esfuerzos y deformaciones en vigas

7/26/2019 Esfuerzos y Deformaciones en Vigas

http://slidepdf.com/reader/full/esfuerzos-y-deformaciones-en-vigas 1/71

ESFUERZOS NORMALES

Se da el nombre de esfuerzo normal al que se presenta en la sección transversal deun elemento sujeto a momentos exionantes, debidos a cargas aplicadas endirección perpendicular a su eje longitudinal y que provoca el pandeo de este, comose muestra en la siguiente gura.

Cuando el elemento se exiona se generan tensiones y compresiones en la seccióntransversal que se miden con respecto a la lnea neutra que pasa por su centro degravedad.

!arra sin exión.

!arra exionada.

1

P

a b

!arra cargadalateralmente sinexión.

!arra deformada porexión.

Curva el"stica

T

C

h

b

Eje neutro

Compresión

Tensión

Eje neutro

#iagrama deesfuerzos

h/2

h/2

C

T

M

h/6

h/6

4h/6

σc

σT



Comportamiento a exión de una viga cargada externamente

$a resultante de compresión equivale al volumen de material contenido en eldiagrama triangular de esfuerzos que tiene una profundidad o grueso igual al anc%ode la viga.

[ ]4

σ bh= b

2

σh

2

1=C

cc

&l par de fuerzas de compresión y de tensión equivalen al momento exionante '(),es decir*

[ ]+

b%

b%

+

%C

+

%( c

-c σσ

=

==

)σ(6

h b

=M c

2

ara la sección rectangular el primer t/rmino de la ecuación anterior se denominamódulo de sección 'S). y se obtiene dividiendo el momento de inercia de la secciónentre la distancia centroidal, 'd). 0#istancia desde los bordes de la sección al ejeneutro.

6

h b=

h12

h b2=

2

h12

h b

=

!="

2#

#

6

h b="

2

&l momento exionante se escribe entonces*

cσ"=M

&l esfuerzo normal es*

2

h

b

!

M=

"

M=σc



roblema 1. Calcular los esfuerzos normales m"ximos de tensión y compresión parala viga en voladizo de la gura 12. Suponer la sección transversal rectangular de13x-4 cm.

#ebe primero determinarse el momento exionante m"ximo. ara este caso sepresenta en el extremo empotrado.

(m"x. 5 14440.442 5 ,444.44 6g.m 5 44,444.44 6g.cm

(ódulo de sección. 7iene el mismo valor en tensión y compresión porque lasdistancias de los bordes superior e inferior de la sección al eje neutro son lasmismas.

#

2

cm$$%1$$$=6

)2$(1&="

Esfuerzos normales. Son iguales por estar a la misma distancia del eje neutro.

2tc cm/'$$%4$$=

$$%1$$$

$$%$$$4$$=σ=σ

8in del problema.

roblema -. $a viga simple de la gura -2, tiene una sección transversal en '7) conlas dimensiones que se indican. Calcular los esfuerzos m"ximos normales.

#

-4cm

14446g

.44m

13

8igura 1. 9iga envoladizo

:446g;m

3.44m

1413 13

<

1=cm

8ig. -. 9iga simple con carga uniforme



(omento exionante m"ximo. >curre al centro del claro y genera tensiones por

abajo del eje neutro.

%cm%'$$%2&$2*1=m%'&$%*122=*

)&($$%+$$=M

2

%m,-

osición del eje neutro y momento de inercia.

?rea de la sección transversal*

@ 5 -:4.44 cm-

#istancia centroidal 'd-). Se obtiene sumando momentos de las "reas respecto al ejexx.

cm#62%.=2+$

1$)2$(1$2)&$%1()#(1&= 2

d1 5 -4.44 A =.<+- 5 1-.+<B cm

(omento de nercia respecto al eje neutro.

--d @A-!=!

#

h b

=!

#

-

[ ] 4##

- cm666%+#626=#

)2$(1$2

#

)#(1&=!

5 -+,:<+.+++ A -:4 0=.<+-2- 5 11,-1B.: cm

4

d-

d1

13 1314

<

1=

xx

&D



Esfuerzo en tensión. Se presenta por abajo del eje neutro a la distancia 'd1).

21%m,-

t cm/'*2%#16=+4%21*11

)6#*%12($$%2&$2*1=

!

M=σ

Esfuerzo en compresión. @rriba del eje neutro a la distancia 'd-).

22%m,-c cm/'&6%1*4=

+4%21*11

)#62%.($$%2&$2*1=

!

M=σ

8in del problema.

roblema <. ara la viga simple de doble voladizo de la gura <2, calcular lo

siguiente*

12. $as reacciones verticales en los apoyos.-2. $os momentos exionantes.<2. &l diagrama de fuerzas cortantes.2. &l diagrama de momentos exionantes.32. $os esfuerzos normales m"ximos.+2. $os esfuerzos cortantes m"ximos.

Sección 7ransversal* Eectangular 'bx%).

% 5 <3 cmb 5 13 cm

(ódulo de sección.

<-

cm34.<4+-+

2<3013S ==

Solución*

&

b

%

0

1&$$ '(/m 4$$ '(&$$ '(

2%$$ m *%$$ m 2%&$ m

8ig. <. 9iga con doblevolado.



Cálculo de reacciones momentos!

( ) ( ) ( ) 49B-344A34.1444B1344( !@ =−+=

.6g44.+449! =

42B01344:44+4499 @ =+=

.6g44.+3449@ =

m.6g44.14442-0344( @ ==

m.6g44.1444234.-044( ! ==

#@FE@(@S #& 8G&EH@ C>E7@D7& I (>(&D7> 8$&J>D@D7&.

(omento m"ximo.

(m"x. 5 11,444.44 Kg.m 5 1, 144,444.44 6g.cm

Esfuerzos normales o "e#ionantes!

6

0

1&$$ '(/m 4$$ '(&$$ '(

2%$$ m *%$$ m 2%&$ m

VA

VB

3446g.

+444

+444

44

1444 1444

11444

8uerza

cortante.

(omentoexionante.

.44 m

cσ

Compresión%1=.34

1=.34

T σ

Tensión%

Eje neutro



uesto que el eje neutro coincide con el centro geom/trico de la sección, losesfuerzos de tensión y compresión, son iguales.

-c 7 cm;6g1B.<3:

34.<4+-

44.444,144,1=== σσ

Esfuerzos Cortantes!

8uerza cortante m"xima* 9m"x. 5 +444.44 6g.

-.m"x.m"x.v cm;6g1.1=

2<3013

+444

-

<

%b

9

-

<f =

=

=

.

$%!&'

1=.34

f v.máx.

15 cm

Eje neutro.



8in del problema.

roblema . $a viga en forma de G con un extremo en voladizo est" cargada como seindica en la gura 2. 7omar & 5 -, 144,444.44 6g;cmL

Sección transversal.

Se pide*

*

8 cm

2 cm

16 cm2 2

2. m 1. m

!55 "#$1 "#

A B

3i(% 4



12. &l diagrama de fuerza cortante.-2. &l diagrama de momentos exionantes.<2. $os esfuerzos exionantes en el apoyo !.2. $os esfuerzos cortantes en el apoyo @.32. $a pendiente al centro del claro @!.

Eeacciones y momentos.

Signos positivos*

( ) $=&4&&2+1$54=0M A

9! 5 1,4-<.=3 6g9@ 5 <1.-3 6g

(! 5 33 01.442 5 33 6g.m

(ia)ramas de fuerza cortante de momento!

Centroide momento de inercia!

+

2. m 2. m 1. m

!55 "#$1 "#

VA

VB

!55 "#$1 "#

%!1.25 12%.&5

<1.-3

33.44

3+B.=3

+B-.34

33.44



( ) ( ) ( )cm<.--5

=-.441.44-1+M3-14M3-14

51C

C- 5 +.=B cm

( )[ ]

( )4cm1,<=+.445<

<-1+M-<

<14-5x

5 1<=+.44 N =-0<.--2- 5 +-:.B cm

Esfuerzos "e#ionantes en *!

( )cm/'$.%4+$=

4*%62+

.*%64&&$$=

!

2CM=Tσ

( )Lcm;6g+.-<-

B.+-:

--.<3344

1C!(c ===σ

Esfuerzos cortantes en A!

9 5 <1.-3 6g.

b!

oM5=%m,-7

(o 5 (omento est"tico del "rea que est" encima del eje neutro.

( ) cm+#6*%+1=2)

2

.*%6($$%2.*%6=oM

( ) cm/'46%12=

224*%62+

+#6*%+12&%#41=%m,-7

+endiente al centro de A*!

1$

8 cm

2 cm

16 cm2 2

Eje neutro

C1

C2

xx

-.44 m -.44

m

1.44

m

33 6g:14 6g

<1.-3 14-<.=3

x



28-8$-2&%#41=M -

-2&%#41=-

9E!

2

2

ntegrando sucesivamente.

)1(C2

-2&%#41

=-

9E!

1

2

)2(C-C6

-2&%#41=:E! 21

#

&n la &c. 0-2 cuando x 5 4 la ec%a y 5 4 y por tanto C- 5 4.

