deflexión en vigas
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Ayuda para Mecanica de materiales.TRANSCRIPT
9Cuarta Edición
Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Notas de Clase: J. Walt Oler Michigan Tech University Enoch Maguiña R Universidad Alas Peruanas Lima-Perú
CAPITULO
9
Deflexión
MECANICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf
Objetivos del Capítulo
Proporcionar métodos para determinar la pendiente y la deflexión en puntos específicos de vigas y ejes.
Utilizar el método de integración, de las funciones singulares y el de superposición para hallar la pendiente y la deflexión de un punto dado de una viga o eje.
Emplear los métodos anteriores para determinar las reacciones de apoyo de vigas estáticamente indeterminadas.
9 - *
MECANICA DE MATERIALES
La curvatura varía linealmente con x
Las relaciones entre el momento y la curvatura por flexión pura permanecen válidas para cargas transversales generales.
Viga en voladizo sujeta a carga concentrada en su extremo libre,
En extremo libre A,
En el apoyo B,
MECANICA DE MATERIALES
Viga con voladizo
La viga es cóncava hacia arriba donde el momento flector es positivo y cóncava hacia abajo donde el momento flector es negativo.
La máxima curvatura ocurre donde la magnitud del momento es un máximo.
Una ecuación para la forma de la viga o curva elástica se requiere para determinar la máxima deflexión y la pendiente.
Reacciones en A y C
Diagrama de momento flector
Curvatura cero en puntos donde el momento flector es cero: en cada extremo y en E.
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECANICA DE MATERIALES
Del cálculo elemental, simplificado para los parámetros de la viga,
Sustituyendo e integrando,
MECANICA DE MATERIALES
Cargas más complicadas necesitan muchas integrales y aplicación de requerimientos de continuidad para desplazamiento y pendiente.
Las constantes se determinan de las condiciones de frontera
Vigas simplemente apoyadas
Vigas con voladizo
Vigas en voladizo
MECANICA DE MATERIALES
9 - *
Determinación Directa de la Curva Elástica de la Distribución de Carga
Para una viga sujeta a una carga distribuida,
La ecuación para el desplazamiento de viga será
Integrando cuatro veces produce
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MECANICA DE MATERIALES
Vigas Estáticamente Indeterminadas
Considere una viga empotrada A y un apoyo de rodillo en B.
Del diagrama de cuerpo libre, note que hay cuatro componentes de reacción desconocidas.
Las condiciones para el equilibrio estático son
La viga es estáticamente indeterminada.
También tiene la ecuación de deflexión de viga,
que introduce dos incógnitas, pero proporciona tres ecuaciones adicionales de las condiciones de frontera:
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MECANICA DE MATERIALES
SOLUCIÓN:
Desarrolle una expresión para M(x) y derive la ecuación diferencial para la curva elástica.
Integre la ecuación diferencial dos veces y aplique las condiciones de frontera para obtener la elástica.
Ubique el punto cero de pendiente o punto de máxima deflexión.
Evalúe la correspondiente máxima deflexión.
Para la parte AB de la viga en voladizo, (a) derive la ecuación para la curva elástica, (b) determine la máxima deflexión,
(c) evalúe ymáx
MECANICA DE MATERIALES
SOLUCIÓN:
Desarrolle una expresión para M(x) y derive la ecuación diferencial para la curva elástica.
Reacciones:
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MECANICA DE MATERIALES
Integre ecuación diferencial dos veces. Aplique condiciones de frontera para hallar la elástica.
Sustituyendo,
MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.1
Ubique el punto de pendiente cero o punto de máxima deflexión.
Calcule la correspondiente máxima deflexión.
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MECANICA DE MATERIALES
Desarrolle la ecuación diferencial para la curva elástica (será funcionalmente dependiente de la reacción en A).
Integre dos veces. Aplique condiciones de frontera para resolver la reacción en A y para obtener la curva elástica.
Evalúe la pendiente en A.
Para la viga uniforme, determine la reacción en A, derive la ecuación para la curva elástica, y determine la pendiente en A. (Observe que la viga es estáticamente indeterminada en primer grado)
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MECANICA DE MATERIALES
Ecuación diferencial para la curva elástica,
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MECANICA DE MATERIALES
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.3
Sustituya para C1, C2, y RA en la ecuación de la curva elástica,
Derive una vez para hallar la pendiente,
at x = 0,
MECANICA DE MATERIALES
Método de Superposición
Principio de superposición:
Las deformaciones de las vigas sujetas a cargas combinadas pueden obtenerse como una combinación lineal de las deformaciones debidas a las cargas individuales
El procedimiento se facilita mediante las tablas de soluciones para tipos de carga y apoyos comunes.
