t3- cálculo integral

Prof. Susana López 1

Universidad Autónoma de Madrid

Cálculo Integral

1 Cálculo de Primitivas

1.1 Conceptos preliminares

Definición 1 (Función primitiva o antiderivada) Diremos que la función F(x) es una fun-ción primitiva o antiderivada de f (x) si

F 0 (x) = f (x)

para todo punto x ∈ Dom (f) .

Definición 2 (Integral Indefinida) Dada la función f, se llama integral indefinida de f alconjunto de todas las funciones primitivas de fZ

f (x) dx = F (x) +K

donde C es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f.

1.2 Integrales inmediatas y métodos de integración

Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos posteriores.

•Rkdx = kx+K

•Rxndx = 1

n+1xn+1 +K para todo n 6= −1

•R1xdx = lnx+K

•Rexdx = ex +K

•Raxdx = 1

ln aax +K

•Rsinxdx = − cosx+K

•Rcosxdx = sinx+K

•Rtanxdx = − ln (cos x) +K

•R

1cos2 x

dx =R(1 + tan2 x) dx =

Rsec2 xdx = tanx+K


•R

1sin2 x

dx =R(1 + cot2 x) dx =

Rcsc2 xdx = − cotx+K

•R

1√1−x2dx = arcsinx+K

•R

11+x2

dx = arctanx+K

•R

1√1+x2

dx = ln¯̄x+√1 + x2

¯̄+K

Propiedades:

1. Si f es derivable Zf 0 (x) dx = f (x)

2. Si f es integrabled

dx

Zf (x) dx = f (x)

3. Para toda f y g integrables.Zf (x)± g (x) dx =

Zf (x) dx±

Zg (x) dx

4. Para todo escalar a ∈ R y toda función integrableZaf (x) dx = a

Zf (x) dx

Cuando una función no es inmeditamente integrable existen distintos métodos de integraciónque nos podrán ayudar a la hora de calcular su integral.

1.2.1 Cambio de variable:

Sea ϕ una función con derivada ϕ0 continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendot = ϕ (x) tenemos entonces que dt = ϕ0 (x) dxZ

f (ϕ (x))ϕ0 (x) dx =

Zf (t) dt

I =

Ze2x−5dx

tomamos t = 2x− 5 de manera que dt = 2dx luego dx = 12dt sutituyendo tenemos

I =

Ze2x−5dx =

Zet1

2dt =

1

2

Zetdt =

1

2et +K


I =

Zx3 cosx4dx

tomamos t = x4 de manera que dt = 4x3dx, sustituyendo obtenemos

I =

Zx3 cosx4dx =

Z1

4cos tdt =

1

4sin t+K

A través del método de cambio de variable tenemos que las siguientes integrales se conviertenen inmediatas:

•R[f (x)]n f 0 (x) dx = 1

n+1[f (x)]n+1 +K para todo n 6= −1

•R f 0(x)

f(x)dx = ln f (x) +K

•Rf 0 (x) ef(x)dx = ef(x) +K

•Rf 0 (x) af(x)dx = 1

ln aaf(x) +K

•Rf 0 (x) sin f (x) dx = − cos f (x) +K

•Rf 0 (x) cos f (x) dx = sin f (x) +K

•Rf 0 (x) tan f (x) dx = − ln (cos f (x)) +K

•R f 0(x)cos2 f(x)

dx =R(1 + tan2 f (x)) dx =

Rsec2 f (x) dx = tan f (x) +K

•R f 0(x)sin2 f(x)

dx =R(1 + cot2 f (x)) dx =

Rcsc2 f (x) dx = − cot f (x) +K

•R f 0(x)√

1−f(x)2dx = arcsin f (x) +K

•R f 0(x)

1+f(x)2dx = arctan f (x) +K

•R f 0(x)√

1+f(x)2dx = ln

¯̄̄̄x+

q1 + f (x)2

¯̄̄̄+K


1.2.2 Integración por partes:

Este método se suele emplear cuando tenemos en el integrado el producto de dos funciónes. Siu y v son dos funciones de x tales que sus derivadas son continuas entonces:Z

udv = uv −Z

vdu

Consideremos distintas situaciones que pueden aparecer en las que aplicaremos integraciónpor partes.

•RP (x) lnxdx donde P (x) es un polinomio.

En este caso tomaremos

u = lnx du = 1xdx

dv = P (x) dx v =RP (x) dx

de manera que

I = P (x) lnx−Z1

x

µZP (x) dx

¶dx

I =

Zx lnxdx

tomamosu = lnx du = 1

xdx

dv = xdx v = 12x2

entonces

I =

Zx lnxdx =

1

2x2 lnx−

Z1

2x21

xdx =

=1

2x2 lnx− 1

2

Zxdx =

=1

2x2 lnx− 1

4x2 +K

•RP (x) sinx dx o

RP (x) cosx dxdonde P (x) es un polinomio.

