deformación axial por carga

FAEDISMECÁNICA DE SÓLIDOS

DEFORMACIÓN AXIAL

Objetivo

Realizar el análisis de fuerza que actúan sobre elementos sencillos que pueden conformar una estructura, para el cálculo de deformaciones y comprender este fenómeno físico como consideración para aplicaciones de carga y determinación de esfuerzos.

Objetivos específicos.

Calcular la deformación de barras bajo la acción de carga axial. Analizar y describir la curva esfuerzo – deformación como medio para definir

laspropiedades físicas de determinados materiales. Aplicar la ley de Hooke para describir el comportamiento de diferentes

materiales de acuerdo a su módulo de elasticidad. Aplicar la ley de Hooke para el cálculo de deformaciones de elementos

sometidos acarga axial. Describir la Ley de Poisson como propiedad física de elementos estructurales

de determinado material.

Contexto.

La unidad anterior se dedico exclusivamente a la resistencia de un material, es decir, a las relaciones entre la fuerza (carga), la superficie y el esfuerzo. En esta unidad, se estudia otro campo de la resistencia de materiales, los cambios de forma, es decir, las deformaciones que acompañan a un determinado estado de fuerzas. Aunque se limita al caso de barras cargadas axialmente, los principios y métodos que se desarrollanson aplicables a los casos más complejos de flexión. En particular, se estudian lasrelaciones geométricas entre las deformaciones elásticas que, junto con las condiciones de equilibrio y las relaciones fuerza – deformación, permita resolver los problemas estáticamente determinados e indeterminados.

Deformación Normal bajo carga axial (.

Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son el esfuerzo (σ) y la deformación unitaria(ε). Estos conceptos pueden ilustrarse en su forma más elementalconsiderando una barra prismática sometida a fuerzas axiales.

Una barra prismática es un miembro estructural recto con sección transversal constante en toda su longitud. Fuerza Axial es una carga dirigida a lo largo del eje del miembro que somete a éste a tensión o a compresión.

EJEMPLO 1

Los miembros de una armadura de puente, las bielas enmotores de automóviles, los rayos de las ruedas de bicicletas, las columnas en edificiosy los puntales de las alas de aeroplanos pequeños, son ejemplos que ilustran el efecto enunciado.

Documentos referencia: Beer & Johnston (Ed. Mc Graw Hill). Singer & Pytel (Ed. Alfa & Omega)

Recopiló: Marisol Nemocón Ruiz


Se considera la barra de arrastre y se aisla un segmento de ella comocuerpo libre (ver figura siguiente). Al dibujar este diagrama de cuerpo libre, se desprecia el peso propio de la barra y se supone que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. A continuación, se consideran dos vistas de la barra; la primera muestra la barra antes de la aplicación de las cargas, y la segunda la muestra después de aplicadas las cargas.

Nótese que la longitud inicial de la barra se denota con la letra L y que el incremento en longitud sedenota con la letra griega (delta).

Los esfuerzos internos en la barra quedan expuestos, si se hace un corte imaginario a través de la barra en la sección mn. [Ver figura Anterior (c)] Como esta sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se le llama sección transversal. Aislamos ahora la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal mncomo cuerpo libre [Figura (d)]. En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn) mostramos la acción de la parte retirada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte restante. Esta acción consiste en una fuerza distribuida en forma continua que actúa sobre toda la sección transversal. La intensidad de la fuerza(o sea, la fuerza por área unitaria) se llama esfuerzo y se denota con la letra griega(sigma). Por lo tanto, la fuerza axial P que actúa en la sección transversal es la resultante de esfuerzos distribuidos en forma continua. [La fuerza resultante aparece como una línea punteada (figura anterior (d)].

Suponiendo que los esfuerzos están distribuidos uniformemente sobre la sección transversal mn, vemos que su resultante debe ser igual a la intensidadmultiplicadapor el área A de la sección transversal de la barra; por lo tanto, obtenemos la siguiente expresión para la magnitud de los esfuerzos:

Esta ecuación da la intensidad del esfuerzo uniforme en una barra prismática cargadaaxialmente de sección transversal arbitraria. Cuando la barra es estirada por las




fuerzasP, los esfuerzos son esfuerzos de tensión, si las fuerzas son invertidas en sentido, ocasionando que la barra quede comprimida, obtenemos esfuerzos de compresión.

La condición de esfuerzo uniforme mostrada anteriormente está presente a todo lo largo de la barra excepto cerca de sus extremos. La distribución del esfuerzo en el extremo de una barra, depende de cómo se transmite a ésta la carga P. Si la carga está distribuida uniformemente sobre el extremo de una barra, depende de cómo se transmite a ésta la carga P. Si la carga está distribuida uniformemente sobre el extremo, entonces el patrón de esfuerzos será el mismo en otras partes; pero es más probable que la carga sea transmitida por medio de un perno o de un pasador, con lo cual se generan esfuerzos altamente localizados, llamados concentraciones de esfuerzos.

La barra de esfuerzos de ojo de la figura que se encuentra a continuación ilustra una posibilidad. En este caso, las cargas P son transmitidas a la barra por pasadores que pasan por los agujeros (u ojos) en los extremos de las barra; por lo tanto, las fuerzas mostradas en la figura son las resultantes de presiones de apoyo o aplastamiento entre los pasadores de la barra de ojo y la distribución del esfuerzo alrededor de los agujeros (u ojos) en los extremos de la barra; por lo tanto, las fuerzas mostradas en la figura son las resultantes de presiones de apoyo o aplastamiento entre los pasadores y la barra de ojo y la distribución del esfuerzo alrededor de los agujeros es bastante compleja. Sin embargo, al alejarnos de los extremos y acercarnos al centro de la barra, la distribución del esfuerzo tiende gradualmente a la distribución uniforme.

