cuadernillo cálculo vectorial - unidad iii

61

UUNNIIDDAADD IIIIII Funciones vectoriales de una variable real

Competencia a desarrollar:

Reconoce una función vectorial en distintos contextos y la maneja como un vector. Contenido temático

3.1 Definición de función vectorial de una variable real 3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t 3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades 3.4 Integración de funciones vectoriales 3.5 Longitud de arco 3.6 Vector tangente, normal y binormal 3.7 Curvatura 3.8 Aplicaciones

62

__________________________________________________________________

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_________________________________________________________________________________

Referencias bibliográficas (De acuerdo al APA)

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

¿Quién fue Jacques Bernoulli? y ¿cuál fue su aportación a las

matemáticas (relacionado con el cálculo vectorial)?

Investigar

63

¿Qué es una función?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

¿Cuál es la definición de límite? y ¿Cómo se expresa matemáticamente? _________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

¿Cuál es la definición de continuidad en los límites? _________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

A partir de las definiciones anteriores, crea el concepto de función vectorial.

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

¿Cuál es el dominio de una función vectorial? y ¿Por qué es necesario en la graficación de una función vectorial? _________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Referencias bibliográficas (De acuerdo al APA)

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

64

REPASO DE CÁLCULO DIFERENCIAL Y CÁLCULO INTEGRAL Indicar las respuestas correctas y su solución de los siguientes ejercicios 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones pueden ser ciertas? si f ’(x) = 5x2/3

a) f (x) = 4x -1/3

b) f (x) = 5x -5/3+1

c) f ’(x) = 5x -1/3

d) f (x) = 3x 5/3 + 6

2.- Encuentre f ’(x de

1

2

1

33 1

6 1

xy

x

a) 16132

430

3 2

xx

x

b) 1613

29

3 2

xx

x

c) 16)13(

415x

3 2

xx

3.- Encuentre Dxy de x xy e e

a)

2

2

x

xe x e

x

b)

2

4

x

xe x e

x

c) 2

2

xe

x

4.- Encuentre la derivada de

cos 2y sen sen x Aplicar fórmulas

5.- Encuentre la derivada de

22233)( rrrrf

a) 6229 2 rr

b) 6102 rr

c) 6166 2 rr

6.- Encuentre dy/dx de

12xxnly

a)

1

11

2

2

xx

xx

b)

1

212

1

2

2

12

xx

xxx

c)

1

212

11

2

2

12

xx

xx

7.- Encuentre dy/dx de 2sen 2 senxxy

8.- Derivar cos

1

42

x

xy

9.- Encuentre dy/dx de 1

1

x

xy

65

Repaso de cálculo diferencial

Encontrar la derivada de las siguientes funciones.

1. 4( 4 )y sen x

2. 3y x

3. tan 1 3y x

4. 2tan (3 2)y x

5. 3ln( 2)( 3)y x x

6. 2ln(3 1)y x

7. 24 5y sen x x

8. 3cos xy e

9. 24 3sen xy e

10. 3xy e x

66

Repaso de cálculo integral.

Encontrar la solución de las siguientes integrales.

1. 2( 6 )x x dx

2. 3 3( 2)x dx

3. 26xe xdx

4. 4 2x dx

5. cos3xdx

6. 3 24sen x x dx

7. 1

3 2tan x x dx

67

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LERDO Unidad III Cálculo vectorial

Funciones vectoriales de una variable real Examen de diagnóstico

Nombre: _________________________________________ No. Control_________________ Fecha: ______________ Instrucciones: Lea con atención el examen, de acuerdo a su conocimiento conteste el examen al reverso de la hoja indicando el número de problema.

Competencia a desarrollar: Reconoce una función vectorial en distintos contextos y la maneja como un vector.

1. Resolver las siguientes operaciones:

a) Encontrar el dominio de r(t) y determinar su curva.

