cuadernillo cálculo integral

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE JALISCO

1

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE

JALISCO

GUÍA DE APRENDIZAJE

Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS

Cálculo Integral

Elaboró: Ing. Hugo Damián Córdova Avalos.

e-mail: [email protected].

Enero 2010


2

¡BIENVENIDOS ¡

Este guía de aprendizaje, representa un acercamiento importante al programa de Matemáticas en el CECyTEJ, ten en cuenta que los contenidos que encontrarás en este material, parten de la asignatura de Matemáticas Aplicadas (Calculo integral). Aquí, se encuentran las bases que te ayudarán en todo el recorrido del sexto semestre en el CECyTEJ.

Aprovecha al máximo este material que hemos planeado y desarrollado para Ti, y recuerda, te será de gran utilidad, por lo tanto, no dudes en consultarlo cuantas veces sea necesario, y realiza las anotaciones que consideres en el mismo. Que tengas un excelente desempeño. Atentamente: Academia Estatal de Matemáticas.


3

ÍNDICE

Índice 2

Introducción 3

Propósito de la asignatura 3

Objetivo general 3

Competencias disciplinares y genéricas 4

Diferenciales 5

Calculo integral 5

Integral indefinida 6

Conceptos básicos de la integración 7

Actividad # 1 9

Integración de una función compuesta 10

Actividad # 2 13

Constante de integración 13

Actividad # 3 14

Integración de funciones trigonométricas directas 15

Actividad # 4 17

Funciones trigonométricas inversas 18

Funciones exponenciales y logarítmicas 19

Actividad # 5 22

Técnicas de integración 23

Actividad # 6 30

Integración por partes 31

Actividad # 7 33

Integral definida 34

Actividad # 8 35

Suma de Riemann 36

Actividad # 9 37

Calculo de área bajo la curva 38

Actividad # 10 43

Glosario 44

Bibliografía 45


4

INTRODUCCIÓN

Las guías de aprendizaje son textos diseñados de manera especial, con el fin de

facilitar la realización de un proceso de aprendizaje autónomo, centrado en el

alumno, quien participa activamente en la construcción social de los

conocimientos. Su gran ventaja es que integran contenidos y procesos, se

presentan a través de un conjunto de actividades que los alumnos deben

desarrollar, casi siempre en pequeños grupos, con la orientación, evaluación y

seguimiento permanentes del profesor.

Esta guía está diseñada para aplicarse en el curso de sexto semestre de

bachillerato del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de

Jalisco en la asignatura de cálculo integral.

PROPÓSITO DE LA ASIGNATURA:

Cálculo integral: Integrar los contenidos de la matemática antecedente para

desarrollar habilidades y capacidades suficientes en el cálculo de la integral

definida e indefinida, en un clima de colaboración y respeto.

OBJETIVO GENERAL

Lograr la aplicación analítica y representación gráfica del comportamiento de

fenómenos mediante formulación de modelos, área bajo la curva, volúmenes de

sólidos en revolución, longitud de curva, superficies de sólidos en revolución,

trabajo, presión, centros de gravedad, entre otros que se relacionen con las

especialidades de cada plantel para proponer soluciones a través del cálculo

integral


5

COMPETENCIAS DISCIPLINARES (MATEMÁTICAS).

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.

2. Argumenta la solución de un problema obtenida con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal o matemático.

COMPETENCIAS GENÉRICAS (ATRIBUTOS).

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.


6

Diferenciales

La diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial

de la variable independiente.

Ejemplos:

Calcular la diferencial de 25 3 xxy

dxx

xdx

dyy

115

115

2

2

Calcular la diferencial de 132 23 xxxy

dxxx

xxdx

dyy

166

166

2

2

Cálculo Integral

La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división y la

multiplicación; lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz

correspondiente. En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la

derivada xf de una función xf . Ahora nos ocuparemos del problema

inverso, es decir, dada la derivada xf buscaremos obtener la función xf .