48-822-+1$-2&%#41=M-


( ))#(C

2

2-+1$

2

-2&%#41=

-

9E!#

22 AA

( ))4(C-C

6

2-+1$

6

-2&%#41=:E! 4#

## AA

Comparando &cs. 012 y 0<2, en x 5 -*

C1 5 C<

Comparando &cs. 0-2 y 02, en x 5 -*

- C1 5 - C< M C

C 5 4

&n la &c. 02, cuando x 5 , la ec%a I 5 4*

11



( ) ( )#

##

C46

24+1$

6

42&%#41=$

AA

C< 5 A +4+.+++ 5 C1

&D#&D7& @$ C&D7E> #& @!* Se obtiene de la &c. 012O ara x 5 -*

( )*4%.&=66%6$6

2

22&%#41=

-

9E! 2

A

( )

( ) %r;i;nes$$$&.#.%$=

4*%62+$$%$$$1$$2

1$*4%.&=

E!

*4%.&=

-

9 4

8in del problema.

roblema 3. Calcular los esfuerzos exionantes en un punto situado a < m. delsoporte izquierdo de la viga de la gura 32. Suponer sección transversal circular de13 cm de di"metro.

Eeacciones en los soportes. Como el momento aplicado tiene giro anti%orario serequiere un par de fuerzas que giren en dirección contraria.

12

.44m

<.44m

<444 6g.m

A *8ig. 3. 9igasimple

<444 6g.m

9@ 9

!



%'&.%42*=.

#$$$=50

&l momento a < m del apoyo izquierdo es*

( 5 -B.3= 0<.442 5 1,-B3.=1 Kgm 5 1-B,3=1.44 6g.cm

(ódulo de sección para la sección circular.

###

cm#4%##1=#2

)1&(<=

#2

<="

Esfuerzos "e#ionantes. ara la sección circular los esfuerzos son iguales entensión y en compresión.

2cm/'$#%#**=#4%##1

$$%&.112*=σ

Forma apro#imada!

-<< cm;6g:3.<B4

2130

244.3=1,1-B014

#

.(m"x14P ===

8in del problema.

ESFUERZO COR,AN,E

$os esfuerzos cortantes, son originados por fuerzas que actQan paralelamente alplano que las contiene, recibiendo por tal motivo el nombre de esfuerzos

tangenciales. Cuando la fuerza cortante se aplica directamente al "rea de la seccióntransversal, el esfuerzo cortante se denomina puro y an"logamente al caso de lacarga axial, se le supone uniformemente distribuido, determin"ndose mediante larelación*

#onde*

1#

A

V τ =



7 5 &sfuerzo cortante en Kg.;cm-

9 5 8uerza cortante en Kg.@ 5 ?rea de la sección transversal.

Sin embargo, en el estudio de vigas sujetas a exión se presentan tanto fuerzas

cortantes verticales como %orizontales, cuya combinación genera esfuerzos cortantesque en realidad no son constantes. or tanto, la expresión anterior del esfuerzocortante es solo un promedio.$a expresión general del esfuerzo cortante que nos permite conocer con mayorexactitud tales esfuerzos est" dada por la expresión*

#onde*

9 5 8uerza cortante.(o 5 (omento est"tico del "rea situada encima o abajo de la lnea donde se desea elesfuerzo. 5 (omento de inercia de la sección transversal respecto de la lnea o eje neutro.b 5 @nc%o de la sección transversal donde se calcula el esfuerzo.

#istribución del esfuerzocortante

#ebe ponerse muc%a atención al calcular el momento est"tico (o. ara ello,consid/rese la sección transversal de la gura siguiente y calculemos el momento

est"tico a una distancia 'd) medida desde el eje neutro. Su valor se obtienemultiplicando el "rea situada arriba de la distancia 'd) por la distancia centroidal'c) entre el eje neutro y dic%a "rea.

14

bI

MV τ

o=

.máx τ

C1

C2

b

Eje neutro

C

b

ho

h



?rea situada arriba de la distancia 'd)*

@ 5 b. %o

#istancia del eje neutro al centro del "rea en cuestión.

-

%Md5C o

(omento est"tico del "rea.

2-

%Md0%b5C@5( o

oo

roblema +. ara una sección rectangular de 13x-3 cm calcule el esfuerzo cortantem"ximo. Suponer una fuerza cortante de 344 Kg. 9er gura +.

osición del eje neutro y momento de inercia.

!cm1:,3<1.-351-

0-32135

1-

%b5

<<

(omento est"tico del "rea arriba del eje neutro.

( 5 1301-.342 +.-3 5 1,1=1.B=3 cm<

Esfuerzo cortante.

2cm/>$$%2=

)1&(2&%1+&#1

)&$$(*.&%11.1=7

8in del problema.

1&

1&

12%&

12%&

E'

6%2&

8ig.+2.



roblema =. $a viga de la gura =2 soporta una carga uniformemente repartida de1444 Kg. ;m. #etermine el tamaRo de una viga de madera de sección rectangularpara que los esfuerzos no sobrepasen los siguientes valores* +4 Kg. ;cm- a exión yde 13 Kg. ;cm- a cortante.

2

2

cm/%>$$%1&=7

cm/%>$$%6$=σ

Eeacciones en los soportes y diagramas de cortante y momento ector.

45E+A,0B214445(S !@

E@ 5 3,<<<.<< Kg.E! 5 -,+++.+= Kg.

8uerza cortante y momento m"ximos en valor absoluto.

(m"x. 5 1,---.-4 Kg.m9m,"x. 5 3,<<<.<< Kg.

Módulo de sección re-uerido por "e#ión!

16

1$$$ >(%/m

(uer)a Cortante

Momento (*ector

5%%%.%%

666.66

2.

1!222.2

2.

1$$$ >(%/m

6%$$ m 2%$$

0

8ig.=



.cm-<,=4<.++5+4.44

014421,---.-45

P

(5S m"x.

or geometra el módulo de sección para forma rectangular, es*

+

%b5S

-

b

)66%.$#2#(6=h

#eben proponerse valores al anc%o 'b) partiendo de un mnimo igual a $;34,expresando $ en centmetros. $ es la distancia mayor entre apoyos, en este caso esde +44 cm.

b %1- 14B.

B+-4 B.<

-<4 +B.B

3<3 +<.=

3

roponer*b 5 <4.44 cm% 5 +B.B3 cm

Re/isión por esfuerzo cortante. &l esfuerzo cortante para la sección propuestadebe ser menor o igual al esfuerzo dado de 13 Kg. ;cm-

2cm/'*.%#=)*&%6*(#$

##%###%&

2

#=7

&l esfuerzo es menor de 13 Kg.;cm- , por tanto se acepta la sección de <4.44x+B.B3cm.

8in del problema.

1.

b

S+5%



roblema B. Gna viga de sección '7), soporta una carga puntual de B444 Kg. en la

posición que se indica en la gura B2. Calcule los esfuerzos cortantes en la seccióntransversal.

8uerza cortante y momentos m"ximos. Son m"ximos en el empotramiento.

Centro de )ra/edad momento de inercia!

?rea de la sección* @ 5 -BB.44 cm-

1*

# cm

1. cm

* *12

*$$$ >(%

*$$$

4$$$$

*$$$

3uer?; cort;nte

Momento @Aector

C1

C2

* 12 *

#

1.

x

*$$$ >(%

&%$$ m

8ig. B



Centro de gravedad* 7omar como referencia el borde superior 0lnea x2 para tomarmomentos.

cmB.3B<5-BB.44

01420-421-M0-201.3420<2B5C-

cm11.1=5C1

(omento de nercia respecto al eje 'x).

!mc<-,1.445

<

0-421-M

<

0-20<2B5

<<

x

(omento de inercia respecto al eje neutro.

---x cm14,:-=.+350B.3B<2-BBA<-,1.445C@A5

Esfuerzos!

Esfuerzos normales!

--m"x.t 6g.;cm<,11.=+5

14,:-=.+3

0B.3B<2014424,444.445

C(5P

-1m"x.c Kg.;cm,1=:.1-5

14,:-=.+3011.1=2014424,444.445

C(5P

Esfuerzo cortante +$* Se toma el "rea del patn 0rect"ngulo de arriba2 y el anc%o de-B cm, para calcular el esfuerzo en el borde inferior de tal rect"ngulo.

1+

C1

C2

* 12 *

#

1.

x tσ

cσ

B BB

1+

2+

max+

Es@uer?os norm;Aes Es@uer?os cort;ntes



-1 6g.;cm14.<=5

0-B214,:-=.+3

1.342A0B.3B<-Bx<20B4445T

Esfuerzo cortante +0* Se toma la misma "rea del patn y tomando para el esfuerzoel anc%o de 1- cm que corresponden al alma.

-- 6g.;cm-.-45

01-214,:-=.+3

1.342A0B.3B<0-Bx<2B4445T

Esfuerzo cortante má#imo. Se puede obtener de dos maneras* a2. Gtilizando el"rea de la sección arriba del eje neutro. b. Gtilizando el "rea abajo del eje neutro. @continuación se %acen los c"lculos para ambas formas.

a2.A ?rea arriba del eje neutro.

<

> cm::.=B1

-

44.<A3B<.B244.<A3B<.B01-234.1A3B<.B02<0-B( =

+=

-.m"x cm;6g=4=.=5

21-0+3.:-=,14

2::.=B1044.B44457

b2. ?rea abajo del eje neutro.

