Salom on Alarc on AranedaApuntes deC alculo Integral v 11.11.09PrefacioEsta es la tercera versi on del apuntes que estoy escribiendo para un curso de C alculo Integral.Agradezco desde ya sus comentarios y crticas constructivas para mejorar este texto, el cualseguramentetodavacontienealgunoserrores. Paraello, puedencontactarmeenvi andomeuncorreo e-mail a: salomon.alarcon@usm.cl.Espero que este texto les sea de utilidad.Atte.Salom on Alarc on Araneda.IIndice generalPrefacio IIndice general IIIIndice de guras V1. Sucesiones 11.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Sucesiones mon otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Convergencia de una sucesi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Algunos resultados sobre convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Algunos resultados sobre divergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Otros resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. La integral indenida 192.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. La primitiva o antiderivada de una funci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2. La integral indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3. Propiedades de la integral indenida o antidiferenciaci on . . . . . . . . . . . 232.2. M etodos de integraci on (T ecnicas de antidiferenciaci on) . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1. M etodo de integraci on por sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2. M etodo de integraci on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3. Integraci on de funciones racionales: M etodo de integraci on va descomposi-ci on en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4. Integraci on de funciones trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.5. M etodo de integraci on por sustituci on trigonom etrica . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6. M etodo de integraci on para funciones racionales de seno y coseno . . . . . . 41IIIINDICE GENERAL3. La integral de Riemann en R 433.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Partici on de un intervalo [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Renamientos de una Partici on de [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4. Funciones Riemann-integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5. Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6. Sumas de Riemann. Aproximaciones de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.1. Aproximaci on de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.2. Aproximaci on trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.3. Aproximaci on de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7. Teorema del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.8. Integral denida. Integral de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604. Aplicaciones de la integral de Riemann 654.1.Area de una regi on en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.1.Area bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2.Area entre curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2. Volumen de un s olido de revoluci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.1. M etodo del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.2. M etodo del anillo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.3. M etodo de las capas cilndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3. Volumen de s olidos con secciones planas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Longitud de arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.Areas de supercies de revoluci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.6. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7. Centroide de una regi on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.8. Centroide de un s olido de revoluci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Desarrollos de los Ejercicios 105Soluciones de algunos Ejercicios Propuestos 121Soluciones de algunos Ejercicios de Repaso 123IVIndice de guras1.1. Gr aca de la funci on f(x) = cos(2x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Tri angulo rect angulo asociado a la relaci on x = a sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Tri angulo rect angulo asociado a la relaci on x = a tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Tri angulo rect angulo asociado a la relaci on x = a sec x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1. Sumasuperioreinferiorparaf(x) =x2en[0, 1] respectodelapartici on P ={0,14,12,34, 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Un renamiento de una partici on con un elemento m as. . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Cota inferior para la sumas inferiores y cota superior para las sumas superiores. . . 493.4. Funci on f(x) = cos x en_2,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5. Funci on f(x) = 1 +x4en [1, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6. Norma de una partici on P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7. Gr aca de la funci on f(x) =1x en [1, 2], considerando la partici on P =_1,54,32,74, 2_. 563.8. Aproximaci on trapezoidal del area bajo la curva determinada por una funci on. . . 573.9. Aproximaci on de Simpson del area bajo la curva determinada por una funci on. . . 583.10. Teorema del Valor Medio para la integral denida de una funci on continua y acotada. 594.1.Area bajo la curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. La regi on acotada limitada por la curva y = x3, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2. . . 664.3.Area entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. La regi on acotada limitada por las curvas y = x3, y = x + 6 e y =x2. . . . . . . . . . . 674.5. Divisi on de una regi on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. S olido de revoluci on obtenido al girar de una regi on R . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7. Cilindro o Disco de radio |f(k)| y altura k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8. Cilindros conc entricos que aproximan el volumen de un s olido de revoluci on. . . . . 714.9. Cilindro de radio r y altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10. Cono de radio basal r y altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.11. Cono truncado de radio menor r1, radio mayor r2 y altura h . . . . . . . . . . . . . . 73VINDICE DE FIGURAS4.12. Parte de un s olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje x la regi on entrelas curvas y = f(x) e y = g(x) y las rectas x = a y x = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.13. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al ejex la regi on entre las curvasy = x2+ 2 e 2y x = 2 y las rectas x = 0 y x = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.14. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno a la rectay=3 la regi on entre lascurvas y = x2+ 2 e 2y x = 2 en torno al eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.15. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al ejeXla regi on entre las curvasY= X21 e 2y = X 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.16. Regi on limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. . . . . . . . 784.17. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al ejeyla regi on entre las curvasy = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.18. Capa cilndrica de radio menor xk1, radio mayor xk y altura f(wk). . . . . . . . . . 794.19. Aproximaci on por capas cilndricas del s olido de revoluci on obtenido al rotar entorno al eje y la regi on entre las curvas y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. . . 794.20. S olido que se obtiene al girar en torno al eje y la regi on entre la curva y = 2x x2yel eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.21. Secci on plana de un s olido S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.22. Secciones planas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.23. S olido cilndrico asociado al corte k- esimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.24. Cilindro recto que no posee base circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.25. Volumen aproximado de un S olido mediante cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.26. S olido cuya base es un crculo de radio 2 y cuyas secciones transversales a un di ame-tro jo de la base son cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.27. Longitud aproximada de una curva mediante una poligonal. . . . . . . . . . . . . . . 844.28. Cono circular recto truncado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.29. Aproximaci on de una supercie de revoluci on mediante supercies laterales de co-nos truncados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.30. Equilibrio de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.31. Centroide de una regi on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.32. Centroide de la regi on limitada por la curva y2= 4x, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4 934.33. Centroide de la regi on limitada por las curvas y = x2y y = 2x + 3 . . . . . . . . . . . 944.34. Centroide del s olido de revoluci on que se genera al hacer girar alrededor del eje x,la regi on limitada por la curva y = x2. el eje x y la recta x = 3. . . . . . . . . . . . . . 974.35. Centroide del s olido de revoluci on generado por la rotaci on, alrededor del eje x, dela regi on limitada por la curva y = x2+ 1 y las rectas x = 1 y y = 1. . . . . . . . . . . 9736. Funci on f(x) = x en [a, b], con a 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10837. Las curvas y = x2, y = 2x + 3 e y = 2 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VICaptulo1Sucesiones1.1. SucesionesDEFINICI ON 1.1.1Una sucesi on de n umeros reales es una funci ona: N R que asocia a cadan umero natural n un n umero real a(n) =an, donde an recibe el nombre de n esimo t ermino de lasucesi on.Los n umeros a1, a2, . . . , an se denominan elementos de la sucesi on. La reuni on de todos estoselementos se denota{a1, a2, ...an, an+1, ...} o equivalentemente _an_nN.Si el t ermino an est a determinado por una f ormula general que permite determinar todos lost erminos, entonces decimos que an es el t ermino general de la sucesi on.OBSERVACI ON 1.1.1Es usual escribir {an}n o {an} en vez de_an_nN para referirnos a una sucesi on de t ermino generalan.En algunos textos es posible encontrar la siguiente notaci on para una sucesi on de t ermino general an:_an_n=1.Una sucesi on tambi en puede tener por subndices a un subconjunto de los n umeros enteros que seaacotado inferiormente.EJEMPLO 1.1.1Escribe los primeros 5 t erminos de la sucesi on cuyo t ermino general es an =n + 22 n .Soluci on.a1 =1 + 22 1=32; a2 =2 + 22 2=44= 1 ; a3 =3 + 23 2=56;a4 =4 + 22 4=68=34; a5 =5 + 22 5=710. 1CAPITULO1. SUCESIONES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 1.1.2Sea {an}n una sucesi on cuyos primeros 5 elementos son:a1 = 0 , a2 =14, a3 =29, a4 =316y a2 =425,y tal que posee un unico t ermino general para todo n N. Encuentre el t ermino general y se naleel valor de a12. C omo se denota esta sucesi on?.Soluci on. El t ermino general es an =n 1n2; a12 =11144y la sucesi on se denota por_n 1n2_n. A continuaci on mencionamos algunas sucesiones conocidas: Sea_an_n una sucesi on.1Llamamossucesi onalternadaalasucesi oncuyot erminogeneral esan=(1)n oan=(1)n+1. Tambi en se llaman sucesiones alternadas a aquellas que contienen a (1)ncomofactor. Es decir, dado el siguiente t ermino a un t ermino dado de la sucesi on, el cual es positi-vo o negativo, tiene signo opuesto.2Llamamos sucesi on constante a una sucesi on an = c, donde c es un n umero real jo.3Llamamos sucesi on de Fibonacci a la sucesi on de t ermino generalan =___0 si n = 1,1 si n = 0,an1 +an2si n N.4Llamamos progresi on aritm etica a una sucesi on tal que la diferencia entre dos t erminos conse-cutivos de ella es siempre un mismo valor. Esto es, una sucesi on {an}n tal que an+1 = an +d,con d una constante real, es una progresi on aritm etica. La diferencia d se denomina diferenciacom un.5Llamamos progresi on geom etrica a una sucesi on tal que el cuociente entre dos t erminos con-secutivosdeellaessiempreunmismovalorrecibeelnombredeprogresi ongeom etrica.Esto es, una sucesi on {an}n tal quean+1an=r, con r una constante real, es una progresi ongeom etrica. El cuociente r se denomina raz on.EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1.11. Sea {an}n una progresi on aritm etica. Prueba que si d es la diferencia com un, entoncesan+1 = a1 +nd.2. Sea {an}n una progresi on geom etrica. Prueba que si r es la raz on, entoncesan+1 = a1rn.Para comprender mejor algunos conceptos relacionados con sucesiones, necesitamos estableceralgunas deniciones previas.2Salom on Alarc on Araneda 1.1. SUCESIONES1.1.1. Sucesiones acotadasDEFINICI ON 1.1.2Decimos que una sucesi on {an}n es:i) acotada superiormente si existe M R tal que an M, para todo n,ii) acotada inferiormente si existe M R tal que an M, para todo n,iii) acotada si existe un n umero M> 0 tal que |an| M, para todo n.El n umero M en la denici on anterior recibe el nombre de cota superior en i), cota inferior en ii) ocota en iii).EJEMPLO 1.1.3Sea c R, c > 1. Prueba que la progresi on geom etrica an = cn, es acotada inferior-mente pero no superiormente.Soluci on. Como 1 < c, entonces cn> 0. Luego, 1 cn< c cn. Es decir, an = cn< cn+1= an+1, paratodo n N y por lo tanto c cn, para todo n. Por lo tanto c es una cota inferior.Ahora vamos a demostrar que sic>1, entonces {cn}nno posee cota superior. Es decir, vamosa probar que siK>0 es un n umero real cualquiera, entonces existe un n umeron N tal quecn> K.Primero observar que c > 1 implica que c = 1 +d para alg un d > 0. Entonces,cn= (1 +d)n=n