¿Qué es integración? Es una operación inversa a la diferenciación. Las

expresiones “Integral Indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra

“anti derivada”.

Ejemplos: Diferenciación

23 3 x dxx29

Integración

Diferenciación

163 3 x dxx29


7

Integración

En los ejemplos anteriores nos damos cuenta que las expresiones de la izquierda

difieren de la otra en una constante, sin embargo, su diferencial es la misma

( dxx29 ), ahora bien, al integrar las expresiones de la derecha no aparecen esas

constantes, por lo tanto, es necesario anotar una letra “c” que las represente a la

cual llamaremos constante de integración. Por ejemplo:

dxx29 = 33x + c

Constante de integración

Interpretación geométrica de la Integral

En la misma forma que se estudiaron las pendientes de las rectas tangentes para

motivar la definición de derivada, nos referimos a las áreas a fin de facilitar el

estudio de la integral.


8

Integrales Indefinidas

En la expresión anterior no sabemos cuál es el valor de la constante, es decir, es

un valor indefinido y por esta razón llamaremos a estas operaciones, Integrales

Indefinidas.

El signo de integración es una “s” deformada que nos representa la inicial de

la palabra suma.

La función por integrar se llama integrando.

dxx3 Diferencial de la variable

Integrando

Formulas de diferenciación

1.- 0cd

2.- dxxd

3.- dwdvduwvud

4.- cducud

5.- vduudvuvd

6.- dunuud nn 1

7.- 2v

udvvdu

v

ud

8.- udusenud cos

9.- senuduud cos

10.- uduud 2sectan

11.- uduud 2csccot

12.- uduuud sectansec

13.- uduuud csccotcsc

Integrales Inmediatas.

1.- cudu

2.- cwvudwdvdudwdvdu

3.- cauduaadu

4.-

cn

uduu

nn

1

1

para n 1

5.- cuu

duln


9

Conceptos básicos de la integración

La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma

algebraica de las integrales de las funciones

cwvudwdvdudwdvdu

Ejemplo:

dxxx 275 2 = dxxdxdxx 275 2

= cxxx 22

7

3

5 23

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función

Si a es una constante que esta como factor en el integrando se puede poner

como factor de la integral.

cauduaadu

Ejemplo:

dxx47 = dxx47

= cx 5

5

7

La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a

la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente

original más uno.

cn

uduu

nn

1

1

Para n 1


10

Ejemplo:

dxx2 = cx

3

3

Por ningún motivo se puede sacar la variable de integración del signo de

integración

Ejemplo:

dxx2

xdxx

En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las

operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios).

Ejemplos:

dxxx 312 2 = dxxxx 362 3

= dxxx 352 3

= dxxdxdxx 352 2

= cxxx 32

5

3

2 23


11

Calculo Integral

Actividad # 1

Nombre: ________________________________________________

Integra lo siguiente

1.- xdx2 9.- x

dx

2.- dxxa3 10.- 3x

dx

3.- dxxbax 233 82 11.- dxx5 3

4.- dxxx 386 3 12.- dxx

2

5

1

5.- xdx2

1 13.- dxxxx 1234 23

6.- dxxx 1212 14.- 3 2x

dx

7.- dxx 3

1

2 15.- dx

8.-

dxxx 223 4

1

2

1


12

Integración de una función compuesta

Sustitución por cambio de variable

Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas

es identificar en el integrando una función que este multiplicada por la diferencial

de esa función, y así, poder aplicar una formula de integración.

En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una

literal. En nuestro caso elegiremos la u, que se iguala a la función, que incluye el

integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la variable de

dicha función.

Ejemplos:

dxxx 2322

32 xu

xdxdu 2

El integrando esta completo pues incluye la función multiplicada por su diferencial,

en consecuencia se puede aplicar la formula de integración de potencia de una

función.

Sustituyendo

2u du Integrando c

u

3

3

Con el valor de u, queda

cx

3

332

Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando.


