. No 5.9), formada por la curva, el eje y, y

las ordenadas de f(y) correspondiente a y1 e y2, es decir, f(y1) y f(y2):

FIG. No 5.9

ÁREA BAJO LA CURVA

De acuerdo a la Ec. 5.17 el valor de ∆x es igual al área sombreada, es decir:

2

1

( ) y

x A f y dy

y

Dicha área puede determinarse por medio de un planímetro, por el uso de la regla

de Simpson (considerando el área como un trapecio) o por cualquier otro

procedimiento que proporcione la precisión requerida.

El método se aplica a cualquier tipo de perfil de flujo en canales prismáticos y así

como a los no prismáticos de cualquier forma y pendiente.





PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.

El procedimiento de cálculo para este método es como sigue:

1. Construir la grafica f(y), para estos se fijan en forma adecuada los tirantes y,

considerando, en lo posible, un incremento constante y (por ejemplo y= 2, 3, 5

o 10 cm); luego para cada valor de y, se calcula el correspondiente f(y). Estos

cálculos se resumen en el Cuadro No 5.2:

CUADRO NO 5.2

MODELO DE CALCULO PARA EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN GRAFICA

FIG. No 5.10

CURVAS f(y) PARA DIFERENTES CURVAS DE REMANSO

La curva se construye graficando la columna 1 contra la 9. Como información

adicional, en la Fig. 5.10, se muestra la forma de las curvas de f(y) para las

curvas de remanso generadas en pendiente suave y fuerte.

2. Evaluar las áreas parciales de la curva f(y) para cada dos valores consecutivos

de y, mediante el planímetro o realizando los cálculos geométricos al asumir a

las áreas parciales como trapecios; esto será mas aproximado cuanto mas

pequeño sea el y . Las áreas parciales representan las distancias entre dos





secciones del canal, es decir, x = A, los cuales se colocan en la columna 10

del Cuadro No 5.2.

3. Acumular las distancias obtenidas para cada tramo, a partir de la sección de

control considerada como punto de inicio de los cálculos, estos valores se

colocan en la columna 11.

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA

La operación diferencial del flujo gradualmente variado, en cualquiera de sus

formas, no puede ser expresada explícitamente en términos del tirante y para

todos los tipos de sección de canal, entonces el cálculo en forma directa y exacta de

la ecuación no es posible en general. Sin embargo, se han introducido

simplificaciones que hacen posible la integración en casos particulares.

SOLUCIÓN DE BAKHMETEFF-VEN TE CHOW

Inicialmente se estudiaron métodos para la solución de canales típicos, entre los

que destacan los trabajos de Dupuit (1848) y Bresse (1860) que integraron la

ecuación para canales rectangulares muy anchos, y la de Tolkmitt (1898) para

canales parabólicas muy anchos, utilizando la formula de Chezy para expresar las

perdidas de frotamiento. En 1912 Bakhmeteff, inspirado en general por los trabajos

de Bresse y Tolkmitt propone una metodología que permite integrar la ecuación

para canales en forma cualquiera, introduciendo la llamada función de flujo variado.

En años posteriores, se continua con la idea de Bakhmeteff, eliminando algunas de

las limitaciones del método y tratando de lograr un procedimiento de calculo mas

directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos de Mononobe (1938),

Lee (1947), Von Seggern (1950), Chow (1955).

Una de las hipótesis fundamentales del método es la suposición que los llamados

exponentes hidráulicos se mantienen constantes en el tramo considerado.

A. PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN:

Muchos investigadores ha sugerido procedimientos para definir el trabajo

originalmente desarrollado por Bakhmeteff; Ven Te Chow en particular, en base

al estudio de muchos de los trabajos expuestos anteriormente, desarrolló un





método que permite extender y consolidar la solución de Bakhmeteff

manteniendo la misma forma de la función de flujo variado.

El procedimiento que se presenta a continuación es valido principalmente para

canales prismáticos para cualquier tipo de sección transversal.

1. Planteo de la ecuación:

2

3

1

1

E

OO

S

S dyS

Q T dx

gA

La cual puede expresarse como:

dy

S

S

gA

T Q

S dx

E

.

