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¿Qué, para qué y por qué resolver problemas? Unidad 1 / ¿Qué, para qué y por qué resolver problemas?

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¿Qué, para qué y por qué resolver problemas?

Unidad 1 / ¿Qué, para qué y por qué resolver problemas?

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La charla de Dan Meyer nos motiva a reflexionar sobre nuestra clase de matemáticas, dice que ésta necesita un rediseño, un nuevo ordenamiento.

Muchas veces organizamos la clase de matemáticas tomando el texto como referente y guía, en este sentido Dan Meyer dice que “el texto nos ayuda de la manera equivocada puesto que proporciona problemas de práctica y nos va quitando la obligación de enseñar a resolver problemas y a razonar matemáticamente, no es ayuda”.

De ello podemos inferir y distinguir el concepto de ejercicio y problema en matemáticas, las matemáticas le dan sentido al mundo, son el vocabulario para interpretar situaciones del mundo que nos rodea.

"La felicidad no es la ausencia de problemas, sino tener la suerte de poder resolver algunos de los que se nos presentan"

Ángel Ramírez

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En cualquier ámbito de la vida diaria, estamos ante un problema "cuando desde la situación en que estamos queremos llegar a otra, que conocemos con más o menos claridad, pero desconocemos el camino" (Miguel De Guzmán).

“La vida es una ininterrumpida e intermitente sucesión de problemas que solo se agotan con la muerte”

Ingmar Bergman

Se hace necesario este reordenamiento de nuestra clase de matemáticas trabajando la resolución de problemas con nuestros estudiantes, Dan Meyer lo expresa así “Necesitamos más gente que resuelva problema”.

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Con frecuencia, los profesores, en clase de Matemáticas suelen denominar "problemas" a actividades de distinta naturaleza. Observemos algunos ejemplos:

Resuelva la ecuación: 2 log (x - 2) = log (x + 4)

Calcule cuánto tiempo tardan dos grifos en llenar la misma bañera si uno la llena en 1 hora y el otro en 1/2 hora.

Calcule cuál es el menor número de líneas rectas que se necesitan dibujar en un papel para tener 100 cuadrados

Una habitación de mi casa mide 12 metros cuadrados de superficie. ¿Qué forma tiene esa habitación? Dibújela. ¿Podría ser de otra forma? Dibuje esa habitación de todas las formas posibles.

Tres amigos llegan a rentar cada uno una habitación, pero en el hotel sólo queda una. El recepcionista dejó al botones encargado por unos minutos. El muchacho les cobra $30.000 por la habitación y cada uno de los amigos pone $10.000. Al regresar el recepcionista el muchacho le da el dinero, pero éste le hace devolver $5.000 a las personas que rentaron la habitación puesto que el costo era de $25.000. En el camino el muchacho se queda con $2.000 y al llegar al cuarto les regresa $1.000 a cada uno. Los amigos se quedaron contentos puesto que pagaron solamente $27.000Si a estos sumamos los $2.000 que el muchacho tomó, dan $29.000 y no los $30.000 que pagaron al principio. Entonces, ¿en dónde quedaron los $1.000 que faltan?

¿Cuáles de ellos crees que son ejercicios y cuáles problemas?

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En esta primera unidad abordaremos tres aspectos importantes de la resolución de problemas en matemáticas, a través de los conocimientos teóricos y de los conocimientos previos de los docentes participantes.

Unidad 1. Lección 1 ¿Qué, para qué y por qué resolver problemas?

Diferencia entre ejercicio y problema

Finalidad en la enseñanza de la

resolución de problemas

Relación de la resolución de problemas

con el desarrollo del pensamiento

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A las tareas para las cuales se ha estudiado previamente un método o algoritmo (hacer divisiones, sumar fracciones, etc.) lo llamaremos ejercicios. Para resolver un problema no basta con aplicar una regla o una "receta" de forma rutinaria, sino que a fuerza de búsqueda y de intuición hay que elaborar una solución profundizando en los conocimientos y experiencias anteriores. Un ejercicio se resuelve rápidamente, por lo general, la resolución de un problema exige bastante tiempo.