13

Ejemplo:

13x dx

Para poder aplicar la formula duun es necesario identificar u(x) y calcular su

diferencial du(x).

13 xu

dxdu 3

Se observa que falta un 3 en el diferencial de la función. Para lo cual procedemos

a despejar la dx.

dxdu

3

Sustituyendo

duu 2

1

3

1

Se integra

c

u

2

33

12

3

= cu 2

3

9

2

Con el valor de u queda

cx 2

3

139

2, simplificando cx

313

9

2


14

Calculo Integral

Actividad # 2

Nombre: ________________________________________________

1.- 3 232x dx 11.- x55 dx

2.- 2

23x dx 12.- 3243 524 xxxx dx

3.- 2

36x dx 13.- 4 3

2

1x

xdx

4.- 3

42x dx 14.- 332 13 xx dx

5.- 3

86x dx 15.- 4

3

1

4

x

xdx

6.- 3

52x dx

7.- 4

1x dx

8.- 4

32x dx

9.- 4

43x dx

10.- xxx 10252 2 dx


15

Constantes de integración

Calculo del valor numérico de la constante C Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se ha de integrar y algunos otros datos.

Ejemplo:

1.- Obtener la función xfy tal que 169 2 xxxf cuando 51 f

Como xfy , se tiene que

dx

xdf

dx

dy

Pero

169 2 xxdx

xdf

Entonces

169 2 xxdx

dy

dxxxdy 169 2

Integrando

dxxxdy 169 2

dxxdxdxxy 69 2

cxxxy 23

2

6

3

9

cxxxy 23 33 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 para 1f

cf 11313123

c 133

Condición que señala el problema

51 f

4

15

15

C

c

c

Al sustituir el valor de C

cxxxy 23 33

433 23 xxxy


16

Calculo Integral

Actividad # 3

Nombre: ________________________________________________

1.- Obtener la función xfy tal que 223 2 xxxf cuando 21 f

2.- Obtener la función xfy tal que 5234 23 xxxxf cuando 102 f

3.- Obtener la función xfy tal que 142 23 xxxxf cuando 103 f

4.- Obtener la función xfy tal que 1423 234 xxxxxf cuando

53 f

5.- Obtén la función original xF de 169 2 xxxf cuando 60 f

6.- ¿Cuál es el valor de la constante de integración de 169 2 xxxf , cuando

60 f ?

7.- Obtén la función original xF de 22 xxxf cuando 70 f


17

Integrales inmediatas de funciones trigonométricas directas

Identidades trigonométricas

xxx

senx costancsc

1

xsenxx

x cotsec

1cos

x

senx

xx

coscot

1tan

senx

x

xx

cos

tan

1cot

xx

cos

1sec

senxx

1csc

Identidades trigonométricas (Pitagóricas)

1cos22 xxsen

xsenx

xxsen

22

22

1cos

cos1

1tansec 22 xx

xx

xx

22

22

tan1sec

1sectan

1cotcsc 22 xx

1csccot

cot1csc

22

22

xx

xx


18

Formulas de integración de las funciones trigonométricas

1.- cusenudu cos 6.- cuuduu csccotcsc

2.- csenuuducos 7.- cuLudu sectan

3.- cuudu tansec2 8.- csenuLudu cot

4.- cuudu cotcsc2 9.- cuuLudu tansecsec

5.- cuuduu sectansec 10.- cuuLudu cotcsccsc

Ejemplos:

1.- senxdx

Por formula tenemos

senxdx = Cxcos

2.- xdx2cos

Tenemos que hacer un cambio de variable, en este caso hacemos lo siguiente:

Llamaremos

dxdu

dxdu

xu

2

2

2

Sustituyendo en la integral nos queda:

uducos2

1,

Resolviendo por formula, tenemos:

Csenu 2

1,

Dándole su valor original a u, nos queda:

