manual cálculo integral

Manual Cálculo Integral 2012

“El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un

punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva, calcular

su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso:

dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su

trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de

sus puntos, calcular la curva”.

Hans Hahn (1897-1934).

Manual Cálculo Integral

Página 2

ÍNDICE DE CONTENIDO

UNIDAD 1. LA INTEGRAL

1.1 CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DEL ÁREA BAJO LA

CURVA.

1.1.1 SITUACIONES DE ÁREA DE FIGURAS REGULARES

EN FORMA NUMÉRICA Y ALGEBRAICA.

1.1.2 APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO LA CURVA POR

EXTREMOS DERECHOS E IZQUIERDOS A PARTIR DE

SITUACIONES CONTEXTUALES.

1.1.3 SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DISTANCIA A

PARTIR DE LA VELOCIDAD COMO ÁREA BAJO LA

CURVA.


Página 3

Como resultado de las actividades de la presente unidad se pretende desarrollar

competencias tales que el alumno:

Argumenta la solución obtenida de un problema sobre áreas, con métodos

numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal,

matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

1.1 CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DEL ÁREA BAJO LA

CURVA.

1.1.1 SITUACIONES DE ÁREA DE FIGURAS REGULARES EN FORMA

NUMÉRICA Y ALGEBRAICA.

Competencia a desarrollar:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales,

para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o

formales.

Consideremos el siguiente escenario:

Partiendo de idea de que las plantas producen alimentos mediante el proceso de

fotosíntesis y que la producción de alimento por parte de una planta está en función de la

cantidad de luz que recibe. Cabría preguntarnos si es posible conocer la cantidad de alimento

que se produce a partir de poder medir la intensidad de luz acumulada por un planta expuesta a


Página 4

la luz solar en un tiempo determinado, por ejemplo 14 horas que es la cantidad de horas que

tenemos luz solar en los días largos de verano.

Supongamos que mediante un luxómetro se pudieron obtener medidas de la intensidad de

luz recibida por una planta en intervalos de una hora durante 14 horas, y las lecturas que se

obtuvieron fueron las que se muestran en la Tabla 1.1.

Hora Intensidad de la luz en

lux Hora

Intensidad de la luz en lux


lux

1 348 6 1416 11 880

2 636 7 1472 12 636

3 880 8 1416 13 348

4 1094 9 1300 14 0

5 1300 10 1094

Tabla 1.1 Datos considerados según una aproximación a un problema real.

En la Gráfica 1.1 pueden analizarse los datos de la tabla, es importante comentar que

estamos suponiendo que la intensidad de la luz permanece constante durante cada intervalo de

una hora entre dos mediciones consecutivas.

A partir del planteamiento anterior podemos desprender el siguiente problema:

¿Cuál es la intensidad de luz acumulada por una planta que ha sido expuesta al sol

durante 14 horas?

348

636

880

1094

1300 1416 1472 1416

1300

1094

880

636

348

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lect

ura

s d

el m

edid

or

de

lux

Periodo en horas

Gráfica 1.1


Página 5

Para dar solución al caso planteado, necesitamos antes que nada, dar respuesta a algunas

interrogantes como las siguientes:

¿En qué consiste la fotosíntesis?

¿Qué importancia tiene este proceso para la vida?

¿Qué tipo de alimentos se produce durante el proceso de fotosíntesis?

¿Cómo se mide la intensidad de luz acumulada por una planta expuesta al sol?

¿Podrías establecer una relación entre la medida de la intensidad de luz acumulada por la

planta y la medida de áreas rectangulares de su gráfica?


Página 6

Analicemos algunos conceptos: Área.-

El concepto de área considerada como una magnitud que proporciona el tamaño de la

región delimitada por una figura geométrica tiene su origen en el antiguo Egipto, resultado de la

necesidad de poder definir y restablecer los límites de sus terrenos agrícolas inundados año

tras año por la crecida del río Nilo.

En la geometría euclidiana, la forma más simple de considerar una región plana es la

rectangular, y sabemos que un rectángulo por definición tiene un área correspondiente a

A = bh, como podemos observarlo en la figura 1.1.

b = 7 u

Figura 1.1 Rectángulo: A = bh,

en este caso A = (7 u)(5 u) = 45 u2

B

Figura 1.2 Triángulo: A = ½ bh

A partir de esta definición podemos obtener el área de otras regiones planas como el

triángulo observado en la figura 1.2.

Definida el área de un triángulo, determinar el área de un polígono puede resolverse

descomponiéndolo en regiones triangulares. El modo de calcular el área de un polígono como la

suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto, independientemente de

cómo se haga esta descomposición (como observamos en la figura 1.3) es un método que fue

propuesto por primera vez por Antifón alrededor del año 430 a.C.

