deflexión elec y magn_sep3

15. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones

2A. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES

TAREA DE PREPARACION

Nombre Estudiante: __________________________ Código: ___________ Plan: _____

Fecha: ______________________

1. Un electrón es acelerado por un potencial acelerador Va entre dos electrodos, una con carga positiva y el otro con carga negativa. Si la velocidad inicial es cero, a) ¿Cuál es su energía cinética final? b) ¿Hacia qué electrodo se dirige el electrón? 2. En una región limitada del espacio existe un campo eléctrico uniforme de magnitud E, cuyas líneas de campo son verticales, dirigidas hacia arriba. a) ¿Cuál es la trayectoria de un electrón que entra horizontalmente a la región de campo con velocidad v0? Explique. b) Encuentre la expresión para la velocidad v (magnitud y dirección) con que el electrón abandona la región de campo en función del campo E, la velocidad inicial v0, el ancho s donde existe el campo eléctrico. Haga un esquema y explique. 3. Describa la trayectoria de un electrón que se mueve horizontalmente hacia la derecha con velocidad v y entra a una región de campo magnético uniforme B, cuyas líneas de campo salen del plano de la hoja. Calcule el radio de la trayectoria. Si la velocidad del electrón es la adquirida cuando se acelera a través de un potencial de 500 V, y el campo magnético es el creado por un par de bobinas de Helmholtz de 1000 espiras cada una y de 10 cm de radio. 4. Identifique cada una de las magnitudes físicas que Ud. va a medir en este experimento. ¿Cuáles son las magnitudes físicas definidas en la ecuación que describe el fenómeno físico?

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Laboratorio de Física Fundamental III

2A. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES

1. OBJETIVOS

• Estudiar el movimiento de electrones bajo la acción de campos eléctricos y magnéticos uniformes.

• Determinar la relación carga masa del electrón.

2. MODELO TEÓRICO 2.1 Tubo de rayos catódicos (TRC) Un tubo de rayos catódicos (TRC) conocido como tubo de Braun (Ver Fig. 1) consiste fundamentalmente en una ampolla de vidrio en la que se han sellado al vacío (o con gas noble llamado gas residual, a muy baja presión) un conjunto de electrodos que extraen y aceleran los electrones producidos en un cátodo metálico, unas placas deflectoras y una pantalla cubierta de material fosforescente. Su funcionamiento esencialmente consta de tres partes o etapas: 1. El Cañón de Electrones (compuesto por: cátodo, ánodo enfocador y ánodo acelerador). Esta etapa consta de un filamento que al calentarse emite electrones por un proceso físico conocido como termoemisión. Los electrones emitidos son acelerados en la dirección del eje principal del TRC (que llamaremos eje x), por ánodos con simetría cilíndrica que están a un potencial positivo con respecto al filamento, ó cátodo. Cuando los electrones pasan a través de los agujeros se coliman formando un haz, mientras sufren una o dos aceleraciones sucesivas. Al salir del ánodo acelerador, cada electrón del haz lleva una velocidad vx que conserva (si despreciamos choques inelásticos con las moléculas del gas residual) hasta llegar a la pantalla. 2. Etapa de Deflexión: Consiste en un par de placas metálicas plano-paralelas, sometidas a una diferencia de potencial VD que varía entre 0 y 80 V. El haz de electrones incide siempre perpendicularmente al campo eléctrico entre las placas, de tal manera que actúa sobre él una fuerza transversal a la dirección de su movimiento desviándolo de su trayectoria. La desviación del haz es vertical si las placas están colocadas horizontalmente. 3. Indicador de deflexión del haz: Es una pantalla circular recubierta por un material fosforescente que produce luminiscencia cuando los electrones rápidos chocan contra ella. Sobre la pantalla se mide la deflexión D del haz desde su posición de no desviación.

