capitulo 07 - deflexión de vigas

5/17/2018 Capitulo 07 - Deflexi n de Vigas

1/53

182

Deflex iO n d e v ig as

7.1 Introducci6nEn el diseiio de partes de maquina, 0 de estructuras de edifieiocuentemente 5e requiere la determinacionBe la deflexion, ya seaflexi6n maxima, ya la deflexion en un punto particular. Hay dos rimportantes por las cuales pued.e ser necesario un conocimientodeflexi6n de una viga. La prirnera es simplernente para poder prla deflexion de una viga bajo carga. En edificios y partes de maquinespecificacioncs y otros requisites limitan, a menudo, la deflexi6puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de una maquiperimentan deflexiones excesivas 0 diferenciales, los engranajes pvolverse inoperantes 0 pueden dcsalinearsc los componentes. Si sden predecir las deflexiones para las 'partes sornctidas a flexion, pespecificarse tolerancias adecuadas cn el disefio de las cornponentela maquina.Una segunda, y posiblemente aun mas significativa razon paralar las deflexiones, es que para la solucion de vigas estaticaindeterminadas se necesita Ia deflexion de la viga y sus caractergitatorias. El capitulo 8 explica el usn de las deflcxiones en la sode vigas estaticarnente indeterminadas.Hay muchos metodos diferentes para calcular las deflexionesvigas. Este capitulo presenta cuatro de los mascomunes. La seecdescribe el metoda clasico de la doble integraei6n para hall ar la ecde la curva elastica de la viga. EI metodo del area de momentos quedicional en cursos de mecaniea de materiales, se presenta en la seceOtro metodo, que se explica en la secci6n C, es la tecnica de supcion usando las formulas estandar para vigas. Este metoda es fausar, aunque algunas veces, de aplicacion Iaboriosa. Sin embarreeuerda can faciIidad y par eonsiguiente es de interes especialdeflexiones no se calculan muy frecuentemente. Ademas, la seocpresenta un cuarto metodo para el calculo dedeflexiones, el mde los pesos elasticos. Este, en combinacion con el metodo del area dmentos proporciona un rnetodo eficaz para resolver muchos de los pmas de rotaeion y deflexiones de vigas.


2/53

SECCION 7.2/RELACION ENTRE CURVATURA Y MOMENTO 183

Las cuatro seeciones de estecapitulo se han escrito para ser "auto-suficientes": pOl' este motivo se puede variar su secuenoia U omitirse unao mas sin afeotar las otras,7.2 Relaci6n entre curvatura y momentoAntes de presentar los procedimientos para calcular deflexiones, es ne-eesario definir los terrninos que se usaran y encontrar las relaciones fun-darnentales entre la curvatura de una viga' y los esfuerzos internes y mo-mentes.La eldstica de una viga es la forma que tom a el eje neutro euandose carga Ja viga. Una linea que muestre la forma flexionada de una vigasomctida a carga es la elastica de la viga. La pendieme de una viga sedefine como la pendiente de Ia tangente a la elastica en un punto cual-quiera, La Fig. 7.1 muestra Ia elastica de una viga deforrnada por . eargas(no indicadas ) respeeto a Sll posicion recta original. Las tangentes a laelastica se muestran en A y B, con los simbolos 8 . 4 . y fh indicando la pendiente de Ia curva en esos puntos. FIGURA 7.1

La deflexion de una viga es el movimiento (desviaci6n) de un puntosituado sobre la elastica, con respecto a su posicion original sin carga. Seusan los simbolos ~A y ~B en la Fig. 7.1 para indicar la deflexi6n de lospuntos A v B de esta viga, con respecto a la posicion sin carga.Como las deflexiones de la viga son pequeiias con respecto a su Ion-gihld, cada segrnento de Ia elastica puede considerarse aproximadamentecomo un arco de circulo, El radio del areo se nama radio de curva.tura,y se le asigna el simbolo p. La Fig. 7.2 muestra Ia eurva elastica de unaviga flexionada mediante cargas (no mostradas j, Cualquier segmentopequefio, tal como el AB, es un area de circulo de radio Pl'Cada segmento diferente de la curva bene un diferente radio de cur-vatura, como se demostrara posteriormente en esta seccion, Par oonsi-guiente, el segmento CD de la Fig. 7.2 tiene un radio de curvatura P2 , FIGURA 7.2que es diferente de P l. EI centro de eurvatura es Ia interseocion de losradios, tal 'como los puntas 01 y O2-Exists una relaeion definida entre el radio de curvatura de la viga, e1esfuerzo en las fibras extremas, y el momenta flexionante que produceese esfuerzo. Podemos encontrar esa relacion considerandc la Fig. 7..3.La Fig. 7.3 (a) muestra una pequefia seccion de una viga sin earga, delongitud r l x ; la Fig. 7 ..1 (b) muestra la misma seceion despues de que laviga S8 ha deformado por la accion de las cargas aplicadas.Puesto que las seeeiones planas antes de la deformacion se conservanplanas despues de ella, y esta pequciia seccion de Ia elastica es un arcode circulo, NB' y C'D' sc cortaran en el centro de curvatura 0, fonnandoun sector circular. El eje neutro (elastica) no esta sujeto a nirlgu.n es-Iuerzo y conserva la longjh,d original a x . Sin embargo, las otras fibrascambian de longihld, como se discutio enel capitulo 5. Sup6ngase quelas Iibras inferiores, situadas a una distaneia c a partir del eje neutro,aumentan su Iongitud en una cantidad 8 ,


3/53

184 CAPITULO 7/QEFLEXIQN DE VIGAS

A C

la )

(blFIGURA 7.3

Considerando la geometri':l. de los sectores semejantes Onn ypodemos escribir:de =: d x. :: ::d x + O .

p p + cResolviendo, obtenemos d x ( p + c ) = = (d x + o 5 ) p ; . c dx = 8 p ; Yc ( 5p d x '

A partir de las definiciones basicas del capitulo . 2 ,variacibn en longitud (I

EO = Iongitud original d xy tambien c = a/E. Eliminando ( de estas ecuaciones, tenemos

{) (J'

d x E 'Sustituyendo esto en Ia ecuacion (b) nos dac uo E'

donde:(J' :::: esfuerz(). en las fibras extrernas, en Ib/plg'" 0 Pa,E = = modulo de elasticidad, en lb/plg:! 0Pa,c = ~1istHnciHentre el eie neutro y las Hhras extremas, pig {}r = = radio de curvatura, pig, Dill.


4/53

PROBLEMAS 185

Puede obtenerse otra expresion uti], sustituyendo la relacion (1:Uell en ]a ec. 7.1. Asi:

c a Mel!p = " E = - - - Y - 'I Mp E1"

que es la relacion entre la curvatura de una viga y el momenta flexio-Dante.Podemos obtener una expresion adicional que se usara en secciones

posteriores de cste capitulo eliminando p de las ecs. (a) y (7.2):

(7,2)

d O :=: d x ;pd9

p d x 'Mp = EJ' ( 7 . 2 )

." lIegamos a:de Md x E l'de = = MdxE I (7.3)

La cc, (7,3) indica q lie la varilLci6n en Ia pendiente entre dos seccro-nes rransversales de una Yiga es iguul al area bajo el diagrama de mo-mentes (M clx) cornprendido entre esas scccionos, dividida entre E1.Esta exnresion se discutira posteriormento m


5/53

186 CAPITULO lIDEFLEXl'ON DE VIGAS

7.5 Determineel radio de curvatura en eJ punto media de eada segm0.4 mtomado a 10 largo de la viga de aluminio de 90 mm X e o mmen Ia Fig. P7..5.. La viga se flexiona con respecto a su eje de minima re(Ia dimensi6n de 60 mm), y E "'" 70 CPa,

' 1 m , I . 1..2 mS~ccl6n transversal

FIGURA P7.5

SECCION A Defl'exiones en vig,as por integraci6n~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - 7.3 Base del metodoy

FIGURA 7.4

La Fig. 7.4 muestra la elastica de una viga deformadapor cargano se indican). El objeto del procedirniento de integracion es ela ecuacion para la elastica de la viga en terminus de las cargascoordenadas .x y y _En la seocion 7.2,. se establecio que puesto que las deflexionesviga son pequenas en comparaeion con Ia IOTIgihJd de la viga, cquefio segmento de la elastica puede considerarse aproximadamenteel arco de un circulo que tiene un radio de curvatura p. En lode texto de calculo elemental, la curvatura de una linea se define_ ! _ _ d~y l d x~p - (I + ( d ) ' l d x ) 2 ] ~ ! 2

dondep = radio de eurvatura,

x, Y = eoordenadas de un punta sobre Ia curva,En las vigas, la pendienre dy/dx es muy peqllei1a. Cuando eldy / dx se eleva al cuadrado, se haoe tan pequefio, que en comparon los otros terrninos, puede despreeiarse. Can esta aproxirnacecuaeion de la elastica de una viga puede escribirse como:


6/53

SECCION 7.4/iRELACIONES UTILES 187

] d~-=~d , ..p ::t (1.4)

Lacurvatura de un viga esta relacionada con el momenta flexionan-teo La ec. (7.2) indica esta relaeion como:Mp O : : EI (7.2)

Por consiguiente, Iaec. (7.4) puede escribirsecorno:d2y _ Md x 2 - 1'

La soluoion de la ec, (7.4) son ecuaeiones que permiten caloular la pen-diente y Ia deHexi6n de la elastica de la viga.

(7.4)

7.4 Re 'fa cion es ,utiilesPara una. eondicion de carga dada, una viga adoptara una. posicion de-formada particular. Cada puntosituado sobre Ta elastica tendrs unadeflexi6n y , y una pendienre dy/dx. Segun el material presentado en e1capitulo 4, la vigIl tendra tambien valores de la carga, fuerza cortante yrnornento, en cad a nunto. Estas cinco cantidades estan relaeionadas y esutil darse cuenta que 10 estan en tina forma definida. Su relacion deboracornprenderse tanto en terminos Hsicos como maternaticos.Sl1ponga que una viga tiene una carga aplicada especifica, La elas-tica de esta viga adopta una forma particular, La . ecuaeion deestacurva se discutira en 1a seccion 7.5. Suponga por ahora que conooe laeeuacion de la elastica y puede escribirla en terminos de las coordena-das x y y , tal como Ij= f ( x ) ,

La deflexion yen cualquier punta puede caleularse sustituyendo e1valor. numerico para la rlistancia x, en Ia ecuacton. La pendiente de Iaeurva d y / dx, as Ia primera derivada de la ecuacion de Ia curva, Puedentornarse derivadas sucesivas, y las expresiones resultantes sersn ecuaeio-nes para el momenta, fuerza eortante y ca:rga aplicada. Expresado mate-maticamente:

deflexi6n = .pendiente ~ .fiXmomento d (~ ) ~ q '"M.dx dx a x 1cortante s,Q= j _ ( ~ ) = j _ ( M ) . " " d M _ 1 = ~ ,dx dx a x d x EI a x E I EI

(7.4)

dM = V ds, (4.1)_I_"! (U ) _ j _ ( V ) _ dV_l _ ~carga - d x~ - d x . d x ~ - d x 1 - d x E1 - Er

dV = wdx ,


7/53

188

A B wCarga

FIGURA 7.5

CAPITULO 7/DEFLEXION OE VIGAS

Lo anterior significa que si se conoce Ia ecuacion para la elasecuaciones para Is pendiente, memento, fuerza cortante y cargase pueden detcrminar por diferenciacicnes sueesivas. Si se coecuaci6n para e1 memento flexionante, puede intcgTarse sucesiv(primero para obtener Ia pendiente y en seguida para obtener Ia dde la elastica) y tambien puede derivarse sucesivarnente paralas ecuaciones del cortante y de la carga.

