modelo matemÁtico - deflexiÓn de una viga uniforme (expansión de funciones propias)
DESCRIPTION
Trabajo de Investigación de la Universidad Nacional de Ingeniería, basado en Modelos Matemáticos en el tema de Funciones y Valores Propios, aplicado al tema de la construcción como Deflexión de una Viga UniformeTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
AREA DE CIENCIAS BASICAS
MODELO MATEMATICO
DEFLEXION DE UNA VIGA UNIFORME
ASIGNATURA: Matematica Aplicada (CB-143)
DOCENTE: TOCTO INGA, Paul Miller
INTEGRANTES:
HIDALGO ALTA, Hans Marlon
MORENO LOPEZ, Victor Daniel
TRUCIOS LUGLIO, Diego Andree
VILELA CUBAS, John Henry
2013 - II
VALORES EN LA FRONTERA Y
VALORES PROPIOS
Deflexion de una viga uniforme
Indice
1. INTRODUCCION 2
2. CONCEPTOS PREVIOS 3
2.1. Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Valor Propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4. Condiciones de Frontera de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5. Condiciones de Frontera de Neumann . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6. Condiciones de Frontera de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7. Funcion Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8. Funcion No Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. EXPANSION DE FUNCIONES PROPIAS 12
3.1. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1. La Cuerda Giratoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2. Deflexion de una Viga Uniforme . . . . . . . . . . . . . 15
4. CONCLUSIONES 21
5. BIBLIOGRAFIA 22
1
1. INTRODUCCION
El contacto de la realidad con las idealizaciones matematicas ha inducido a
lo largo del tiempo a resolver problemas, satisfacer necesidades, mejorar la
calidad de vida, minimizar riesgos, entre otras cosas. Desde tiempos remotos,
el analisis ha estado presente en cada accion realizada por el hombre, desde el
cuestionamiento a uno mismo del como y el porque suceden ciertos sucesos, la
intencion de explicar circunstancias fenomenologicas, y el deseo de modelar,
predecir, y poder manejar hechos reales, con variables definidas. Sentir que
es posible controlar, o lo maravilloso que ha de ser, acercarse a la increıble
naturaleza.
El mejor recurso que posee la humanidad, el raciocinio, se consolida con
la formulacion de Modelos Matematicos y la insercion de funciones, como en
el presente trabajo de investigacion, funciones propias.
De esta manera, buscando la correcta relacion entre lo concreto y las
aproximaciones numericas, se busca orientar el objetivo problema a la cons-
truccion con el simple e indispensable fenomeno de la deflexion de una viga
uniforme.
2
2. CONCEPTOS PREVIOS
2.1. Frontera
La frontera o las condiciones de contorno de una ecuacion diferencial son
los valores restringidos que toma la funcion para determinados valores parti-
culares de la variable independiente. Por ejemplo, si la ecuacion implica a la
velocidad, la condicion de contorno podrıa ser la velocidad inicial, la veloci-
dad al tiempo t = 0.Con objeto de tener una solucion completa, debe haber
una condicion de contorno para cada orden de la ecuacion -dos condiciones
de contorno para una ecuacion de segundo orden, una sola solucion para una
ecuacion diferencial de primer orden, etc.-. Si se encuentra una solucion de la
ecuacion diferencial que satisfaga todas las condiciones de contorno, entonces
esa es la unica solucion a esa ecuacion -es lo que se llama el teorema de la
singularidad-. Por lo tanto, un enfoque razonable para la busqueda de solu-
ciones a las ecuaciones diferenciales en los problemas fısicos, es utilizar una
solucion de prueba y tratar de forzarla para que se ajuste a las condiciones
de contorno. Si tiene exito este enfoque, es que se trata de la unica solucion.
En las ecuaciones diferenciales aplicables a problemas fısicos, a menudo
es posible comenzar con una forma general de solucion y luego forzarla para
adaptarse a las condiciones fısicas de contorno del problema.
df
dx= f(x, y)
donde y(x0) = y0
cumple la condicion tal que f(x, y)y la derivada de y es continua en
un rectangulo de valores determinados (x, y), entonces hay una y solo una
3
solucion a la ecuacion que satisfaga las condiciones de contorno.