k=0_nk_dk> 1 +nd.Luego, basta escoger n >K 1d, puesn >K 1d 1 +nd > K cn> K. EJEMPLO 1.1.4Prueba que la sucesi on_2n25n3n2+ 8_nes acotada.Soluci on. Notemos que_2n25n = n(2n 5) > 0 n N_ n >52.Como n N, al considerar n 3 >52, obtenemos0 2n25n3n2+ 82n23n2+ 8 2n23n2 23 n 3.Por otro lado, si a1=2 53 + 8= 311ya2=8 1012 + 8= 220= 110, y como 311> 110,concluimos que |an| max_23,311_=23. 3CAPITULO1. SUCESIONES Salom on Alarc on Araneda1.1.2. Sucesiones mon otonasDEFINICI ON 1.1.3i) Decimos que una sucesi on {an}n es creciente sian an+1 nii) Decimos que una sucesi on {an}n es decreciente sian+1 an niii) Si una sucesi on es creciente o decreciente se dice que ella es mon otona.OBSERVACI ON 1.1.2Si las desigualdades en la denici on previa son consideradas estrictas (esto es, < eni) y > en ii)), entonces decimos que la sucesi on es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, seg uncorresponda. En estos casos decimos que la sucesi on es mon otona estricta.EJEMPLO 1.1.5La sucesi on {1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, n + 1, . . .} es estrictamente creciente.La sucesi on {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, . . .} es creciente.La sucesi on {sen n} no es mon otona.EJERCICIOS 1.1.11. Prueba que la sucesi on_1n_nes estrictamente decreciente.2. Prueba que la sucesi on_en_nN es estrictamente creciente.3. Prueba que la sucesi on_nn + 1_nes creciente.4. Muestra que la sucesi on {cos(n)}n no es mon otona.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 1.1.1 presiona aqu 4.8DEFINICI ON 1.1.4Sea {an}nunasucesi onysea MNunconjuntoconinnitoselementos.Denotemos los elementos de Mpor n1, n2, . . . tales quen1< n2< n3< . . . < nk< nk+1< . . .Entonces decimos que la sucesi on{ank}kes una subsucesi on de {an}n.4Salom on Alarc on Araneda 1.2. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIONEJEMPLO 1.1.6Consideralasucesi ondet erminogeneral an=(1)n, lacu alcorrespondealasucesi on {1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .}. Claramente existen innitas subsucesiones de esta sucesi on. Enparticular, la sucesi on es una subsucesi on de s misma, y tambi en lo son, entre otras, las siguientes: {a2k}kN, o equivalentemente {1, 1, 1, . . .}, {a2k+1}kN, o equivalentemente {1, 1, 1, . . .}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .}. 1.2. Convergencia de una sucesi onDEFINICI ON 1.2.1 (Lmite de una sucesi on) Sea_an_n una sucesi on y sea L un n umero real. Deci-mos que la sucesi on_an_n tiene lmite L si:( > 0)(N= N() N) tal que (n N |an L| < )y escribimoslmnan = L.DEFINICI ON 1.2.2Decimos que una sucesi on_an_n converge a un valor real L si la sucesi on_an_ntiene lmite L. En tal caso decimos que la sucesi on es convergente. En caso contrario decimos que lasucesi on es divergente.OBSERVACI ON 1.2.1Nota la similitud entre la denici on de convergencia de una sucesi on y el concepto de lmite de unafunci on.Ladenici ondesucesi onconvergentenosdicequeapartirdeciertovalorN, lost erminosdelasucesi on est an a una distancia menor que del valor L R.En general, en la denici on previa uno espera que mientras m as peque no sea > 0, m as grande sea elvalor N N.Nota que silmnan = L,entonces_an_n es una sucesi on convergente que converge a L, su valor lmite.Es inmediato, desde la denici on de lmite de una sucesi on, quelmnan = L lmn(an L) = 0 lmn|an L| = 0.5CAPITULO1. SUCESIONES Salom on Alarc on AranedaTEOREMA 1.2.1Si una sucesi on posee lmite, entonces este es unico.Demostraci on. Sea {an}n una sucesi on y asumamos quelmnan = L1lmnan = L2.Entonces, para > 0 dado existen N1, N2 N tales quen > N1 an L1 N2 an L2 0.De manera que L1 L2 = 0; es decir, L1 = L2. EJEMPLO 1.2.1Estudia el lmite de las siguientes sucesiones:a)_1n_n=1. b)_nn 2_n=3.Soluci on. a) lmn1n= 0. b) lmnnn 2= 1. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.11. Determina si la sucesi on_5n + 73n 5_nconverge.2. Determina si la sucesi on_n2+ 12n 3_nconverge.Los ejercicios anteriores resultan sencillos de resolver, pero qu e hacemos para estudiar la conver-gencia de la sucesi on_n + 1en_n?. En casos como este, el siguiente teorema ser a de gran utilidad:TEOREMA 1.2.2Sea f:D R R una funci on tal que lmnf(x) =L R y denida para todoentero positivo, entonces la sucesi on an = f(n) es convergente ylmnan = L.6Salom on Alarc on Araneda 1.2. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIONDemostraci on. Asumamos entonces que lmnf(x) = L; entonces para >0 dado N N tal quex > N f(x) L< (denici on de lmite).En particular n N:n > N f(n) L= |an L| < (def. de sucesi on convergente a L). EJEMPLO 1.2.2Prueba que la sucesi on_n + 1en_nconverge.Soluci on. Consideremos la funci on f(x) =x + 1ex, para x R. Una aplicaci on directa de la Reglade LH opital nos permite obtener que:lmxf(x) =lmxx + 1exL

H= lmx1ex= 0,y por el Teorema 1.2.2 concluimos quelmxf(n) =lmxn + 1en= 0.Luego, la sucesi on_n + 1en_nconverge a 0. OBSERVACI ON 1.2.2El recpoco del teorema previo es falso en general. Es decir:lmxf(n) = L no implica necesariamente que lmxf(x) = L.He aqu un contraejemplo:lmxcos(2n) = 1 pues cos(2n) = 1 n N,perolmxcos(2x) pues cos(2x) oscila entre 1 y 1 de forma peri odica. Figura 1.1. Gr aca de la funci on f(x) = cos(2x).7CAPITULO1. SUCESIONES Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.2Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones:1._ln nn_n2. _nn_nEl siguiente teorema se puede probar f acilmente:TEOREMA 1.2.3Asumamos que las sucesiones _an_n y _bn_n son convergentes, con lmites La yLb respectivamente; entoncesi. lmn(an bn) = La Lb_i.e:_an bn_n converge a La Lb_.ii. lmn(an bn) = La Lb_i.e:_an bn_n converge a La Lb_.iii. Asumiendo que Lb = 0 se tiene: lmnanbn=LaLb_i.e:_anbn_nconverge aLaLb_.1.3. Algunos resultados sobre convergencia de sucesionesA pesar de nuestro resultado previo, veremos ahora que existen muchas sucesiones convergen-tes a las cuales no les podremos calcular directamente su lmite o incluso ni siquiera calcularlo, ysin embargo podremos concluir que la sucesi on converge.TEOREMA 1.3.1Sea L =lmnan. Si c N |an L| < 1 L 1 < an< L + 1.Ahora escogemosm = mn{a1, a2, . . . , aN, L 1, L + 1} M= max{a1, a2, . . . , aN, L 1, L + 1}.Notemos que m < an< M para todo n N, por lo que la sucesi on {an}n es acotada. TEOREMA 1.3.4 (Convergencia de sucesiones mon otonas y acotadas) Toda sucesi on mon otona yacotada es convergente.Demostraci on. Sea {an}nuna sucesi on mon otona y acotada. Partimos asumiendo que {an}nescreciente y acotada.Luego, existe M> 0 tal queM a1 a2 a3 . . . an an+1 . . . M.Entonces, por el axioma de completitud, el conjuntoS = {a1, a2, . . . , an, . . .},formado por los t erminos de la sucesi on, posee una cota superior mnima o supremo, que llamamosL, de forma quean L n N.Por denici on de supremo, para > 0 dado, N= N() N tal queL < aN.Como la sucesi on es creciente, en verdad tenemos para n N:L < an L L < an< L + < an L < |an L| < .10Salom on Alarc on Araneda 1.3. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE CONVERGENCIA DE SUCESIONESResumiendo,( > 0)( N= N() N) tal que (n N |an L| < ). {an}nconverge ( y converge a su supremo L).Queda como ejercicio probar el teorema cuando la sucesi on es decreciente y acotada. OBSERVACI ON 1.3.3El teorema tambi en vale si la sucesi on es acotada y, a partir de ciertoNN, esmon otona.EJEMPLO 1.3.4Estudia sobre la convergencia de la sucesi on_2nn!_n.Soluci on. Pongamos an =2nn!. Notemos que:an+1an=2n+1(n+1)!_2nn!_=2n+1(n + 1)! n!2n=2n/ 2(n + 1)n! / n! /2n/=2n + 1 1 n N.Luego,an+1 an n N, {an}nes decreciente.Notemos tambi en que0 M),entonces decimos que la sucesi on diverge a +, y anotamoslmnan = +.Analogamente, Si(M< 0)(N= N(M) N) tal que (n N xn< M),entonces decimos que la sucesi on diverge a , y anotamoslmnan = .OBSERVACI ON 1.4.1Recuerdaque+y sonexpresionesqueindicanelcomportamientodeunaexpresi on matem atica, y por lo tanto no son n umeros reales. Luego, si lmnan=+ o lmnan= ,entonces la sucesi on {an}n diverge.EJERCICIOS 1.4.11. Sea |x| < 1. Prueba que la sucesi on {xn}n converge a 0.2. Estudia sobre la convergencia de la sucesi on_n + 1 n_nPara ver los Desarrollos de los Ejercicios 1.4.1 presiona aqu 4.8EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.1Sea {an}n una sucesi on tal que lmnan = +.1. Prueba que {an}n no es acotada superiormente.2. Es verdadero el recproco de la armaci on previa?. Para responder a esta pregunta considerala sucesi on an = n +n(1)ny concluye.12Salom on Alarc on Araneda 1.5. OTROS RESULTADOSTEOREMA 1.4.1Sean {an} y {bn} dos sucesiones de n umeros reales.i. Si lmnan = +y la sucesi on {bn}n es acotada inferiormente, entonces lmn(an+bn) = +.ii. Si lmnan = +y existe M> 0 tal que bn> M para todo n N, entonces lmn(anbn) = +.iii. Si existeM>0 tal quean>Mybn>0 para todon N tal que lmnbn=0, entonceslmnanbn= +.iv. Si {an} es acotada ylmnbn = entonces lmnanbn= 0.Formalicemos a continuaci on otro criterio para probar no convergencia.TEOREMA 1.4.2Sea {an}n una sucesi on que posee dos subsucesiones, {ank}k y {an