3 21( )

4r t t i t j

b) Encontrar el siguiente límite: 2

4

16lim 7 6

4t

tt i j t k

t

c) Dada la siguiente función vectorial 4 21( ) 2 5

3

tr t i t j t k

Encontrar en un tiempo

1. La velocidad

2. La aceleración

d) Evaluar la siguiente integral definida: 5

1

8ti tj k dt

e) Hallar ( )d

a bdt

y ( )d

axbdt

Si 2 35 3a t i tj t k y ( ) cos( )b sen t i t j

2.- Determinar los vectores unitarios tangente y normal T(t) y N(t) a la curva C determinada

por 3 2( ) 3 (2 6 )r t t i tj t t k . Trazar la gráfica de C y representar geométricamente T(t) y

N(t) correspondientes al valor de t = 1.

68

3.1 Definición de función vectorial de una variable real

En la unidad anterior definimos una curva plana como un conjunto de pares ordenados (f(t), g(t)) junto con sus ecuaciones paramétricas x= f(t) y y=g(t)

Ahora, extenderemos esto al espacio: una curva en el espacio r(t) es un conjunto de todas las ternas ordenadas (f(t), g(t), h(t)) junto con sus ecuaciones paramétricas.

x= f(t) y=g(t) z= h(t) (1)

Donde f, g, y h son funciones continuas de t en un intervalo I.

Existe una estrecha relación entre las funciones vectoriales y las curvas en el espacio.

Con notación vectorial podemos definir las ecuaciones dadas en (1) de la siguiente manera: funciones continúas de t en un intervalo I.

x= f(t) y=g(t) z= h(t)

r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k (2)

La ecuación (2) es una función vectorial que da la posición de un cuerpo en un tiempo determinado. En este tipo de funciones se asignan a los vectores números reales.

Definición:

Sea D un conjunto de números reales. Una función vectorial r con dominio D una correspondencia que asocia a cada numero t en D un vector único r(t) en V3 o R³. El contradominio de r consta de todos los vectores r(t) para t en D.

Teorema:

Si D es un subconjunto de R, entonces r es una función vectorial con dominio D si y solo si para todo t en D.

r (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k

Donde f, g, h son funciones escalares con dominio D

69

Sea r (t) = (t+2)i + (2t²-3)j + t³k, encontrar:

a) El domino r (t) b) Calcular r (1) y trazar su vector posición c) Calcular r (2) y trazar su vector posición

a) D = {t: t Є R}

b) r (1) = 3i – j + k

c) r (2) = 4i + 5j + 8k

Ejemplo 1

3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t

El estudio que se realizó en la unidad anterior sobre las rectas y curvas en el plano. Se extiende con facilidad al espacio tridimensional. Una curva en el espacio se determina mediante una triada de ecuaciones paramétricas.

x=f(t) y=g(t) z=h(t) t I

Z

X

Y

Vector posición

Z

Vector posición

Y

X

70

Siendo f, g y h funciones continuas en el intervalo I. Una curva se especifica dando el vector posición r(t) del punto P(t)

( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r r t f t g t h t f t i g t j h t k

La punta de r traza la curva cuando t recorre el intervalo I, como se ve en la figura 1.

El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

Si 1 2 3( ) [ ( ), ( ), ( )......... ( )]nf t f t f t f t f t el dominio es: 1 2 3..........

nD f D f D f D f D f

O expresado de otro modo 1

n

i

i

D f D f

Por ejemplo: el dominio de 21( ) 4

1r t i t j

t

son los valores reales que se encuentran en el

intervalo [-2,2], excepto cuando t = 1.