2.2. Valor Propio
Los vectores propios o autovectores de un operador lineal son los vec-
tores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a
un multiplo escalar de sı mismos, con lo que no cambian su direccion. Este
escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor caracterıstico o ei-
genvalor. A menudo, una transformacion queda completamente determinada
por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, ei-
genespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio λes el conjunto
de vectores propios con un valor propio comun.
Definicion: Dada una matriz AεRn×n se dice que el numero complejo
λεC es un valor propio de A si existe un vectorv 6= 0 tal que Av = λv. A este
vector, v, se le llama vector propio de A asociado al valor propio λ.
Ejemplo: Compruebese que v =
1
−1
1
.
A =
0 −1 −3
2 3 3
−2 1 1
Se debe comprobar que hay un numero λ (real o complejo) tal que Av =.
Para ello multiplicamos A por v:
Av =
0 −1 −3
2 3 3
−2 1 1
1
−1
1
=
−2
2
−2
Por lo tanto se tiene que:
4
Av = (−2)v
de modo que λ = −2 hace que Av = λv, siendo este el valor propio.
2.3. Series de Fourier
Las serie de Fourier surgieron historicamente al resolver por el metodo de
separacion de variables un problema de contorno de ecuaciones en derivadas
parciales. Cuando estas formulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en
1.753, muchos matematicos pensaron que era imposible expresar una funcion
f(x) cualquiera como suma de senos y cosenos.
Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datos
para convencer al mundo cientıfico de tal posibilidad.
Definicion: Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo
[−L,L] a:
f(X) =a0
2+∞∑n=1
(an cosnπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx)
Donde:
a0 =1
L
∫ L
−Lf(x)dx an =
1
L
∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lxdx bn =
1
L
∫ L
−Lf(x) sin
nπ
Lxdx
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
1, sin πxL, sin
2πx
L, . . . , cos
πx
L, cos
2πx
L, . . .
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
(f(x), g(x)) =∫ L
−Lf(x)g(x)dx
5
Analogamente se puede definir la serie de Fourier de una funcion f(x)
definida en un intervalo [a, b] haciendo una traslacion del punto medio a+b2
al
origen.
Teorema: (Teorema de convergencia puntual para series de Fou-
rier)
Si f(x) y f′(x) son continuas a trozos en [−L, L] ,entonces ∀x ∈ (−L, L)
se verifica:
a0
2+∞∑n=1
(an cosnπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx) =
1
2
[f(x+) + f(x−)
]Para x = ±L la serie de Fourier converge a 1
2[f(−L+) + f(L−)].
Teorema: (Teorema de convergencia de series de Fourier)
Sea f(x) una funcion continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Si f′ es
continua a trozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge
uniformemente a f(x) en [−L, L] y por consiguiente en cualquier intervalo.
Teorema: Sea f(x) una funcion continua en (−∞, ∞) y con periodo
2L. Si f′′ es continua por segmentos en [−L, L]. Entonces la serie de Fourier
de f′ se puede obtener de la serie de Fourier f(x) mediante la difrenciacion
termino a termino. En particular, si
f(X) =a0
2+∞∑n=1
(an cosnπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx)
entonces
f′
(X) =∞∑n=1
nπ
L(−an sin
nπ
Lx+ bn cos
nπ
Lx)
Teorema: Sea f(x) continua a trozos en [−L, L] con serie de Fourier
f(X) =a0
2+∞∑n=1
(an cosnπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx)
entonces ∀ x ∈ [−L, L] se verifica:∫ x
−Lf(t)dt =
∫ x
−L
a0
2+∞∑n=1
∫ x
−L(an cos
nπ
Lt+ bn sin
nπ
Lt)dt
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2.4. Condiciones de Frontera de Dirichlet
En matematicas, la condicion de frontera de Dirichlet (o de primer tipo)
es un tipo de condicion de frontera o contorno, denominado ası en honor a
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Cuando en una ecuacion
diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores
de la solucion que necesita la frontera del dominio. La cuestion de hallar las
soluciones a esas ecuaciones con esta condicion se le conoce como problema
de Dirichlet.
