ejercicios cálculo integral

EJERCICIOS CLCULO INTEGRAL

1.

Encuentre el valor promedio de en el intervalo .

Rta.

Teniendo en cuenta que el valor promedio de sobre el intervalo resulta de calcular hallamos el valor promedio de la funcin planteada de la siguiente manera

Para continuar con la frmula del valor promedio tenemos que resolver la integral y lo hacemos aplicando la regla de la sustitucin:

Sacamos la constante, aplicamos la regla de la potencia

Reemplazamos

=

Calculamos los lmites

Teniendo el valor del lmite calculamos el valor promedio

2.

Halle el valor medio de la funcin en el intervalo

Rta.

Lo resolvemos aplicando el mismo procedimiento del ejercicio anterior ya que estamos aplicando el teorema del valor medio.

Para hallar el valor medio resolvemos primero la integral

Aplicamos la regla de la suma

Resolvemos la primera integral

Resolvemos la segunda integral

Resolvemos los lmites

Reemplazamos el valor de la integral para calcular el valor medio

3.

Sea hallar .

Rta.

Resolvemos primero la integral



Lo que nos da como resultado de la integral indefinida

Reemplazamos el valor de por el valor del lmite superior de la integral

Habiendo resuelto la integral procedemos a calcular el valor de

Si el lmite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el lmite es el valor de la integral. Si el lmite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

Evaluar las siguientes integrales impropias:

4.

Resolvemos la integral indefinida:

Aplicamos la integracin por partes:

Donde:

Aplicamos los lmites

Se concluye que esta integral impropia es convergente

5.

Resolvemos la integral indefinida

Aplicamos la integracin por sustitucin

Donde:

Reemplazamos los lmites:

Se concluye que la integral impropia es divergente.

Existen varios mtodos para resolver integrales como integracin por racionalizacin, integracin por sustitucin trigonomtrica, integracin por partes e integracin por fracciones parciales.

Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la tcnica o propiedad utilizada.

6.

Aplicamos la integracin por sustitucin donde:

Aplicamos nuevamente la integracin por sustitucin donde:

Reemplazamos

Simplificando tenemos:

Una vez estudiados los principios sobre integracin y analizados las diferentes tcnicas de integracin se procede a desarrollar la parte prctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso de anlisis de grficas (rea de regiones planas, rea de curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramtrica)

7.

Hallar el rea que hay entre las grficas y entre y .

Rta.

El rea entre dos funciones est dada por la frmula

Resolvemos para este caso primero la integral de

Resolvemos la integral indefinida aplicando la regla de la suma


Resolvemos ahora la integral de



Teniendo la solucin de cada una de las integrales hallamos el rea solicitada

8.

Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de y .

Rta.

Lo primero que se va a calcular es la interseccin de las curvas entonces:

Resolvemos por ecuacin cuadrtica para hallar los puntos que delimitan la grfica

-14

01

10

21

-14

03

12

21

Despus de realizada la grfica y teniendo el rea delimitada calculamos el rea tomando como limites 0 y 2. Entonces tenemos

Calculamos primero la integral de

Resolvemos la integral indefinida

Aplicamos la integral por sustitucin donde

Entonces

Sustituimos


Resolvemos la integral



Ahora calculamos el rea

9.

Hallar el rea de superficie lateral del slido que se obtiene al rotar la grfica de entre y alrededor del eje x.

Rta.El valor del rea es el resultado de la integral entonces tenemos:

Resolvemos primero la integral indefinida para luego resolver los lmites y obtener el valor del rea:

Sacamos la constante

Resolvemos aplicando la regla de la potencia y simplificamos

Resolvemos los lmites:

El rea de superficie lateral del slido equivale a

10.

Hallar la longitud de entre y

Rta.

Para hallar la longitud de y debemos resolver la integral definida

Primero simplificamos las fracciones en una sola y resolvemos la integral indefinida

Sacamos el valor de la constante

Aplicamos la regla de la suma



Sacamos la constante y resolvemos

Por lo tanto

Equivale a

Simplificamos:


Entonces

Este el valor de la longitud de

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