INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MÉRIDA

ASIGNATURA: RESISTENCIA Y ENSAYO DE MATERIALESPROFESOR: ING. DOUGLAS GARCÍA

GUÍA TEÓRICAESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y DEFLEXIÓN TORSIONAL

Par de Torsión, Potencia y Velocidad de Rotación

Una tarea necesaria cuando se trata de calcular el esfuerzo cortante torsional y la deflexión torsional es la comprensión del concepto de par de torsión y la relación entre las tres variables críticas que intervienen en la transmisión de potencia: par de torsión, potencia y velocidad de rotación.

Figura 01. Llave con la que se aplica un par de torsión a un tornillo.

La Figura 01 muestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un perno. El par de torsión, que se aplica tanto al perno, como a la extensión, es el producto de la fuerza aplicada y la distancia de la línea de acción de la fuerza al eje del perno. Es decir:

Par de torsión = T=F×d (1)

Así pues el par de torsión se expresa en las unidades de fuerza por distancia, las cuales son N ∙m en el sistema métrico y lb ∙ plg o lb ∙ pie en el sistema de medidas estadounidense.

Figura 02. Sistema de transmisión de potencia de un bote.

La Figura 02 muestra el sistema propulsor de un bote. La potencia que se genera por el motor fluye a través de la transmisión y la flecha motriz hacia la hélice, la cual impulsa al bote hacia adelante. El cigüeñal en el interior del motor, las diversas flechas de transmisión de potencia que componen la transmisión y la flecha motriz experimentan torsión. La magnitud del par de torsión en una flecha de transmisión de potencia depende de la cantidad de potencia que soporta y de la velocidad de rotación, según la siguiente relación:

Potencia = par de torsión x velocidad de rotaciónP=T ×n (2)

Esta es una relación de suma utilidad porque, con dos valores que se conozcan de P, n o T , se puede calcular el tercero.Ha de prestarse una especial atención a las unidades cuando se trabaje con par de torsión, potencia y velocidad de rotación. Las unidades apropiadas del SI y del sistema estadounidense se repasan a continuación

Sistema Métrico DecimalLa potencia se define como la velocidad de transferencia de energía. En el SI, el joule es la unidad estándar de energía y equivale a N ∙m, la unidad estándar de par de torsión. Es decir:

1J=1N ∙mLuego la potencia se define como:

Potencia= energíatiempo

= joulesegundo

= Js= N ∙m

s=watt=W (3)

Obsérvese que 1J /s se define como 1watt (1W ). El watt es una unidad algo pequeña, por lo que a menudo se usa el kilowatt (1kW=1000W ). La unidad estándar de velocidad de rotación en el SI es radianes por segundo (rad / s). Con frecuencia, sin embargo, la velocidad de rotación se expresa en revoluciones por minuto (rpm). La conversión que se necesita, se ilustra a continuación, al convertir 1750 rpm en rad / s.

n=1750 revmin

×2π radrev

×1min60 s

=183 rads

Cuando se utiliza n en rad / s en la ecuación (2), el radián no se considera como unidad.Unidades Estadounidenses.

Las unidades características de par de torsión, potencia y velocidad de rotación en el sistema estadounidense de medidas son:

T = par de torsión (Ib ∙ plg)n = velocidad de rotación (rpm)

P = potencia (caballos de fuerza, hp)

Nótese que 1 hp = 6600 Ib ∙ plg /s . Entonces, las conversiones de unidades necesarias para garantizar la compatibilidad de las unidades son:

Potencia=T (lb ∙ plg )×n( revmin )× 1min60 s×2π radrev

×1hp

6600 Ib ∙ plg / s

Potencia= Tn63000

(4)

Esfuerzo Cortante Torsional en Elementos Estructurales de Sección Transversal Circular

Cuando un miembro estructural se somete a un par de torsión externo, en el material del que está hecho el miembro estructural se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material.La Figura 03 muestra una barra circular que se sometió a un par de torsión T . La sección N gira con respecto a la sección M como se indica. Si se aísla un elemento en la superficie de la barra, se verá que se sometió a fuerzas cortantes que actúan en las caras paralelas a las secciones transversales M y N , como se ilustra. Estas fuerzas cortantes crean esfuerzos cortantes en el elemento. Para que el elemento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes de la misma magnitud.

Figura 03. Esfuerzo Cortante Torsional en una Barra Circular.

Cuando la barra circular se somete al par de torsión externo, el material en cada una de las secciones se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externa experimentan la máxima deformación. En el eje central de la barra, no se produce deformación con la posición radial r. Como el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, se puede decir que el esfuerzo cortante

máximo ocurre en la superficie externa, que existe una variación lineal del esfuerzo con la posición radial r y que en el centro ocurre un nivel de esfuerzo nulo. La Figura 04 ilustra estas observaciones.

Figura 04. Distribución del esfuerzo cortante en una sección transversal de la barra.