Como regla práctica, la formula= P/A puede usarse con buena aproximación en cualquier punto dentro de una barra prismática que esté alejado de la concentración de esfuerzos por lo menos una distancia igual a la dimensión lateral más grande de la barra.

En otras palabras, la distribución del esfuerzo en la barra es uniforme a distancias d o mayores desde los extremos, donde d es el diámetro de la barra y la distribución en la barra de ojo es uniforme a distancias b mayores desde los extremos ampliados, donde b es el ancho de la barra.

Desde luego, aun cuando el esfuerzo no esté uniformemente distribuido, la ecuación= P/A es de utilidad porque da el esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal.

DEFORMACION UNITARIA NORMAL.

Una barra recta cambiará de longitud al cargarla axialmente, volviéndose más larga en tensión y más corta en compresión. Por ejemplo, considérese una barra prismática (ver la figura). El alargamientoδ, es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los elementos del material en todo el volumen de la barra. Supongamos que el material es el mismo en toda la barra. Entonces si consideramos la mitad de la barra (longitudL/2), ésta tendrá un alargamiento igual aδ/2,y si consideramos un cuarto de barra, éstetendrá un alargamiento igual aδ/4. De modo similar, una longitud unitaria de barratendrá un alargamiento igual a 1/L veces el alargamiento totalδ. Por medio de esteproceso, llegamos al concepto de alargamiento por unidad de longitud, o deformaciónunitaria, denotada con la letra griegaε (épsilon) y dada por la ecuación:




Si la barra está en tensión, la deformación unitaria se llama deformación unitaria a tensión, que representa un alargamiento o estiramiento del material. Si la barra está encompresión, la deformación unitaria es una deformación unitaria a compresión y labarra se acorta. En términos generales, la deformación unitaria a tensión se considerapositiva y la deformación unitaria a compresión negativa. La deformación unitariaεsellama deformación unitaria normal porque está asociada con esfuerzos normales.

Debido a que la deformación unitaria es la razón de dos longitudes, es una cantidad adimensional, o sea, no tiene unidades, por lo tanto, la deformación unitaria se expresasimplemente con un número, independiente de cualquier sistema de unidades. Losvalores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, porque lasbarras hechas de materiales estructurales sólo sufren pequeños cambios de longitud alser cargadas. Como ejemplo, consideremos una barra de acero de longitud L igual a 2.0m. Al ser cargada fuertemente en tensión, podría alargarse 1.4 mm, lo que implica quela deformación unitaria es:

En la práctica, las unidades originales deδ y L suelen unirse a la deformación unitaria misma y entonces ésta se registra en formas como mm/m,μm/m y in/in; por ejemplo, la deformación unitariaεen el ejemplo anterior podría expresarse como 700μm/m o 700x 10-6 in/in.Además la deformación unitaria se expresa a veces como un por ciento, en especial cuando es grande.

Esfuerzo y Deformación Unitaria uniaxiales

Las definiciones de esfuerzo normal y deformación unitaria normal se basan en consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que significa que las ecuacionesAP yL, pueden usarse para cargas de cualquier magnitud y material. El principal requisito es que la deformación de la barra sea uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que esta sea prismática, que las cargas pasen por los centroides de las secciones transversales y que el material sea homogéneo, (es decir, que sea el mismo en todas las partes de la barra). El estado de esfuerzo y de deformación unitaria resultantes se llama esfuerzo y deformación unitaria uniaxial.

Línea de Acción de las fuerzas axiales para una distribución uniaxial de esfuerzo.

En todo el análisis anterior del esfuerzo y de la deformación unitaria en una barra prismática, supusimos que el esfuerzo normal σ estaba distribuido uniformemente sobre la sección transversal. Demostraremos ahora que esta condición se satisface si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área de la sección transversal.

Para esto, consideremos una barra prismática de sección transversal arbitraria, como se muestra en la figura siguiente, sometida a fuerzas axiales P que producen esfuerzos σ distribuidos uniformemente. Sea p1 el punto de la sección transversal donde la línea de acción de las fuerzas interseca la sección transversal. Construimos un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y denotamos las coordenadas del punto p1 por x y y. Para determinar




esas coordenadas, observamos que los momentos Mx y My de la fuerza P respecto a los ejes x y y, respectivamente, deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos uniformemente. Los momentos de la fuerza P son:

En donde un momento se considera positivo cuando su vector (usando la regla de la mano derecha) actúa en la dirección positiva del eje. Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área A de la sección transversal. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento de área dA (ver figura segunda parte), es igual aσ dA. Los momentos de esta fuerza diferencial respecto a los ejes x y x son σ y dAy –σxdA. Respectivamente, en donde x y y denotan las coordenadas del elemento dA. Los momentos totales se obtienen integrandosobre el área de la sección transversal; así obtenemos,

Estas expresiones dan los momentos producidos por el esfuerzo σ. A continuación, igualamos los momentos Mx y My obtenidos con la fuerza P M Py M Pxx y , con los momentos resultantes del esfuerzo distribuido

M ∫ydA M ∫xdAx y :Py∫ydAPx∫xdA

Como el esfuerzo σestá uniformemente distribuido, sabemos que es una constante sobre el área A de la sección transversal y puede sacarse de los signos de integración. Además, sabemos que el esfuerzo es igual a P/A; por lo tanto, obtenemos las siguientes formulas para las coordenadas del punto p1 :

Estas ecuaciones son las mismas que las ecuaciones que definen las coordenadas del centroide de un área; por lo tanto, hemos llegado a una importante conclusión: paratener tensión o comprensión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debeactuar por el centroide de área de la sección transversal. Como se explico antes, siempre supondremos esto, a menos que se establezca otra cosa. En los ejemplos siguientes se ilustrará el cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en barras prismáticas. En el primer ejemplo se despreciará el peso de la barra y en elsegundo se incluye.