-cm;6g4B.=B--

1=.1121-01=.11(o =

=

-.m"x cm;6g=1.=5

21-0+3.:-=,14

24B.=B-044.B44457

8in del problema.

roblema :. #iseRar sección circular para la viga de la gura :2. &l di"metro debe sersuciente para que los esfuerzos no sobrepasen los siguientes lmites* =4 6g;cm- enexión y 14 6g;cm- en cortante.

-cm;6g=45P

-cm;6g145T

2$

+44

-

A *

8ig. :2. 9igasimple

- < m

+446g



Eeacciones y momento m"ximo.

459=A20+44M2-0+445(S !@

9! 5 31.-B3 6g.9@ 5 +B3.=13 6g.

(m"x. 5 31.-B3 0 < 2 5 1,3-.B+ 6g.m 5 13,-B+.44 6g.cm

Módulo de sección re-uerido!

<cm4B3.-4,-544.=4

44.-B+,135

P

(5S

<-

#U5S

<

cm-1.-B5U

24B3.--40<-5# <

Re/isión por esfuerzo cortante. @l tomar media "rea del crculo, la que quedaarriba del eje neutro, resulta la siguiente expresión.

?rea de medio crculo. 5 , -

2

8

-

-

#U<

91+5

2#0+

#

2U<

#-02

B

#09

5#

(o95

<

<

7

--

cm;6g+4.152-1.-B0U<

2=13.+B301+57

8in del problema.

roblema 14. ara la viga de la gura 142, calcule lo siguiente*

&l diagrama de fuerza cortante.&l diagrama de momentos.

21

#;--#;<<



$os esfuerzos cortantes m"ximos.$os esfuerzos normales m"ximos.

Sección transversal.

Cálculo de reacciones en los soportes (ia)ramas de cortante momento!

Cr/ter/o 0e /#no

Po/t/vo.

$*2$$616$$#&.& 21 =−++=∑ V M 2020

9- 5 1,4.+-3 Kg.

$21.&21 =−+=∑ V V V

91 5 =<.<=3 Kg.

22

B cm B cm+

1Bcm

- cm

5&5 "# 16 "#

2 3#.m

91

9-

=<.<=3 13:.<=

3

14.+-3

--4<.1-3

-+B1.-3

8uerza Cortante. Kg.

(omento 8lector.Kg.m-44

5&5 "# 16 "#

2 "#.m

% m % m 2 m % m

8ig. 14



Esfuerzos Cortantes Má#imos!

&l esfuerzo cortante m"ximo est" dado por la expresión*

bI

MV τ

oMáx

Máx

.. =

9("x. 5 1,4.+-3 Kg. .. 8uerza cortante m"xima en valor absoluto.

b 5 3 cm.AAA &l @nc%o de la sección donde se pide el esfuerzo.

5 (omento de inercia de la sección respecto al eje neutro.

?rea de la sección transversal.

@ 5 30-42 M B0-20-2 5 1<- cm-

osición del eje neutro a partir del eje 'J).

.cmB1B.=1<-

-2120B0-14230-4C1 =

+=

C- 5 -4.44 A =.B1B 5 1-.1B- cm

(omento de inercia respecto al eje 'J)

<<

cm44.<=+,1<<

2-0B-

<

2-403Cx =

+=

(omento de nercia respecto al eje neutro.

5 1<,<=+.44 A 1<-.44 0=.B1B2- 5 3,<4B.41 cm

&sfuerzo cortante m"ximo. >btener primero, el momento est"tico para el "reasituada arriba del eje neutro.

2#

B cm B cm+

1Bcm

- cm-C

1

C2

tm,-%

t1

t2

Eje neutro



<cm44<.<=1-

1B-.1-244.301B-.1-(o =

=

-.("x cm;6g1<B.-4

23041.3<4B

244<.<=10+-3.14T ==

Esfuerzo cortante t$. &l momento est"tico se obtiene para el "rea rectangular delpatn. 0Eect"ngulo de abajo de -1.44 cm de anc%o y -.44 cm de grueso2.

(o 5 -1.44 0-.442 0=.B1B N 1.442 5 -B+.<3+ cm<

-1 cm;6g=4.<

2-1041.3<4B

2<3+.-B+0+-3.14t ==

Esfuerzo cortante t0. @l estar en el mismo borde que el esfuerzo t1, el momentoest"tico es el mismo. &l anc%o de la sección corresponde al del alma* b 5 3.44 cm.

-- cm;6g3.13

23041.3<4B

2<3+.-B+0+-3.14t ==

Esfuerzos Normales Má#imos! uesto que el momento m"ximo es positivo losesfuerzos de tensión se presentan por abajo del eje neutro.

(m"x. 5 -3B1.-3 6gm 5 -3B,1-3.44 6g.cm

-t cm;6g1B.<B4

41.3<4B

2B1B.=044.1-3,-3B==σ

24

1-.1B-

&jeDeutro

=.B1

B

-1.44 cm

3

+at1n

Alma

1-.1B-

&jeDeutro

=.B1B

-1.44 cm

3

+at1n

Alma

t

c



-cm;6g4.3:-41.3<4B

21B-.1-044.1-3,-3Bc ==σ

8in del problema.

roblema 11. #iseRar sección circular maciza para la viga de la gura 1<2. Suponerque la sección es de acero estructural @A<+ y por lo tanto los esfuerzos se limitan alos siguientes valores* 131B 6g;cm- a exión y 141- 6g;cm- a cortante.

Eeacciones en los soportes y diagramas de corte y de momentos.

2&

-4446g;m

13446g;m

4446g

4446g

<m

-m

-m

-m

-.3

A *8ig. 11

-4446g;m

13446g;m

4446g

4446g

=4<1.-3

14=1B.=3

+444

=1B.=3

=1B.=3

<-B1.-3

<=34.44

:44

4

<=.34

1B=3

+B=.34




<cmBB3.3:-44.131B

21440:444S ==

#i"metro de la sección. ara la sección circular el módulo de sección es*

<-

#US

<

=

cm-1.1BU

2BB3.3:-0<-# < ==

Re/isión por cortante!

-

--

.("x.(ax cm;6g=1=.<4

2-1.1B0U<

2+44401+

#U<

91+T ===

Se acepta el di"metro calculado ya que el esfuerzo cortante es menor que elesfuerzo permisible de141- Kg. ;cm-.

8in del problema.

26



(EFORMAC2ON EN 324AS

4ENERAL2(A(ES!

$a tendencia de una viga a curvarse, bajo la acción de las cargas, origina undesplazamiento perpendicular medido desde la posición inicial de su eje centroidal0eje no deformado2, %asta su el"stica o eje centroidal deformado. &stedesplazamiento se denomina ec%a y al "ngulo que se forma entre el eje nodeformado y una tangente a la curva el"stica se le llama rotación o pendiente. $asiguiente gura muestra esta situación.

2.

+

a 55

osición inicialno deformada

&je longitudinaldeformado o curvael"stica

8lec%a

endiente



&s importante conocer las deformaciones en distintos puntos de una estructura o deun elemento estructura, por la necesidad de cumplir con los desplazamientospermisibles establecidos por los códigos o reglamentos de diseRo y construcción.@dem"s, una ec%a excesiva es indicativo de falta de rigidez del elemento y causatambi/n inseguridad de los usuarios.

M6,O(OS +ARA EL C7LCULO (E (EFORMAC2ONES!

#entro de la amplia variedad de m/todos que nos permiten calcular losdesplazamientos, se pueden citar*

a. &l (/todo de la #oble ntegración.b. $os 7eoremas de >tto (o%r.c. (/todo de la 9iga Conjugada.d. $os 7eoremas de Castigliano.e. &l rincipio del trabajo virtual.f. (/todos (atriciales.

#e los + m/todos mencionados, se desarrollar"n los tres primeros. &l resto de losm/todos se estudian en la materia de @n"lisis &structural.

ME,O(O (E LA (O*LE 2N,E4RAC2ON!

&s uno de tantos m/todos que se basan en el an"lisis de las deformaciones, enparticular la de los soportes. &l m/todo consiste en integrar sucesivamente unaecuación denominada '&cuación #iferencial de la &l"stica) dada por la expresión*

x M dx

yd EI

2

2

& 5 (ódulo el"stico del material del que est" %ec%a la viga. 5 (omento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.(x 5 &cuación de momentos a lo largo de toda la barra.

@l integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen constantes que ser"necesario denir. &stas constantes se determinan en función de las condicionesde frontera, que generalmente las denen los tipos de apoyo o la simetra de lacarga. Eecordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tiene ec%a yun apoyo empotrado no tiene ni pendiente ni ec%a. &n un punto cualquiera dela viga, la pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a laizquierda o a la derec%a del punto.

roblema 1-. ara la viga en voladizo de la gura 142, calcule la pendiente y la ec%a

en el extremo libre. 7omar la rigidez & constante.

2*

3446g

3.44m@ !

Fi)!$0



&cuación de momentos y ecuación diferencial de la curva el"stica.

3x4344(x 88−=

x344dx

yd&

-

-

−=

ntegrando sucesivamente la ecuación diferencial* $a primera integral proporciona lapendiente y la segunda la ec%a.