Figura 1.3 Polígonos

h = 5 u h


Página 7

Sin embargo, mientras la obtención de áreas de regiones planas poligonales, de lados

rectos, se volvió relativamente fácil, hallar el área de una figura que tiene lados curvos entraña

más dificultad. Los antiguos griegos utilizaron el método de agotamiento que consiste en

inscribir polígonos en la figura de la cual querían determinar el área y circunscribir otros

polígonos en torno a ella, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área

buscada. Con este sistema, Eudoxo pudo determinar el área de un círculo, tal vez por ello

también ha sido llamado como método de exhaución de Eudoxo. Este método fue empleado y

descrito en forma más clara tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas

similares, así como el cálculo aproximado del número .

Por ejemplo, en la figura 1.4, observamos cómo se obtiene una aproximación del área de

una región circular utilizando de manera sucesiva un polígono inscrito y uno circunscrito cuyo

número de lados se va aumentando para obtener aproximaciones al área buscada cada vez

más precisas.

Figura 1.4 Método de Agotamiento o Exhaución.


Página 8

1.1.2 APROXIMACIONES AL ÁREA BAJO LA CURVA POR EXTREMOS

DERECHOS E IZQUIERDOS A PARTIR DE SITUACIONES

CONTEXTUALES.


Estima el área bajo la curva por medio de aproximaciones por rectángulos

izquierdos y derechos.

Ahora que tenemos nociones sobre el cálculo de áreas y sobre la posibilidad su relación

con la medición de intensidad de luz captada por una planta, surgen otras interrogantes como

las siguientes:

¿En qué consiste el método para estimar el área bajo la curva a partir del cálculo de áreas

por medio de aproximaciones por rectángulos izquierdos y derechos?

¿Qué relación guarda el cálculo de áreas con el concepto de la integral?

¿Cómo puede el Cálculo Integral apoyar en la solución del planteamiento inicial?


Página 9

Área de una región en el plano.-

La integración de una función puede considerarse como el área contenida entre la gráfica

de una curva y el eje X, y puede calcularse usando técnicas de aproximación de la región

mediante rectángulos o polígonos. Esto parece relativamente simple para curvas

correspondientes a funciones que nos resultan más conocidas, pero al considerar funciones

más exóticas, de comportamiento menos predecible, se hizo necesaria una aproximación más

cuidadosa que llevó a definir una integral que se ajustara a dichos problemas, calcular el área

exacta bajo una curva dio origen al concepto de la Integral Definida. Vamos a analizar el

problema de encontrar el área de una región en el plano mediante un ejemplo.

Ejemplo 1.1.2.1

Consideremos el problema planteado en el escenario inicial:

Tal vez en tu investigación ya pudiste concluir que la fotosíntesis es un proceso bioquímico

muy importante porque:

Las plantas guardan en su interior la energía que proviene del Sol. Esta condición es la

razón de la existencia del mundo vegetal porque constituye la base energética de los

demás seres vivientes.

La síntesis de materia orgánica a partir de la inorgánica se realiza fundamentalmente

mediante la fotosíntesis, luego irá pasando de unos seres vivos a otros mediante las

cadenas tróficas, para ser transformada en materia propia por los diferentes seres vivos.

Mientras por una parte, las plantas son fuente de alimentación para otras especies, por

otra, mantienen constante la cantidad necesaria de oxígeno en la atmósfera permitiendo

que los seres vivos puedan respirar y obtener así la energía necesaria para sus

actividades.

La producción de alimentos de una planta como resultado de la fotosíntesis, está en función

directa de la cantidad de luz que recibe, es decir, a mayor cantidad de luz acumulada, mayor es

la cantidad de alimento que se produce.

Tal vez pudiste conocer también, que la cantidad de luz recibida se mide en lux–hora. La

intensidad de luz acumulada en cada período de una hora puede definirse como el producto de

la cantidad total de luz recibida por el tiempo transcurrido en horas. Si una planta está expuesta


Página 10

a 1000 lux por el espacio de una hora recibe 1000 lux–hora, si está sujeta 500 lux durante dos

horas también recibirá 500 x 2 = 1000 lux–h.

Como ya sabemos en la Tabla 1.1 se muestra la magnitud de la intensidad de la luz,

registrada en intervalos de una hora y obtenida de las lecturas de un medidor de lux (luxómetro)

considerando la hora 0 al amanecer.


lux Hora

Intensidad de la luz en lux


lux

1 348 6 1416 11 880

2 636 7 1472 12 636

3 880 8 1416 13 348

4 1094 9 1300 14 0

5 1300 10 1094

Tabla 1.1 Datos considerados según una aproximación a un problema real.