La Fig. 7.5 muestra las relaciones graficas entre estas cantidaEJEM PLO 7.1 La ecuacion de la elastica para todo el clare desimplemente apoyada,de longitud L es:

_ 1.7x _ 1 2. 2 ~)1 - 24F1 (L - Lx +x ).

Deterrninar la condicion de carga de la viga.SOLUCIONDeflexwtI ; _ 1.7x ( 3 2 2 3Y - 241 L - L + x )

1 .7 L 3X - 3.4Lx !l + 1.7x424El

Pendicnte: ~ _ 1.7e-1O.2Lx2 + 6.8 x 5fix - ' 24ElM/EI: J _ _ _ -20.4Lx + 20.4x2d x 2 - 2 4E I

Momenta: M = -20.4Lx + 20.4x224 .

Euerza cortante: v = dM ""-20.4L + 40_8xd x 24 .Cmga:

Esta viga esta sirnplemente apoyada, y tiene uua c a rg ,\ u n ifO r tmdistribuida de w :: 1.7 klh /pie. Las ecuacinnes definen las curvus Ten la Fig. i.5.y tam bien las del caso 5 del Apcndiee D.


8/53

SECCION 7.5/PROCEDIMIENTO DE LA DOBLE INTEGRACION 189

Problemas7.6 La ecuacion de la elastica para todo el claro de una viga simplementeapoyada de longitud L es:

2.3x .. 2 2 ~Y = 360LEI (3x -IOL x + 7L ).Determinar Ia condici6n de carga de la riga.

La ecuaci6n de la elastica de una viga, para un intervalo de la luz se muestraen Jos siguientes problemas. Escribir las ecuaciones para la pendiente, momenta,fuerza cortante y carga.

7b x 2 2 Q d d b1. 8 y = 6LE! (L - b - x"), on e = const.

7.5 Procedimiento de la doble integracionSi se conoee la ecuaci6n de 1a elastica, las otras cantidades fisicas dee a viga se determinan por derivaciones sucesivas. Sin embargo, este tipode problema generalmente no se presents. En la mayoria de los cssos seeonocen la forma de apoyo de Ia viga y las condiciones de carga. El cor-ante y e1 momenta pueden determinarse mediante 1 0 5 procedimientosdiseutidos en el capitulo 4, y el problema rema nente eonsiste en encontrarla elastica de la viga.La ecuacion de 1a elastica se determina mediante la aplicacion deIa ec. (7.4), a J . y / dx 2 = M/El . La eeuacion para el momenta flexionante

de Ia viga se expresa en terminos de x y de las condiciones de carga. Estaexpresi6n se sustituye para M en la ec, (7.4); la expresion resultante seintegra una vez para obtener 1a ecuaci6n de la pendiente dy/dx, y se in-tegra una .segunda vez para deterrninar laecuaci6n de la deflexion y.Para capacitar al estudiante a entender m a s acilmente los pasos nece-sarios del metoda de la doble integraci6n, estos se describen mas adelante,Los ejemplos 7.2, 7.3 y 7.4 ilustran la aplicacion de este procedimiento aproblemas especificos.Procedlmlento

1. Se traza un diagrama de cuerpo Iibre de la viga y la s caxgas, yse bosqueja su eje deform ado, notando en particular los puntas quetienen deflexi6n oero 0 pendiente cera.


9/53

(a)

p

(b)

FIGURA 7.6

190 CAPITULO 7/DEFLEXION DE VIGAS

2. Se deterrninan los ejes coordenados. Ceneralmente es mejoel origen en un extrema de 1a viga.3. Se toma una seccion cualquiera de la viga a una distanciax a partir del origcn de coordenadas, y S o C traza el diagracuerpo libre resultante, Es buena practica indicar los ejesnados en esta figura.4. A partir del cuerpa libre del paso 3, se escribe una eeuacioel momenta flexion ante en la viga, eo terrninos de x y de las5. Se sustituye esta expresion para M en la ec. (7.4),=M I E r .6. Se integra Ia ecuacion del paso 5 para obtener la ecuaciopendiente dy/dx de la viga.7, Se calcula Ia constante de integrad6n aplicando las conda la Irontera, 0 de limite.8. Se integra la ecuacion d 1a pendiente para obtener Ia ede Ia deflexion y de la viga. .9. Se calcula Ja constante de integrad6n aplicando las conda la frontera,Unos cuantos comcntarios generalcs en este punto pucden seal aplicar estes pasos a la solucion de problemas. AI usaf 1a ecdebe obtenerse una expresion algebraica para eI memento flexGada vez que cambia 1a ecuacion para el memento flexionantesucede cada vez que cambian las condiciones de carga ), debe usanueva expresi6n con Ia ee. (7.4). EI intervale de validez de J a e

del momenta flexionante es, pm consiguiente, el intervale de valcualquiera de las ecuaciones obtcnidas usando esa expresion,Siempre que S8 resuelva una integral indefinida, resultara untante de integraci6n. Esta constante de integracion debe calcularspre, pues no necesariamente cs cero. Para calcular esta constantetegraci6n, deben conocerse ciertas relaciones entre las variablesecuacion. Estas relaciones sc Ilarnan condiciones a Ia frontera. Enacimiento de las condiciones a la Frontera en un problema y e1correspondiente de la constante de integradon son necesariossoluci6n completa del mismo.La Fig. 7.6 es util para ilustrar algunos de Ius comentarios disanteriormente, En Ia Fig. 7.6 (a), solamente hay un tiro de cargael claro y una. aplicacion de los pa.')()S del 1 al 9 determinara la epara Ia elastica. En este cas0, la ccuacion se aplicara a todo el cla viga. Para calcular las constantcs de integraci6n, debe notarsependiente y la deflexion en el extrema cmpotrado son cere, Escondiciones fisicas que son las condiciones a la frontera, son nepara calcular las dos constantcs de integraci6n.La viga de Ia Fig. 7.6 (h) {'s mas complicada debido a que hseociones diferentes, teniendo cada una su propia ecuacion paramento flexionante. Esto sjgnifica que los pasos del prooedirnientoantes deben aplicarse tres V


10/53

SECCION 7.5/PROCEDIMIENTO DE LA DOBLE INTEGRACION 191memento. Por consiguiente, habra tres diferentes ecuaciones para la curvaelastica, teniendo cada una de ellas sus propios Iimites,Siempre que se integra una ecuacion, resultara una constante de inte-grae:i6n. En la Fig. 7.6 (b), resultara un total de seis constantes de in-tegraci6n para las tres secciones que forman el clare total. Por consi-guiente, se requieren seis condiciones a la frontera para calcular estasconstantes de integraci6n, Dos de las seis pueden obtenerse observandoque

l' = = 0 en x " " 0, y = 0 en x = 1.Las otras cuatro constantes no son tan faciles de determinar. Paracalcularse, deben determinarse las condiciones de oontinuidad que,ocurren en los puntos donde se COl-tan las diferentes curvas elasticas,

Como la viga es continua en los puntos donde se cortan dos ela s ticas ,tales como Bye de la Fig. 7.6 (b) se observa queYe!a .ro All = YelMO RC: en x = (1,(~) =(~) en x = a,d : . : clare '\II dX'claro IlC

)'cla,ro llC =:; YClal 'Q, CD en x = b,( ~ ) C k l V B C = ( ! ! L ) e n x = b .dx claro co

Estas euatro condiciones nos capacitan para calcular las cuatro constantesde mtegracion restantes, En este caso se necesita resolver ecuaeionessimultaneas . .EI ejemplo .7,4 ilustra el uso do condiciones deoontinuidaden una solucion.EJEMPLO 7.2 Deterrninar Iasecuacfenes para la pendiente y la deflexi6nde la viga mostrada en la Fig .. 1,7. T6mese como origen del sistema coordena-do e1 extremo empotrado en el punto .l\.SOlUCION EI procedimiento usado para llegar a la Fig. 7.5 es como sigue:Pesos 1 y 2: La Fig, 1.7 (a) y (b) indican el diagram a de euerpo libre y losejes coordenados.Pasos 3 y4 : Escrihrmos las ecuaeiones para el momenta flexionante en x , apartir de la Fig. 7.7 (c), como:

L M"" rt e " '" 0 : M= wLx _ wL 2 - T U X ( z . )2 2 'Pesos 5 y 6:obtener: Sustitufmos la ecuacion (a) en la (7.4) e integramos para

la)y

= _ _ _ x[---,-- . .Y Curvs elastica(b)

(a)

Ie)FIGURA 7.7


11/53

192 CAPITULO 7/DEFLEXION DE VIGAS'

d ~y WL2 wx2EI--;--2'= 1OLx----d x 2 2d ' f ' ' J wL

2 J ' W X 2EITx '= 'wLxdx - .. Tri"ll-' "r=L 2L2 3::::~_~_WX +CI2 2 6 .Paso 7: Calculamos Cj La condicion de frontera es dyldx = 0 en x "'" 0tuyendoesto en Ia ec. (b), tenemos:

o=o-o-o+C i,Por consiguiente:

2 2' ~El ~ = wLx _ wL x _ ~d x2 2 6 'Paso 8: Integramos la ec, (c) para obtener Ia ecuacion para Ij como:

E ly = J U iLx 'i d x - f ' WL,2Xd x - f 1Ox3dx, . 2 2 6Paso 9: Calculamos C 2 , La condici6n de frontera es yyendo esto en la ee. (d), tenemos:

o en x O.0:::: 0 - 0 - 0 + C~,

y asi:L ~ L2 2 4E ly = w x_~_ lU X6 4 24'

La ecuaci6n de la curva elastica se escribe entonces como:

En x "'" L, I J es maxima:wL ~ wL 4 wL4

)"',;x = 6E1 - 4EI - 24EI'wL4Y m ~ . . : : : : - BEl'

EJEMPLO 7,3 Resolver el ejemplo 7.2 tomando como origen delcoordenado aI extreme libre de Ia viga.SOLUCIONP asos 1 Y 2: La Fig. 7.8 (a) y (b) indica el diagrama de cuerpo Iibejes eoordenados.