El dominio de la función 2

1( ) ln( 1) 4 1

4

rr t t i j r k

r

es la intersección de los dominios de

( ) ln( 1)f t t , 2

1( )

4

rg t

r

y ( ) 4 1h t r donde: ( 1, )fD , { 2,2}gD R y

1[ , ]4hD , o sea que el dominio de r(t) es: 1[ ,2) (2, )

4rD

Y

Z

X P

R

Figura 1

71

Una partícula se mueve en el espacio con la siguiente función

vectorial: 2 3( ) 2 3r t ti t j t k

a) Graficar su movimiento en el espacio en un intervalo de 0 ≤ t ≤ 4 b) ¿En qué posición del espacio se encuentra la partícula en t = 3.7 seg?

b) 2 3( ) 2 3r t ti t j t k 2 3(3.7) 2(3.7) 3(3.7) (3.7)

(3.7) 7.4 41.07 50.65

r i j k

r i j k

Ejemplo 2 a)

Para rastrear una partícula que se mueve en el espacio, trazamos un vector r del origen de la partícula y estudiamos los cambios en r.

Si las coordenadas de la posición de la partícula son funciones dos veces diferenciables respecto al tiempo, entonces también lo es r y podemos encontrar los vectores velocidad y aceleración de la partícula en un tiempo cualesquiera diferenciando r. Inversamente, si tenemos el vector de velocidad y aceleración podemos determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo mediante integración.

72

a) Realizar tabla de datos y generar la gráfica.

b) Hacer uso del software Mathcad y anexar la gráfica.

curva t( )

4cos t( )

4sin t( )

t

tinf 0 tsup 4 Grafica CreateSpace curva tinf tsup

Graficar la siguiente función vectorial:

( ) 4cos 4r t t i sen t j tk en un intervalo de 0 4t

Ejercicios

73

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades Límites de funciones vectoriales

La manera en que definimos los límites de funciones vectoriales es similar a como definimos los límites de funciones de valores reales.

Las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, integrarlas, etc.

Sea r(t) una función vectorial y L un vector. Decimos que r tiene límite L, cuando t tiende a t0 y escribimos:

lim ( )ot tr t L

Donde L = L1 i + L2 j + L3 k

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )o o o ot t t t t t t tr t f t i g t j h t k L

Siempre y cuando f, g, h tengan limite cuando t tiende a “to”. Definición

Una función vectorial r es continua en a si lim ( ) ( )t a

r t r a

Evaluar el límite de la función vectorial cuando 2t :

22 1( ) ( 1)

5r t ti t j k

t

Solución:

2

2 2

2(2) 1lim ( ) lim (2) ((2) 1)

5 2

4 1(2) (4 1)

5 2

4 1(2) 3

5 2

t tr t r i j k

r i j k

r i j k

Ejemplo 3

74


2 3 2 2

2

3 10 2 4 2( )

2 2 6 8

t t t t t tr t i j k

t t t t

Solución:

Factorizar para eliminar la indeterminación

3 2 2

2 2 2 2

3 2 2

2

2

( 5)( 2) 2 4 2lim ( ) lim lim lim

2 2 ( 2)( 4)

(2) 2(2) (2) 4(2) 2lim (2) (2 5)

2 2 (2 2)(2 4)

8 8 4 8 2 0 6lim (2) 7 7 7 0

2 2 (0)( 2) 4 0

t t t t

t

t


t t t t

r i j k

r i j k i j k i j k

ya que la indeterminación no se elimina en la componente k, la función vectorial no se

puede evaluar para t=2

Ejemplo 4

Evaluar el límite de la función vectorial cuando t :

3 2

3 2 2

3 1 4 2 1 2( )

t t tr t i j k

t t t

Solución:

3 2

3 3 2 2 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 1 4 2 1 2

lim ( ) lim lim lim

1 2 1 23 4

lim ( ) lim lim lim1 1 1

3 0 4 0 0 0lim ( )

1 1 1

3 4lim ( )

1 1

lim ( )

t t t t

t t t t

t

t

t

t t t

t t t t t tr t i j kt t t

t t t

t t t tr t i j k

r t i j k

r t i j

r t

3 4i j

Ejemplo 5

Cualquier número dividido entre un

indeterminado da como resultado cero (0)

