diferentes caminos para resolver el...

Diferentes caminos para resolver el problema

Unidad 2 / Diferentes caminos para resolver el problema

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El tema que nos ocupa en esta unidad, esconocer algunos de los diferentesprocedimientos o modelos de resolución deproblemas.

Retomando la actividad del foro, cada grupo dedocentes participantes entregó como productola metacognición de los procedimientos oprocesos utilizados para resolver el problemaplanteado acerca de cómo introducir elconcepto de infinito en sus estudiantes.


El proceso de resolución de un problema matemático conlleva trabajar en cuatro niveles diferentes de abstracción-concreción:

Por parte de matemáticos, de profesores y de psicólogos se han hecho investigaciones que hanestudiado desde distintos ángulos la resolución de problemas, en la búsqueda de procedimientosque ayuden a las personas en dicho proceso de solución.

Finalmente hay que llevar la descripción anterior a modelos matemáticos que nos den una representación formal de la esencia del problema. Es en este nivel donde el matemático emplea procedimientos para resolver el problema en términos matemáticos.

La definición explícita del problema, que requiere establecer claramente los elementos que componen el sistema, sus atributos, las relaciones entre ellos.

Una abstracción individual de la situación planteada.

Situación de partida no estructurada.


Desde la psicología y la neurociencia se han realizado significativos aportes con relación a lasoperaciones y procesos de pensamiento que intervienen en la resolución de problemas, que sonun importante aporte para los docentes al desarrollar esta habilidad en sus estudiantes.

El trabajo de los matemáticos y los profesores se ha centrado en la búsqueda de procedimientosy factores que ayuden a encontrar los medios o posibles vías a seguir en la resolución deproblemas.

Entre los matemáticos más relevantes se encuentran George Polya, AlanSchoenfeld, Miguel de Guzmán, Mason-Burton-Stacey, cuyospostulados conoceremos en esta lección .


Para Polya, "Hacer Matemáticas es resolver problemas“. Ensu libro "Cómo plantear y resolver problemas" escrito en1957, expone su pensamiento y su propuesta. Dice que:"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, peroen la solución de todo problema, hay un ciertodescubrimiento. El problema que se plantea puede sermodesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce aponer en juego las facultades inventivas, si se resuelve porpropios medios, se puede experimentar el encanto deldescubrimiento y el goce del triunfo”.

La trascendencia del trabajo de Polya radica en hacer evidente la importancia de resolverproblemas como medio de crear conocimiento en matemáticas y sus posibilidades en elaprendizaje de esta disciplina.

George Polya


El modelo de Polya propone un conjunto de fases y preguntas que orientan y protocolizan elitinerario de la búsqueda y exploración de las alternativas de respuesta, dirigen la acción de quiense enfrenta a un problema, con el fin de ayudarlo a eliminar las discrepancias entre el objeto delproblema y la solución de éste.

• ¿Cuáles son las fases de la propuesta de Polya?• ¿Cuáles son las preguntas que orientan cada fase?


Fases Procedimiento Preguntas orientadoras

Comprender el problema

¿Cuál es la pregunta?¿Cuáles son sus datos?¿Cuáles son las condiciones?¿Es posible satisfacer las condiciones?¿Son suficientes las condiciones para determinar lo desconocido?¿Hay redundancias? ¿Hay contradicciones?¿Puede hacer una figura? ¿Puede separar las condiciones o datos en partes menores? ¿Puede escribirlas?

Crear un plan para encontrar la solución

¿Lo ha visto antes?¿Ha visto el mismo problema bajo una forma diferente?¿Conoce un problema relacionado?¿Conoce un teorema o una regla que podría ser útil?¿Puede pensar en un problema que le sea familiar y que tenga la misma pregunta o la misma incógnita?¿Podría usarlo ahora? ¿Puede usar los resultados?¿Puede usar el procedimiento?¿Debe introducir algún elemento auxiliar para usar lo que ya conoce? ¿Puede enunciar el problema de otro modo?¿Puede enunciarlo aún de otra forma?¿Puede resolver una parte del problema?¿Puede deducir algo útil de los datos?¿Puede pensar en otros datos para determinar la incógnita?¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o ambos, de modo que la nueva incógnita y los nuevos datos estén máscerca?¿Usó todos los datos? ¿Usó todas las condiciones?¿Ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?

Poner en práctica el plan ideado

Verifique cada uno de los pasos.¿Puede estar seguro de que cada uno está correcto?¿Puede demostrar (o argumentar) que está correcto?