Cuando se trata de problemas, hay que resolver una situación usando los conocimientos que se tienen disponibles, es decir, no se cuenta con un procedimiento a mano para resolverlo, pero sí se tienen conocimientos matemáticos y heurísticos* para avanzar en la resolución.

*Heurístico: viene del verbo griego euriskô -de donde proviene también el famoso ¡eureka! que la leyenda atribuye a Arquímedes en la bañera-, que significa "encontrar". Es el arte de resolver problemas.

Diferencia entre ejercicio y problema

“Cuando hablamos de resolución de problemas, la palabra problematiene varios sentidos dependiendo de la persona que habla y, para evitar malentendidos, cuando hablo de problemas o situaciones problema, yo no hablo de ejercicios..., de cosas rutinarias para practicar sino que hablo de situaciones donde hay que reflexionar, hay que buscar, hay que investigar..., donde para responder hay que pensar mucho”.

Claude Gaulin

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La diferencia entre un ejercicio y un problema es relativa; lo que para una persona es un problema no rutinario para otra puede ser un ejercicio, todo depende de los conocimientos y experiencias anteriores.

Un enunciado abierto puede convertir un ejercicio en un problema. Por ejemplo: "¿Cuánto tarda un tren en atravesar un túnel?" o "Vamos a atravesar una calle de circulación rápida y vemos venir un coche, ¿cruzamos o esperamos?". Son enunciados sin datos, situaciones abiertas que requieren: un análisis cualitativo, el replanteamiento del problema y estimaciones numéricas (Ramírez y otros).

Así, dos condiciones esenciales para que haya un problema son:

• Que lo aceptemos como tal (deseo de superación).• Que no se resuelva rápidamente por un procedimiento conocido (necesidad de

deliberación).

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Las creencias que un profesor tenga sobre lo que es un problema matemático y lo que ello implica, inciden en el abordaje que realice al utilizar una estrategia que involucre la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas. Por otra parte, las creencias de los estudiantes al respecto, influenciarán en la forma en que ellos se enfrenten a tales problemas.

En una encuesta realizada a docentes acerca del concepto de problema, arrojó como resultado:

• Primera mayoría: “Es un ejercicio contextualizado en el que el estudiante puede aplicar un concepto o un procedimiento matemático a una situación real”.

• Segunda mayoría: “Es una situación que provee al estudiante la posibilidad de discusiones y descubrimientos relacionados con algún tema”.

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¿Cuándo el problema es matemático?

Deténgase un momento a reflexionar en torno a la siguiente pregunta:

Moderador
Notas de la presentación
El texto que parte como reflexionó y la imagen aparecen luego de hacer clic.

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¿Cuándo el problema es matemático?

Deténgase un momento a reflexionar en torno a la siguiente pregunta:

¿Reflexionó?, Lo que va a distinguir a una persona con pensamiento matemático, no es tanto el saber cálculo, ecuaciones, diferenciales o algebra lineal, sino su forma especial de pensar y analizar los problemas y las situaciones, su motivación por entender cosas difíciles, por buscar relaciones (causa-efecto), por enfrentarse a situaciones nuevas y enfocarlas desde distintas perspectivas, tratando de distinguir lo verdadero de lo que solo parece verdadero.

Moderador
Notas de la presentación
El texto que parte como reflexionó y la imagen aparecen luego de hacer clic.

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¿Cuáles son los tipos de problemas matemáticos?

En las Matemáticas se pueden distinguir tipos de problemas según su finalidad, veamos algunos ejemplos de Polya en su libro “Como plantear y resolver problemas”.

Inscribir un cuadrado en un triángulo dado, tal que dos

vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos

vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos

lados del triángulo respectivamente.

Dos ángulos están situados en dos planos diferentes, pero

cada uno de los lados de uno es paralelo al lado

correspondiente del otro, y en la misma dirección. Demostrar que los dos

ángulos son iguales.

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Hay problemas en los que debemos dar respuesta a una pregunta, encontrando un número, una figura, etc. que cumpla unas condiciones (hallar la incógnita), son los problemas por resolver.

