Esfuerzos Cortantes en vigas y elementos de pared delgada1) ESFUERZOS CORTANTES EN VIGASLa consideracin del esfuerzo cortante vertical como tal, se hace en muy pocas ocasiones en el anlisis y diseo de vigas, sin embargo, estos esfuerzos se relacionan con los esfuerzos cortantes horizontales y por esto, es de importancia en algunos aspectos en el diseo de vigas, as. Los esfuerzos cortantes horizontales deben considerarse en las dos aplicaciones que se describen a continuacin:a) El material usado para la viga tiene una baja resistencia al esfuerzo cortante en una direccin (generalmente la horizontal). Esto ocurre en materiales como la madera.b) Las partes fabricadas de la viga deben estar unidas en forma segura.La accin de los esfuerzos cortantes horizontales supone que una viga est compuesta de varias placas delgadas, apiladas una sobre la otra, pero sin estar unidas de forma alguna, figura 1a. Cuando se aplica una carga a la viga y ocurre la deformacin, las superficies de contacto entre las placas se deslizarn y sus posiciones finales se ilustran en la figura 1b.Figura 1. Esfuerzos cortantes horizontales en una viga cargada

Si las placas estuvieran unidas por algn medio antes de que se aplique la carga (por ejemplo, pernos), figura 1c, la viga actuar como una unidad, ya que dichos medios de unin impedirn el deslizamiento de las superficies individuales, por lo que los pernos estaran ejerciendo fuerzas horizontales. Si la viga est compuesta de un solo bloque, figura 1d, y se aplica una fuerza P, cada superficie horizontal tiende a deslizarse con respecto a la superficie adyacente. Realmente el deslizamiento no ocurre, pues la resistencia de la viga al esfuerzo cortante (fuerzas internas aportadas por el material) lo impide. Cortando y analizando la viga, como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Corte y anlisis de una viga.

La viga est en equilibrio, entonces sus bloques estn en equilibrio. Para que se cumpla Fx = 0, Fy = 0, M = 0 debe haber esfuerzos cortantes iguales sobre todas sus superficies.Se considera una viga de ancho b que soporta cargas transversales y se analiza una seccin de longitud dx, figura 3.Figura 3. Anlisis de las fuerzas que actan sobre una viga

El momento flexionante sobre la cara mn es mayor que el de la cara hi. Por lo tanto, los esfuerzos sobre la cara mn son mayores que los de la cara hi. Como es mostrado en la figura 4.Figura 4. Momentos flexionantes en una viga.

Ahora se considera una seccin cortada a una distancia y1 del eje neutro, figura 5.Figura 5. Anlisis de las fuerzas, con respecto a un punto y con una distancia (Momento)

Tomando todas estas consideraciones se pasara a aplicar la ecuacin de Momento esttico Q, y esfuerzo cortante, cuya ecuacin es (Ecuacin 1), Donde, = esfuerzo cortante horizontal, V = fuerza cortante vertical en la seccin, Q = momento esttico del rea que queda arriba (o abajo) del corte, I = momento de inercia de toda el rea de la seccin transversal con respecto al eje neutro, b = ancho de la seccin del corte2) Esfuerzos Cortantes En Tipos Comunes De Vigas Esfuerzos cortantes en vigas de seccin rectangularPara determinar el esfuerzo cortante a una distancia y1 arriba del eje neutro (Figura 6), se elige una seccin dA a una distancia y sobre el eje neutro.Figura 6, Consideraciones dimensionales en una viga rectangular

Tomando en cuenta la ecuacin de momento esttico Q de un rea transversal dA como en la figura 6. Se integra (Ecuacin 2); Luego de integrar se sustituye Q con la Ecuacin 1, quedando como , en el caso del rectngulo se usa el momento inercial de la forma rectangular, Sustituyendo se obtiene que el esfuerzo cortante mximo se tiene para y1 = 0, que est en el eje neutro. .Con las diferentes formas geomtricas se toman las mismas consideraciones, las dimensiones, el momento inercial de acuerdo a su geometra y aplicando la Ecuacin 2 y la Ecuacin 1, Se obtienen las distintas formas.Figura 7. Esfuerzo cortante mximo de acuerdo a forma de la viga.