k}k tales quelmkank =lmkan

k,entonces {an}n diverge.EJEMPLO 1.4.1La sucesi on {cos(n)}n diverge. En efecto,lmkcos(2k) = 1 y lmkcos(2k + 1) = 1.lmncos(n) y {cos(n)}ndiverge. EJERCICIOS 1.4.21. Estudia sobre la convergencia de la sucesi on {(1)n}n=1.2. Estudia sobre la convergencia de la sucesi on {2n}n=5.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 1.4.2 presiona aqu 4.81.5. Otros resultadosUna interesante aplicaci on de las sucesiones es la siguiente.TEOREMA 1.5.1Sea M Runabiertoysea f : M Runafunci on. Entonces: f escontinua en a si y s olo si cada sucesi on cada sucesi on{an}ncontenida enMtal quelmnan = a se tiene que lmnf(an) = f(a).13CAPITULO1. SUCESIONES Salom on Alarc on AranedaDemostraci on.() Sea {an}n una sucesi on de elementos en Mque converge a un valor a. Queremos probar que:lmnf(an) = f(a); es decir, queremos probar que( > 0)_ N= N() N_tal que (n N |f(an) f(a)| < ).Sea > 0 dado. Como f es continua en a, tenemos que_ = () > 0_tal que (|x a| < |f(x) f(a)| < ). ()Para este > 0 (que depende de ) y el hecho que {an}n converge a a, obtenemos por denici onde sucesi on convergente que:_ N= N() N_tal que (n N |an a| < () |f(an) f(a)| < ).() Supongamos que f no es continua en a. Entonces:( 0> 0) tal que_( > 0)(x R) tal que _|x a| < |f(x) f(a)| 0_.Luego, si escogemos arbitrariamente para cadan N los valores =1n; entonces, para cadan N, debi ese existir xn R tal que|xn a| 0)( N N) tal que (m n N |am an| < ).14Salom on Alarc on Araneda 1.5. OTROS RESULTADOSTEOREMA 1.5.2Sea {an}n una sucesi on de n umeros reales. Entonces, {an}n es de Cauchy si y s olosi {an}n es convergente.Demostraci on.() Asumamos que {an}n es una sucesi on de Cauchy; es decir:( > 0)( N N) tal que (m n N |am an| < ).En particular para = 1 N1 N tal que m n N1 |am an| < 1.Ahora, escogiendo n = N1 obtenemos quem N1|am aN1| < 11 +aN1< am< 1 +aN1.Sea K1 = max{| 1 +aN1|, |1 +aN1|} y para todo n {1, 2, . . . , N1} escojemosmax{a1, a2, ..., aN11} = K2.Luego, existe K = max{K1, K2} tal que|an| < K n N. La sucesi on es acotada, y de acuerdo al Teorema 1.3.6 de Bolzano-Weierstrass, existe una sub-sucesi on {ank} que converge a alg un L R.Sea > 0 dado M1 N tal que m n M1|an am| 0__ = () > 0_tal que_ P P([a, b])__P < n

k=1f(k)k _baf(x) dx< _.OBSERVACI ON 3.6.1Las sumas de Riemann son aproximaciones de la integral de Riemann. B asicamente,si consideramos f 0 en [a, b], entonces estamos aproximando el area bajo la curva determinada por f atrav es del area de rect angulos.EJEMPLO 3.6.1Sea f(x) =1x en [1, 2]. Considera la siguiente partici on de [1, 2]: P= _1,54,32,74, 2_.Calcula SI, SD y SM, que como se deduce desde el Teorema 3.6.1 corresponden a aproximacionesde la integral_211x dx.Soluci on. Hacemos los c alculos de SI, SD y SM de manera directa. TenemosFigura 3.7. Gr aca de la funci on f(x) =1x en [1, 2], considerando la partici on P =_1,54,32,74, 2_.SI=_f(1) +f_54_+f_32_+f_74__14=_1 +45 +23 +47_14 0, 7595,SD=_f_54_+f_32_+f_74_+f(2)_14=_45 +23 +47 +12_14 0, 6345,SM=_f_98_+f_118_+f_138_+f_158__14=_89 +211 +813 +815_14 0, 6911. 56Salom on Alarc on Araneda 3.6. SUMAS DE RIEMANN. APROXIMACIONES DE UNA INTEGRALOBSERVACI ON 3.6.2Desde la denici on de sumas de Riemann y el Teorema 3.6.1, podemos notar que sif 0 en [a, b], entonces mientras m as peque no es el valor de P, mejor es la aproximaci on que estamoshaciendo del area bajo la curva determinada por la funci on f, es decir, mejor es nuestra aproximaci on del area encerrada por las curvas x = a, x = b, y = 0 y la curva y = f(x). Por esta raz on es usual denominarintegral de Riemann a la cantidad _baf(x) dx. Sin embargo, existen otras formas de aproximar el valor deuna integral de Riemann como veremos a continuaci on.3.6.2. Aproximaci on trapezoidalSea f: [a, b] R una funci on continua y sea P una partici on regular de n intervalos de [a, b];es decir, k=xk xk1=ban, para todo k {1, 2, . . . , n}. Para entender la idea detr as de estaaproximaci on podemos asumir que f 0 en [a, b] y observar la Figura 3.8 a continuaci on. Si nosFigura 3.8. Aproximaci on trapezoidal del area bajo la curva determinada por una funci on.concentramos en los trapecios rect angulos Tk de bases con longitudes f(xk1) y f(xk), y altura k,obtenemos que el area A(Tk) de cada trapecio est a dada por:A(Tk) =12_f(xk1) +f(xk) k.Por lo tanto, la suma de las areas de los n trapecios es:T(n) =n

k=1A(Tk) =b a2nn

k=1_f(xk1) +f(xk)=b a2n_f(x0) + 2f(x1) +. . .+2f(xn1) +f(xn).EJEMPLO 3.6.2Sea f(x) =1x en [1, 2]. Considerando la partici on P = {1,54,32,74, 2} de [1, 2], aproxi-ma el valor de la integral de Riemann_21f(x) dx mediante una aproximaci on trapezoidal.Soluci on. Hacemos los c alculos directamente y obtenemos:T(4) =2 14_f(1) +f_54_+f_32_+f_74__ 0, 7595. 57CAPITULO3. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R Salom on Alarc on Araneda3.6.3. Aproximaci on de SimpsonSea f: [a, b] R una funci on continua y sea P una partici on regular de n intervalos de [a, b];es decir, k = xk xk1 =ban, para todo k {1, 2, . . . , n}. Por simplicidad asumamos que f 0Figura 3.9. Aproximaci on de Simpson del area bajo la curva determinada por una funci on.en [a, b]. El area de la regi on Sk en la Figura 3.9 est a dada por:A(Sk) =16_f(xk1) + 4f_xk1 +xk2_+f(xk)_ k.Entonces la suma de las n areas asociadas a la partici on es:S(n) =n

k=1A(Sk) =b a6n_f(a) +f(b) + 2n

k=1f(xk1) + 4n

k=1f_xk1 +xk2__.EJEMPLO 3.6.3Sea f(x) =1x en [1, 2]. Considerando la partici on P = {1,54,32,74, 2} de [1, 2], aproxi-ma el valor de la integral de Riemann_21f(x) dx mediante la aproximaci on de Simpson.Soluci on. Hacemos los c alculos directamente y obtenemos:S(4) =124_f(1)+f(2)+2_f_54_+f_32_+f_74__+4_f_98_+f_118_+f_138_+f_158___ 0,6931. 3.7. Teorema del valor medio para integralesTEOREMA 3.7.1 (Teorema del valor medio integral) Sea f:[a, b] R una funci on continua. En-tonces c [a, b] tal que_baf(x) dx = f(c)(b a).58Salom on Alarc on Araneda 3.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESDemostraci on. Como f es continua en [a, b], desde el Corolario 3.1.1 deducimos que_x0, x1 [a, b]_tales que_m = f(x0) =mnx[a,b]f(x) M= f(x1) =maxx[a,b]f(x)_.Entonces se verica quem f(x) M x [a, b],de donde, por el Corolario 3.5.2 de la Propiedad de monotona para integrales de Riemann, seconcluye quem(b a) _baf(x) dx M (b a).Dividiendo en la desigualdad previa por (b a), obtenemosm 1b a_baf(x) dx M.Ahora, notemos que por simplicidad y sin p erdida de generalidad podemos suponer que x0< x1.Luego, desde el Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas en un intervalo cerrado,tenemos que c [x0, x1] tal que f(c) =1b a_baf(x) dx,Luego, como [x0, x1] [a, b], obtenemos al despejar el valor de la integral de Riemann en la igual-dad anterior, quec [a, b] tal que_baf(x) dx = f(c)(b a). Figura 3.10. Teorema del Valor Medio para la integral denida de una funci on continua y acotada.59CAPITULO3. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 3.7.1Sea f(x) = x2. Encuentra [1, 3] tal que_31f(x) dx = 2f().Soluci on. Notemos que el Teorema 3.7.1 del valor medio integral garantiza que [1, 3] tal que_31f(x) dx = f()(3 1) = 2f(). Haciendo c alculos directos obtenemos_31x2dx =13(3313) =263= 2f().Luego,f() =133 2=133 = _133.Pero descartamos el valor 1339 pues no pertenece al intervalo [1, 3]. 3.8. Integral denida. Integral de NewtonDEFINICI ON 3.8.1Seaf : [a, b] R una funci on acotada, sea P= {x0=a, x1, ..., xn=b} unapartici on cualquiera de [a, b] y seak[xk1, xk]. Diremos que la funci onfes integrable en elintervalo [a, b] si lmP0n

k=1f(k) k lmP0n

k=1f(k) k = L,con L independiente de la elecci on de los k [xk1, xk]. El valor L recibe el nombre de integraldenida de f en [a, b].OBSERVACI ON 3.8.1De acuerdo al Teorema 3.6.1, debemos precisar que la noci on de integrabilidad en laDenici on 3.8.1 previa que es la que seguiremos usando en el resto de este texto corresponde a la noci onideada por Riemann, esto es: Si f es integrable (Riemann-integrable) en [a, b], entonces la integral denida(integral de Riemann) de f en [a, b] est a dada por:_baf(x) dx = lmP0n

k=1f(k) k.Esto debe quedar muy claro pues existen otras nociones de integrabilidad, como por ejemplo la integral deLebesgue, las cuales permiten ampliar el rango de funciones a las cuales se puede asociar un valor integral enun intervalo [a, b]. Por ejemplo, un resultado b asico es el siguiente: Toda funci on Riemann-integrable enun intervalo [a, b] es Lebesgue-integrable en el intervalo [a, b], pero lo contrario no es necesariamentecierto. Es decir, Existen funciones Lebesgue-integrables en un intervalo [a, b] que no son Riemann-integrables en el intervalo [a, b]. En cursos m as avanzados de matem atica se tratan estos otros tipos deintegraci on, los cuales ser an omitidos en este texto, porque la integraci on de Riemann constituye en s mismauna herramienta muy potente para resolver una gran cantidad de problemas reales en diversas areas de laingeniera y del conocimiento cientco.60Salom on Alarc on Araneda 3.8. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE NEWTONNOTACI ON 3.8.1En el smbolo:_baf(x) dx,identicamos las siguientes partes:_corresponde al signo integral,f(x) es el integrando,a es ellmite inferior de integraci on, b es el lmite superior de integraci on y la expresi on dx se nala que estamosintegrando con respecto a x, por lo cual x es la variable de integraci on.DEFINICI ON 3.8.2Sea f: [a, b] Runa funci on continua en [a, b]; y sea x cualquier valor x [a, b].Llamamos funci on integral de Newton de f en [a, b] a la funci on : [a, b] R denida por(x) =_xaf(t) dt.TEOREMA 3.8.1 (Primer Teorema Fundamental del C alculo) Sea f: [a, b] R una funci on conti-nua en [a, b], entonces la funci on integral de Newton de f(x) =_xaf(t) dtes derivable en ]a, b[ y verica que

(x) = f(x) x ]a, b[.Demostraci on. Sea x ]a, b[. Debemos probar quelmh0(x +h) (x)h= f(x).Trataremos s olo el caso h > 0. Veamos,(x +h) (x)h=1h__x+haf(t) dt _xaf(t) dt_=1h__xaf(t) dt_+_x+hxf(t) dt _xaf(t) dt_ _=1h_x+hxf(t) dt=1hf(ch)(x/ +h x/)= f(ch),donde ch [x, x + h] est a dada por el Teorema 3.7.1 del valor medio integral. Luego, pasando allmite, es claro quech x cuandoh 0, y comofes continua, se deduce quef(ch) f(x)cuando h 0. As, dado que f esta bien denida en [a, b], concluimos que

(x), y

(x) =lmh0(x +h) (x)h= f(x). 61CAPITULO3. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 3.8.1Sea G(x) =_x0(3t2+ 1) dt. Como la funci on f(t) = (3t2+ 1) es continua en R, setiene que G