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.7
Para la viga y carga mostrada, determine la pendiente y la deflexión en el punto B.
SOLUCIÓN:
Superponga las deformaciones por Carga I y Carga II como se muestran.
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MECANICA DE MATERIALES
Carga I
Carga II
En el segmento de viga CB, el momento flector es cero y la curva elástica es una línea recta.
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MECANICA DE MATERIALES
MECANICA DE MATERIALES
Aplicación de la Superposición a Vigas Estáticamente Indeterminadas
El método de superposición se puede aplicar para determinar las reacciones en los apoyos de vigas estáticamente indeterminadas
Seleccione una de las reacciones como redundante y elimine o modifique el apoyo.
Determine la deformación de la viga sin el apoyo redundante.
Trate la reacción redundante como una carga incógnita que junto con las otras cargas, debe producir deformaciones compatibles con los apoyos originales.
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.8
Para la viga y carga uniforme mostradas, determine la reacción en cada apoyo y la pendiente en el extremo A.
SOLUCIÓN:
Libere el apoyo “redundante” en B, y encuentre la deformación.
Aplique la reacción en B como una carga incógnita que fuerza un desplazamiento cero en B.
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MECANICA DE MATERIALES
Compatibilidad con apoyos originales, yB = 0
De la estática,
MECANICA DE MATERIALES
71.unknown
72.unknown
MECANICA DE MATERIALES
Teoremas del Momento de Área
Puede usar las propiedades geométricas de la curva elástica para determinar la deflexión y la pendiente.
Considere una viga con carga arbitraria
Primer Teorema del Momento de Área
área debajo del diagrama (M/EI) entre C y D
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MECANICA DE MATERIALES
= desviación tangencial de C
respecto a D
Las tangentes a la curva elástica en P y P’ interceptan un segmento de longitud dt sobre la vertical a través del punto C
Segundo Teorema del Momento de Área :
La desviación tangencial de C respecto a D es igual al primer momento respecto a un eje vertical a través de C del área debajo del diagrama (M/EI) entre C y D.
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MECANICA DE MATERIALES
Vigas con Cargas Simétricas
Vigas en voladizo - Seleccione la tangente en A como referencia.
Vigas simplemente apoyadas con carga simétrica – seleccione tangente en C como referencia.
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MECANICA DE MATERIALES
Diagramas de Momento Flector por Partes
La determinación del cambio de pendiente y la desviación tangencial se simplifica si el efecto de cada carga se evalúa separadamente.
Construya un diagrama (M/EI) separado para cada carga.
El cambio de pendiente, qD/C, se obtiene por suma de áreas debajo del diagrama.
La desviación tangencial, tD/C se obtiene por suma de los primeros momentos de las áreas respecto al eje vertical a través de D.
El diagrama de momento flector construido a partir de cargas individuales se dice que está dibujado por partes.
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MECANICA DE MATERIALES
Construya diagramas de cortante, momento flector y (M/EI).
Tomando la tangente en C como referencia, calcule la pendiente y la desviación tangencial en E.
Para la viga prismática mostrada, determine la pendiente y la deflexión
en E.
MECANICA DE MATERIALES
Construya los diagramas de cortante, momento flector y (M/EI).
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MECANICA DE MATERIALES
MECANICA DE MATERIALES
Área a Vigas con Cargas Asimétricas
La deflexión en D se encuentra de la desviación tangencial en D.
Defina la tangente de referencia en apoyo A. Evalúe qA determinando la desviación tangencial en B respecto a A.
La pendiente en otros puntos se halla respecto una tangente de referencia.
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MECANICA DE MATERIALES
Máxima Deflexión
Obtenga ymax calculando el primer momento respecto al eje vertical a través de A del área entre A y K.
Máxima deflexión ocurre en el punto K donde la tangente es horizontal.
El punto K puede determinarse midiendo un área debajo del diagrama (M/EI) igual a -qA .
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MECANICA DE MATERIALES
9 - *
Uso de los Teoremas del Momento de Área con Vigas Estáticamente Indeterminadas
Dibuje diagrama (M/EI) por partes. Desviaciones tangenciales resultantes se superponen y satisfacen condiciones de compatibilidad de deformaciones.
Determinadas las reacciones, la pendiente y la deflexión se hallan por método del momento de área.
Reacciones en apoyos de vigas estáticamente indeterminadas se hallan escogiendo una reacción redundante y tratándolo como carga incógnita que satisfaga compatibilidad de deformaciones.