.1.&cC

-

x344

dx

dy& 1

-

+−=

.-.&cCxC+

x344 I& -1

<

++−=

&n las ecuaciones 1 y -, la pendiente y la ec%a son cero en el extremo empotrado.# 8 &

C1 5 +,-34.44C- 5 A -4,B<<.<<<

$a pendiente en el extremo libre se obtiene en la &c. 12, para x 5 4.

&

44.+-34C

dx

dy@1 ===

$a ec%a en el extremo libre se obtiene en la &c. -2, para x5 3.

EI C y A

###%2$*##2 −=== δ

8in del problema.

roblema 1<. Calcular la ec%a y la pendiente al centro de la viga simple de la gura11. 7omar el módulo el"stico de 1, -44,444.44 Kg.;cm- y el momento de inercia de13,444.44 cm.

2+

3446g

-

+44 6g;m

B.44m@ !

8ig. 1<. 9igasimple.



&cuación de momentos y de la curva el"stica. reviamente se obtienen lasreacciones en los apoyos.

Bx4x<44x-44(x - ≤≤−=

--

-

x<44x-44dx

yd& −=


.1.&cCx144x1-44dx

dy& 1

<- +−=

.-.&cCxCx-3x44&I -1< ++−=

&n la &c. -2, la ec%a en los apoyos @ y ! es cero, esto es, cuando x 5 4 y cuando x5 B.

J 5 4 I 5 4C- 5 4

J 5 B I 5 4C15 A 1-,B44.44

endiente al centro. Se obtiene en la &c.12, para x 5 . &l valor resulta ser cerodebido a la simetra de la carga.

44.4Vdx

dy@ ==

Flec9a al centro. Se obtiene de la &c. -2, para x 5 .

cm===.1244.444,13044.444,-44,1

214044.444O<-

&C

44.444,<- I

+

centro −=−=−== D

#$

+44 6g;m

--44

-44



8in del problema.

roblema 1. Calcular la ec%a al centro de la viga de la gura 1. 7omar el móduloel"stico de -, 444,444 Kg. ;cm- y el momento de inercia de B444.44 cm.

&cuaciones de momento y de la curva el"stica.

3x4x1=34(x ≤≤=

x1=34dx

yd&

-

-

=


.1.&cC-

x1=34

dxdy& 1

-

−−−−+=

.-.&cCxC+

x1=34 I& -1

<

−−−++=

&n la &c. -2, cuando x 5 4, la ec%a es cero.

x 5 4y 5 4C- 5 4

&n la &c. 12, cuando x 5 3 la pendiente es cero debido a la simetra de la carga.

x 5 3dy;dx 5 4C1 5 A -1,B=3.44

Flec9a al centro del claro. Se obtiene de la &c. -2 para x 5 3.

#1

<3446g

3 m 3 m

8ig. 1. 9igasimple.

<344 6g

1=34 1=34x



+++.:1+,=-230-1B=3+

2301=34&I

<

−=−=

cm33.2B4440444,444,-

2140+++.:1+,=- I

+

=−=

8in del problema.

#2



,EOREMAS (E O,,O MO:R!

&s un m/todo semigr"co ideado por C%ristian >tto (o%r 01B<3A1:1B2 y querepresenta una alternativa importante para calcular pendientes y ec%as enpuntos especcos de una viga. &l procedimiento se conoce tambi/n como(/todo del ?rea de (omentos y consiste en establecer de manera

independiente la variación de la pendiente y de la ec%a en los puntos extremosde un intervalo cualquiera, generalmente denido por los apoyos. &n esteintervalo intervienen las "reas de los diagramas de momentos y el momento detales "reas. &s recomendable utilizar las "reas de los diagramas de momentospor partes ya que estos facilitan el c"lculo del "rea as como de su centro degravedad. &l m/todo consta de dos teoremas, a saber*

+rimer ,eorema de Mo9r! '$a variación o incremento de la pendiente 0θ@!2 entrelas tangentes trazadas a la el"stica en dos puntos cualquiera @ y ! es igual alproducto 1;& por el "rea del diagrama de momentos ectores entre estos dospuntos). &n la gura :2 se indica esta condición.

#onde*

Θ@! 5 Cambio de pendiente entre las tangentes a la curva el"stica.@@! 5 ?rea del diagrama de momentos entre @ y !.& 5 Eigidez a la exión.

##

P

4

A B

AB

V/#a con car#a cua*u/era.

Tan#ente 7or A B.

Camb/o 0e 7en0/ente 9AB.

M -/a#rama 0e momento

cua*u/era..

(/#. $:. V/#a /m7*e con car#a cua*u/era.

EI

Aθ

AB

AB



Se)undo ,eorema de Mo9r. '$a desviación de un punto cualquiera ! respecto dela tangente trazada a la el"stica en otro punto cualquiera @, en direcciónperpendicular al eje inicial de la viga, es igual al producto de 1;& por el momentorespecto de ! del "rea de la porción del diagrama de momentos entre los puntos@ y !). $a gura 142 muestra esta condición.

#onde*

δ!@ 5 #esplazamiento vertical en ! trazado perpendicularmente al eje originalde la viga %asta intersectar con la tangente por @.

@!@ 5 ?rea del diagrama de momentos entre los puntos ! y @.J 5 cg 5 Centro de gravedad del diagrama de momentos medidos desde !.

roblema 13. ara la viga en voladizo de la gura 132, Calcule la pendiente y la ec%aen el extremo libre.

7omar & constante.

#4

P

4

A B

V/#a con car#a cua*u/era.

M -/a#rama 0e momento cua*u/era centro

0e #rave0a0 re7ecto a* 7unto B.

(/#. 1:. V/#a /m7*e con car#a cua*u/era.

;BA

●cg

x

EI

XAδ

BA

BA

<446g

.44m@ !

8ig. 13. 9iga envoladizo



7razar el diagrama de momentos.

(m"x. 5 <4402 5 1-44

+endiente en A! uesto que en ! la viga est" empotrada, la pendiente es cero y altrazar una tangente a la curva el"stica por @, el cambio de dirección respecto a la%orizontal corresponde a la pendiente en @.$a ec%a m"xima se presenta tambi/n en @.

or el primer teorema de (o%r*

&

momentdediagramadel@rea@nendientee =

&

-4

&-

201-44V @ ==

Flec9a má#ima. Calcular el momento del "rea del diagrama de momentos respectoal punto @, esto es,multiplicar el "rea del diagrama por la distancia al centro de gravedad medidodesde @.

&

+4

<

20-

&-

201-44.m"xW =

=

8in del problema.

roblema 1+. ara la viga simple de la gura 1+2, calcular la pendiente y la ec%a enel extremo libre. 7omar & constante.

#&

<446g

1-44

Dm"x.

@

.44m@ !

8ig. 1+. 9iga envoladizo

-44 6g;m



7razar el diagrama de momentos. &n este caso corresponde a un diagrama curvo desegundo grado.

(m"x. 5 -4402- 5 1+44 6g.m

ara una curva de 'n) grado el "rea y el centro de gravedad se calculan de la

siguiente manera.

?rea de la sección.

1n

$(@

+=

Centro de gravedad.

-n

$C

+=

ara el problema en cuestión la curva del diagrama es de grado -. 0n 5 -2.

1+4<

201-44@ ==

La pendiente en ;A< es entonces!

&

1+4V @ =

&l momento del "rea del diagrama de momentos respecto al punto '@) es por tanto.

#6

-44 6g;m

1+44

(

c

$



44.B44

1+44( =

−=

$a distancia que multiplica al "rea de 1+44 est" medida desde @, esto es*

2

02

--

$$0d −=

+−=

La "ec9a en ;A< es por tanto=

&

44.B44W@ =

8in del problema.

roblema 1=. Calcular la pendiente en los apoyos y la ec%a m"xima para la viga dela gura 1=. 7omar & constante.

#iagrama de momentos.

(m"x. 5 -340<2 5 =34 Kg.m

+endiente en ;A<! #ebido a la simetra de la carga la pendiente al centro es cero.$a pendiente en '@) es entonces el "rea del tri"ngulo de base < m. 0?rea situada a laizquierda del centro2.

&C

44.11-3

&C-

2<0=34V @ ==

#.

3446g

< m < m

A *

8ig. 1=. 9igasimple

3446g

=34

-34-34



Flec9a al centro, es el valor m"ximo debido a que la pendiente es cero. rimero seobtiene el desplazamiento vertical en '!). Se traza una tangente a la curva el"sticapor '@) prolong"ndola %asta que intersecte con una vertical por '!) bajadaperpendicular al eje de la viga.

D! 5 (ultiplicar el "rea total del diagrama de momentos y multiplicar por la distancia

al cent3o de gravedad medido desde el punto '!).

[ ]&C

44.+=34<

&C-

2+0=34W ! ==

Con el valor calculado de ' !W ) se obtiene el desplazamiento vertical al centrousando tri"ngulos semejantes.

&C

<<=

&C+

2<0+=344 ==D

Se obtiene a%ora el desplazamiento vertical ' 1W ) medido de la curva el"stica %astala tangente por '@).

#*

344

6g

-34-34

+.44 m

D!

@

3446g

-34-34

<

D!

@

<

;o

3446g

-34-34

<

D!

@

<

;$



1W 5 @l momento del "rea triangular situada a la izquierda del centro. &ste valor se

obtiene multiplicando tal "rea por el centro de gravedad del tri"ngulo medido desdeel centro de la viga.

