RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXION Y CARGA AXIAL

ANALISIS ESTRUTURAL I

RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXION Y CARGA AXIALUNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIN Y CARGA AXIAL5.1INTRODUCCIONLas columnas son elementos estructurales utilizados primordialmente para soportar cargas de compresin. Una columna corta es aqulla en que la carga ltima para una excentricidad dada est solamente gobernada por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la seccin transversal. Una columna esbelta es aqulla en que la carga ltima tambin est influida por la esbeltez, lo que produce flexin adicional debido a las deformaciones transversales.Las columnas de concreto se refuerzan mediante acero longitudinal y transversal. Generalmente el acero transversal tiene la forma de estribos o hlices espaciados estrechamente, (vase la figura 5.1).5.2COLUMNAS CORTAS CARGADAS AXIALMENTEEl flujo plstico y la contraccin del concreto tienen fuerte influencia en los esfuerzos en el acero y el concreto.de una columna de concreto reforzado cargada axialmente bajo carga de servicio, lo que tiende a aumentar el esfuerzo en el acero longitudinal y a reducir el esfuerzo en el concreto. En una columna que tiene una cuanta elevada de acero y elevada carga inicial, la que posteriormente se elimina en su mayor parte, se puede llegar a tener tensin en el concreto y compresin en el acero. En consecuencia, es sumamente difcil evaluar la seguridad de las columnas de concreto reforzado utilizando la teora elstica y los esfuerzos permisibles.Por otra parte, la carga ltima de una columna no vara apreciable- mente con la historia de la carga. Al aumentar la carga, el acero normalmente alcanza la resistencia de cedencia antes de que el concreto alcance su resistencia total. Sin embargo, en esta etapa la columna no ha alcanzado123

su carga ltima. La columna puede transmitir ms carga debido a que el acero soporta el esfuerzo de cedencia en tanto que las deformaciones y cargas aumentan hasta que la carga alcanza su resistencia total. La figura5.2ilustra este comportamiento. En forma alterna, si el concreto alcanza su resistencia antes de que el acero ceda, como sucede cuando se utiliza acero de muy alta cedencia, la alta deformacin del concreto cuando ste est prximo a su resistencia total, permite al acero alcanzar la resistencia de cedencia. En consecuencia, la carga ltima de una columna de concreto (reforzado cargada axialmente (una mejor denominacin sera carga de cedencia) es la suma de la resistencia de cedencia del acero ms la resistencia del concreto. Se ha encontrado (v. gr. Richart y Brown5 1 y Hognes- tad 5 2) que la resistencia del concreto en una columna cargada axialmente es aproximadamente 0.85/', en qu /' es la resistencia a compresin de un cilindro. La resistencia es algo ms baja que la correspondiente a un cilindro debido a la diferencia en la forma y tamao del espcimen y debido a que el colado vertical de una columna induce la sedimentacin y ganancia de agua en la regin superior de la columna. En consecuencia, la carga ltima de una columna cargada axialmente se puede escribir como

en que Ay es el rea bruta de la seccin transversal, A%i es el rea total del acero longitudinal en la seccin, y fy es la resistencia de cedencia del acero.

Figura 5.2. Curvas carga axial-deformacin para el acero y concreto, de una columna de concreto reforzado cargada axialmente.Las columnas con estribos y hlices se comportan casi idnticamente hasta la carga Pg, y el acero transversal contribuye muy poco a la resistencia de la columna. Una vez alcanzada la carga Pa una columna con estribos que no estn espaciados estrechamente falla de inmediato, acompaada de ruptura del concreto y pandeo de las varillas de acero longitudinal entre los estribos, debido a que la separacin entre los estribos es generalmente demasiado grande para impedir la falla general del concreto y el pandeo de las varillas.Despus de alcanzarse la carga P en una columna con hlice, se agrieta o destruye el recubrimiento de concreto fuera de la espiral. La capacidad de carga se reduce debido a la prdida de rea de concreto, pero generalmente el paso de la hlice de acero es suficientemente pequeo para impedir el pandeo de las varillas longitudinales entre las espirales. En consecuencia, las varillas longitudinales continan transmitiendo la carga; se llega a una elevada deformacin y el concreto del ncleo (que tiende a aumentar en volumen, debido a la disrupcin interna) oprime a la hlice, lo que provoca que la hlice ejerza una reaccin de confinamiento en el ncleo. El esfuerzo de compresin radial resultante aumenta la capacidad de transmisin de carga del concreto del ncleo, y a pesar de la prdida del recubrimiento, la carga ltima de una columna con una fuerte hlice puede llegar a ser mayor que P. En la seccin 2.1.3 se estudi el aumento en la resistencia del concreto debido al confinamiento de una hlice de acero. La ecuacin 2.5 da la resistencia de cilindros de concreto confinados cuando la hlice alcanza la resistencia de cedencia. Si se reemplaza en la ecuacin2.5la resistencia /' del cilindro no confinado por la resistencia no confinada del concreto en una columna, 0.85fc, se puede escribir la carga ltima de una columna zunchada comoen que fy = resistencia de cedencia del acero, ds = dimetro de la hlice, A%p = rea de la varilla helicoidal, 5 = paso de la hlice, y Acc = rea del concreto en el ncleo de la columna.Luegoen que K = Asp djs = volumen del acero helicoidal por longitud unitaria del ncleo de la columna y Ast = rea total del acero longitudinal en la seccinEn consecuencia, se puede escribir la ecuacin 5.2Longitudinal, Vs es igual al rea de ese acero longitudinal. Consecuentemente, la ecuacin 5.4 indica que el acero en la hlice es aproximadamente dos veces ms efectivo que el mismo volumen de acero longitudinal para disponible a elevadas deformaciones y despus de que se desprende el unidad de transmisin de carga de las columnas zunchadas solamente est disponible a elevadas deformaciones y despus de que se desprende el