Cxsen 22

1


19

Calculo Integral

Actividad # 4

Nombre: ________________________________________________

Resuelve las siguientes Integrales Trigonométricas

1.-

2.- x4cos dx

3.- senx4 dx

4.- x

dx

sec

4

5.- x

dx

csc

5

6.- dxxx cotcsc

7.- dxxx524 csc

8.- 2217sec xx dx

9.- dxx 3sec3 2

10.- dxxx 43 cos


20

Funciones trigonométricas inversas

Formulas de integración de funciones trigonométricas inversas

1.- ca

uarcsen

ua

du

22

2.-

ca

u

aua

duarctan

122

3.-

ca

uarc

aauu

dusec

122

Ejemplos:

1.- 29 x

dx

Para poder aplicar la formula, ca

uarcsen

ua

du

22

es necesario identificar los

valores de: uuaa ,,, 22 y calcular xu y xdu .

3

92

a

a

dxdu

xu

xu

22

El integrando esta completo, entonces podemos aplicar la formula de integración

citada.

22 ua

du =

29 x

dx

Integrando:

= ca

uarcsen

Al sustituir los valores de a, y de u

= Cx

arcsen 3


21

Funciones exponencial y logarítmica

Formulas de integración exponencial

1.- cedue uu

2.- Caa

dua uu

ln

1

Formulas de integración logarítmica:

1.- cuu

duln

2.- cuLudu sectan

3.- csenuLudu cot

4.- cuuLudu tansecsec

5.- cuuLudu cotcsccsc

Ejemplos:

1.- dxe x

Haciendo cambio de variable dxdu

xu

Sustituyendo en la integral nos queda

dueu

Por formula tenemos

dxe x

= Ce x


22

2.- dxe x

5

En este caso tenemos que hacer un cambio de variable, para lo cual haremos:

dxdu

dxdu

xu

5

5

5


dueu

5

1

Resolviendo por formula tenemos:

Ceu 5

1

Dándole su valor original a u, nos queda: Ce x 5

5

1

3.- dxx

2

Haciendo cambio de variable

2

a

dxdu

xu


duau

Integramos

Caa

u

ln

1

Con los valores de a y u, queda

Cx

2

2ln

1

4.- xdxtan


23

Haciendo un cambio de variable, para lo cual haremos: dxdu

xu


duutan

Por formula tenemos:

xdxtan = CxL sec

5.- xdx2cot

En este caso tenemos que hacer un cambio de variable, para lo cual haremos:

dxdu

dxdu

xu

2

2

2


uducot2

1 Resolviendo por formula tenemos:

CsenuL 2

1

Dándole su valor original a u, nos queda: CxsenL 22

1


24

Calculo Integral

Actividad # 5

Nombre: ________________________________________________

Resuelve las siguientes Integrales Exponenciales y logarítmicas.

1.- dxe x

22

2.- dxex x

2

2

3.- dxex

1

4.- dxx

3

5.- 15x

6.- dxx2tan

7.- dxxx2cot

8.- dyy4sec4

9.- 2x

dx

10.- dxx

23


25

Técnicas de integración

Integración de funciones trigonométricas

Calculo de integrales de la forma uduusen nm cos

Se presentan dos casos:

Primer caso:

Cuando m y n son pares y positivos, o alguno de ellos es nulo. Se aplican las

formulas del Angulo medio, para bajar el grado de la expresión, con este fin

usaremos las siguientes formulas:

usenusenu 22

1cos

uusen 2cos2

1

2

12

uu 2cos2

1

2

1cos2

Ejemplo:

1.- xdx2cos

Buscamos en las formulas del Angulo medio y tenemos:

xdx2cos = dxx

2cos

2

1

2

1

= dxxdx 2cos2

1

2

1,

La primera integral la podemos resolver directamente, para el caso de la segunda

necesitamos hacer un cambio de variable,

Donde:

dxdu

dxdu

xu

2

2

2


26

Sustituyendo en la integral tenemos:

=

duudx cos

2

1

2

1

2

1 = Csenux

4

1

2

1

Regresándole su valor original a u nos queda:

= Cxsenx 24

1

2

1

2.- xdxxsen 22 cos

Buscamos en las formulas del Angulo medio y tenemos:

xdxxsen 22 cos = dxxx

2cos

2

1

2

12cos

2

1

2

1

Desarrollando el producto nos queda:

dxx

2cos

4

1

4

1 2 ,

Separando integrales

dxxdx 2cos4

1

4

1 2

La primer integral la podemos resolver directamente, para el caso de la segunda

necesitamos sustituir de acuerdo a las formulas del ángulo medio, le aplicamos la

identidad,

dxxdx 4cos

2

1

2

1

4

1

4

1

xdxdxdx 4cos8

1

8

1

4

1,

Resolviendo las primeras dos integrales

xdxxx 4cos8

1

8

1

4

1

Haciendo un cambio de variable:

dxdu

dxdu

xu

4

4

4


27

Y sustituyendo en la integral:

uduxx cos

4

1

8

1

8

1

4

1

Resolviendo

Csenuxx 32

1

8

1

4

1

Simplificando y regresándole su valor original a u:

Cxsenx 432

1

8

1

Segundo caso:

m y n son pares y positivos.

Si m es impar y positivo se factoriza la función senxdx y se aplica la identidad

pitagórica xxsen 22 cos1

Si n es impar y positivo se factoriza la función xdxcos y se aplica la identidad

pitagórica xsenx 22 1cos

1.- xdxsen3

Factorizando el integrando

xdxsen3

= senxdxxsen .2

Sustituyendo la identidad pitagórica xxsen 22 cos1

dxsenxx 2cos1

Desarrollando el producto

dxxsenxsenx 2cos


28


xdxsenxsenxdx 2cos ,

Resolviendo la primera integral y haciendo cambio de variable en la segunda

tenemos:senxdxdu

xu

cos

duux 2cos = duux 2cos = Cu

x 3

cos3

Regresándole su valor original a u y ordenando términos:

Cxx

cos3

cos3

Integrales de la forma udun

tan o udun

cot

Cuando n es un número entero, estas formas se integran fácilmente, para lo cual

sustituimos las siguientes identidades:

1sectantantantan 2222 uuuu nnn

1csccotcotcotcot 2222 uuuu nnn

Ejemplo:

1.- xdx4tan

De acuerdo a las identidades anteriores, tenemos:

xdx4tan = dxxu 1sectan 22

Realizando la multiplicación

dxxxx 222 tansectan


xdxxdxx 222 tansectan


29

Haciendo un cambio de variable en la primera integral, y sustituyendo la identidad

en la segunda integral.

Tenemos: xdxdu

xu

2sec

tan

dxxduu 1sec22

Resolviendo y separando integrales

dxxdxu 2

3

sec3

Regresándole su valor original a u, y resolviendo integrales, tenemos:

Cxxx

tan3

tan3

2.- xdx3cot


xdx3cot = 1csccot 2 xx


dxxxx cotcsccot 2


xdxxdxx cotcsccot 2

Haciendo un cambio de variable en la primer integral, y resolviendo por formulas

directas de integración la segunda.

Tenemos: xdxdu

xu

2csc

cot

xdxudu cot

CsenxLu 2

2

1

Regresándole su valor original a u, tenemos: CsenxLx 2cot2

1


30

Integrales de la forma udun

sec o udun

csc

Las integrales de esta forma se calculan fácilmente cuando n es numero entero

positivo par, para lo cual utilizaremos las siguientes identidades:

uuuuun

nn 22

2222 sec1tansecsecsec

uuuuun

nn 22

222 csc1cotcsccsccsc

Ejemplos:

1.- xdx4sec


xdx4sec = xdxx 22 sec1tan


dxxxx 222 secsectan


dxxxdxx 222 secsectan



Tenemos: xdxdu

xu

2sec

tan

xdxduu 22 sec

Cxu

tan3

3

Regresándole su valor original a u, tenemos:

Cxx

tan3

tan3


31

2.- xdx4csc


xdx4csc = xdxx 22 csc1cot


dxxxx 222 csccsccot


xdxxdxx 222 csccsccot



Tenemos: xdxdu

xu

2csc

cot

xdxduu 22 csc

Cxu

cot3

3

Regresándole su valor original a u, tenemos:

Cxx

cot3

cot3


32

Calculo Integral

Actividad # 6

Nombre: ________________________________________________

Resuelve correctamente las siguientes Integrales

Caso I Soluciones:

1.- xsen3

xcos dx cxsen

4

4

2.- x5cos dx cxsenxsensenx 53

5

1

3

2

3.- x4cos xsen3 dx cxx

7

cos

5

cos 75

4.- xsen5dx cxxx 53 cos

5

1cos

3

2cos

Caso II

1.- axsen 4dx

a

axsen

a

axsenx

32

4

4

2

8

3

2.- x4cos dx cxsenxsenx

32

4

4

2

8

3

3.- x2cos dx cxxsen

24

2

4.- xsen2

dx cxsenx

4

2

2

Caso III

1.- x3tan dx cxx coslntan2

1 2

2.- 3

cot3 x dx c

xsen

x

3ln3

3cot

2

3 2

3.- x3tan4dx cxx 3tan

3

13tan

9

1 3

4.- x4cot dx cxxx

cot3

cot3


33

Caso IV

1.- x3sec4dx cxx 3tan

9

13tan

3

1 3

2.- x3csc4dx cxx 3cot

9

13cot

3

1 3

Integración por Partes

La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto

de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en

la formula de la derivada de un producto de dos funciones. vduudvvud . .

Su fórmula es: vduuvudv

Se utiliza si al poner el integrando en la forma udv resulta fácil de calcular v y la

integral de vdu. La elección de quien es u y quien es dv en el integrando es

arbitraria y es acertada en el caso de que la integral del segundo miembro resulte

más sencilla que la dada. Se usa para integrar gran número de integrales no

inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas, logarítmicas

y trigonométricas inversas.

Ejemplo:

1.- xsenxdx

Se descompone el integrando en dos factores, u y v.

Hagamos xu senxdxdv


34

De la expresión del integrando que se iguala a u, se calcula su diferencial, y la

que se iguala a dv se calcula su integral para obtener v. Entonces

dxdu y xsenxv cos

Aplicando la formula de integración por partes:

xsenxdx = dxxxx coscos

= dxxxx coscos

= Csenxxx cos

2.- xdxxcos

xu xdxdv cos

dxdu senxv

Aplicando la formula:

Cxxsenx

senxdxxsenx

cos


35

Calculo Integral

Actividad # 7

Nombre: ________________________________________________

Resolver las siguientes Integrales, por el método de integración por partes.

Soluciones

1.- 2

xxsen dx c

xx

xsen

2cos2

24

2.- xx 3cos dx cxxxsen

9

3cos

3

3

3.- xx 2csc dx csenxLxx cot

4.- xxsen5 dx cxsenxx 525

15cos

5

1

5.- 2cos

xx dx

22

2cos4

xxsen

x

6.- xex

dx cxe x 1


36

La Integral Definida.

La integral definida de una diferencia dada, calculada entre extremos de un

intervalo cerrado, es el incremento de la función primitiva o anti diferencial

propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial a hacia un valor final b.

Se expresa.

b

aaFbFdxxf

Representa el área de la superficie limitada por la curva de una función xf

cuyos extremos tienen como abscisas a y b. El resultado de una integral definida

se expresa en unidades cuadradas de superficie.

Procedimiento para calcular una integral definida.

A).- Integrar la expresión diferencial dada.

B).- Sustituir en el resultado obtenido (integral definida) inicialmente con el valor

del extremo superior, a continuación con el inferior, y se resta el segundo

resultado del primero.

C).- No es necesario tomar en cuenta la constante de integración, pues siempre

se cancela en la sustracción.