En el casoRP (x) sinx dx tomaremos

u = P (x) du = P 0 (x) dxdv = sinxdx v = − cosxdx

de manera que

I = sinx lnx+

ZP 0 (x) cosxdx


En el casoRP (x) cosx dx tomaremos

u = P (x) du = P 0 (x) dxdv = cosxdx v = sinxdx

de manera que

I = cosx lnx−Z

P 0 (x) sinxdx

I =

Zx sinxdx

tomamosu = x du = dx

dv = sinxdx v = − cosxentonces

I =

Zx sinxdx = −x cosx+

Zcosxdx =

= −x cosx+ sinx+K

•RP (x) exdx donde P (x) es un polinomio.

En este caso tomaremosu = P (x) du = P 0 (x) dxdv = exdx v = exdx

de manera que

I = P (x) ex −Z

P 0 (x) exdx

I =

Zxexdx

tomamosu = x du = dx

dv = exdx v = ex

entonces

I =

Zxexdx =

= xex −Z

exdx =

= xex − ex +K

• I =Rex cosxdx o I =

Rex sinxdx habrá que aplicar integración por partes dos veces.


Consideremos la integral I =Rex cosxdx, tomaremos

u = ex du = exdxdv = cosxdx v = sinx

entonces

I =

Zex cosxdx =

= ex sinx−Z

ex sinxdx

volvemos a aplicar la integración por partes aRex sinxdx

u = ex du = exdxdv = sinxdx v = − cosx

de manera que

I = ex sinx−µ−ex cosx−

Z− cosxexdx

¶=

= ex sinx+ ex cosx−Z

ex cosxdx =

tenemos entonces queI = ex sinx+ ex cosx− I

despejando I obtenemos

2I = ex sinx+ ex cosx

I =ex sinx+ ex cosx

2


• Por último, también aplicaremos integración por partes cuando la función a integrar seaun poco complicada como

I =

Zlnxdx

tomamosu = lnx du = 1

xdx

dv = dx v = x

entonces

I =

Zlnxdx =

= x lnx−Z

x1

xdx =

= x lnx− x+K

1.2.3 Integración de funciones racionales: P (x)Q(x)

Veremos cómo integrar cualquier función racionalZP (x)

Q (x)dx

(P (x) y Q (x) son funciones polinómicas) expresándola como suma de fracciones más simples.

El grado de P (x) es mayor o igual que el grado de Q (x) Dividimos los polinomios

P (x)

Q (x)= C(x) +

R (x)

Q (x)

donde R (x) es de menor grado que Q (x), de manera queZP (x)

Q (x)dx =

ZC(x)dx+

ZR (x)

Q (x)dx

la primera integral no ofrece problemas ya que es la integral de un polinomio, en la siguienteintegral tenemos un cociente de polinomios donde el grado del numerador es mayor que el gradodel donominador. En la siguiente sección veremos como resolver este tipo de integrales.

El grado de P (x) es menor o igual que el grado de Q (x) Entonces podemos escribir elcociente como suma de múltiplos constantes de funciones del tipo

1

(x− a)n,

x

(x2 + cx+ d)m,

1

(x2 + cx+ d)m

llamadas funciones simples.Lo primero que debemos hacer es estudiar las raíces del denominador, de manera que nos

pueden aparecer los siguientes casos:


• El denominador Q (x) tiene n raíces reales simples:

Q (x) = (x− a1) (x− a2) · · · (x− an)

En este caso la fracción P (x)Q(x)

se descompone en los siguientes sumandos:

P (x)

Q (x)=

A1(x− a1)

+A2

(x− a2)+ · · ·+ An

(x− an)Zx+ 5

x2 + x+ 2dx

Factorizamos el denominador

x2 + x− 2 = (x+ 2) (x− 1)

y descomponemos x+5x2+x+2

en sumandos

x+ 5

x2 + x+ 2=

A

(x+ 2)+

B

(x− 1) =A (x− 1) +B (x+ 2)

(x+ 2) (x− 1)

de manera quex+ 5 = A (x− 1) +B (x+ 2) = (A+B)x+ (2B −A)

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1 = A+B

5 = 2B −A

cuya solución es A = −1, B = 2. Ahora podemos realizar la integralZx+ 5

x2 + x+ 2dx =

Z2

(x− 1) −1

(x+ 2)dx = 2 ln |x− 1|− ln |x+ 2|+K

• El denominador Q (x) tiene n raíces reales múltiples:

Q (x) = (x− a1)α1 (x− a2)

α2 · · · (x− an)αn



P (x)

Q (x)=

A1(x− a1)

+A2

(x− a1)+· · ·+ Aα1

(x− a1)α1+· · ·+

B1(x− an)

+B2

(x− an)+· · ·+ Bαn

(x− an)αn


Z4x

x3 − x2 − x+ 1dx

Factorizamos el denominador

x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1) (x− 1)2

y descomponemos 4xx3−x2−x+1 en sumandos

4x

x3 − x2 − x+ 1=

A

(x+ 1)+

B

(x− 1) +C

(x− 1)2=

A (x− 1)2 +B (x+ 1) (x− 1) + C (x+ 1)