Ası, dada la ecuacion:
−5 . (p5 u) + qu = λwu, x ε Ω
Donde:
w = w(x) > 0, p = p(x) > 0, q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condicion de frontera de Dirichlet serıa:
u = 0 sobre ∂Ω
2.5. Condiciones de Frontera de Neumann
En matematicas, la condicion de frontera de Neumann (o de segundo
tipo) es un tipo de condicion de frontera o contorno, llamada ası en alusion
a Carl Neumann. Se presenta cuando a una ecuacion diferencial ordinaria
o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una
solucion tomada sobre la frontera o contorno del dominio.
Ası, dada la ecuacion:
7
−5 (p5 u) + qu = λwu, x ε Ω
Donde:
w = w(x) > 0, p = p(x) > 0, q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condicion de frontera de Neumann serıa:
∂u∂n
= 0 sobre ∂Ω
2.6. Condiciones de Frontera de Robin
En matematicas, la condicion de frontera de Robin (o de tercer tipo) es un
tipo de condicion de frontera o contorno, denominado ası en honor a Victor
Gustave Robin (1855-1897), cuando en una ecuacion diferencial ordinaria
o en una derivadas parciales, se le especifica una combinacion lineal de los
valores de una funcion y y los valores de su derivada sobre la frontera del
dominio.
Las condiciones de frontera de Robin son una combinacion ponderada
de las condiciones de Dirichlet y Neumann. Es el contraste de la condicio-
nes de frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera de diferentes
tipos especificadas en diferentes subconjuntos de la frontera. Las condicio-
nes de frontera de Robin tambien se denominan condiciones de frontera de
impedancia, por su aplicacion en problemas electromagneticos.
Ası, dada la ecuacion:
−5 . (p5 u) + qu = λwu, x ε Ω
Donde:
8
w = w(x) > 0, p = p(x) > 0, q = q(x),
Sabiendo que: p, q y w son continuos sobre Ω, y p tiene su primera derivada
parcial sobre Ω. La condicion de frontera de Robin serıa:
∂u∂n
+ a(x)u = 0 sobre ∂Ω
2.7. Funcion Homogenea
Una funcion homogenea es una funcion que presenta un comportamiento
multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor
constante, entonces el valor de la funcion resulta ser un cierto numero de
veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el
grado de la funcion homogenea.
Definicion: Si se tiene una funcion cuya definicion es f : V → W entre
dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo F . Entonces se dice que f es
homogenea de grado k si:
f(αv) = αk f(v), ∀α ∈ F 6= 0, , ∀v ∈ V
Teorema de Euler: Si se tiene una funcion f : Rn → R es infinitamente
diferenciable. Entonces f es homogenea de grado k si y solo si:
x.∇f(x) = kf(x)
Suponiendo que f : Rn → R es diferenciable y homogenea de grado k.
Entonces sus derivadas parciales de primer orden ∂f/∂xi son funciones de
grado k − 1.
Este resultado prueba de la misma manera el teorema de Euler. Escri-
biendo f = f(x1, . . . , xn) y diferenciado la ecuacion
9
f(αy) = αk f(y)
Definiendo xi = αyi y derivando con respecto a yi, encontramos por la
regla de la cadena que:
∂
∂xif(αyi)
d
dyi(αyi) = αk ∂
∂xif(y)
d
dyi(yi)
Y por lo tanto:
α∂
∂xif(αy) = αk ∂
∂xif(y)
Y finalmente:
∂
∂xif(αy) = αk−1 ∂
∂xif(y)
La sustitucion v = y/x convierte la ecuacion diferencial ordinaria
I(x, y)dy
dx+ J(x, y) = 0
Donde I y J son funciones homogeneas del mismo grado, en la ecuacion
diferencial separable:
xdv
dx= −J(1, v)
I(1, v)− v
2.8. Funcion No Homogenea
En ecuaciones diferenciales se refiere cuando tiene un coeficiente que es
termino aislado, es decir, no contiene a y o alguna derivada de y.