&

11-

<

<

&-

2<0=34W1 =

=

Flec9a má#ima 5uscada. &s el desplazamiento vertical medido desde el eje%orizontal de la viga %asta la curva el"stica. Se obtiene por diferencia entre ' 4W ) y '

1W

&

44.--342&

11-3

&

<<=30.m"xW =−=

$a pendiente en '@) tambi/n se obtiene dividiendo D! entre la longitud.

&

44.11-3

&+

44.+=34

$

WV !@ ===

8in del problema.

roblema 1B. Calcular la pendiente en los extremos para la viga simple de la gura1B.

(ia)rama de momentos. Se utilizar" el diagrama de momentos por partes. &stediagrama se traza soltando el extremo izquierdo, se empotra el extremo de laderec%a y se calculan los momentos de la reacción en '@) y de la carga triangularactuando separadamente.

#+

1-446g;m

+.44m

8igura 1B.@ !

1-44

=-44

=-44

=-44

=-44

Curva detercergrado

+.44

+.44

#iagramas de momentos por

partes.



endiente en el extremo izquierdo. rimero se obtiene el desplazamiento vertical en'!) y luego se divide entre la longitud.

&l desplazamiento en '!) se obtiene %aciendo momentos en '!) para las "reas de losdiagramas de momentos. $as "reas arriba de la lnea %orizontal se toman positivas.

44.-4,<43+

2+0=-44

<+

-2+0=-44W& ! =

−

=

La pendiente en ;A< es=

&

44.344

&+

44.-4,<4

$

WV !@ ===

&

44.344V @ =

$a pendiente en '!) se obtiene dividiendo el desplazamiento vertical en '@) entre lalongitud. &l desplazamiento vertical en '@) se obtiene %aciendo momentos en '@)para las "reas de los diagramas de momentos.

44.3+4,<3

2+0

2+0=-44

<

2+0-

-

2+0=-44& @ =

−

=D

&C

44.3=+4

&C+

44.3+4,<V! ==

&

44.3=+4V ! =

8in del problema.

4$

!W

@



roblema 1:. Calcular las pendientes en los extremos y la ec%a m"xima para laviga simple de la gura 1:2. Se le aplica una carga uniformemente repartida en unalongitud $.

#iagrama de momentos por partes.

+endiente en ;A<! Calcular primero el desplazamiento vertical en '!).

&-

X$

&1-

X$

$

&-

2$0X$

<

1

<

$

&-

2$0$X

-

1(

--

!! −=

−

=∑=D

&C-

X$

! =D

&$-

X$

$

!

@ ==

D

&-

X$V

<

@ = >>>> or simetra la pendiente en '!) es igual.

>tra forma de obtener las pendientes. 7razar el diagrama de momentos real, estecorresponde a una curva parabólica de segundo grado.

41

$

XA6g;m

A *Fi)!$?!

XA6g;m

X$;- X$;-

X$-;-

X$-;-

$

M

A

!W@V

$



$a pendiente en '@) es igual al "rea @1.

&-

X$

-

$

&B

X$

<

-@V

<-

1@ =

==

&-

X$V

<

@ =

Flec9a má#ima. rimero debe obtenerse el desplazamiento D! sumando momentosen ! para el "rea total del diagrama y luego el desplazamiento Do , por tri"ngulossemejantes. osteriormente se obtiene el desplazamiento vertical D1 del eje%orizontal a la curva el"stica.

&-

X$

-

$

&-

X$-

-

$@-W

<

1! =

=

=

&B

X$

-

WoW

b ==

#esplazamiento del eje %orizontal a la curva el"stica* D1. Se %acen momentos alcentro de la viga para el "rea @1. &l centroide de esta "rea es <;B de $;- a partir delcentro de la viga.

42

!W@V

$

X$-;B

$;- $;-

@1

;o

!W@V

$

X$-

;B

$;- $;-

@1

;1



2@decentroide0@W 111 =

&<B

X$<

-

$

B

<

&-

X$W

<

1

=

=

&C<B

X$<

&CB

X$2WoW0.m"xW

1 −=−=

&C<B

X$3.m"xW

=

8in del problema.

roblema -4. Calcular la ec%a en el extremo libre 'C) y la pendiente al centro delclaro '@!) para la viga de la gura -42. 7omar & constante.

Eeacciones verticales en @ y !

49B44.-44421101344( !@ =−−=∑

9@ 5 1B1-.34 Kg.9! 5 A <1-.34 Kg.

#iagrama de momentos.

4#

< 3 m <

@ ! C

1344 '(%

-444Kg.m

8ig. -4.

1344 '(%

-444Kg.m

<1-.34

1B1-.34

:<=.34-:<=.34 344.4

4

<.4

4

<.4

4

3.4

4

3<=.34

-444.4<<=.34

#iagramareal.

#iagrama porpartes.

-344



(ia)rama de desplazamientos. Se supone la curva el"stica y se traza unatangente por @, %asta intersectar con una vertical por C.

#esplazamiento en 'C). Se van a utilizar los diagramas por partes. 0Son menos "reasque las reales2.

++.1++,1-32B0-444<11

-211034.<<=

<<

-2<034.3<=c& −=−

−

=D

#esplazamiento en '!). Se toman las "reas a l izquierda de este punto.

++.+++,3134.-230-444<

B

-

2B0-344& ! =+

=D

&l desplazamiento Do se obtiene por tri"ngulos semejantes.

&C

+++.41,=1

&CB

2110++.+++,31o ==D

La "ec9a 5uscada en ;C< es=

&

44.1-3,3

&

+++.=141

&

+++.1++,1-32oc0c =−=−= DDDr

44

;

cD

!

B.44

<.44

@

D4

Drc

1344 '(%

-444Kg.m

<1-.34

1B1-.34

:<=.34-:<=.34 344.4

4

<.4

4

<.4

4

3.4

4

3<=.34

-444.4<<=.34

#iagramareal.

#iagrama porpartes.

-344



&

44.1-3,3rc =D

+endiente en el e#tremo ;A<!

&

<<.+3B

&B

+++.31+++

B!

@ === D

endiente al centro de @!. Se obtiene por diferencia entre la pendiente en '@) y elcambio de pendiente al centro de @!. &ste Qltimo equivale al "rea situada a laizquierda del centro de @!.

&C

44.344210-444

&C-

201-34@! =+=C

La pendiente 5uscada es=

&

<<.1:3B

&

344

&

<<<.+3B−=−=

8in del problema.

4&

1344

'(%-444Kg.m

<1-.3

4

1B1-.3

4

<.44

<.44

3.44

3<=.34

-444.44

<<=.34

#iagrama porpartes.

.44

1-34



ME,O(O (E LA 324A CON@U4A(A!

Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas demomentos de las cargas reales dadas. $a gura de abajo muestra un ejemplo deeste tipo de vigas.

Eelaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a.A $a longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.b.A $a carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.c.A $a fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real.d.A&l momento exionante en un punto de la viga conjugada es la ec%a en el mismo punto de la viga real.e.AGn apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.f.A Gn apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada.g.A Gn extremo libre 0voladizo2 real equivale a un empotramiento conjugado.%.A Gn apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o rticulación en la viga conjugada.

RELAC2ONES EN,RE LOS A+OOS!

46

a b

P

a b

L

ba PMmáx

V/#a <ea* V/#a Conju#a0a



9F@ E&@$ 9F@ C>DYGF@#@ D>[email protected] @poyo simple 1.A @poyo simple Gn apoyo simple real no tiene

ec%a pero si tiene pendientey por tanto el conjugado notiene momento pero si tienecortanteO equivale a un apoyo

simple.-.A @poyo empotrado. -.A Sin apoyo* libre. Gn apoyo empotrado no tieneec%a ni pendiente y por tanto,el conjugado no tienemomento ni cortanteO equivalea un voladizo.

<.A9oladizo. <.A @poyo empotrado. &l extremos libre tiene pendiente yec%a y por tanto el conjugadotiene cortante y momentoOequivale a un empotramiento.

.A @poyo interior. .A @poyo articulado opasador.

Gn apoyo interior tiene pendientepero no tiene ec%a y por

tanto tiene cortante pero notiene momentoO equivale a unaarticulación.

roblema -1. ara la viga de la gura -12, calcule la pendiente y la ec%a en elextremo libre. 7omar & constante.

(ia)rama de momentos!

3i)a conBu)ada! #e acuerdo a la relación entre los apoyos la viga queda empotradaN apoyada, cargada con el diagrama de momentos de la viga real.

4.

●

<446g

.44m@ !

8ig. -1. 9iga envoladizo

1-44

<446g

.44

m@ !



+endiente en A. &s la reacción vertical de la viga conjugada dividida entre &.

&

-4V @ =

Flec9a en A. &s el momento en '@) de la viga conjugada dividido entre &.

&

+4W @ =

roblema --. Calcular la pendiente en los apoyos y la ec%a m"xima para la viga dela gura 1=. 7omar & constante.

3i)a conBu)ada! $os soportes son los mismos que la viga real y se carga Con eldiagrama de momentos.

Eeacciones en la viga conjugada.