¿Cuál es la intensidad de luz acumulada durante el período de catorce horas?

Como sabemos en la Gráfica 1.1 pueden analizarse los datos de la tabla, es importante

recordar que estamos suponiendo que la intensidad de la luz permanece constante durante

cada intervalo de una hora entre dos mediciones consecutivas.

Sabemos, según lo definimos, que la intensidad de la luz acumulada en cada período de

una hora es el producto entre la lectura realizada en el luxómetro y el tiempo transcurrido, este

producto es equivalente al área del rectángulo cuya base es la medida del tiempo (en horas) y

que tiene una altura igual a la lectura realizada por el luxómetro para ese periodo de tiempo. De

348

636

880

1094

1300 1416 1472 1416

1300

1094

880

636

348

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lect

ura

s d

el m

edid

or

de

lux

Periodo en horas

Gráfica 1.1


Página 11

esta forma, para el período completo de catorce horas, la intensidad de luz acumulada

corresponde al área total, es decir, la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran.

Luz acumulada = área total = (510 )( 1) + ( 988)( 1) + (1346)(1 ) + (1748)(1 ) +

(21 1)( 1) + (2 40)( 1) + (2692 )(1 ) + (2406 )( 1) + (212 )(1 ) + (148 )(1 ) +

(1346 )( 1) + (98 8)( 1) + (510 )( 1) + ( 0 )( 1) = 12820 lux–hora.

¿Podemos conocer con mejor precisión la intensidad de la luz acumulada?

Partimos de la idea de suponer que al menos en un periodo de una hora la intensidad de

luz se mantiene constante, pero en realidad no podemos asegurar eso, dicha intensidad podría

estar variando en cuestión de minutos, segundos o hasta en menores intervalos de tiempo.

Hacer mediciones en intervalos lo más pequeños que sea posible nos llevaría a aproximaciones

más precisas de la intensidad de la luz acumulada, consideremos por ejemplo, las mediciones

realizadas cada 30 minutos (0.5 hora) en lugar de cada hora.

En la Tabla 1.2 se muestran en forma detallada los datos y es posible hallar la intensidad

de luz acumulada en cada período de media hora como el producto de la intensidad de la luz

(en lux) y el tiempo, en este caso 0.5 hora. La intensidad de luz acumulada durante las catorce

horas resulta de resolver lo siguiente.

Rectángulo Base Altura Área Rectángulo Base Altura Área

1 0.5 148 74 15 0.5 1446 723

2 0.5 304 152 16 0.5 1408 704

3 0.5 458 229 17 0.5 1348 674

4 0.5 608 304 18 0.5 1286 643

5 0.5 758 379 19 0.5 1220 610

6 0.5 900 450 20 0.5 1148 574

7 0.5 1042 521 21 0.5 1042 521

8 0.5 1148 574 22 0.5 900 450

9 0.5 1220 610 23 0.5 758 379

10 0.5 1286 643 24 0.5 608 304

11 0.5 1348 674 25 0.5 458 229

12 0.5 1408 704 26 0.5 304 152

13 0.5 1446 723 27 0.5 148 74

14 0.5 1468 734 28 0.5 0 0

Tabla 1.2 Área total =


Página 12

Luz acumulada = área total = suma del área de cada rectángulo (Gráfica 1.2).

Es decir, la intensidad de luz acumulada durante el período es de 12808 lux–hora.

Si queremos encontrar todavía una mejor aproximación a valor de intensidad de luz

acumulada, así como lo hicimos en el caso anterior, podemos ahora considerar mediciones

realizadas cada quince minutos, es decir 0.25 hora.

Estas mediciones son las que aparecen en la Tabla 1.3 y se visualizan en la Gráfica 1.3:

Hora Intensidad de la

luz en lux Hora

Intensidad de la

luz en lux Hora

Intensidad de la

luz en lux Hora

Intensidad de la

luz en lux

0.25 96 3.75 1076 7.25 1370 10.75 980

0.5 190 4 1120 7.5 1366 11 924

0.75 278 4.25 1160 7.75 1356 11.25 866

1 364 4.5 1198 8 1344 11.5 806

1.25 446 4.75 1230 8.25 1328 11.75 740

1.5 526 5 1260 8.5 1310 12 672

1.75 602 5.25 1288 8.75 1288 12.25 602

2 672 5.5 1310 9 1260 12.5 526

2.25 740 5.75 1328 9.25 1230 12.75 446

2.5 806 6 1344 9.5 1198 13 364

2.75 866 6.25 1356 9.75 1160 13.25 278

3 924 6.5 1366 10 1120 13.5 190

3.25 980 6.75 1370 10.25 1076 13.75 96

3.5 1030 7 1372 10.5 1030 14 0

Tabla 1.3

148

458

758

1042

1220

1348 1446 1446

1348

1220

1042

758

458

148

304

608

900

1148

1286

1408

1468

1408

1286

1148

900

608

304

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lect

ura

s d

el m

edid

or

de

lux

Periodo en horas

Gráfica 1.2


Página 13

Si reiteramos los cálculos realizados en los casos anteriores, el área total, es decir, la suma

de las áreas de cada uno de los rectángulos de base 0.25 y altura igual a la intensidad de la luz

en cada período, es igual a 12806. Esto significa que la intensidad de luz acumulada llega

aproximadamente a 20907 lux– hora.