EjemploCon los datos del poste del ejemplo de la pagina 12 y teniendo en cuenta que el acortamiento del poste debido a la carga es de 0.0022 pulg (valor medido). Determinar deformación unitaria en el poste. (Se desprecia el peso del poste y se supone que éste no se pandea bajo la carga).




La deformación unitaria de compresión es:Partiendo de la ecuación

Con esto, quedan calculados el esfuerzo y la deformación unitaria en el poste.Nota: Como ya se explico antes la deformación unitaria es una cantidad sin dimensiones por lo que no se requiere indicar unidades para ella. Sin embargo, por claridad, suelen hacerse, en este ejemplo, εpodría escribirse como 550x 10-6 in/in o 550 μin/in.

Diagramas Esfuerzo-Deformación Unitaria.

Los resultados de las pruebas dependen en general del tamaño de la probeta ensayada. Como es poco probable que se diseñe una estructura con las partes del mismo tamaño que las probetas de prueba, los resultados de las pruebas se deben expresar en forma tal que puedan aplicarse a miembros de cualquier tamaño. Una manera simple de alcanzar este objetivo es convertir los resultados de las pruebas en esfuerzos y deformaciones unitarias.

El esfuerzo axial σ En una probeta de prueba se calcula dividiendo la carga axial P entre el área A de la sección transversal AP . Cuando se usa el área inicial de la probeta en los cálculos, el esfuerzo se llama esfuerzo nominal (Otros nombres son: esfuerzo convencional y esfuerzoingenieril). Un valor más exacto del esfuerzo axial, llamado esfuerzo verdadero, puede calcularse usando el área real de la barra en la sección transversal en que ocurre la falla. Como el área real en una prueba de tensión es siempre menor que el área inicial, el esfuerzo verdadero es mayor que el esfuerzo nominal.

La deformación unitaria axial promedio ε en la probeta de prueba se encuentra dividiendo el alargamiento medido δ entre las marcas de calibración, entre la longitud




calibrada L. Si se usa la longitud calibrada inicial en los cálculos (por ejemplo, 2.0 in) se obtiene la deformación unitaria nominal.

Puesto que la distancia entre las marcas de calibración crece conforme se aplica la carga, podemos calcular la deformación unitaria verdadera (deformación unitaria natural) para cualquier valor de la carga usando la distancia real entre las marcas de calibración. En tensión, la deformación unitaria verdadera siempre es menor que la deformación unitaria nominal. Sin embargo, para la mayoría de los fines ingenieriles, el esfuerzo nominal y la deformación unitaria nominal son adecuados, como se explicara después en esta sección.

Después de efectuar una prueba de tensión o compresión y determinar el esfuerzo y la deformación unitaria para varias magnitudes de la carga, podemos trazar un diagrama de esfuerzo versus deformación unitaria.

Tal diagrama esfuerzo-deformación unitaria es una característica del material particular que se está probando y contiene importante información sobre propiedades mecánica y tipo de comportamiento.

El primer material que estudiaremos es el acero estructural conocido también como acero dulce o acero al bajo carbono. El acero estructural es uno de los aceros mas usados y se encuentra en edificios, puentes, grúas, barcos, torres, vehículos y muchos otros tipos de construcciones.

En la siguiente figura se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural típico en tensión, las deformaciones unitarias se miden sobre el eje horizontal y los esfuerzos sobre el eje vertical. (Para mostrar todas las características importantes de este material el eje de las deformaciones unitarias en la figura no está dibujado a escala).




El diagrama comienza con una línea recta que va del origen O al punto A, lo que significa que la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en esta región inicial no es solo lineal sino también proporcional1. Más allá del punto A, la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria ya no existe; por esto el esfuerzo en A se llama límite proporcional. Para aceros al bajo carbono, este límite varía de 30 a 50 ksi (210 a 350 MPa), pero los aceros de alta resistencia (con contenido de carbono mayor que otras aleaciones) pueden tener límites proporcionales de más de 80 ksi (550 MPa).

La pendiente de la línea recta O a Ase llama módulo de elasticidad. Como la Pendiente tiene unidades de esfuerzo dividido entre deformación unitaria, el modulo de elasticidad posee las mismas unidades que el esfuerzo.

Con un incremento en el esfuerzo más allá del límite proporcional, la deformación unitaria comienza a crecer con más rapidez para cada incremento del esfuerzo; en consecuencia, la curva esfuerzo-deformación unitaria tiene una pendiente cada vez menor, hasta que el punto B se vuelve horizontal (como se observa en la figura anterior). Comenzando en este punto, ocurre un considerable alargamiento de la probeta de prueba sin un incremento permisible en la fuerza de tensión (de B a C) este fenómeno se conoce como fluencia del material y el punto B se llama punto defluencia. El esfuerzo correspondiente se conoce como esfuerzo de fluencia del acero. En la región de B a C, el material se vuelve perfectamente plástico, lo que significa que se deforma sin un incremento de la carga aplicada. En términos habituales, el alargamiento de una probeta de acero dulce la región perfectamente plástica es de 10a 15 veces el alargamiento que ocurre en la región lineal (entre el principio de la carga yel limite proporcional). La presencia de deformaciones unitarias muy grandes en laregión plástica (y mas allá) es la razón para no trazar este diagrama a escala.