12/53

SECCION 7.5/PROCEDIMIENTO DE LA DOBLE INTEGRACION 193

Pasos 3 Y 4: La eeuacion para el momento flexionante en x se obtiene a partirde la Fig. 7.8 (c) comoL Mc.....te = 0: (a)

yx

x~~~_~_~_--~~-----+---t--- . . . . .ytb)

te lFIGURA 7.8Pasos 5, 6, Y 7: Sustituimos la ecuacion (a) en la ecuaci6n (7.4) e integramospara hallar

(b)Calculamos C1. La condicion a 1a Frontera 'es dyjth; = 0 en x = L. Sustituyendoesto en la ecuacion (b), tenemos:

por consiguiente:(c)

P e s o s 8 1 1 9: Determinamos la ecuacion de la curva elastica como:(d)


13/53

(e)

w

r .iYAWM$'. ."t - - - - - - - - ' - - - : : 1

(b)

y

. . . . _ _ _ . . x--r--,---v C\lrva elastica(e)

w , M~~L (d)~:

~t".v:-.ll,_, ' - l , MJ3wL x J V-B-~------------~I(e)F I GURA 7.9

194 CAPITULO 7/ DEFLEXION DE VIGAS

Calcnlamos C2 La condicion a la Frontera es y = 0 en xen la ecuacion (d), tenemos. L. Sustit

c.= _WL4.< 8'y , por consiguiente

L~ L4E ly = _W); + W X _ ~24 6 8'La ecuaci6n de la elastica se escribe entonces como:

En x = 0, y es maxima y

La elastica para los ejemplos 7.2 y 7.3 es la misma. Las ecuaciolos dos ejemplos son diferentes debido solarnente a que los ode los sistemas coordenados estan en diferentes lugares.EJEMPLO 7.4 Determinar las ecuaciones para la pendiente y la dde la viga mostrada en la Fig. 7.9.SOLUCION En este caso habra dos curvas elasticas debido a quecondiciones de carga. Primero deterrninarnos las ecuaciones para la pey la deflexi6n y despues calculamos las constantes de integraci6n.CLARO AB:Pa so s 1y 2 :PMOS 3 Y 4 : (Fig. 7.9 b-e}:(Fig. 7.9 d):

3wL ( x )=-8-x _ w x 2 " .Pasos 5, 6, Y 8

d2 MP=EI;

CLARO BC:Pasos 3 Y 4: (ver Fig. 7.9 (e):


14/53

SECCION 7.5/PROCEOIMIENTO'OE LA DOBLE INTEGRACION 195

calculamosLMcortc= 0: M = 3~L x - w

2L ( x - t)

3wLx wLx tu]: 2=-8---2-+SwL"l wLx8 8' (d)

Pasos 5, 6 Y 8d . 2 y Mdx2 = El; E1 fJ . = wL? _ wLxr 1 x ~ 8 8

EI!!:1 = f wL 2 d x - f W L x . d x = WL2X - wI.xl! + C3dx 8 8 8 16Ely = f W Y x d ." ' C - J W~2 dx + f C3 dx

ltlL2x2 WLX,3 _= ~ - ----:j8 + Csx + C4.

( e )

(f)Calculamos I , I S constantes de integraci6Jl. Las condiciones de lu frontera son:

y = O en x=Oy =0 en x =L

Y~lar AS = Yclaro Be en LX ' =-2(I)( 2 )(3 )

( ! ! 1 ) - ( ~ ) endx etaro ,\8 - dx etar ar: ( 4 )Usando In eondicion (1) y In ec. (c), se tiene:

0=0-0+0+:2c~= O .La condicion (2) y la Ec. (f) conducen a:

wL4 w e0:::; 16- 48 + C :IL + C 4(g)

Usando las ecs. (c) y (), y las condiciones de la Frontera: E I Y J \ I J = E l Y R c (;'11X = L/2, obtenemos:

3w L(L/2 )3 _ w (L/2 t +c ( ! : : . )48 24 I 2_ ruL ~ (L /2 )~ _ wL(L/2)~ C ( b . . ) c- 16 48 +,~ 2 + "1

Simplificando esto llegamos a:CIL_C~L_ (. _wL~

2 2'" - 128 ' (h )


15/53

A~ ~ f aI . L . j

F IG U R A P 7.1 0

196 CAPITULO 71DEFLEXION DE VIGAS

A partir de las ecs. (b) y (e) y de las condiciones de la Frontera (4),obtenerse otra ecuaci6n con estas constantes de integracion:El ( ! ! 1 ) = EI (~) end x AR d x B(

Simplificando esto obtenemos3w L(L J2 )2 ~ w (L I2 )~ + c ~wL 2(L /2) _ wL(Ll2f +C.16 6 '1_ 8 16 d

y

Resolviendo las ees, (g), (h) e (1), simultanearnente S8 llega a:, 9wL~C~=T92' 17wL~C~= -192-'

Sustituyendo estas oonstantes en las ecs, (b), (c), (e) y (f) para olas ecuaeiones de la pendiente y la deflexi6n de la viga:CLARO AB:

!i1- 3wLx 2 tvX' IIL 3d x _ 16E ! ~ 6E l _ 96F :I3wLx .3 wx IIL \;

y = 481 - 24El _ 96El

CLARO Be:2 2 ~tb _ =wLx _ wLx 9wL'

d x 8E l !fiEl + 192F I

Problemas

O L


16/53

SECCION 7.6/FUNCIONES SINGULARES PARA DF.FLEXIONES DE VIGAS 197

A ~ __ . . . . : 8 . I i i m W . = 5 1 4 i G k i E N e / m _ =~ I t i t \W J 1 1 I lM i iM M m D cI . 1 m . 1 . 2 m . 1

FIGURA P7.11 FIGURA P7.12

w

. 1 . bFIGURA P7.14 FIGURA P7.15

AL2 ' l L2 L


w",,4 klb/pleA f - " : ~ , i : J 1 * m : " ' f' " I "FIGURA P7.20 FIGURA Pl.21

3 klb

FIGURA Pl.23

7.6 Funciones singulares paradeflexiones de vigasEI procedimiento de Ia doble integrad6n para delexiones de vigas dis-cutido en la seccion anterior tiene la ventaja de capacitamos para escribir

'200 Ib

A t ' i " ' i I ! i h " , " " J . . : f ~I . 6' . I . 4' jFIGURA Pl.13

FIGURA Pl.16

L

FIGURA Pl.19

r- ~ _ . . . . J tt 16' f~1FIGURA P7.22


17/53

FIGURA 7.10


ecuaciones para Ia pendiente y la dcflexion de una viga completa,tecnica clasica es relativamente adl de aplicar en vigas donde laes simple, ya que las constantes de integraci6n se pueden caleularmente. Sin embargo, cuando la carga lIega a ser asimetrica 0 eomplila soluci6n completa de las ecuaciones llega a ser mlly tediosa,vimos en el ejemplo 7.4.Para haeer minima esta lirnitacion practica del rnetodo, esta spresenta lin metodo alternative de solucion, Esta tecnica ernpleade funciones singulares. (Un tratamiento m a s complete de estejunto con una extensa bibliografia, puede encontrarse en el a"Clebsch's Method for Beam Deflections", p O T Walter D. Pilkeel Journal of Enginnerillg Education, Enero de 1964.)EI metoda de las funciones singulares perrnite que el procedimde la doble integracion sc aplique solarnente una vez para toda unasujcta a cualquier tiro de carga. Como el memento flexionante ipuede eseribirse para todo el claro usando funciones singulares, sneeesaria una aplicacion de la ecuacion diferencial de la curva e

d ~ 'j Mdx'2 =EI'

Esto requiere Ia evaluacion de solamente dos constantes de integrConsideremos una viga de E I constante, cargada como se indi

la Fig. 7,10. La ccuaci6n de la curva elastica sc escribe como( D _ )1 d x 2 "" ,\1,

La expresion algebraica para el momento flexionante es, per supdiferente para cada uno de los tres segmentos de la viga, AB, BC,Para cl segmento AB, esta ccuacion es

Conservando el extreme A como el (wigen de A, podemos escriecuacion de la curva elastica entre Rye como

E1 (B) = Rjx ~ Pj(x - a)EI simbolo < ) tiene las propiedadcs siguientes:

1. Si la cantidad dcntro de ( > es ncgativa, su valor cs cero.2. Si Ia canridad dentro de ( ) {'s positiva, sustituimos 01 simboluun parent-sis comun

Por consiguiente, la ccuacion (b) cs valrdu para todo el trarno comdido entre A y C. Extendiendo esto a toda Ia viga, escribimos entla ecuacion como


18/53

SECCION 7.6/FUNCIONES SINGULARES PARA DEFLEXIONES DE V1GAS 199

Por consiguiente, la ecuacion (c) describe la curva elastica para todala viga. Los' terminus dentro de ( ) pueden integrarse directamente sinimportar las cantidades algebraicas que encierran. Para ilustrar la ecua-cion resultante para la pendiente y la deflexi6n, integramos la ecuaclonJ c) dos veces, para ohtener las ecuaciones (d) Y (e) ..

EI (~\ = = Rp:~ _ P1(x - l l > ~ _ p ~


19/53

rFIGURA P7.24

Z < 4 l d bw=3 kip/pie

8' . I B4' 16'

F !IG U R A P 7.27

200 CAPITULO 7/0EFlEXION DE VIGAS

Calculamos la constante de integraci6n C1 usando la condicion dy = 0 en x = L, Y1a ecuacion (c), como signe:0= 18(~4)3_ 16(2~ 6) 3 2(2\412)'+ C 1(24),

A partir de esto obtenemosC1;: -1008.

Por consiguiente, la eeuaoinn para la deflexi6n de la viga se convierte enE ly = = 3x3- 8(x; 6)3_ < : I : ~12)1- I 008x.

Las deflexiones en los puntos cuartos del clare se ealculan como signex = 6': El), = 3(6)3 - 0 - 0 - 1008(6),

Ely = = -5 400 (bacia abajo}:Ely = 3(12)~- 8(12 - 6)' - 0 - 1008(12)3E ly = -7 560 (haeia abajo ) ,El), =3(18)~- 8(183- 6)~_ (18 ; / 2 ) 4 - 1008(18)El = -4310 (hacia abajo ).

x = 12':

x = 18':

Problemas7.24-7.29 Escribir la ecuacion general de la curva elastica con funsingulares para las vigas indieadas en las Figs, P7.24 a P7.29. Caleulmagnitudes de las deflexiones de 10$ puntos A y B situados sobre las vi

rJ & 8 ~~~~~~-~~~-~~ ~ c . 1

A

+ b j8 LFIGURAP7.25 FIGURA P7.26

18 kNw=6 kN/m

. j 8'm l A 3m I fFIGURA P7J28 FIGUR~ P7.29


20/53

SECCION 7.7/EL PRIMER TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS 201

Metoda del area de mom.entos SECCION BExistc un buen numero de metodos diferentes para determiner las pen-dientes y las deflexioncs de las vigas. El metodo del a r e a de mementosque se presenta en esta secci6n es uno de los que se usan mas amplia-mente. Usa las propiedades geometricas de Ia curva elastica y la relaci6ncon la variacion del MlEI a 1 0 largo de la viga.