Figura 1: Representación esquemática Tubo de rayos catódicos (TRC)

2


2.2 Deflexión de un haz de electrones bajo la acción de un campo eléctrico. Un electrón de masa m y carga e abandona un cañón de electrones con una velocidad vx que puede calcularse a partir de la ley de conservación de la energía de acuerdo con la expresión:

12𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥2 = 𝑒𝑒𝑉𝑉𝑎𝑎 (1)

𝑣𝑣𝑥𝑥2 =2𝑒𝑒𝑉𝑉𝑎𝑎𝑚𝑚

(2)

Donde Va es el voltaje acelerador en el cañón de electrones, vx es la velocidad de los electrones en la dirección x, adquirida bajo la acción del potencial acelerador Va.

Figura 2: Deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad vx a una región donde existe un campo eléctrico uniforme vertical. Cuando el electrón con velocidad vx entra a una región en la cual se encuentra con un campo eléctrico uniforme Ey perpendicular a la dirección de su velocidad, este experimenta una aceleración en la dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico. En este caso el campo eléctrico uniforme es creado por dos placas conductoras plano paralelas separadas una distancia d (ver Fig. 2), entre las cuales hay una diferencia de potencial VD. El campo Ey y el potencial VD se relacionan mediante la expresión 𝐸𝐸𝑦𝑦 = 𝑉𝑉𝐷𝐷

𝑑𝑑� . Si la longitud de las placas en la dirección de movimiento inicial es s, el tiempo t que tarda el electrón en recorrerlas horizontalmente está dado por 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 𝑣𝑣𝑥𝑥 � , tiempo durante el cual el electrón interactúa con el campo Ey, describiendo una trayectoria parabólica. La componente y de la velocidad del electrón al abandonar la región de campo deflector Ey es de acuerdo con la segunda ley de Newton 𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑡𝑡 , entonces:

𝑣𝑣𝑦𝑦 =𝐹𝐹𝑦𝑦𝑚𝑚

𝑠𝑠𝑣𝑣𝑥𝑥

=𝑒𝑒𝐸𝐸𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑥𝑥

(3)

𝑣𝑣𝑦𝑦 =𝑒𝑒𝑉𝑉𝐷𝐷𝑚𝑚𝑑𝑑

𝑠𝑠𝑣𝑣𝑥𝑥

(4)

Y la desviación vertical y alcanzada por el electrón al abandonar la región de campo está dada por la expresión:

𝑦𝑦 =𝑣𝑣𝑦𝑦2

2𝑎𝑎𝑦𝑦=𝑒𝑒𝑉𝑉𝐷𝐷2𝑚𝑚𝑑𝑑

𝑠𝑠2

𝑣𝑣𝑥𝑥2 (5)

3


Una vez que el electrón abandona la región de campo su trayectoria es rectilínea hasta alcanzar la pantalla, la cual se encuentra a una distancia L del extremo de las placas (ver Fig. 2). El haz de electrones se desvía una distancia DE del punto de incidencia cuando VD = 0. Del esquema (Fig. 2) se puede ver que el ángulo θ que el haz forma con la horizontal está dado por la expresión:

tan𝜃𝜃 =𝑦𝑦′

𝐿𝐿=𝑣𝑣𝑦𝑦𝑣𝑣𝑥𝑥

(6)

y la desviación neta 𝐷𝐷𝐸𝐸 = 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦′ está finalmente expresada en función de magnitudes físicas medibles como son el voltaje deflector VD, el voltaje acelerador Va , y la geometría del TRC (distancia entre placas d, ancho de placas s y distancia placa pantalla L):

𝐷𝐷𝐸𝐸 =𝑠𝑠𝐿𝐿2𝑑𝑑

�𝑠𝑠

2𝐿𝐿+ 1�

𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝐴𝐴

(7)

Al multiplicar 𝐷𝐷𝐸𝐸 por el voltaje acelerador y graficar en función de 𝑉𝑉𝐷𝐷 la pendiente depende únicamente de la geometría de TRC.