(x) = 3x2+ 1. EJEMPLO 3.8.2Sea H(x) =_x1dtt . Como la funci on f(t) =1tes continua en R \ {0}, se tiene queH

(x) =1x. EJEMPLO 3.8.3Sea F(x) =_x21(2s3+ 4s) ds. Si hacemos la sustituci on u = x2, entonces u

= 2xyF(x) =F(u). Luego,F(u) =_u1(2s3+ 4s) ds _F(u)_

= (2u3+ 4u) u

por Regla de la cadena F

(x) = (2x6+ 4x2) 2x. EJEMPLO 3.8.4Sea F(x) =_cos x1ds1 +s2. Si hacemos la sustituci on u = cos x, entonces u

= sen xyF(x) =F(u). Luego,F(u) =_u1ds1 +s2_F(u)_

=_11 +u2_ u

por Regla de la cadena F

(x) =_11 + (cos x)2_ (sen x) =sen x1 + cos2x. EJERCICIOS 3.8.11. Sea F(x) =_ln x1(t3+ cos t) dt, con x e. Calcula F

(x).2. Sea F(x) =_2x3(2t + 1)x33t2dt. Calcula F

(32).Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 3.8.1 presiona aqu 4.8TEOREMA 3.8.2 (Segundo Teorema Fundamental del C alculoo regla de Barrows) Sea f : [a, b] Runa funci on continua en [a, b]. Entonces para cualquier antiderivada Fde f se verica que_baf(x) dx = F(b) F(a).Demostraci on. Sabemos desde el Teorema 3.8.1 (Primer Teorema Fundamental del C alculo) que lafunci on(x) =_xaf(t) dtes una antiderivada de f.62Salom on Alarc on Araneda 3.8. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE NEWTONPor otra parte, sabemos desde el Corolario 2.1.1 que cualquier otra antiderivada Fde fadquierela formaF(x) = (x) +c,donde c es una constante arbitraria. Luego,F(b) F(a) = ((b) c) ((a) c) = (b) (a) =_baf(t) dt _aaf(t) dt_=_baf(t) dt. OBSERVACI ON 3.8.2El Teorema 3.8.1 (Primer Teorema Fundamental de C alculo) junto al Teorema 3.8.2(Segundo Teorema Fundamental del C alculo) relacionan el concepto de primitiva (o antiderivada) con elconcepto de integral denida (o integral de Riemann) mediante una integral indenida (la funci on integral deNewton). Ahora podemos calcular con mayor facilidad el valor de una integral denida. He ah la importanciade estos teoremas.NOTACI ON 3.8.2Sea funa funci on integrable en [a, b] y sea Funa antiderivada de fen [a, b]. Esusual escribir_baf(x) dx = F(x)ba= F(b) F(a).EJEMPLO 3.8.5_0sen xdx = cos x0= cos (cos 0) = 1 + 1 = 2. EJEMPLO 3.8.6_31(2x2+ 6x) dx =_23x3+ 3x2_31=_23 33+ 3 32__23 (1)3+ 3 (1)2_= (18 + 27) _ 23 + 3_= 42 + 23=1263+ 23=1283. EJERCICIOS DE REPASO 3.8.11. Eval ua cada una de las siguientes integrales denidasa)_21xdxb)_10dx1 +x2c)_11x2exdxd)_0e3xcos(2x) dx63CAPITULO3. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R Salom on Alarc on Araneda2. Seaf : [0, 1] R una funci on continua en [0, 1] y derivable en ]0, 1[ tal quef(0) =0 y0 f

(x) 1 x ]0, 1[. Prueba que__10f(t) dt_2_10f(t)3dt.Para ver las Soluciones de algunos de los Ejercicios de Repaso 3.8.1 presiona aqu 4.8RECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXI ON A INTERNET) 3.8.1Para ver un video donde se calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones integralespresiona aqu a) g(x)=_x1(t21)20dt b) h(x)=_2x_cos(t2) +t_dtc) g(x)=_x1s2s2+ 1 ds d) g(x)=_x2tan x11 +t4dt.64Captulo4Aplicaciones de la integral de Riemann4.1.Area de una regi on en el plano4.1.1.Area bajo una curvaDEFINICI ON 4.1.1Seaf:[a, b] R una funci on continua, conf 0 en [a, b], y sea R la regi onacotada limitada por la curvay=f(x), y las rectasy=0,x=a yx=b. Llamamos area bajo lacurva y = f(x) en [a, b] al area de la regi on R, la cu al est a dada por la cantidadA(R) =_baf(x) dx.Figura 4.1.Area bajo la curvaEJEMPLO 4.1.1Encuentra el area de la regi on acotada limitada por la curva y=x3, el eje x y lasrectas x = 0 y x = 2.Soluci on. Notemos que la funci onf(x)=x3es no negativa en [0, 2]. Luego, si llamamos R a laregi on acotada limitada por la curva y =x3, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 (vea la Figura 4.2 acontinuaci on), entoncesA(R) =_20f(x) dx =_20x3dx =14(2404) =164= 4. 65CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaFigura 4.2. La regi on acotada limitada por la curva y = x3, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2.4.1.2.Area entre curvasTEOREMA 4.1.1Seanf, g : [a, b] R funciones continuas tales quef(x) g(x) x [a, b].Entonces el area de la regi on R del plano entre las curvas y = f(x) e y = g(x) en el intervalo [a, b]est a dada porA(R) =_ba_f(x) g(x)_dx.Figura 4.3.Area entre curvasEJEMPLO 4.1.2Calcula el area de la regi on acotada limitada por las curvas y x3= 0, y x = 6y2y +x = 0.Soluci on. En primer lugar vamos a despejar la variable y para cada ecuaci on.y x3= 0 y = x3y x = 6 y = x + 62y +x = 0 y = x2.66Salom on Alarc on Araneda 4.1.AREA DE UNA REGION EN EL PLANOUn gr aco aproximado de las curvas nos permitir a decidir qu e hacer. Antes, es necesario encon-trar los puntos de intersecci on entre las curvas para determinar los intervalos en que una curvaest a ubicada sobre la otra. Estos puntos de intersecci on determinan los lmites de integraci on apro-piados. Vamos a intersectar las curvas de a dos:(y = x3 y = x + 6) x3= x + 6 x3x 6 = 0.Posibles races enteras de la ecuaci on anterior son {1, 2, 3, 6, 1, 2, 3, 6}. No es difcilchequear por simple inspecci on que x = 2 es una soluci on de la ecuaci on. M as a un, se com-prueba que x3x6 = (x2)(x2+2x+3), y que (x2+2x+3) no es factorizable a coecientesreales. De esta forma, x = 2 es la unica raz real de la ecuaci on x3 x 6 = 0. Entonces, re-emplazando en cualquiera de las ecuaciones obtenemos y = 23= 8 (o bien y = 2 + 6 = 8). Las curvas y = x3e y = x + 6 se intersecan en el punto (2, 8)._y = x3 y = x2_ 2x3+x = 0 x = 0.Entonces, reemplazandoencualquieradelasecuacionesobtenemosy =03=0(obieny = 02= 0). Las curvas y = x3e y = x2se intersecan en el punto (0, 0)._y = x + 6 y = x2_ 2x + 12 = x 3x = 12 x = 4.Entonces, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones obtenemos y = 4 + 6 = 2 (o bieny = (4)2= 2) Las curvas y = x + 6 e y = x2se intersecan en el punto (4, 2).Ahora estamos en condiciones de trazar las curvas:Figura 4.4. La regi on acotada limitada por las curvas y = x3, y = x + 6 e y =x2.67CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaNotemos que la regi on Rde la Figura 4.4 se puede dividir en otras dos regiones:what?you!!Figura 4.5. Divisi on de una regi ondonde hemos puesto f(x) =x + 6, g(x) =x3y h(x) = x2. Entonces, deducimos desde la Figura4.5 lo siguiente: f h en [4, 0], f g en [0, 2], R = R1 R2 yA(R) = A(R1) +A(R2).As,A(R) =_04_f(x) h(x)_dx +_20_f(x) g(x)_dx=_04_x + 6 _x2__dx +_20_x + 6 x3_dx=_04_32x + 6_dx +_20_x3+x + 6_dx=_34x2+ 6x_04+_x44+x22+ 6x_20=_34 02+ 6 0 _34(4)2+ 6 (4)__+_ 244+ 222+ 6 2 _ 044+ 022+ 6 0__= 12 + 10 = 22. EJERCICIOS 4.1.11. Calcula el area de la regi on acotada limitada por las curvas y = x2, y = 2x + 3 e y = 2 x2.2. Encuentra el area de la regi on encerrada por la curva xy = ln x; las rectas x = 1 y x = e, y eleje x. (SUG: para calcular la integral usa una sustituci on simple adecuada)Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.1.1 presiona aqu 4.868Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONEJERCICIOS PROPUESTOS 4.1.11. Determina el area de la regi on acotada determinada por la par abolay2 x=0 y la rectay = x.2. Encuentra el area de la regi on acotada por la recta x = 0 y la curva x =3y, y = 8.3. Determinaporintegraci onel areadeltri angulorect anguloconverticesen(5, 1), (1, 3)y(1, 2).4. Encuentra el area de la regi on acotada limitada por:a) La curva y = 9 x2y el eje x.b) La curva y = x x2, el eje x y las rectas x = 0 y x = 1.c) La curva y = sen x, el eje x y las rectas x =13 y x =23.d) Las curvas y = x e y = x3.e) La curva y = cos x sen x y la rectas x = 0 e y = 0.Para ver las Soluciones de algunos de los Ejercicios Propuestos 4.1.1 presiona aqu 4.8RECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXI ON A INTERNET) 4.1.11. Para ver un video donde se calcula el area de la regi on acotada delimitada por las funcionesf(x) = x + 2 y g(x) = x presiona aqu 2. Para ver un video donde se calcula el area de la regi on acotada delimitada por las funcionesf(x) = x2y g(x) = x2+ 2 presiona aqu 4.2. Volumen de un s olido de revoluci onDEFINICI ON 4.2.1Llamamos s olido de revoluci on al cuerpo obtenido al girar o rotar una supercieplana alrededor de una recta ja del mismo plano llamada eje de revoluci on del s olido.EJEMPLO 4.2.1Algunos cuerpos que se pueden describir como s olidos de revoluci on conocidosson: la esfera, el cono (circular recto), el cilindro, los paraboloides, los hiperboloides y los elipsoi-des.En las siguientes dos subsecciones estudiaremos el vol umen de s olidos de revoluci on obtenidos alrotar una regi on del plano cartesiano, primero en torno al eje x y luego en torno al eje y.4.2.1. M etodo del discoConsideremos la regi on Rdel plano entre la curva y = f(x) en [a, b], el eje x y las rectas x = a yx = b. Si hacemos girar la regi on Ren torno al eje x se obtiene un s olido de revoluci on y nos interesaencontrar su volumen.69CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaFigura 4.6. S olido de revoluci on obtenido al girar la regi on Rdeterminada por la curva y = f(x) en [a, b] entorno al eje x.Supongamos que f: [a, b] R es una funci on continua. Sea P= {x0, x1, ..., xn} una partici on de[a, b], sea k [xk1, xk] y consideremos el cilindro (o disco) de radio |f(k)| y altura k como enla Figura 4.7 a continuaci on.Figura 4.7. Cilindro o Disco de radio |f(k)| y altura k.Si Vk denota el volumen de este cilindro, tendremos queVk = _f(k)2k.Luego, el volumen Vdel s olido de revoluci on total debe ser aproximadamente igual a la sumatoriade todos los Vk. Es decir,V n