4*

1-44-4

4

+44

3446g

< m < m

A *

8ig. --. 9igasimple

=34

6g;m

< m < m

A *



.6g44.11-3-

2<0=3499 !@ ===

+endiente en ;A<! &s la fuerza cortante en '@) de la viga conjugada dividida entre&. or simetra las pendientes en los extremos son iguales.

&

44.11-3VV !@ ==

Flec9a má#ima. &s el momento exionante al centro de la viga conjugada.

44.--34<

<

-

2<0=342<044.11-3( =

−=

&

44.--34.m"xW =

roblema -<. Calcular la ec%a en el extremo libre 'C) y la pendiente al centro delclaro '@!) para la viga de la gura -<2. 7omar & constante.

&ste problema fue resuelto en el tema anterior y ya se tiene el diagrama demomentos. $a viga conjugada queda empotrada en el extremo derec%o y unaarticulación en el apoyo interior !.

4+

< 3 m <

@ ! C

1344

'(%-444Kg.m

8ig. -<.

1344

'(%-444Kg.m

<1-.34

1B1-.34

<.44

<.44

3.44

3<=.34

-444.4

4

<<=.34

Carga en lavigaconjugada.

-344

9igaconjugada.

9@

9C

(C

>

>

.44

1-34



Considerar las "reas positivas como cargas dirigidas %acia arriba y las negativas%acia abajo.

Fuerza cortante en ;A<! Se obtiene sumando momentos a la izquierda de laarticulación.

434.-230-444<

B

-

2B0-3449B( @! =−

−=∑

9@ 5 +3B.<<<

Momento en ;C<! Sumar momentos en 'C) para el "rea total del diagrama.

;44.1-3,3<

<

-

2<034.3<=2B0-444

<

11

-

211034.<<=2<<<.+3B011(c −=

+−

−=

Flec9a en ;C<! &s el momento (c, dividido entre &.

&

44.1-3,3cW =

+endiente al centro de A*. &quivale a la fuerza cortante al centro, dividida entre&.

&;<<.1:3B&

210-444-

201-34&<<.+3B =−−=

&

<<.1:3BV =

8in del problema.

ESFUERZOS (EFORMAC2ONES +ERM2S2*LES

Se denomina esfuerzo permisible o de trabajo, al esfuerzo que se toma como unafracción de la resistencia m"xima, en algunos casos, o como una fracción del

esfuerzo de uencia en otros. &sto depende del material que se emplee para eldiseRo de la sección transversal del elemento en cuestión. or ejemplo, para elconcreto %idr"ulico el esfuerzo de trabajo a la compresión se toma como el 3Z desu resistencia m"xima a la compresión, mientras que para el acero de refuerzo setoma como el 34Z de su lmite de uencia. $a tabla siguiente proporciona estosesfuerzos para algunos materiales de uso comQn en ingeniera.

Material Esfuerzo Dltimo ode "uencia!

Esfuerzo detra5aBo en el

,ipo de esfuerzo

&$



diseo elástico!Concreto %idr"ulico cf ′ cf .fc ′= 4&$ Compresión

@cero de refuerzo 8y fs 5 4.34 8y 7ensión@cero estructural 8y 8a 5 4.+4 8y

8v 5 4.4 8y8lexiónCortante

$as deformaciones permisibles en elementos sujetos a exión son los valoresm"ximos permitidos para considerar que la sección transversal de estos elementoses adecuada, esto es, si son sucientemente resistentes para evitar deexionesexcesivas que pongan en riesgo la seguridad de los usuarios y del propio elemento.@lgunas normas para el control de deexiones son las siguientes*

1.A $ey de &dicaciones para el &stado de !aja California.

cm34.4M-4

$5pD

-.A nstituto @mericano del Concreto.

• @zoteas planas que no soporten ni est/n ligadas a elementos no estructuralessusceptibles de sufrir daRos por grandes deexiones.

1B4

$5pD

• &ntrepisos que no soporten ni est/n ligados a elementos no estructuralessusceptibles de sufrir daRos por grandes deexiones.

<+4

$5pD

• Sistemas de entrepiso o azotea que soporte o est/ ligado a elementos noestructurales susceptibles de sufrir daRos por grandes deexiones.

B4

$5pD

• Sistemas de entrepiso o azotea que soporte o est/ ligado a elementos noestructurales no susceptibles de sufrir daRos por grandes deexiones.

-4

$5pD

&n todos los casos '$) es la longitud del elemento o distancia entre soportes,expresada en centmetros.roblema -. $a viga de la gura -2, es un elemento de entrepiso sin liga aelementos no estructurales. Si la sección transversal es de 13x<3 cm, verique si eltamaRo es adecuado para trabajar a exión. Suponer que el elemento es deconcreto simple con resistencia a la compresión de -44 Kg. ;cm-.

&1

#$$$ '(/cm2

6%$$ m

8ig. -.A 9iga simple simpAe



bx% 5 13x<3 cm-6g;cm-44cf =′

& 5 -1<,3+.44 6g;cm-

(omento m"ximo.

cm.6g.,20[$

.(m"x $$&$$1#*

6#$$$

*

22

===

Esfuerzos "e#ionantes de5idos a la car)a aplicada!

C.(m"xP =

cm.%

C &$1.2

#&

2===

4##

.&&+#&#12

#&1&

12cm.,

20%b ===

2*244$

.&&+#&#

&$1.1$$$$&$$1#cm;6g.

.,

2.020.,P ==

Esfuerzos "e#ionantes permisi5les a compresión!

2+$2$$4&$ cm;6g20.fc ==

&l esfuerzo permisible es menor que el esfuerzo calculado* S&CC>D D> @#&CG@#@.Se requiere aumentar el tamaRo de la sección transversal.

Re/isión por "ec9a! Se calcula la ec%a m"xima al centro del claro.

c.2.,02,0

202020&$X.m"xW 424

.&&+#&#&4621##*41$6#$$$&

#*4&

644

===

Flec9a permisi5le!

c.$

W p 6.1#6$

6$$

#6$===

&2



$a ec%a calculada es mayor al valor permisible la 9F@ D> &S @#&CG@#@.

roblema -3. #iseRar una sección rectangular en madera de tal modo que losesfuerzos permisibles a exión y cortante no sean mayores de +4 Kg.;cm - y 13Kg.;cm-, respectivamente. Calcular la ec%a al centro del claro @! y en el extremo

libre C. 7omar el módulo el"stico de la madera de 114,444.44 Kg. ;cm

-

. Suponer quees viga de entrepiso sin liga a elementos no estructurales. $a gura -32 indicacargas y soportes.

(omentos, reacciones y diagramas.

(iseo por "e#ión!

(ódulo de sección mec"nico.

#$$&$$1.

$$6$

1$$$$&$$1$cm.,

.

20.,

P

.(m"xS ===

(ódulo de sección geom/trico para sección rectangular.

&#

1&$$ >(%/m 1$$$ '(%

1$&$$

6$62%&$6+#.%&$

4%62& #%#.& #%$$

6+#.%&$

&$62%&$

1$$$

1$&$$

#$$$

&&42%+.

1&$$ >(%/m 1$$$ '(%

* m

0 C

# m

3i(% 2&)



6

2%bS =

b

2.,0

b

S%

$$&$$1.66==

Se proponen valores a 'b) para obtener '%).

b 5 <4.44 cm% 5 3:.1+ cm

Eevisar la sección propuesta por esfuerzo cortante.

2*6&

16&+#$2

&$6+#.#

2

#cm;6g.

2.020

2.0

%b

9m"xfv ===

&l esfuerzo calculado es menor que el esfuerzo dado de 13 Kg.;cm- . Se acepta lasección.

Re/isión por "ec9a.

*$1$&$$.&$&$6+#. 2 ≤≤−−= xxx.(x

Se escribe en t/rminos de la ecuación diferencial y se integra.

1$&$$.&$&$6+#. 2

2

2

−= xx.dx

yd&

11$&$$#

.&$

2

&$6+#.1

#2

.&cCxxx.

dx

dy& −−−−−+−−=

22

1$&$$

12

.&$

6

&$6+#.

21

24#

.&cCxC

xxx.

I& −−−−−++−−=

&n ecuaciones 12 y -2, la pendiente y la ec%a en el empotramiento son cero.

x 5 4C1 5 C- 5 4

&4

1&$$ >(%/m 1$$$ '(%

1$&$$

6$62%&$6+#.%&$-



Flec9a en A*!

$a ec%a al centro del claro @! se obtiene en la ecuación -2 para x 5 m.

&

., I

$$$$$26−=

(omento de nercia.

4#

$46#6&1.12

16&+#$cm.,

2.0 ==

cm.2.,0.,

20., I 4&6$

$46#6&1.$$$$$11$

1$$$$$$26 6

==

Flec9a permisi5le!

Flec9a en el e#tremo li5re! Se plantean ecuaciones de momento en el resto de laviga, es decir despu/s del apoyo !, y se le integra.

11$$$1$$$2

2

−= xdx

yd&

#11$$$&$$ #2 .&cCxx

dx

dy&−−−−−+−=

42

11$$$

#

&$$4#

2#

.&cCxCxx

I& −−−−−++−=

Comparando &c. 12 y <2, en x 5 B, la pendiente es la misma.

#2

#2

*11$$$*&$$*1$&$$

#

*.&$

2

*&$6+#.C202020

2020.+−=−−

C< 5 ++,444.44

Comparando &c. -2 con &c. 2 en x 5 B, la ec%a es la misma.