Después de experimentar las grandes deformaciones unitarias que ocurren durante lafluencia en la región BC, el acero empieza a endurecerse por deformación. Durante elendurecimiento por deformación, el material experimenta cambios en su estructuracristalina, lo que conduce a una resistencia mayor del material a deformacionesadicionales. El alargamiento de la probeta de prueba en esta región requiere unincremento de la carga de tensión, por lo que el diagrama de esfuerzo-deformaciónunitaria tiene una pendiente positiva de C a D. La carga termina por alcanzar su nivel máximo y el esfuerzo correspondiente (punto D) se llama esfuerzo




último. Unalargamiento adicional de la barra va acompañado por una reducción de la carga y lafractura ocurre finalmente en un punto como el E en la figura anterior.

El esfuerzo de fluencia y el esfuerzo último de un material se llaman tambiénresistencia de fluencias y resistencia última, respectivamente. Resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una estructura para resistir cargas.

Por ejemplo, la resistencia a la fluencia de una viga es la magnitud de la cargarequerida para causar la fluencia en la viga y la resistencia ultima de una armadura esla carga máxima que puede soportar - esto es, la carga de falla -. Sin embargo, cuandose lleva a cabo una prueba de tensión de un material particular, definimos la capacidadde tomar carga por los esfuerzos en la probeta y no por las cargas totales que actúansobre la probeta; en consecuencia, la resistencia de un material suele indicarse comoun esfuerzo.

Cuando una probeta de prueba se estira, sufre una contracción lateral, según se menciono antes. El decremento resultante del área transversal es muy pequeño para que tenga un efecto significativo en los valores calculados de los esfuerzos hasta aproximadamente el punto C de la figura anterior, pero más allá de ese punto la reducción del área comienza a modificar la forma de la curva. En la vecindad del esfuerzo último la reducción del área de la barra resulta visible y ocurre una estricción pronunciada en ella

Si se usa el área verdadera de la sección transversal de la parte estrecha debido a la estricción para calcular el esfuerzo, se obtiene la curva verdadera esfuerzo deformación unitaria (la línea de rayas CE en la figura siguiente, Diagrama esfuerzo deformación unitaria). La carga total que la barra puede soportar disminuye después de alcanzar el esfuerzo último (curva DE, pero esta reducción se debe a la disminución del área de la barra y no a una pérdida de resistencia del material mismo. En realidad el material soporta un incremento en esfuerzo verdadero hasta la falla (punto E’). Como se espera que la mayoría de las estructuras funcionen a esfuerzos inferiores al límite proporcional, la curva convencional esfuerzo-deformación unitaria OABCDE, que se basa en el área transversal original de la probeta y es fácil de determinar, proporciona información satisfactoria para su uso en el diseño ingenieril.




El diagrama de la figura anterior muestra las características generales de la curva esfuerzo-deformación unitaria del acero dulce, pero sus proporciones no son realistas porque, como ya se mencionó, la deformación unitaria que ocurre de B a C puede ser mas de diez veces la deformación unitaria que ocurre de O a A. Además, las deformaciones unitarias de C a E son muchas veces mayores que las que se presentan deB a C las relaciones correctas se ilustran en la a continuación, que es el diagramaesfuerzo-deformación unitaria para el acero dulce trazado a escala. En esta figura, las deformaciones del punto cero al punto A son tan pequeñas en comparación con las deformaciones unitarias del punto A al punto E, que no pueden verse, y la parte inicial del diagrama aparece como una línea vertical.

La presencia de un punto de fluencia bien definido seguido de grandes deformaciones unitarias plásticas es una característica importante del acero estructural que se utiliza a veces en el diseño práctico. Los metales, como el acero estructural, que sufren grandesdeformaciones permanentes antes de fallar, se clasifican como dúctiles; por ejemplo, la ductibilidad es la propiedad que permite a una barra de acero doblarse en un arco circular o estirarse en forma de alambre sin romperse. Una característica deseable de los materiales dúctiles es que ocurra en ellos una deformación visible si las cargas alcanzan grandes valores, ya que entonces pueden tomarse medidas correctivas antes de que ocurra la falla. Los materiales que exhiben comportamiento dúctil son capaces de absorber grandes cantidades de energía de deformación antes de fracturarse.

El acero estructural es una aleación de hierro con aproximadamente 0.2% de carbono y por ello se clasifica como acero al bajo carbono. Al aumentar el contenido de carbono el acero se vuelve menos dúctil pero más resistente (mayor esfuerzo de fluencia y mayor esfuerzo último). Las propiedades físicas del acero también son afectadas por el




tratamiento térmico, la presencia de otros metales y procesos de fabricación como el laminado. Otros materiales que se comportan de manera dúctil (en ciertas condiciones)son: aluminio, cobre, magnesio, plomo, molibdeno, níquel, latón, bronce, metal monel,Nylon y teflón.

Aunque pueden tener considerable ductibilidad las aleaciones de aluminio no poseen un punto claramente definido de fluencia – como se ve en el diagrama esfuerzo deformación unitaria de la siguiente; pero tiene una región lineal inicial con un límite proporcional reconocible. Las aleaciones producidas con fines estructurales tienen límites proporcionales en el intervalo de 10 a 60 ksi (70 a 410 Mpa) y esfuerzos últimos en el intervalo 20 a 80 ksi (140 a 550 Mpa).

Cuando un material como el aluminio no tiene un punto de fluencia obvio y sufre grandes deformaciones unitarias después de excedido el límite proporcional puede determinarse un esfuerzo de fluencia arbitrario por el método del corrimiento. Se traza una línea recta sobre el diagrama esfuerzo-deformación unitaria paralela a la parte inicial de la curva como se muestra en la figura, desplazada cierta deformación estándar, como 0.002 (o 0.2%).