k=1Vk =n

k=1_f(k)2k,y usando la idea de aproximaci on de Riemann adaptada a vol umenes, podemos decir queV= lmP0n

k=1_f(x)2k = _ba_f(x)2dx.70Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONFigura 4.8. Cilindros conc entricos que aproximan el volumen de un s olido de revoluci on.TEOREMA 4.2.1Asumamos que f: [a, b] R es una funci on continua y no negativa. El s olido derevoluci on obtenido al girar en torno al eje x la regi on acotada R por la curva y =f(x), las rectasx = a, x = b y el eje x tiene volumen Vdado por la f ormulaV= _ba_f(x)2dx.EJEMPLO 4.2.2Encuentra el volumen de un cilindro de radio r y altura h.Soluci on. Ponemos f(x) = r en el intervalo [0, h]. Entonces obtenemos el volumen deseado:Figura 4.9. Cilindro de radio r y altura h.V= _h0_f(x)2dx = _h0r2dx = r2_h0dx = r2_xh0_= r2h. EJEMPLO 4.2.3Encuentra el volumen de un cono de radio r y de altura h.71CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaSoluci on. Antes que todo, jamos el radio basal r del cono sobre el eje y y la altura h del cono sobreel eje x. Luego, giramos en torno al eje x la regi on triangular encerrada por la recta que pasa por(h, 0) y (0, r) y los ejes cartesianos, para obtener el cono como un s olido de revoluci on. Notemosque la ecuaci on de la recta que pasa por (h, 0) y (0, r) determina una funci on f que depende de xde la siguiente forma: Ponemos y = f(x) y obtenemosf(x) 0r 0=x h0 h f(x) =rh(x h).Figura 4.10. Cono de radio basal r y altura hLuego, el volumen del cono es:V= _h0r2h2(x22xh +h2) dx = r2h2_x33x2h +h2x_h0= r2h2_h33h3/ +h3/_=r2h3. EJEMPLO 4.2.4Encuentra el volumen de un cono truncado de alturah, radio menorr1y radiomayor r2.Soluci on. Antes que todo, jamos el radio menorr1 del cono truncado sobre el eje y, la altura hdel cono truncado sobre el eje x, y el radio mayor r2 del cono truncado sobre la recta y = h. Luego,giramos en torno al eje x la regi on trapezoidal encerrada bajo la recta que pasa por (0, r1) y (h, r2),los ejes cartesianos y la recta y =h, para obtener el cono truncado como un s olido de revoluci on.Notemos que la ecuaci on de la recta que pasa por (0, r1) y (h, r2) determina una funci onfquedepende de x de la siguiente forma: Ponemos y = f(x) y obtenemosf(x) r1r2 r1=x 0h 0 f(x) =r2 r1hx +r1.72Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONFigura 4.11. Cono truncado de radio menor r1, radio mayor r2 y altura hV = _h0_r2 r1hx +r1_2dx= _h0_(r2 r1)2h2x2+ 2 (r2 r1)hr1x +r21_dx= _13(r2 r1)2h2x3+r2 r1hr1x2+r21 x_h0= h_r223 2r1r23+r213+r2r1 r21/ +r21/_= h3_r22 +r1r2 +r21_=h3(r22 r21)r2 r1. EJERCICIOS 4.2.11. Encuentra el volumen del s olido de revoluci on obtenido al girar en torno al eje x la regi on:R =___y = x2+ 1x = 1x = 12. Calcula el volumen del s olido de revoluci on que se obtiene al girar en torno al eje y la regi on:R =___y = x3y = 1y = 8Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.2.1 presiona aqu 4.873CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on Araneda4.2.2. M etodo del anillo circularTEOREMA 4.2.2Asumamos que f, g : [a, b] R son funciones continuas y no negativas tales quef g en [a, b]. El s olido de revoluci on obtenido al girar en torno al eje x la regi on acotada R entrelas curvas y = f(x) e y = g(x) y las rectas x = a y x = b tiene volumen Vdado por la f ormulaV= _ba__f(x)2_g(x)2_dx (4.1)Figura 4.12. Parte de un s olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje x la regi on entre las curvasy = f(x) e y = g(x) y las rectas x = a y x = b.OBSERVACI ON 4.2.1El mismo resultado se obtiene si consideramosfyg dos funciones no positivas en[a, b], con f g. En efecto, en este caso notamos que f y g son dos funciones no negativas, con f g.Notamos adem as que al girar la regi on R comprendida entre las curvas y= f(x) e y= g(x) en [a, b]y las rectasx=a ey=b, obtenemos exactamente el mismo s olido de revoluci on que al girar la regi onR

comprendida entre las curvasy =f(x) ey =g(x) en [a, b] y las rectasx=a ey =b. Y como[f(x)2_g(x)2= [f(x)2_g(x)2 0, entonces obtenemosV (R) = _ba_[f(x)2_g(x)2_dx = _ba_[f(x)2_g(x)2_dx = V (R

).EJEMPLO 4.2.5Calcula el volumen del s olido de revoluci on que se obtiene al girar en torno al ejex la regi on:R =___x2= y 22y x = 2x = 0x = 174Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONSoluci on. Para la primera ecuaci on tenemos:y = x2+ 2 (y = 2 si x = 0 y = 3 si x = 1) .Para la segunda ecuaci on tenemos2y x = 2 _y = 1 si x = 0 y =32si x = 1_.Luego, un gr aco aproximado del s olido al cual le queremos calcular su volumen es:Figura 4.13. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje x la regi on entre las curvas y =x2+ 2 e2y x = 2 y las rectas x = 0 y x = 1.Entonces,V (R) = _10__x2+ 2_2_x + 22_2_dx = _10_x4+ 4x2+ 4 x24x 1_dx= _x55+ 1512 x3x22+ 3x_10=7920 . EJEMPLO 4.2.6Calcula el volumen del s olido de revoluci on que se obtiene al girar en torno a larecta y = 3 la regi on:R =___x2= y 22y x = 2x = 0x = 175CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaSoluci on. La regi on R de este ejemplo es exactamente la misma regi on que aquella del ejemploanterior, pero en vez de girarla en torno al eje x (que equivale a girarla en torno a la recta y = 0),lagiraremosentornoalarectay =3. Notemosqueels olidoderevoluci onobtenidodieretotalmentedel anterior, tal comosepuedeapreciaral compararlaFigura4.13previaconlaFigura ?? siguiente:Figura4.14. S olidode revoluci onobtenido alrotar entorno ala rectay =3laregi onentre lascurvasy = x2+ 2 e 2y x = 2 en torno al eje x.En casos como este, conviene realizar un cambio de coordenadas adecuado que nos permitatrasladar el s olido de revoluci on y verlo como si estuvi esemos girando en torno al eje x, y entoncesaplicar nuestra teora. En particular, en este ejemplo usaremos el cambio de coordenadas:Y= y 3 X = x.Veamos c omo reinterpretar la regi on Ren t erminos de los nuevas coordenadas a partir del cambiode variables previo. Tenemos: x2= y 2 y = x2+ 2 y 3 = x21 Y= X21 2y x = 2 2(y 3) + 6 x = 2 2Y X = 4 Y=X2 276Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONLuego,R = Rx,y___x2= y 22y x = 2x = 0x = 1 R = RX,Y___Y = X21Y =X2 2X = 0X = 1.Con esto, el nuevo s olido tiene el mismo volumen que el s olido anterior con la ventaja que se haobtenido al girar Ren torno al eje X, luego, podemos aplicar la f ormula (4.1):Figura 4.15. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje X la regi on entre las curvas Y= X21 e2y = X 4.V (R) = _10__X2 2_2_X21_2_dX= _10_X242X + 4 X4+ 2X21_dX= _10_X4+ 94X22X + 3_dX= _X55+ 34 X3X2+ 3X_10=5120 . 77CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS 4.2.2Consideralaregi onnitalimitadaporlascurvasy =18x3ey =2x, queseencuentra en el semiplanoy 0. Calcula el volumen del s olido de revoluci on obtenido al girardicha regi on en torno:a) al eje xb) al eje yc) a la recta x = 6d) a la recta y = 2.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.2.2 presiona aqu 4.84.2.3. M etodo de las capas cilndricasConsideremos la regi on R del plano limitada por el gr aco de una funci on fen [a, b], el eje xy las rectas x=a y x=b. Si hacemos girar la regi on R en torno al eje y se obtiene un s olido derevoluci on y nos interesa calcular su volumen.Figura 4.16. Regi on limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b.Figura 4.17. S olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje y la regi on entre las curvas y = f(x), el ejex y las rectas x = a y x = b.Supongamos que f: [a, b] R es una funci on continua. Sea P= {x0, x1, ..., xn} una partici on de[a, b] y sea wk _xk1, xkel punto medio de este intervalo, a saber: wk =xk+xk12. Construyamosla capa cilindrica (anillo circular con lados rectos) con radio menor xk1, radio mayor xk y alturaf(wk).78Salom on Alarc on Araneda 4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIONFigura 4.18. Capa cilndrica de radio menor xk1, radio mayor xk y altura f(wk).Si Vk denota el volumen de esta capa cilndrica, entoncesVk= x2kf(wk) x2k1f(wk)= f(wk) (x2k x2k1)= f(wk) (xk +xk1) (xk xk1)= 2f(wk) (xk+xk1)2 k= 2wkf(wk) kLuegoel volumen V del s olidode revoluci ontotal debe ser aproximadamente igual a lasumatoria de todos los Vk:V=n

k=1Vk =n

k=12 wk f(wk) kFigura 4.19. Aproximaci on por capas cilndricas del s olido de revoluci on obtenido al rotar en torno al eje yla regi on entre las curvas y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b.79CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaEntonces, usando la idea de aproximaci on de Riemann podemos decir queV= lmP0n

k=1Vk = 2 lmP0n

k=1wk f(wk) k = 2_baxf(x) dx.TEOREMA 4.2.3Asumamos que f: [a, b] R es una funci on continua y no negativa. El s olido derevoluci on obtenido al girar en torno al ejey la regi on acotada R entre las curvasy=f(x), lasrectas x = a, x = b y el eje x tiene volumen Vdado por la f ormulaV= 2_baxf(x) dx (4.2)EJEMPLO 4.2.7Calcula el volumen del s olido que se obtiene al girar en torno al eje y la regi on entrela curva y = 2x x2y el eje x.Soluci on. Tenemos quey = (x22x + 1) + 1= (x 1)2+ 1 y = 0 (2 x)x = 0 x = 2 x = 0Figura 4.20. S olido que se obtiene al girar en torno al eje y la regi on entre la curva y = 2x x2y el eje x.Por lo tanto,V= 2_20x(2x x2) dx = 2_2x33x44_20= 2_2 83 4_=83. EJERCICIOS 4.2.31. Calcula el volumen del s olido que se obtiene al girar en torno a la recta x = 3 la regi on:R_y = x2y = x + 22. Considera la regi on acotada en el semiplano y 0 que est a limitada por las curvas y =18x3,y = 2x. Encuentra el volumen del s olido de revoluci on obtenido al girar la regi on en torno aleje y.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.2.3 presiona aqu 4.880Salom on Alarc on Araneda 4.3. VOLUMEN DE SOLIDOS CON SECCIONES PLANAS PARALELAS4.3. Volumen de s olidos con secciones planas paralelas conocidasDEFINICI ON 4.3.1Sea S un s olido en R3. Llamamos secci on plana de S a la intersecci on de un planocon S.Figura 4.21. Secci on plana de un s olido S.Ahora, sea P = {x0, x1, ..., xn} una partici on de [a, b] y consideremos wk [xk1, xk]. Cortemosel s olido por medio de secciones planas en los extremos de los intervalos [xk1, xk]; siendo lassecciones planas perpendiculares al eje x. Entonces estas secciones resultan paralelas entre s:Figura 4.22. Secciones planas paralelasLuego, para cada s olido Sk: consideramos la secci on planaRkque corresponde a la secci onplana de S que es la intersecci on del plano perpendicular al eje x que pasa por wk y completamosun cilindro recto en [xk1, xk] cuya base tiene igual forma a Rk.81CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaFigura 4.23. S olido cilndrico asociado al corte k- esimo.OBSERVACI ON 4.3.1Los cilindros no necesariamente son circulares rectos. Por ejemplo, la Figura4.24 a continuaci on representa un cilindro recto pues tiene dos caras paralelas llamadas bases y ellado esta formado por la uni on de rectas perpendiculares a sus bases.Figura 4.24. Cilindro recto que no posee base circular.Ahora, notemos que el volumen del k- esimo cilindro recto considerado est a dado porVk =Area basal altura = A(wk) k,donde A(wk) representa un area m ovil que depende de la elecci on de wk. Entonces, el volumendel s olido S es aproximadamente igual a:V (S) =n