𝐷𝐷𝐸𝐸𝑉𝑉𝑎𝑎 =𝑠𝑠𝐿𝐿2𝑑𝑑

�𝑠𝑠

2𝐿𝐿+ 1� 𝑉𝑉𝐷𝐷 (8)

Llamaremos 𝐴𝐴 = 𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑑𝑑� 𝑠𝑠2𝑠𝑠

+ 1� término geométrico del tubo ya que solo depende de parámetros

geométricos del mismo. Tenemos entonces que la ecuación No. 8 se puede expresar como:

𝐷𝐷𝐸𝐸 = 𝐴𝐴𝑉𝑉𝐷𝐷/𝑉𝑉𝑎𝑎 (10) 2.3 Deflexión de un haz de electrones bajo la acción de un campo magnético.

Por otro lado, si los electrones que se mueven con una velocidad vx entran en una región donde se encuentra un campo magnético uniforme B experimentan una fuerza:

𝐹𝐹𝑀𝑀��⃗ = 𝑞𝑞𝐯𝐯�⃗ × 𝐵𝐵�⃗ (11)

De magnitud 𝐹𝐹𝑀𝑀 = 𝑞𝑞𝑣𝑣𝐵𝐵 y dirección siempre perpendicular a la velocidad. Puesto que la aceleración producida por esta fuerza es en todo instante perpendicular a la velocidad su efecto consiste en cambiar sólo la dirección de v, no su módulo, con lo que los electrones entran a la región del campo magnético B perpendicularmente, describiendo una trayectoria circular cuyo radio R está dado por la expresión:

𝑅𝑅 =𝑚𝑚𝑣𝑣𝑒𝑒𝐵𝐵

(12)

donde m es la masa del electrón, e la carga fundamental y v la velocidad con la que éste entra a la región de campo B.

4


En la Fig. 3, el electrón en su trayectoria circular alcanza la pantalla en un punto a una distancia Dm, y de acuerdo con la geometría del sistema, Fig. 3.

𝐷𝐷𝑀𝑀 = 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑠𝑠𝜃𝜃 (13)

y 𝑅𝑅 cos𝜃𝜃 = �𝑅𝑅2 − 𝐿𝐿𝑚𝑚2 , siendo Lm la distancia horizontal que viaja el electrón bajo la acción del campo magnético, despejando R de la Ec. (9) y reemplazando en la Ec. (10):

𝐷𝐷𝑀𝑀 =𝑚𝑚𝑣𝑣𝑒𝑒𝐵𝐵

�1 −�1 −𝐿𝐿𝑚𝑚2 𝑒𝑒2𝐵𝐵2

𝑚𝑚2𝑣𝑣2 � (14)

Como el campo B es pequeño y la velocidad v es grande, se puede emplear la aproximación

√1 − 𝑥𝑥2 ≈ 1 − 𝑥𝑥2

2+ ⋯ 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≪ 1 con lo que la expresión para la deflexión DM toma la forma:

𝐷𝐷𝑀𝑀 ≈𝑚𝑚𝑣𝑣𝑒𝑒𝐵𝐵

�1 − �1 − 𝐿𝐿𝑚𝑚2 𝑒𝑒2 𝐵𝐵2

2 𝑚𝑚2 𝑣𝑣2��

𝐷𝐷𝑀𝑀 =𝐿𝐿𝑚𝑚2

2𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝑣𝑣

(15)

Figura 3: Deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad vx en una región donde existe un campo magnético uniforme entrando al plano de la hoja.

Retomando la Ec.(2) y reemplazando en la expresión para la deflexión magnética Ec.(12) tememos:

𝐷𝐷𝑀𝑀 =√24𝐿𝐿𝑚𝑚2 �

𝑒𝑒𝑚𝑚

𝐵𝐵�𝑉𝑉𝑎𝑎

(16)

Como muestra esta expresión la deflexión magnética del haz es proporcional al campo magnético B e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del potencial acelerador Va, a diferencia de la deflexión eléctrica Ec. (7) que varía con el propio Va.