75

1. Dado ( ) cos( ) ( )r t t i sen t j tk encontrar el límite de dicha función vectorial cuando

4t

4

lim ( )t

r t

Evaluar los límites de las funciones vectoriales:

Ejercicios


2 2 22 3 2 2 2 8( )

1 1 2


t t t

Solución:

Se factoriza para eliminar términos

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

( 3)( 1) 2 ( 1) ( 4)( 2)lim ( ) lim lim lim

1 1 2

lim ( ) lim( 3) lim 2 lim( 4)

lim ( ) ( 1 3) 2( 1) ( 1 4)

lim ( ) ( 4) 2 5

t t t t

t t t t

t

t


t t t

r t t i tj t k

r t i j k

r t i j k

Ejemplo 6

76

2. Encontrar el límite de las siguientes funciones vectoriales:

a) 3 2 2

2 3

2 16 2 3 1( )

6 1

t t t tr t i j k

t t t t

2lim ( )t

r t

b) 2 2

3

3

16 2( ) ( 6 )

4 5 2

t tr t t t i j k

t t

4lim ( )t

r t

c) 4 5 5 6 2

7 3 6 2 3

4 3 2 4 6( )

2 3 3 2 8 5 8

t t t t tr t i j k

t t t t t

lim ( )t

r t

77

Derivación de funciones vectoriales

La función vectorial r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k es diferenciable en t = t0 si f, g y h son diferenciables en t0. Se dice también que r es diferenciable si es diferenciable en todo momento de su dominio.

dr df dg dhi j k

dt dt dt dt

El vector dr/dt, cuando es diferente de 0, es también un vector tangente a la curva. La recta tangente a la curva en un punto (f(t0), g(t0), h(t0)) se define como la recta que pasa por el punto, paralela a dr/dt en t = t0.

Definición de Derivación: Sea r(t) una función vectorial. La derivada de r(t) es la función vectorial r’(t) definida por:

0

( ) ( )'( ) lim

t

r t t r tr t

t

Para toda t en el que el límite existe.

Teorema: Si r (t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son derivables entonces: r’ (t) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k

Sea r (t) = (ln t)i + e-3t j + t² k, encontrar:

a) El dominio de r(t)

b) r’ (t) y r’’(t)

Solución:

a) D = {t: t Є R; t > 0}

b) 3 2

3

3

2

( ) (ln )

1'( ) 3 2

1''( ) 3 2

t

t

t

r t t i e j t k

r t i e tkt

r t i e kt

Ejemplo 7

78

a) 4 21( )4

r t t i t j

b) Determinar r’(t) y r’’(t) para: 3 3( )r t t i t j

Encontrar el D de r(t) y calcule r’(t) y r’’(t) de :

Solución:

a) 2( ) tan( ) 3r t t i t j k

3{ :0 }2 2 2

D t t t

2

2

'( ) 2 sec ( )

''( ) 2 2sec ( ) tan( )

r t ti t j

r t i t t j

b) 2( ) tr t ti e j tk

{ : ; 0}D t t R t

2

12

2

32

'( ) 22

''( ) 44

t

t

ir t e j k

t

ir t e j

t

Ejemplo 8

Realizar los siguientes ejercicios

Ejercicios

79

c) Determinar r’(t) y r’’(t) para: ( ) (2 1) (4 )r t t i t j

d) Dados los siguientes vectores 2 23 5 2 3A t i tj k y B i tj t k realiza las siguientes

operaciones:

a) ( )d

A Bdt

b) ( )d

AxBdt

e) Siendo ( ) cos( ) , cos( ) 3 2 3A sen u i u j uk B u j k y C i j k

Hallar: ( ( ))d

Ax BxCdt para u=0

80

Si r es el vector de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva suave en el espacio, entonces,

( )( )

dr tv t

dt

es el vector velocidad de la partícula, tangente a la curva. En cualquier tiempo t, la dirección de v es la dirección del movimiento, la magnitud de v es la rapidez de la partícula y la derivada,

( )( )

dv ta t

dt

cuando ésta existe, es el vector aceleración de la partícula.