Consideremos, la ecuacion diferencia:
an(x)yn + an−1(x)yn−1+, . . .+ a1(x)y′+ a0(x)y = f(x)
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con a0(x), . . . , an, f(x), son funciones continuas en un intervalo abierto.
Definicion: Se llama solucion particular de la ecuacion no homogenea
a cualquier funcion yp que no contiene parametros arbitrarios.
Definicion: Sea yp una solucion dada de la ecuacion lineal no homogenea
de orden n en un intervalo I y sean y1, . . . , yn un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuacion lineal homogenea asociada en I, y si y(x) es una
solucion de la ecuacion en I, entonces
y(x) = c1y1 + . . .+ cnyn + yp(x)
para algunas constantes, c1, . . . , cn
Definicion: Sea yp una solucion particular de la ecuacion lineal no ho-
mogenea de orden n, en I y sea yc la solucion general de la ecuacion lineal
homogenea, entonces yp se llama parte o funcion complementaria de la ecua-
cion lineal no homogenea y la solucion general de la ecuacion diferencial no
homogenea es:
y = yc(x) + yp(x)
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3. EXPANSION DE FUNCIONES
PROPIAS
3.1. Aplicacion
3.1.1. La Cuerda Giratoria
¿Quien de nosotros no se ha maravillado con la forma que adquiere una
cuerda para saltar cuando gira rapidamente? Ahora consideraremos la forma
que toma una cuerda flexible estirada firmemente, con longitud L y que tiene
densidad lineal constante ρ(masa por unidad de longitud) si se le hace girar
o dar vueltas (igual que una cuerda para saltar) con velocidad angular ω (en
radianes por segundo) alrededor de su posicion de equilibrio a lo largo del eje
x. Supongamos que la porcion de la cuerda que esta a un lado de algun punto
ejerce una fuerza de tension constante T sobre la porcion de la cuerda que
esta al otro lado de ese punto, con la direccion de T tangencial a la cuerda
en ese punto. Ademas supondremos que como la cuerda gira alrededor del
eje x, cada punto se mueve en en un cırculo con centro en su posicion de
equilibrio ubicada en el eje x. De modo que la cuerda eslastica, y cuando gira
se alarga tomando una forma curva. Denotese por y(x) el desplazamiento de
la cuerda del punto x sobre el eje de rotacion. Por ultimo, suponemos que la
desviacion de la cuerda es tan pequena que sin θ ≈ tan θ = y′(x).
Planeamos deducir una ecuacion diferencial para y(x) por medio de la
aplicacion de la ley de Newton F = ma a la porcion de la cuerda de masa
ρ∆x que corresponde al intervalo [x, x+ ∆x]. Las unicas fuerzas que actuan
en esta porcion son las fuerzas de tension en sus dos extremos. De la Figura
1 vemos que la fuerza vertical neta en la direccion positiva del eje y es
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Figura 1: Fuerzas sobre un pequeno segmento de la cuerda que gira
F = T sin(θ + ∆θ)− T sin θ ≈ T tan(θ + ∆θ)− T tan θ
de modo que
F ≈ Ty′(x+ ∆x)− Ty′
(x). (1)
Ahora, recordemos de fısica o calculo elementales la formula a = rω2 para
la aceleracion centrıpeta (hacia adentro) de un cuerpo en movimiento circular
uniforme (r es el radio del cıculo y ω es la velocidad angular del cuerpo).