(x+ 1) (x− 1)2

de manera que

4x = A (x− 1)2 +B (x+ 1) (x− 1) + C (x+ 1) = (B +A)x2 + (−2A+ C)x−B +A+ C

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

0 = B +A

4 = −2A+ C

0 = −B +A+ C

cuya solución es A = −1, B = 1, C = 2. Ahora podemos realizar la integralZ4x

x3 − x2 − x+ 1dx =

Z −1(x+ 1)

+1

(x− 1) +2

(x− 1)2dx− ln (x+ 1)+ln (x− 1)− 2

x− 1 +K

• El denominador Q (x) tiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de loscuales se repite, por ejemplo:

Q (x) =¡ax2 + bx+ c

¢(x− d)



P (x)

Q (x)=

A

(x− d)+

Bx+ C

(ax2 + bx+ c)


Zx

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4)dx

En este caso descomponemos x(x−2)(x2+1)(x2+4) en los siguientes sumandos

x

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4) =A

(x− 2) +Bx+ C

(x2 + 1)+

Dx+E

(x2 + 4)=

operando e igualando coeficientes obtenemos: A = 120, B = − 2

15, C = 1

15,D = 1

12, E = − 2

12por

tanto,Zx

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4)dx =Z µ

1

20

1

(x− 2) +1

15

1− 2x(x2 + 1)

+1

12

x− 2(x2 + 4)

¶dx =

=1

20ln |x− 2|+ 1

15

¡arctanx− ln

¯̄x2 + 1

¯̄¢+1

12

µ1

2ln¯̄x2 + 4

¯̄− arctan 1

2x

¶+K

• El denominador Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos

Q (x) = x¡ax2 + bx+ c

¢nen ese caso P (x)

Q(x)se descompone en los siguientes sumandos:

P (x)

Q (x)=

A

x+

A1x+B1(ax2 + bx+ c)

+A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n

Zdx

(x2 + 1)2 x

En este caso la fracción 1(x2+1)


1

x (x2 + 1)2=

Ax+B

(x2 + 1)+

Cx+D

(x2 + 1)2+

E

x=(Ax+B) (x2 + 1)x+ (Cx+D)x+E

³(x2 + 1)

2´

(x2 + 1)2=

=(A+E) x4 +Bx3 + (A+ 2E + C)x2 + (B +D)x+E

x (x2 + 1)2

igualando coeficientes y resolviendo

0 = A+E0 = B

0 = A+ 2E + C0 = B +D1 = E


obtenemos como solución A = −1, B = 0, C = −1,D = 0, E = 1. LuegoZdx

(x2 + 1)2 x=

Z µ− x

x2 + 1− x

(x2 + 1)2+1

x

¶dx = −1

2ln¡x2 + 1

¢+

1

2 (x2 + 1)+ ln |x|+K

Muchas funciones se convierten en racionales mediante cambios de variables. Por ejemploZR(ex)dx

función racional de ex que se convierte en racional haciendo u = ex, du = exdx y obtenemosentonces Z

R (u)

udu

Ze2x

e4x − 1dx

realizando el cambio u = ex, du = exdx obtenemos la integralR

u2

u4−1dx


EJERCICIOS:

1. Calcula las siguientes integrales inmediatasR2xe(x

2−1)dx = ex2−1R

2x sinx2dx = − cosx2R3√

1−9x2dx = arcsin 3xRex

cos2(1+ex)dx = 1

cos(1+ex)sin (1 + ex)R

2xcos2 x2

dx = 1cosx2

sinx2R1√9−x2dx = arcsin

13xR

(5x2 + 3 cosx)dx = 53x3 + 3 sinxR

143x2+27

dx = 149arctan 1

3xR

aa−xdx = − (ln (a− x)) aRdx

3x2+5= 1

15

√15 arctan 1

5x√15R

xe−(x2+1)dx = −1

2e−x

2−1Rx7x

2dx = 1

2 ln 77x

2Re1/x

x2dx = −e 1xR

2 sinx cosxdx = sin2 xRex

ex−1dx = ln (ex − 1)R

etdt√1−e2t = arcsin (e

t)R cos√x√

xdx = 2 sin

√xR

cosx√2dx = 1

2(sinx)

√2

2. Calcula las siguientes integrales aplicando el método de integración apropiadoRx+3√

x2+2x+2dx =

p(x2 + 2x+ 2) + 2 ln

¯̄̄p(x2 + 2x+ 2) + (x+ 1)

¯̄̄Rx2 sin 3xdx = −1

3x2 cos 3x+ 2

27cos 3x+ 2

9x sin 3xR

x2√1−x2dx = −

12xp(1− x2) + 1

2arcsinxR

sin2 x cos3 xdx = −15sin5 x+ 1

3sin3 xR

x(2x+ 5)10dx = x22(2x+ 5)11 − 1

528(2x+ 5)12R

1+x1+√xdx = −4 ln (1 +√x) + 4√x− x+ 2

3(√x)3R

dx√ex−1 = 2arctan

p(ex − 1)R

dxx√x2−2 = −

12

√2 arctan

√2√

(x2−2)Rx2

3√x3+1dx =12

³3p(x3 + 1)

