Laboratorio Nº6

2014

HIDRAULICA

Ing. Miguel Vicente Herquinio Arias

Integrantes:

Carrasco Altamirano, Jhon Deyvi

Gálvez Vargas Juan Pedro

Moreano Pamo Emilio de Jesús

Romero Esteban Kenny

Tema:

Flujo gradualmente variado

Fecha de entrega: 25/06/14

1 INTRODUCCION

El flujo variado puede clasificarse como rápidamente variado o gradualmente variado.

En el primer caso (rápidamente variado) la profundidad de flujo cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta, por ejemplo en un resalto hidráulico.

En el segundo caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado.

El estudio y conocimiento de este tipo de flujo es de suma importancia, ya que al ingeniero le permite diseñar, a partir de los resultados obtenidos, diversas estructuras hidráulicas para el control, abastecimiento o captación de diversas fuentes hídricas.

En el presente informe se presenta el procedimiento, el cálculo y los resultados realizados para la obtención del perfil de flujo gradualmente variado.

2 OBJETIVOS

Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado y la influencia de

los controles que lo generan.

Aplicar modelos matemáticos desarrollados para el cálculo de perfiles de flujo

gradualmente variado, contrastándolos con las mediciones realizadas en el

laboratorio.

Analizar perfiles de flujo experimentalmente y compararlos con los resultados.

3 FUNDAMIENTO TEORICO

El flujo gradualmente variado, es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis:

1. La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad y radio hidráulico.

2. La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por presión ni por arrastre del aire.

3. El canal es prismático.

4. Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado.

Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado

Figura 1. Deducción de la ecuación de flujo gradualmente variado.

La figura 1 muestra el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud elemental dx de un canal abierto. La altura de la línea de energía en la sección aguas arriba, con respecto a la línea de referencia es

(1)

Donde H, Z, d y son según se muestran en la figura 1, v es la velocidad media del flujo a través de la sección.

Se asume que y son constantes en el tramo del canal.

Tomando el piso del canal como el eje x y derivando la ecuación (1) con respecto a x se obtiene,

(2)

Si Sf es la pendiente de la línea de energía , S0 la pendiente del piso del

canal y Sw la pendiente de la superficie del agua , sustituyendo estas expresiones en la ecuación (2) y resolviendo para Sw se tiene:

(3)

La ecuación (3) representa la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Para pendientes pequeñas cos 1, d y, dd/dx dy/dx y la ecuación (3) puede escribirse:

(4)

Si se tiene un canal rectangular ancho, se puede calcular la pendiente del piso del canal para que ocurra flujo uniforme utilizando la ecuación de Manning:

Dadas las características del canal, vale la aproximación y

expresando , donde q es el caudal por unidad de ancho y yn es la profundidad normal, se obtiene

(5)

La hipótesis 1 permite usar la fórmula de flujo uniforme para calcular la pendiente de energía, es decir,

(6)

Donde y es la profundidad del flujo gradualmente variado.

El término de la ecuación (4) puede desarrollarse así:

Como (ancho superior) = b para canal rectangular,

(7)

La ecuación (4) puede expresarse según las ecuaciones (5), (6) y (7) como

(8)

3.1 TIPOS DE PERFIL DE FLUJO

Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos:

1. Según su profundidad. 2. Según la pendiente del canal.

El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas:

Zona 1: Sobre la profundidad normal (en pendiente subcrítica) ó sobre la

profundidad crítica (en pendiente supercrítica).

Zona 2: Entre las profundidades crítica y normal.

Zona 3: Bajo la profundidad crítica (en pendiente subcrítica) ó bajo la

profundidad normal (en pendiente supercrítica).

El segundo criterio considera cinco condiciones de la pendiente:

H: Horizontal.

M: Moderada o subcrítica.

C: Crítica.

S: Pronunciada o supercrítica.

A: Adversa.

Estos dos criterios permiten hacer la clasificación como H2, H3; M1, M2, M3; C1, C2, C3; S1, S2, S3; A2 y A3, donde la letra se refiere a la pendiente y el número a la zona de profundidad.

De acuerdo con lo expuesto, pueden existir 15 formas para el perfil de la superficie libre en un flujo gradualmente variado, que resultan de la combinación de 5 grados de pendiente del canal con 3 zonas de formación de perfil. En la tabla 4.1 se resume las condiciones en cada caso, y se muestra el signo que tomaría la ecuación del flujo gradualmente variado, por lo que se puede inferir zona la forma que adopta el perfil.