Se establece la fórmula para el esfuerzo cortante torsional como:

τ max=TcJ

(5)

En donde: T= par de torsión aplicado en la sección de interés.c= Radio de la sección transversal.J= momento polar de inercia de la sección transversal circular. Su fórmula es:

J= π D4

32(6)

Por la variación lineal del esfuerzo y la deformación con la posición en la barra como se ilustra en la Figura 04, el esfuerzo τ , en cualquier posición radial r, puede calcularse por medio de:

τ=τmaxrc

(7)

Las ecuaciones (5), (6) y (7) se usan para calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una barra circular sujeta a un par de torsión externo.

Esfuerzo Cortante Torsional y Momento Polar de Inercia de una Barra Circular Hueca

La Figura 05 muestra la geometría básica de una barra hueca. Las variables son:Ri = radio interno

Di = diámetro internoRo = radio externo= cDo = diámetro externo

Figura 05. Notación de las variables utilizadas en la derivación de J para una barra circular hueca

La lógica y los detalles del desarrollo de la fórmula para esfuerzo cortante torsional se aplican tanto a una barra hueca como aun barra sólida. La diferencia entre ellas radica en la evaluación del momento polar de inercia. Por consiguiente se puede usar la ecuación (5) para calcular el esfuerzo cortante torsional máximo ya sea en una barra solida o en una barra hueca.

Además, tal como se ilustra en la Figura 05, el esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la barra y el esfuerzo varia linealmente con la posición radial en el interior de la barra. El esfuerzo cortante mínimo ocurre en la superficie interna. El esfuerzo cortante en cualquier radial se calcula con la ecuación (7).

Momento Polar de Inercia de una Barra Hueca

J= π32

(Do4−Di

4) (8)

Diseño de Elementos Circulares Sometidos a Torsión

En un problema de diseño, se conocen las cargas que actúan en un elemento, y se requiere determinar su geometría para garantizar que las soportará con seguridad. La selección del material y la determinación de los esfuerzos de diseño son partes integrales del proceso de diseño. Las técnicas que se desarrollan en esta sección son solo para miembros circulares, sometidos a torsión. Desde luego, se analizan miembros circulares tanto solidos como huecos.

La ecuación (5) para el esfuerzo cortante torsional básico, se expresó como:

τ max=TcJ

(5)

En el diseño, se puede sustituir un cierto esfuerzo τ d por τ max. Como en el caso de miembros sometidos a esfuerzo cortante directo hechos de materiales dúctiles, el diseño por esfuerzo tiene relación con la resistencia a la cedencia del material a cortante. Es decir:

τ d=S ys

N

En donde N es el factor de diseño que eligió el diseñador con base en el tipo de carga. La Tabla 01 se puede usar como guía para determinar el valor de N .

Tabla 01. Factores de Diseño y Esfuerzos Cortantes de Diseño para Metales Dúctiles

Tipo de Carga Factor de DiseñoDiseño por Esfuerzo Cortante

τ d=S y /2NTorsión Estática 2 τ d=S y /4Torsión Cíclica 4 τ d=S y /8

Impacto o Choque Torsional 6 τ d=S y /12

Donde los valores de Sys no están disponibles, pero se pueden calcular como Sy /2. Así se obtienen valores razonables y, por lo general, conservadores, para metales dúctiles, en especial acero. Por consiguiente:

τ d=S ys

N=

S y

2N(9)

En un problema de diseño el par de torsión T se debe conocer. Luego, en la ecuación (5), solo c y J no se conocen. Nótese que tanto c como J son propiedades geométricas del miembro que va a diseñar. En el caso de miembros circulares solidos (flechas), el diámetro define la geometría por completo. Se sabe que:

c=D2

Y J= π D4

32

Ahora conviene señalar que si forma el cociente J /c, se obtiene una expresión simple que incluye D.En el estudio de la resistencia de materiales, el término J /c recibe el nombre de módulo de sección polar, y se usa el símbolo Zp para denotarlo

Zp=Jc= π D4

32×1

D /2= π D3

16 (10)

Si se sustituye J /c por Zp en la ecuación (5) se obtiene:

τ max=TZ p

(11)

Para usar esta ecuación en el diseño, se puede hacer τ max=τd y en seguida resolver para Zp.

Zp=Tτd

(12)

La ecuación (12) da el valor que se requiere del módulo de sección polar de una flecha circular que limita el esfuerzo cortante torsional a τ d cuando se somete a un par de torsión T . Luego la ecuación (10) se usa para determinar el diámetro necesario de una flecha circular sólida. Resolviéndola para D se tiene:

D= 3√ 16Z p

π(13)

Si se va a diseñar una flecha hueca:

Zp=Jc= π32

(Do4−Di

4)× 1D o/2

Zp=π16

(Do4−Di

4 )Do

(14)

En este caso, uno de los diámetros o la relación entre los dos diámetros se tendría que especificar para definir la geometría completa de la flecha hueca.

