3 ms deformación, leyes constitutivas y def axial

Mecánica de SólidosDeformación, leyes constitutivas y deformación axial

Capitulo 3

Deformación, leyes constitutivas y deformación

axialÍndice

Preparado por: Ing. Jorge Granados Soto 3.1


3.1 Deformación______________________________________________________________3

3.1.1 Introducción______________________________________________________________3

3.1.2 Definición Matemática de la Deformación_________________________________3

3.1.3 Tensor de Deformación___________________________________________________4

3.2 Relaciones Constitutivas para Esfuerzos Uniaxiales________________________5

3.2.1 Diagramas Esfuerzo y Deformación_______________________________________5

3.3 Leyes lineales de Esfuerzo y Deformación y Energía de Deformación______7

3.3.1 Ley de Hooke para materiales isotropicos_________________________________7

3.3.2 Deformaciones Térmicas__________________________________________________7

3.3.3 Energía de Deformación Elástica para Esfuerzo Uniaxial___________________8

3.3.4 Energía de Deformación Elástica para Esfuerzos Cortantes________________8

3.4 Deformación en Miembros Cargados Axialmente__________________________9



1 Deformación

1.1 Introducción

Cuando un cuerpo es sometido a una carga este se deforma, por ejemplo una barra sometida a fuerza axial se alargará o encogerá dependiendo de si la fuerza aplicada es de tensión o compresión.

Suponga un elemento sometido a una fuerza de tensión, dicho elemento tiene una longitud inicial l, luego de aplicada la fuerza, el cuerpo se deforma y finalmente se observa que la longitud final es lo, o sea que ocurrió una deformación .

Es más útil considerar no la deformación total, sino más bien la deformación por unidad de longitud, esto es:

(EQ1)

A este alargamiento por unidad de longitud se le llama deformación unitaria o lineal y es adimensional.

Además de la deformación lineal un cuerpo puede tener deformaciones lineales en otras dos direcciones, así como también pueden haber deformaciones que causan un cambio en los ángulos rectos iniciales entre las líneas de un cuerpo, a esta deformación se le llama deformación angular o por corte, esto se muestra en la figura 1.

Figura 1

1.2 Definición Matemática de la Deformación

Debido a que las deformaciones varían de un punto a otro, las definiciones de deformación deben relacionarse a un elemento infinitesimal, tal como se observa en la figura 2.



Figura 2

Considere una deformación lineal como la que se muestra en la figura 2a, observe que el desplazamiento del punto B es el desplazamiento u del punto A más el desplazamiento del tramo x, por lo tanto la deformación lineal es:

(EQ2)

En el caso bidimensional (Figura 2b) hay deformación en dos direcciones, por lo que se deben utilizar subíndices para la deformación y derivadas parciales de la siguiente forma:

(EQ3)

En el caso de la figura 2c y para deformaciones angulares se tiene que:

(EQ4)

1.3 Tensor de Deformación

Figura 3

En la figura 3 se puede observar que las deformaciones producidas por los desplazamientos angulares son un medio del ángulo por la dimensión correspondiente, por lo tanto el tensor de deformación esta dado por la siguiente expresión:

(EQ5)



2 Relaciones Constitutivas para Esfuerzos Uniaxiales

2.1 Diagramas Esfuerzo y Deformación

De acuerdo a lo estudiado hasta el momento, podemos deducir que es más importante conocer la deformación unitaria que el alargamiento total, así como es mas importante conocer el esfuerzo que la fuerza ya que dependiendo del área de la sección, el esfuerzo variará, es por esto que se construyen gráficos que muestran la relación entre esfuerzo y deformación unitaria para distintos materiales, estos gráficos se obtienen de resultados de pruebas de laboratorio.

Estos diagramas difieren dependiendo del material y aun para el mismo material ya que no todos los materiales son homogéneos.

Figura 4

En la figura 4 se muestran los diagramas típicos que se obtienen al realizar estas pruebas, el 4a es de acero dulce y el 4b es para otros materiales típicos.

El punto último del diagrama es el punto de ruptura de la probeta, hay materiales que son capaces de resistir grandes deformaciones, a estos se les llama dúctiles, por el contrario, materiales frágiles son los que no son capaces de tolerar grandes deformaciones.

De acuerdo a la figura 4a podemos observar algunas cosas importantes que se mencionan a continuación:

El punto A del grafico se llama limite de proporcionalidad y antes de este punto se puede observar que los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones y que se da una línea recta cuya pendiente es el modulo de elasticidad E, en un material elástico si se aplica una carga menor a la correspondiente al limite de proporcionalidad se obtendrá una deformación, la cual volverá al punto de 0 deformación en el momento en que se retire la carga, este comportamiento es la base de la Ley de Hooke.

A este rango de deformaciones se les llama deformaciones elásticas o rango elástico.