1

1

.1

0

3

2

0

(Ec. 5.18)

2. Transformación de la ecuación en términos de y, yn, yc, N y M: En la formula

de Manning

2/ 3 1/ 21Q AR S

n

2/ 31 K AR

n (Ec. 5.19)

21/2 2 Q

Q K S K S

(Ec. 5.20)

2 2/3 21( ) N K A R C y

n

22 N Q

K C yS

2

E N

QS

C y (Ec. 5.22)

2

O N

n

QS

C y (Ec. 5.23)

Dividiendo la Ec. 5.22 entre la Ec. 5.23, se tiene:





2

2

N

E

O

N

n

Q

S C y

QS

C y

( ) N n E

O

yS

S y (Ec. 5.24)

Se define como factor de sección Z a:

y A Z

T

A Z T A A Z

32/

De la ecuación general para el flujo critico, se tiene:

232

c

c

Z T

A

g

Q

Es decir:

g

Q Z c

22 (Ec. 5.26)

Dividiendo (Ec. 5.26) ÷ (Ec. 5.25), resulta:

De donde:

2

3

2

.

.

Z

Z

A g

T Q c (Ec. 5.27)

De otro lado, la ecuación (Ec. 5.25), desde que el factor de sección Z es una

función del tirante, se puede suponer que:

M yC T

A Z .

32 (Ec. 5.28)

Donde:

C = Coeficiente de proporcionalidad

M = Exponente hidráulico para cálculos de flujo critico que depende de la

forma de la sección y del tirante.

En caso de flujo critico, se tiene:

M

c yC Z c .2 (Ec. 5.29)


M

nc

y y

Z Z

(Ec. 5.30)





Igualando (Ec. 5.27) y (Ec. 5.30), se obtiene:

2

3

2

.

.

y

y

A g

T Q c (Ec. 5.31)

Sustituyendo (Ec. 5.31) y (Ec. 5.24) en (Ec. 5.18), resulta:

dy

y

yc

y

yc

S dx

N

M

)(1

)(11

0

(Ec. 5.32)

3. Artificio de integración:

Haciendo:

n

n

yu dy y du

y (Ec. 5.33)

Luego:

1n y

y u (Ec. 5.34)

u y

y

y

y

y

y

y

y

n

cn

n

cc 1.. (Ec. 5.35)

Sustituyendo (Ec. 5.33), (Ec. 5.34) y (Ec. 5.35) en (Ec. 5.32), se obtiene:

du y

u

u y

y

S dx n

N

M

M

n

c

1

1

1.)(1

1

0

( )

1

M M N M C

nn

N

O

yu u y y

dx duS u

duu

u y

yu

S

ydx

N

M N M

n

c M

n

1

.)(

0

Descomponiendo la fracción en suma algebraica de fracciones, ademássumando y restando 1 al numerado del primer sumando se tiene:





1 1( )

1 1

M N M M n C

N N

O n

y yu udx du

S u y u

11 ( )

1 1

N M M n C

N N

O n

y y udx du

S u y u

Cambiando de signo a las denominaciones, las fracciones cambian de signo:

N

M N M

n

c

N

n

u

u

y

y

uS

ydx

1.

1

11

0

(Ec. 5.36)

Esta ecuación puede integrarse para toda la longitud x del perfil del flujo.

Debido a que el cambio de tirante en un flujo gradualmente variado

generalmente es pequeño, los exponentes hidráulicos N y M se pueden

suponer constantes dentro de los límites de integración.

Cuando los exponentes hidráulicos son notablemente dependientes de y en

los limites del tramo dado, este deberá subdividirse en otros tramos para

realizar la integración; entonces, en cada tramo, los exponentes se pueden

considerar constantes. Integrando la ecuación anterior, se tiene:

cteduu

u

y

y

u

du

uS

y

x

u

N

M N u

M

n

c

N

n

000 11 (Ec. 5.37)

La primera integral de la Ec. 5.37 depende solo de u y N y se designa por:

( , )1 N

u du F u N

o u

(Ec. 5.38)

La cual se conoce como función de flujo variado de Bakhmeteff y se

encuentra tabulada en la Tabla B-1 del apéndice B (Hidráulica de Canales;

Ven Te Chow), ésta fue preparada inicialmente por Bakhmeteff en los años

1914-1915.