Aquı tenemos r = y, de modo que la aceleracion vertical de nuestra porcion
de cuerda es a = −ω2y, el signo es menos a causa de que la direccion hacia
adentro es la direccion negativa del eje y. Como m = ρ∆x, la sustitucion de
esto y la ecuacion 1 en F = ma produce
Ty′(x+ ∆x)− Ty′
(x) ≈ −ρω2y∆ x,
de modo que
Ty
′(x+ ∆x)− y′
∆x≈ −ρω2y
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Ahora tomamos el lımite cuando ∆x → 0 para obtener la ecuacion dife-
rencial del movimiento de la cuerda:
Ty′+ ρω2y = 0. (2)
si escribimos
λ =ρω2
T(3)
e imponemos la condicion que los extremos de la cuerda estan fijos, final-
mente obtenemos el problema de valor propio
y′′
+ λy = 0; y(0) = 0; y(L) = 0 (4)
Aquı encontramos que los valores propios del problema en la ecuacion 4
son
λn =n2π2
L2, n = 1, 2, 3, ..., (5)
con la funcion propia yn(x) = sen(nπx/L) asociada con λn. Pero,¿que sig-
nifica esto en terminos de la cuerda que gira? significa que a menos que λ
en (3) sea uno de los valores propios en (5), la unica solucion del problema
en 4 es la solucion trivial y(x) = 0. En este caso la cuerda permanece en
su posicion de equilibrio con desviacion cero. Pero, si igualamos (3) y (5) y
resolvemos para el valor ωn correspondiente a λn,
ωn =λnT
ρ=nπ
L
T
ρ(6)
para n = 1, 2, 3, ..., obtenemos una sucesion de Velocidades crıticas de
la rotacion angular. Solo a estas velocidades angulares crıticas la cuerda puede
girar fuera de su posicion de equilibrio. A la velocidad angular ωn suponemos
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Figura 2: Distorsion de una viga horizontal
que adopta la forma yn = cnsen(nπx/L); nuestro modelo matematico no es
lo suficientemente completo para determinar los coeficientes cn.
supongamos que iniciamos la rotacion de la cuerda a una velocidad
ω < ω1 =π
L
√T
ρ,
y entonces gradualmente aumenta su velocidad de rotacion. Mientras ω <
ω1, la cuerda se mantiene en su posicion de deflexion y = 0. Pero cuando
ω = ω1 la cuerda pasara a una posicion giratoria y = c1sen(πx/L). Y cuando
ω aumenta aun mas,¡la cuerda regresara a su posicion no deformada a lo
largo del eje de rotacion!
3.1.2. Deflexion de una Viga Uniforme
Considere una viga horizontal como se muestra en la figura 2, uniforme
tanto en su seccion horizontal transversal como en el material. Si solo esta sos-
tenida en sus extremos, entonces la fuerza de su propio peso distorsiona su
eje de simetrıa longitudinal en la curva mostrada en lınea discontinua en la
figura. Queremos investigar la forma y = y(x) de esta curva, la curva de
deflexion de la viga. Utilizaremos el sistema de coordenadas indicado en la
figura 3, con la parte positiva del eje dirigido hacia abajo.
Una consecuencia de la teorıa de la elasticidad es que para defleciones
relativamente pequenas de una viga como esa (tan pequena que [y′(x)]2 es
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Figura 3: La curva de deflexion
Figura 4: Viga Voladiza
despreciable en comparacion con la unidad),un modelo matematico adecuado
de la curva de deflexion es la ecuacion diferencial de cuarto orden
EIy(4) = F (x), (7)
en donde
E denota el modulo de Young del material de la viga,
I denota el momento de inercia de la seccion transversal de la viga
alrededor de una lınea horizontal que pasa por el centroide de la seccion
transversal
F (x) denota la densidad de la fuerza hacia abajo que actua vertical-
mente sobre la viga en el punto x.
