cálculo vectorial presentación

Cálculo vectorial

Física Grado en Biotecnología

Magnitudes escalares y vectoriales

Sistemas de vectores deslizantes

Resultante de un sistema de vectores deslizantes

Operaciones con vectores libres

Momento resultante de un s. vectores deslizantes

Invariantes de un s. vectores deslizantes

Momento de un vector deslizante. Momento axial


Magnitud que queda definida por su valor numérico (número real que las mide) que puede ser:

Magnitud escalar

Abstractas: no tienen unidades Ej. Índice de refracción, rendimiento Concretas: tienen unidades Ej. Longitud (m), masa (kg), temperatura (K)


Magnitud vectorial

Magnitud que queda definida cuando se conoce, además de su módulo, la dirección sobre la que actúa y sentido. Ej. velocidad (m/s), aceleración (m/s2), fuerza (N),

A

B Se representa por un segmento rectilíneo AB de origen en el punto A y extremo el B. Su longitud es el módulo, su dirección la de la recta soporte y sentido de A a B

Magnitudes vectoriales

Clasificación de vectores

Vectores libres. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección y sentido. Su punto de aplicación es cualquier punto del espacio (punto arbitrario).

Dos vectores libres son iguales si son superponibles mediante una traslación en el espacio. Tienen el mismo módulo, dirección y sentido independientemente de cual sea su origen y su recta soporte (directriz).

Libres Deslizantes Localizados

v

v

Puede trasladarse en su propia directriz o directrices paralelas.


Vectores deslizantes. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección, sentido y la recta soporte. Su punto de aplicación es cualquier punto de la directriz.

Dos vectores deslizantes son iguales cuando son superponibles por deslizamiento a lo largo de su recta soporte.

v

v

Ej. Fuerzas aplicadas a los sólidos rígidos

Solo puede trasladarse en su propia directriz.


Vectores localizados. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

Dos vectores localizados son iguales cuando tienen igual módulo, dirección, sentido y punto de aplicación (u origen y extremo). Un vector localizado solo puede ser igual a sí mismo.

v v

A esta categoría pertenecen los vectores representativos de las velocidades lineales.


Vector unitario o versor. Es un vector sin unidades, de módulo unidad. Se utilizan para especificar la dirección y sentido.

El vector unitario que especifica la dirección y sentido de un vector se calcula mediante el cociente entre dicho vector y su módulo.

x y zv v i v j v k 2 2 2

x y zv v v v

v

vu

v


i Y

X

Z

j

k

Sistema de referencia

Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos se expresan por:

, ,i j k

x y zv v i v j v k

Componentes de un vector:

cos ; cos ; cosyx z

vv v

v v v

v

vx

vy

vz

Y

X

Z


Representación

cos cos cosv v i v j v k

Las componentes son las proyecciones sobre los ejes coordenados

Se cumple:

2 2 2cos cos cos 1

2 2 2

2 2 2

2cos cos cos 1

x y zv v v

v

La suma o resultante de dos vectores es el vector diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores. En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo. La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo es el extremo del segundo.


Suma

AB

C

La proyección del vector suma sobre un eje, es la suma de las proyecciones de los vectores sobre dicho eje.

A B C

x x x

y y y

C A B

C A B

Es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector. Tiene la misma dirección y sentido si el escalar es positivo (n>0) y sentido contrario si es negativo (n<0).


Producto de un escalar por un vector:

( , , )x y zv v v v

nv

nv

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por n las componentes del vector.

( , , )x y zn v nv nv nv

El módulo es: n v n v

Si n=-1, obtenemos el vector opuesto a v nv v

Es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman los vectores.


Producto de un escalar de dos vectores:

1 1 1 1( , , )x y zv v v v

1 2·v v

1 2 1 2· cosv v v v

2 2 2 2( , , )x y zv v v v1v

2v

1 2 1 2 1 2 1 2· x x y y z zv v v v v v v v

El producto escalar es nulo si lo es alguno de ellos o si son perpendiculares:


Producto escalar de dos vectores: 1 2·v v

1 2· 0v v 1 0v

2 0v

1 2 0; 0v v cos

Recíprocamente, si el producto escalar es nulo, y no lo es ninguno de ellos, los vectores son perpendiculares.