Chow pudo transformar la segunda integral de la Ec. 5.37:

1 N

u dudu

o u (Ec. 5.39)

En la forma de la función de flujo variado, con el siguiente artificio:

Haciendo:





a) N J J N vuuv //

dvv N

J du

vu

vu

N J

M N N J M N

J N

1/

))(/(

(Ec. 5.40)

b) ( 1) 11

N J J N M

N M N

(Ec. 5.41)

Sustituyendo (Ec. 5.40) y (Ec. 5.41) en (Ec. 5.39), se tiene:

( )1

1 1

J N M

J N M N N

N J

u u J du d

o ou N

v

J

N

J M N

N

J

dv

v

v

N

J

0

1)(

1

Pero:

( ) 1 ( 1) 1 1 1 0 J J J

N M N M N N N

Luego:

0

( , )1 1 1

N M

N J J

u u J J d J du d F J

o o ou N N N

(Ec. 5.42)

Donde:

( , )1 J

d F J

o

Es la misma función de flujo variado de Bakhmeteff excepto que las variables

u y N reemplazan por v y J respectivamente.

Sustituyendo (Ec. 5.38) y (Ec. 5.42) en (Ec. 5.37), y usando la notación para

las funciones de flujo variado, se tiene:

cte J v F N

J

y

y N u F u

S

y x

M

n

cn

),(.),(

0

(Ec. 5.43)

La (Ec. 5.43) proporciona la distancia X que existe entre la sección

considerada y un punto arbitrario. Si se aplica esta ecuación entre dos

secciones consecutivas 1 y 2 de características conocidas, es decir,

1





colocando los límites de integración, la distancia L que existe entre estas

secciones es:

),(),(),(),()( 121212

0

12 J v F J v F

N

J

y

y N u F N u F uu

S

y x x L

M

n

cn

Donde:

L = x2 – x1 = Distancia entre las secciones consecutivas 1 y 2 de

características conocidas.

n

yu

y = Relación entre el tirante de una sección cualquiera y el tirante

normal

yn = Tirante normalyc = Tirante critico

SO = Pendiente del fondo

M y N = Exponentes hidráulicos, son funciones de la geometría de la sección y

del tirante de agua. Las ecuaciones para su calculo (Ec. 5.49) y (Ec. 5.52),

para secciones trapezoidales se deducirán en la sección siguiente.

( , )1 N

u du F u N

o u

= Función del flujo variado, calculado por Bakhmeteff,

cuyos valores se muestran en la Tabla A-1(Hidráulica de Canales: Máximo

Villón)

v y J = Variables introducidas por Ven Te Chow, siendo: / N J u

1

N J

N M

( , )1 J

u d F j

o

= Función del flujo variado, se calcula con la misma tabla

de Bakhmeteff entrando con los valores de v y J, en lugar de u y N.

B. CALCULO DE LAS EXPRESIONES DE LOS EXPONENTES HIDRAULICOS M

Y N.

1. Calculo del exponente hidráulico N:

De la Ec. 5.21), se tiene:

2 4/3

2

1 N

A R C yn (Ec. 5.45)

Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, resulta:





2

1 41 ( ) 2 1 1 1 1

3n n A n R n C N n y

n (Ec. 5.46)

Derivando con respecto a y , se obtiene:

1 4 1 12

3

dA dR N

A dy R dy y (Ec. 5.47)

Pero: T dy

dA

Además:

2 1

2( )

dR d A dP dA T A dP

A P P dy dy P dy dy P P dy

Sustituyendo valores en (Ec. 5.47), se tiene:

2

2 4( )

3

T P T A dP N

A A P P dy y

22 ( )

3

T A dP N y T

A A P dy

2 23 2

3

y A dP N T T

A P dy

2 25

3

y A dP N T

A P dy

Para una sección trapezoidal, se cumple que:

( ) A b Zy y

2T b Zy

22 1212 Z dy

dP Z yb P

Con esto, la (Ec. 5.48), toma la forma:

2

212

12

)(2)2(5

).(3

2 Z

y Z b

y Zyb Zyb

y Zyb

y N

y Z b

y Z

Zyb

Zyb N

2

2

12

1

3

82

3

10

Dividiendo ambos miembros de las fracciones entre b , se obtiene:





2

2

1 ( / )10 1 2 ( / ) 8

3 1 ( / ) 3 1 2 1 ( / )

Z y b Z y b N

Z y b Z y b

(Ec. 5.49)

Esta ecuación indica que N no es constante sino que varia con el tirante. En el

Cuadro No 5.2 se muestra los valores de N para secciones rectangulares (z =0) y trapezoidales, la Fig. No 5.10 permite calcular estos valores para

secciones rectangulares, trapezoidales y circulares.