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¿Densidad de la fuerza? Sı; esto significa que la fuerza actua hacia abajo
en un segmento muy pequeno [x, x + ∆x] de la viga es aproximadamente
F (x)∆x. Las unidades de F (x) son las fuerzas por unidad de longitud, tales
como libras por pie. Aquı consideraremos el caso en el que la unica fuerza
distribuida a lo largo de la viga es su propio peso, ω libras por pie, de modo
que F (x) = ω. Entonces la ecuacion 7 toma la forma
EIy(4) = ω, (8)
en la que E, I y ω son constantes.
Es importante poder comenzar con una ecuacion diferencial que surja en
una disciplina aplicada y luego analizar sus implicaciones; por lo que desarro-
llaremos la comprencion de la ecuacion mediante el analisis de sus soluciones.
Observe que, en esencia, la ecuacion implica que la cuarta derivada y(4) es
proporcional a la densidad el peso ω. Sin embargo esta proporcionalidad in-
cluye dos constantes:E, que solo depende del material de la viga, e I , que
solo depende de la forma de la seccion transversal de la viga. Los valores del
modulo de Young E para diferentes materiales pueden encontrarse en ma-
nuales de constantes fısicas; I = 14πa4 para una seccion circular transversal
de radio a.
Aunque la ecuacion (8) es una ecuacion diferencial de cuarto orden, su
solucion solo incluye la solucion de sencillas ecuaciones de primer orden por
medio de integraciones sucesivas. Una integracion de la ecuacion (8) da
EIy(3) = ωx+ C1
una segunda integracion produce
EIy′′
=1
2ωx2 + C1x+ C2
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Figura 5: Dos formas de sostener una viga
una mas da
EIy′=
1
6ωx3 +
1
2C2
1x+ C2x+ C3
y una ultima integracion da
EIy =1
24ωx4 +
1
6C1x
3 +1
2C2x
2 + C3x+ C4,
Donde C1, C2, C3 y C4 son constantes arbitrarias. Ası obtenemos una
solucion de la ecuacion (8) de la forma
y(x) =ω
24EIx4 + Ax3 +Bx2 + Cx+D, (9)
Donde A,B,C y D son constantes que resultan de las cuatro integracio-
nes. Estas ultimas cuatro constantes estan determinadas por el modo en que
la viga se sostiene en sus extremos, donde x = 0 y L = 0. La figura 5 muestra
dos tipos comunes de soporte.
Tambien una viga puede sostenerse de una manera en un extremo y de
otra manera en el otro extremo. Por ejemplo, la figura 6 muestra una viga
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Figura 6: Viga Voladiza
Soporte Condicion en los extremos
Sostenida Simplemente y = y′′
= 0
Empotrada o fija en un extremo y = y′= 0
Extremo Libre y′′
= y(3) = 0
Cuadro 1: Casos segun la condicion en los extremos
voladiza, es decir, una viga sujetada firmemente en x = 0 pero libre(sin
apoyo) en x = L. El cuadro 3.1.2 muestra las Condiciones de Frontera
o en los extremos correspondiente alos tres casos mas comunes. Veremos
que estas condiciones se aplican con facilidad en problemas de vigas.
Por ejemplo, la curva de deflexion de la viga voladiza de la figura 6 estarıa
dada por la ecuacion (9), con los coeficientes A,B,C y D determinados por
las condiciones
y(0) = y′(0) = 0 y y
′′(L) = y(3)(L) = 0, (10)
correspondientes al extremo fijo en x = 0 y al extremo libre en x = L.
Las condiciones en 10 junto con la ecuacion diferencial en 9 constituyen un
problema con valores en la frontera o en los extremos.
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Ejemplo Aplicativo
Se desea determinar la curva de deflexion de una viga horizontal uniforme
de longitud L y peso ω por unidad de longitud y que se encuentra apoyada
de manera simple en cada extremo.
tenemos las condiciones de los extremos
y(0) = y′′(0) = 0 = y(L) = y
′′(L).