&&

11*1$&$$*&$6$624*1&$$&$6+#. ≤≤−−+−−= x2x0.2x020x.(x

4#

2#24#

*2

*11$$$

#

*&$$

2

*1$&$$

12

*.&$

6

*&$6+#.CC

2020202020.++−=−−

cm.$

p 222#6$

*$$

#6$D ===



*C< M C 5 -++,+++.+++=C 5 A-+1,<<<.<<<

$a ec%a en el extremo libre se obtiene en la &c. 2 para x511.

cm..,0.,

20., Ic #6*$

$46#6&1.$$$$$11$

1$$$$$$21 6

==

&n ambos casos la ec%a permisible es mayor que la ec%a calculada. Se @cepta lasección propuesta.

8in del problema.

roblema -+. Calcular el tamaRo de la sección transversal de la viga en voladizo de lagura -+2. Suponer que la ec%a en el extremo libre es de 1.34 cm y módulo el"sticode 1, -44,444.44 Kg. ;cm-.

ara este tipo de viga la ec%a en el extremo libre es*

&C

$W

#

#

=

#eterminar el momento de inercia.

4##

1..2+#&$$1$$$2$$1#

#&$#$$$

#cm.,

2.02,,0

20

W&

$C === AAAAAAA $a longitud $ se

expresa en centmetros.

Suponiendo sección cuadrada.

1212

4#%%b

== AAAAAAA b 5 %

cm.2.,02C0% &*2&1..2+#&1212 44 ===

Sección trans/ersal*

&6

#$$$ '(

#%&$ m

1%&$ cm

3i(%26)% 5i(; en oA;i?o



bx% 5 0-+x-+2 cm

8in del problema.

roblema -=. $a viga de la gura -=2 tiene una sección transversal de 13x<4 cm.

Calcular el valor de la carga si el esfuerzo permisible a exión es de 144 Kg. ;cm

-

yla ec%a en el centro no debe ser mayor de $;<+4. 7omar & 5 144,444.44 Kg. ;cm-. $aviga tiene ambos extremos empotrados.

&l momento m"ximo para esta viga ocurre en el extremo de la izquierda.

#6

#21$*$

.(m"x +=

Esfuerzo "e#ionante!

2C0(m"xP =

cm%

C 1&2

#$

2===

4##

$$.&$##12

#$1&

12cm.,

20%b ===

&.

-.44 .44m

+<+4 6g;m

8ig. -=2. 9igaempotrada

-.44 .44m

+

+.44m

<+4 6g;m14B4

14B4

<-;<+ 1+;<+

=

(i 5 (d 5

(i 5 ab-;$-

(d 5 a-b;$-

5



.&$##

1&1$$#6

#21$*$

1$$,

202

0 +=

+ 8 $.$G!0& H)!

Re/isión por "ec9a! ara este tipo de viga la ec%a al centro es*

[ ]b$&C

b

&C

$XW 4#

4*#*4

24

−+=

b 5 44 cm

[ ]20202,02,0

20

2,02,0

20.4$$46$$#

.&$##$$$1$$4*

4$$

.&$##$$$1$$#*4

6$$6$#

#6$

6$$ 24

−+=

1.+++++ 5 4.<+ M 4.4441:=3<4B+-

+ 8 GG$&!'' I)!

Carga m"xima. $a carga m"xima que puede aplicarse es la que cumple con lascondiciones de esfuerzo y ec%a, esto es, la menor de las calculadas.

Má#! 8 $.$G!0& I)!

8in del problema.

roblema -B. ara la viga simple de doble voladizo de la gura -B2, calcular lo

siguiente*12. $as reacciones verticales en los apoyos.-2. $os momentos exionantes.<2. &l diagrama de fuerzas cortantes.2. &l diagrama de momentos exionantes.32. &l tamaRo de la sección transversal. #iseRar sección rectangular de modo que sesatisfagan los siguientes esfuerzos* =4 6g;cmL, en exión y B.44 6g;cmL, a cortante.+2. 9ericar el esfuerzo exionante m"ximo.=2. 9ericar el esfuerzo cortante m"ximo.

&*

0

1&$$ '(/m 4$$ '(&$$ '(

2%$$ m *%$$ m 2%&$ m

8ig. -B. 9iga con doblevolado.



Sección 7ransversal* Eectangular 'bx%).ara diseRar considerar* % 5 -b

Solución=

Cálculo de reacciones momentos!

( ) ( ) ( ) 49B-344A34.1444B1344( !@ =−+=

.6g44.+449! =

42B01344:44+4499 @ =+=

.6g44.+3449@ =

m.6g44.14442-0344( @ ==

m.6g44.1444234.-044( ! ==

#@FE@(@S #& 8G&EH@ C>E7@D7& I (>(&D7> 8$&J>D@D7&.

&+

b

%

0

1&$$ '(/m 4$$ '(&$$ '(

2%$$ m *%$$ m 2%&$ m

VA

VB

344

6g.

+444

+444

44

14446g.m

1444

11444

8uerzacortante.

(omentoexionante%

!. m



(omento m"ximo.(m"x. 5 11,444.44 Kg.m 5 1, 144,444.44 Kg.m

(ódulo de sección.

#cm2*6%.141&=

$$%.$

$$%$$$1$$1="

ara sección rectangular.

6

h b

="

2

ara % 5 -b

6

b4="

#

( )Fcm6.%2*=

4

2*6%.141&6=

4

"6= b ##

roponer* b 5 1-) 5 <4.B cm

( )cm62%&&=

4*%#$

2*6%.141&6=h

Sección transversal que se propone*

bx% 5 0 1- x -- 2) 5 0 <4.B x 33.BB 2 cm.

(omento de nercia y centroide.

( )4

#

cm22%2$#44#=12

**%&&4*%#$=!

6$



C 5 %;- 5 33.BB ; - 5 -=.: cm.

Esfuerzos normales o "e#ionantes!

uesto que el eje neutro coincide con el centro geom/trico de la sección, losesfuerzos de tensión y compresión, son iguales.

.!C&D44.=4Lcm;6g<.+:--.-4<,<

2:.-=044.444,144,1c 7 σσ ≤===

Esfuerzos Cortantes!

8uerza cortante m"xima* 9m"x. 5 +444.44 6g.

61

-=.:cm

-=.:cm

f v.máx.

<4.Bcm

Eje neutro.

-=.:cm

-=.:cm

7ensión.

Eje neutro

Compresión

σc

σt



( ) .!C&D44.BLcm;6g-B.3

BB.33B.<4

+444

-

<

%b

9

-

<f .m"x

.m"x.v ≤=

=

=

8in del problema.

+RO*LEMAS 3AR2OS

roblema -:. $a viga de madera de la gura -:2, tiene una sección transversal de14x<4 cm y soporta las cargas indicadas. Si el esfuerzo normal m"ximo es de BKg.;cm-, para qu/ valor m"ximo de la carga '[) se anula la fuerza cortante bajo lacarga ') y cu"l es el valor de ').

$a reacción en el extremo izquierdo '9@) se obtiene sumando momentos en !, estoes*

432140[3.-914( @! =−−=∑

9@ 5 4.-3 M 3[

ara que la fuerza cortante bajo la carga , sea cero, debemos restar a la reacción 9@ la porción de carga uniforme a la distancia de =.34 m.

62

>e ace7ta bx? @ 12 x 22 :

-.342.

m

2

.

m

[A6g;m2. m

8ig.-:

A *



9x 5 4.-3 M 3[ N =.3[ 5 4

+ 8 $' J >>>>>>>>>>>>>>>> Ec! $K!

Módulo de sección!

<--

cm44.1344+2<4014

+%bS ===

Momento má#imo!

(m"x. 5 S σ 5 13440 B2 5 1-+,444.44 6g.cm 5 1-+4.44 6g.m

&l momento es m"ximo en el punto donde la fuerza cortante es cero.

(m"x. 5 9@ 0=.342 A [ 0=.342 0<.=32 5 04.-3 M 3[2 =.34 A -B.1-3[(m"x. 5 1.B=3 M :.<=3[ 5 1.B=3014[2 M :.<=3[ 5 -B.1-3[ AAAAAAA Se sustituye&c. 12.(m"x. 5 -B.1-3[

1-+4.4 5 -B.1-3[

J 8 !' H)m+ 8 !'' H)!

8in del problema!

roblema <4. $a viga de eje semicircular de la gura <42, tiene sección circular de <cm de di"metro y soporta las cargas que se indican. Calcular el esfuerzo normal alcentro del claro.

Eeacciones en los soportes. rimero se sustituyen las cargas por sus componentes%orizontal y vertical y se localiza su posición respecto a los soportes.

6#

-44 Kg.

144 Kg.

+4 cm +4 cm

8ig. <4

6$$ #$$

1=<.-4

B+.+4

+4 cm +4 cm

144 34

<4

<431.:+

B.4

91 9-

\-

<4 31.:+



$as posiciones vertical y %orizontal de las componentes se obtienen por geometra.

I 5 +4 Sen. +4o 5 31.:+ cmJ 5 +4 Cos. +4o 5 <4.44 cm

Reacción /ertical 3$! Sumar momentos en el soporte de la derec%a.