FUENTE: HIDRAULICA DE CANALES MAXIMO VILLON BEJAR

CUADRO No 5.2

VALORES DE N PARA CANALES RECTANGULARES





FUENTE: HIDRAULICA DE CANALES MAXIMO VILLON

FIGURA No 5.11

CURVA DE VALORES DE N

2. Calculo del exponente hidráulico M:De la (Ec. 5.28), se tiene:

3 M A

C yT

(Ec. 5.50)

Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, se obtiene:

3ln A - ln T = ln C + M ln y

Derivando respecto a y , se tiene:





3 1dA dT M

A dy T dy y

(3 ) y dA A dT

M A dy T dy

(Ec. 5.51)

Para una sección trapezoidal, se cumple que:

( ) 2dA

A b Zy y b Zydy

Z dy

dT ZybT 22

Sustituyendo en la (Ec. 5.51), se tiene:

y

M

( )b Zy y

( )

3( 2 ) (2 )2

b Zy y

b Zy Z b Zy

23( 2 ) 2 ( )

( 2 ) ( )

b Zy Zy b Zy M

b Zy b Zy

Dividiendo ambos miembros de la fracción entre b2, se obtiene:

)/(1)/(21

)/(1)/(2/(213 2

b y Z b y Z

b y Z b y Z b y Z M

(Ec. 5.52)

Esta ecuación indica que si Z=0 (sección rectangular) M=3, pero, para una

sección trapezoidal M varía con el tirante.

En el Cuadro No 5.3, se muestra valores de M para secciones trapezoidales y

la Fig. No 5.12 permite calcular éstos valores para secciones trapezoidales y

circulares.





FUENTE: HIDRAULICA DE CANALES MAXIMO VILLON BEJAR CUADRO No 5.3

VALORES DE M PARA CANALES TRAPEZOIDALES





FUENTE: HIDRAULICA DE CANALES MAXIMO VILLON BEJAR

FIGURA No 5.12

CURVA DE VALORES DE M

C. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.

Para determinar el perfil, el canal se divide en un número de tramos, de tal forma

que en cada tramo las secciones 1 y 2 consideradas deben estar a una distancia

tal que los exponentes hidráulicos M y N se mantienen constantes.

La longitud de cada tramo se calcula de la (Ec. 5.44) a partir de los tirantes

conocidos o supuestos en los extremos del tramo.

La aplicación de este procedimiento requiere la siguiente operatoria:





1. Calcular el tirante normal yn y el tirante critico yc en el tramo a partir de Q y

SO.

2. Calcular los exponentes hidráulicos N y M para un tirante promedio a partir

de los tirantes en los extremos, es decir, para 1 22

y y y

:

Estos valores se pueden determinar haciendo uso de las Ec. 5.49 y Ec. 5.52,

o las Fig. No 5.11 y Fig. No 5.12 o los Cuadros No 5.2 y No 5.3.

3. Calcular1

N J

N M

4. Calcular para la sección inicial y final del tramo los valores de:

/ N J

n

yu y u

y

5. Calcular las funciones de flujo variado F(u, N) y F(v, J) con ayuda de la Tabla

A-1 del apéndice B. (Hidráulica de Canales: Máximo Villón).

6. Aplicar la (Ec. 5.44) para obtener la longitud del tramo que separa las dos

secciones extremas.

SOLUCION DE BRESSE:

En 1860 Bresse introdujo ciertas hipótesis que permitieron una simplificación eintegración matemática de la expresión diferencial del flujo gradualmente variado.

Esta solución es un caso particular, en la que la hipótesis fundamental es la de

considerar una sección rectangular muy ancha, es decir, donde R 0 y.