Ejemplo:

1.- 4

12xdx

= dxx4

12

= 2

x 4

1

= 22 14

= 215u


37

2.- dxx5

1

2

= 3

3x 5

1

=

3

1

3

533

= 3

1

3

125

= 2

3

124u

Calculo Integral

Actividad # 8

Nombre: ________________________________________________

Resuelve las siguientes Integrales Definidas.

Solución

1.- 4

1dx 3

2.- 4

0

2

1

x dx 3

16

3.- 2

6

cos

xdx 2

1

4.- 1

1

2 2x dx 3

10

5.- 4

12x dx 15


38

Suma de Riemann

La suma de n términos (a1, a2, a3, … an) se expresa: n

n

mi

i aaaaa ...321

, en

donde: el símbolo es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego que

corresponde a la letra s y se usa en matemáticas para indicar la suma.

i Se llama índice de la suma o variable de la suma.

an Representa el n – esimo término de la suma.

n y m Indican los valores extremos, y son el extremo superior e inferior de

la suma, respectivamente, donde .nm

Ejemplos:

1.- Calcula la suma indicada.

4

1

12i

i

en este ejemplo .12 iai para calcular la suma indicada se sustituye la i

sucesivamente por los enteros 1,2,3,4 desde 1 hasta 4, que en el ejemplo son los

extremos de la suma, luego se suman los términos así obtenidos.

4

1

12i

i = 142132122112

= 3 + 5 + 7 + 9

= 24.

Cualquier variable puede ser usada como índice de la suma. Se prefieren las

letras i,j,k porque normalmente están asociadas con los enteros. El extremo

inferior no tiene que ser necesariamente uno, pues cualquier número entero

menor o igual al extremo superior es válido.


39

2.- Calcula la suma indicada.

4

0 2

2

i

i

i

4

0 2

2

i

i

i =

24

2

23

2

22

2

21

2

20

2 43210

= 6

16

5

8

4

4

3

2

2

1

= 30

8048302015

= 30

193

Calculo Integral

Actividad # 9

Nombre: ________________________________________________

Desarrolla las siguientes sumas de Riemann.

SOLUCIÓN

1.-

10

1 2

1

j

j 5.32

2.-

5

2

1i

i 18

3.-

4

1

1

k k

12

25

4.-

3

1 1

1

i i

12

13

5.-

5

2

23k

k 50


40

La integral definida en el cálculo de áreas

El teorema fundamental del cálculo señala:

Si una función f es continua en el intervalo ba, , entonces

b

aaFbFdxxf

Donde F es cualquier función tal que xfxF para toda x en ba, . El resultado

de esta integral es igual al área bajo la curva xf representada en el plano.

Ejemplos:

1.- calcula el área limitada por la grafica de 322 xxxfy , el eje de las x

y las líneas verticales 0x y 2x . Graficar.

Área = dxxx 2

0

2 32

= 2

0

2

0

2

0

2 32 dxdxxdxx

Integramos por separado

dxx2

0

2 = 3

3x

2

0 =

233

3

8

3

0

3

2u

dxx2

02 = 2x

2

0 = 222 402 u

2

03 dx = x3

2

0 = 260323 u

Por lo tanto

dxxx 2

0

2 32 = 643

8

= 3

18128


41

= 2

3

22u

Grafica del ejemplo resuelto

Áreas entre dos curvas

En general se procede en forma semejante a como ya se hizo al calcular el área

bajo la curva en un intervalo. Si xf y xg son dos funciones continuas

definidas para x en un intervalo ba, . El área de la región entre las rectas

ax , bx y las dos curvas está dada por:

Área = b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

Ejemplo:

1.- obtener el área de la región limitada por las graficas de 22

1 xy , 12 xy ,

con las líneas verticales 1x y 2x .

Integramos cada una de las funciones.