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El campo magnético se va a crear por dos bobinas en la configuración Helmholtz, es decir, dos bobinas idénticas de N espiras de radio R0 y separadas una distancia 2a. Si circula una corriente I, el campo magnético en cualquier punto sobre el eje de las dos bobinas está dada por la expresión:

𝐵𝐵(𝑥𝑥) =𝜇𝜇𝑜𝑜𝑁𝑁𝑁𝑁𝑅𝑅02

2�

1[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎)2]3 2⁄ +

1[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎)2]3 2⁄ �

en donde se ha escogido el origen de coordenadas en el punto equidistante entre las dos bobinas a lo largo del eje común. Diferenciando la expresión (4) con respecto a x, y evaluándola en x=0; si esta primera derivada es cero, indica que la intensidad de campo respecto de x es independiente de la distancia 2a entre las bobinas. La segunda derivada con respecto a x es:

𝜕𝜕2𝐵𝐵𝜕𝜕𝑥𝑥2

=[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎)2]− 5(𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎)2

[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎)2]7 2⁄ +[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎)2] − 5(𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎)2

[𝑅𝑅02 + (𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎)2]7 2⁄ (17)

𝜕𝜕2𝐵𝐵𝜕𝜕𝑥𝑥2

|𝑥𝑥=0 ∼ 𝑅𝑅02 − 16𝑎𝑎2 (18)

Que es cero solamente si R0=2a, indicando que para distancia entre bobinas igual al radio de las bobinas, el campo magnético es uniforme cerca en la región central entre las bobinas. Bajo la condición de la ecuación No. 18, la ecuación (17) queda:


2(𝑅𝑅02 + 4𝑎𝑎2)32��1 +

𝑥𝑥2 + 4𝑎𝑎𝑥𝑥𝑅𝑅02 + 4𝑎𝑎2

�−32

+ �1 +𝑥𝑥2 − 4𝑎𝑎𝑥𝑥𝑅𝑅02 + 4𝑎𝑎2

�−32� (19)

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de potencias:

(1 + 𝑧𝑧)𝑛𝑛 = 1 + 𝑛𝑛𝑧𝑧 +𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)

2!𝑧𝑧2 +

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2)3!

𝑧𝑧3 + ⋯ La ecuación No. 19 se reduce a:


(𝑅𝑅02 + 4𝑎𝑎2)32�1 +

32

4(2𝑎𝑎)2 − 𝑅𝑅02

2(4𝑎𝑎2 + 𝑅𝑅02)𝑥𝑥 +

158

8(2𝑎𝑎)4 − 12𝑅𝑅02(2𝑎𝑎)2 + 𝑅𝑅04

(4𝑎𝑎2 + 𝑅𝑅02)4𝑥𝑥4 + ⋯� (20)

Si 2a = Ro. el campo entre las bobinas es independiente de x hasta la tercera potencia y dado por la expresión:

𝐵𝐵(𝑥𝑥) =8√525

𝜇𝜇0𝑁𝑁𝑅𝑅0

𝑁𝑁 (21)

Así que en el volumen entre las bobinas en geometría Helmholts tenemos un campo magnético uniforme.

La deflexión magnética en función de la corriente que genera el campo magnético queda expresada como:

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𝐷𝐷𝑀𝑀 = �2√10

25𝜇𝜇0𝐿𝐿𝑚𝑚2 𝑁𝑁𝑅𝑅0

��𝑒𝑒𝑚𝑚

𝑁𝑁�𝑉𝑉𝑎𝑎

(22)

Si tomamos como 𝐶𝐶 = 2√1025

𝜇𝜇0𝑠𝑠𝑚𝑚2 𝑁𝑁𝑅𝑅0

entonces podemos expresar la ecuación anterior como:

𝐷𝐷𝑀𝑀 = 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑚𝑚


(23)

Si igualamos la deflexión eléctrica DE, ecuación (10) y magnética DM, ecuación (23), tenemos la siguiente relación:

𝐴𝐴𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝑎𝑎

= 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑚𝑚


(24)

𝑉𝑉𝐷𝐷 =𝐶𝐶𝐴𝐴�𝑒𝑒𝑚𝑚�𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 (25)

Esta relación nos permite determinar la relación carga masa graficando 𝑉𝑉𝐷𝐷 en función de la

corriente �𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁.

