DEFLEXIN DE PLACAS

INTRODUCCIN

A lo largo de la historia las placas se han convertido en un tipo de estructura fundamental en la ingeniera y su empleo es muy amplio en campos como la ingeniera civil. Algunas de sus funciones ms usuales son como estructura de cubierta, en muros de contencin o en losas de cimentacin. Tambin han sido el tipo estructural por excelencia en los tableros de puentes, en los cuales se ha usado ampliamente. Dada la importancia de las placas como elemento estructural el anlisis del comportamiento de las placas es realmente importante.

INTRODUCCIN

La forma tradicional de solucionar los problemas de placas es mediante el uso de desarrollos en series de Fourier, los cuales estn ligados a las condiciones de contorno y al sistema de coordenadas elegido.

Actualmente los clculos de placas se realizan mayormente mediante mtodos numricos como los elementos finitos, o las diferencias finitas. Estos mtodos permiten encontrar una solucin a problemas que resolver de la manera tradicional sera muy difcil o incluso imposible.

PLACAS

Se denomina placa al elemento estructural plano en el que una dimensin (el espesor) es muy pequeo en comparacin con las otras dos dimensiones.

ESTRUCTURAS REALES TIPO PLACA

El elemento estructural placa se encuentra muy a menudo en las estructuras reales. Puede aparecer solo como placa, como en los forjados de un edificio, o como una combinacin de placa y laja (p.e.: cubiertas plegadas, losas de puentes) o en una aproximacin a lmina (anlogo a la sustitucin de un arco por una poligonal). A continuacin se muestran unos ejemplos.

CLASIFICACIN DE LAS PLACAS

Las placas se pueden clasificar de diferentes maneras:

Segn el espesor:

Delgadas: El espesor es menor que la quinta parte de la menor de sus otras dimensiones.

Gruesas: El espesor es mayor que la quinta parte de la menor de sus otras dimensiones.

Segn sus caractersticas elasto mecnicas:

Istropas: Las caractersticas no dependen de la direccin

Anistropas: Las caractersticas dependen de la direccin.

Orttropas: Las caractersticas dependen de la direccin presentando dos direcciones ortogonales principales.

LOSAS

LOSAS CON APOYO

ECUACIN DE GOBIERNO

En esencia una losa de cimentacin se comporta como una placa que en su cara inferior sufre fuerzas verticales proporcionales al mdulo de balasto y el asentamiento o la flecha vertical de la losa. Para una losa de espesor uniforme la expresin es:

MOMENTOS FLECTORES EN CADA DIRECCION

DISEO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO.

LOSAS SOSTENIDAS SOBRE VIGAS

LOSAS SOSTENIDAS SOBRE VIGAS

LOSAS PLANAS LOSAS PLANAS CON VIGAS EMBEBIDAS

LOSAS UNIDIRECCIONALES Y BIDIRECCIONAL LOSA MACIZA

La ecuacin general que describe el comportamiento de las losas bidireccionales macizas, de espesor constante, es conocida como la Ecuacin de Lagrange o Ecuacin de Placas, que se presenta a continuacin: w : ordenada de la elstica de deformacin de la placa en un punto de coordenadas (x, y) D : rigidez a la flexin de la placa, anloga al producto E . I en vigas E : mdulo de elasticidad del hormign h : Espesor de la placa : coeficiente de Poisson del hormign (su valor est comprendido entre 0.10 y 0.20)

D = E.h3

Ecuacin (9.2) 12(1 2 )

HIPTESIS BSICAS DEL CLCULO DE PLACAS La ecuacin de Lagrange utiliza como fundamento la Ley de Deformacin Plana de Kirchhoff que establece que una placa plana delgada, sometida a cargas perpendiculares a su plano principal, se deformar de modo que todos los puntos materiales que pertenecen a una recta normal a la superficie sin deformarse permanecern dentro de la correspondiente recta normal a la superficie deformada (la versin anloga para vigas dira que las secciones transversales planas antes de la deformacin permanecen planas despus de la deformacin). En las placas quedan definidas por las siguientes expresiones: Es importante notar que las deformaciones producidas por flexin en una de las direcciones generan esfuerzos flexionantes en la direccin perpendicular debido al efecto de Poisson (deformacin en la direccin perpendicular).

MTODOS DE CLCULO Hay muchos mtodos distintos, algunos de los

ms usuales se reflejan en el siguiente esquema.

MTODOS NUMRICOS

Ingenieros y cientficos a menudo se enfrentan a problemas cuya solucin mediante mtodos analticos convencionales es de extrema dificultad o incluso imposible. Por ejemplo, un cuerpo cualquiera tridimensional sobre el que actan una serie de fuerzas externas. Para poder analizar la respuesta exacta de este cuerpo a esas fuerzas se busca una solucin aproximada a las ecuaciones que rigen su deformacin. Sin embargo, debido a la complejidad geomtrica que por regla general tienen los problemas prcticos es extremadamente difcil y a menudo imposible obtener dicha solucin. Ante esto el recurso es encontrar una solucin numrica al problema.

Hay varios mtodos numricos vlidos, entre los mas destacados tenemos Mtodo de Elementos Finitos y el Mtodo de las Diferencias Finitas.

En este proyecto nos centraremos en el Mtodo de las Diferencias Finitas.

MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El de los elementos finitos es un mtodo relativamente reciente. El mtodo fue desarrollado por M.J. Turner en la dcada de los 50. Sin embargo se considera el verdadero inicio del M.E.F. actual a partir de 1956 a raz del estudio llevado a cabo por Turner, R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp. Este estudio se centraba en la rigidez y deformacin de estructuras complejas.

En sus inicios el M.E.F. est muy unido a la industria aeroespacial, pues era la nica que se poda permitir los equipos necesarios para los clculos. Originalmente el M.E.F. se utilizaba solamente para el clculo de estructuras. Sin embargo, con el posterior desarrollo de los ordenadores el M.E.F. se generaliz y se pudo aplicar a ms campos diferentes. Unido al desarrollo de los ordenadores se extendi el uso de programas especializados en diferentes campos.

El MEF permite obtener una solucin numrica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominiosobre el que estn definidas ciertas ecuaciones diferenciales que caracterizan el comportamiento fsico del problema dividindolo en un nmero elevado de subdominios denominados elementos finitos. El M.E.F. facilita el clculo en problemas en que es prcticamente imposible encontrar una solucin analtica.

Actualmente, gracias a la generalidad del M.E.F. se puede aplicar en una gran cantidad de campos diferentes desde estudios estructurales a problemas termodinmicos o incluso magnticos. Y se usa en muchos y diversos campos industrialeso de la construccin.

En este mtodo el cuerpo se divide en cierto nmero de elementos o dimensiones finitas, de ah su nombre. Si el cuerpo tiene n (n= 1,2,3) dimensiones en el espacio, se dividir en elementos finitos de n dimensiones.

Los cuerpos unidimensionales se dividen en elementos finitos mediante nodos.

En los cuerpos unidimensionales los elementos finitos resultantes pueden tener longitudes diferentes, as mismo los elementos finitos en los cuerpos de dos y tres dimensiones pueden tener diferentes tamao y forma. En todos los casos los elementos finitos estarn conectados por nodos. De esta manera el cuerpo objeto del estudio es sustituido por un sistema de elementos finitos conectados por nodos.

Una vez se tiene el cuerpo dividido en elementos finitos el siguiente paso es determinar la matriz de rigidez de los elementos individualmente. Luego estas

se unen para formar la matriz de rigidez del cuerpo de manera que la continuidad de los movimientos y el equilibrio de fuerzas prevalezca en todos los nodos del modelo. Esto nos lleva a la siguiente ecuacin matricial:

Donde [K] es la matriz de rigidez del cuerpo, (P) es el vector de las fuerzas

externas aplicadas en todos los nodos y () es el vector de los desplazamientos

de los nodos.

MTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

El mtodo de las diferencias finitas es un mtodo numrico aproximado basado en sustituir las derivadas parciales que intervienen en la ecuacin de Lagrange por diferencias de valores numricos (en este caso la flecha) en una serie de puntos determinados.

Para una comprensin ms fcil se aplicar los fundamentos del mtodo a una funcin genrica f(x) en una direccin. La derivada de f(x) en el punto m se define como el lmite de y/x cuando x tiende a cero.

ANTECEDENTES.

Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus extremos est sujeta a una carga por unidad de rea q (figura 32.4). La deflexin en la dimensin z se determina resolviendo la EDP elptica

sujeta a condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexin y la pendiente normal a la frontera son cero. El parmetro D es la rigidez de flexin,

donde E = el mdulo de elasticidad, z = el espesor de la placa y s = razn de Poisson.

Si definimos una nueva variable como sigue

La ecuacin (32.11) se reexpresa como

Por lo tanto, el problema se reduce a resolver de manera sucesiva dos ecuaciones de Poisson. Primero, de la ecuacin se obtiene u sujeta a la condicin de frontera u = 0 en los extremos. Despus, los resultados se emplean junto con

para obtener z sujeta a la condicin de que z = 0 en los extremos.

EJERCICIO:

Determinar las deflexiones de unaplaca cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de rea. Pruebe el programa con una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q = 33.6 kN/m2, s = 0.3, z = 102m y E = 2 1011 Pa. Emplee x = y = 0.5 m para su corrida de prueba.

Solucin. Las diferencias divididas finitas se emplean para sustituir cada uno de los sumandos en la ecuacin para dar

Se utiliza para calcular D = 1.832 104 N/m. Este resultado, junto con los otros parmetros del sistema, sustituyen en la ecuacin para obtener

Esta ecuacin se puede dar para todos los nodos con las fronteras en u = 0. Las ecuaciones resultantes son

Estos resultados, a su vez, se sustituyen en la ecuacin, ,

que se escribe en forma de diferencias finitas para obtener

CONCLUSIONES

Con esto queda claro la importancia de hacer el calculo correctos, pues como ya fue visto todo depende del diseo de la manera en que se ha propuesto el proyecto.

El anlisis de las losas no es algo muy complejo como lo es con otros elementos estructurales, en donde se refleja todo el estudio es en el resultado del armado que obtengamos de las operaciones y resoluciones aplicando las formulas, constantes y valores correspondientes de acuerdo al diseo de la losa.

Las losas sean macizas o aligeradas deben ser analizados de la manera que establecen las normas en reglamentos. Estos elementos estructurales son de los mas importantes para la estabilidad de la estructura pues soportan su propio peso y adems de las cargas vivas que sobre ella actuaran, por eso descifrar los momentos y fuerzas a los que se somete la losa es una de las partes mas delicadas.