En efecto dada la sección rectangular:

A = by

P = b + 2y

T = b

21 2

by y R

yb y

b

En la cual si b >> y → y/b ≈ 0 R = y

A. PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN.





Bresse utilizó la formula de Chezy para expresar las pérdidas de frotamiento,

considerado el C de Chezy constante, pero para los cálculos que se requieren,

aquí se utiliza la relación propuesta por Manning, es decir: 1/6 /C R n

1. Planteamiento de la ecuaciónLa ecuación diferencial del flujo variado, de acuerdo a la (Ec. 5.18), se puede

expresar como:

2

31

1

1 E O

O

Q T

gAdx dy

S S

S

(Ec. 5.54)

2. Conversión de la ecuación en términos de y , yn, yc; la ecuación del caudal

de acuerdo a la formula de Chezy se expresa;

1/ 2 1/ 2

E E Q C A RS C A R S

Donde para una sección rectangular muy ancha, se tiene:

A = by, R = y

Luego:

1/ 2 1/ 2

E Q C b y y S

De donde:

2

2 2 3 E

QS

C b y (Ec. 5.55)

En el caso de un flujo uniforme: y = yn y SE = SO, luego

2

2 2 3O

n

QS

C b y (Ec. 5.56)


3( )n E

O

yS

S y (Ec. 5.57)

De otro lado, en la relación:

T A

g Q

gA

T Q

/

/3

2

3

2

Usando la ecuación general del flujo critico:





32

C

C

AQ

g T

Se tiene:

32

3 3 //

C A T Q T gA A T

Y para el caso de una sección rectangular, se obtiene:

3 32

3 3 3

/

/

C b y bQ T

gA b y b

23

3 ( )C yQ T

gA y (Ec. 5.58)

Sustituyendo (Ec. 5.58) en (Ec. 5.54), resulta

3

3

1 ( )1

1 ( )

C

nO

y

ydx dy

yS

y

(Ec. 5.59)

Si se compara la (Ec. 5.59) con la (Ec. 5.32) se observa que en forma son

iguales, siendo N = M = 3 para el caso particular de que se trate de una

sección rectangular muy ancha.

3. Artificio de Integración:

Haciendo:

n

y Z dy y d Z

yn

Además:

1n y y Z

1C C C C

y y y y

y y y y Z

Sustituyendo estos valores en (59), resulta:

3

3

3

11 ( )

1

11

C

n

nO

y

y Z dx y dZ

S Z





3 3

3

3

3

( / )

1

C n

n

O

Z y y y Z dx dZ

Z S

Z

3 3

3

( / )

1

n C n

O

y Z y ydx dZ

S Z

3 3

3

1 1 ( / )

1

n C n

O

y Z y ydx dZ

S Z

3

3

1 ( / )1

1

n C n

O

y y ydx dZ

S Z

3

3

1 ( / )

1 1

n C n

O

y y y

dx dZ S Z

3

31 ( / )

1

nC n

O

y dZ dx dz y y

S Z

31 ( / ) ( )nC n

O

y x Z y y Z cte

S (Ec. 5.60)

Aplicando la (Ec. 5.60) entre dos secciones consecutivas 1 y 2 de

características conocidas, la distancia L que los separa es:

3

2 1 2 1 2 1/ ( ) 1 ( / ) ( ) ( )n O C n

L x x y S Z Z y y Z Z

Donde:

x = Distancia de la sección desde un origen arbitrario.

L = x2-x1 = Distancia entre las secciones consecutivas 1 y 2

yn, yc = Tirante normal y critico respectivamente.

Z = y/yn = Relación entre el tirante en una sección cualquiera y el tirantenormal.

SO = Pendiente del fondo.

cte Z

g arc Z

Z Z

Z

dZ Z

12

3tan.

3

1

)1(

1ln

6

1

1)(

2

2

3 (Ec. 5.62)

Φ(z) = Función del flujo gradualmente variado calculado por Bresse y cuyos

valores se muestran en el Cuadro No 5.4.