3. DISEÑO EXPERIMENTAL: 3.1. Materiales y equipo:

• Tubo de rayos catódicos TRC • Fuente de poder para el TRC • Fuente de poder para las placas deflectoras • Bobinas de Helmholtz para la creación del campo magnético • Fuente de poder para las bobinas • Cables de conexión • Voltímetro DC • Regla

3.2. Magnitudes Físicas a medir: Voltaje acelerador Va, voltaje deflector VD (en la deflexión eléctrica), corriente I que circula por las bobinas, desviación D (ó deflexión) medida desde el centro de la pantalla ó la posición correspondiente cuando VD = 0. Del Tubo de Braun o TRC debe tomar las medidas de: longitud de las placas s, separación entre placas d, distancia desde el final de las placas a la pantalla L.

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(a) (b)

Figura 4: (a) Representación esquemática bobinas de Helmholtz. (b) Foto de las bobinas de Helmholtz

Algunas características del tubo son:

• Filamento: Vfil = 6.3V AC, I ˜ 0.5 A • Voltaje de grilla Vg: 0 → + 12 V DC • Voltaje wehnelt V1: 0 → + 50 V DC • Voltaje ánodo acelerador V2: 0 →+ 300 V DC Con un voltaje fijo +300V • Voltaje placas deflectoras VD: - 80 → 0 →+80 V • s =18mm, L= 10cm, d= 13mm

Algunas características de las bobinas:

• Número de espiras N=154 • Diámetro = 40cm

3.3. Montaje:

En la Fig.5 se muestra un esquema del panel de conexiones del tubo de rayos catódicos con casquete y las bobinas de Helmhontz.

Vf es el voltaje alterno que se aplica al filamento (6,3 Vac). Los bornes negativos de la fuente aceleradora se conectan entre si y uno va al borne indicado con el símbolo tierra en el tubo. La salida fija de 300V se conecta en serie con la salida variable de 0 a 300 V. Este voltaje se aplica al ánodo acelerador y se llama V2. Los bornes positivos de las fuentes variables van respectivamente a los bornes del tubo indicados con el valor respectivo: 0 a 12, VG; 0 a 50, aplicado al ánodo enfocador y se llama V1; 300 a 600.

Los bornes de salida de la fuente deflectora (c), Vd, de -80 V a +80 V, van a los bornes de las placas de desviación, también identificado con Vd.

Las bobinas deben ser orientadas y conectadas tal que el campo magnético que crean sea horizontal, perpendicular al eje del tubo de rayos catódicos.

NOTA: Si usted recibe un TRC sin casquete, pida al laboratorista un plano de conexiones del tubo que recibe.

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3.4. Precauciones:

• La operación de un TRC es relativamente simple, pero Ud. debe asegurarse de que todas las conexiones son correctas y que conoce el rango de operación del TRC.

• Debe asegurar que la orientación del TRC es tal que el haz sufre la mínima desviación posible debido a la acción del campo magnético terrestre sobre el haz de electrones.

• La medición de la desviación D sobre la pantalla debe hacerse cuidando de corregir el error de paralaje que podría presentarse al no mirar perpendicularmente el punto deflectado y la referencia (posición inicial).

• El eje de las bobinas deflectoras debe estar entre 4 y 6 cm. atrás del plano de la pantalla, con el objetivo de que el campo magnético curve el haz de electrones justo antes de incidir contra ella. En estas condiciones el campo es aproximadamente constante y se satisfacen las ecuaciones (14).