k=1A(wk) k.Figura 4.25. Volumen aproximado de un S olido mediante cilindros.82Salom on Alarc on Araneda 4.3. VOLUMEN DE SOLIDOS CON SECCIONES PLANAS PARALELASPor ultimo, usando la idea de aproximaci on de Riemann, se concluye queV (S) = lmP0n

k=1A(wk) k =_baA(x)dx,donde A(x0) es el area de una secci on plana del s olido S que es perpendicular al eje x en el planox0, (A es una funci on continua en [a, b]).TEOREMA 4.3.1Sea Sun s olido tal que el area de cualquier secci on plana del s olido que es per-pendicular al ejex est a determinada por la funci onA: [a, b] R+0 . Entonces el volumenVdels olido S est a dado porV=_baA(x) dx. (4.3)EJEMPLO 4.3.1Encuentra el volumen de un s olido cuya base es un crculo de radio 2 y cuyas sec-ciones transversales a un di ametro jo de la base son cuadrados.Soluci on. Consideremos el crculo centrado en el origen de radio 2, cuya ecuaci on es:x2+y2= 22.Despejando y obtenemos,|y| =_4 x2.Luego, el area de la secci on transversal en un punto x [2, 2] es:A(x) = (2|y|)2= 4(4 x2).Figura 4.26. S olido cuya base es un crculo de radio 2 y cuyas secciones transversales a un di ametro jo dela base son cuadrados.Por lo tanto el volumen del s olido es:V= 4_22(4 x2) dx =1283. 83CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS 4.3.11. La base de un s olido es un crculo que tiene un radio de r unidades. Encuentra el volumen sitodas las secciones planas perpendiculares (secciones transversales) a un di ametro jo de labase son tri angulos equil ateros.2. Unacu nasecortadeuns olidoenformadecilindrocircularrectoconunradioderpulgadas,porunplanoquepasaatrav esdeundi ametrodelabaseyformaun angulode 45 con el plano de la base. Encuentra el volumen de la cu na.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.3.1 presiona aqu 4.84.4. Longitud de arco de una curvaSeafuna funci on continua en [a, b] tal quef

es continua en ]a, b[. Queremos determinar lalongitudde la curva y=f(x) con x [a, b]. Para ello, consideremos una partici on P= {x0=a, x1, ..., xn=b} de [a, b] y los segmentos cuyos extremos son (xk1, f(xk1)) y (xk, f(xk)), parak = {1, 2, . . . , n}.Figura 4.27. Longitud aproximada de una curva mediante una poligonal.Notemos que la longitud k del segmento que une (xk1, f(xk1)) y (xk, f(xk)) es:

k =_(xk xk1)2+_f(xk) f(xk1)_2.Luego, por el Teorema de Valor Medio, existe wk [xk1, xk] tal que

k=_(xk xk1) +_f

(wk)(xk xk1)2=_2k +_f(wk)22k=_1 +_f

(wk)2k(k> 0).84Salom on Alarc on Araneda 4.4. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVAEntonces la longitud total de la curva es aproximadamente n

k=1lk =n

k=1_1 +_f

(wk)2k,y usando la idea de Riemann obtenemos = lmP0n

k=1_1 +_f

(wk)2k =_ba_1 +_f

(x)2dx.TEOREMA 4.4.1Sea f: [a, b] R una funci on continua tal que f

es continua en ]a, b[. La longitud de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b est a dada por la f ormula =_ba_1 +_f

(x)2dx.EJEMPLO 4.4.1Sea f(x) = 3x23 10. Encuentra la longitud de la curva y = f(x), para x [8, 27].Soluci on. Notar quef

(x) =23 3x13Luego, =_278_1 + 4x23dx =_278x13_x23 + 4 dx.Usando el cambio de variables u = x23 + 4, obtenemos_x = 8 u =382+ 4 = 8x = 27 u =3272+ 4 = 13_du =23x13dx 32du = x13dx.Por lo tanto, =23_138udu =23 2u323138=_1332 832_= 1313 162. EJERCICIOS 4.4.11. Calcula la longitud de arco de la curva y = ln x en 1 < x < 2.2. Calcula la longitud de arco de la curva y = sen x en 0 x .Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.4.1 presiona aqu 4.885CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on Araneda4.5.Areas de supercies de revoluci onElproblemaquequeremosresolverenestasecci oneseldecalcularel areadeunasuper-ciederevoluci on. Paraello, ysiguiendolanotaci ondadaenlaFigura4.28acontinuaci on,Figura 4.28. Cono circular recto truncado.conviene recordar lo siguiente: el area de la supercie lateral curvada de un cono circular rectotruncado est a dada por la f ormula:A(S) = (r1 +r2) .Ahora, sea f: [a, b] R una funci on continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, con f 0. Al giraren torno al eje x la curva y = f(x) ubicada entre las rectas x = a y x = b, obtenemos una superciede revoluci on. Sea P = {x0 = a, x1, ..., xn = b} una partici on de [a, b] conk = xk xk1 =b an k {1, 2, . . . , n}.Figura 4.29. Aproximaci on de una supercie de revoluci on mediante supercies laterales de conos truncados86Salom on Alarc on Araneda 4.5.AREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIONSiconsideramosel k- esimoconotruncadocorrespondientealosradiosr1=f(xk)yr2=f(xk1), entonces su longitud lareral k asociada est a dada por:

k = d__xk1, f(xk1)_,_xk, f(xk)__=_(xk xk1)2+_f(xk) f(xk1)2.As, desde el Teorema del Valor Medio obtenemos:

k =_(xk xk1)2+_f

(wk)2(xk xk1)2=_1 +_f

(wk)2k. A(Sk) = k_f(xk) +f(xk1)_.Luego,A(S) n

k=1_f(xk) +f(xk1)__1 +_f

(wk)2k 2n

k=1f(wk)_1 +_f

(wk)2k.Y usando la idea de aproximaci on de Riemann, obtenemosA(S) = 2_baf(x)_1 +_f

(x)2dx.TEOREMA 4.5.1Sea f: [a, b] R una funci on continua tal que f

es continua en ]a, b[ y sea S lasupercie de revoluci on obtenida al girar en torno al ejex la curvay=f(x) desdex=a hastax = b. El area de la supercie S, denominada A(S), est a dada por la f ormulaA(S) = 2_baf(x)_1 +_f

(x)2dx.EJEMPLO 4.5.1Encuentra el area de la supercie de revoluci on al hacer girar en torno al ejex lacurva y = sen x en [0,2].Soluci on. En este problema podemos considerar f(x) = sen x, y as f

(x) = cos x.Luego,A = 2 _ 20sen x_1 + cos2xdx_u = cos xdu = sen xdx_u = 1 si x = 0,u = 0 si x =2= 2_01_1 +u2du= 2_10_1 +u2duAhora, notemos que_ _1 +u2du =_sec3 d_u = tan du = sec2 d1 +u2= 1 + tan2 = sec .87CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaSiguiendo con algunos c alculos directos, obtenemos_sec3 d = tan sec _sec tan2 d_ u = sec d v = sec2 dd u = sec tan d v = tan = tan sec _sec3 d +_sec d 2_sec3 d = tan sec + ln | sec + tan |_sec3 d =12_u_1 +u2+ ln_1 +u2+u_.Por lo tanto,A = _u_1 +u2+ ln_1 +u2+u_10= _2 + ln |2 + 1|_ 2,29558715 . EJEMPLO 4.5.2Encuentra el area de la supercie de revoluci on generada al girar en torno al eje xla curva 8a2y2= a2x2x4, para 0 x a, y 0.Soluci on. Despejando y y poniendo y = f(x) obtenemos:f(x) =_a2x2x48a2= x_a2x28a2 f

(x) =12 1_a2x2x48a218a2 (2a2x 4x3)=122aa22x2a2x2.Luego,1 + [f

(x)]2=8a2(a2x2) +a44a2x2+ 4x28a2(a2x2)=9a412a2x2+ 4x48a2(a2x2)=(3a22x2)28a2(a2x2)Por lo tanto,A = 2_a0f(x) _1 +f

(x) dx= 2_a0x_a2x28a2(3a22x2)28a2(a2x2)=28a2_a0x (3a22x2) dx=4a2_3a2x22 12x4_a0=4a2_a4=4a2. 88Salom on Alarc on Araneda 4.6. CENTRO DE MASAEJERCICIOS 4.5.1Halla el area de la supercie de revoluci on obtenida al girar el gr aco de f(x) =2x en [1, 4] en torno a:a) el eje xb) el eje yc) la recta x = 3d) la recta y = 4.Para ver los Desarrollos de los Ejercicios 4.5.1 presiona aqu 4.84.6. Centro de masaImaginemos por un instante que se colocan 2 masas, m1ym2, en puntosx1yx2del ejex,respectivamente. Representemos esta situaci on por dos bolas de plasticina sobre una regla (el ejex) ubicadas en ciertas partes de ella (los puntos x1 y x2). Nos interesa saber cual es el punto x dela regla donde se produce el equilibrio:Figura 4.30. Equilibrio de masasSeg un la ecuaci on de equilibrio m1d1 = m2d2; es decir:m1( x x1) = m2(x2 x) x =m1x1 +m2x2m1 +m2esta idea se puede extender a n masas: m1, m2, ..., mnubicadas en puntos x1, x2, ..., xnrespectivamente del eje x. Entonces el punto xde equilibriode las masas, conocidocomocentro de masa, est a dado por la f ormula: x =n

i=1mixin

i=1miEl numerador se llama Primer momento de masa del sistema y el denominador corresponde a laMasa total del sistema.89CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaLa idea anterior se puede extender a una masa distribuida de forma continua en un intervalo[a, b], con densidad variable () conocida, la cual se mide en unidades de masa por unidades delongitud. Antes, conviene notar que si la densidad es constante igual a0en el intervalo [a, b],entonces tendremosm = 0 (b a).Ahora, si la densidad es variable de forma continua en cada punto del intervalo, podemos con-siderar una partici on P= {x0=a, x1, x2, . . . , xn=b} del intervalo [a, b], y escoger un puntowk [xk1, xk], de manera que la masa mk en el k- esimo intervalo viene dada aproximadamentepormk (wk)k.Luego, la Masa total esm n

k=1(wk)k.Entonces, usando la idea de aproximaci on de Riemann, obtenemos que la masa total viene dadapor la f ormulam = lmP0n