Otros consisten en mostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada, sus elementos principales son la hipótesis y la conclusión, son los problemas por demostrar.

Hay también ocasiones en que se pueden proponer situaciones abiertas para su estudio, sin un objetivo predefinido, desde ahí pueden plantearse los problemas.

"Hacer Matemáticas es resolver problemas”

Polya

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Para abordar la resolución de un problema matemático se precisa:

Conocimiento de estrategias

heurísticas, el resolver problemas puede aprenderse,

enseñar a pensar y a como pensar, los resultados son

secundarios, se trata ante todo de

familiarizarse en métodos y estilos de trabajo, aprender a pensar y aprender a

actuar, es un aprendizaje de

procedimientos.

Conocimientos matemáticos

adecuados a los problemas con los

que se deba enfrentar.

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En esta primera unidad abordaremos tres aspectos importantes de la resolución de problemas en matemáticas, a través de los conocimientos teóricos y de los conocimientos previos de los docentes participantes.

Diferencia entre ejercicio y problema

Finalidad en la enseñanza de la

resolución de problemas

Relación de la resolución de problemas

con el desarrollo del pensamiento

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Durante el año 1980, en América del Norte, se publicó un documento, en el que se recomendaba tener como objetivo principal de la siguiente década, la resolución de problemas en la enseñanza de la matemática escolar.

¿Cómo fue interpretada esta recomendación? La investigación evidencia que hubo al menos seis distintas interpretaciones muy comunes:

Cuando trabajo la resolución de problemas ¿tengo en cuenta con qué finalidad estoy enseñando?

Dar más importancia a la

última sección del capítulo que

contenía ejercicios, no

problemas genuinos.

Dar a los alumnos problemas

genuinos, de vez en cuando,

además de los ejercicios.

Enfatizar la resolución de

problemas, donde en lugar de dar

problemas abstractos se dan

problemas de la realidad de la

vida, de cada día.

Enfatizar la resolución de

problemas enseñando

estrategias de resolución de

problemas.

Enseñar a los alumnos algo

sobre el proceso de resolución de

problemas, lo que significa que hay

que darles instrumentos

para que sean mejores en la resolución de

problemas.

Para realmente

enfatizar la resolución de problemas, lo

importante no es resolver más problemas o

aplicarlos en la vida cotidiana, lo

importante es que la resolución

de problemas permite enseñar y

aprender matemáticas.

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• Vemos que las primeras cuatro interpretaciones, tienen un objetivo común que es “enseñar para la resolución de problemas”, lo que significa que hay que enseñar la manera que nuestros alumnos, al final, sean capaces de resolver problemas, problemas genuinos, no importando que sean matemáticos o de la vida real o problemas verbales, que muchas veces son ejercicios.

• La penúltima interpretación tiene como objetivo “enseñar sobre cómo resolver problemas”es decir definir y seguir pasos o procedimientos para llegar a la solución deseada.

• La última interpretación se focaliza en “enseñar a través de la resolución de problemas” es decir a partir de la resolución de problemas se puede aprender matemáticas, se utiliza como un medio para que el estudiante pueda hacer sus propios descubrimientos.

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Las interpretaciones nos llevan a distinguir que la intencionalidad de la enseñanza de resolución de problemas tiene tres perspectivas:

Son tres perspectivas importantes. En los dos primeros casos la resolución de problemas está considerada como un objetivo y, en el tercer caso, como vehículo para enseñar o como estrategia didáctica. En muchas ocasiones, esta falta de claridad en la intencionalidad que se le da a la resolución de problema es el primer motivo de dificultad en la enseñanza y aprendizaje de esta habilidad.

• Enseñar "PARA" la resolución de problemas.

• Enseñar "SOBRE" la resolución de problemas.

• Enseñar "A TRAVÉS" de la resolución de problemas.

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El tema de la resolución de problemas es complejo, tiene muchos aspectos, Gaulin señala algunos como:

• la meta cognición, ir supervisando, evaluando el cómo se está resolviendo, • las creencias o actitudes que se deben desarrollar, • los aspectos afectivos, estimular la motivación, • la comprensión de problemas verbales o enunciados escritos.