4. Conversión de (yc/yn)3 a C2 SO/g:





Con fines de hacer más convenientemente el cálculo el término (yc/yn)3 se

puede expresar como C2SO/g, mediante el siguiente proceso:

De la ecuación (Ec. 5.56), se tiene:

2

32 2n

O

Q yC S b

Y para una sección rectangular, resulta:

32

C

C

AQ

g T

3 32

C b yQ

g b

2

2

3

gbQ yc (Ec. 5.64)

Dividiendo (Ec. 5.64) ÷ (Ec.5.63), se obtiene:

23( )C O

n

y C S

y g (Ec. 5.65)

Sustituyendo (Ec. 5.64) en (Ec. 5.59), se tiene:

cte Z g S C Z S

y x n )()/.1( 0

2

0

21( ) ( )n

n

O O

y C x Z y Z cte

S S g (Ec. 5.66)

Aplicando la (Ec. 5.66) entre dos secciones consecutivas 1 y 2 de

características conocidas, la distancia L que los separa es:

2

2 1 2 1 2 1/ ( ) (1/ / ) ( ) ( )n O n O L x x y S Z Z y S C g Z Z (Ec. 5.67)

B. USO PRÁCTICO DE LAS ECUACIONES.1. Las Ec. 5.61 y Ec. 5.67 se pueden usar para el calculo de la longitud entre 2

secciones, pueden ser consecutivas o extremas (longitud total de la curva de

remanso).

2. Las Ec. 5.60 y Ec. 5.66 resultan más convenientes para el cálculo del perfil,

en este caso, la distancia desde el origen se calcula por diferencia.

3. El coeficiente C de Chezy se mantiene constante durante los cálculos su

valor se encuentra con la relación propuesta por Manning, es decir:1/6 1/6/ /C R n y n





Donde y es el valor promedio de los tirantes extremos y1, y2, o sea:

1 2

2

y y y

MÉTODO NUMÉRICO:

El método numérico es el que tiene aplicaciones mas amplias debido a que es

adecuado para el análisis de perfiles de flujo tanto en canales prismáticos como no

prismáticos. Se caracteriza porque para el calculo se divide el canal en pequeños

tramos y se calcula cada tramo uno a continuación de otro.

Existen diversos métodos que permiten integral en forma numérica la ecuación del

flujo permanente gradualmente variado. La aplicabilidad o conveniencia de cada

uno, depende de las características de la situación particular a resolver.

Los métodos de integración numérica mas utilizada son el método directo por

tramos y el método de tramos fijos.

MÉTODO DIRECTO POR TRAMOS:

Este método es simple y aplicable a canales prismáticos. Se utiliza para calcular la

distancia Δx del tramo a la cual se presenta un tirante y2 (conocido o fijado por el

calculista) a partir de una tirante y1 conocido y los demás datos.

A. DEDUCCIÓN DE LA FORMULA.

1. Si se considera un tramo del canal con secciones 1 y 2 separadas entre sí una

distancia Δx, como se muestra en la Fig. No 5.13.

FIGURA No 5.12

TRAMO CORTO DE UN CANAL PRISMATICO





La ley de conservación de energía establece que:

12

2

2

22

2

1

11

22 f

h g

v y z

g

v y z

(Ec. 5.68)

2. Para ángulos pequeños se cumple que:

1 2O

Z Z tg sen S

x

Es decir:

1 2 O Z Z S x

3. De acuerdo al concepto de energía especifica, energía referida al fondo del canal,

se puede escribir:

2

11

2 E y

g

4. Si en el tramo no existen singularidades, la perdida de energía hf1-2, se debe

exclusivamente a la fricción, por lo tanto:

2

112dxS h

E f

Si las secciones 1 y 2 están suficientemente cercanas puede aproximarse:

1 2f1 2h 2

E E E

S S x S x

5. Sustituyendo valores en la Ec. 5.68 y resolviendo para x , se tiene:

1 2 E OS x E E S x (Ec. 5.69)

2 1 E OS x S x E E (Ec. 5.70)

2 1( ) E OS S x E E (Ec. 5.71)

2 1

E O

E E x

S S

(Ec. 5.72)

Donde:

x = distancia del tramo desde una sección 1 de características conocidas

hasta otra en que se produce un tirante y2.

2 1 E E = energía especifica (E = y + α v2/2g) para los tramos 1 y 2

OS = pendiente del fondo del canal

E S = pendiente promedio de la línea de energía





1 2

2

E E E

S S S

2

2/3

.( )

E

nS

R

B. PROCEDIMIENTO DE CALCULO

El procedimiento a seguir es como se indica:

1. Comenzar el calculo en una sección cuyas características del escurrimiento

sean conocidas (sección de control) y avanzar hacia donde esa sección de

control ejerce su influencia.

