Deflexión en Vigas

• para poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga.

• para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias.

Deflexión en Vigas

• Deflexión – hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas.

1. Doble integración

2. Método del área de momentos

3. Viga conjugada

4. Técnica de superposición usando las formulas estándar para vigas

5. El método de los pesos elásticos

Relación entre curvatura y momento

• La curva elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga.

La pendiente ( A y B)de una viga es la

pendiente de la tangente a la elástica en un

punto cualquiera.

Relación entre curvatura y momento

• La deflexión ( A y B)de una viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica con respecto a su posición original sin carga.

• Radio de curvatura, es el radio del arco (cada segmento de la elástica)

• El centro de curvatura es la intersección de los radios.

• Existe una relación definida entre el radio de curvatura de la viga, el esfuerzo en las fibras extremas y el momento flexionante que produce ese esfuerzo.

Relación entre el radio de curvatura, el esfuerzo y el momento flexionante de la viga

Fig.(a) muestra una pequeña sección de una viga sin

carga de longitud dx.

Fig. (b) muestra la misma sección después de que la

viga se ha deformado por la acción de las cargas

aplicadas.

dx +

• Las secciones planas antes de la deformación se conservan planas después de la deformación.

• El eje neutro (elástica) no esta sujeto a ningún esfuerzo y conserva la longitud original dx.

• Las fibras inferiores, situadas a una distancia c a partir del eje neutro, aumentan su longitud en una cantidad .

Considerando la geometría de los sectores

semejantes Onn y O B’D’, podemos escribir:

dx dx +

d = ----- = ------------ ……(a)

+ c

Resolviendo, obtenemos

dx ( + c) = (dx + )

dx + dx c = dx +

dx c =

c

----- = ------ ……(b)

dx

Deformación unitaria,

variación en longitud

= --------------------------------- = -------

longitud original dx

= / E

Substituyendo para ,

------- = ----- ………(c)

dx E

substituyendo esto en la ecuación (b),

c

----- = ------

E

c

----- = ------ ……(d)

E

donde

= esfuerzo en las fibras extremas,

en lb/plg2 o Pa,

E = modulo de elasticidad, en lb/plg2 o Pa,

c = distancia entre el eje neutro y las

fibras extremas, plg o m,

= radio de curvatura, plg o m.

Sustituyendo la relación,

= Mc / I en la ecuación (d),

c M c / I

----- = ----- = ----------

E E

1 M

----- = ------- ……(e)

EI

que es la relación entre la curvatura de

una viga y el momento flexionante.

Eliminando de las ecuaciones (a) y (e),

dx 1 d

d = ------ ; ----- = -----

dx

1 M

----- = -----

EI

d M

------ = ------

dx EI

M dx

d = ---------- ……(f)

EI

M dx

d = ---------- ……(f)

EI

La variación en la pendiente entre dos secciones

transversales de una viga

= área bajo el diagrama de momentos (M dx)

comprendido entre esas secciones, divida

entre EI.

El objeto del procedimiento de integración es

expresar la ecuación para la elástica de la viga

en términos de las cargas y de las coordenadas

x y y.

La elástica de una viga deformada

por cargas

La curvatura de una línea,

1 d2y / dx2

------ = ----------------------------

{ 1 + (dy / dx )2} 3/2

donde

= radio de curvatura

x , y = coordenadas de un punto sobre la curva.

1 d2y 1 M

------- = --------- ; ------- = ---------

dx2 EI

d2y M

------- = -------- ………(g) (calcular la pendiente y la

dx2 EI deflexión de la elástica de la viga)

Relaciones útiles• Deflexión = y

dy

• Pendiente = ---------

dx

d ( dy ) d2y M

• Momento = ------(-----) = -------- = --------

dx ( dx ) dx2 EI

d3y d ( d2y ) d ( M ) dM 1 V

• Cortante = ------- = --- ( ------) = ----( ------) = ------- ----- = --------

dx3 dx ( dx2) dx ( EI ) dx EI EIdM = V dx,

d4y d ( d3y ) d ( V ) dV 1 w

• Carga = ---------- = --- ( ------) = ---- (-----) = ---- ----- = ------

dx4 dx ( dx3 ) dx ( EI ) dx EI EI

dV = w dx

• La ecuación de la elástica para todo el claro de una viga simplemente apoyada de longitud L es

1.7 x

Y = ----------- ( L3 – 2Lx2 + x3)

24 EI

Determinar la condición de carga de la viga.

Doble Integración• Si se conoce la ecuación de la elástica, las otras cantidades físicas

de la viga se determinan por derivaciones sucesivas.

• En la mayoría de los casos, se conocen

- la forma de apoyo de la viga

- las condiciones de carga.

• El cortante y el momento pueden determinarse mediante los métodos de secciones.

• Puede encontrar la ecuación de la elástica de la viga,

usando la aplicación de la ecuación (g).

d2y M

------- = -------- ………(g)

dx2 EI

• Integra una vez para obtener la ecuación de la pendiente dy /dx, y se integra segunda vez para determinar la ecuación de la deflexión y.

• Procedimiento1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas y

se bosqueja su eje deformado, notando en particular los puntos que tienen deflexión cero o pendiente cero.

2. Se determinan los ejes coordenados. Es mejor elegir el origen en un extremo de la viga.

3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia general x a partir del origen de coordenadas, y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante. Es buena practica indicar los ejes coordenados en esta figura.

4. A partir del cuerpo libre del paso 3, se escribe una ecuación para el momento flexionante en la viga, en términos de x y de las cargas.

• Procedimiento5. Se sustituye esta expresión para M en la ecuación (g),

d2y/dx2 = M/EI.

6. Se integra la ecuación del paso 5 para obtener la ecuación de la pendiente dy /dx de la viga.

7. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera, o de limite.

8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la deflexión y de la viga.

9. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera.

Método del área de momentos

Primer Teorema del área de momentos.

• El cambio de pendientes entre dos secciones cualesquiera sobre la elástica de una viga es igual al área bajo el diagrama M/EI comprendida entre esas secciones.

Segundo Teorema del área de momentos.

• La desviación tangencial de cualquier punto P sobre la elástica de una viga con respecto a la tangente trazada por cualquier otro punto de la elástica, es igual al momento estático, con respecto a P, del área bajo el diagrama M/EI comprendido entre esos puntos.

Procedimiento

1. Dibújese la viga en su posición original y bosquéjese la forma flexionada de la elástica.

2. Dibújese el diagrama de momentos.

3. Dibújese el diagrama M/EI. Cuando el EI de la viga sea constante a lo largo de la viga, los pasos 2 y 3 pueden combinarse. Para vigas de EI variable es mas conveniente trazar diagramas separados.

4. Elijase un punto sobre la elástica, a partir del cual se traza una tangente. Si se conoce la pendiente en algún punto (por ejemplo, una pendiente cero en un apoyo empotrado), o puede localizarse por

inspección ( por ejemplo, el centro de una viga simétricamente cargada), úsese dicho lugar. Si no es obvio ningún punto como los mencionados, generalmente es mas conveniente trazar la tangente en un apoyo.

5. Aplíquese el segundo teorema del área de momentos para calcular las desviaciones tangenciales.

6. Usando las condiciones geométricas, determine la deflexión a partir de la posición descargada de la viga.