G(- = 1-491 M 144031.:+2 A 1=<.-4 0:4.442 N 340+4 N 31.:+2 N B+.+4 0<42 5 491 5 111.+4 Kg.

Momento al centro del claro! Sumar momentos de las cargas a la izquierda delcentro.

( 5 111.+4 0+42 A 1440B.42 N 1=<.-4 0<42 5 +:+.44 Kg.m

Módulo de sección!

<<

cm+3.-<-

2<0US ==

El esfuerzo normal es=

-cm;.Kg+.-+-+3.-44.+:+P ==

8in del problema.

roblema <1. $a viga de la gura <12, tiene la sección transversal que se indica.Calcule el valor de la carga , para que el esfuerzo normal m"ximo sea de 144Kg.;cm-.

64

+4

x

y+4o

<.44m

1.44

344Kg.;m

8ig.<1

3 3

3

3

-4

14

Sección. (edidas encm



Momento de inercia de la sección! #ebido a la simetra el eje neutro queda alcentro de la sección, es decir* d 5 13 cm

<<

cm<<.<<<,<B1-

2-4014 ]

1-

2<40-4 ==

El momento má#imo es=

m.Kg33.333,-cm.Kg33.333,-3313

2<<.<<<,<B0144

d

P.(m"x ====

Si el momento es m"ximo en el punto de aplicación de la carga puntual, cuando x 5<, entonces la ecuación de momentos en ese punto se escribe en función de lareacción 91.

(x 5 91 x A 3440<201.342-333.33 5 910<2 A --34.4491 5 1+41.B3 Kg.

@l sumar momentos en el extremo derec%o se obtiene el valor de la carga .

G(- 5 1+41.B3 02 A 344020-2 A 012 5 4

+ 8 0'%!' I)!

8in del problema.

roblema <-. Seleccionar una viga de acero 'erl ), que sea adecuado parasoportar la carga que se indica en la gura <-2. Suponer acero @A<+ con limite deuencia de -3<4 Kg.;cm- .

6&

<.44m

1.44

344

Kg.;m9

1

-

-344Kg.

.44m

-.44m

8ig.<-



Reacciones momento má#imo!

Módulo de sección! Gna vez que se conoce el módulo de sección debe disponersede un (anual de Construcción en @cero. &stos manuales contienen información delos perles de acero de uso comQn en ingeniera civil. Gno de tantos manuales queexisten es el que publica &l nstituto (exicano de la Construcción en @cero, @. C.

8a .(m"xSx =

(m"x. 5 <<<,<<.44 Kg.cm8a 5 4.+4 0-3<42 5 131B.44 Kg.;cm- . &s el esfuerzo de trabajo o de diseRo que seusa en el diseRo

el"stico.

<cm3B.-1:44.131B

44.<<,<<<Sx ==

&n el (anual se busca un valor ligeramente mayor porque en el c"lculo del momentom"ximo no est" incluido el peso propio de la viga. Gna vez que se conoce el peso se

calcula el momento adicional y se agrega al valor ya conocido. Con este nuevomomento se revisa la sección propuesta.

Sx 5 -= cm<. &s el valor tabulado en la p"gina 3: del manual. ara este valor seobtienen las siguientes propiedades*

+erl= 2R>G#0&

X 5 -3 libras;pie 5 <=.-4 Kg. ;mx 5 ---<.44 cm

d 5 1+.-4 cmb 5 13.4 cmt[ 5 4.B1 cm

tf 5 1.1+ cm

Con el peso propio y con la carga aplicada se calcula el momento m"ximo.

66

-344Kg.

B<<.<

<

1+++.+

=<<<<.<

x

y

d

b

t[

tf

-344Kg.

.44m

-.44m

<=.-4Kg.;m

-344Kg.

B<<.<

<

1+++.+

=<<<<.<

<=.-4Kg.;m

111.+4

111.+4

<.44 <.44

1+=.4



(omento al centro del claro.

( 5 1+=.4 M B<<.<< 0<2 5 -,++=.<: Kg.m

(omento en el punto de la carga concentrada.

( 5 <<<<.< M 111.+4 02 A <=.-4 02- 5 <,B-.1 Kg.m

(m"x. 5 <B,-1.44 Kg.cm


<cm<B.--:44.131B

44.-1,<BSx == H -=.44 AAAAA Se acepta el perl propuesto.

Re/isión por cortante!

&sfuerzo permisible=

8v 5 4.4 0-3<42 5 141-.44 Kg. ;cm-

&sfuerzo m"ximo.

-

[.m"x cm;.Kg3-.1<3

2B1.40-4.1+

+4.111+=.1+++

dt

.9m"xt =

+== H 141-AAAA Se acepta la

sección.

8in del problema.

6.



roblema <<. $a viga simplemente apoyada de la gura <<2, soporta una cargauniforme. #eterminar el anc%o 'b) de la sección transversal de modo que sealcancen los esfuerzos normales de <34 Kg. ;cm- en tensión y de B4 Kg. ;cm- encompresión. Cu"l es el valor de la carga uniforme que puede aplicarse.

-

c

- 7

cm;.KgB4P

cm;.Kg<34P

=

=

$a exión de la viga produce tensiones en las bras inferiores, por tanto, el diagramade esfuerzos tiene la siguiente forma.

Eelación de esfuerzos. #el diagrama de esfuerzos se pueden relacionar estos usandotri"ngulos semejantes.

1

7

-

CdP

dP =

--

C

- 71 d1+++.4

B4

d<34

P

2d0Pd ===

#e la sección se tiene*

d1 M d- 5 14.1+++ d- M d- 5 1

d- 5 :.BB- cm

d1 5 .11B cm

$a posición del eje neutro desde el borde inferior 0d12 se obtiene por suma demomentos para el "rea total de la sección '7).

2-01-b-

B2-01-210b-d1

+

+=

.11B0-b M -2 5 -b M 1:-

6*

.44m

X 6g;m

8ig.<<

b

1-cm

-

-

b

b

1-cm

-

-

σ 7

σc

d1

d-

Eje neutro



5 8 $!? cm

3alor de la car)a uniforme! &l valor del momento m"ximo ocurre al centro delclaro y se calcula con la expresión*

[-B[1+

B$[(-

===

(omento de inercia de la sección. Se tomar" como lnea de referencia el eje neutro.

-<<<

cm1<.:34211B.<02-0:.11-

2-0:.1

<

211B.-0-

<

2BB-.:0-C =+++=

&sfuerzo en tensión.

1<.:34

211B.0(<34=

( 5 B4,=3.1< Kg.cm

&sfuerzo en compresión.

1<.:34

2BB-.:0(B4=

( 5 B4,=+<.:< Kg.cm

2ntensidad de la car)a ;J). Se obtiene para el menor de los momentos

calculados. &l momento m"s grande sobrepasa el esfuerzo de tensión.

cm;.Kg4+.<==,4-

1<.=3,B4

-

([ ===

P 8 '.!%% I)! m

8in del problema.

roblema <. Gna viga simplemente apoyada de longitud '$) soporta una carga

uniforme de <44 Kg. ;m. como se muestra en la gura <2. Calcular la longitud '$)para que el esfuerzo cortante m"ximo sea deB Kg.;cm-. $a sección transversal es rectangular %ueca como se ve en la gura.

6+

$

<44Kg.;m

8ig.<

-4cm

13 cm

\ueco14x13 cm



Fuerza cortante má#ima. &quivale a las reacciones en los apoyos de la viga.

$134-

$<44.9m"x ==

Esfuerzo cortante má#imo. &l esfuerzo es m"ximo en el eje neutro y este se ubicaal centro de la sección. &l momento est"tico para el "rea arriba del eje neutro seobtiene tomando medio de rect"ngulo de 13x14 cm y restando un %ueco de 14x=.34cm.

(o 5 130142 032 A 140=.342 0<.=32 5 +B.=3 cm<

<<

cm34.1B=,=1-

213014

1-

2-4013

=−=

23034.=1B=

2=3.+B0$13444.B =

L 8 !'? m

roblema <3. $a viga en voladizo de la gura <32 tiene una sección de + cm de anc%oy una altura '%). #eterminar '%) de manera que la ec%a m"xima sea de 1 cm y elmódulo el"stico de 144,444.44 Kg.;cm- .

8lec%a m"xima. Su valor m"ximo de 1cm se da en el extremo libre. Gtilizando losteoremas de (o%r se puede obtener su valor en t/rminos de & y de aqu conocer elmomento de inercia.

#iagrama de momentos por partes.

.$

13

-.

3=.3

&jeneutro

14

<44 Kg. +44 Kg.

1.44m

1.44m

8ig.<3

1.44

1.44

+44

+44



or el segundo teorema de (o%r, la ec%a en el extremo libre se obtiene sumandomomentos en ese punto para las "reas del diagrama de momentos por partes.

1<4<

3

-

210+44

<

2-0-

-

2-0+44.m"x& =

+

=D

(omento de nercia para ec%a m"xima de 1.44 cm

+

cm44.444,1<244.10444,144

21401<44C ==

ara la sección rectangular el momento de inercia es*

1-%b<

=

cm+-.-:+

244.444,1<01-

b

1-% << ===

9 8 0?!G0 cm

8in del problema.

esfuerzos y deformaciones en vigas

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