Definiciones importantes:

1. La velocidad es la derivada de la posición: ( )

( )dr t

v tdt

2. La rapidez es la magnitud de la velocidad: ( )rapidez v t

3. La aceleración es la derivada de la velocidad: 2

2

( ) ( )( )

dv t d r ta t

dt dt

4. El vector unitario ( )

( )

v t

v t es la dirección del movimiento con respecto al tiempo t

( )( ) ( )( )

( )

v tvelocidad v t rapidez dirección

v t

El vector 2( ) 3cos( ) 3 ( )r t t i sen t j t k da la posición de un cuerpo en

el tiempo t. Encuentre la rapidez del cuerpo y su dirección cuando t = 2:

Solución:

a) '( ) 3 ( ) 3cos( ) 2r t sen t i t j tk

Rapidez:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

( ) '( ) ( 3 ( )) (3cos( )) (2 )

( ) '( ) 9 ( ) 9cos ( ) 4

( ) '( ) 9( ( ) cos ( )) 4

( ) '( ) 9 4

v t r t sen t t t

v t r t sen t t t

v t r t sen t t t

v t r t t

Ejemplo 9

81

a) 2( ) ( 1) ( 1) 2 ; 1r t t i t j tk t

b) ( ) (2cos ) (3 ) 4 ;2

r t t i sent j tk t

c) 2

2( ) (2ln( 1)) ; 12

tr t t i t j k t

3.4 Integración de funciones vectoriales La integral indefinida de r con respecto a t es el conjunto de todas las antiderivadas de r y se denota por:

( )r t dt

Para obtener la integral de r(t) se hace lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )r t dt f t dt i g t dt h t dt k

El vector r(t) es la posición de una partícula en el espacio en el tiempo t. Determinar la velocidad, rapidez, aceleración y dirección de dicha partícula.

Ejercicios

Solución:

b) Dirección

2

2

( ) 3 ( ) 3cos( ) 2

( ) 9 4

2

(2) 3 (2) 3cos(2) 2(2)

(2) 9 4(2)

(2) 3 (2) 3 (2) 4

(2) 5 5 5

(2) 2.7279 1.2484 4

(2) 5 5 5

v t sen t i t j tk

v t t

t

v sen i j k

v

v sen i cos j k

v

v i j k

v

82

(cos( ) (2 )t i j t k dt

Si las componentes de r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k son integrales sobre [a, b], entonces lo es también r y la integral definida de r entre a y b: Definición. Sea ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k , la integral definida desde a hasta b de r(t) es :

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a ar t dt f t dt i g t dt j h t dt k

Siempre y cuando f, g y h sean integrable en [a, b] Teorema. Si r(t) es un antiderivada de R(t) en [a, b] entonces:

Realizar la siguiente integral indefinida:

Ejercicios

Calcular 2

0( )r t dt para 3 2 1( ) 12 4 ( 1)tr t t i e j t k

Solución:

2 2 2 23 2 1 3 2 1

0 0 0 0

24

2 22

000

4 4 2(2) 2(0)

(12 4 ( 1) ) 12 4 ( 1)

122 ln 1

4

3(2) 3(0) 2 2 ln 2 1 ln 0 1

48 0 109 2 1.09 0

48 107 1.09

t t

t

t i e j t k dt t idt e jdt t kdt

ti e j t k

i e e j k

i j k

i j k

Ejemplo 10

83

Evaluar las siguientes integrales:

a) 1

3 2

1( 5 8 3 )ti t j t k dt

b) 4

0( ( ) cos( ) tan( ) )sen t i t j t k dt

Solución:

a) 1

3 2

1( 5 8 3 )ti t j t k dt

1 1 13 2

1 1 1

2 4 32 4 3

2 2 3 3

5 8 3

5 8 32.5 2

2 4 3

2.5(1) 2.5( 1) 2(1) 2( 1) (1) ( 1)