En la meseta ab ocurre el punto de fluencia, es importante observar que en esta longitud ocurren deformaciones 15 o 20 veces mayores a las obtenidas antes del límite de proporcionalidad, esto se da sin que haya un aumento significativo de esfuerzo.

Esta característica de fluencia es particular de materiales dúctiles1 y no así de materiales frágiles.

La elasticidad de un material es cuando el material es capaz de recuperar sus dimensiones originales al suprimir las fuerzas que se aplican, por lo que el comportamiento elástico implica la ausencia de deformaciones permanentes.

El comportamiento entre carga y descarga puede ser lineal o no lineal, esto dependerá del material analizado.

Como un ejemplo de lo que hemos estudiado anteriormente tenemos lo siguiente:

Un material frágil lineal es el vidrio, en este el límite de proporcionalidad y el de ruptura es el mismo, y no hay punto de fluencia ya que no hay deformaciones permanentes.

Un material dúctil es el acero, ya que es capaz de deformarse muchísimo luego de haber alcanzado el punto de fluencia.

Un material elástico o flexible puede ser la madera, ya que puede tolerar grandes deformaciones en el rango elástico, pero una vez que se quiebra ya no se puede seguir deformándose.

Figura 5En la figura 5 se puede observar dos características importantes de un material, la tenacidad y la resiliencia.

Tenacidad: Capacidad de almacenar energía hasta que se de la ruptura.Resiliencia: Capacidad de almacenar energía sin deformarse permanentemente.

En la figura 6 se puede observar algunos diagramas de esfuerzo deformación idealizados para su utilización en el análisis de esfuerzos y deformaciones.

1 En realidad la definición de material dúctil dada anteriormente no es correcta ya que material dúctil es el que tiene gran capacidad de deformación mas allá del rango elástico, el material que nada mas tiene gran capacidad de deformación es un material flexible o elástico.



Figura 6

3 Leyes lineales de Esfuerzo y Deformación y Energía de Deformación

3.1 Ley de Hooke para materiales isotropicos2

La ley de Hooke para materiales isotropicos se puede escribir de la siguiente forma:

(EQ6)

En la ecuación 5, E el Modulo de Elasticidad, G es el modulo de rigidez a corte y se determina de la siguiente forma:

(EQ7)

Donde es el módulo de poisson que representa la relación entre la deformación lateral y la deformación axial.Para esfuerzo uniaxial tenemos que:

(EQ8)

3.2 Deformaciones Térmicas

Se pueden dar debido a la contracción y expansión de los materiales debido a los cambios de temperatura y se calculan con la siguiente expresión:

(EQ9)

2 Materiales con las mismas propiedades en todas direcciones.



3.3 Energía de Deformación Elástica para Esfuerzo Uniaxial

Energía es la capacidad de realizar trabajo, y trabajo es fuerza por distancia recorrida en la dirección de la misma, en los cuerpos sólidos los esfuerzos multiplicados por las áreas dan fuerzas, y las deformaciones son distancias recorridas, el producto de estas dos da el trabajo interno realizado en un cuerpo por las fuerzas aplicadas externas.

Figura 7

De acuerdo a la figura 7 tenemos que para un elemento que inicialmente está libre de esfuerzo, la fuerza aumenta linealmente hasta su valor máximo, por lo que debemos tomar solamente la fuerza media que actúa, esta será 0.5 veces la fuerza total, con esto en mente podemos escribir la energía de deformación como sigue:

(EQ10)

Podemos modificar la ecuación 10 para obtener la energía de deformación almacenada por unidad de volumen:

(EQ11)

3.4 Energía de Deformación Elástica para Esfuerzos Cortantes

De forma análoga podemos escribir ecuaciones similares a la 10 y 11 para esfuerzos cortantes de acuerdo con la figura 8:

Figura 8



(EQ12)

(EQ13)

4 Deformación en Miembros Cargados Axialmente

Figura 9

Para derivar las ecuaciones correspondientes nos basaremos en la figura 9 donde un elemento está sujeto a fuerzas axiales, y cuya sección transversal varia a lo largo del eje centroidal.

Si lo que buscamos es la acumulación de deformaciones por unidad de longitud entre los puntos A y B en cada sección infinitesimal de longitud dx, la integral de estas deformaciones dará el resultado buscado.

Si aislamos un elemento como el mostrado en la figura, vemos que este puede estar sometido a una fuerza axial que varia con respecto a su longitud, la deformación que ocurre es x multiplicada por la distancia dx, la deformación total será la suma de estas deformaciones elementales, por lo que el desplazamiento u de un punto de la barra está dado por la integral de los desplazamientos infinitesimales mas una constante de integración que toma en cuenta desplazamientos prescritos en las fronteras.

(EQ14)

Para materiales elástico lineales, tenemos que aplicar la Ley de Hooke (ecuación 8)

que establece que y como sabemos que esfuerzo es fuerza entre área, tenemos:

(EQ15)


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