EI metoda de integraci6n descrito en la secci6n A tiene la ventaja deproporcionar una funcion continua que permite que la pediente 0 ladeflexi6n de una vjga se puedan calcular en cualquier pun to. Sin em,bargo como ya homos notado, cuando las cargas sobre la viga son com-plicadas, el metoda puede resultar muy laborioso de aplicar.Por otro Iado, el rnetodo del area de momentos, es mucho m a s UcHde usar euando las cargas son complejas, Sin embargo, cada conjunto deealculos produce un valor numerioo para fa pendiente 0 para la defIexi6nen un solo lugar, en vez de una ecuaci6n para la pendiente a la deflexi6nde un segmento continuo de viga. Afortunadamente, en las aplicacionespracticas solamente se necesita 1a pendiente ala deflexi6n en uno a en va-rios lugares. La facilidad de los calculos y 1 0 praotico de su uso son las ra-zones principales de la popularidad del metodo del area de momentospara calcular deflexiones en vigas.7.7 EI primer teorema del area de momentosPara i1ustrar el principio del primer teorema del area de momentos COD -sideremos una vi!!a recta. Rampemos la viga en los puntas B, C, Y V,y soldamos los segmentos rigidamente, como se indica en 1a Fig. 7.12. Lostramos de la viga entre los puntas don-de se hicieron las rupturas sonrectos, pero se han introducido pcqueiios angulos en las juntas. .A p.artir de la Figura vemos que el cambro en la pendi.ente entre dospuntas cualesquiera es la surna de los cambios angulares entre estos pun-tas. Par ejemplo, e1 cambia en 1a pendiente entre el segmento DE y elsegmento AB es igua1 a 8 1 1 + 80 - B .Una viga cargada es semejante a la Fig. 7.12, excepto que su curvaelastica cambia continuamente. EI cambia en pendiente entre dos puntoscualesquiera de una viga eargada es tam bien la surna de los cam bios angu-lares entre las dos secciones. Estos carnbios angulaxes pueden calcularseusando d 8 =M d :x IEI (ecuaci6n 7.3). Par ejemplo, en Ia Fig. 7.13 seindica la curva elastica de una viga. El cambio en pendiente entre doslugares cualesquiera, tales como los puntos A y B puede obtenerse caleu-lando do =M dxl EI entre estos dos puntos.Esto se convierte en1 6 8 f O B Md O = -dx6" ~.~ EI

A 8

FIGURA 7.12

(a)


21/53


A~ B r. I . cI . 6' 6' . I.

MO~ ~-48 klb-pie~ 0 [ _ = = = = ~ I \ M ~ . i E t : . ; . p : : z ' * c : ' l - -2 448 -EI-8FfGURA 7.14

elastica

(0)

FIGURA 7.13El cambio en pendiente entre dos puntos de una viga, O B - ( )Aeeuacion (a), es igual al valor de fa integral. La integral represents eba]o el diagrama de mementos entre los puntos A y B dividida entrEI primer teorema del area de mementos se enuncia como sigue:

EI cambia en pendietite de la curoa e l4t ica de una viga entre dosciones cualesquiera es igual at area bajo el diagrama M/EI entre dicsecciones.El termino El aparecera frecuentemente tanto eo esta como enseeciones posteriores. Significa que cada ordenada del diagrarna dmentos se divide entre el EI de la viga. Para vigas de seecion transv

constante, el diagrama MI E1 tiene la misma forma que el diagrammomentos.EJ'EMPLO 7.6 Determinar el cambio en pendiente entre los puntos Bde la viga en voladizo indicada en Ia Fig. 7.14. Dar la respuesta en fude st.SOLUCION A partir del primer teorema del area de mementos, la difede pendtentes entre Bye es ibrual al area bajo el diagrarna M/EI, comdida entre esos puntos. AsL

I e - e n =H - ii)(6),72fh : - iJ n =- E I rad.

El signo men os significa que la rotacion es en el ssntido negativo (esenel sentido de las manecillas del reloj). Si se d.ieran los valores de Eelpodria obtener el valor numerico, en radianes, EJEMPLO 7.7 Determine 1a pendiente real del extrerno libre de la vvoladizo mostrada en Ia Fig. 7.14. Dar la respuesta en terminos de E I.


22/53

SECCION 7.8/SEGUNDO TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS 203

SOLUCION La pendiente en el extrema fijo A se sabe que es cera. POI' con-siguiente, el cambio de pendieutes entre i\ y C es la pendiente real de C, yaque 0 1 1 = o .

Aplicando eJ primer teorerna del area de momentos, tenemos:8c- (J A = l(-i_)(12)2 E1

-288(Jc -O=EI

-288B e =~rad.

7.8 Segundo teorema del area de momentosConsiderese la viga discutida en la secci6n anterior, pero can la nomen-clatura adlcional mostrada en la Fig ..7.15.

Por geometri2, suponiendo que los angulos san muy pequefios, po-demos determinar La desviacion del punto Peon respeeto a la tangentetrazada par B (distancia PP:t) asi:P P ~ = PP1 + P1P2P P 2 = os ) ; 1 + 8


23/53

204 CAPITULO 7/0EFLEXION DE VIGAS

A~B

[ I bI 6' 1 6' 1la)

Tangente en 8Curva elastica

Ibl

MO~~ - 24 klb-ple-48l


24/53

SECCION 7.9/TEOR.EMA DEL AREA DE MOMENTOS: NOTAS GENERALES 205

minados aplicando un analisis puramente geometrico a una viga y rela-cionando despnes Ias relaciones geometriC-as a una Viga cargada que tienecambios angulares en forma continua.Estos teoremas .lierepiten a continuacion, para facilidad de referenda.Se afiaden notus adicionales sabre algunos puntos que frecuentementeeausan difieultad en el usa de los teoremas. Se incluye un procedirniento

paso a paso, con el fin de eapacitar a1 estudiante principiante para iniciarun problema en forma Mgica y udclantarlo ordenadamente.Primer Teorema del area de momentos. El cambia de p e : r u l i 8 1 ! t e sentre dos section es cualesquiera sobrela eltisticade unlL viga es igualat a re a ba lo el d iagrama M IE J comprendida entre e s as s e cc io n e s.

Nota, Este teorema da la variacion de Ia pendiente, en lugar de 1a pen-diente real. Para obtener la pendiente real, frecuentemente debemosestablecer relaciones g.eometricas, como se ilustrara m a s adelante.

Segundo Teorema del area de mementos, L a d e 8 'V la cr on ta .n ge nc ia lde cualquier punto P sobre la eMsUca de una viga con respecto a L atansente trazada p O I ' cuil.lquier otro punta de fa elast'ica, es igual almomen ta es tanco , co n re sp eG to a P, del are a ba io e l diagrama MI Elcomprendido entre esos puntos .

Notas :1. Los puntos a los que se refiere este teorema estan sobre Ia elastica,

y no necesariarnente sobre 1a posicion original no deformada dela v i - g a o -2. Todas las mcdidas se ternan a partir de Ia tangente trazada porun punto situado sobre 1a elastica hacia otro punto P sobre Ja

elastica.3. Este teorerna indica el desplazamiento re1ativo. Algunas veces eldesplazamiento relative es 1a deflexion real de la viga, pero esto

no es cierto, en genemLA continuacion se presenta un prucedimiento para oaleular pendientes v deflexiones, Su proposito es que sirva como una guia para Iacilltar

Ia aplicaeion del metodo, aunque en algunos casos, pueden ornitirse pasosa medida que se tenga mejor conocimiento del metodo,

1. Dibujese Ia viga en su posicion original y bosquejese la fonna flexionada de la elastica.

2. Dibitjese el diagrama de mementos.3. Dibujese el diapama M/El . Cuando el E I de 1a viga sea constan-te a 1 0 largo de la viga, los pas os 2 y 3 pueden eombinarse. Paravigas de EI variable (que se discn.tiran en la secci6.n 7.14), esm a s conveniente trazar diagram as separados.


25/53

206 CAPITULO 7fDEFLEXION DE VIGAS

A M r~----L----~.IBI . . ,:-; ./ Tangente

A qr--"'=,:,',::::::_'. - - - - ' ] 3 B'-r.~~,._.IJB

-PI.,ME i f I ' 4 L ' M ' r i P W 4 * 4 H2ItjP i.-8

FIGURA 7.17

4. Elijase un punto sobre Ia elastica, a partir del cual se tratangente. Si se conoce la pendiente en algun punto (por euna pendiente cera en un apoyo empotrado), 0puede locpor inspeccion (por ejemplo, el centro de una viga simetricacaTgada), usese dioho lugar. Si no es obvio oingun puntlos mencionados, generalO1ente es mas convonicnte trazargente en un apoyo.

5. Apliquese el segundo teorerna del area do mementos para clas desviaciones tangeneiales.6. U sando las condiciones geometricas, determine la deflepartir de la posicion descargada de la viga,Can la practioa se logra un uso adecuado de los teorernas dde mementos y un metoda eficiente de solucion. Para ilustrarcion de problemas, en las secciones siguientes hay varios ejempl

rnericos acompsnados de notas explicativas, Sugerimos que los ejemestudien can cuidado, pues estan disenados para ayudar al estudentender el significado de los teoremas del area de momentos yprender un metoda eficiente de solucion, En muchos problemasnos metodos de solucion, todos igualmente validos. En atras pano queremos dar a entender que estos ejemplos dan la (mica solucrrecta. Puede haber varias soluciones igualmente satisfactorias parquier problema,

7.10 Teoremas del area de momentos apllcadosavigas en voladizo

Los teoremas del area de momentos son particularrnente Utilecaleular pendientes y dC'flexiont.~sdc viga.'i cn voladizo. Los ejsiguic-ntes se escogieron para ilustrar el uso del tcorema y paraalgunos de los aspectos que causan Frccuentemente alguna difieultEJEMPLO 7.9 CalcularIa deflexiou l'll cl extrerno Iibre de la viga men la Fig. 7.17. Dar la respuesta en tlTlilillOS (leI 1 de la viga.SOLUCION La viga Y su forma flcxionada se ruuestran aqui en dosmas separados,


26/53

SECCION 7.10/TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS 207

1( PL). ( 2 )= " 2 - El L 3L .Area lIu.o de

P!llfmCnPL~dF ! = = -SEtNota: EI signo menos indica que Ia desvi.aci6n esta debajo de la tangente dereferenda. EJEMPL07 .10 Determinar Ia pendiente, ell radianes, y la deflexion, enpulgadas, del extremo libre de la viga mostrada en la Fig. 7 ..18. La vigaesuna W. 10 X 25 con E = 30 000, klbjplg2.SOLUCION Se traza otra vez Ia tangente en el apoyo empotrado, pues sesabe que la pendiente ahi es nula,

En tlirminQs generaleses mas fa.cil conservar el termino E1 hasta los calcu-lo s finales, que usar los val ores numericos desde las primeras etapas. EIcllculo numericoes menos dificil si se hace esto,ApHcando el segundo teorema del area de mementos,.lc = momenta del area bajo el diagram a MjEI entre A y G, con respecto a C.