La intersección de la línea desplazada y la curva esfuerzo-deformación unitaria (punto A en la figura) define el esfuerzo de fluencia como este esfuerzo está determinado por unaregla arbitraria y no es una propiedad física inherente del material, debe distinguirse deun esfuerzo verdadero de fluencia y referirse a él como un esfuerzo de




fluenciadesplazado. Para un material como el aluminio el esfuerzo de fluencia desplazado estaun tanto arriba del límite proporcional. En el caso del acero estructural, con su abruptatransición de la región lineal a la región de estiramiento plástico, el esfuerzo de fluenciadesplazado es esencialmente el mismo que el esfuerzo de fluencia y el límiteproporcional.El hule mantiene una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria hasta valores relativamente grandes de la deformación unitaria (en comparación con los metales). La deformación unitaria en el límite proporcional puede ser tan alta como 0.1o 0.2 (10 o 20 %).

Más allá del límite proporcional, el comportamiento depende del tipo de hule. Algunos tipos de hule blando se estiran enormemente sin fallar y alcanzan longitudes iguales a varias veces sus longitudes originales. El material termina ofreciendo una resistencia creciente a la carga y la curva esfuerzo-deformación unitaria se dobla claramente hacia arriba. Este comportamiento característico puede percibirse con facilidad estirando una banda de hule con las manos. (Nótese que aunque exhibe deformaciones unitarias muy grandes, no es un material dúctil porque sus deformaciones no son permanentes.)La ductibilidad de un material en tensión puede caracterizarse por su alargamiento y laReducción de su área transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento se define como sigue:

En donde Lo es la longitud calibrada original y Lfes la distancia entre las marcas de calibración en la fractura. Puesto que el alargamiento no es uniforme sobre la longitud de la probeta sino que se concentra en la región de la estricción, el porcentaje de alargamiento depende de la longitud calibrada. Por esto, cuan do se da el porcentaje de alargamiento siempre debe indicarse la longitud calibrada. Para una longitud calibrada de 2 in, el acero puede tener un alargamiento de 3 a 40% dependiendo de su composición; en el caso del acero estructural, son comunes los valores de 20 a 30 %. El alargamiento de las aleaciones de aluminio varía de 1 a 45 % según la composición y el tratamiento.

El porcentaje de reducción de área mide la cantidad de estricción que presenta y se define de la siguiente manera.

E

En donde Ao es el área transversal original y Af es el área final en la sección de la fractura. Para aceros dúctiles, esta reducción es aproximadamente de 50 %.




Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de la deformación unitaria se clasifican como frágiles. Algunos ejemplos son: concreto, piedra, hierro fundido, vidrio, cerámicos ydiversas aleaciones metálicas los materiales frágiles fallan con poco alargamiento después de que se han excedido el límite proporcional (el esfuerzo en el punto A en la figura a continuación. La reducción de área es insignificante por lo que el esfuerzo nominal de fractura (punto B) es el mismo que el esfuerzo último verdadero. Los aceros al alto carbono tienen esfuerzos de fluencia muy altos más de 100 ksi (700 MPa) en algunos casospero su comportamiento es frágil y la factura ocurre con alargamientos de solo un bajo porcentaje.

El vidrio es un material ordinario es un material casi idealmente frágil porque no exhibe ninguna ductilidad. La curva esfuerzo deformación unitaria para el vidrio en tensión casi es una línea recta; su falla ocurre antes de que tenga lugar cualquier fluencia. El esfuerzo último es de aproximadamente 10 000 psi (70 MPa) para ciertos tipos de vidrio en placas, pero existen grandes variaciones, dependiendo del tipo de vidrio, el tamaño de la probeta y la presencia de defectos microscópicos. Las fibras de vidrio pueden desarrollar enormes resistencias y se han alcanzado esfuerzos últimos de más de 1000000 psi (7 GPa).

Muchos tipos de plásticos se usan con fines estructurales debido a su bajo peso, resistencia a la corrosión y buenas propiedades aislantes eléctricas. Sus propiedades mecánicas varían de manera considerable, algunos son frágiles y otros son dúctiles. Al diseñar con plásticos es importante tener en cuenta que los cambios de temperatura y el paso del tiempo afectan sus propiedades en forma muy notoria; por ejemplo el esfuerzo último de tensión de algunos plásticos se reduce a la mitad al elevarse la temperatura de50 a 120° F. Un plástico cargado puede estirarse gradualmente con el paso del tiempo hasta que pierde su capacidad de servicio; por ejemplo, una barra de cloruro polivinílico sometido a una carga de tensión que le produce una deformación unitaria inicial de 0.005, puede adquirir el doble de esta deformación después de una semana aún cuando la carga permanezca constante. (Fenómeno llamado flujo plástico, que se verá más adelante).

Un material reforzado con filamentos consta de un material base (o matriz) en que están embebidos filamentos o fibras de alta resistencia. El material compuesto resultante tiene una resistencia mucho mayor que la del material base; por ejemplo el uso de fibras de vidrio puede más que duplicar la resistencia de una matriz plástica. Los materiales compuestos se usan ampliamente en aviones, botes, cohetes y vehículosespaciales, donde se requiere alta resistencia y poco peso.

Las curvas de esfuerzo deformación unitaria para materiales en compresión difieren de las de tensión. Los metales dúctiles como el acero, el aluminio y el cobre tienen límites




proporcionales en compresión muy cercanos a los de tensión y las regiones iniciales de sus diagramas esfuerzo-deformación unitaria en compresión y tensión son aproximadamente las mismas.

Sin embargo después de comenzada la fluencia elcomportamiento es bastante diferente. En una prueba a tensión la probeta se alarga,puede ocurrir la estricción y puede ocurrir la factura. Cuando el material se comprime,se abomba hacia los lados y toma forma de barril, debido a que la fricción entre la probeta y las placas extremas impide la dilatación lateral. Con carga creciente, la probeta se aplana y ofrece una resistencia mayor al acortamiento adicional (lo que significa que la curva esfuerzo-deformación unitaria se vuelve muy empinada). Esas características se ilustran en la figura siguiente. Que muestra un diagrama esfuerzo deformaciónunitaria para el cobre. Como el área transversal real de una probetaensayada en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo verdadero en una prueba de compresión es menor que el esfuerzo nominal.