Es de esperar que, con lecturas de medición del luxómetro con intervalos más pequeños,

se obtenga una respuesta más precisa para estimar la intensidad de luz acumulada para las

catorce horas. Aunque físicamente es prácticamente imposible obtener un número grande de

medidas sería deseable que la suma tenga el mayor número posible de datos.

Hasta ahora sin embargo, sólo se ha obtenido una aproximación de la intensidad de la luz

acumulada considerando un experimento sobre fotosíntesis. La primera aproximación se obtuvo

utilizando intervalos de una hora para un período de catorce horas, después se utilizaron las

lecturas observadas cada media hora y, por último, las realizadas cada quince minutos. En cada

caso los sumandos se obtuvieron multiplicando la longitud del intervalo de tiempo por la lectura

del luxómetro al final de cada intervalo. Podemos observar que el valor de la intensidad de la luz

acumulada resulta más exacto a medida que hacemos más mediciones.

El método de aproximación que ha sido utilizado para resolver el planteamiento

inicial es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lect

ura

s d

el m

edid

or

de

lux

Periodo en horas

Gráfica 1.3


Página 14

Observa ahora, la Gráfica 1.4

La gráfica (1.4) de los datos sugiere, que puede suponerse una relación de

correspondencia en el comportamiento de los valores involucrados, es decir, la cantidad de luz

acumulada en función del tiempo transcurrido pueden ser representados por una ecuación. En

este experimento en particular, dicha relación está representada por la ecuación de segundo

grado f(t) = 392t - 28t2 cuya representación gráfica, como puedes ver es una parábola.

Podemos decir entonces, en nuestro problema de fotosíntesis que el área comprendida

entre el eje horizontal y la curva f(t) = 392t - 28t2 representa la intensidad de la luz acumulada

en el período desde t = 0 hasta t = 14. Pero ¿podemos obtener exactamente ese valor?

Se puede calcular el área total considerando el intervalo [0, 14] dividido en n subintervalos y

calculando la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos que la aproximan utilizando el

concepto de del cual hablaremos a continuación.

Karl Friedrich Gauss fue un talentoso matemático, físico y astrónomo alemán del cual se

cuentan varias anécdotas, una de ellas narra que teniendo 9 años de edad, una ocasión en su

clase de aritmética, su profesor le pidió que sumara todos los números enteros desde el 1

hasta el 100. Cuando Gauss luego de pocos minutos le presentó a su profesor la respuesta

correcta, lo dejó perplejo.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lect

ura

s d

el m

edid

or

de

lux

Periodo en horas

Gráfica 1.4

f(t)

f(t) = 392t - 28t2

t


Página 15

¿Cómo resolvió este problema Gauss? Observa el planteamiento que hizo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + … + 100

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + 94 + 93 + 92 + 91 + … + 1 .

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101

¿Te das cuenta que su suma equivale a sumar dos veces los números del 1 al 100?

¿Puedes observar también que esta suma es equivalente a sumar 100 veces 101?

Él observó esto y por ello lo resolvió considerando la siguiente operación, que por cierto

daría origen a un teorema matemático para generalizar sumas de este tipo:

∑

∑

Este teorema permite obtener con mayor facilidad y rapidez, la suma de una serie de

números enteros consecutivos desde el 1 hasta un valor n cualquiera.

Realiza la suma de algunas de esas series y cuando sea posible, comprueba con tu

calculadora o en una hoja de cálculo si esa suma es correcta. Por ejemplo la suma de los

números enteros consecutivos desde 1 hasta 40, 1 hasta 150, 1 hasta 10000, etc.


Página 16

Notación sigma

La suma de n términos a1, a2, a3,…, an se escribe como

∑

Donde i es el índice de la sumatoria, a, es el término i-ésimo de la suma y

n y 1 son los límites superior e inferior de la sumatoria.

