DEFLEXINEN VIGAS

CONCEPTOSe entiende por deflexin aquella deformacin que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.Para determinar la deflexin se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de mtodos de clculo: los geomtricos y los de energa. Mtodos geomtricos: Aplicacin directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elstico-lineal). Mtodos de energa: En estos mtodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energa y se combinan con las leyes constitutivas del material.En vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexin, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes.

La deflexin (A y B) de una viga es el movimiento (desviacin) de un punto situados obre la elstica con respecto a su posicin original sin cargaUna buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, estas vigas se flexionan o distorsionan por su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Esta flexin y(x) est determinada por una ecuacin diferencial lineal de cuarto orden.Suponiendo que una viga de longitud L es homognea y tiene seccin transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetra

Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetra sufre una distorsin y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexin o curva elstica o simplemente elstica.

Ecuacin Diferencial de la ElsticaRecordando la ecuacin deducida que relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexin pura:

p = Radio de la curvaturaE = Mdulo de elasticidadI = Momento de inerciaM(x) = Momento flector al que est sometida la vigaPara deducir la ecuacin de la elstica es necesario recordar del clculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(x, y) puede determinarse mediante la expresin

Dnde: Corresponde a la primera derivada de la funcin Corresponde a la segunda derivada de la funcin

Como las deflexiones son muy pequeas, podemos despreciar el trmino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elstica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

Ejemplo

Determine la pendiente y deflexin en D para la viga y carga mostrada, sabiendo que la rigidez a flexin de la viga es E I = 100 MN m2.

La pendiente y la deflexin en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida.

Como la carga concentrada en la figura "b" se aplica a un cuarto de la viga, empleamos la siguiente formula:

Por otra parte, recordando la ecuacin de la curva elstica para la carga uniformemente distribuida, la deflexin en la figura "c" se expresa como:

y diferenciado con respecto a x:

Haciendo w=20 KN/m, x=2m y L=8 m, en las ecuaciones anteriores, se tiene que:

Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las cargas concentradas y distribuidas, se obtiene:

CONCLUSIONESDentro del mundo real, tales como en la Ingeniera existen problemas de vigas cuya solucin se aborda con la resolucin de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.