Mirar hacia atrás, examinar la solución obtenida

¿Puede comprobar la respuesta? ¿Puede comprobar los argumentos? -¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puedeverificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado por un camino diferente?¿Puede "ver" la respuesta de una sola mirada?¿Puede usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema?


Allan Schoenfeld publicó su libro “Resolución de problemasmatemáticos” en 1985, basado en experiencias con estudiantes yprofesores en las que les proponía problemas a resolver. Siguiendolas ideas de Polya, grababa, filmaba y pedía apuntes. Mientrasellos trabajaban iba anotando todo lo que hacían durante elproceso que realizaban.

Al final de todos estos experimentos, Schoenfeld llegó a laconclusión de que cuando se tiene o se quiere trabajar conresolución de problemas como una estrategia didáctica, hay quetener en cuenta situaciones más allá de las puras heurísticas; de locontrario no funciona.

Allan Schoenfeld


Según Schoenfeld , hay que tomar en cuenta otros factores como:

Éstos son los conocimientos previos y/o dominio delconocimiento que posee el estudiante; se refiere, entre otros, aconceptos, fórmulas, algoritmos, y, en general, todas las nocionesque se considere necesario saber para enfrentarse a undeterminado problema. Así mismo el profesor debe tener clarocuales son las herramientas que posee el estudiante y como accedea los conceptos que tiene, a éstos le llama el inventario de recursos.Hay ocasiones en que el procedimiento de resolución se da demanera casi automática, lo que denomina como circunstanciasestereotipadas. También se deben tener en cuenta los recursosdefectuosos, es decir cuando el estudiante posee alguna fórmula oprocedimiento mal aprendido o que él cree que se usan en algunasituación pero resulta que no es así, así mismo considerar loserrores en procedimientos simples que puede ser el resultado deun aprendizaje erróneo, esto está relacionado con la forma en queel estudiante accede a la información y a como la tieneestructurada.

Los recursos

Las heurísticas

El control

Las creencias sobre la matemática

Moderador

Notas de la presentación

Cada item clickleable abre un contenido.



Se refiere al arte, técnica o procedimiento práctico o informal pararesolver problemas, puede haber varias estrategias heurísticasposibles que pueden usarse para resolver un determinado problema,puede ser que una o varias sirvan, o que se crea que algunas quesirven no sirvan.

Los recursos

Las heurísticas

El control


Moderador





Se refiere a cómo un estudiante controla su trabajo (estrategiametacognitiva), ante un problema en el que puede ver varioscaminos posibles para su solución. Se trata de que tome concienciasi va por el camino correcto o debe tomar otro; es relevante quetenga la habilidad de monitorear y evaluar su propio proceso.

Algunas acciones que involucran el control son: tener claridadacerca de qué trata un problema antes de empezar a resolverlo,entender el vocabulario utilizado; hacer un diseño considerandovarias formas posibles de solución, seleccionar una específica,monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar un camino noexitoso y tomar uno nuevo; llevar a cabo ese diseño que hizo yrevisar el proceso de resolución.

Los recursos

Las heurísticas

El control


Moderador





Por otra parte plantea actividades que desarrollan el control, talescomo grabar videos durante las actividades de resolución deproblemas para que vean cómo lo han hecho, que el docente tomelas equivocaciones como modelo, es decir, poner un problema ytratar de resolverlo eligiendo una estrategia que sabe que no va aservir y luego optar por otra y posteriormente discutir las solucionescon todo el grupo para que cada uno aporte ideas; por últimotrabajar en pequeños grupos, en un ambiente colaborativo demodo que cada uno pueda aprender sobre la forma en que losdemás controlan su trabajo.

Los recursos

Las heurísticas

El control


Moderador





Consiste en el conjunto de ideas o percepciones que losestudiantes, los profesores y la sociedad poseen acerca de lamatemática y su enseñanza. Ellas afectan a la manera en la que elestudiante se comportará a la hora de enfrentarse a un problemamatemático; las creencias del profesor y el estudiante determinan loque sucede en la sala de clase, pero las creencias socialesdeterminan parte del currículum, los programas y/o textos deestudio.

Los recursos

Las heurísticas

El control


Moderador




Las creencias sobre matemáticas.Creencias de los estudiantes:

• Los problemas matemáticos tienen una y solouna respuesta correcta

• Existe una única manera correcta para resolvercualquier problema, usualmente es la regla que elprofesor dio en la clase.