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 4.1 Una vez que la fuente de alimentación del tubo se ha conectado, debe escogerse un voltaje

acelerador V2 hasta que el haz llegue a la pantalla y luego con el voltaje wehnelt (V1) enfocar el haz sobre la pantalla. El voltaje total Va es la suma de las tres fuentes: (0 a 12) V, (0 a 50) V, (0 a 600) V NOTA: Esta última salida de la fuente por lo general solo muestra que va de (0 a 300) V, pero esta ya tiene fijo un voltaje de 300V así que si usted pone la perilla en aproximadamente 100V lo que realmente le da la fuente son 400V.

4.2 Referencie el punto sobre la pantalla cuando VD = 0 (medido en los conectores de las placas deflectoras), el punto debe estar muy cerca del centro geométrico de la pantalla.

4.3 Si el haz se encuentra desviado del centro de la pantalla oriente el tubo hasta que la desviación sea mínima (debida a la acción del campo magnético terrestre).

4.4 Coloque el voltaje VD en cero, donde se tendrá el haz con la mínima deflexión. 4.6 Dejando Va en el mismo valor, aumente el voltaje deflector en las placas VD y fije la

deflexión DE en aproximadamente 2mm, consigne en la tabla No. 1 este valor de VD. 4.7 Ahora empiece a circular corriente por las bobinas de tal forma que el punto sobre la pantalla

retorne al lugar inicial, tome el valor de la corriente necesaria para que esto suceda. 4.8 De nuevo aumente el potencial deflector de las placas VD hasta que el punto regrese a los

2mm anteriores y devuelva esta deflexión aplicando corriente a las bobinas. 4.9 Repita el procedimiento de los numerales 4.4 y 4.5 para obtener aproximadamente 10 valores

de VD y ID. 4.10 Para este mismo voltaje acelerador cambie la deflexión del punto 4.4 a 5mm

aproximadamente, y repita el procedimiento anterior. 4.11 Vuelva la corriente de las bobinas y el voltaje deflector a cero. Cambie de voltaje acelerador

Va en por lo menos 100V y repita los pasos anteriores. Repita el procedimiento para un voltaje acelerador extra si es posible.

5 ANÁLISIS:

5.1 Grafique 𝑉𝑉𝐷𝐷 en función de I, determine la pendiente, para cada valor de Va. Analice los resultados 5.2 Determine el valor nominal de las constante C y A. 5.3 Grafique VD en función �𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁, Tabla No. 2. 5.4 Calcule la pendiente y con esta encuentre la relación carga masa del electrón (e/m) con su respectivo error.

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Figura 5.a Esquema de conexión tubo de rayos catódicos con casquete. Conexión del tubo Brown

con la fuente de poder y la unidad de operación

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Figura 5.b Esquema de conexión tubo de rayos catódicos con casquete. Conexión de las bobinas deflectoras.

6 BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA [1] R. A. Serway, Física tomo II, cap. 28, 3ra edición. Editorial. Mc. Graw Hill. [2] Halliday – Resnick, Física Para Ciencias e Ingeniería, Tomo 2; Editorial CECSA [3] M. Alonso, E. Finn, Física; tomo 2 Editorial Addison Wesley Iberoamericana

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TABLAS DE DATOS

Fecha: DD MM AA Profesor: Asistente. de Docencia: Grupo de Laboratorio:

Nombre: Código Plan

Datos del equipo:

s= L = d = R0= N = 2a =

Tabla 1 Deflexión Eléctrica y Magnética

gV = ±

1V = ± 2V = ±

´gV = ± ´

1V = ± ´

2V = ±

aV = ± ´

aV = ± VD ( )± I ( ) ± VD ( )± I ( )±

m = ± ( ) m´ = ± ( )

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Tabla 2. Determinación de la relación e/m

VD ( )± �𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁( )± m = ± ( ) e/m = ± ( )

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