Figura 2. Condiciones para los distintos tipos de perfil hidráulico

Figura 3. Comportamiento de los distintos perfiles de flujo

3.2 CÁLCULO DEL PERFIL DE FLUJO

3.2.1 METODO DIRECTO POR PASOS

Este es un método sencillo, aplicable a canales prismáticos. Divide el canal en tramos cortos y desarrolla los cálculos para cada sección comenzando por una conocida (la sección de control por ejemplo). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas abajo y se desarrollan hacia aguas arriba y si es supercrítico se parte de aguas arriba continuándose hacia aguas abajo.

Tomando un tramo corto del canal, como lo ilustra la figura 4, se cumple que

(9)

Figura 4. Tramo del canal para la deducción de los métodos de paso.

Definida la energía específica (E) como

(10)

Reemplazando (9) en (10) y despejando :

(11)

La pendiente de la línea de energía en una sección puede calcularse según Manning,

(12)

y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como

(13)

Procedimiento de cálculo

1. Conocidos Q, b, y Y en la sección de control, se calcula la velocidad v, la cabeza de

velocidad y la energía específica

2. Se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf) según la ecuación (12).

3. Se asume una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los valores de E y Sf para la sección con esta profundidad.

4. Se calcula 1, entre estas dos secciones y con la ecuación (13); con

estos resultados se halla según la ecuación (11). Así se conoce la localización de la sección a lo largo del canal.

5. Se vuelve al paso 3.

3.2.2 METODO DE INTEGRACION DIRECTA

Este método es válido únicamente para canales prismáticos. Se recomienda cuando se

requiere conocer solo unos cuantos tirantes del perfil y no el perfil completo, o cuando

se desea saber la distancia hasta la que hay influencia notoria del control en estudio.

Debido a que la integración es directa, los valores sucesivos de L en los cálculos son

independientes entre si, lo que representa la ventaja de que no se acumula error en la

distancia acumulada.

La integración directa de la ecuación dinámica es prácticamente imposible si se desea

obtener en forma general. Se han hecho muchos intentos de resolver dicha ecuación

para algunos casos especiales, introduciendo hipótesis simplificatorias que permitan la

integración matemática. La solución más aplicada en la actualidad es presentada por

Chow y se da de la forma:

Donde: M, N: Parámetros que dependen de la geometría del canal y de la

relación del tirante al ancho de aquel, se presenta en las figuras [N = f

(yc / b); M = f (yc / b)].

Y: Tirante a una distancia x del origen, en m.

Yc: Tirante crítico, en m.

Yn: Tirante normal, en m.

A1 Constante de integración, en m.

La función F (u, N) se calcula como:

Y del mismo modo:

Estas funciones pueden integrarse numéricamente. Algunos valores de estas funciones

se presentan en tablas anexas. La distancia L entre dos secciones 1 y 2 con tirantes y1 y

y2 respectivamente se obtienen mediante:

Figura 5. Calculo del parámetro N

Figura 6. Calculo del parámetro M

3.2.3 METODO DE INTEGRACION GRAFICA

Este método tiene como objetivo integrar la ecuación dinámica de flujo gradualmente

variado mediante un procedimiento gráfico. Consideremos dos secciones de canal (fig.

4.9a) localizada a unas distancias x1 y x2 respectivamente desde un origen

seleccionado y con los tirantes de agua d1 y d2 correspondientes. La distancia a lo

largo del canal es:

Supongamos varios valores de “d” y calcule los valores correspondientes de dx/dd, el

cual es el recíproco del lado derecho de la ecuación de flujo gradualmente variado, es

decir de la ecuación (4.12). Luego se construye una curva de d contra dx/dy (fig. 4.9b).

De acuerdo con la ecuación (4.25), es claro que el valor de x es el área sombreada

formada por la curva el eje “y” y las ordenadas de dx/dd correspondientes a d1 y d1.

Luego puede medirse esta área y determinarse el valor de x. El valor de dx/dd será:

Figura 7. Principio del método de integración grafica

4 MATERIALES

Canal rectangular

Bomba hidráulica

Vertedero triangular

Limnímetro

Regla

Libreta de notas

5 PROCEDIMIENTO

1. Medir las variables geométricas de la sección transversal del canal de pendiente

variable,

2. Colocar el canal con una pendiente cualquiera y ubicar una compuerta en el extremo

final.