TORSIÓN-DEFORMACIÓN TORSIONAL ELÁSTICALa rigidez además de la resistencia es una importante consideración de diseño de miembros sujetos a torsión. La medida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segmento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión.En aplicaciones de transmisión de potencia mecánica, la excesiva torsión de una flecha puede provocar problemas de vibración que, a su vez, pueden provocar ruido y una sincronización impropia de las piezas móviles. Una indicación por lo que se refiere a rigidez torsional tiene que ver con el grado de precisión que se desea, como se indica en la Tabla 02.

Tabla 02. Rigideces Torsionales Recomendadas: Angulo de Torsión por Unidad de Longitud

AplicaciónDeflexión Torsional

grados / pulg rad /mPieza de Maquina en General 1x10-3 a 1x10-2 6,9x10-4 a 6,9x10-3

Precisión Moderada 2x10-5 a 4x10-4 1,4x10-5 a 2,7x10-4

Alta Precisión 1x10-6 a 2x10-5 6,9x10-7 a 1,4x10-5

En el diseño estructural, los miembros de carga en ocasiones se someten a torsión así como también a tensión o flexión. La rigidez de una estructura depende entonces de la rigidez torsional de sus componentes. Cualquier carga aplicada fuera del eje de un miembro y transversal al mismo producirá torsión.

Es muy importante señalar que el comportamiento de un perfil abierto tal como un canal o ángulo es muy diferente del de un perfil cerrado tal como un tubo circular o rectangular. En general, los perfiles abiertos tienen una rigidez torsional muy baja.

Como una ayuda en el desarrollo de la relación para calcular el ángulo de torsión de un miembro circular, considérese la flecha que ilustra la Figura 03. Uno de sus extremos se mantiene fijo mientras se aplica un par de torsión Tal otro. En estas condiciones la flecha se torcerá entre los dos extremos a través de un ángulo θ.

La derivación de la fórmula para el ángulo de torsión depende de algunas suposiciones básicas con respecto al comportamiento de un miembro circular que se somete a torsión. Conforme se aplica el par de torsión, un elemento a lo largo de la superficie externa del miembro, inicialmente recto, gira un pequeño ángulo γ (gamma). Asimismo, un radio del miembro en una sección transversal gira en un pequeño ángulo θ. En la Figura 03 las rotaciones γ y θ guardan relación con la longitud del arco AB en la superficie de la barra. Por la geometría, para ángulos pequeños, la longitud del arco es el producto del ángulo en radianes y el radio medido a partir del centro de rotación. Por consiguiente, la longitud del arco AB puede expresarse como:

AB=γL

O:AB=θc

En donde c es el radio externo de la barra Estas dos expresiones para la longitud del arco AB pueden igualarse entre sí:

γL=θc

Si se resuelve para γ , se obtiene:

γ=θcL

(15)

El ángulo γ mide la deformación por cortante máxima en un elemento de la superficie externa de la barra. Anteriormente se vio que la deformación por cortante γ , se relaciona con el esfuerzo cortante τ, por el módulo de elasticidad a cortante G. Esa relación se expresó como la ecuación:

G= τγ

En la superficie externa, por consiguiente:

τ=Gγ

Pero la fórmula para el esfuerzo cortante torsional [ecuación 05] establece:

τ=TcJ

Al igualar estas dos expresiones para γ , se obtiene:

Gγ=TcJ

Ahora, al sustituirse la ecuación (15) por γ , se obtiene:

GθcL

=TcJ

Ahora se puede eliminar c y resolver para θ:

θ=TLJG

(16)

El ángulo de torsión resultante θ, está en radianes. Cuando en el cálculo se utilizan unidades compatibles para todos los términos, todas las unidades se eliminan y queda un número adimensional. Éste, puede interpretarse como el ángulo θ, en radianes.

La ecuación (16) puede usarse para calcular el ángulo de torsión de una sección de una barra circular, ya sea sólida o hueca, con respecto a otra donde L es la distancia entre ellas, siempre que el par de torsión T , el momento polar de inercia γ , y el módulo de elasticidad a cortante G, sean los mismos a lo largo de L. Si alguno de estos factores varía en un problema dado, la barra puede subdividirse en segmentos donde sean constantes para calcular ángulos de rotación de tales segmentos. Luego los ángulos que se calcularon se pueden combinar algebraicamente para obtener el ángulo total de torsión.El módulo de elasticidad a cortante G, mide la rigidez torsional del material de la barra. La Tabla 03 da valores de G para materiales que se seleccionaron.

Tabla 03. Módulo de Elasticidad a Cortante G.

MaterialMódulo a Cortante G

GPa psi

Aceros al Carbón y aleaciones comunes 80 11,5 x 106

Acero Inoxidable tipo 304 69 10,0 x 106

Aluminio 6061-T6 26 3,75 x 106

Cobre al Berilio 48 7,0 x 106

Magnesio 17 2,4 x 106

Aleación de Titanio 43 6,2 x 106