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Resistencia de Materiales. Capítulo XII. Deflexión de vigas

Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 12-1

CAPÍTULO XIII

Deflexión de Vigas

12.1.- Deformaciones en un elemento simétrico sometido a flexión pura.

Sea un elemento prismático con un plano de simetría y sometido a dos momentos M y

M’ (actúan en el plano de simetría)

M’

M

B

B'D

A

C

M’M

Curvatura constante



Θ

B’x

y

B

E

K

A’

D

A

J

C

y

y

LDE L

'LJK 'L

Deformación de JK yyLL '

LLx

Definición Máximo

m

m

cc

cc mx

m

x



C

m

y

x



12.2.- Esfuerzos en un elemento simétrico sometido a flexión pura en el rango elástico.

xx E

Pero c

ymx

c

yE m

x

mxc

y ximoEsfuerzoMám

C

m

y

x

Para hallar la superficie neutra se hace 0xF

0ydAc

dAc

ydA m

mx

0ydA

El momento de cualquier área dA respecto del eje neutro es:

dMdAy x

EI momento total será:

MdAy x



MdAc

yy m

MdAyc

m 2

I

Mcm Ecuación de flexión elástica

I



Pero: mxc

y

I

Myx Ecuación de flexión elástica

A demás c

E

c

cm

m

m

1

EI

M

EIc

Mc

1

EI

M

1

Pero 2

12

2

2

1

1

dx

dy

dx

yd

2

21

dx

yd

EI

M

dx

yd

2

2

Mdx

ydEI

2

2

Ejemplo 1 . Hallar la ecuación de la curva elástica de la viga.



RL

M

P

MPL

RP

PL=M

MV

x

P



0VP PV

0 MVxPL PLVxM

PLVxdx

ydEI

2

2

1

2

2CPLx

Vx

dx

dyEI

En 0x ; 0'y ; 10 C

PLxPx

PLxVx

dx

dyEI

22

22

2

23

26C

xL

xPyEI

En 000 2 Cyx

Por tanto:

26

23 xL

x

EI

Py

Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la curva elástica de la viga.

AB

W

L



A

WX

X

V M

2

wL

0 AM

02

MVxx

wx 2

2

xwVxM

xLwxwx

xwLx

wxxL

wM

22222

22

xMdx

ydEI

2

2 dxxL

wx

dx

dyEI 2

EI 21

42

2412CxC

wxL

wx

dx

dy

21

43

2412CxC

wxL

wxyEI

en 0x 0y 02 C

Lx 0y 02412

1

44

LCwLwL

24242412

3333

1

wLwLLw

LwC



x

wLwxL

wx

EIy

242412

1 343

Determinación del punto mínimo (flecha)

242412

343 xLxLx

EI

wy

0,y 02424

4

12

3 332

LxLx

046 332 LxLx

2/Lx es solución

2

1

16

1

4

1

244824161282/

4443

EI

wLLLLL

EI

wLy

EI

WL

384

5 4



12.3. Vigas Estáticamente Indeterminadas

Viga estáticamente indeterminada de primer grado contiene una reacción resultante.

Ejemplo:

A

Ay

Ax

MB

B

Hay tres ecuaciones 0xF 0yF 0M

)(2

2

xMdx

ydEI permite calcular y = f(x)

Hay dos condiciones de contorno 0y en 0x

0y en Lx

Hay una condición de contorno para 'y en 0x 0'y

Total : 6 ecuaciones Incógnitas: 21,,,, CCMAA yx

Esto significa que las seis incógnitas pueden ser obtenidas a partir de las condiciones

planteadas.



Ejemplo: Hallar las reacciones

0xF 0xA

0yF 0 wLBAy

0M 02

2

L

wLBM A

BLL

wM A 2

2

0 VwxAy wxAV y

0 AM

02

2

x

wVxMM A

AMx

wVxM 2

2

Ay Mx

wwxxAM 2

22

Ay MwxxAdx

ydEI 2

2

2

2

1

1

32

6

1

2CxMwx

xA

dx

dyEI Ay

en 0x ; 0'y 01 C

Ay

AxB

MA

Ay

AxMA

x

M

V

w



2

24

3

224

1

6C

xMwx

xAyEI Ay

en 0x ; 0y 02 C

Lx ; 0y 2246

0243 L

MwLL

A Ay

1232462

22 wLLAM

wLLAM

y

AyA



wLBAy yAwLB

02

2

L

wBLM A

0123

2

L

wLA

My

A

2

22 L

wLAwLM yA

123

2Lw

LAM

y

A

1223

22

2 wLwL

wLLALA yy

12

1126

12

11

2

11

3

1wLwLAy

12

2

3

2wLAy

2

3

12

5 wLAy

wLAy

8

5

wLBwLwLwLAwLB y

8

3

8

51

8

5

88

3

2

1

8

3

22

222

22 wLwLwL

wLBL

wLM A



12.2.- Relación entre carga, momento flector y fuerza cortante

a) Carga y fuerza cortante

Sea una viga sometida a una distribución de carga

A BC C’

Al considerar un segmento de viga, se tiene:



VV MM

xW

M V

0 yF 0 xwVVV

wdx

dVw

x

VVV

wdxdV

Al integrar entre C y D se obtiene

D

C

x

xCD

D

CwdxVVdV

CD VV Área bajo la curva de carga entre C y D



b) Fuerza cortante y momento flector

0, C

M

02

xxwxVMMM

2

2x

wxVM

O bien

2

2x

wxVMMM

xw

Vx

MMM

2

Si 0x

Vdx

dM

Al integrar entre C y D

D

C

D

CVdxdM

D

C

x

xCD VdxMM

= área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D



xfy Hallar

Determinación directa de la curva elástica a partir de la distribución de

carga.

EI

xM

dx

yd

2

2

Dado que dx

dVw y

dx

dMV

Se tiene

xEI

w

dx

yd

dx

dM

EIdx

yd

3

3

3

3 1

xEI

w

dx

yd

dx

dV

EIdx

yd

4

4

4

4 1

Vdx

ydEI

3

3

wdx

ydEI

4

4

Ejemplo

AB

W

wdx

ydEI

4

4



xVCwxdx

ydEI

e

13

xMCxCwx

dx

ydEI

21

2

2

2

2

32

2

1

3

26CXC

xC

wx

dx

dyEI

43

2

2

3

1

4

2624CxC

xC

xC

wxyEI

En 0x 0M

Lx 0M

02 C

2

02

11

2 wLCLC

wL

43

34

1224

1CxCx

wLwx

EIxy

En 0x 0y



Lx 0y

241224

333 wLwLwL

x

wLx

wLwx

EIY

241224

1 33

4

241224

334 xLLxx

EI

wy

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