En términos reales los materiales frágiles cargados en compresión tienen una región lineal inicial seguida de una región en que el acortamiento se incrementa a una velocidad ligeramente mayor que la de la carga. Las curvas esfuerzo–deformaciónunitaria para compresión y tensión suelen tener formas similares, pero los esfuerzosúltimos en compresión son mucho mayores que los de tensión. Además, a diferencia de los materiales dúctiles, que se aplanan al comprimirlos, los materiales frágiles se rompen bajo la carga máxima.

En las tablas de propiedades mecánicas de materiales. Los datos en las tablas son característicos de los materiales y son apropiados para resolver los problemas aquí presentados.

Sin embargo las propiedades de los materiales y las curvas esfuerzo-deformación unitaria varan de manera considerable, incluso para el mismo material, debido a diferentes procesos de manufactura, composición química, defectos internos, temperatura y muchos otros factores. En consecuencia, los datos obtenidos en las tablas no deben usarse para fines específicos de ingeniería o de diseño. Más bien, hay que consultar a un fabricante o distribuidores sobre la información necesaria respecto de un producto particular.




ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLASTICO.

Los diagramas de esfuerzo–deformación unitaria muestran el comportamiento de los materiales ingenieriles cuando están cargados en tensión o compresión, tal como se describió en la sección anterior. Para ir un paso mas allá, consideremos ahora que sucede cuando la carga se retira y el material se descarga; por ejemplo, supongamos que aplicamos una carga de tensión a una probeta de manera que el esfuerzo y la deformación unitaria van del origen O al punto A sobre la curva esfuerzo–deformacion unitaria en la figura.Supongamos además que cuando la carga se retira, el material sigue la misma curva de regreso al origen O. Esta propiedad por medio de la cual un material recupera sus dimensiones originales al ser descargado se llama elasticidad y se dice que el materiales elástico.

Nótese que la curva esfuerzo–deformación unitaria de O a Ano tiene que ser Lineal para que el material sea elástico.

Supongamos ahora que cargamos ese mismo material a un mayor nivel, de manera queAlcanza el punto B sobre la curva esfuerzo–deformacion unitaria, como se muestra en lafigura.

Cuando la descarga ocurre desde el punto B el material sigue la línea BC sobre el diagrama. Esta línea de descarga es paralela a la porción inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es paralela a una tangente a la curva esfuerzo–deformacion unitaria en el origen. Cuando se alcanza el punto C se ha suprimido por completo la carga, pero el material conserva una deformación unitaria residual o deformación unitariapermanente, representada por la línea OC; en consecuencia, la probeta de prueba es ahora más larga ahora que antes de cargarla. Este alargamiento residual de la barra se llama deformación remanente. De la deformación unitaria OD desarrollada durante la carga de O a B la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y




la deformación unitaria OC queda como una deformación unitaria permanente, por tanto, durante la descarga la barra retorna a su forma original en forma parcial y se dice que el material es parcialmente elástico.Entre los punto A y B sobre la curva esfuerzo–deformación unitaria como en la figura siguiente, debe haber un punto antes del cual el material es elástico y después del cuales parcialmente elástico. Para encontrarlo, cargamos el material hasta cierto valorespecífico del esfuerzo y luego retiramos la carga.

Si no se tiene una deformación unitaria permanente (esto es, el alargamiento de la barra vuelve a 0), el material es totalmente elástico hasta ese valor específico del esfuerzo. Este proceso de carga y descarga puede repetirse para valores sucesivamente mayores del esfuerzo, hasta terminar alcanzando un esfuerzo para el cual no toda la deformación unitaria se recuperará durante la descarga. Con este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el límite superior de la región elástica —por ejemplo, el esfuerzo en el punto E en las figuras siguientes, se conoce como límite elástico del material.

Muchos materiales, incluidos la mayoría de los metales, tienen regiones lineales al principio de sus curvas esfuerzo–deformación unitaria, como la figura el esfuerzo en el límite superior de esta región lineal es el límite proporcional.

En muchos materiales se asigna el mismo valor numérico a los dos límites en el caso del acero dulce, el esfuerzo de fluencia también queda muy cercano al límite proporcional, por lo que para fines prácticos se considera igual a los límites de elástico y proporcional.




Esta situación no se da en todos los materiales. El hule es un ejemplo de un material elástico mucho más allá del límite proporcional.La característica de un material por la cual sufre deformaciones unitarias inelásticas mas allá de la deformación unitaria en el límite elástico se conoce como plasticidad. En la curva esfuerzo–deformación unitaria de la figura tenemos una región elástica seguida.

Por una región elástica. Cuando ocurren grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material sufre un flujo plástico.

Si el material permanece dentro del intervalo elástico, puede cargarse, descargarse y volverse a cargar sin un cambio significativo en su comportamiento; sin embargo, cuando se carga en el intervalo plástico, la estructura interna de material se altera y sus propiedades cambian; por ejemplo, ya hemos observado que se presenta una deformación unitaria permanente en la probeta después de descargarla desde la región plástica.

Supongamos ahora que el material es recargado después de tal descarga.