k=1(wk)k =_ba(x)dx.Similarmente, en elk- esimo intervalo se tiene que el primer momento de masaMkviene dadoaproximadamente porMk wk mk = wk f(wk)k.Luego, el Primer momento de masa esM n

k=1(wk)k.Entonces, usando la idea de aproximaci on de Riemann, obtenemos que la masa total viene dadapor la f ormulaM= lmP0n

k=1wk(wk)k =_bax(x) dx.Por lo tanto, el punto x de equilibrio de las masas, llamado Centro de masa, est a dado por: x =_bax(x) dx_ba(x) dx.EJEMPLO 4.6.1Calcula la masa de un bate de beisbol de 30 pulgadas (0 x 30) con densidad(x) =_146 +x690_2slugs por pulgadas_1 slug = 1pies2_y hallar su centro de masa.90Salom on Alarc on Araneda 4.7. CENTROIDE DE UNA REGI ON PLANASoluci on. m =_300_ 146 +x690_2dx=6903_ 146 +x690_3300=6903__ 146 +30690_3_ 146_3_= 0, 06144 slugs M =_300x_ 146 +x690_2dx=_x24232 +x247610 +x41904400_300 1, 205 x =Mm 1, 2050, 06144 19, 6 pulgadas. OBSERVACI ON 4.6.1En un bate de beisbol el centro de masa es candidato a ser el punto optimopara batear (o punto dulce).4.7. Centroide de una regi on planaSea L una l amina homog enea, cuya densidad de area constante es 0kgm2, la cual se encuentralimitada en el plano cartesiano por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b, donde f esuna funci on continua en [a, b], con f 0 en [a, b].Figura 4.31. Centroide de una regi on planaSea P= {x0=a, x1, . . . , xn=b} una partici on de [a, b]. El centro de masa de la l aminaLkest a ubicado en el punto donde esta se equilibra, a saber (wk,12f(wk)), con wk [xk1, xk]. Notar91CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on Aranedaqueestoesasporquelal aminaeshomog enea.Ahora,esclaroqueelmomentodemasaconrespecto al eje y de la k- esima l amina Lk est a dado porMky=wk 0.. f(wk) k. .DensidadArea de Lkenunidades de pesounidades de areaLuego, el Momento de masa de L con respecto al eje y es:Mky n

k=1Mky=n

k=1wk 0f(wk)k My= 0lmP0n

k=1wkf(wk)k = 0_baxf(x) dx.Ahora, el momento de masa de L con respecto al eje x est a dado por:Mkx=12 f(wk) 0 f(wk) k. ..Masa de LkLuego, el Momento de masa de L con respecto al eje x es:Mx n

k=1Mk=12 0n

k=1_f(wk)2k Mx=12 0lmP0n

k=1_f(wk)2k =12 0_ba_f(x)2dx.Por otro lado, la masa total m de l amina L es:m n

k=1mk,donde mk representa la masa de la l amina Lk; a sabermk= 0 f(wk)k m 0n

k=1f(wk)k= 0lmP0n

i=1f(wk)k = 0_baf(x) dx.92Salom on Alarc on Araneda 4.7. CENTROIDE DE UNA REGI ON PLANAFinalmente, deducimos que el centro de masa o centroide de la l amina L est a ubicado en el punto:( x, y) con x =Mym=_baxf(x) dx_baf(x) dx y =Mxm=12_ba[f(x)]2dx_baf(x) dx.OBSERVACI ON 4.7.1Notar queMy =_baxf(x) dxcorresponde a2 del volumen del s olido de revoluci on obtenido al girar la regi on Rbajo la curva de f en [a, b]en torno al eje y, mientras queMx =12_ba[f(x)]2dxcorresponde a2 del volumen del s olido de revoluci on obtenido al girar la regi on Rbajo la curva de f en [a, b]en torno al eje x, y A =_baf(x) dx corresponde al area de la regi on R. Entonces, resulta evidente que hemospasado de un problema fsico a uno geom etrico.DEFINICI ON 4.7.1La cantidadMx recibe el nombre de momento de R con respecto al eje x. La canti-dadMy recibe el nombre de momento de Rcon respecto al eje y. Llamamos centro de masa de una regi onplana Ro centroide al punto ( x, y) de la regi on R, con x =MyAe y =MxA.EJEMPLO 4.7.1Halla el centroide de la regi on en el primer cuadrante limitada por la curva y2= 4x,el eje x y las rectas x = 1 y x = 4.Soluci on.f(x) = 2x12 [f(x)]2= 4x.Figura 4.32. Centroide de la regi on limitada por la curva y2= 4x, el eje x y las rectas x = 1 y x = 493CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaA =_41f(x) dx =_412x12dx =43x3241=283My=_41xf(x) dx =_41x _2x12_dx =45x5241=1245Mx=12_41[f(x)]2dx =12_414xdx = x241= 13 x =Mym=1243283=9335 y =Mxm=15283=4528 El centroide se halla en el punto_9335, 4528_. EJEMPLO 4.7.2Halla el centroide de la regi on limitada por las curvas y = x2y y = 2x + 3.Soluci on. y = x2 y = 2x + 3 _x22x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0_.A =_31[2x + 3 x2] dxMy=_31x[2x + 3 x2] dxMx=12_31_[2x + 3]2x4_dx =12_4x2+ 12x + 9 x4_31=54445 x =MyA= 1 y =MxA=54415323=175 El centroide se halla en_1, 175_. Figura 4.33. Centroide de la regi on limitada por las curvas y = x2y y = 2x + 394Salom on Alarc on Araneda 4.8. CENTROIDE DE UN S OLIDO DE REVOLUCI ON4.8. Centroide de un s olido de revoluci onSeafuna funci on continua en [a, b] tal quef0 en [a, b]. Sea Sun s olido homog eneo cu-ya densidad de volumen constante es0kgm3, obtenido al girar en torno a ejex la regi on R queest a limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y y = b.Sea P= {x0, x1, ..., xn} una partici on de [a, b] ywk [wk1, wk],wk =wk1 +wk2Notar que el centro de masa del disco circular recto de radio f(wk) y altura k en la gura esel punto (wk, 0, 0).El momento de masa del disco Sk con respectoal plano yz (i.e: x = 0 y, z) es:Mkyz =wk 0.. [f(wk)]2 k. .Densidad en Volumen de Skunidades de pesounidades de volumen95CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaLuego, el Momento de masa del s olido S con respecto al plano yz es:Myz n