No siempre los problemas vienen después de la teoría, se puede comenzar con un problema, o a veces utilizar un problema mientras los alumnos están aprendiendo. Un problema no sólo sirve para aplicarlo al final, puede servir para explorar una nueva idea, consolidar un problema, puede venir antes, durante o después de la "teoría".

Integrar la resolución de problemas con toda la matemática que se enseña, no es fácil porque no es contenido sino que es un proceso. Enseñar a los alumnos para que sean mejores en resolución de problemas, no es enseñarles un contenido, es desarrollar habilidades intelectuales, procesos, actitudes, entre otros.

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En esta primera unidad abordaremos tres aspectos importantes de la resolución de problemas en matemáticas, a través de los conocimientos teóricos y de los conocimientos previos de los docentes participantes.

Diferencia entre ejercicio y problema

Finalidad en la enseñanza de la

resolución de problemas

Relación de la resolución de problemas

con el desarrollo del pensamiento

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Nuevamente, paremos un momento para reflexionar :

¿Por qué asociar la resolución de problemas preferentemente a las Matemáticas?

¿Por qué aprender los procedimientos asociados a la resolución de problemas?

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Las Matemáticas no son un campo cerrado en sí mismo, en el desarrollo de las capacidades de resolución de problemas matemáticos hay transferencias a los demás campos del conocimiento, por ello, esta educación tiene un valor universal. Equipa a la persona para su actividad integral, no solo en lo que se refiere a sus capacidades matemáticas.

Esto es así por dos razones: 1. La Matemática es fundamentalmente una "ciencia del método", ya que maneja objetos

abstractos, interesándose ante todo por sus aspectos estructurales. Al carecer de una carga de connotaciones y significados contextuales se presta, como ningún otro campo, para poner de manifiesto la eficacia de las diversas estrategias de pensamiento.Aunque los contenidos matemáticos de hoy perdieran importancia dentro de unos pocos años, los procesos mentales para la resolución de problemas, la capacidad de adaptación a nuevos retos, no se volverían obsoletos.

¿Por qué aprender los procedimientos asociados a la resolución de problemas?

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2. La Matemática se basa en tres estructuras fundamentales, irreducibles entre sí, a partir de las cuales se construyen todas las teorías (Bourbaki).

La Psicología Genética (Jean Piaget) ha descubierto que las estructuras mentales del niño se organizan espontáneamente en estas tres categorías: operación, orden y espacialidad. Por ello, pensar en Matemáticas es hacerlo sobre el propio pensamiento.

Matemática

Estructuras algebraicas (operación)

Estructuras de orden (retículo)

Estructuras topológicas

(espacio topológico)

De ahí la "naturalidad" de las Matemáticas, interiorización de la experiencia de conocimiento humana, y la transferencia de los aprendizajes del campo matemático al conocimiento en general.

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Si bien el pensamiento matemático está íntimamente relacionado con la capacidad de pensar y trabajar en términos numéricos empleando el razonamiento lógico, este tipo de inteligencia trasciende el ámbito de las matemáticas y colabora con nuestra habilidad para comprender conceptos de otra naturaleza y para relacionarlos basándonos en esquemas y técnicas ordenadas. Es a través del pensamiento matemático que podemos convertir los cálculos, las hipótesis, las cuantificaciones y las proposiciones en un recurso natural de nuestro cerebro.

Las transferencias de aprendizajes no son automáticas y se producen con mayor facilidad cuanto mayor sea la proximidad entre el contexto de adquisición y el contexto de aplicación. Uno de los terrenos en que se localiza esa proximidad es el del interés y apropiación del problema por el alumno. Son mayores las posibilidades de transferencia desde un problema que es sentido como algo propio.

La educación en la resolución de problemas potencia una "actitud científica" que busca aumentar el conocimiento de la realidad para aumentar las posibilidades de elección y de actuar sobre esa realidad.

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¿Por qué es importante desarrollar el pensamiento matemático?