La nueva carga comienza en el punto C sobre el diagrama y continúa hacia arriba hasta el punto B, el punto en el que comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. El material sigue el diagrama original de esfuerzo–deformación unitaria hacia el punto F.Para la segunda carga podemos imaginar que tenemos una nueva curva esfuerzo– deformación con su origen en el punto C. DDurante la segunda carga, el material se comporta de manera lineal elástica de C a B, donde la pendiente de la línea CB es la misma que la pendiente de la tangente a la curva original de carga en el origen O el límite proporcional está ahora en el punto B que es un esfuerzo mayor que el del límite elástico original (punto E). Así entonces, al estirar un material como el acero o el aluminio en la región inelástica o plástica las propiedades del material son alteradas; la región elástica lineal se incrementa y los límites proporcional y elástico se elevan; sin embargo la ductilidad se reduce porque en el “nuevo material” la cantidad de fluencia más allá del límite elástico (de B a F) es menor M que en el material original ( de E a F).

FLUJO PLASTICO.

Los diagramas esfuerzo–deformación unitaria descritos antes se obtuvieron en pruebas de tensión bajo carga y descarga estática de las probetas y el paso del tiempo no entró en el análisis sin embargo, cuando son cargados durante largos periodos, algunos materiales desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que fluyen




plásticamente éste fenómeno puede manifestarse de diversas maneras; por ejemplo, supongamos una barra vertical, como se muestra en la figura.

Esta es cargada lentamente por una fuerza P que produce un alargamiento igual a dc. Supongamos que la carga y el alargamiento tienen lugar durante un periodo de duración t0 (figura, B), después del tiempo t0, la carga permanece constante. No obstante, debido al flujo plástico la barra puede alargarse en forma gradual (figura B), aún cuando la carga no cambia. Este comportamiento ocurre en muchos materiales, si bien el cambio es demasiado pequeño en ocasiones para considerar.

Como un segundo ejemplo de flujo plástico, un alambre que se estira entre dos apoyosfijos, de tal forma que tiene un esfuerzo inicial a tensión So (ver figura a continuación)

Volveremos a denotar que con el t0 el tiempo durante el cual se carga el alambreinicialmente. Con el paso del tiempo, el esfuerzo en el alambre disminuye en formagradual y termina alcanzando un valor constante aunque los apoyos en los extremos delalambre no se desplacen.

Este proceso que es una manifestación del flujo plástico, se denomina relajación del material. En general, el flujo plástico es más importante a altas temperaturas que a temperaturas ordinarias; así debe considerarse siempre en el diseño de motores, hornos y otras estructuras que operan a elevadas temperaturas durante largos periodos. Ahora bien, materiales como el acero, el concreto y la madera fluyen ligeramente aún a temperatura ambiente; el flujo plástico del concreto a lo largo de grandes periodos puede crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido al colgamiento entre los apoyos. Un remedio es construir la calzada con bombeo hacia arriba que es un desplazamiento inicial sobre la horizontal, de manera que cuando el flujo plástico ocurra los claros o tramos desciendan a su posición a nivel.

Elasticidad Lineal, ley de Hooke y razón de Poisson.

Muchos materiales estructurales incluidos la mayoría de los metales, madera, plásticos y cerámicos se comportan elástica y linealmente en las primeras etapas de carga; en consecuencia, sus curvas esfuerzo–deformación unitaria comienzan con una línea recta que pasa por el origen. Un ejemplo es la curva esfuerzo–deformación unitaria del acero estructural donde la región que va del origen O al límite proporcional (punto A) es tanto lineal como elástica.




Otros ejemplos son las regiones por debajo de los límites proporcional y elástico en los diagramas para el aluminio, el hule y el cobre.

Cuando un material se comporta elásticamente y exhibe también en una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria, se dice que es elástico lineal. Este tipo de comportamiento es de gran importancia en la ingeniería por una razón obvia; mediante el diseño de estructuras y maquinas que funcionan en esa región evitamos deformaciones permanentes debido al flujo plástico.

La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria en una barra sometida a tensión o comprensión simple se expresa por la ecuación

En donde σ es el esfuerzo axial, εes la deformación unitaria axial y E es una constante de proporcionalidad llamada módulo de elasticidad del material. El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo–deformación unitaria en la región elástica lineal, como se mencionó anteriormente. Puesto que la deformación unitaria es




adimensional, las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo. Las unidades características de E son psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o múltiplos de ella) en unidades SI.

La ecuación σ = E ε se conoce como ley de hooke, en honor del famoso científico inglés Robert Hooke (1635-1703). Hooke fue la primera persona en investigar científicamente las propiedades elásticas de diversos materiales como metales, madera, piedra, hueso y tendones. El midió el alargamiento de largos alambres con pesos en sus extremos y observo que los alargamiento“siempre guardan lasmismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los generan”.

Hooke estableció así la relación lineal entre las cargas aplicadas y los alargamiento resultantes.

La ecuación anterior es una versión muy limitada de la ley de Hooke porque relaciona los esfuerzos y deformaciones unitarias longitudinales desarrollados en la tensión o compresión simple de una barra (esfuerzo uniaxial). Para tratar con estados más complicados de esfuerzo, como los encontrados en la mayoría de las estructuras yMaquinas debemos usar ecuaciones más extensas de la ley de Hooke. El módulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales muyrígidos, como los metales estructurales. El acero tiene un módulo de unos 30000 ksi(210GPa) y el aluminio alrededor de 10600 ksi (73 Gpa). Los materiales más flexibles tienen un módulo menor; por ejemplo, los valores para los plásticos varían entre 100 y200 ksi (0.7 y 14 Gpa). Para la mayoría de los materiales, el valor de E en comprensiónes casi el mismo que en tensión.

El módulo de elasticidad se llama a menudo módulo de Young en honor al científico inglés Thomas Young (1773-1829). Este investigador introdujo la idea de “módulo de elasticidad” en relación con una investigación de la tensión y la compresión en barras prismáticas; sin embargo, su módulo ya no se usa porque implica propiedades de la barra y del material.

Razón de Poisson.