'-.r----'Atc. Buz() depalanl"iil

I O O R.lc = - El .Para hallar Ia defIexi6nen pulgadas, debemos efectuar un analisis dimen-sional para determinar los fad ores de conversion adecuados. Calculamos que

~(-48klb-pie) (6 pies)(7 pies)~c = = 0.000252 pies8/plg2(30000 kIbjplg2) (133.2 plgt) .~ . ! " k l b CA ~ _ ~

. 1 - - 1 . _6 - - - - - I , I ~

FIGURA 7.18


27/53


8 c~~;1l 4m~----------~~----~12kN2mFIGURA7.19

Multiplicando este valor por el factor de conversion 1 728 plg3/pie3 seLi( ~ 0.000252 pies3/plg2 x 17 2 R plg~/pie3, a(. = = !l.4SS pig.

Si E se expresa en klb/plg2 y M en klb-pie (0 E en lb/plg'' ylb-pies), debemos usar el factor de conversion 1728 plg)!/pieJ para obrespuesta en pulgadas.Para determinar la pendiente, debe usarse el primer teorema delmomento. Como la pendiente en A es (J A = 0, la variucion de pendienteAye da la pendiente real en C, e c:

Be - 6A. = area bajo el diagrama lYtlE! comprendida entre A y C.Combinando los calculos y el analisis dimensional nos da:

~(-48 klb-pie)(6 pies)9(' - 0 ~ . = -0.0000360 pies2/plg2(3 0 0 00 klbjplg~)( 133.~ pIg4)Como se quiere expresar el resultado en radianes, que es una cantidadmensiones, usamos el factor de conversion 144 plgl!/pie2 y obtenemos:

Be = 0.0000360 pies2jplg:l x 14 4 plg2/pie2, Be = 0.00518 rad.El signo menos que aparece en los primeros calculos y que se ha eli

por conveniencia en la respuesta final, simplemente indica que la vde pendiente es en el sentido negativo (es decir, en el sentido de laslias del reloj) , Como las pendientes de una viga pueden visualizarse fa.cesta convencion de signos adiciorial es generalmente innecesaria,

EJEMPlO 7.11 Calcule la pendiente, en radianes, y la deflexion, edel extreme Iibre de la viga mostrada en la Fig. 7.19. Aqui E = 2001 = 359 X 10-6 m+.SOLUCION En este caso, como en muchos casos de carga combinam a s conveniente calcular las deflexiones y pendientes para cada caforma independiente, y despues combinar (su perponer ) los resultadossignifica que en Ingar de trazar el diagrama t;ompncsto del capitulo 4 seindcpendientemente los diagramas 'MJEI para cada c;arga. En el Apend

----~;=-1


28/53

PROBLEMAS 209

pueden enoontrarse areas y eentroides de diagramas MjEI parabclicos, talescomo los que resultan de cargas uniformemente distribuidas. .En este problema Ia int:6gnila es la posicion final del extremo libre y nose sabe si este quedara arriba 0 abajo de la posicion no flexionada de Ia viga.Sin embargo, suponernos que queda debajo de la posicion inicial e n el bos-quejo de la curva elastica. EI signo algebrako de Ins resultados nos dira siesta suposicion es eorreeta.Se usa el segundo teorema del area de mementos para calcular las defle-nones. Asi:

A c = H - 2 ~ ~ O O ) ( 4 ) ( 2 + ~x 4 ) + ~ ( + 7~~OO)(6)G x 6 )= _ 16 0 000 + 864 000 = 70 4 000Ef EI EI

El signa + indica que el punto C queda arriba de la tangente, que en esteeaso, coincide can la viga sin flexionar. Una representacion m a s correcta de Incurva elastica seria entonces la indicada en la Fig. 7.20. La deflexi6n en mm es(704000 .m)a c : = (200 x t o ! . l N/m)(359 x 10 -6 rn") = 0.00981 m

ac =9.8 mm.La pendiente se obtiene aplicando el primer teorema del area de momentosa las areas bajo el diagrama MjEI comprendidas entre Aye, ya que ()A = O.Encontramos que

Be ~ H - 2 ~ 7 ) ( 4 )+ H +72E~)(6)'=' _ 32 000 + 216 000 = 184000EI 1 + EI

La pendiente real del extremo libre, en radianes, es184000N'm ~Oc = (200 x J 09 N/m2)(359 X 10 6 rn") = 0.002:16 rad ,

Problemas7.307.33 Determinar la pendiente y la deflexi6n en el extreme Iibre de lasvigas indicadas en las Figs. P7.30-P7.33. Resolver en fund6n de El.7.34-7.37 Calcular la deflexion, en pIg 0metros, y la pendiente, en radianes,en los extremes libres de las vigas indicadas en las Figs. P7.34 a P7.37.

~ wW 4 @ $ $ M W & t @ % W , M f W i M i M * W M~ L J ~

2 0 k N ! 1 5 k N !. t . . jI 2m 1m

FIGURA P7.31IGURA P7.30

FIGURA 7.2

6 klb

4' 2 kI5'

FIGURA P7.32


29/53


FIGURA P7.33

~I l E l i i w i = l i l k i l b i ' i D l e I = Bg- IWt@ibww"WMM~ 6' . I . 8' .1E= 10 IXXl klb/plg21=2J!J) plg~

FIGURA P7.36

~ : ; ' 4 r = : : ; ; ; - ' - ' : ; ; i ' ; ; ; ; : ' : ; ; " ; : ; : ; ; ' ; i i : 3 : : : : ; o ( o - ~ * - ~ : : : < ' : ' ' ' ' : : t a i l l ' i i i i i I : ; 1 l 4 k ~ " = > . . . . : : . : . ~ - - ; , , , = . , . t ' - ~ ' : : 3 i . : 1 i l : = t l

I . L . 1FIGURA P7.39

~3~~i"

I .E=200 GPa1=2 4 x 10 6 m4

FIGURA P734

300 Ib 150 III:a ~ 1~

200lb

I 12# 18" 12"E= 3 0 000 klb/plg21=24 pig.

FIGURA P7.37PLinea centra'~ _ - . . . . . . . . . J ! ~ - - - '

I . ~ I . t ~ tFIGURA P7.40

FIGURA P7.35

~ ~ = = = = W = = = 2 ~ k : ' b = / : P I = e = = ~I , 12' , I , 6

FIGURA P7.38

7.38~7.40 Para la s vigas en voladizo indicadas en las Figs. P7.38 adeterrninar la magnitud de la fuerza P que colocada en elextremo librque Ia deflexi6n en ese punto sea cero,

7.11 Metodo del area de momentos aplicado a vigsimplemente apoyadasEl rnetodo del area de mementos tambien puede aplicarse a1 dlcudeflexiones y pendientes de vigas simplemente apoyadas. Sin emen este caso se necesitan m a s consideraciones geometricas que ende vigas en voladizo, pues la tangente a la elastica no coincideposicion no flexionada de la viga. Los ejemplos de esta seccion ialgunas soluciones para problemas de este t ipo.EJEMPLO 7.12 Calcule la deflexi6n en el centro y la pendienteextremes de 1 a viga de la Fig. 7.21. D e la respuesta en terminos de El.


30/53

SECCION 7.l1/METODO DEL AREA DE MOMENTOS

SOLUCION Por simetria, se sabe que la tangente en B es horizontal. Parconsiguiente, se escoge B como el pllnto situado sobre Ia CUTVa elastica por e1cual se traza la tangente.Podemos obtener la desviacion de A a partir de la tangente a 1a elasticatrazada en B(tAI n) aplicando el segundo teorema del area de momentos.Considerando la geometria de 1 con valores conocidos 0 Hcilmente calculables. Apartir de la curva elastica, Fig. 7.22 (h). vemos que esta relaeion es

EI valor de O R se encontro en el ejernplo 7.12, y podemos calcular tD/ R usandoel segundo teorerna del area de mementos entre B y D. Por conveniencia, elarea sornbreada se descompone en el rectangulo y en el triangulo rnostrados enla Fig. 7.22 (c). Procednrnus como siguc

IDiB = memento del area sombreada con respecto a D

211

A l:- s : L I L ~'2I, '1TangenlePL4 1

M~fFIGURA 7.21

A~~D l: c, I . i . I - L ~z -I , "i

(a)

P f . . PL~ :. . . .M~Ef (e)

FIGURA 7.22


31/53

A C f 2 klb Bd : k 4 r I I &

I I - - - - - : _6_' '_.~IlalC

B'18 24

M~Ef(e)


ya D = 1 1 8 - twa

n: 5PU 16PL~ 5pe= 481 - 7681 768E1 -768ElllP.e= 7681'

EJEMP.lO 7.14 Calcule Ia deflexi6n en el centro del claro de la vigtrada en la Fig. 7.23.SO.lUCION Se desconoce 1a posicion del lugar donde la pendiente ede modo que la def1exi6n en el centro del claro, 6.c, debe deterrninarse

o rectarnente. La relacion geometTica que se usara en este caso y que se ren la Fig. 7.23 (b), se expresa matematicarnente como 6.0 = 0 - to/.1.calcularse tanto 3 como to 1.4' La cantidad 3 puede determinarse de Iasiguiente.Traoese la tangente en A y hallese t J J I A. aplicando e1 segundo tedel area de momentos entre B y A. A partir de los triangu]os semejantesy ACC', puede hallarse 3 por proporcion simple como se indica en los csiguientes:

tRIA = rnornento de todo e1 diagrama MjEI , con respecto a B= H ~ ~( 6 ) ( 3 +~x 6 ) + ~ G ~( 3 ) ( ~ x 3 )360 7 '2 432=ET+El='FI'

POI' los triangulos semejantes Ace' y ABB',

Determinese tn I A aplicando el segundo teorema del area de mementosC y A:t < . f " = momenta del area sombreada, con respecto a C

= H ~~( 4 . 5 ) G x 4 . 5 )(,0.751 .

La deflexi6n requerida ao es, entonces:A" 216 60 ,7:>U(o "" () - 1- " = ----

o ~ FI 1

a _ ]55.25 r: ~ E1 .