El pensamiento lógico matemático incluye cálculos matemáticos, pensamiento numérico, solucionar problemas, para comprender conceptos abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones. Todas estas habilidades van mucho más allá de las matemáticas entendidas como tales, los beneficios de este tipo de pensamiento contribuyen a un desarrollo sano en muchos aspectos y consecución de las metas y logros personales, y con ello al éxito personal.

La inteligencia lógico matemática contribuye a:

• Desarrollar el pensamiento y la inteligencia.• Aumentar capacidad de solucionar problemas en diferentes

ámbitos de la vida, formulando hipótesis y estableciendo predicciones.

• Fomentar la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo.

• Permitir establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensión más profunda.

• Proporcionar orden y sentido a las acciones y/o decisiones.

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La enseñanza de resolución de problemas es una gran oportunidad para trabajar en equipos (grupos), para descubrir, debatir o resolver juntos. Por otra parte, Miguel de Guzmán plantea que el trabajo en grupo constituye el marco ideal para el aprendizaje de la resolución de problemas. Los estudiantes participan juntos en un diálogo que refleja el tipo de diálogo interno que tienen consigo mismos.

Además este trabajo en equipo les permite constatar la insuficiencia de las ideas y resultados obtenidos por una persona y la necesidad de cotejar con los otros, característica fundamental del trabajo científico. Este proceso requiere que el alumno piense antes sobre cómo actúa él mismo cuando resuelve el problema, reflexionando sobre sus propios procesos de pensamiento, realizando metacognición.

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La resolución de problemas es un instrumento magnífico para dar oportunidades a los estudiantes de desarrollar habilidades intelectuales, habilidades de autonomía, de pensamiento, estrategias, para que aprendan a enfrentarse a situaciones complejas, como las que tienen en el mundo del siglo XXI.

Los expertos dicen que la competencia es la capacidad de movilizar recursos cognitivos (conocimientos, habilidades, cosas que hemos aprendido) y aplicarlas en un contexto real. Aprender a resolver problemas es aprender a enfrentarse a situaciones nuevas, donde no se sabe como resolver el problema, hay que pensar y hay que utilizar estrategias diversas para resolverlo.

Así pues es posible pensar que gracias a la resolución de problemas se puede llegar más fácilmente a la adquisición de competencias.

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Las actividades matemáticas potencian y promueven un desarrollo armónico del estudiante, especialmente para:

despertar la curiosidad y el interés en actividades, objetos y planteamientos matemáticos,

despertar la alegría en actividades matemáticas, especialmente en el “aprender investigando”,

fomentar la creatividad y la fantasía,

desarrollar las habilidades de reflexión, de memorización y de lenguaje,

capacitar y acostumbrarse a una postura de concentración y de perseverancia,

educar a la autodeterminación, a la exactitud y al cuidado y por último

desarrollar una postura de responsabilidad social. ” (Eichler/Grassmann/Mierwald, ibid, p. 3)

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Situación de partida no estructurada, la sola descripción puedesuponer un gran esfuerzo.

Abstracción individual de la situación planteada, puedeconducir a establecer el problema.

La definición explícita del problema, requiere establecerclaramente los elementos que componen el sistema, susatributos, las relaciones entre ellos.

Llevar la descripción anterior a modelos matemáticos que nosden una representación formal de la esencia del problema. Esen este nivel donde se emplean procedimientos para resolver elproblema en términos matemáticos, es decir matematizar .

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Proceso de resolución de un problema

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Las matemáticas permiten el desarrollo de conocimientos, capacidades y habilidades, costumbres y convicciones para dar respuestas a preguntas elementales en cuanto al medio social y ambiental y constituyen una base sostenible para el aprendizaje posterior, no solamente para la asignatura de matemática.

La resolución de problemas requiere y desarrolla diversas habilidades cognitivas, el documento “Taxonomía de Robert Marzano” indica la organización de los diferentes niveles de pensamiento asociados a múltiples habilidades que los identifican.

En el sentido kantiano

Educar en la resolución de problemas es educar para ser personas; personas que dejan de ver las situaciones como inevitables para considerarlas como problemas pendientes .