Cuando una barra prismática se somete a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (o sea, una contracción normal a la dirección de la carga aplicada). Este cambio en la forma se ilustra en la siguiente figura donde a) muestra la barra antes de ser cargada y b) después de la aplicación de la carga. En la parte b). Las líneas de rayas representan la forma de la barra antes de la carga.




La contracción lateral se advierte con facilidad estirando una liga elástica; pero en los metales, los cambios en las dimensiones laterales (en la región elástica lineal) suelen ser muy pequeños para detectarlos a simple vista, por lo cual se usan dispositivos sensitivos de medición.

La deformación unitaria lateral en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el mismo punto si el material es elástico lineal. Ahorabien; para que las deformaciones unitarias laterales sean las mismas en toda la barra,deben cumplirse condiciones adicionales, Primero, la fuerza axial debe ser constante entoda la longitud de la barra, de manera que la deformación unitaria axial también seaconstante. Segundo, el material debe ser homogéneo, es decir, ha de tener la mismacomposición (y, por lo tanto, las mismas propiedades elásticas) en cada punto. Yasupimos que el material es homogéneo, por lo que el esfuerzo y la deformación unitariaserán uniformes en toda la barra. Es importante advertir que la homogeneidad de un Material no asegura que las propiedades elásticas sean las mismas en toda dirección por ejemplo, él módulo de elasticidad podría ser diferente en las direcciones axial y lateral; por consiguiente, una tercera condición para la uniformidad de las deformaciones unitarias laterales es que las propiedades elásticas sean las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal. Los materiales isótropos u ortópicos satisfacen esa condición. Cuando se cumplen las tres condiciones, como es frecuencia el caso}, las deformaciones unitarias laterales en una barra sometida a tensión uniforme, serán las mismas en cada punto de la barra y en todas las direcciones laterales.

Se dice que los materiales que tienen las mismas propiedades en todas direcciones (axiales, laterales e intermedias) son isótropos. Si las propiedades difieren en varias direcciones, el material es anisótropo (o aelotrópico).

Un caso especial de anisotropía ocurre cuando las propiedades en una dirección particularson las mismas en todo el material y las propiedades en todas las direccionesperpendiculares a esa dirección son las mismas (pero diferentes de las primeraspropiedades); el material se clasifica entonces como ortrópico. Los plásticos reforzadoscon fibras y el concreto reforzado con barras paralelas de acero son ejemplos demateriales compuestos que exhiben comportamiento ortropico.La razón de la deformación unilateral ε’ a la deformación unitaria axial εse conoce como la razón de Poisson y se denota con la letra griega v ( nu ) ; entonces

Para una barra en tensión, la deformación unitaria axial es positiva y la deformación unitaria latera es negativa (porque el ancho de la barra decrece). Para comprensión tenemos la situación opuesta; la barra acorta (deformación unitaria axial negativa) y se




ensancha (deformación unitaria lateral positiva); por lo tanto, para materiales ordinarios la razón de Poisson siempre tiene un valor positivo (al usar las ecuaciones anteriores, siempre debemos recordar que solo se aplican a una barra en estado de esfuerzo uniaxial, esto es, a una barra en que el único esfuerzo normal σen la dirección axial).La razón de Poisson recibe este nombre en honor del famoso matemático francés Simeon Denis Poisson (1781-1840), quien intento calcular esta razón por medio de una teoría molecular de los materiales. Para materiales v = ¼. Ciertos cálculos más recientes basados en mejores modelos de la estructura atómica dan v = 1/3. Ambos valores son cercanos a los valores medidos, que varían entre 0.25 y 0.35 para la mayoría de los metales y muchos otros materiales. Los materiales con un valor extremadamente bajo de la razón de Poisson incluyen al corcho, para el cual v varía entre 0.1 y 0.2 Un límite teórico superior para la razón de Poisson es 0.5, como se explica en la siguiente sub sección sobre cambios volumétricos. El hule se acerca a este valor límite.

Deformaciones de Elementos Sometidas a Carga Axial.

Una varilla homogénea BC de longitud L y sección transversal uniforme de área A sujeta a una carga axial centrada P como lo muestra la siguiente figura. Si el esfuerzoaxial resultante = P/A no excede el límite de proporcionalidad del material, se aplica la ley de Hooke y se escribe

Esta varilla solo se usara si la varilla es homogénea (E constante), tiene una sección transversal uniforme y está cargada en sus extremos. Si la varilla está cargada en otros puntos, o si consta de varias secciones con distintas secciones transversales o distintos materiales, tendrá que realizarse un análisis individual con esta fórmula para cada elemento.

Problemas

Determine la deformación de la varilla de acero mostrada, bajo las condiciones dadas(E=29 x 10-6 psi)




Se divide la varilla en tres partes y se obtiene

Para calcular las fuerzas internas P1, P2, y P3, se deben realizar cortes a través de cada una de las partes, dibujando cada vez un diagrama de cuerpo libre de la porción de la varilla localizada a la derecha de la sección.

P1 = 60 kips = 60 x 103 LbP2 = -15 kips = -15 x 10³ LbP3 = 30 kips = 30 x 10³ Lb

Problema 2.

La barra rígida BDE se soporta en dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es hecho de aluminio (E = 70 GPa) y tiene un área de sección transversal de 500 mm², el eslabón




CD es de acero (E = 200 GPa) y tiene un área de sección transversal de 600 mm². Para la carga aplicada en en punto E de 30 kN, determine la deflexióna) de Bb) de Dc) de E

El signo negativo indica una contracción del elemento AB, y por lo tanto, una deflexión hacia arriba de B.

c) Deflexión de EB´ y D´ denotan las posiciones desplazadas de los puntos B y D. Como se supone que la barra BDE es rígida, los puntos B´, D´ y E´se encuentran en línea recta y se realiza la siguiente semejanza de triángulos:



deformación axial por carga

Documents