La notación sigma que se representa con la letra griega mayúscula sigma permite

representar una suma en diferentes formas tales podamos observar algunas propiedades de las

mismas y aplicarlas para facilitar algunos procesos. Por ejemplo:

1. ∑

4. ∑

2. ∑

5. ∑

3. ∑

Aplicando a las sumatorias, las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva con

respecto a la multiplicación, se pueden obtener propiedades para las sumatorias como las

siguientes:

1. ∑

∑

2. ∑

∑

∑

Como resultado de teoremas matemáticos relacionados con las sumatorias pueden

obtenerse algunas fórmulas útiles para sumas que involucran otras operaciones como por

ejemplo la suma de potencias.


Página 17

Así por ejemplo tenemos las siguientes:

1. ∑

3. ∑

2. ∑

4. ∑

Aplicando las propiedades enunciadas anteriormente así como fórmulas ya obtenidas y

probadas, es posible obtener otras fórmulas que permitan la solución de problemas que

involucran sumatorias de una manera más corta y sencilla. Supongamos por ejemplo que tienes

que resolver sumas como las siguientes:

1. 2

25

3

25

4

25

5

25

6

25

2. 2

10000

3

10000

4

10000

5

10000

6

10000

7

10000

101

10000

3. 2

1000000

3

1000000

4

1000000

5

1000000

6

1000000

7

1000000

1001

1000000

Tal vez resolver la primera suma no resulta complicado, pero la segunda ya requiere de un

mayor tiempo y la tercera aún más, imagina el caso en que el último valor sea 10001

25.

Si analizas un poco cada uno de los términos, puedes observar que cada uno de los

términos de las sumas, cumplen la condición de resultar de la expresión 𝑖 + 1

𝑛2 si consideramos

que i = 1 y n = 5 en la primer suma, n = 100 en la segunda suma y n = 1000 en la tercera.

Aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto a la multiplicación, la expresión 𝑖 + 1

𝑛2

también se puede escribir como 1

𝑛2 𝑖 .

Aplicando la notación sigma podemos observar que las sumas tienen la forma:

∑

2

∑

2


Página 18

Aplicando a esta expresión la propiedad 1 de las sumatorias, enunciada anteriormente, las

sumas quedan expresadas de la siguiente forma:

∑

2

2∑

Aplicando la propiedad 2 de las sumatorias y después la propiedad distributiva tenemos:

2∑

2∑

2∑

2(∑

∑

)

Aplicando a cada sumatoria dentro del paréntesis, las fórmulas de la sumatoria 2 y 1

respectivamente y simplificando los resultados se obtiene:

2(∑

∑

)

2 [

]

2[ 2

]

. En esta última expresión ya puedes evaluar los valores Por

ejemplo si resuelves realizando la suma de las fracciones en el primer caso, obtienes:

2

25

3

25

4

25

5

25

6

25

20

25

4

5

Utilizando como fórmula la expresión obtenida resulta:

Utiliza la fórmula para obtener las sumas para y ¿por qué no?, prueba otras sumas para que practiques.


Página 19

Regresemos nuevamente al problema de la fotosíntesis que el área comprendida entre el

eje horizontal y la curva f(t) = 392t - 28t2 representa la intensidad de la luz acumulada en el

período desde t = 0 hasta t = 14. Pero ¿podemos obtener exactamente ese valor?

Se puede calcular el área total considerando el intervalo [0, 14] dividido en n subintervalos y

calculando la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos que la aproximan utilizando el

concepto de del cual hablaremos a continuación. Para ello consideremos que si son n

subintervalos, entonces la medida de la base de cada rectángulo es y para la altura se

puede considerar el valor de la función en el extremo derecho, en el extremo izquierdo o bien en

el punto medio de cada subintervalo.

Caso 1: sabemos que t = y consideramos el extremo derecho de cada intervalo.

Tenemos que calcular el valor de la función en t i = .

(14

)

14

(

14

)

2

2 (

2

2)

Podemos considerar el área total aproximadamente igual a la suma de las áreas de los

rectángulos de base t y altura (14

).

∑ ∑(

2

2 2)

1

(

)

1

[

∑

1

2

2∑ 2

1

] (

)

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

∑

∑

∑

1

[ 2

2] [

] [

3

3] [

]

∑

1

2

3

2

∑

1

2

4

2 4 [

2 ]

n

14

n

14

in

14


Página 20

∑

1

4 [ 2

2] 4 [

2]

Caso 2: Resolver suponiendo que t = n

14 y considerando extremos izquierdos.-

Tenemos que calcular el valor de la función en ti = n

14 (i - 1).

2 [14

]

14

(

14

)2 2

Podemos considerar el área total aproximadamente igual a la suma de las áreas de los

rectángulos de base t y altura [14

].