32/53

PROBLEMAS 213EJ EM PLO 7.15 Determine Ia localtzacion del punto de pendiente ceropara la viga (Fig. 7.24) del ejemplo 7.14.SOlUCION AJ localizar el punto de pendiente cera, tambien estamos 10-calizando el punta de deflexi6n maxima. Esto se consigue aplicando el primerteoreroa del area de mementos entre A y el Iugar desconocido D, ya que f ) A .puede obtenerse a partir de los datos del ejemplo 7.14.El area sombreada bajo e1 diagrama M/EI da la variaci6n de pendienteentre A y D. Sabiendo que () A = 48/E1 Y O D = 0, hallemas la distancia des-eonooida, como sigue:

8A = tJl/A = 432/E[L 98 0 4 - e n = b ( X ) ( 1 ~ )48 _ 0 =2X2E I E1

488 0 4=-E I

x\'!= 2 4x = 4.9 pies

Problemas7.417.49 Determinar la deflexi6n y la pendiente en el centro del claro, y Iapendiente en cada extrema de las vigas indicadas en las Figs. P7.41 a P7.49.Dar las respuestas en funci6n de E1 .7.50 Calcular la deflexi6n maxima en In viga de la Fig. P7.44.7.51 Calcular la deflexion maxima en Ia viga de Ia Fig. P7.43.7.52 Calcular Ia deflexion maxima en la viga de la Fig. P7.49.

w M~~------0~~ ~L I


w=3 kN/m 6000Ni r OOON-l)~m I . 2 m r : : N . I . 2 mtFIGURA P1.46

2m

FIGURA P7.45

A~ I 6'

A B

FIGURA 7.24

P i rFIGURA P7.41r 1I . bFIGURA P7.44

600 Ibw=25 Ib/pie

18" lB"

FIGURA P7.47 "


33/53


A. 1

1 - 1 ' __m_....00 0 NI:4

I .8'LL.-60 Ib

45" . 1 . 30" - - - -'\Lo.-1_m_ _2 IIIFIGURA P7.48 FIGURA P7.49

7.12 Diagramas de momentos por partesLos diagramas de mementos para los problemas de las secciones ares se trazaron en la forma convencional presentada en el capitEste metoda resulto satisfactorio al calcular pendientes y deflecuando las vigas y las cargas eran relativamente seneillas , comoseociones 7.9 y 7.10. Sin embargo, cuando se aplican a una vigamas cornplicadas, 5 e involucran calculos de areas trapezoidales y pmente parabolicas, que en general, son engorros os. Un metodosimple en cuanto al calculo de areas y centroides, consiste en trazdiagrama de momentos separado para cada carga que actua sobregao Esta tecnica se llama diagramas de mementos "par partes" 0 dmas de mementos "por partes en ooladizo ", ya que la viga se confija en algun punto, can las partes rest antes actuando como vigasladizo,Es relativarnente facil trazar el diagrama de momentos para unen voladizo que soporta una sola carga. En la mayoria de los casdemos hacer esto por inspeccion, sin tener que trazar un diagramliminar de fuerzas cortantes. Al eonstruir un diagrama de mementopartes, usarnos el mismo procedimiento, esdecir, consideramos unconveniente de la viga como "empotrado", y trazamos diagrammomentos para cada carga individual como si fuera la unica cargcida sobre una viga en voladizo fija en el punta escogido. Cuantrazan los diagram as para todas las cargas que actuan sobre la vsuma algebraica de todas las ordenadas en cualquier lugar tendnirno valor que la ordenada correspondiente del diagrama compuestozado mediante lo s procedimientos del capitulo 4..El ejernplo 7.16 ilustra este procedimiento y demuestra que laposicion de todos los diagramas es equivalente al diagrama simple qsulta al superponer Las cargas aisladas,EJEMPlO 7.16 Trazar el diagrama de mementos par partes, padel apoyo Izquierdo, para 1a viga mostrada en la Fig. 1.25.SOlUCION Como se va a trazar eI diagrama de momentos porpartiendo del apoyo Izquierdo. considernmos ese extreme como "empotraaplicamos dos cargas concentmdas, como se indica en la Fig. 7,25 (bdiagramas de mementos de esas dos cargas se indican individualmente,


34/53

SECCION 7,12/DIAGRAMAS DE MOMENTOS POR PARTES 215

pues en forma combinada en Ia Fig. 7.25 (e ) . Las ordenadas del diagramaoompuesto de la Fig. 7.25 (f) son exactamente iguales a 1a surna de la sordenadas indieadas en la Fig. 7.25 (e).

Una vez que se ha comprendido y dominado e1 concepto de considerarun punto "empotrado" y trazar los diagramas de moment os para cada('arga individual, el proc:edimicnto para trazar diagramas de mementospor partes se vuelve relativarnente hieil, Por supuesto, el lfec:to ndo ('sigual al del diagrama cornpuesto, pero esta tecnica nos capacita parausar el merodo del area de mementos mucho mas cficientemente al rt-solver problemas laboriosos.

Unas mantas observaciones utiles, que se dan a continuation, facilitarim Ia construccion de estos diagramas.

1. Cencralrnente resulta util escoger como el punta 'empotrado" unpunto en un apoyo de 1 0 1 viga 0en un extreme de una earga unifor-memcnte distribuida.

2, EI diagrarna para ca da carga (induyendo las reacciones ) s(' truzaindividualmente.3. Las ('argas hacia abajo producen areas negativas, mientras quelas cargas bacia arriba producen areas positivas,4, Un area triangular cornienza en cada carga concentrada.5, Un area parabolica cornienza al principio de cada carga uniforme-mente distribuida,

6. Las reacciones, pOl' se r conocidas , se tratan como cualquier otracarga que actue sobr la viga.7. Para cI caso de dos () trcs targas, puede ser conveniente mostrartodos los diagrarnas en un solo esquema, como en la Fig, 7..25 (:.). Para

mas de tres cargas es aconsejahle trazar un diagrama individual paracada carga,

Con objeto de ilustrar rnejor este procedimiento se incluyen los ejem-plos 7.17 y 7.18. La posieilm de] extrema "empotrado' llamada 1a secciot:de referenda 0 punto de rejerencia sc rnuestra en los esquemas respeeti-vos. Como una simplificacion posterior, se muestran los diagramas dernomentosen la misrna figura, junto eon la carga. EI diagrama compuestocorresponds a la figura final. Sc sugiere al led or comprobar por sf rnismoque en todos estoscasos, In suma algebraica de las ordenadas de losdiagramas de momentos por partes es igual a la ordenada de los diagra-mas compuestos.EJEMPLO 7.17 Trazar el diagrama de rnomentos, por partes, para la vigaindicada en la Fig. 7.26. Escoger COlT tO seccion de referencia,a) La reaccion izquierda, R Ab) La reaccion dereeha, Ru.c) EI cornienzo de In carga uniformemente distribuida.

(a)

l; ~ ~ - - - - - - - ~ - - - - - -, t''~.bl

[c]

M-r:~~----~ t(dl

M

Ie )

( f }

FIGURA 7.25


35/53


A w=3 klb/ple w=3 klb/p!e w=3 klb~

,f ( ' ' ' ' ' : ;1 ~ (,. UiW . J 1 : l dk(, ' ." f

" "1 . I . . I .RA=S.4t tS.4ldb % t 5,4 klbRC = 1261 12.6 klb! 12.4' 6' 4' 6' 4' 6',_ w"'3 klb~ e : : ; ; :

-54

_+21.6~~/

+ 75',6 r - - - - - - - . _ _ _ .~

~,

+21.6~54.0

21,6. 26,5~.~.(a) (b ) Ie )

FIGURA 7.26

SOLUCION Los tres canjuntos de diagramas se indican en la Fig. 7.2EJEMPLO 7.18 Trazar el diagrama de momentos, por partes, paraindicada en la Fig. 7.27. Escoger como secci6n de referencia,a) La reaccion izquierda, RAb) La reaccion dcreeha, Re.

SOLUCION En la Fig, 7.27 se indican los dos conjuntos de diagraI113


36/53

PR08LEMAS 21718 kN

3 2.5 k N 1 1BkN---~9b='-...,.:'-18? ~ : t ; = =.= , W = " ~ ~ i : , ~ k N ~ , I . m . ! t ~ ' ~ H ~ l _/ ."-1 6

w=2 kN/mC;:;::~~'6

. r B ~'~/:~

-90 IS)

J 2 k N . . . '< : : : : : t~,-24Ib)

FIGURA 1.27

Problemas7.53 Trazar el diagrama de momentos, por partes, para la viga indicada enIa Fig. P7.53. Escuger como seccion de referenda,a) La reaccion izquierda, RA. b) La reaccion derecha, RD' e )El punta B.7.54 Trazar el diagrarna de momentos, por partes, para la viga indicada en laFig. P7 ..54. Escoger como seceion de refereneia,a) La reaccion izquierda, RA b) La reaccion derecha, Re. c)EI punto B.7.55 Trazar el diagrama de mementos, pOI ' partes, para Ia viga indicada enla Fig. P7.55. Escoger como seecion de referencia,a) El extrema Izquierdo, punta A. b) La reaccion izquierda, Ra.e) La reacci6n dereoha, Ro -7.56 Trazar el diagrama de mementos, por partes, para la viga indicada en laFig. P7 .56. Esooger como seecion de referenda.

A 3 6 ' ] .& ; 1I . 1 m H 3m . I .FIGURA P7.S3

2m&

240lb

A ~ , = . = . = = = = 8 = _ = = . = " , = " = = w = = = ~ =.= I = b j : p = l a ~ :, I .. / ' : 2' 4'

a) La reacoion izquierda, R.... b) La reaccion dereeha, RD ' c)EI punto B.FlGURA P7.S4 '


37/53

218 CAPITULO 71DEFLEXION DE VIGAS

t:==:::::=~~--j'1 2 kr~= 4 kN/m'~ "~8RA=B kN ~RS=28 kN

2mA

16 8

+~.,..._--f 2 8 k N

FIGURA 7.28

24 kN w=2 kN/mw=4 kN/m

5m 0.5 m

FIGURA P7.SS FIGURA P1.S6

7.13 Metodo del area de momentos; sojuclcnes usdlagramas de momentos por partesCon la ayuda de diagramas de momentos por partes, pued.enficarse grandemente los caleulos correspondientes a muchos probdiffciles sobre dcflexiones y pendientes de vigas. Para ilustrar supresentan para su estudio, los siguientes ejemplos.EJE,MPLO 7.19 Halle la pendiente y la deflexi6n del extreme libreviga mostrada en la Fig. 7.28.SOLUCION Trazarnos el eje flexionado de la viga y la tangente a ltica en A, ya que no es obvia la localizacion del punta de pendiente ceacuerdo con 1:1geometria del eje Flexionado mostrado en la Fig. 7.28Ia deflexion requerida l!..c puede determinarse .l partir de la relacion Aotel.!..' Los terminos a y telA. deben calcularse de manera semojante a lacada en el ejemplo 7.14.En este problema, los diugramas de mementos se trazaron por partes,como punto de referencia. el apoyo izquierdo. EI Apendice E propoA.reas y distancias centroidales par'l diversas form as geometricas. Pcalculemos 0:

tll/A =memento de las areas ba jo los diagramas M/ E1, comprenentre A y B , con respccto a I3 .