Si se remplaza el acero helicoidal por un volumen equivalente de acerorecubrimiento. * Esto requiere qu se satisfaga la siguiente condicin

por tanto, tambin se debe tener

que se puede escribir comoPara que la carga mxima tomada por la Columna una vez que se ha desprendido el recubrimiento al alcanzarse la cedencia en la hlice sea mayor que la carga de cedencia antes del descorcha miento, Pu d la ec. 5.4 debe ser mayor que P de la P 5.1.en que Ac = Acc + Asl el rea bruta del ncleo de la columna. Para las columnas zunchadas, el cdigo ACI5 3 requiere que ps no sea menor que el valor dado poren que Ae = rea del ncleo medida al dimetro exterior de la hlice. Al comparar las ecuaciones 5.5 y 5.6 se encuentra que el requerimiento del ACI asegura que la carga ltima de la columna despus del desprendimiento del recubrimiento exceder a la carga antes del desprendimiento. La elevada ductilidad de las columnas zunchadas (fig. 5.3) es de intersFigura 5.3. Comparacin de curvas carga total axial-deformacin para columnas con estribos y Zunchadas.Considerable. En tanto que la columna con estribos cargada axialmente y cuyos estribos no estn espaciados estrechamente exhibe falla frgil, una columna zunchada tiene elevada capacidad de deformacin plstica.Las pruebas han demostrado (vea la seccin 2.1.3) que los estribos rectangulares espaciados estrechamente tambin aumentan la resistencia y ductilidad del concreto confinado, aunque sin la efectividad de las hlices circulares, debido a que los estribos rectangulares slo ejercen presin de confinamiento cerca de las esquinas de la seccin, ya que la presin lateral del concreto provoca el arqueamiento de los lados de los estribos, en tanto que debido a su forma las hlices circulares pueden aplicar una presin uniforme de confinamiento alrededor de la circunferencia. Las pruebas efectuadas por Chan5-4 sugieren que al considerar el aumento en la resistencia, la eficiencia de los estribos cuadrados puede ser del 50% de la del

mismo volumen de hlices circulares. Las pruebas realizadas por muchos otros tambin han indicado un aumento en la resistencia debido a estribos rectangulares espaciados estrechamente, aunque los resultados reportados por Roy y Sozen5 5 no indicaron aumento en la resistencia. Es probable que la ganancia en la resistencia del concreto debida a estribos rectangulares sea pequea en la mayora de los casos. Sin embargo, los resultados de las pruebas siempre han mostrado que se obtuvo una mejora significativa en la ductilidad del concreto, como consecuencia de utilizar estribos rectangulares espaciados estrechamente.5.3 COLUMNAS CORTAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE CON FLEXION UNIAXIAL5.3.1IntroduccinLas columnas cargadas axialmente rara vez ocurren en la prctica, debido a que casi siempre hay cierta flexin, como lo evidencia la torcedura inicial ligera de las columnas, la manera en que se aplican las cargas mediante vigas y losas, y los momentos introducidos por la construccin continua.La combinacin de una carga axial Pu y momento flexionarte Mu equivale a una carga Pu aplicada con la excentricidad e = MuPu, como se muestra en la figura 5.4Las Figuras 5.5 y 5.6 son vistas posterior y anterior de columnas con estribos y zunchos que se cargaron excntricamente a la falla.