PL
EI
B
B
Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Notas de Clase: J. Walt Oler Michigan Tech University Enoch Maguiña R Universidad Alas Peruanas Lima-Perú
CAPITULO
9
Deflexión
MECANICA DE MATERIALES
Beer • Johnston • DeWolf
Objetivos del Capítulo
Proporcionar métodos para determinar la pendiente y la deflexión en puntos específicos de vigas y ejes.
Utilizar el método de integración, de las funciones singulares y el de superposición para hallar la pendiente y la deflexión de un punto dado de una viga o eje.
Emplear los métodos anteriores para determinar las reacciones de apoyo de vigas estáticamente indeterminadas.
9 - *
MECANICA DE MATERIALES
La curvatura varía linealmente con x
Las relaciones entre el momento y la curvatura por flexión pura permanecen válidas para cargas transversales generales.
Viga en voladizo sujeta a carga concentrada en su extremo libre,
En extremo libre A,
En el apoyo B,
MECANICA DE MATERIALES
Viga con voladizo
La viga es cóncava hacia arriba donde el momento flector es positivo y cóncava hacia abajo donde el momento flector es negativo.
La máxima curvatura ocurre donde la magnitud del momento es un máximo.
Una ecuación para la forma de la viga o curva elástica se requiere para determinar la máxima deflexión y la pendiente.
Reacciones en A y C
Diagrama de momento flector
Curvatura cero en puntos donde el momento flector es cero: en cada extremo y en E.
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MECANICA DE MATERIALES
Del cálculo elemental, simplificado para los parámetros de la viga,
Sustituyendo e integrando,
MECANICA DE MATERIALES
Cargas más complicadas necesitan muchas integrales y aplicación de requerimientos de continuidad para desplazamiento y pendiente.
Las constantes se determinan de las condiciones de frontera
Vigas simplemente apoyadas
Vigas con voladizo
Vigas en voladizo
MECANICA DE MATERIALES
9 - *
Determinación Directa de la Curva Elástica de la Distribución de Carga
Para una viga sujeta a una carga distribuida,
La ecuación para el desplazamiento de viga será
Integrando cuatro veces produce
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MECANICA DE MATERIALES
Vigas Estáticamente Indeterminadas
Considere una viga empotrada A y un apoyo de rodillo en B.
Del diagrama de cuerpo libre, note que hay cuatro componentes de reacción desconocidas.
Las condiciones para el equilibrio estático son
La viga es estáticamente indeterminada.
También tiene la ecuación de deflexión de viga,
que introduce dos incógnitas, pero proporciona tres ecuaciones adicionales de las condiciones de frontera:
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MECANICA DE MATERIALES
SOLUCIÓN:
Desarrolle una expresión para M(x) y derive la ecuación diferencial para la curva elástica.
Integre la ecuación diferencial dos veces y aplique las condiciones de frontera para obtener la elástica.
Ubique el punto cero de pendiente o punto de máxima deflexión.
Evalúe la correspondiente máxima deflexión.
Para la parte AB de la viga en voladizo, (a) derive la ecuación para la curva elástica, (b) determine la máxima deflexión,
(c) evalúe ymáx
MECANICA DE MATERIALES
SOLUCIÓN:
Desarrolle una expresión para M(x) y derive la ecuación diferencial para la curva elástica.
Reacciones:
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MECANICA DE MATERIALES
Integre ecuación diferencial dos veces. Aplique condiciones de frontera para hallar la elástica.
Sustituyendo,
MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.1
Ubique el punto de pendiente cero o punto de máxima deflexión.
Calcule la correspondiente máxima deflexión.
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECANICA DE MATERIALES
Desarrolle la ecuación diferencial para la curva elástica (será funcionalmente dependiente de la reacción en A).
Integre dos veces. Aplique condiciones de frontera para resolver la reacción en A y para obtener la curva elástica.
Evalúe la pendiente en A.
Para la viga uniforme, determine la reacción en A, derive la ecuación para la curva elástica, y determine la pendiente en A. (Observe que la viga es estáticamente indeterminada en primer grado)
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MECANICA DE MATERIALES
Ecuación diferencial para la curva elástica,
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MECANICA DE MATERIALES
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.3
Sustituya para C1, C2, y RA en la ecuación de la curva elástica,
Derive una vez para hallar la pendiente,
at x = 0,
MECANICA DE MATERIALES
Método de Superposición
Principio de superposición:
Las deformaciones de las vigas sujetas a cargas combinadas pueden obtenerse como una combinación lineal de las deformaciones debidas a las cargas individuales
El procedimiento se facilita mediante las tablas de soluciones para tipos de carga y apoyos comunes.