Ejemplo 1Una viga de seccin rectangular est sometida a una fuerza cortante de 13 kN. Determinar el esfuerzo cortante en el punto P de la seccin transversal El esfuerzo cortante mximo en la vigaFigura Ejemplo 1Parte AA=0.1m*0.12m=0.012V=13kNY1=60mm-50mm=10mmC=h/2=120mm/2=60mmUsando La Ecuacin 1 Y la geometra de la figura Del Ejemplo 1, se determinara la Ecuacin 2

Parte B (y1=0)

3) Esfuerzos cortantes en pared delgadaEn la Ecuacin 1, V representa la fuerza cortante que acta sobre la seccin transversal, I es el momento de inercia del rea de la seccin transversal (con respecto al eje neutro), b es el ancho de la viga en la ubicacin donde se determinar el esfuerzo cortante y Q es el momento esttico del rea de la seccin transversal fuera de la ubicacin donde se determina el esfuerzo.Ahora consideraremos los esfuerzos cortantes en un tipo especial de vigas con seccin transversal abierta de pared delgada. Las vigas de este tipo se distinguen mediante dos caractersticas: (1) el espesor de pared es pequeo comparado con la altura y el ancho de la seccin transversal y (2) la seccin transversal est abierta, como en el caso de una viga I o una viga en canal, en vez de cerrada, como en el caso de una viga de caja hueca. En la figura 8 se muestran algunos ejemplos. Las vigas de este tipo tambin se llaman secciones o perfiles estructurales. Podemos determinar los esfuerzos cortantes en vigas de pared delgada con seccin transversal abierta al emplear las mismas tcnicas que utilizamos al deducir la frmula del cortante. Para mantener la deduccin tan general como sea posible, consideraremos una viga con su lnea central de la seccin transversal mm con forma arbitraria (Figura 9a). Los ejes y y z son ejes centroidales principales de la seccin transversal y la carga P acta paralela al eje y en el centro de cortante S (figura 9b). Por tanto, la flexin ocurrir en el plano xy con el eje z como el eje neutro. En estas condiciones, podemos obtener el esfuerzo normal en cualquier punto en la viga con la frmula de la flexin: . Ecuacin 3Donde Mz es el momento flexionante con respecto al eje z y y es una coordenada del punto en consideracin.Figura 8 Vigas Comunes Con seccin transversal abierta de pared delgada

Figura 9. Esfuerzos cortantes en una viga con seccin transversal abierta depared delgada. (Los ejes y y z son ejes centroidales principales).

Ahora consideramos un elemento de volumen abcd cortado entre dos secciones transversales separadas una distancia dx (figura 9a). Observe que el elemento inicia en el borde de la seccin transversal y tiene una longitud s medida a lo largo de la lnea central mm (figura 6.31b). Para determinar los esfuerzos cortantes, aislamos el elemento como se muestra en la figura 9c. La resultante de los esfuerzos normales que actan sobre la cara ad es la fuerza F1 y la resultante sobre la cara bc es la fuerza F2. Como los esfuerzos normales que actan sobre la cara ad son mayores que los que actan sobre la cara bc (debido a que el momento flexionante es mayor), la fuerza F1 ser mayor que F2. Por tanto, los esfuerzos cortantes t deben actuar a lo largo de la cara cd a fin que el elemento est en equilibrio. Estos esfuerzos cortantes actan paralelos a las superficies superior e inferior del elemento y deben estar acompaados por esfuerzos cortantes suplementarios que actan sobre las caras transversales ad y bc, como se muestra en la figura 9c. Ecuacin 4Esta ecuacin proporciona los esfuerzos cortantes en cualquier punto en la seccin transversal a una distancia s desde el borde libre. La integral en el lado derecho representa el momento esttico con respecto al eje z (el eje neutro) del rea de la seccin transversal dada s = 0 hasta s = s. Denotemos este momento esttico con Q para escribir la ecuacin para los esfuerzos cortantes t en la forma ms simple Ecuacin 5El flujo de cortante en cualquier punto en la seccin transversal, igual al producto del esfuerzo cortante y el espesor en ese punto, es