3. Hacer circular un caudal sin que se rebose el agua.-

4. Mirar la variación del perfil del agua. Si es bien notoria continuar con el paso siguiente;

de lo contrario modificar la pendiente del canal y el caudal hasta lograr visualizar bien

la variación del perfil.

5. Quitar la compuerta para que se establezca el flujo normal. Una vez que se estabilice

medir la profundidad (y) del agua y aforar el caudal en el vertedero triangular

localizado en el tanque aforador del extremo final del canal.

6. Medir la cota inicial (Z1) y final (Z2) y la longitud del canal y con estos datos calcular la

pendiente (So).

7. Colocar nuevamente la compuerta al final del canal manteniendo constante el caudal.

8. A partir del control medir las profundidades del agua (Y) cada 10 cm.

Para lo cual se tiene las siguientes lecturas.

9. Identificar el tipo de flujo (flujo subcrítico o supercrítico).

10. Identificar el tipo de perfil.

11. Anotar los datos experimentales.

6 CÁLCULOS

METODO DE INTEGRACION GRAFICA

a. Tirante Normal:

Cota de fondo = 18 cm

Cota superior = 19.15 cm

b. Tirante Crítico:

√( )

⁄

Caudal (Q):

Para la lectura : 7.8 cm

y = 0,0469x - 2,5143

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

75 80 85 90 95 100 105

Cu

dal

Q (

l/s)

Lectura del canal (cm)

Gráfica del Caudal

Ancho de canal (B): B = 10.8 cm

√( )

c. Ecuación del flujo gradualmente variado es:

( (

)

( )

)

Donde:

√

√

√ ( )

√

(

) ( ) ( )( )

Para hallar n:

Cuando Entonces:

(

)

1. Para :

Cota Superior = 31.4 cm

Cota de Fondo = 18 cm

Tirante (Y) = 31.4 -18 = 13.4 cm

( )( ) ( )

(

) (

)

( (

)

( )

)

(

(

)

( )

)

Así continuando con cada una de las cotas medidas a lo largo del flujo del canal

hasta el tirante normal ( ) se tiene:

DATOS CALCULOS

Longitud X (cm)

medida

Cota superior (cm)

Cota de fondo (cm)

Y(cm) A (cm2) R (cm) K Z dx/dy ∆A Longitud X (cm)

