Se estudian y deduce las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexin que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes. Para obtener estas relaciones se consideran las siguientes hiptesis : 1. Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 2. El material es homogneo y obedece a la ley de Hooke. 3. El mdulo elstico es igual a traccin que a comprensin. 4. La viga es inicialmente recta y de seccin constante. 5. El plano en el que actan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la seccin recta de la viga y las cargas actan perpendicularmente al eje longitudinal de aqulla.

dx

TEORA DE FLEXIN EN VIGAS

V

M

M + dM

DFC

DMF

V + dV

dx

d

y

d

d

P Neutro

Esfuerzo Normal

x = E x =E d = E yd dx d

x = E (y) x = ky

max

max

c

t

Plano Neutro

Eje Neutro

z

x

y

dA

x

dF = xdA

dM = ydF = y E ydA = E y2dA

MR = E y2dA = E Iz = x Iz

A y

MR = M x = MY Iz

y

Esfuerzo Cortante

c1 y

c

Plano Neutro

dx

F2 F1 = (M + dM) y dA - My dA Iz Iz

F2 F1 = dM ydA = dM Q = tdx Iz Iz

c

c1

c

c1 c

c1

t

= dM . Q

dz Izt

= VQ

Izt

F1 F2

APLICACIONES

1. Para la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte

C

2m 8m

4 ton

4 ton/m

8 ton.m

A B

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

4 ton

4 t/m

8 t.m

29 t 15 t

- -

+

17

4

12

3,75 m

4.25

15

V

(t)

-

+

20,125

16 6,34 0,58

8 M

(t.m)

Calcular: Mximo y

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

18,54 cm

21,46 cm

IEN = 37,804 cm4

Q = 1115,25 cm3

A = 156 cm2

max = 1142,4 Kg/cm2

max = 987 Kg/cm2

max = 251 Kg/cm2

t

c

EN

2. Calcular la mxima carga q, que puede soportar la viga mostrada, considerando [] 210 Kg/cm2 [ ] 10 Kg/cm2

A B C D

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

Calcular q [] 210 Kg/cm2 , [ ] 10 Kg/cm2

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

5q 5q

- -

+ +

3q

3q 2q

2q

3 m

3 m

- -

+

2q 2q

2.5 q

V

(t)

M

(t.m)

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

13,5 cm

EN

20,5 cm

Yc = 2 * 10 * 24 * 12 + 10 * 48 * 29

480 + 480

Yc = 20,5 cm

IEN = 1 [ 48 (10)3 + 2 (10) (24)3] 960 (3,5)2

3

IEN = 96400 cm4 ; Q = 2(10)(20,5)2= 4202,5 cm3

2

t = (2,5q * 105) * 20,5 210 q 3,95

96400

= (3q * 1000) (4202,5) 10 q 1,53 96400 * 20

3. Dimensionar la viga mostrada, de seccin tubular hueca, considerando:

d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2 D

A B

12 ton 12 ton

3 m 3 m 3 m

d D

Dimensionar la viga, si d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2

D

3 m 3 m 3 m

12 ton 12 ton

A B

12 12

+

-

+

36

12

12

V

(t)

M

(t.m)

d D I = (D4 d4) = D4 1 - d 4

64 64 D

I = 0,01688 D4

Q = D2 * 4D d2 * 4d = 1 (D3 d3) = D3 1 d 3

8 6 8 6 12 D

Q = 0,02258 D3 D d = 0,1 D

= (36 * 105) D 1200 D 44,62 cm 2 * 0,01688 D4

= (12000) * 0,02258 D3 300 D 23,13 cm 0,01688 D4 * 0,1 D

D = 44,62 cm d = 40,16 cm

EN

4. En la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte

3 m 2 m 2 m

Rtula 4 ton/m

A

B C D

6 ton/m

6 ton/m

2 20 2

2 cm

18

3 m 2 m 2 m

Rtula 4 ton/m

A

B C D

6 ton/m

6 ton/m

28 15

36

-

+

14

14

6

6 15

+

-

36

20

V

(t)

M

(t.m)

2 20 cm 2

2 cm

18 cm

7 cm

EN

13 cm I = 7240

Q = 338

5. Determinar la mxima carga P en toneladas que puede aplicarse a la viga mostrada, considerando as siguientes especificaciones:

[] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 900 Kg/cm2

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

9 m 2 9 m

2

26

2

+

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

- -

+

- -

+

3P 3P

P

P 2P

2P

2P 2P

4P

9 m 2 9 m

2

26

2

15

EN

15 IEN = 18636 cm

4

Q = 729 cm3

(4P * 105) * 15 1500 P 4,66 tn 18636

(2P * 103) * 729 900 P 23,01 tn 18636 (2)

P 4,66 tn

P 23 tn

6. Para la viga mostrada, calcular el valor de a, considerando las especificaciones indicadas: [] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 1200 Kg/cm2

A

B

6 m

6 ton.m

6 ton/m

6 ton/m

12 ton.m

4a a 4a

a

12a

a

A

B

6 m

6 ton.m

6 ton/m

6 ton/m

12 ton.m

+ +

-

5 5

4

6

12

9

V

M

4a a 4a

a

12a

a

7a

EN

7a

I = 906 a4

Q = 76,5 a3