=H - ~ ; ) ( 6 ) ( ~x 6 ) + (- ~~) ( 6 ) ( ~ x G )+ i ( - ~ ~ ) ( 6 ) ( ~x 6 ) + H ~ n ( 6 ) ( ~ (})72= EI'

Por triangulos sernejantes ARB' y ACC', _ = ISI_A8 6' 96~= 1'


38/53

SECCION 7.13/S0LUCIONES USANDa DIAGRAMAS DE MOMENTOS POR PARTES 219

Despues calcularnos t


39/53


D Wo: 1 klb/pie6 klb

. 1 .3' r 6 'klb

w= , klb/ple

FIGURA 7.29Para determinar si eJ punto D, de pendiente cero, queda comprendidIa porci6n AC, calcularnos el area bajo los diagramas M/EI para losa partir de A hacia C. Si el area es mayor de 78.75/El, x sera menorpies. Sin embargo, si el area comprendida entre Aye es menor de 78.75quedara dentro de la zona de ]a carga uniformerneute distribuida, Encmos que:

F l ( 1 8 ) 1 ( 3 6 ) 8 1area entre Aye = 2 ' - 1 (3) + ' 2 1 (6)=1'Par consiguiente, el punto D, de pendiente cera, queda entre Aye.Aplicando el primer teorema del area de mementos, obtenemos:

(JA - 0 0 = ( 1 ~< X ) + H - ( 6 x t - : r 18) J < x - 3)78.75 _ 0 = 3x2 + ( - 3 x ~ + 18x - 27)E1 1 EI

78.75 = 18x - 27, x = 5.9 pies.


40/53

PROBLEMAS 221Como se conoce la localizaci6n de la deflexi6n m:hima,calculamos la defle-nOn mediante los prooedimientos normales, usando eI segundo teonna delarea. de mementos:

Calcularnos S,8 - .5 .9 _ .5 .9 (94.5 )- 12 tSj,\ - 12 E I ' 4658 = E I'

Enseguida,I'VIA =momento de todaz... l as a.rcas comprendidas entre A y D. conrespecto a D

= ~ e ~ i 4 ) ( 5 . 9 ) G X 5 . 9 ) +H - 1 ~ ~ 4 ) ( 2 . 9 ) G 2 . 9 )17 1fl'

y Problemas7.51 Calcular la pendiente y la deflexion en 105 puntos B y D de la vigaindioada en ]a Fig. P7 .57.7.58 Una barra tie acero de 60 rn m X 12 rnrn y 1In de Iongirud esta apoyadaell sus extremes y se Flexiouu COli respecto a su eje de minima resistencia (Iaclimensic,n de 12 mrn es vertical). Determinar la def1ex.i6n maxima de Ia barra,debida a su propio peso. El peso especifico del acero es de 76.98 kN/m3.7.59 Determiner Iu pendiente en los extremes, y la deflexion en el centro deI a viga indicada en la Fig. P7.59.7.60 Determinar Ia pendiente y la deflexion en el punto B y en el centro dela viga indicarla en In Fig. P7.60.7.61 Determinar 1


41/53

222 CAPITlJLO 7/DEFLEXION DE VIGAS

200lIbl 2000 Ibw =500 Ib/ple !\ .

FIGURA P7.62

!=IGURA P7.6S

&;;I . 6m % I. 1 . 2 m

FIGURA P7.68

7 ... 3 Determinar Ia pendiente y la deflexi6n del extrema libre A y dC de la viga indicada en la Fig. P7.63.7.64 Detenninar la deflexi6n, en mm, en el centro de la viga indicaFig. P7.64. 1 = 2 X 1~ rrr'.7.65-7.68 Calcular la deflexi6n maxima de las vigas indicadas enP7.65 a P7.68.

12 !dbA ~ = ' !db! } es

I . 8' 6' c D i f ~ m m , J 300 m m , 1 . 3 0 0 m mFIGURA P7.64IGURA P7.63

w=2IcN(m2000 Ibl W= 600 Ib/ple

I .mFIGURA P7.66 FIGURA P7.67

7.14 Vigas con E E l VariableOcasionalmente se construyen vigas en las cuales el momento deno es oonstante a 1 0 largo de todo el claro. Los ejes conicosdentro de esta categoria, a~i como tambien 105 ejes con manguuna parte de su Iongitud. Las vigas estructurales pueden reforzacubreplacas, obteniendose una viga con diferentes mementos deen varias secciones.Las pendientes y las deflexiones de estas vigas se determinmedio de los teoremas del area de mementos de las secciones antLa unica diferencia es que el diagrama " A t I E I no tiene Ia rnismaque el diagrams de momentos, debido a los momentos de inerciables. En Ia Fig. 7.30 se muestran mementos de inercia variables, ju


42/53

SECCION 7.14/VIGAS CON EI VARIABLE 223

IN'" 2 klb/ple~ 1=800 C t _ ~400 . D : / _ 2O OI plg4 P194. pIg4~ 5' 3' S' 8'.:~-120

64 klb/ple

MI Relatlvo 4MaO~~~~~~~~~~

2 I Relativo 2

(a] (b) (c)FIGURA P7.30

los diagramas correspondientes de mementos y los diagramas M/EI paravarias vigas.Debera notarse que los diagramas de M/EI se dlbujan usando losmomentos de mercia relatives, en vez de los valores reales de estos, paracomodidad del calculo. Obtenemos el I relativo expresando todos losmomentos de inercia en terminos del menor valor. Por ejemplo, en IaFig, 7.30 (a), los momentos de tnercia de las secciones son 200 pIg', 400plg4 Y800 plg4. Los I relatives son 1, 2 Y 4, respectivamente.Si S6 pide la deflexion en pulgadas,. 0 en metros, 0 Ia pendiente, enradianes, es m a s oonveniente usar los valores numerieos de Eel cuandose lleva a cabo e1 ultimo paso de los calculos. EI ejemplo 7.21 ilustra e1metodo para resolver una viga de mementos de inertia variable.EJEMPLO 7.21 Calcular Ja deflexi6n, en milirnetros, y 1a pendiente, enradianes, del extreme libre de 1a viga indicada en la Fig. 7.31. Aqui E =200 CPa.SOLUCION Se traza 1a tangente a la curva elastica en A. Usando el se~n-do teorema del a.rea de momentoscon las areas bajo el diagrama M/EI de laFig. 7.31 (d), obtenemos la deflexi6n D . . l l :

+ l ( - . Q _ ) < 2 ) ( 1 + ~ X 2 )2 Ell 32 8 0Ell'


43/53


60 kN' t =40 x~ '2=00:.: 1O-Sm4 10 6m4A ~~==miliiiliii 'i~--~ B. 1 . 1 m . 1. 2m

(al~--&.;---~-~-: : . ;- : . . : : -~

(/8-'"(b!

MO~-180

leI

FIGURA 7.31

EI valor, en milimetros, es(2R O 000) _ _.18 = (200 x 101i){40x 10 6 ) - 0.035 m - 35 mm.

Se obtiene la pendiente aplicando e1 primer teorema del area de mtos, teniendo en cuenta que ( } j ; _ = 0:

Por consiguiente, el valor en radianes, es_ (150000)

O B - (200 x Wl(40 x 10-6)O s = 0.0188 rad.

Problemas7.69-7.71 Calcular la pendiente, en radianes, y la deflexion en pIg 0 mlos extremes libres de las vigas ir-dicadas en las Figs. P7 ..59 a P7,71.7.12-1.74 Calcular lu pendiente, en radranes, en los apoyos, y la deflexpIg 0mm, en el centro de las vigas indicadas en las Figs. P7,72 a P7.74.E = 30000 QOOIb/plg2 :; 200 CPa.


44/53

SUPERPOSICION SECGION C 225

2400

w=3(() N/m-30 000 000 Ibl pig"''1 w-800lblple: 3 1 /= 3 O O plg.1 1= 100 pig.I . 2' ,~_' _. __

2400 N 8 00 N e- ts GP < IE=70 G PaI =B O '( 1 0 - 6m4- ' / /-20'


45/53

II

226

p

. I .L

CAPITULO 7/DEFLEXION DE VIGAS

w w ! P~ , ~ , ~ , . - - 4 ~ > ,(. , , (. t +. ,~ ," ", < >M o :. "" .- . tj I : /I bL L(bl (e l

=b

: 1 I .F IGURA 7.32

(a l

7.15 Formulas astandarLa mavorfa de los rnanuales practices de ingenieria, tales coMe,.hanical Engineers' Handbook, el Electrical Engineers' HandbeI Steel Construction Manual,editado por el American Institute oConstruction, para nornbrar unos cuantos, incluyen cierto numdiagramas de vigas cargadas, junto con sus formulas para calcupendientes y las deflexiones de la curva elastica, Algunas de las cones de carga mas cornunes y las formulas correspondientes estanen el Aperrdice D de este Iibro de texto. Por supuesto, ~ imposibltrar todas las combinaciones de apayos y -cargas en vigas. Las foestandar cubren solamente las condiciones m a s comunes.Estas formulas se deducen, en terrninos generales, mediantetodos usuales del area de momentos () de Ia doble integraci6n prdos en este capitulo. Como una ilustraci6n de una ded-ucci6n me1 me+odo del area de mementos, nos referirnos al ejemplo 7estipula 1a ,defle:ri6n maxima de una viga en voladizo sujeta a unaeonr-entrada en e1extreme libre con un valor de t!. ~ PV /3ET. Escaso 7 del Auendice D. Puedendedueirse otras f6rmulas de unasemejante pOr este metodo 0 por el metoda de la doble integraci6nohos de estos caws estandar se han incorporado en este libro dcomo ejernplos ilustrativos 0 como problemas de tarea.

Debe tenerse extrema cuidada al USa! las formulas estandar, dprobar si las condiciones de carga del problema oorrespondenmente a las del caso Standar. Esto es particularmente importanteseleceion del origen del sistema de coordenadas para medir lascias x dadas en las f6rmulas. Dos f6rmulas para Ia misma viga yciones de carga, tomadas de dos refercnciasdio.;tintas puedendiferentes debido a que el origen se eligi6 en lugares diferentes.tremadamente importante saber a partir de que punta se midelas formulas. En las formulas del Apendice D de este libro, el origen el extreme Izquierdo de Ia viga. Sin embargo, esta convencionestandar. Las respuestas tendran un error considerable si no selas formulas correctamente.