0 31,40 18 13,40 144,72 13,40 371115,48 529,76 28,94 0 0

10 31,00 18 13,00 140,40 13,00 352836,36 506,22 28,93 11,57 11,6

20 30,60 18 12,60 136,08 12,60 334928,41 483,04 28,91 11,57 23,1

30 30,25 18 12,25 132,30 12,25 319566,48 463,05 28,90 10,12 33,3

40 29,85 18 11,85 127,98 11,85 302365,10 440,56 28,88 11,56 44,8

50 29,50 18 11,50 124,20 11,50 287627,77 421,18 28,86 10,10 54,9

60 29,00 18 11,00 118,80 11,00 267088,72 394,02 28,83 14,42 69,3

70 28,65 18 10,65 115,02 10,65 253075,68 375,36 28,81 10,09 79,4

80 28,30 18 10,30 111,24 10,30 239366,36 357,01 28,78 10,08 89,5

90 27,90 18 9,90 106,92 9,90 224074,82 336,42 28,75 11,51 101,0

100 27,55 18 9,55 103,14 9,55 211027,97 318,73 28,71 10,05 111,1

110 27,15 18 9,15 98,82 9,15 196503,17 298,92 28,66 11,47 122,5

120 26,80 18 8,80 95,04 8,80 184136,07 281,93 28,61 10,02 132,6

130 26,40 18 8,40 90,72 8,40 170398,81 262,93 28,54 11,43 144,0

140 26,10 18 8,10 87,48 8,10 160377,25 248,97 28,48 8,55 152,5

150 25,65 18 7,65 82,62 7,65 145804,23 228,52 28,37 12,79 165,3

160 25,35 18 7,35 79,38 7,35 136399,67 215,21 28,28 8,50 173,8

170 25,00 18 7,00 75,60 7,00 125747,05 200,02 28,16 9,88 183,7

180 24,65 18 6,65 71,82 6,65 115443,77 185,21 28,01 9,83 193,5

190 24,20 18 6,20 66,96 6,20 102719,74 166,73 27,76 12,55 206,1

200 23,85 18 5,85 63,18 5,85 93238,27 152,81 27,51 9,67 215,8

210 23,45 18 5,45 58,86 5,45 82856,88 137,41 27,15 10,93 226,7

220 23,00 18 5,00 54,00 5,00 71771,34 120,75 26,58 12,09 238,8

230 22,65 18 4,65 50,22 4,65 63594,95 108,29 25,98 9,20 248,0

240 22,15 18 4,15 44,82 4,15 52611,57 91,31 24,71 12,67 260,7

250 21,70 18 3,70 39,96 3,70 43451,42 76,86 22,90 10,71 271,4

260 19,90 18 1,90 20,52 1,90 14308,38 28,28 20.21 11,9 283.3

270 19,15 18 1,15 12,42 1,15 6200.38 13,32

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

22.00

24.00

26.00

28.00

30.00

3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 13.00 15.00

dx/

dy

y

CURVA DE y vs dx/dy

PERFIL DE FLUJO (METODO DE INTEGRACION GRAFICA)

METODO DE TRAMO A TRAMO

Cálculo del coeficiente n

Por el método anterior se obtuvo n

n = 0.00193

Cálculo del tirante crítico

Donde:

A= b*Yc

Q= 1150 cm3/s

g= 981 cm/s2

T = 10.8 cm

Despejando:

√( )

Yc=2.26 cm

Como Y < Yc entonces el flujo es supercrítico

Cálculo de la pendiente crítica

Sc=0.0044 y So=0.0344

Entonces Sc < So, por lo tanto el perfil es tipo S1

Cálculo de la velocidad en 1 y 2

Cálculo de la velocidad en 1 y 2

Cálculo de la pendiente de friccion Sf

0.00004042

Cálculo de variación de X

11.5829387

Cálculos Método Tramo a Tramo

Cota de fondo

Cota superior

10 18 31.40 13.40 144.72 7.946 13.432

20 18 31.00 13.00 140.40 8.191 13.034 13.20 142.560 37.20 3.832 0.00004042 11.5829387

30 18 30.60 12.60 136.08 8.451 12.636 12.80 138.240 36.40 3.798 0.00004350 11.5784404

40 18 30.25 12.25 132.30 8.692 12.289 12.43 134.190 35.65 3.764 0.00004672 10.1269597

50 18 29.85 11.85 127.98 8.986 11.891 12.05 130.140 34.90 3.729 0.00005030 11.5678161

60 18 29.50 11.50 124.20 9.259 11.544 11.68 126.090 34.15 3.692 0.00005430 10.1165874

70 18 29.00 11.00 118.80 9.680 11.048 11.25 121.500 33.30 3.649 0.00005941 14.4416885

80 18 28.65 10.65 115.02 9.998 10.701 10.83 116.910 32.45 3.603 0.00006526 10.1008647

90 18 28.30 10.30 111.24 10.338 10.354 10.48 113.130 31.75 3.563 0.00007073 10.0927249

100 18 27.90 9.90 106.92 10.756 9.959 10.10 109.080 31.00 3.519 0.00007736 11.5231798

110 18 27.55 9.55 103.14 11.150 9.613 9.73 105.030 30.25 3.472 0.00008494 10.0714063

120 18 27.15 9.15 98.82 11.637 9.219 9.35 100.980 29.50 3.423 0.00009365 11.4947773

130 18 26.80 8.80 95.04 12.100 8.875 8.98 96.930 28.75 3.371 0.00010371 10.0418583

140 18 26.40 8.40 90.72 12.676 8.482 8.60 92.880 28.00 3.317 0.00011543 11.4548993

150 18 26.10 8.10 87.48 13.146 8.188 8.25 89.100 27.30 3.264 0.00012817 8.57305665

160 18 25.65 7.65 82.62 13.919 7.749 7.88 85.050 26.55 3.203 0.00014422 12.8251855

170 18 25.35 7.35 79.38 14.487 7.457 7.50 81.000 25.80 3.140 0.00016333 8.52233607

180 18 25.00 7.00 75.60 15.212 7.118 7.18 77.490 25.15 3.081 0.00018298 9.90809896