´2Rx√x+1

dx =p(1 + x)

¡23x− 4

3

¢Rsin2 xdx =

¡−12cosx sinx+ 1

2x¢R

cos5 x dx = 15sinx cos4 x+ 4

15cos2 x sinx+ 8

15sinxR

tan4 xdx = 13tan3 x− tanx+ x


Rx3xdx = x

ln 33x − 1

ln2 33xR

4x−6x2−7x+13dx = 2 ln (x

2 − 7x+ 13) + 163

√3 arctan 1

3(2x− 7)

√3R

lnxdx = x lnx− xRx2 lnxdx = 1

3x3 lnx− 1

9x3R

lnx√xdx = 4

√x ln√x− 4√xR

x2+3x−4x2−2x+8dx = x+ 5

2ln (x2 − 2x+ 8)−

√7 arctan 1

7(x− 1)

√7R

x2exdx = x2ex − 2xex + 2exRex(x2 − 2x− 1)dx = x2ex − 4xex + 3exRx

x2+9dx = 1

2(ln (x2 + 9))R

x√1−x4dx =

12arcsinx2R

x2+1x3−6x2+8xdx =

18lnx− 5

4ln (x− 2) + 17

8ln (x− 4)R

1x3+5x2+8x+4

dx = ln (1 + x) + 1x+2− ln (x+ 2)R

x sin 2xdx = 14sin 2x− 1

2x cos 2x

3. Calcula las siguientes integralesRsinx cosxdx = 1

2sin2 xR

sinx1+cosx

dxRsinx+cosxsinx−cosxdx = ln (sinx− cosx)R

3x+1x3−x2−x+1dx = −

12ln (1 + x)− 2

−1+x +12ln (−1 + x)R

2x+33x2+x+1

dx = 13ln (3x2 + x+ 1) + 16

33

√11 arctan 1

11(6x+ 1)

√11R

34+9x2

dx = 12arctan 3

2xR

xe−x2dx = −1

2e−x

2R5x√1+x2

dx = 5p(x2 + 1)R

14x2+9

dx = 16arctan 2

3xR

5x cos(x2 + 3)dx = 52sin (x2 + 3)R

x+1(x−1)2dx = −

2x−1 + ln (x− 1)R

x2 sinxdx = −x2 cosx+ 2 cosx+ 2x sinxRx+3√9−x2dx = −

p(9− x2) + 3 arcsin 1

3xR

x2e−xdx = −x2e−x − 2xe−x − 2e−xRx4−3x3−3x−2x3−x2−2x dx = 1

2x2 − 2x+ lnx+ 5

3ln (x+ 1)− 8

3ln (x− 2)R

x(sin 2x+ ln(1 + x2))dx = 14sin 2x− 1

2x cos 2x+ 1

2(x2 + 1) (ln (1 + x2))R

(x2 + 1)e−2xdx = −34e−2x − 1

2x2e−2x − 1

2xe−2xR

x3−2x2+x−1x2−3x+2 dx = x+ 1

2x2 + ln (x− 1) + ln (x− 2)R

dx√x cos2

√x= 2

cos√xsin√x = tan

√x


2 La integral definida

2.1 La integral de Riemann

Vamos a definir el concepto de integral de Riemann de una función acotada en un intervalocerrado [a, b] ⊂ R por medio de sumas superiores e inferiores que nos servirán en el cálculo deáreas.Para ello lo primero que vamos a hacer es definir que es una partición de un intervalo.

Definición 3 (Partición) Dado un intervalo [a, b] ⊂ R, llamaremos partición de [a, b] a unacolección finita de puntos del intervalo P = {x0, x1, ..., xn}, tales que x0 = a < x1 < ... < xn = b.El intervalo [a, b] queda dividido en subintervalos [xi, xi+1], donde i = 0, 1, 2, ..., n− 1.

Definición 4 (Sumas superiores e inferiores) Sea f : [a, b] → R una función acotada ysea P = {x0, x1, ..., xn} una partición de [a, b].

• Definiremos L(P, f) como la suma inferior de f con relación a la partición P del siguientemodo:

L (P, f) =nXi=1

mi (xi − xi−1)

donde mi es el valor ínfimo que toma la función f en el subintervalo [xi−1, xi]

mi = inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}

• Definiremos U(P, f) como la suma superior de f con relación a la partición P del siguientemodo:

L (P, f) =nXi=1

Mi (xi − xi−1)

donde mi es el valor supremo que toma la función f en el subintervalo [xi−1, xi]

mi = sup {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}

Definición 5 (Integrabilidad) Diremos que una función f:[a, b] → R acotada es integrableRiemann (o simplemente integrable) en [a, b] si se da la siguiente igualdad

sup {L (P, f) : P es una partición de [a, b]} = inf {U (P, f) : P es una partición de [a, b]}

y ese número común se denota por Z b

a

f (x) dx oZ b

a

f

El número a se llama límite inferior de integración mientras que b es el límite superior deintegración.