2.5 2.5 2 2 1 1

2

tidt t jdt t kdt

t t ti j k t i t j t k

i j k

i j k

k

b) 4

0( ( ) cos( ) tan( ) )sen t i t j t k dt

4 4 4

0 0 0

44 4

0 0 0

( ) cos( ) tan( )

cos( ) ( ) ln sec( )

cos( ) cos(0) ( ) (0) ln sec( ) ln sec(0)4 4 4

0.7071 1 0.7071 0 1.4141 0

0.7071 0.7071 1.4142

sen t idt t jdt t kdt

t i sen t j t k

i sen sen j k

i j k

i j k

Ejemplo 11

84

a) Determinar ( )u t si 2 3'( ) (6 1) 8u t t i t j t k y (0) 2 3u i j k

b) Dados los siguientes vectores 2 23 5 2 3A t i tj k y B i tj t k realizar las siguientes

operaciones:

- 2

0( )A B dt

- 1

0( )A B dt

Realizar la siguiente integral indefinida

Ejercicios

85

c) La velocidad de una partícula que se mueve en el espacio es cos( ) ( )

drt i sen t j k

dt

encontrar la posición de la partícula en función de t si (0) 2r i k

d) La aceleración de una partícula es ( ) 12cos(2 ) 8 (2 ) (16 )dv

a t t i sen t j t kdt

Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en t = 0 (v(0) = r(0) = 0). Encontrar:

- El vector velocidad v en t = 0

- El vector posición r en t = 0 NOTA: Se debe calcular la constante de integración cv en t = 0 y se le agrega al vector velocidad obtenido en a). De manera análoga, calcular la constante cr en dicho punto y agregar al vector posición obtenido en b).

86

3.5 Longitud de arco La longitud de una curva ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k , a ≤ t ≤ b, que es exactamente recorrida una

sola vez conforme t crece de t = a a t = b, es

2 2 2b b

a a

df dg dhL v dt dt

dt dt dt

2 2 2b

a

dx dy dzL dt

dt dt dt

Encontrar la longitud de arco de una vuelta de la hélice:

( ) cos( ) ( )r t t i sen t j tk

Solución:

2 2 22

0

2 2 2 2

0

22 2

0

2

0

2

0

cos( ) ( )

( ) cos( ) 1

( ) cos ( ) 1

1 1

( 2(2 ) 0) 2 22

d t dsen t dtL dt

dt dt dt

L sen t t dt

L sen t t dt

L dt

L ct

Ejemplo 12

87

a)

( ) 4cos( ) 4 ( ) 3r t t i sen t j tk

02

t

b) 3

2( ) 2 ( 3) 3 ; 6r t t i t j tk 3 t resp: 36.15

Empezando en 0t , una abeja vuela de tal manera que su vector

posición era ( ) cos( ) ( )r t t t i tsen t j tk hasta 4t

Solución:

2 2 24

0

4 2 2 2

0

42

0

cos( ) ( )

cos ( ) cos( ) 1

2

82.336

d t t d tsen t dtL dt

dt dt dt

L t tsen t sent t t dt

L t dt

L

Ejemplo 13

Determinar la longitud de la porción indicada de la siguiente curva:

Ejercicios

88

3.6 Vector tangente, normal y binormal

Cuando viaja un cuerpo a lo largo de una curvatura en el espacio, existe un sistema de referencia de vectores unitarios mutuamente ortogonales que siempre viajan con el cuerpo:

El primero es el vector tangente unitario T.

El segundo es el vector unitario normal: N que da la dirección de dT/dt.

El tercero es el vector binormal: B = T x N.