∑ [

∑

2

2

1

∑ 2

1

] (

)

1

∑

1

2

2 [∑

1

∑

1

] 3

3 [∑ 2

1

∑

1

∑

1

]

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

∑

∑

∑

1

[ 2

2] [

] [

3

3] [

]

∑

1

[ 2

]

2

3

2

3

2

3

2

∑ 4 [

2

2]

2

1 1

∑

1

4 [ 2

2] 4 [

2]


Página 21

Investiga por tu cuenta qué ocurre si se elige como altura de cada rectángulo el valor de la

función en el punto medio del intervalo.

Ya logramos aproximaciones del área considerando las sumas ∑ 1 y sugerimos

que la longitud de cada intervalo t se hiciera cada vez más pequeña (es decir deber ser el

número de intervalos n cada vez más grande). En ese caso la aproximación es mejor.

Las estimaciones obtenidas fueron cada vez mejores y el cálculo del área del sector

comprendido entre la gráfica de la función f(t) = 512t - 32t2 y el eje X nos indica un total

acumulado, la intensidad de la luz acumulada durante las catorce horas.

Ejemplo 1.1.2.2

Consideremos ahora el siguiente escenario:

¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados

positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita?

El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de √ 2 1 de x = 0 a x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente (Gráfica 1.5).

1 Ejemplo extraído de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm

Gráfica 1.5


Página 22

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta

región se puede encontrar usando dos rectángulos (Gráfica 1.6).

La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es

f(1.5) = √ . El ancho de cada rectángulo es 1.5:

El área total de los dos rectángulos es: A = ( 3 ) ( ) + ( √ ) ( ) 8.397114317 u2.

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr

una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de

una unidad de ancho (Gráfica 1.7).

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos

los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.

El área total de los tres rectángulos es:

Área = (1) (f(0)) + (1) (f(1)) + (1) (f(2)) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) =

Área ____________ u2

Gráfica 1.7

Gráfica 1.6


Página 23

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es

mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en

seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo

0.5 unidades (Gráfica 1.8). Los resultados obtenidos al procesar con estos datos aparecen en la

Tabla 1.4.

Rectángulo X f(x) Ancho de la base Área

1 0 3 0.5 1.5

2 0.5 √ 0.5 1.479019946

3 1 √ 0.5 1.414213562

4 1.5 √ 0.5 1.299038106

5 2 √ 0.5 1.118033989

6 2.5 √ 0.5 0.829156197

Área total 7.63946180

Tabla 1.4

De la misma forma podemos analizar el área total considerando rectángulos de medida de

base 0.25 unidades.

Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más rectángulos para

obtener cada vez una mejor aproximación puede generalizarse. Para hacer esto podemos

dividir el intervalo de x = 0 a x = 3 en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos tiene ancho

de medida 3 0

3

y la altura determinada por el valor de la función considerando el extremo

izquierdo del rectángulo, es decir, [3

] donde i = 1, 2, 3, …, n. Si utilizamos el ordenador

podemos hacer los cálculos tomando cada vez más rectángulos. La Tabla 1.5 muestra las

diferentes aproximaciones al área de esta región considerando en cada caso una cantidad n de

Gráfica 1.8


Página 24

subintervalos cada vez mayor. ¿Puedes suponer la tendencia que tienen esas aproximaciones

del área?

cantidad n de subintervalos o rectángulos en que se divide el área Área

150 7.09714349

2500 7.0703623

10000 7.069030825

45000 7.068683193

175000 ?

720000 ?

Tabla 1.5

Si visualizamos gráficamente esta situación (Gráficas 1.9a y 1.9b), a medida que el número

n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca

cada vez más al área real de la región.

Gráfica 1.9a Gráfica 1.9b

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla

para resolver este problema...?

Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo en cuenta que

el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de radio 3 con centro en el origen

resulta: Área = 1

4 2 =

1

4 7.068583471.

Sin embargo el Cálculo Integral nos ofrecerá la posibilidad de resolver problemas como

este de una manera más simple utilizando el significado de la Integral definida que veremos

más adelante.


Página 25

EJERCICIOS 1.1.2.

1. Determinar el área contenida bajo la curva utilizando extremos derechos e izquierdos.

a)

b)

Dada la gráfica de la ecuación y = x + 2

Calcular aproximadamente el área contenida

entre la curva y el eje X, en el intervalo (2, 8),

es decir, de x = 2 hasta x = 8.

Considerando los rectángulos por extremos

derechos el área es:


izquierdos el área es:

El área aproximada considerando rectángulos

en el punto medio es:

10

9

8 Considerando los rectángulos exteriores (derechos)

7

6 El área es:

5

4 Considerando los rectángulos interiores tenemos:

3

2 El área es:

1

El área aproximada considerando el promedio de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 las dos es:

Dada la gráfica de la ecuación y = x + 2


entre la recta y el eje X, en el intervalo (2, 8),

o sea de x = 2 hasta x = 8.