3.5 4 4.5 5

-100

-75

-50

-25

25

50

75

Figure 1: f (x) = 1x−4 en [3,5]

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figure 2: f (x) = |x|xen [-1,1]

Teorema 1 Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es integrableen [a, b].

¿Es cierto el recíproco? Es decir, ¿ es toda función integrable continua?.

Teorema 2 (Criterio de integrabilidad de Riemann) Sea f:[a, b] → R acotada. Diremosque es integrable-Riemann si y sólo si para todo > 0 existe una partición P del intervalo [a, b]tal que

U (P , f)− L (P , f) <

Esto es lo mismo que decir que podemos construir unas sucesiones Ln y Un de sumasinferiores y sumas superiores que convergen hacia un mismo número, es decir

limn→∞

L (Pn, f) = limn→∞

U (Pn, f) =

Z b

a

f (x) dx

A continuación vamos a definir la integral como el límite de una suma, para ello de nuevotomamos una función f : [a, b] → R acotada y consideramos las llamadas sumas de Riemannde f :

S (Pn, f) =nXi=1

f (ξi) (xi − xi−1)


donde Pn = {x0, x1, ..., xn} es una partición de [a, b] y ξi ∈ [xi−1, xi] entonces se verifica elsiguiente criterio de integrabilidad:

Teorema 3 f es integrable si y solo si existe

limn→∞

S (Pn, f)

y es independiente de la elección de los puntos ξi, siendo Pn la partición definida anteriormentepara cada n.


2.2 Propiedades de las integrales definidas

Linealidad:

Si f, g : [a, b]→ R son funciones integrables y λ ∈ R entonces:

a. f + g es integrable yR ba(f ± g) =

R baf ±

R bag.

b. λf es integrableR baλf = λ

R baf

Monotonía:

Dadas f, g : [a, b] → R funciones integrables tales que f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b]entonces: Z b

a

f ≤Z b

a

g

De aquí se deduce que si f es integrable y no negativa en [a, b] entonces:Z b

a

f ≥ 0

Acotación:

Si f : [a, b]→ R es una función integrable, existe dos números m,M ∈ R tales que

m (b− a) ≤Z b

a

f ≤M (b− a)

donde podemos tomar a m y a M como cotas inferior y superior respectivamente de f.

Aditividad respecto del intervalo:

Sea f : [a, b]→ R acotada, y sea c ∈ [a, b], entonces f es integrable en [a, b] si y sólo si loes en [a, c] y en [c, b], verificándose además:Z b

a

f =

Z c

a

f +

Z b

c

f

Observaciones:

•R aaf = 0

•R baf = −

R abf

• Si f es integrable en [a, b] y g coincide con f en [a, b] salvo en un número finito de puntos,entonces g es integrable en [a, b] y

R baf =

R bag.


3 Teoremas fundamentales del cálculo integral

Teorema 4 • Toda función f : [a, b]→ R monótona es integrable.

• Si f es continua es [a, b] entonces es integrable en [a, b].

• Si f está acotada y tiene un conjunto finito, o incluso infinito numerable de discon-tinuidades en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Teorema 5 Si f es integrable en [a, b] y g es continua es un intervalo cerrado que contenga af ([a, b]) entonces g ◦ f es integrable en [a, b].

Teorema 6 (Teorema del valor medio) Si f : [a, b]→ R es una función continua y deriv-able en (a, b) entonces existe un c ∈ [a, b] tal que:

f 0 (c) =f (b)− f (a)

(b− a)

Teorema 7 (Teorema del valor medio para integrales) Si f : [a, b] → R es una funcióncontinua, entonces existe un c ∈ [a, b] tal que:Z b

a

f = f (c) (b− a)

Este teorema admite una sencilla interpretación geométrica: el área del trapecio curvilíneodelimitado por l a gráfica de la función y el eje en el intervalo [a, b] coincide con el área de unrectángulo que tuviera como base el intervalo [a, b] y la altura f (c) para cierto c ∈ [a, b].

Teorema 8 (Teorema del valor medio generalizado) Si f y g son dos funciones contin-uas en [a, b] y g (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], existe un c ∈ [a, b] tal queZ b

a

f (x) g (x) dx = f (c)

Z b

a

g (x) dx

Teorema 9 (Teorema fundamental del cálculo) Sea f : [a, b]→ R integrable. La funciónF : [a, b]→ R definida por

F (x) =

Z x

a

f (t) dt

se denomina función integral y verifica las siguientes propiedades:

a. F es continua en [a, b].

b. Si f es continua en c ∈ [a, b] entonces F es derivable en c y F 0 (c) = f (c) .