2. Calcular en esa sección la energía especifica: 2

1 1 1 /2 E y g y la pendiente

de la línea de energía1 E

S con la formula de Manning

3. Darse un incremento de tirante Δy arbitrario de acuerdo a la tendencia del

perfil de flujo y calcular y2 = y1+Δy, para este tirante calcular la energía

especifica E2 y la pendiente de la línea de energía2 E S

4. Calcular la pendiente de la línea de energía promedio en el tramo, es decir:

1 2

2

E E E

S S S

5. Calcular Δx mediante la ecuación:

2 1

E E O O

E E E x

S S S S

Si x es positivo el cálculo se habrá avanzado hacia aguas abajo y si es

negativo hacia aguas arriba.

En general para variaciones de Δy pequeñas, el cálculo de ΔE resulta

conveniente calcular como:

2

(1 ) E y F (Ec. 5.73)

Donde F es el número de Froude promedio en el tramo, es decir:

1 2

2

F F F

/ F

gA T





6. Tabulación de datos

Para el cálculo manual cuando se efectúan aplicaciones sucesivas a lo largo

del canal, resulta conveniente elaborar una tabla con el fin de abreviar los

cálculos. Una forma adecuada para la tabulación, se muestra en el Cuadro No

5.5.

CUADRO No 5.4CUADRO PARA EL MÉTODO DIRECTO POR TRAMOS

Explicación de la tabla:

Fila 1: A partir de un valor conocido para y1 se calcula los valores

correspondientes a las columnas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, donde:

2/ , /2Q A E y g

Los valores de las columnas 9, 11, 12 y 13 no se pueden calcular porque

necesitan cálculos con y2

El valor inicial de L1 puede ser el dato correspondiente al cadenamiento de la

sección inicial de la aplicación, o bien ser un valor fijado por el calculista, por

ejemplo L1 = 0

Fila 2: A partir de un valor para y2 se calculan los valores correspondientes a

las columnas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 10 al igual como se hizo para y1 el valor de

la columna 9 se determina a partir de los obtenidos en la columna 8 para las

filas 1 y 2, considerando los subíndices apropiados. El valor de la columna 11

se determina con los obtenidos en la columna 10 para las filas 1 y 2.

El valor de la columna 12 se obtiene con lo obtenido en la columna 11 y el

dato de pendiente del canal SO.





El valor de la columna 13 se obtiene con la (Ec. 5.72). Mientras que el valor de

la columna 14 se obtiene acumulando los valores de Δx que se vayan

encontrando en cada aplicación.

Las demás filas de la tabla se calculan en forma similar, considerando para

cada tramo el primer valor del tirante para la fila 1 y el segundo valor para la

fila 2.

MÉTODO DE TRAMOS FIJOS.

Este método es aplicable tanto para canales prismáticos como no prismáticos. Se

utiliza para calcular el tirante y2 que se presenta en una sección 2 previamente

especificado de un tramo de longitud Δx a partir del tirante conocido y1 en la sección

1, y los demás datos.

A. ECUACIÓN DEL MÉTODO:

La ecuación de este método es en esencia la misma del método directo por

tramos, salvo en la forma final, esto es, en función de la variable a calcular, así

de la Ec. 5.69, se tiene:

1 2 E OS x E E S x (Ec. 5.74)

Donde:

22

2/2

2

Q E y g y

gA (Ec. 5.75)

1 2

2

E E

E

S S S

(Ec. 5.76)

2 22 2 2 2/3

2/3 2/3 5

. .( ) . ( )( / )

E

n Q n P S Q n R A A P A

(Ec. 5.77)

Δx = distancia especificada del tramo desde una sección 1 de características

conocidas hasta la sección 2 donde el tirante es desconocido.

B. PROCEDIMIENTO DE CALCULO:

Conocidas las características hidráulicas en la sección 1 y la longitud del tramo

Δx, la cual es (+) si los cálculos se realizan hacia aguas abajo y (-) hacia aguas

arriba de la sección 1, el procedimiento consiste en suponer un valor tentativo

del tirante y2 en la sección 2 y ajustar por tanteos dicho valor hasta que con





algún valor supuesto de éste se satisfaga la igualdad de los dos miembros de la

Ec. 5.74.