Figura 5.7. Columnas con estribos y Zunchadas del hospital Olive View despus del terremoto de San Fernando en 1971.Las columnas son de una serie que prob Hognestad.5 2 De las figuras, nuevamente es evidente la mayor ductilidad de una columna zunchada. En los edificios daados por sismos se ha observado la mayor ductilidad de las columnas zunchadas en comparacin con las columnas con estribos. Por ejemplo, en la figura 5.7 se muestran algunas columnas del piso inferior del hospital Olive View despus del sismo de San Fernando en 1971. El concreto en la columna con estribos se redujo a escombro en tanto que la columna helicoidal todava est intacta y puede trasmitir cargas, aunque se haya desprendido el recubrimiento de concreto.En la prctica, desde el punto de vista de la resistencia, las columnas con estribos y zunchadas se disean como si el concreto no estuviera confinado, pero debido a la mayor dureza de una columna zunchada, el cdigo ACI5 3 asigna un factor ligeramente mayor de reduccin de capacidad a una columna zunchada ( ch, y el diagrama de deformaciones muestra que el acero de compresin est cediendo en este caso.Usando la ecuacin 5.28 de Whitney:La parte 2 del ejemplo 5.2 evidencia la dificultad determinar las reas de acero para una falla a compresin directamente de las ecuaciones 5.17, 5.19 y 5.24, debido a las largas expresiones y la solucin de una ecuacin cbica para a. En consecuencia, aunque la solucin no es exacta, la ecuacin 5.28 de Whitney es mucho ms prctica para clculos manuales.El ejemplo tambin ilustra que el clculo de las reas de acero puede complicarse todava ms en caso de que el acero de compresin no ceda. Por ejemplo, si en la parte 1 del ejemplo 5.2 se hubiera utilizado acero con una resistencia de carencia de 60,000 lb./plg.2 (414 N/mm2) el acero de compresin no hubiera alcanzado la resistencia de cedencia en la carga ltima. Sustituir /; de la ecuacin 5.22 en vez de f, significa que tendran que resolverse simultneamente las ecuaciones 5.17 y 5.19, lo que llevara a una solucin mucho ms complicada. En consecuencia, en algunas columnas puede no alcanzarse la resistencia de cedencia de varillas de alta resistencia en compresin, especialmente cuando la seccin transversal de la columna es pequea. En forma anloga, el acero de tensin puede no alcanzar la cedencia para un intervalo grande de niveles de carga axial si la resistencia de cedencia es elevada. Se debe recordar que se ha supuesto un valor razonablemente conservador de sc = 0.003 para la deformacin del concreto de la fibra extrema a compresin (vase la seccin 3.3). Sin embargo, si la columna est cargada a la falla, esta deformacin se excede fsicamente, lo que permite desarrollar esfuerzos ms elevados en el acero. De esa manera, la resistencia real de las secciones de columna con acero de alta resistencia a menudo es mayor que la calculada utilizando ee = 0.003.5/7 Tiene sentido aumentar ec a un valor ms realista, por ejemplo 0.0035, para utilizar con efectividad acero de alta resistencia.Es posible disear columnas que transmitan una pequea carga de compresin con gran excentricidad con pequea rea de acero de compresin (A's < As) debido a que no se requiere que la fuerza interna de compresin sea grande. Sin embargo, para asegurar que ese miembro sea razonablemente dctil, se recomienda53 que cuando el nivel de la carga axial sea menor que la carga de la falla balanceada Pb o que Q.\f'cAg, rigiendo el ms pequeo de ambos, la cuanta de refuerzo p del acero de tensin (AJbd) no exceda 0.75 de la cuanta que producira una falla balanceada para la seccin bajo flexin sin carga axial. Consecuentemente se debe satisfacer la ecuacin 4.48.