Teorema 10 Sea f : [a, b]→ R continua entonces para todo x∈ [a, b] se tiene

d

dx

∙Z x

a

f (t) dt

¸= f (x)


Teorema 11 (Regla de Barrow) Si f es una función continua en [a, b] y G una funcióncontinua en [a, b], derivable en (a, b) y G0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) entonces:Z b

a

f (t) dt = G (b)−G (a)


4 Aplicaciones de la integral

4.1 Área entre la región de dos curvas

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b], el área de laregión acotada por las gráficas de f y g entre las rectas verticales x = a y x = b es

A =

Z b

a

[g (x)− f (x)] dx

52.50-2.5-5

125

100

75

50

25

0

x

y

x

y

ex curva gruesa, e−x curva delgada, x = 1 línea punteada.

Cuando dos curvas se cruzan y queremos calcular el área comprendida entre ellas, primerotendremos que calcular los puntos de corte de ambas curvas, por ejemplo pensemos en el áreacomprendida entre la gráfica f (x) = 2− x2 e g (x) = x, en este caso f (x) ≥ g (x) para todo xcomprendido entre los puntos de corte entre ambas gráficas por tanto el área de la curva será

52.50-2.5-5

5

0

-5

-10

-15

-20

xy

xy

A =R 1−2 (f (x)− g (x)) dx

Si dos curvas se cortan en más de dos puntos, de nuevo hay que calcular los puntos donde lascurvas se cortan y tener en cuenta cuando una curva está por encima de otra cuando integramos.


2.521.510.50-0.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

Curva gruesa y = (x− 1)3, curva delgada y = (x− 1)

Hay que tener que curva está por encima y cual por debajo, en este caso tendremos portanto: Z 1

0

¡(x− 1)3 − (x− 1)

¢dx+

Z 2

1

¡(x− 1)− (x− 1)3

¢dx =

1

5

¿Qué ocurre cuando queremos calcular áreas de la forma?

20-2-4

2

0

-2

-4

-6

x

y

x

y

Curva gruesa x = 3− y2, curva delgada y = x− 1

En este caso de nuevo calculamos los puntos de corte, pero ahora de las funciones x = y ex = 3− y2 que en este caso son (−1,−2) y (2, 1) . Podemos hacer la integral de dos modos, obien Z 1

−2

¡3− y2 − y − 1

¢dy

o bien Z 2

−1

¡(x− 1) +

√3− x

¢dx+

Z 3

2

2√3− xdx


EJERCICIOS

1. Demostrar que si f es una función par entonces:Z a

−af (x) dx = 2

Z a

0

f (x) dx

y si es impar entonces Z a

−af (x) dx = 0

2. Un estudiante que suele destacar en cálculo integral ha efectuado una integral indefinidapor dos métodos distintos y ha obtenido como resultados, respectivamente:

f1 (x) = sin2 x− arctan

µ3

x

¶f2 (x) = arctan

µ3

x

¶− cos2 x

¿Es posible que sean correctos ambos?

3. Hallar una primitiva de la función

g (x) = x−√x

cuya gráfica pase por el punto (2, 3) .

4. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva y = x3 − 2x2 + x y su rectatangente en el origen.

5. Sea f (x) una función continua. Las funciones de x dadas por

F (x) =

Z x

0

f (t) dt

G (x) =

Z x

1

f (t) dt

H (x) =

Z x

2

f (t) dt

¿Son todas ellas primitivas de f?

6. Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x2 − 4 y el eje y = 0.

7. Calcular el área encerrada por la gráfica de

f (x) =x

x2 − 1el eje OX y las rectas x = 2 y x = 3.


8. Calcula el área encerrada por la curva y = 2x lnx, el eje de abcisas y las rectas x = a yx = 1. Calcular el límite de este área cuando a tiende a cero.

9. Calcular el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1.

10. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva y = x3 − 2x2 + x y su rectatangente en el origen.

11. Hallar la derivada en t = π2de la función

F (t) =

Z t

0

cosxdx

12. Hallar F 0 (1), si

F (t) =

Z 3t+1

1

(2x+ cosx) dx

F (t) =

Z (t+1)2

t2

¡3x3 − 1

¢dx

F (x) =

Z (x+1)2

x2

¡3t2 − 1

¢dt

13. Hallard

dx

Z sinx

cosx

cos¡πt2¢dt

14. Dadas las funciones f (x) = 1x2+3

y g (x) = x−18xdeterminar el área de la región delimitada

por sus gráficas y los semiejes coordenados positivos.

15. La función de costes marginal de una fabricante es

dc

dq= 0.0004q2 − 0.5q + 50

Si c está en Euros, determinar el coste de incrementar la producción de 90 a 180 unidades.

16. Una socióloga estudia la tasa de crímenes en cierta ciudad. Estima que t meses despuésdel principio del próximo año, el número total de crímenes cometidos se incrementaráa razón de 8t + 10 crímenes por mes. Determinar el número total de crímenes que seesperan el próximo año. ¿Cuántos crímenes puede esperarse que se comentan durante losúltimos 6 meses de ese año?

