Introduccin al clculo integral

La integracin y la diferenciacin estn ntimamente relacionadas. La naturaleza de

esta relacin es una de las ideas ms importantes en matemticas, y su

descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado

por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances ms

importantes de los tiempos modernos.

El clculo integral surgi de la necesidad de resolver el problema de la obtencin de

reas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya

rea se deseaba calcular mediante polgonos de reas conocidas y apareci el

concepto de integral. Con esta idea apareci el concepto de Integral Definida. Se

llama integral definida de la funcin f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les

denomina lmites de integracin), al rea de la porcin de plano limitada por la

grfica de la funcin, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Otra aplicacin fue predecir la posicin futura de un objeto en movimiento a partir

de una ubicacin conocida y la frmula de su funcin velocidad. Este es un ejemplo

claro en el cual se debe determinar una funcon a partir de una frmula de su razn

de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posicin inicial). De aqu surgi el

concepto de Integral Indefinida y primitiva de una funcin.

Concepto de Integral

Proceso que permite restituir una funcin que ha sido previamente derivada. Es decir, la operacin opuesta de la derivada as como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce una notacin para la antiderivada de una funcin

Si F!(x) = f(x), se representa

A este grafo se le llama smbolo de la integral y a la notacin f x dx se le llama

integral indefinida de f(x) con respecto a x. La funcin f(x) se denomina integrando,

el proceso recibe el nombre de integracin. Al nmero C se le llama conste de

integracin esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. As como dx

denota diferenciacin son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

f x dx Esto se lee integral de fx del diferencial de x

La idea del clculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilneas,

es decir, el rea entre la grfica de una funcin y el eje-x.

Estamos de acuerdo con la siguiente notacin:

Es la integral definida de la funcin f de [variable] x [los lmites] de A a B. Se pretende

que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Ms

especficamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann),

hay tambin integrante lneas generales.

El clculo integral se refiere al clculo de integrales tales.

Aspecto geomtrico

Para hacer la integral de manera sistemtica "de vuelta al espacio", que es

abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectngulos cada vez ms

precisos.

Segn integral de Riemann

Por exceso.

Las reas de los rectngulos ahora se pueden calcular fcilmente, as que tenemos

un lmite superior y un lmite inferior para la zona.

Analgamente la suma superior calculada:

Entonces vale:

Para un enfoque general

Aqu se tiene para la n-esima suma por defecto :

y la n-esima suma por exceso :

Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente

que en el caso es la igual.

Primero sacamos por la suma por exceso:

Con lo que el valor lmite ser:

Para la suma por defecto se tiene

y de todos modos analgamente

entonces tenemos:

Simbologa

El smbolo se usa para denotar una integral en matemticas. La notacin fue

introducida por el matemtico y filsofo alemn Gottfried Leibniz a finales del siglo

XVII. El smbolo se bas en el carcter (S larga), y se escogi debido a que una

integral es el lmite de unasuma.

El Smbolo es U+222B en Unicode, \int en LaTeX. En HTML, se escribe

en (hexadecimal), (decimal) y .

El paquete de caracteres de la pgina de cdigo 437 de IBM PC original tena un

par de caracteres y (cdigos 244 y 245, respectivamente) para construir el

smbolo. Estos fueron remplazados en las subsecuentes pginas de cdigo de MS-

DOS, pero siguen existiendo en Unicode (U+2320 y U+2321, respectivamente) por

compatibilidad.

El smbolo es bastante similar, pero no debe confundirse con smbolo () llamado

esh.

Smbolos relacionados son (integral doble, U+222C), (integral triple,

U+222D), (integral de contorno, U+222E), (integral de superficie, U+222F), y

(integral de volumen, U+2230).

Una vez con estas frmulas bsicas de integracin, si no percibimos de inmediato

como atacar una integral especfica, podemos entonces seguir la estrategia de

cuatro pasos que describiremos a continuacin:

Pasos para integrar una funcin

1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE

A veces, si se emplea el lgebra o identidades trigonomtricas se podr

simplificar el integrando y el mtodo de integracin ser ms obvio. A

continuacin presentamos algunos ejemplos:

a.

2. VEA SI HAY UNA SUSTITUCION OBVIA

Se debe tratar de encontrar alguna funcin, , en el integrando,

cuya derivada, tambin este presente, sin importar un

factor constante; por ejemplo, en la integral:

observamos que s , entonces , por consiguiente,

usamos la sustitucin , en lugar de las fracciones parciales.

3. CLASIFIQUE EL INTEGRANDO DE ACUERDO CON SU FORMA

4. PRUEBE DE NUEVO

Primitiva de la funcin

Definicin de Primitiva: La primitiva es cuando una funcin F(x) es primitiva de otra

funcin f(x) sobre un intervalo I.

Al sacar la primitiva la anti-derivada seria Y si

derivamos sacamos al anti-primitiva seria

Primer Teorema: Este primer teorema es primordial, porque si F es primitiva f en

un intervalo la primitiva general de f en el intervalo es: Y C es una

constante arbitraria y es primitiva f.

.

Explicacin:

entonces comenzamos a ordenar todo para que sea mas

fcil, la raz de x lo podemos editar como de ah nos quedara *

ahora F(x) comenzamos a sacar las primitivas. Como?

si en las derivadas de las funciones como se le multiplica el exponente

por la base y luego se resta al exponente 1, con la primitiva es inverso, al

exponente se le suma 1 y la base es el inverso del exponente final. entonces

quedara de la siguiente manera:

y el resultado final seria

.

Primitiva de la Funcin: Primitiva de la Funcin de una funcin f(x) se denomina

integral indefinida de f(x) y se denota por , Entonces si F(x) es

primitiva de f(x)

Encontrar la primitiva de las siguientes funciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

=

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Bibliografa

APSTOL, TM, Analisis Matematico. Revert, 1982.

COQUILLAT.T., Clculo integral, Metodologa y Problemas, Tebar Flores 1980.

Linkografa

es.wikibooks.org/wiki/Introduccin_al_clculo_integral

www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html

www.wikimatematica.org/index.php?title=Reglas_Bsicas_de...

Formulas y reglas de integracin