• Que ellos no pueden esperar entendermatemáticas, simplemente esperan memorizarlay aplicarla cuando la hayan aprendidomecánicamente.

• La matemática es una actividad solitaria realizadapor individuos en aislamiento, no hay nada detrabajo en grupo.

• Los estudiantes que han entendido y estudiadopodrán resolver cualquier problema que se lesasigne en poco tiempo

• Las matemáticas aprendidas en la escuela tienepoco o nada que ver con el mundo real.

Aca va ilustración

Moderador


Ilustración estudiante con dudas/frustrado


Las creencias sobre matemáticas.Creencias de los profesores: Están condicionadas por la forma en que a ellos

mismos les enseñaron matemática en el colegio o enla universidad. No ven una manera distinta deenseñar las matemáticas, puesto que siguen unmismo método sea por que así les gusto osimplemente por que es lo único en lo que sepueden basar.

Aca va ilustración

Moderador


Ilustración profesor copiando como le enseñaron


Las creencias sobre matemáticas.Creencias sociales: Son aquellas creencias que tienen los padres,

maestros, actores educativos y jóvenes acerca de lanaturaleza del aprendizaje de la matemática,. Estascreencias deciden qué es posible aprender , qué eslo que quiere que se aprenda, y cómo se debeenseñar, es decir definen el currículum , programas,textos, u otros.

Aca va ilustración

Moderador


Ilustración creencia sobre matemáticas


• ¿Cuáles son las fases de la propuesta de Schoenfeld?

• ¿Cuáles son las acciones a realizar en cada fase?

Schoenfeld diseña uno de los modelos máscompletos, sobre todo en estrategiasheurísticas, distingue tres fases y acciones arealizar en cada una de ellas.

Haga clic sobre la imagen para agrandar.

Moderador


Que al hacer clic sobre el dibujo, este se agrande para poder ver la tabla.


La idea de Schoenfeld es que hay que controlar la actividad de la resolución de problemas, la decisión de tomar tal estrategia, de continuar o cambiar o parar la investigación, este ejercicio es la metacognición, que sirve para controlar, supervisar y evaluar el propio trabajo.


Nacido en España en la década de 1930, fue un gran matemático yprofesor. Es autor de numerosos libros técnicos, y de divulgación,articulista y conferenciante.

Para la resolución de problemas propone un modelo basado encuatro fases y estrategias posibles de seguir en cada una, hay unaspecto que destaca, cuando dice “Lo que sí es muy importantepara conseguir el objetivo, es la reflexión profunda sobre la marchaque se ha seguido”.

La finalidad de éste modelo consiste en adquirir unos cuantoshábitos mentales que capaciten para un manejo eficaz de losproblemas. Si dichos hábitos son sanos, la actividad mental seráun ejercicio menos costoso, suave e incluso placentero.

Miguel de Guzmán


Familiarización con el

problema

Búsqueda de estrategias

Llevar adelante la estrategia

Revisar el proceso y

sacar conclusiones

de él

Para pensar mejor es bueno:• Tener un modelo al que ajustarse.• Hacer mucha práctica de pensar, tratando de ajustarla a dicho modelo.• Tener una forma de examinar nuestro proceso, pues sucede con frecuencia que sólo

interesa el resultado de un problema y no su proceso de resolución.

Este modelo se basa en cuatro fases:



Para la segunda fase del modelo de resolución de problemas, proponeestrategias que permitan transformar el problema en una situación mássencilla y que sepamos resolver.

Estrategias o herramientas heurísticas que ayudan en la segunda fase:

• Analogía o semejanza. • Simplificar, particularizar.• Organizar con esquema, notación, lenguaje, figura, diagrama, gráfico, u otros

modelos manipulativos.• Ensayo y error.• Trabajar marcha atrás o considerar el problema resuelto. • Experimentación: sacar pautas, regularidades y leyes.



Estrategias o herramientas heurísticas que ayudan en la segunda fase:

• Modificar o descomponer en problemas más pequeños, proponer subproblemas, submetas, utilizar menor número de variables, de datos, etc.

• Conjeturar, empezar por casos sencillos, intentar llevar adelante lasconjeturas.

• Hacer recuento, realizar un conteo parcial.• Explorar, saca partido a la simetría, analiza los casos límite.• Técnicas generales, reducción al absurdo o contradicción, método de

inducción matemática, principio del Palomar de Dirichlet*.