17. El excedente de los consumidores está dado por

CS =

Z x̄

0

D (x) dx− p̄x̄


donde D es la función de demanda, p̄ es el precio unitario de mercado y x̄ es la cantidadvendida. El excedente de los productores está dado por

PS = p̄x̄−Z x̄

0

S (x) dx

donde S es la función de oferta, p̄ es el precio unitario de mercado y x̄ es la cantidadofrecida. La función de demanda de cierta marca de bicicletas de 10 velocidades estádada por:

p = D (x) = −0.001x2 + 250donde p es el precio unitario en Euros y x es la cantidad demandada, en unidades demillar. La función de oferta de bicicletas está dado por:

p = S (x) = 0.0006x2 + 0.02x+ 100

donde p es el precio unitario en Euros y x es el número de bicicletas que el proveedorpondrá en el mercado, en unidades de millar. Determinar el excedente de los consumi-dores y de los productores si el precio de mercado de una bicicleta se iguala al precio deequilibrio.

18. Los economistas usan una distribución acumulativa que se llama curva de Lorenz paradescribir la distribución del ingreso entre los hogares en un país determinado. Típica-mente, una curva de Lorenz está definida en [0,1], pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1),y es continua, creciente y convexa. Los puntos de esta curva se determinan ordenandotodos los hogares por nivel de ingreso y después calculando el porcentaje de casas cuyoingreso es menos o igual que un porcentaje dado del ingreso total del país. Por ejemplo,el punto (a/100, b/100) está en la curva de Lorenz si el a% inferior de las casas recibenuna cantidad menor o igual que el b% del ingreso total. La igualdad absoluta del ingresose daría cuando el a% inferior de las casas recibiera el a% del ingreso en cuyo caso lacurva de Lorenz sería la recta y = x. El área entre la curva de Lorenz y la recta y = xmide qué tanto por cierto se aparta la distribución del ingreso de la igualdad absoluta.El coeficiente de desigualdad o índice de Gini es el cociente entre el área entre la curvade Lorenz y la recta y = x dividida entre el área bajo y = x.

(a) Mostrar que el índice de Gini es dos veces el área entre la curca de Lorenz y la rectay = x, es decir, mostrar que

IG = 2

Z 1

0

[x− L (x)] dx

(b) La distribución del ingreso para cierto país está representada por la curva de Lorenzque define la ecuación

L (x) =5

12x2 +

7

12x

¿Cuál es el porcentaje del ingreso total que recibe el 50% inferior de las casas? Hallarel coeficiente de desigualdad.


5 Integrales Impropias con límites de integración infini-tos

En la definición de una integral definida Z b

a

f (x) dx

se exigió que el intervalo [a, b] fuese finito. Por otro lado el teorema fundamental del cálculoque hemos utilizado requiere que la función f sea continua en [a, b] . Ahora vamos a analizaraquellas integrales que no satisfacen uno o ambos de los requisitos citados. Tales integralesse llaman integrales impropias. Recordemos que una función tiene una discontinuidadinfinita en c si por la derecha o por la izquierda,

limx→c

f (x) =∞, limx→c

f (x) = −∞

Definición 6 Integrales impropias con límites de integración infinitos:

1. Si f es continua en el intervalo [a,∞), entoncesZ ∞

a

f (x) dx = limb→∞

Z b

a

f (x) dx

2. Si f es continua en el intervalo (−∞, b], entoncesZ b

−∞f (x) dx = lim

a→−∞

Z b

a

f (x) dx

3. Si f es continua en el intervalo (−∞,∞), entoncesZ ∞

−∞f (x) dx =

Z c

−∞f (x) dx+

Z ∞

c

f (x) dx

donde c es cualquier número real.

En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario,la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge sicualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge.

Definición 7 Integrales impropias con discontinuidades infinitas

1. Si f es continua en el intervalo [a, b) y tiene una discontinuidad infinita en b, entoncesZ b

a

f (x) dx = limc→b−

Z c

a

f (x) dx


2. Si f es continua en el intervalo (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en b, entoncesZ b

a

f (x) dx = limc→a+

Z b

c

f (x) dx

3. Si f es continua en el intervalo [a, b] excepto en algún c∈ (a, b) , en el que f tiene unadiscontinuidad infinita, entoncesZ b

a

f (x) dx =

Z c

a

f (x) dx+

Z b

c

f (x) dx

En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario,la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge sicualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge.


EJERCICIOS:

1. Estudiar la siguiente integral según los valores de pZ ∞

1

dx

xp

2. Calcular:

(a)R∞0

e−xdx

(b)R∞0

1x2+1

dx

(c)R∞1(1− x) e−xdx

(d)R∞−∞

ex

1+e2xdx

3. Calcular las siguientes integrales impropias que contiene una discontinuidad infinita.

(a)R 10

dx3√x

(b)R 20

dxx3

(c)R 2−1

dxx3

(d)R∞0

dx√x(x+1)

4. Usando la fórmula para la longitud de arco, demostrar que la circunferencia del círculox2 + y2 = 1, es 2π.

5. Transformada de Laplace: Sea f (t) una función definida para todo t positivo. Sutransformada de Laplace se define como

F (s) =

Z ∞

0

e−stf (t) dt

si la integral existe. La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones difer-enciales. Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

(a) f (t) = 1

(b) f (t) = t2

(c) f (t) = cos at

6. Consideremos la región que satisface las desigualdades y ≤ e−x, y ≥ 0, x ≥ 0. Calcular elárea y el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje y.