2

1

2 2 dxx = 2

1

2

1

2 2 dxdxx


42


dxx2

1

2 = 3

3x 2

1 = 2

33

3

7

3

1

3

2u

2

12 dx = x2

2

1 = 22241222 u

2

1

2 2 dxx = 2

3

132

3

7u

2

3

13u Es el área limitada por la curva 22

1 xy y el eje de las x. el signo positivo

del área significa que la curva en el intervalo 2,1 está arriba del eje de las x.

2

11 dxx =

2

1

2

1dxxdx


2

1xdx =

2

2x

2

1 =

222

2

3

2

1

2

4

2

1

2

2u

2

1dx = x

2

1 = 2112 u

Por lo tanto

2

11 dxx = 1

2

3 = 2

2

1u

El signo negativo del área significa que la recta 12 xy y el eje de las x en el

intervalo 2,1 esta debajo del eje de las x.

Por lo tanto el área entre estas dos funciones en el intervalo es:

2

1

2

1dxxgdxxf =

2

1

3

13

= 2

1

3

13


43

= 2

6

29u

La integración definida en el cálculo de volúmenes

A).- cuando el eje de revolución es horizontal

Volumen = dxxfb

a

2

dxxfvb

a2

B).- cuando el eje de revolución es vertical

Volumen = dxyfb

a

2

dxyfvb

a2


44

Ejemplo:

1.- Calcula el volumen del sólido de revolución al girar la superficie limitada por la

curva 2

1

xy , desde el eje de la y, hasta la línea vertical 2x , al girar alrededor

del eje de las x.

dxxfvb

a2

= dxxv

2

0

2

2

1

= dxx2

0

= 2

2x

2

0

= 22 022

= 2 3u


45

Calculo Integral

Actividad # 10

Nombre: ________________________________________________

Resolver las siguientes integrales

1.- Calcula el área de la región comprendida por la grafica seny x , entre 0x

y 2

x . Graficar. Sol. 1 2u

2.- Calcula el área de la región comprendida por la grafica 442 xxy , entre

0y y 1y . Graficar. Sol. 2

3

7u


46

3.- Obtener el área de la región limitada por las graficas 2

1 xy , 22 xy , con,

las líneas verticales 0x , 2x . Graficar. Sol. 2

3

14u

4.- Obtener el área de la región limitada por las gráficas xxy 42

1 , 12 xy ,

con, las líneas verticales 0x , 4x . Graficar. Sol. 2

3

68u


47

GLOSARIO

Área. Superficie comprendida dentro de un perímetro.

Cálculo diferencial. Parte de las matemáticas que opera con las diferencias infinitamente pequeñas de las cantidades variables. Cálculo infinitesimal. Conjunto de los cálculos diferencial e integral. Cálculo integral. Parte de las matemáticas que trata de obtener una función a partir de su derivada.

Constante. Cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso, cálculo, etc.

Derivada. Valor límite de la relación entre el incremento del valor de una función y el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero.

Diferencial. Diferencia infinitamente pequeña de una variable

Función. Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno.

Función exponencial. La representada por f(x) = aˣ, en la que la x, variable

independiente, es un exponente.

Función inversa. Función recíproca asociada a una función invertible.

Función trigonométrica. Cada una de las funciones que dan las distintas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.

Integral. Se dice del signo (∫) con que se indica la integración. Resultado de

integrar una expresión diferencial.

Volumen. Espacio ocupado por un cuerpo.


48

BIBLIOGRAFÍA

LIBRO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

AUTOR: MARCELO SANTALO. VICENTE CARBONELL.

EDITORIAL: ÉXODO.

LIBRO: CÁLCULO DIFERENCIAL.

AUTOR: SAMUEL FUENLABARADA.

EDITORIAL: MC GRAW HILL.

LIBRO: CÁLCULO INTEGRAL.

AUTOR: RENÉ JIMÉNEZ.

EDITORIAL: PEARSON, PRENTICE HALL.

LIBRO: CÁLCULO INTEGRAL.

AUTOR: SAMUEL FUENLABARADA.

EDITORIAL: MC GRAW HILL.

LINKS DE INTERNET.

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm

cuadernillo cálculo integral

Documents