En lugar de imponerlas directamente en la ecuacion 9, empezamos con la
ecuacion diferencial EIy(4) = ω y determinamos las constantes como proce-
dimos con las cuartro integraciones sucesivas. Las primera dos integraciones
dan
EIy(3) = ωx+ A; EIy′′
=1
2ωx2 + Ax+B.
ya que y′′(0) = 0 implica que B = 0, y entonces y
′′(L) = 0 da
0 =1
2ωL2 + AL.
se sigue que A = −ωL/2 y por tanto
EIy′′
=1
2x2 − 1
2ωLx.
Luego dos integraciones mas dan
EIy′=
1
6ωx3 − 1
4ωLx2 + C
y por ultimo,
EIy(x) =1
24ωL4 − 1
12ωL4 + Cx+D. (11)
Ahora y(0) = 0 implica que D = 0; entonces, como y(L) = 0,
20
0 =1
24ωL4 − 1
12ωL4 + CL
se sigue que C = ωL3/24. Por lo que de la ecuacion obtenemos
y(x) =ω
24EI(x4 − 2L3 + L3x) (12)
como la forma de la viga soportada de manera simple. De la simetrıa, es
aparente que la deflexion maxima ymax de la viga ocurre en su punto medio
x = L/2 y tiene el valor
ymax = y(L
2) =
ω
24EI(
1
16L4 − 2
8L4 +
1
2L4);
esto es,
ymax =5ωL4
384EI(13)
Por ejemplo, Suponga que queremos calcular la defelxion maxima de una
barra de acero sostenida simplemente, con seccion transversal circular de
1 pulg de diametro. En un manual encontramos que el acero comun tiene
δ = 7,75g/cm3 y que su modulo de Young es E = 2× 102g/cm.s2, de modo
que sera mas conveniente trabajar con unidades del sistema cgs. Ası, nuestra
barra tiene
longitud : L = (20pies)(30,48cm
pie) = 6009,60cm
y radio : a = (1
2pulg)(2,54
cm
pulg) = 1,27cm
si densidad lineal de masa(esto es, su masa por unidad de longitud) es
ρ = πa2δ = π(1,27)2(7,75) ≈ 39,27g
cm,
21
de modo que
ω = ρg = (39,27g
cm)(980
cm
s2) =≈ 38484,6
dinas
cm
El momento de inercia del area de un disco circular de radio a con respecto
a un diametro es I = 14π(1,27)4 ≈ 2,04cm4.
por la ecuacion (13) da
ymax ≈(5)(38484,6)(609,6)4
(384)(2× 1012)(2,04)≈ 16,96cm
alrededor de 6.68 pulg, como la deflexion maxima de la barra en su punto
medio. Es interesante notar que ymax es proporcional a L4, de modo que si la
barra fuera de solo 10 pies de largo, su deflexion maxima serıa de a lo mas un
dieciseisavo de la anterior. Puesto que I = 14πa4, de la ecuacion 13 vemos que
la misma reduccion en la deflexion maxima se podrıa alcanzar duplicando el
radio a de la barra.
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4. CONCLUSIONES
Es posible concluir que las funciones propias, severamente empleadas
en el Algebra, se pueden extrapolar a una actividad casi rutinaria en el
paıs: la construccion. Permitiendo poder aplicar el Modelo Matematico
basado en dichas funciones.
En adicion, las funciones propias se pueden expandir a la particular
forma que adapta una cuerda al girar rapidamente. Efectivamente, es
posible modelar dicho fenomeno, a traves del modelo matematico estu-
diado.
El Modelo Matematico brinda la ventaja de resolver, a partir de con-
diciones de frontera relativamente sencillos, fenomenos fısicos compli-
cados.
Tener presente las condiciones de frontera, u homogeneidad de funcio-
nes, puede favorecer al mejor entendimiento de la obtencion del modelo.
Ademas, es indispensable alcanzar ciertos conocimientos en derivadas,
o derivadas parciales. No obstante, el resultado final del Modelo Ma-
tematico basado en funciones propias no es muy difıcil de aplicar.
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5. BIBLIOGRAFIA
2000,Henry E.,Ecuaciones diferenciales,Prentice Hall
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