Ecuacin 6

Como Vy e Iz son constantes, el flujo de cortante es directamente proporcional a Qz. En los bordes superior e inferior de la seccin transversal, Qz es cero y de aqu que el flujo de cortante tambin es cero. El flujo de cortante vara continuamente entre estos puntos extremos y alcanza su valor mximo donde Qz es mximo, que es en el eje neutro.Transformaciones de esfuerzo y deformacin1) Transformacin de esfuerzo planoLas condiciones de esfuerzo que encontramos en los captulos anteriores, cuando analizamos barras en tensin y compresin, los ejes en torsin y las vigas en flexin son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. Para explicarlo consideraremos el elemento de esfuerzo que se muestra en la figura 10a. Este elemento tiene tamao infinitesimal y se puede dibujar como un cubo o bien como un paraleleppedo rectangular. Los ejes xyz son paralelos a los bordes del elemento y sus caras se designan segn las direcciones de sus normales hacia fuera. Por ejemplo, a la cara derecha del elemento se le refiere como la cara x positiva y la cara izquierda (oculta al observador) cara x negativa. De manera similar, la cara superior es la cara y positiva y la cara frontal es la cara z positiva.Cuando el material est en esfuerzo plano en el plano xy, slo las caras x y y del elemento estn sometidas a esfuerzos y todos actan paralelos a los ejes x y y, como se muestra en la figura 10a. Esta condicin de esfuerzo es muy comn debido a que est presente en la superficie de cualquier cuerpo sometido a esfuerzo, excepto en los puntos donde acta la carga externa sobre la superficie. Cuando el elemento que se muestra en la figura 10a est ubicado en la superficie libre de un cuerpo, el eje z es normal a la superficie y la cara z est en el plano de la superficie.Los smbolos para los esfuerzos que se muestran en la figura 10a tienen los siguientes significados. Un esfuerzo normal s tiene un subndice que identifica la cara sobre la cual acta; por ejemplo, el esfuerzo sx acta sobre la cara x del elemento y el esfuerzo sy acta sobre la cara y del elemento.Como el elemento tiene un tamao infinitesimal, los esfuerzos normales que actan sobre las caras opuestas son iguales. La convencin de signos para los esfuerzos normales es la usual, es decir, la tensin es positiva y la compresin es negativa.Un esfuerzo cortante t tiene dos subndices; el primero denota la cara sobre la cual acta el esfuerzo y el segundo da la direccin sobre esa cara. As entonces, el esfuerzo txy acta sobre la cara x en la direccin del eje y (figura 10a) y el esfuerzo tyx acta sobre la cara y en la direccin del eje x.Figura 10

La convencin de signos para los esfuerzos cortantes es la que sigue.Un esfuerzo cortante es positivo cuando acta sobre una cara positiva de un elemento en la direccin positiva de un eje, y negativo cuando acta sobre una cara positiva de un elemento en la direccin negativa de un eje. Por tanto, los esfuerzos txy y tyx que se muestran en las caras x y y positivas en la figura 10a son esfuerzos cortantes positivos. De manera similar, sobre una cara negativa del elemento, un esfuerzo cortante es positivo cuando acta en la direccin negativa del eje. De aqu, los esfuerzos txy y tyx que se muestran sobre las caras x y y negativas del elemento tambin son positivos.Esta convencin de signos para los esfuerzos cortantes es fcil de recordar si la enunciamos de la siguiente manera:Un esfuerzo cortante es positivo cuando las direcciones asociadas con sus subndices son ms-ms o menos-menos; el esfuerzo es negativo cuando las direcciones son ms-menos o menos-ms.La convencin de signos anterior para los esfuerzos cortantes es consistente con el equilibrio del elemento, ya que sabemos que los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas de un elemento infinitesimal deben ser iguales en magnitud y con direccin opuesta. De aqu que, de acuerdo con nuestra convencin de signos, un esfuerzo positivo txy acta hacia arriba sobre la cara positiva (figura 10a) y hacia abajo sobre la cara negativa. De manera similar, los esfuerzos tyx que actan sobre las caras superior e inferior del elemento son positivos aunque tienen direcciones opuestas.Tambin sabemos que los esfuerzos cortantes sobre planos perpendiculares son iguales en magnitud y tienen direcciones tales que los dos esfuerzos apuntan hacia la lnea de interseccin de las caras o alejndose de ella.Puesto que txy y tyx son positivos en las direcciones que se muestran en la figura, son consistentes con esta observacin. Por tanto, observamos que txy= tyx.Figura 11. Ecuaciones De Transformacin para esfuerzo plano

2) Esfuerzos Principales Y Esfuerzos Cortantes mximosLas ecuaciones de transformacin para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos normales sx1 y los esfuerzos cortantes tx1 y1 varan continuamente conforme se giran los ejes a travs de un ngulo u. Esta variacin se representa para una combinacin particular de esfuerzos. Por ejemplo, las fallas por fatiga de estructuras como mquinas y aeronaves a menudo se asocian con los esfuerzos mximos, y de aqu que sus magnitudes y orientaciones se deban determinar como parte del proceso de diseo Ecuacin 73) CRCULO DE MOHR PA RA ESFUERZO PLANOLas ecuaciones de transformacin para esfuerzo plano se pueden representar en forma grfica mediante un trazo conocido como crculo de Mohr.Esta representacin grfica es muy til ya que permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos. Tambin proporciona un medio para calcular esfuerzos principales, esfuerzos cortantes mximos y esfuerzos sobre planos inclinados. Adems, el crculo de Mohr es vlido no slo para esfuerzos sino tambin para otras cantidades de naturaleza matemtica similar, incluyendo deformaciones unitarias y momentos de inercia.Las ecuaciones del crculo de Mohr se pueden deducir a partir de ecuaciones de transformacin para esfuerzo plano. Lasdos ecuaciones se repiten aqu, pero con un reacomodo ligero de la primera ecuacin: Ecuacin 8 Ecuacin 9