Tambin se recomienda5-3 que el rea del acero longitudinal no sea inferior a 0.01 n; mayor que 0.08 veces el rea bruta de la seccin.5.3.4Secciones rectangulares con varillas en las cuatro carasCuando una seccin tiene varillas distribuidas en todas las caras, se dificulta la deduccin de ecuaciones de anlisis y diseo debido a que aqulla pueden estar en distintos niveles de esfuerzos en toda la seccin. Se puede desarrollar el anlisis de esa seccin utilizando los requerimientos de compatibilidad de deformaciones y equilibrio.Considrese la seccin de columna reforzada simtricamente mostrada en la fig. 5.17 en la carga ltima. Para una varilla cualquiera i en la seccin, el diagrama de deformaciones indica que

en que las deformaciones de compresin son positivas y las deformaciones de tensin negativas. Las siguientes relaciones dan entonces el esfuerzo^,, en la varilla i. Si

Entonces, fsiAsi da la fuerza en la varilla i, en que Asi es el rea de sta. Entonces se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio para una seccin con n varillas como

En las ecuaciones 5.31 y 5.32 se debe dar atencin debida al signo del esfuerzo al sumar las fuerzas del acero en la seccin.En el caso general, es mejor utilizar una solucin de pruebas y ajustes para el anlisis. Por ejemplo, para calcular la carga ltima de una seccin dada con excentricidad determinada, el procedimiento es el que sigue:1.Elegir un valor para la profundidad c del eje neutro.2.Calcular el esfuerzo en el acero en todas las varillas utilizando las ecuaciones 5.29 y 5.30.3.Calcular Pu de las ecuaciones 5.31 y 5.32.4.Repetir los pasos 1, 2 y 3 hasta que los valores de P* obtenidos de las ecuaciones 5.31 y 5.32 sean iguales.Ntese que debe reducirse el nivel del esfuerzo en las varillas de refuerzo de compresin en 0.85/' si se requiere tener en cuenta el rea del concreto a compresin desplazada por el acero.Ejemplo 5.3Utilizar el mtodo general de compatibilidad de deformaciones y equilibrio para determinar la carga ltima y excentricidad para la seccin de columna reforzada simtricamente presentada en la fig.5.18si el eje neutro est en la posicin indicada. Cada una de las 16 varillas tiene un rea dt acero de 1 plg.2 (645 mm2).El acero

tiene una resistencia de cedencia de 60,000 Ib /plg.2 (414 N/mm2) y un mdulo de elasticidad de 29 x 106 Ib /plg.2 (0.2 x 106 N/mm2). El concreto tiene una resistencia de cilindro de 3000 Ib /plg.2 (20.7 N/mm2).SolucinNumrense los niveles de varillas de 1 a 5 desde la cara a compresin como en la figura 5.18. Entonces

Ahora se deben reducir los esfuerzos del acero de compresin en 0.85/' = 0.85 x 3000 = 2550/plg.2 para tomar en cuenta el concreto desplazado.Entonces a = ?,c = 0.85 x 14 = 11.90 plg.En consecuencia, de la ecuacin 5.31, y utilizando los esfuerzos reducidos del acero de compresin, tenemos

Y de la ecuacin 5.32 encontramos

valores representan una combinacin de Pu y e en la falla. Los valores de diseo de Pu y Mu seran los mismos valores multiplicados por el factor Muy = Puex, ex y ey son las excentricidades de Pu, y Muxo y MUyo son las resistencias a flexin uniaxial alrededor de los ejes x y y para la carga constante bajo consideracin. Las constantes m y n dependen de las propiedades de la columna y se determinaron experimentalmente.Parme y asociados514 reformularon la ecuacin 5.42 comoen que /? es el parmetro que determina el perfil de la lnea de interaccin. El efecto de los distintos valores de /? en la forma de la lnea de interaccin est representado en la figura 5.29. Parme y colaboradores calcularon analticamente los valores de P que estn mostrados en grficas para una diversidad de disposicin de varillas, resistencia de cedencia del acero, ndice de refuerzo ptfy/f'c, y valores de PJP0 Estos valores de junto con los valores uniaxiales de la capacidad de momento y un diagrama tal como el de la figura 5.29 se pueden utilizar para determinar la capacidad a flexin biaxial una seccin dada de columna.Pannell515 y Furlong511 han proporcionado otras sugerencias para el perfil de la superficie de interaccin. Meek ha sugerido remplazar la

Lnea curva de interaccin bajo carga ltima constante mediante dos lneas rectas. Por ejemplo, si se conocen los puntos A, By Cela figura 5.30, se puede roiEpla7^ir en forma segura la curva real mediante una lnea recta AB y otra1:1 britnico CP110: 1972 5 17 recomienda usar la ecuacin de interaccin 5.42 con m = n igual a 1.0 a niveles de carga axial baja, aumentando linealmente hasta 2.0 a niveles de carga axial alta. Esto proporciona un enfoque conservador simple.