*El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet o principio de las cajas, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma


Este modelo analiza el pensamiento y la experiencia matemáticaen general y contiene, como un caso particular, la resolución deproblemas; muestra la influencia que tiene el desarrollo delrazonamiento matemático en el conocimiento de nosotros mismosy del mundo que nos rodea.

Las emociones de quien resuelve el problema, son elementosindispensables en el proceso de razonar matemáticamente, esto es,estar motivado por una situación que provoca contradicción,tensión, sorpresa en una atmósfera de preguntas, retos yreflexiones.

Modelo de Mason – Burton - Stacey


El enfoque positivo del hecho de estar atascado o atascada, constituye una parte esencial delproceso de mejora del razonamiento, valorando más un intento de resolución fallido que unacuestión resuelta rápidamente y sin dificultades, ya que lo que importa no son las respuestassino los procesos. Una sugerencia importante es dejar por escrito todo el proceso de resolucióncon objeto de poder recordar y reconstruir un momento determinado del problema, tambiéncomo un método para superar el bloqueo, cuando los resolutores se encuentra sin saber quehacer.

La actividad de razonar se describe como si hubiera un agente externo dentro de nosotrosmismos que nos aconseja lo que tenemos que hacer, lo denominan monitor interior y actúacomo un tutor que vigila los cálculos y los planes a ejecutar, identifica los estados emocionalessugiriendo alternativas, examina críticamente los razonamientos y el proceso, y recuerda quehay que revisar y generalizar resultados, en definitiva controla el proceso de resolución desdefuera.


Abor

daje Esta fase está encaminada

a comprender, interiorizar y familiarizarnos con el problema, después de leerlo cuidadosamente es necesario contestar las siguientes preguntas:

• ¿Qué es lo que sé?• ¿Qué es lo que quiero?• ¿Qué es lo que puedo

usar?

La fase puede darse por concluida cuando se es capaz de representar y organizar la información mediante símbolos, diagramas, tablas, o gráficos.

Ataq

ue

Es la fase más compleja ya que en ella se trata de asociar y combinar toda la información de la fase anterior, aquí intervienen las distintas estrategias heurísticas que permiten acercarse a la solución del problema. Los estados de ánimo más característicos son el de estar ¡Atascado! y el de las ideas ¡Aja!

Aparecen los procesos matemáticos fundamentales, la inducción, que se materializa en el hecho de hacer conjeturas orientadas a conseguir la solución del problema y la deducción, que pretende justificar dichas conjeturas mediante las leyes lógicas a través de los teoremas matemáticos.

Revi

sión Cuando se consigue una

solución es conveniente revisarla e intentar generalizarla a un contexto más amplio, para esto es necesario:

• comprobar la solución, los cálculos, el razonamiento y que la solución corresponde al problema;

• reflexionar en las ideas, en los momentos clave, en las conjeturas y en la resolución;

•buscar otra forma de resolverlo o modificar los datos iniciales;

• redactar la solución dejando claro qué es lo que se ha hecho y porqué.

Modelo de Mason – Burton - Stacey


Modelos de resolución de problemas

Modelo POLYA SCHOENFELD GUZMAN MASON-BURTON-STACEYHace evidente la importancia de resolver problemas como medio de crear conocimiento en matemáticas y sus posibilidades en el aprendizaje de esta disciplina.

Trabajar la resolución de problemas como una estrategia didáctica requiere tener en cuenta situaciones más allá de las puras heurísticas.

Adquirir hábitos mentales que capaciten para un manejo eficaz de los problemas. Tener una forma de examinar el proceso, es muy importante la reflexión profunda sobre la marcha que se ha seguido.

Las emociones de quien resuelve el problema, son elementos indispensables en el proceso de razonar matemáticamente. Valora más un intento de resolución fallido que una cuestión resuelta rápidamente y sin dificultades, lo que importa son los procesos no las respuestas.

Fase

s

1. Comprender el enunciado.

1. Abordaje. 1. Familiarización con el problema.

1. Abordaje.

2. Confección de un plan.

3. Ejecución del plan.

2. Ataque. 2. Búsqueda de estrategias.

3. Llevar adelante la estrategia.

2. Ataque.

4. Examinar solución/ visión retrospectiva.

3. Revisión. 4. Revisar el proceso y sacar consecuencias.

3. Revisión o reflexión.

AYUDAS didácticas y psicológicas

Propone preguntas orientadoras para cada fase.

Aspectos a considerar además de la heurística:• Los recursos • El control • Las creencias

Propone estrategias o herramientas heurísticas que ayudan en la búsqueda de estrategias.

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