Cálculo Integral

Cálculo Integral

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración.

Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación.

Al resolver una integral obtenemos la ANTIDERIVADA (también llamada PRIMITIVA)

Antiderivada o Primitiva

En el curso de Cálculo Diferencial vimos que a partir de una función y = f(x) hallábamos su función derivada y’= f’(x).Por ejemplo, dada f(x) = x3, su derivada es f´(x) = 3x2

En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada f´(x). Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como antiderivación o integración, y la función F a hallar es una primitiva o antiderivada de la función dada.

Por ejemplo, dada f(x) = 3x2, ¿¿¿cual es su primitiva F(x)???, es decir ¿¿¿Cuál es la función que al ser derivada resulta 3x2????

Antiderivada o Primitiva

En respuesta al planteamiento anterior, podemos decir que la antiderivada de f(x) = 3x2 es F(x)=x3 , basándonos en el hecho de que F’(x)=(x3)’=3x2….

Sin embargo, observe que:

F(x)=x3 + 5

F(x)=x3 + pi

son también antiderivadas de f(x) = 3x2 , ya que al derivarlas obtenemos una vez más f(x)=3x2

F(x)=x3 - 2

De lo anterior podemos afirmar que, F(x)= x3 + C, donde C es cualquier constante, es la antiderivada general de f(x) = 3x2

Integración

Considerando lo antes expuesto, procedemos a dar la siguiente definición:

El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x, la cual se denota:

: Símbolo de integral

f(x) : Integrando

Donde:

dx : Variable de integración o diferencial de x

Integración

Al resolver la integral indefinida, obtenemos por excelencia la antiderivada o primitiva de la función:

Donde C es la constante de integración o constante arbitraria.

De manera que la ecuación anterior se lee como:La integral indefinida de f respecto a x es: F(x) + C

El adjetivo indefinida se usa porque la constante C es arbitraria o indefinida

Integración

Ahora bien, si retomamos la pregunta… Dada f(x) = 3x2, ¿¿¿cual es su primitiva F(x)???, es decir ¿¿¿Cuál es la función que al ser derivada resulta 3x2????

Utilizando la integración, para responder, tenemos el siguiente planteamiento:

Para obtener la antiderivada, debemos recurrir a las tablas de integración o algún método de integración…

Integración

Este diagrama sintetiza lo que comprende el calculo integral.

Consiste en obtener la PRIMITIVA de una función, mediante la INTEGRAL INDEFINIDA, que pueden resueltas a través de tablas o de métodos de integración.

Gracias a las integrales indefinidas podemos resolver las INTEGRALES DEFINIDAS, que nos permiten el cálculo de áreas bajo la curva y de volúmenes de sólidos en revolución.

La aplicación de las Integrales Indefinidas es muy común en la ingeniería y en la matemática en general. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Integración

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