Weber ha producido una serie de grficas de diseo para flexin de columnas cuadradas alrededor de una diagonal que permite el diseo o anlisis de una seccin mediante interpolacin lineal entre la flexin alrededor de un eje principal y flexin alrededor de una diagonal. Este enfoque es semejante a la sugerencia de Meek y parece ser la herramienta de diseo ms prctica disponible. Row y Paulay 5 19 han mejorado la exactitud de este proceso utilizando una distribucin de esfuerzos de compresin del concreto ms exacta y produciendo grficas de diseo para flexin alrededor de ejes inclinados a distintos ngulos con respecto a los ejes principales, permitiendo con ello la interpolacin lineal entre una diversidad de puntos sobre las lneas de interaccin. En la siguiente seccin se describen estas grficas del diseo5.43 Grficas de diseoOrificas de diseo de WeberWeber agiliz las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones para obtener en base a los principios fundamentales las curvas de interaccin de Pu contra Pue para columnas cuadradas con la carga aplicada con distintas excentricidades a lo largo de la lnea de una diagonal

ecuc .la seccin. Se utiliz el bloque rectangular equivalente de esfuerzos obtenido para reas comprimidas rectangulares para aproximar las caractersticas del bloque de esfuerzos del rea de concreto comprimido triangular o cuasi triangular. Las grficas son para/; < 40001b /plg.2 (27.6 N/ mm2), / = 60.00 /plg-2 N/mm2), g = 0.6 a 0.9 y para columnas de 4. g 12 y 16 varillas (se considera individualmente a las varillas en vez de como un perfil tubular delgado equivalente). Las grficas incluyen un factor de reduccin de capacidad 100, se debe hacer un anlisis del tipo descrito en la seccin 5.5.2. Para secciones rectangulares, se puede considerar r = 0.3 de la dimensin de la seccin en la direccin de pandeo posible.En marcos no arriostrados, se debe calcular el valor de S de la ec. 5.44 para todo el piso, suponiendo que todas las columnas estn cargadas, tomando Pu y Pc como la sumatoria, ZPU y IPc, para todas las columnas de esa planta. Al disear cada columna individual de esa planta, se debe tomar como el mayor de los valores mencionados antes calculados para toda la planta o el valor calculado para la columna individual, suponiendo que sus extremos estn arriostrados. En las columnas que no estn arriostradas, se deben disear las vigas para los momentos amplificados de los extremos de las columnas en las juntas. Cuando las columnas estn sujetas a flexin biaxial, se debe amplificar el momento alrededor de cada eje, usando el valor de S calculado para cada eje. En los manuales 5-9-5 del ACI se dispone de auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momento. Aunque el manual5 9 de diseo de columnas se basa en el cdigo ACI de 1963 que utiliz un enfoque de factor de reduccin para el diseo de columnas esbeltas, el manual tambin incluye auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momentos. El manual 510 de diseo ms reciente contiene algunos ejemplos de aplicaciones del mtodo amplificador de momentos. Furlong 5 :9 tambin proporciona algunos auxiliares tiles de diseo.

Ejemplo: 5.9En la fig. 5.50 se muestra una cruja de un marco de concreto reforzado de plantas mltiples, no arriostrado. Las columnas de los entrepisos superior e inferior tienen dimensiones semejantes. Las acciones en la columna AB, en los extremos de la longitud no apoyada, en la carga ltima calculada por el anlisis estructural de primer orden son Mu = 289 kip pie (392 kN m) y PK = 200 kips (890 kN). El concreto tiene j 'c = 4000 Ib /plg 2 (27.6 N/mm2)y Ec = 3.6 x 10ft (24,800N/mm2).El acero tiene fy = 6CUDOO Ib /plg2(414 N/mm2) y Es = 29 x 106 Ib /plg (200,000 N/mm2). Se puede considerar que la relacin del momento de carga muerta de diseo mximo al momento de carga total de diseo mximo fid es 0.2. Determinar el rea de acero longitudinal requerido para la columna, utilizando un factor de reduccin de capacidad usando 0.5, / para las vigas y EJy para las columnas. De la ec. 5.51 se tiene

Consecuentemente, la columna es esbelta.Carga crtica de la columna De la ec. 5.46,Factor de amplificacin de momento De la ec. 5.44

en que Cm = 1.0 en marcos no arriostrados. Se supone que 'LPufL Pc para el entrepiso es aproximadamente igual a PJPe para esta columna especfica,

Comprobacin de columna esbelta

Acero longitudinal de la columnaLas acciones de diseo para la columna son Pu = 200 kips, y Mu = 289 x 1.07 = 309 kip piePara la columna, sea g 0.7 y disese el acero utilizando la fig. 5.22, que supone