Estos vectores nos dan información importante sobre la orientación de un cuerpo en el espacio, por ejemplo, |dT/dt| nos dice que tanto gira, a la izquierda o a la derecha, la trayectoria de un cuerpo que se desplaza y se le llama curvatura de la trayectoria del cuerpo. El número -(dB/dt) nos dice qué tanto gira o se tuerce, fuera de su plano de movimiento, la trayectoria del cuerpo que se desplaza y se le llama torsión de la trayectoria del cuerpo.

Vector tangente unitario

Este vector es uno de los tres vectores unitarios que se utilizan para describir el movimiento en el espacio de partículas u objetos en tres dimensiones.

El vector tangente unitario de una curva diferencial r(t) se determina mediante:

'( )

'( )

dr

r t vdtTdr r t v

dt

Vector normal unitario

Este vector nos da la información que señala la dirección en que el vector tangente unitario está cambiando y señala el lado cóncavo de la curva:

'

'

TN

T

N

T

B

Figura 3.6.1 Representación de los vectores unitarios

T,N y B

89

Vector binormal

El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil.

Como a medida que varía S el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.

Es un vector unitario ortogonal a T y a N, juntos T, N y B definen un sistema de referencia vectorial derecho, que juega un papel importante en el cálculo de trayectorias de vehículos espaciales.

B TxN

3.7 Curvatura Definición: Cuando P(t) se mueve a lo largo de la curva el vector unitario T(t) cambia la dirección: la razón de cambio T con respecto a la longitud de arco s(dt/ds) se llama vector curva en P. Por ello:

Curvatura para cuando nos dan una función vectorial de variable real.

Vector unitario tangente r(t) Vector posición

90

Utilizando las dos ecuaciones anteriores, demostrar que la curvatura en todos los puntos de una circunferencia de radio a es igual a 1/a

Solución:

Ejemplo 14

Encuentre la curva y el radio de curvatura de la hipocicloide:

8 cos3 t i + 8 sen3 t j en el punto P donde t = π/12

Ejercicios

92

Teorema:

Si una curva plana c está dada paramétricamente por x = f(x) y = g(x) donde f y g existen, entonces la curva K en P(x, y) es:

k = f'(t) g"(t) -g'(t) f"(t) [(f'(t))² + (g'(t))²]³/²

Encuentre la curvatura de la elipse x = 3 Cos t; y = 2 Sen t, en los puntos correspondientes a t = 0 y t = π/2.

Ejercicios

93

3.8 Aplicaciones A una carretera y una de sus rampas de salida se sobrepone un sistema coordenado rectangular de manera que la carretera coincide con el eje x. La rampa de salida comienza en el origen 0 y su trayectoria sigue la curva y = -1/27 x3 entre 0 y 3 el punto P (3, -1); luego continua a lo largo del arco de circunferencia. Sea K(x) la curvatura de la rampa de salida en (x, y). Encuentre el centro del arco de circunferencia que hace que la curvatura sea continua en x = 3 (es decir en el punto P (3, -1)).

X = 3 Y = -1/27 X3 X’ = 0 Y’ = -3/27 X2 X’’ = 0 Y’’ = -2/9 X

NOTA: Si x’ y x’’ son, respectivamente, la primera y la segunda derivadas de x con respecto a y, establézcase (G) en la forma

(H)

Las fórmulas (H) pueden emplearse cuando y’ se hace infinita, o si es más sencillo derivar con respecto a y.

94

Tarea para realizarla durante el transcurso de la unidad III

Anexar al cuadernillo todas gráficas de las funciones vistas (graficar en Mathcad)

1. Sea c la curva plana determinada por r(t) = t² i + t j:

a) Encontrar los vectores unitarios tangente y normal T(t) y N(t) b) Trazar c, T(1) y N(1) 2. Determine los vectores unitarios tangente y normal T(t) y N(t) a la curva C determinada

por r(t) = t3i + 3tj. Trace la gráfica de C y represente geométricamente T(t) y N(t) correspondientes al valor de t = 1.

UNIDAD III

cuadernillo cálculo vectorial - unidad iii

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