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.7
Para la viga y carga mostrada, determine la pendiente y la deflexión en el punto B.
SOLUCIÓN:
Superponga las deformaciones por Carga I y Carga II como se muestran.
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MECANICA DE MATERIALES
Carga I
Carga II
En el segmento de viga CB, el momento flector es cero y la curva elástica es una línea recta.
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MECANICA DE MATERIALES
MECANICA DE MATERIALES
Aplicación de la Superposición a Vigas Estáticamente Indeterminadas
El método de superposición se puede aplicar para determinar las reacciones en los apoyos de vigas estáticamente indeterminadas
Seleccione una de las reacciones como redundante y elimine o modifique el apoyo.
Determine la deformación de la viga sin el apoyo redundante.
Trate la reacción redundante como una carga incógnita que junto con las otras cargas, debe producir deformaciones compatibles con los apoyos originales.
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MECANICA DE MATERIALES
Ejemplo Problema 9.8
Para la viga y carga uniforme mostradas, determine la reacción en cada apoyo y la pendiente en el extremo A.
SOLUCIÓN:
Libere el apoyo “redundante” en B, y encuentre la deformación.
Aplique la reacción en B como una carga incógnita que fuerza un desplazamiento cero en B.
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MECANICA DE MATERIALES
Compatibilidad con apoyos originales, yB = 0
De la estática,
MECANICA DE MATERIALES
71.unknown
72.unknown
MECANICA DE MATERIALES
Teoremas del Momento de Área
Puede usar las propiedades geométricas de la curva elástica para determinar la deflexión y la pendiente.
Considere una viga con carga arbitraria
Primer Teorema del Momento de Área
área debajo del diagrama (M/EI) entre C y D
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECANICA DE MATERIALES
= desviación tangencial de C
respecto a D
Las tangentes a la curva elástica en P y P’ interceptan un segmento de longitud dt sobre la vertical a través del punto C
Segundo Teorema del Momento de Área :
La desviación tangencial de C respecto a D es igual al primer momento respecto a un eje vertical a través de C del área debajo del diagrama (M/EI) entre C y D.
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MECANICA DE MATERIALES
Vigas con Cargas Simétricas
Vigas en voladizo - Seleccione la tangente en A como referencia.
Vigas simplemente apoyadas con carga simétrica – seleccione tangente en C como referencia.
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MECANICA DE MATERIALES
Diagramas de Momento Flector por Partes
La determinación del cambio de pendiente y la desviación tangencial se simplifica si el efecto de cada carga se evalúa separadamente.
Construya un diagrama (M/EI) separado para cada carga.
El cambio de pendiente, qD/C, se obtiene por suma de áreas debajo del diagrama.
La desviación tangencial, tD/C se obtiene por suma de los primeros momentos de las áreas respecto al eje vertical a través de D.
El diagrama de momento flector construido a partir de cargas individuales se dice que está dibujado por partes.
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MECANICA DE MATERIALES
Construya diagramas de cortante, momento flector y (M/EI).
Tomando la tangente en C como referencia, calcule la pendiente y la desviación tangencial en E.
Para la viga prismática mostrada, determine la pendiente y la deflexión
en E.
MECANICA DE MATERIALES
Construya los diagramas de cortante, momento flector y (M/EI).
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECANICA DE MATERIALES
MECANICA DE MATERIALES
Área a Vigas con Cargas Asimétricas
La deflexión en D se encuentra de la desviación tangencial en D.
Defina la tangente de referencia en apoyo A. Evalúe qA determinando la desviación tangencial en B respecto a A.
La pendiente en otros puntos se halla respecto una tangente de referencia.
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MECANICA DE MATERIALES
Máxima Deflexión
Obtenga ymax calculando el primer momento respecto al eje vertical a través de A del área entre A y K.
Máxima deflexión ocurre en el punto K donde la tangente es horizontal.
El punto K puede determinarse midiendo un área debajo del diagrama (M/EI) igual a -qA .
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECANICA DE MATERIALES
9 - *
Uso de los Teoremas del Momento de Área con Vigas Estáticamente Indeterminadas
Dibuje diagrama (M/EI) por partes. Desviaciones tangenciales resultantes se superponen y satisfacen condiciones de compatibilidad de deformaciones.
Determinadas las reacciones, la pendiente y la deflexión se hallan por método del momento de área.
Reacciones en apoyos de vigas estáticamente indeterminadas se hallan escogiendo una reacción redundante y tratándolo como carga incógnita que satisfaga compatibilidad de deformaciones.
PL
EI
B
B