Dada la gráfica de la ecuación y = x 2

- 2x + 1



es decir, de x = 1 hasta x = 5.







16

15

14

13

12

11

10 Considerando los rectángulos exteriores (derechos)

9

8 El área es:

7

6 Considerando los rectángulos interiores tenemos:

5

4 El área es:

3

2 El área aproximada considerando el promedio de

1 las dos es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dada la gráfica de la ecuación y = x2 - 2x + 1





Página 26

c)

d)

2. Resuelve el problema siguiente como área bajo la curva

aplicando el concepto .

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Hallar:

a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

Dada la gráfica de la ecuación

y =√𝒙𝟐𝟑


entre la curva y el eje X, en el intervalo (0, 3)








Calcular aproximadamente el área contenida entre la curva

y el eje X, en el intervalo (0, 3), o sea de x = 0 hasta x = 3.

4 Considerando los rectángulos derechos

El área es:

3

2 Considerando los rectángulos izquierdos:

El área es:

1

El área aproximada es:

1 2 3 4

3 2xy

𝒚 𝟔

𝒙


Calcular aproximadamente el área

contenida entre la curva y el eje X,

en el intervalo (1, 6)

Considerando los rectángulos por extremos derechos el área es:

Considerando los rectángulos por extremos izquierdos el área es:

El área aproximada considerando rectángulos en el punto medio es:

6

5 Considerando los rectángulos derechos

4 El área es:

3 Considerando los rectángulos izquierdos

2 El área es:

1 El área aproximada es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dada la gráfica de la ecuación y = 6/x





Página 27

1.1.3 SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DISTANCIA A PARTIR DE LA

VELOCIDAD COMO ÁREA BAJO LA CURVA.


Establece significados del área bajo la curva relacionados con otras

ciencias.

Imagina que viajas en una autopista a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora y

deseas saber qué distancia habrás recorrido después de cierto tiempo, por ejemplo, luego de 2

horas o de 4 horas, ¿cómo puedes conseguirlo? Seguramente piensas que esta pregunta es

relativamente sencilla de responder y es así, sin embargo para relacionar este problema con el

Cálculo Integral es importante que también puedas responder a otras interrogantes como las

siguientes:

¿La velocidad de un auto es equivalente a la distancia que recorre? ¿Por qué?

¿Cómo calculas la distancia recorrida en un movimiento de velocidad constante?

¿Cómo graficas la función velocidad constante en función del tiempo? Haz un ejemplo.


Página 28

¿Qué relación existe entre la fórmula de la distancia recorrida y el cálculo de áreas

rectangulares?

¿Cuál es la relación que existe entre este resultado y la medida del área bajo la curva

definida por una función y el eje horizontal de la gráfica?

Podemos decir sin temor a equivocarnos que al transcurrir 2 horas, ya habrías recorrido

160 kilómetros y en 4 horas, habrías recorrido 320 kilómetros. Si representamos en una gráfica

la función velocidad (que en este caso es constante), v(t) = 80 donde la distancia recorrida está

en función del tiempo, podemos observar que las áreas sombreadas correspondientes de t = 0

a t = 2 (Gráfica 1.10a) y de t = 0 a t = 4 (Gráfica 1.10b), pueden obtenerse como la suma de las

áreas de rectángulos de altura igual a v y base igual a t. Rectángulos que según podemos

observar tienen áreas de igual medida.

En este caso el área de cada rectángulo es igual a A = ( ) ( )= .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6

tiempo

Gráfica 1.10a

Velocidad

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6

tiempo

Gráfica 1.10b

Velocidad


Página 29

Podemos decir entonces que las áreas sombreadas formadas por 2 o 4 rectángulos de la

misma área, son iguales a 160 y a 320 respectivamente, de modo que parece que la distancia

recorrida en un intervalo de tiempo dado es numéricamente igual al área de la región definida

por y = v(t) y el eje horizontal t. Esto resulta sencillo de entender ya que en un movimiento de

velocidad constante d = vt, es decir, distancia = velocidad x tiempo equivalente a la fórmula

área = base x altura.

Pero ¿cómo podríamos calcular la distancia recorrida (que puede ser numéricamente igual

a un área bajo la curva) si la velocidad a la que viajamos no es constante?

Ejemplo 1.1.3.1

Considera el caso en que las distintas velocidades a las que te desplazas, tomadas a

intervalos de tiempo de 1 hora entre cada una de ellas son las que aparecen en la Tabla 1.6.