46/53

SECCION 7.16/PROCEDIMIENTOS DE SUPERPOSICIQN 227

7.16 Procedimiento de superposlcienEl proccdimiento general para aplicar el metoda de superposici6n es di-recto. Debemos separar 1a viga dada y la s condiciones de carga de talmanera que las condiciones iniciales resulten equivalentes a un ciertonumero de condiciones estandar para las cuales disponemos de f6rmulaspara la pendtente y Ia de-flexion. Entonces podemos combinar los resul-tados para dar cl efecto de la carga original que aetua sobre Ia viga.Frecuenternente se requiere cierta habilidad, pero el procedimiento esrelat:ivamente directo.Los ejemplos siguientes ilustran este prooedimienlo. En todos los casaslas respuestas se dejan en terminos de EI.EJEMPlO 7.22 Deterrninar las pendientes en los extremes y 1a deflexi6nen el centro de la viga mostrada en la Fig. 7.33.SOLUCION SegL:ln el caso 2, del Apendiee D, las pendientes son:

_ P b(L 2 - b2) _ (8)(6}(10!! - 62)8A - 6LE1 - 6(10)El8 - 51.2.A - E1 '

y().=P ab(2 L - b) _ (8)(4)(6)(2 x 10 - 6)u 6LE1 - 6(10)E1

.a = 44.8VlJ El'

La deflexion es:- Ph [L 3 '2 2 ~ JIfn central - 6LEI "b(x - a) + ( L - b )x - (x )= 8(6) r 10 (5 - 4)' + (102 - 62)5 - (5)']6(lD)EI 6

157.4=--E1 .EJEMPLO 7.23 Deterrninar las pendientes en A y B Y Ia deflexi6n en elpunto media entre los apoyos de la viga mostrada en la Fig, 7.34.

18klb

Ar-----~------- ~B~ 4' I 6' ~I , .1 '~~FIGURA 7.33

4 klb

+8' %I 4', 6 . ,

(a) (b)M= 16 k1bJpie,ste l

FIGURA 7.34


47/53


SOLUCION Como se rnuestra en la Fig. 7.34, este problema pllecTeverse usando los casas 4 y 6 del Apendice D. Hallamos:8 1 \ = 81\1 (Caso 4) - (JA2 (Caso 6)

wL3 ML 3(8)3 16(8)= 24E1 - 6EI = 24El - 6El42.7- El '

w e ML 3(8)3 16(8)8 R = 881- 9Rz::: 241 - 3F: l = 241 - 3121.3:::-E l .

La deflexi6n es:to t o t o 5wL ~ Mx L ) "rlnea central = I - ~ = 3841 - 6LI ( - X ( . . ::L- x)

= 5(3)(8), _ 16(4) (8- 4)(2 X 8 - 4)3841 6(8)EIA 96ltnaa central = = E I .

EJEMPLO 7.24 Determine lu pcndi -nte y 1 0 1 df'Flexi(')Jldf'l ("tn'nlllde la viga del ejemplo 7.23 (Fig. 7.35).SOLUCrON Utilizando el valor de 811 obtenido en el ejernplo 7.:2.rnos Ia pendiente y la deflexibn en el extremo libre aplicundo ('I Cuso 7se muestra en la Fig. 7.35. Considenuido Iu Fig. (b) obtenernos:

8('1 = flu = ~J .3. J - : I 'segUn el ejemplo 7.23. A partir del caso 7: (Fig. 7.3.5)

P [/ 4 ( 4 )2 :1 2flcy = 2J = 2E1 - = 1'

4 klbw=3 klb/pie

S' r.B Il 4' I

(a) I b )

FIGURA 7.35


48/53

METODOS DE LOS PESOS ELASTICOS SECCION 0 229

pllt'de t!scribi rse:~ 1.:1 :12fie - (J,: I-- 8, " 2 - - ' E I - /

Be = = - 1~/ l.~I:'lItid() del g-iru < i t ' l


49/53


L

FI'GURA 7.36

t r . i R D tA )(2 _ ] ZlXlZ2

L(a)

~b)F IGURA 7 .3 7

7..17 Principi,os del metoda de ilos pesos elastleosConsiderese una viga origmalmente recta que se rompe en losA, B, C, Y D, Y despues se suelda dgidamente en con junto cmuestra en Ia Fig. 7.36. Las seceiones de la viga son completamenttas entre los puntas donde se hieieron las rupturas, y los anguloIucrados son muy pequefios, Es decir, son tan pequefios, que sen ((j = B en radianes.A partir de la Fig. 7.36, oP = PP1= P P z . - PIP:!. Expresanden terminos de lo s angulos y las distancias a partir de los verticesmas:EI angulo ()A es:

Sustituyendo la ec. (b) para ( ) A _ en laee. (a) tenemos:

Una expresi6n final que sera de interes es Ia de 1a pendiente en P0 1 ' = f J A - e ll= 8(:z. + fJ flZ2 _ eL B

Par el momento, ignoremos las relaciones geometri~as desarranterionnente y consideremos una viga simplemente apoyada y ccon las fuerzas ()B y Be, como se rnuestra en la Fig. 7.31. Caleulemreaccion de esta viga en A, . tomando mementos con respecto a RD;

2: Mv = 0:EI memento flexionante en . P , producido por las cargas ( J f j y

calcula usando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 7.37 (b). AL Mron" = 0:

Sustituyendo la Be. (e) para RJ, Sf" tiene:

Lafuerza cortante en P tambien puede calcularse a partir delrna de cuerpo Iibre de Ia Fig. 7..37 (b). Asi:LF y = 0: VI' =R j\ - t lB


50/53

SECCION 7.18/USO DEL METODO DE LOS PESOS ELASTICOS 231

Puede verse que hay una coineidencia absoluta entre las ecuacionesdesarrolladas por media de la geometria para las variaciones angularespequefias, ecs, (c) y (d ), Y las ecuaciones para Ia fuerza cart ante y elmomento, ecs. (f) y (g), obtenidas a1 car gar una viga simplemente apo-yada con los cambios angulares concretados, Estas ecuaciones son la de-mostraeion geomemca de los siguientes enunciados generales:a) Si en una linea originaImente recta 5e introducen carnbios angu-lares muy pequefios, Ia desviacion de cualquier punta sabre esaIinea sera. igual al momento flexianante en el punta equivalente deuna viga ficticia que soporte carga


51/53

232 CAPITULO 7lDEFLEXION DE VIGAS

A D [. C~~ . 1 . L . I . L ~" 2I . 1

[(I)

Ib)P L

M_'~(e)

Ie)

FIGURA 7.38

4. Calcule las reacciones de la viga [icticia causadas por IaM/EI.5. Recuerdese que la pendiente en cualquier punto sobre la ees Ia fuerza cortante en la viga ficticia con carga iguaI a]rna M/EI; la deflexi6n en cualquier punto sobre la elasticidel memento flexionante en Ia viga ficticia cargada ron laohtenida del diagrama.

EJEMPLO 7.25 Determinar la pendiente y Ia deflexi6nde las seB y D de.Ia viga mostrada en la Fig. 7.38.SOLUCION EI diagram a de mornentos se muestra en la Fig. 7.38 (cordenadas de este diagrama se dividen entre Ely se aplican como unasobre una viga ficticia, como se muestra en la Fig. 7.38 (d) ,Por estatic

L Me = 0: R = i(PL/4EI)(L)(~ X 1.).,~ LpCR, = 16f:1'

Como la fuerza cortante en elapoyo izquierdo de la viga ficticia es iguaIa pendiente en A es 8 ~4 = PL2/16El. . .La defIexi6n en. el centro B puede determinarse tomando momentorespecto a B en eldiagrama de cuerpo libre de la Fig. 7.38 (e):. ~ [ = = . i ! . Z _ ( L ) ~ ~,(~)(~)(li = )lfiEI 2 2 4EI . 2 3 _

PL~4REI '

La deflexion en elcentro eS,entonces:

La deflexi6n en la seccion D sera igua1 al momento flexionante enficticia, en ese punto. A partir del diagrarna de euerpo Iibre de la Fig, 7,3n: ( L ) 1 ( P L ) ( L ) ( L L )AI = 16El '4 _ 2 BE l '4 3 x '4IIPe7G8El .

Por consiguiente, .1 .n = IlPL;;I j768EI. .Per inspeoci 6n, la pendiente en B es cero, alJn


52/53

SECCION 7,19IMETODOS DE LOS PESOS ELASTI:COS 233

3PL2= 641'Por consiguiente, O n ::: 3 P L2 /6 4EI.Estos resultados pueden compararse con los obtenidos en Ios ejemplos 7.12y 7.13. EJE,MPLO 7.26 Calcu1e Ia defIexi6nen e] centro de la viga mostrada enla oF ig . 7 .3 9 .SOLUCION Se aplica el diagrama MIEI como carga a una viga Hcticia, comose rnuestra en Ia Fig. 7 ..39 (c). Como Ia deflexi6n en Bsera igual al momento enB en el diagrams de cuerpo libre de la Fig. 7.39 (d), Ia {mica reaceion que debemoscalcular aqui (excepto que se quieta hacer una verificaci6n de los calculos) es Rc.Esto, como sucede en la rnayoria de los problemas de este tipo, puede haeerse me-[or en forma tabular (vease la Tabla 7. I). Usarnos los resultados de la Tabla 7.1para calcular Re , asi:

L MRA = 0 : R - 2 38glErc - . 16R . zz: 14 9L 1'

Tabla 7.1Area Fuerza Braze de Palanca Momenta

!(32)(16)8 pies

20481 2 EI EI

~[~~2H8)2]8 4 3412 pies -E I El2389

~.MRA = EI

Usando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 7.39 (d), tenemos~ MCQ"I' = 0: M = ~: (8) - M ; ; ) ( 8 ) ( ~ X 8)

851M= flPor consiguiente, 1a deflexi6n en el centro es t!. llne. central= 851jEI. 7.19 Combinaci6n de los metodos de lospesos elastteos V del area. de momentosPara vigas simplemente apoyadas, el metodo de los pesos ehlsticosesmas conveniente que el metodo del area de mementos. Sin embargo, este

A w=2 klb/ple B c

r8''L

fa )

fbI

(e)32, 8

M q _V(dl

.. R

, f

FIGURA 7.39


53/53

234 CAPITULO 7iDEFLEXION DE VIGAS

4klb

(al

M = 16klb/piew =3 klb/pie }jk .. . : k 1( b )

2 4Ei

(e)

(e)FIGURA 7.40

ultimo es muv eficaz para encontrar las pendientes )' deflexiones den voladizo. EI combinar ambos rnetodos proporciona una herramutil para el analists de vigas con extremos en voladizo, como seen cl ejemplo 7.27 (que es igual a los ejemplos 7.23 y 7.24).EJEMPLO 7.27 Determinar la pendiente y la dellexi6n en el extremde la viga mostrada en la Fig. 7.40.SOlUCION La solucion sed. semejante a la del ejemplo 7.24. Calola pendiente en B por media del rnctodo rdel peso elastica y despmovimiento en C debido al ungula (Jrll' La diferencia de pendientesflexion entre Bye se determina pormedio del metodo del lirea de melos resultados se combinan, como se muestra en la Fig. 7.40, para detelos valores requeridos.

A partir de .la Fig. 7.40 (c) encontramos:o 2( 24 ) I I ( 16 ) 2ORBI~3 E1 (8)(2 X 8)+2 -EI (8)(~X8)

21.3RBI =JEll =-EI(Jel = = (JEll = ~/A Do L 21.3(4) 85.~

capitulo 07 - deflexión de vigas

Documents