Para ordenar los cálculos es conveniente tabular los resultados en una tabla

como la que se muestra en el Cuadro No 5.5.

CUADRO No 5.5

CUADRO PARA EL MÉTODO DE TRAMOS FIJOS

El significado de cada columna es como sigue:

Columna 1 : kilometraje que define la sección de cálculo. El valor inicial de x,

puede ser el dato correspondiente al cadenamiento de la sección inicial de la

aplicación, o bien en un valor fijado por el calculista, por ejemplo 0, los valores

siguientes se obtiene acumulando los Δx.

Columna 2: valor de Δx entre la sección en estudio y la sección anterior

generalmente constante.Columna 3 : pendiente de fondo x columna 2, generalmente constante

Columna 4 : profundidad en la sección. En la fila 1, para un y 1 conocido se

calculan los valores de las columnas 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13, los valores de

las columnas 14, 15 y 16 no se pueden calcular porque se requieren cálculos

con y2. En la fila 2 para un y2 supuesto se calculan los valores de las columnas

desde la 5 hasta la 16

Columna 5 : A = (b +zy) y

Columna 6 : 22 1 P b z y





Columna 7 : R = A/P

Columna 8 : radio hidráulico a la 2/3, sin comentario

Columna 9 : v = Q/A

Columna 10 : carga de velocidad, sin comentario

Columna 11 : E = y + v2/2g (col 4 + col 10)

Columna 12 : primer miembro de la ecuación 75 (col 3 + col 11)

Columna 13 : 2

2/3

.( )

E

nS

R

Columna 14 : 1 2

2

E E E

S S S

(promedio de los valores de la columna 13 para las

filas 1 y 2)

Columna 15 : columna 14 por columna 2

Columna 16 : segundo miembro de la ecuación (75) (col 11 + col 15 de la fila 2)

El valor supuesto de y2 será el adecuado, si el resultado obtenido en la columna

16 para la fila 2 es igual o suficientemente próximo al de la columna 12 para la

fila 1. En caso de que no lo fuera, toda la línea de cálculos de la fila 2 debe ser

eliminada y se debe comenzar nuevamente los cálculos con otro valor tentativo

de y2 hasta que se cumpla con la igualdad de valores de las columnas 16 y 12

Para las aplicaciones sucesivas el tirante y2 encontrado se tomará el

correspondiente para y1 y con este valor conocido se aplicará el mismo

procedimiento para calcular el nuevo y2, así hasta terminar con los tramos

necesarios.

Para simplificar el calculo de y2, resulta conveniente expresar la Ec. 5.74 en f(y2),

así sustituyendo las Ec. 5.75 y Ec. 5.76 en Ec. 5.74, se obtiene:

1 2

2 2

1 22 2

1 2

. .2 2 2 2

O E E

Q Q x xS x y y S S

gA gA

1 2

2 2

1 22 2

1 22 2 2 2

O E E

Q x Q xS x y S y S

gA gA

(Ec. 5.78)

Reemplazando (Ec. 5.77) en (Ec. 5.78), resulta:

22 22 2 2/31

1 22 5 2

1 1 2

. . ( )

2 2 2

O

P Q x QS x y Q n y

gA A gA




22 2 2/31

5

1

. . ( )2

P xQ n

A

(Ec. 5.79)

En la (Ec. 5.79) si SO, Δx, y1, Q son datos, el primer miembro es un valor

constante C, es decir:

22 2 22/ 31

1 2 5

1 1

. .. ( )

2 2O

P Q x Q nC S x y

gA A

(Ec. 5.80)

Y el segundo miembro es una función de y2, con lo cual se tiene:

22 2 22/31

2 2 2 5

2 1

. .( ) ( )

2 2

P Q x Q n f y y C

gA A

(Ec. 5.81)

La (Ec. 5.81) se puede resolver por tanteos, dando valores a y 2 y calculando el

valor de 2( ) f y para lo cual se puede hacer la siguiente tabla:

y2 f(y2)

La solución adecuada para y2 será aquella que se hace que:

2( ) f y = C

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