Observa la gráfica (Gráficas 1.11a y 1.11b) de la función velocidad no constante para un

intervalo de tiempo [0, 5

Tiempo /hora 0 1 2 3 4 5

Velocidad 0 50 70 100 80 60

Tabla 1.6

Gráfica 1.11a considerando extremos derechos Gráfica 1.11b considerando extremos izquierdos

Calculando la distancia como el área total correspondiente a la suma de las áreas de los

rectángulos obtenemos en cada caso:

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

velo

cid

ad

tiempo

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

velo

cid

ad

tiempo


Página 30

Caso 1. Considerando los extremos derechos de los intervalos.

En este caso el área total considerando la suma de las áreas de los diferentes rectángulos

se obtiene aplicando a cada uno de ellos la fórmula para el área de un rectángulo A = bh,

donde la medida de la base equivale a t, es decir el intervalo de tiempo que hay entre cada

medición, y la altura es igual a la velocidad v tomada en t. De esa manera tenemos que:

A = distancia = ( 1 ) ( 50 ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 360 m .

Caso 2. Considerando los extremos izquierdos de los intervalos.

En este caso el área total considerando la suma de las áreas de los diferentes rectángulos

se obtiene aplicando nuevamente a cada uno de ellos la fórmula para el área de un rectángulo.

De esa manera tenemos que:

A = distancia = ( 0 ) ( 0 ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 300 m .

Por tanto podemos suponer que la distancia recorrida es aproximadamente:

300 D 360

Es de suponerse que esta es sólo una aproximación de la distancia real recorrida por un

móvil ya que es difícil mantener una velocidad constante en intervalos de tiempo tan amplios

como una hora, pero un resultado más aproximado podría obtenerse si se consideran

mediciones en intervalos de tiempo más y más pequeños o si podemos suponer una relación

definida por una ecuación tal que el cálculo de la distancia se convierta en el área bajo la curva

de la misma.

Encontrar un método, que nos permita resolver problemas de distancia u otros que puedan

estar relacionados con el cálculo del área de cualquier región, sin importar la forma que ésta

tenga, requiere introducir el concepto de “límite de una sumatoria”, que nos lleva a definir a la

Integral. Conceptos que se desarrollarán en la siguiente unidad.


Página 31

EJERCICIOS 1.1.3.

1.

a) Expresa la velocidad en m/s haciendo las conversiones de unidades requeridas y

escríbelas en los recuadros correspondientes de la tabla para que correspondan a las

gráficas anteriores.

b) Obtén las aproximaciones correspondientes a la distancia recorrida mediante las áreas

correspondientes en cada una de las gráficas, empleando extremos derechos e

izquierdos.

c) Expresa la aproximación obtenida en términos de a d b

2. Realiza todo el proceso anterior (incluyendo tabla y gráficas) considerando las siguientes

series de datos:

a) Velocidades: 0, 30, 60, 80, 70, 90, 60, 60 medidas cada media hora, es decir 0.5 horas

b) Velocidades: 50, 70, 90, 110, 100, 90 medidas cada hora

c) Velocidades: 0, 20, 40, 50, 65, 90, 80, 90, 100, 80 medidas cada 15 minutos

En la tabla siguiente están registradas las velocidades de un móvil en distintos momentos.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V (Km/h) 0 6 13 22 29 38 47 57 67 78 89

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V (m/s)

0 1.67 3.61 6.11 8.06 10.56 13.06 15.83 18.61 21.67 24.72

123.9

Convierte las velocidades dadas en la tabla en km/h a m/s y escríbelos en la segunda tabla.

(Escribe las cantidades considerando hasta dos decimales).

Los resultados están representados en la gráfica que se presenta del lado derecho.

Calcula aproximadamente la distancia recorrida por el móvil hasta el segundo 10.

Rectángulos izquierdos: Distancia:

Rectángulos derechos:

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ve

loci

dad

Tiempo

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Página 32

BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

Cruz Hernández, Lorenzo Loreto, Elementos de Cálculo Integral, Limusa - Noriega

Grupo Editores, C.A. 2010.

Frank Ayres, Jr., Cálculo Diferencial Integral, Mc Graw-hill, México, 1980.

Purcell, E.J., Varberg, D. y Rigdon, S.E. Cálculo, 9a edición, México, Pearson

Educación, 2007.

ENLACES CONSULTADOS

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm

http://www.divulgamat.net/

ENLACES SUGERIDOS:

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/areaHTML/area.htm#circulo

http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_16definida.pdf

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_integral_definid

a_y_la_funcion_area/exhauc.htm

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/areaHTML/area.htm#circulo

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_integral_definida_y_la_funcion_area/exhauc.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_integral_definida_y_la_funcion_area/exhauc.htm

manual cálculo integral

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