7. La función GammaΓ (n) se define como

Γ (n) =

Z ∞

0

xn−1e−xdx, n > 0


(a) Calcular Γ (n) para n = 1, 2 y 3.

(b) Probar, integrando por partes, que Γ (n+ 1) = nΓ (n)

(c) Expresar Γ (n) en términos de notación factorial, para n entero positivo.

8. Sea

In =

Z ∞

0

x2n−1

(x2 + 1)n+3dx, n ≥ 1

Probar que In =¡n−1n+2

¢In−1 y calcular a continuación:Z ∞

0

x3

(x2 + 1)5dx

9. La función Beta se define como:

β (p, q) =

Z 1

0

xp−1 (1− x)q−1 dx =Γ (p)Γ (q)

Γ (p+ q)

(a) Realizando el cambio de variable x = 1− t, probar que β (p, q) = β (q, p)

(b) Realizando el cambio de variable x = sin2 θ probar que

β (p, q) = 2

Z π/2

0

sin2p−1 θ cos2q−1 θdθ

(c) Calcular Z 3

0

x4µ3− x

3

¶5dx

(d) Calcular Z 10

4

µx− 42

¶µ1− x− 4

6

¶3dx

(e) Calcular utilizando la función betaZ π/2

0

sin3 θ cos3 θdθ


6 Integrales paramétricas

Sea f (x, α) una función de las variables independientes x y α. Se denomina integral paramétrica,respecto al parámetro α, a la integral

F (α) =

Z b

a

f (x, α) dx

Si f (x, α) es derivable respecto a α, ∂f∂α(x, α), verificándose además que tanto f (x, α) como

∂f∂α(x, α) son continuas en el dominio a ≤ x ≤ b; c ≤ α ≤ d, la función F (α) =

R baf (x, α) dx

es derivable en el intervalo c ≤ α ≤ d :

dF (α)

dα=

Z b

a

∂f

∂α(x, α) dx

Un caso más general que el anterior es cuando los límites de integración son también fun-ciones de α; es decir:

F (α) =

Z b(α)

a(α)

f (x, α) dx

en este caso la derivada es:

dF (α)

dα=

Z b(α)

a(α)

∂f

∂α(x, α) dx+ f (b (α) , α) b0 (α)− f (a (α) , α) a0 (α)

En este caso, se exige, además de las hipótesis anteriores, que existan las derivadas a0 (α) yb0 (α)Ejemplos de funciones paramétricas tenemos los casos de las funciones Gamma y Beta

Γ (n) =

Z ∞

0

xn−1e−xdx, n > 0

β (p, q) =

Z 1

0

xp−1 (1− x)q−1 dx =Γ (p)Γ (q)

Γ (p+ q)

Propiedades de Γ (n) :

• Γ (n)Γ (1− n) = πsinnπ

para todo n ∈ R, como consecuencia tenemos que Γ¡12

¢=√π

• Γ (n) = (n− 1)Γ (n− 1) para todo n ∈ R, entonces Γ (n) = (n− 1)! para todo n ∈ N

• Si n no es un entero positivo, n = p+ r, donde 0 < r < 1 y p ∈ N entonces:

Γ (n) = (n− 1) (n− 2) · · · (1 + r)Γ (r + 1) siendo 1 < 1 + r < 2

y existen tablas en las que se encuentra tabulado el valor de Γ (n) cuando 1 < n < 2.

Propiedades de β (p, q) :


• Simetría β (p, q) = β (q, p)

• β (1, q) = 1q

• Fórmula recurrente: β (p, q) = q−1pβ (p+ 1, q − 1)

• β (p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)


EJERCICIOS:

1. Calcular Γ (9/2) y Γ (−7/2) .

2. Calcular

I =

Z ∞

0

e−ax2

dx

siendo a un número real positivo.

3. Calcular

I =

Z ∞

0

x4e−5x2

dx

4. Calcular

I =

Z 1

0

r1− x

xdx

5. Calcular

I =

Z 1

0

√1− x5dx

6. Calcular

I =

Z 2

0

¡4− x2

¢3/2dx

7. Calculard

dt

Z b

a

sin tx

xdx, donde a = t; b = t2

8. Dadas

f (x) =

∙Z x

0

e−t2

dt

¸2y g (x) =

Z 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt

(a) Demostrar que F (x) = f (x) + g (x) es una constante y determinarla.

(b) Como aplicación calcular

I =

Z ∞

0

e−t2

dt

t3- cálculo integral

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