190 18 24.65 6.65 71.82 16.012 6.781 6.83 73.710 24.45 3.015 0.00020819 9.86401439

200 18 24.20 6.20 66.96 17.174 6.350 6.43 69.390 23.65 2.934 0.00024357 12.5992539

210 18 23.85 5.85 63.18 18.202 6.019 6.03 65.070 22.85 2.848 0.00028824 9.71701763

220 18 23.00 5.00 54.00 21.296 5.231 5.43 58.590 21.65 2.706 0.00038052 23.1547663

230 18 22.65 4.65 50.22 22.899 4.917 4.83 52.110 20.45 2.548 0.00052123 9.26514357

240 18 22.15 4.15 44.82 25.658 4.486 4.40 47.520 19.60 2.424 0.00066978 12.7991525

250 18 21.70 3.70 39.96 28.779 4.122 3.93 42.390 18.65 2.273 0.00091735 10.8535562

260 18 19.90 1.90 20.52 56.043 3.501 2.80 30.240 16.40 1.844 0.00238248 19.4053579

270 18 19.15 1.15 12.42 92.593 5.520 1.53 16.470 13.85 1.189 0.01441445

𝐿 (𝑐𝑚) Y (𝑐𝑚) 𝐴(𝑐𝑚 ) 𝑉(𝑐𝑚 𝑠)⁄ 𝑌𝑚 (𝑐𝑚) E (𝑐𝑚) 𝐴𝑚 (𝑐𝑚 ) 𝑃𝑚 (𝑐𝑚) 𝑅𝑚 (𝑐𝑚) 𝑆𝑓 𝑥 (𝑐𝑚)

PERFIL DE FLUJO (MEDIDO EN LABORATORIO)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250 300 350

TIR

AN

TE Y

LONGITUD X

PERFIL DE FLUJO

PERFIL DE FLUJO TEORICO POR TRAMOS

PERFIL DE FLUJO EXPERIMENTAL

PERFIL DE FLUJO POR INTEGRACION

7 CONCLUSIONES

EL perfil de la curva de Remanso obtenida es del tipo S1, debido a su tirante critico

es mayor que su tirante normal, generando así un flujo supercrítico. Y también su

pendiente critica es menor a la pendiente normal.

Yc=2.26 cm

Yn = 1.15 cm

Como Yn < Yc entonces el flujo es supercrítico

Sc=0.0044 y So=0.0344

Entonces Sc < So, por lo tanto el perfil es tipo S1

Al efectuar las comparaciones de las gráficas obtenidas teóricamente y la

elaborada directamente con datos del laboratorio, se aprecia una pequeña

variación, esto debido a las condiciones ideales que se considera en el cálculo y

que no se evidencias o no se dan en la práctica misma. Pero como se aprecia existe

una relación muy cercana entre los valores.

El método de integración gráfica es uno de los métodos más sencillos para llevar a

cabo el análisis del flujo gradualmente variado, sin embargo, puede llegar a

presentar problemas en su cálculo, ya que, al basarse en las diferencias de alturas

que existan entre los tirantes, los resultados pueden variar si se tienen tirantes de

igual altura en algunos tramos del perfil.

El método de tramos fijos es un procedimiento bastante confiable ya que al tomar

el perfil de flujo gradualmente variado y dividirlo por tramos se pueden obtener los

valores más adecuados, de acuerdo a las características hidráulicas de cada tramo,

sin embargo, al ser un procedimiento iterativo, los cálculos deben realizarse de

forma cuidadosa para que los resultados se adecúen a los lineamientos del

método.

8 RECOMENDACIONES

o Calibrar el limnímetro para obtener mejores medidas y por ende mejores

resultados.

o Una mejor responsabilidad por parte de los operadores para obtener valores que

se acerquen lo más posible al valor real.

o Mejorar las condiciones de limpieza de los materiales y su constante

mantenimiento.

9 BIBLIOGRAFIA

Ven Te Chow. Hidráulica de canales abiertos. Colombia: Editorial Mc Graw Hill. 2004,

667pp.

Villón Béjar, Máximo. Hidráulica de canales. Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica,

1995. 487pp.

Universidad Nacional Autónoma de México. Práctica 3 Flujo gradualmente variado. México

(ref. de octubre 2009). Disponible en:

http://www.ingenieria.unam.mx/hidrounam/HC3FlujoGradualmenteVariado.pdf