k=1Mkyz= 0n

k=1wk_f(wk)2k Myz= 0 lmP0n

k=1wk_f(wk)2k(Riemann)= 0_bax_f(x)2dxSe deduce directamente que Mxz = 0 y Mxy = 0; y que m = 0_ba[f(x)]2dx.[Mxz momento de masa de S con respecto al plano xz (i.e: y= 0 x, z); Mxy momento demasa de S con respecto al plano xy. (i.e: z = 0 x, y) y m =masa de S].Entonces el centro de masa de S queda determinado por x =Myzm y =Mxzm z =Mxym=_bax_f(x)2dx_ba_f(x)2dx= 0 = 0y podemos llamar a ( x, 0, 0) el centroide de S (pues no depende de la densidad de masa; sino masbien de aspectos geom etricos). Notar que si ponemosMyz = _bax[f(x)]2dx V= _ba[f(x)]2dx (volumen del s olido)entonces x =MyzV.EJEMPLO 4.8.1Halla el centroide del s olido de revoluci on que se genera al hacer girar alrededordel eje x, la regi on limitada por la curva y = x2, el eje x y la recta x = 3.Soluci on.Mkyz= _30x(x2)2dx =2432V = _30(x2)2dx =2435 x =MyzV=52.Luego, el centroide est a en el punto_52, 0, 0_. 96Salom on Alarc on Araneda 4.8. CENTROIDE DE UN S OLIDO DE REVOLUCI ONFigura 4.34. Centroide del s olido de revoluci on que se genera al hacer girar alrededor del ejex, la regi onlimitada por la curva y = x2. el eje x y la recta x = 3.EJEMPLO 4.8.2Obt en el centroide del s olido de revoluci on generado por la rotaci on, alrededor deleje x, de la regi on limitada por la curva y = x2+ 1 y las rectas x = 1 y y = 1.Soluci on.Figura 4.35. Centroide del s olido de revoluci on generado por la rotaci on, alrededor del eje x, de la regi onlimitada por la curva y = x2+ 1 y las rectas x = 1 y y = 1.Mkyz= _10x_(x2+ 1)212dx =23 V = _10_(x2+ 1)212dx =1315 x =MyzV=1013.Luego, el centroide est a en el punto_1013, 0, 0_. 97CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS DE REPASO 4.8.1I.Area entre curvas1. Determina por integraci on el area del tri angulo rect angulo con vertices en (5, 1), (1, 3) y(1, 2).2. Encuentra el area de la regi on limitada por las curvas dadas en los siguientes ejercicios.a) y = 4 x2; eje x.b) y = 4x x2; eje x; x = 2; x = 3.c) y = sen x; eje x; x =13; x =23.d) y = x; y = x3.e) y = cos x sen x; x = 0; y = 0.3. Determina el area determinada por las tres curvas y = x2, y = 8 x2y 4x y + 12 = 0.4. Determina m de tal forma que la regi on sobre la curva y=mx2(m> 0), a la derechadel eje y, y bajo la recta y = m tenga un area de K unidades cuadradas, donde K> 0.5. Determinam de tal forma que la regi on sobre la rectay=mx y bajo la par abolay=2x x2tenga un area de 36 unidades cuadradas.6. Obt en el area de la regi on limitada por la curva x3x2+ 2xy y2= 0 y la recta x = 4.(SUGERENCIA: Resuelva la ecuaci on c ubica para y en t erminos de x, y exprese y comodos funciones de x.)II. Volumen de un S olido de revoluci on. M etodos del Disco y del Anillo Circular1. Encuentra el volumen del s olido de revoluci on generado al girar, alrededor de la rectaindicada, la regi on limitada por la curva x = y2, el eje x y la recta x = 4.a) La recta x = 4,b) El eje y.2. Encuentra el volumen del s olido generado al girar, alrederor del eje x, la regi on acotadapor la curva y = x3, el eje x, y la recta x = 2.3. Calcule el volumen de la esfera generada al girar alrededor del di ametro, la regi on en-cerrada por la circunferencia x2+y2= r2.4. La regi on limitada por la curva y = sec x, el eje x y la recta x =14 es girada alrededordel eje x. Determina el volumen del s olido generado.5. Determina el volumen del s olido de revoluci on generado, si la regi on limitada por unarco de la senoide o curva seno es girada alrededor del ejex. ( SUGERENCIA: Usa laidentidad sen2x =12(1 cos 2x).)98Salom on Alarc on Araneda 4.8. CENTROIDE DE UN S OLIDO DE REVOLUCI ONI. 6. Encuentre el volumen del s olido que se genera, si la regi on del ejercicio 6 se gira alrede-dor de la recta y = 1.7. La regi on acotada por la curva y = cotg x, la recta x =16 y el eje x es girada alrededordel eje x. Calcule el volumen del s olido que se genera.8. Determina el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor de la recta x = 4,de la regi on limitada por dicha recta y la par abola x = 4 + 6y 2y29. Encuentra el volumen del s olido generado al girar la regi on acotada por la par abolay2= 4x y la recta y = x alrededor de la recta x = 4.10. Encuentra el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor de la recta y = 3,de la regi on acotada por las dos par abolas y = x2y y = 1 +x x2.11. Un paraboloide de revoluci on se obtiene por la rotaci on de la par abola y2=4px alre-dedor del eje x. Encuentra el volumen limitado por un paraboloide de revoluci on y unplano perpendicular a su eje si el plano se encuentra a 10cm del v ertice, y si la secci onplana de la intersecci on es una circunferencia de 6cm de radio.12. Encuentra el volumen del s olido generado cuando la regi on limitada por un lazo de lacurva cuya ecuaci on es x2y2= (x29)(1 x2) gira alrededor del eje x.13. Un s olido de revoluci on se forma por la rotaci on, alrededor del eje x, de la regi on aco-tada por la curva y = 2x + 4, el eje x, el eje y y la recta x =c (c> 0). Con qu e valorde c el volumen ser a de 12 unidades c ubicas?14. La regi on acotada por la curva y = cosec x y las rectas y = 2, x =16, y x =56 se giraalrededor del eje x. Obt en el volumen del s olido que se genera.III. Volumen de un S olido de revoluci on. M etodo de las Capas Cilndricas1. La regi on limitada por las curvas x = y22 y x = 6 y2es girada alrededor de los ejesindicados. Determina el volumen del s olido generado al rotar la regi on en torno a:a) El eje x.b) El eje y.c) La recta x = 2.d) La recta y = 2.2. Encuentra el volumen del s olido generado si la regi on limitada por la par abolay2=4ax (a > 0) y la recta x = a se hace girar alrededor de x = a.3. Encuentra el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor de la recta y = 1,de la regi on limitada por dicha recta y la par abolax2=4y. Considere los elementosrectangulares de area paralelos al eje de revoluci on.4. Encuentra el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor del ejey, de laregi on limitada por la curva y = sen x2, el eje x y las rectas x =12 y x = .99CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaI. 5. Encuentra el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor del ejey, de laregi on exterior a la curva y = x2y entre las rectas y = 2x 1 y y = x + 2.6. Se hace un hoyo de 23 plg de radio a trav es del centro de un s olido de forma esf ericacon un radio de 4plg. Encuentra el volumen de la porci on del s olido que fue cortada.7. Encuentra el volumen del s olido generado por la rotaci on, alrededor del ejey, de laregi on acotada por la gr aca de y = |x 3|, las rectas x = 1, x = 5 y y = 0. Consideralos elementos rectangulares de area paralelos al eje de revoluci on.8. Un s olido de revoluci on forma por la rotaci on, alrededor del eje y, de la regi on acotadapor la curva y=3x, el eje x y la recta x =c (c> 0). Considera los elementos rectan-gulares de area paralelos al eje de revoluci on para determinar el valor de c que dar a unvolumen de 12 unidades c ubicas.IV. Volumen de un S olido con secciones planas paralelas conocidas1. La base de un s olido es la regi on acotada por una elipse que tiene ecuaci on 3x2+y2= 6.Encuentre el volumen del s olido si todas las secciones planas perpendiculares al eje xson cuadrados.2. La base de un s olido es la regi on encerrada por una circunferencia que tiene un radiode 7cm. Encuentre el volumen del s olido si todas las secciones planas perpendicularesa un di ametro jo de la base son tri angulos equil ateros.3. La base de un s olido es la regi on del ejercicio 2. Encuentre el volumen del s olido sitodas las secciones planas perpendiculares a un di ametro jo de la base son tri angulosis oceles, cuya altura es igual a al distancia de la secci on plana desde el centro de lacircunferencia.4. La base de un s olido es la regi on acotada por una circunferencia con radio de r unidades,y todas las secciones planas perpendiculares a un di ametro jo de la base son tri angulosis oceles rectos,cuya hipotenusa est a en el plano de la base. Encuentra el volumen dels olido.5. Halla el volumen de un tetraedro con tres caras perpendiculares entre s y tres aristastamb en perpendiculares entre s, cuyas longitudes son 3, 4 y 7plg.6. La base de un s olido es la regi on limitada por una elipse cuya ecuaci on es 2x2+y2= 8.Encuentra el volumen del s olido si todas las secciones planas perpendiculares al eje xson tri angulos is oceles con igual altura y longitud de base.7. La base de un s olido es la regi on acotada por una circunferencia de radio 9cm y cadasecci on plana perpendicular a un di ametro jo de la base es un cuadrado que tiene unacuerda de la circunferencia como su diagonal. Encuentra el volumen del s olido.100Salom on Alarc on Araneda 4.8. CENTROIDE DE UN S OLIDO DE REVOLUCI ONI. 8. La base de un s olido es la regi on acotada por la curva x = 2y y las rectas x + y = 0 yy = 9. Encuentra el volumen del s olido si todas las secciones planas perpendiculares aleje y son cuadrados que tienen una diagonal con un punto extremo en la recta x+y = 0y el otro punto extremo en la curva x = y.9. Una cu na se corta de un s olido, con forma de cilindro circular recto con un radio dercm, por un plano que pasa por un di ametro de la base y tiene una inclinaci on de 45orespecto al plano de dicha base. Encuentra el volumen de dicha cu na.V. Longitud de arco de la gr aca de una funci on1. Calcula la longitud del segmento de la recta y = 3x del punto (1, 3) al punto (2, 6) pormedio de tres m etodos:a) Usando la f ormula de la distancia entre dos puntos.b) Usando la f ormula estudiada en clase con respecto a x.c) Usando la f ormula estudiada en clase con respecto a y.2. Calcula el segmento de la recta 4x + 9y = 36 entre sus intercecciones con el eje x y el ejey mediante tres m etodos:a) Usando el Teorema de Pit agoras.b) Usando la f ormula estudiada en clase con respecto a x.c) Usando la f ormula estudiada en clase con respecto a y.3. Encuentra la longitud del arco de la curva 9y2= 4x3del origen al punto (3, 23).4. Halle la longitud del arco de la curva 8y=x4+ 2x2desde el punto dondex=1 alpunto donde x = 2.5. Encuentra la longitud del arco de la curvay=13(x2+ 2)32del punto dondex=0 alpunto donde x = 3.6. Obt en la longitud del arco de la curva y =13x(3x 1) del punto donde x = 1 al puntodonde x = 4.7. Halla la longitud del arco de la curva x23 +y23= 1 del punto donde x =18 hasta el puntodonde x = 1.8. Encuentra la longitud del arco de la curva_xa_23+_yb_23= 1 en el primer cuadrante,desde el punto donde x =18a hasta donde x = a.9. Encuentra la longitud del arco de la curva 9y2= x(x3)2, en el primer cuadrante, desdedonde x = 1 hasta donde x = 3.10. Si f(x) =_x0cos tdt, encuentra la longitud del arco de la gr aca de f desde el puntodondex=0 hasta donde 4x=._SUGERENCIA: Emplea el Teorema Fundamentaldel C alculo, as como la identidad cos212x =12(1 + cos x)_.101CAPITULO4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN Salom on Alarc on AranedaVI.Area de una Supercie de revoluci on1. En los temes a)-f), hallar el area de la supercie de revoluci on generada al girar el arcodado alrededor del eje que se indica.a) y =14x4+18x2, 1 x 2, el eje y,b) y =13x(3 x), 0 x 3, el eje x,c) y =13(2 +x2)32, 0 x 2, el eje y,d) y = x2, 0 x 2, el eje y,e) y = x3, 0 x 1 el eje x,f) y = 2x, 2 x 8, el eje x.2. El arco de la par abola x2= 4py entre (0, 0) y (2p, p) gira alrededor del eje y. Halla el areade la supercie de revoluci on:a) Integrando respecto a x.b) Integrando respecto a y.3. El lazo de 9y2= x(3x)2gira alrededor del eje y. Halla el area de la supercie generadade este modo.VII. Centro de masa de una barra1. Una partcula se mueve en lnea horizontal. Calcula la fuerza ejercida sobre ella si tienela masa y la aceleraci on que se indican.a) La masa es de 50 slugs y la aceleraci on de 5 pies/2.b) La masa es de 80 g y la aceleraci on de 50 cm/s2.2. Enlossiguientesejercicioshallalamasatotaldelabarradadayelcentrodemasacorrespondiente.a) La barra tiene 20cmde largo, y su densidad lineal en un punto a xcmde un extremoes de (2x + 3) kg/m.b) La barra tiene 9plg de longitud y su densidad lineal en un punto a xplg de uno desus extremos es de (4x + 1) slugs/plg.c) La barra tiene 12 cm de largo y la medida de su densidad lineal en un punto, es unafunci on lineal de la medida de la distancia desde el extremo izquierdo de la barra.La densidad lineal en el extremo izquierdo es de 3 g/cm y en el extremo derecho de4 g/cm. Determina la masa total de la barra.d) La medida de la densidad lineal en cualquier punto de una barra de 6 m de largovara directamente con la distancia del punto a un punto externo en la lnea de labarra y a 4cm de un extremo, donde la densidad es de 3 kg/m.102Salom on Alarc on Araneda 4.8. CENTROIDE DE UN S OLIDO DE REVOLUCI ONNOTA: Los ejercicios marcados con no se resuelven con el uso de una integral.VIII. Centroide de una regi on plana 1. Halla el centro de masa de las partculas cuyas masas son 1, 2 y 3 kg y est an ubicadasen los puntos (1, 3), (2, 1) y (3, 1), respectivamente. 2. La coordenaday del centro de masa de cuatro partculas es 5. Sus masas son 2, 5, 4 ymslugs y se hallan en los puntos (3, 2), (1, 0), (0, 20), (2, 2), respectivamente. Encuen-tre m. 3. Encuentra el centro de masa de las tres partculas, de igual masa, que se localizan en lospuntos (4, 2), (3, 0) y (1, 5).4. Halla el centroide de la regi on que tiene las fronteras indicadas.a) La par abola y = 4 x2y el eje x.b) La par abola y = x2y la recta y = 4.c) Las curvas y = x3y y = 4x en el primer cuadrante.d) Las curvas y = x24 y y = 2x x2.5. Encuentra el centro de masa de la l amina limitada por la par abola 2y2= 18 3x y el ejey, si la densidad de area en cualquier punto (x, y) es6 xkg/m2.6. Si el centroide de la regi on limitada por la par abola y2= 4px y la recta x = a se encuen-tra en el punto (p, 0), calcule el valor de a.7. UtilizaelteoremadePappusparahallarelcentroidedelaregi onlimitadaporunasemicircunferencia y su di ametro.8. Utiliza el teorema de Pappus para calcular el volumen de una esfera cuyo radio tiene runidades.9. SeaR la regi on limitada por la semicircunferenciay= r2x2y el ejex, emplee elteorema de Pappus para calcular el volumen del s olido de revoluci on generado por larotaci on de R alrededor de la recta x y = r.103DESARROLLOS DE LOS EJERCICIOS Salom on Alarc on Araneda104Desarrollos de los EjerciciosPara volver a los ejercicios del captulo y secci on respectiva, presiona sobre el tro de n umerosen rojo correspondiente.L 1 hDesarrollos de los Ejercicios 1.1.11. Sea an =1n. Entonces, para cada n N se tiene:0 < n < n + 1 1n + 1 1 an+1> an n N La sucesi on es creciente. 4. Notar que si n es par, entonces cos(n) = 1. Si n es impar entonces cos n= 1. Luego, no crece nidecrece, de hecho es una sucesi on alternada, pues cos(n) = (1)n. L 2 hDesarrollos de los Ejercicios 1.4.11. Si x = 0, el resultado es evidente pues lmn0n=lmn0 = 0.Sea 0 < |x| < 1entonces |x| =11 +a para alg un a > 0. Entonces|x|n=1(1 +a)n=11 +na + t erminos positivos