Propiedades del producto escalar:

1 2 2 1· ·v v v v Conmutativa

Asociativa respecto al producto por un escalar

1 2 1 2 2 1( · ) ( )· ( )·n v v n v v nv v

Distributiva respecto a la suma de vectores

1 2 3 1 2 1 3·( ) · ·v v v v v v v

No asociativa respecto a productos escalares sucesivos

1 2 3 1 2 3·( · ) ( · )·v v v v v v

ESCALAR ESCALAR

Es un vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman, dirección perpendicular a ambos vectores y el sentido se determina por la regla de la mano derecha (o del tornillo).


Producto vectorial de dos vectores:

1 1 1 1( , , );x y zv v v v

1 2v v

1 2 1 2v v v v sen

2 2 2 2( , , )x y zv v v v1v

2v1 2v v


Producto vectorial de dos vectores:

El producto vectorial, geométricamente, tiene un significado importante: su módulo es igual al área del paralelogramo que determinan los dos vectores.


Producto vectorial de dos vectores: 1 2v v

1 2 1 2v v v v sen

1 2Área v v

1v

2v

El producto vectorial es nulo si lo es alguno de ellos o si son paralelos:


Producto vectorial de dos vectores: 1 2v v

1 2 0v v 1 0v

2 0v

1 2 0; 0v v sen

Recíprocamente, si el producto vectorial es nulo, y no lo es ninguno de ellos, los vectores son paralelos.


Si el producto vectorial es nulo:

1 2 1 1 1

2 2 2

0;x y z

x y z

i j k

v v v v v

v v v

11 1

2 2 2

yx z

x y z

vv v

v v v

Las componentes de los vectores son proporcionales:


Expresión analítica del producto vectorial:

1 2 1 1 1

2 2 2

x y z

x y z

i j k

v v v v v

v v v

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x yv v v v v v i v v v v j v v v v

No conmutativa


Propiedades del producto vectorial:

1 2 2 1( )v v v v

Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )n v v n v v v nv

Distributiva respecto a la suma de vectores

1 2 3 1 2 1 3( )v v v v v v v

No asociativa respecto a productos vectoriales sucesivos

1 2 3 1 2 3( ) ( )v v v v v v


Producto mixto:

1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3

·( )

x y z

x y z

x y z

v v v

v v v v v v

v v v

Es un escalar

1 2 3·( )v v v

1 2 3 1 3 2 2 1 3( ) ( · )· ( · )·v v v v v v v v v

Doble Producto Vectorial:


Interpretación geométrica del producto mixto:

Es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los tres vectores.

1v

2v

3v

Vectores deslizantes

Un vector deslizante puede deslizarse a lo largo de su recta soporte sin que cambie el vector.

A

B

A

´B

v A B AB Vectores equipolentes

Siendo P un punto cualquiera de su recta soporte

,( , )p p p

x y z

P x y z

v v i v j v k

v

v

La ecuación de la recta soporte es:

p p p

x y z

x x y y z z

v v v

Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un punto

Considerando el vector deslizante aplicado en el punto A de su recta soporte, el momento del vector respecto al punto fijo 0 (centro de momentos) es un nuevo vector cuyo punto de aplicación es 0, e igual al producto vectorial:

v AB

0( )M AB OA AB

( , , )A x y z

B También se denomina Momento Central

0 ( )M AB

0 ( )M AB

0 0 00( , , )x y z


0( )M AB OA AB

0( )M AB OA AB sen

La dirección del momento central es perpendicular a OA y AB, es decir al plano definido por el punto O y el vector AB.

Módulo: el área que determinan los vectores

Sentido: el de avance de un tornillo que gira del primero al segundo


0 0 0 0( )

x y z

i j k

M AB x x y y z z

v v v

0 0 0( ) ( ) ( )

x y z

OA x x i y y j z z k

AB v v i v j v k

Analíticamente:

Momento de un vector deslizante respecto a un punto

El momento de un vector respecto a punto cualquiera de su recta soporte es nulo (distancia a la recta soporte nula)

( ) 0CM AB CA AB

A

B

C

CA AB


El momento central es único para un determinado punto 0, es independiente de la posición del vector deslizante sobre su recta soporte.

0 ( )M AB

A

B

A

´B

0 0( ´ ) 0 ´ ´ ´ ( )M A B A A B M AB

0

Tomando un vector A´B´ equipolente al AB, situado en la misma recta soporte, obtenemos que el momento respecto a 0 es el mismo, ya que:

0 0A A AA

A B AB Vectores equipolentes


Matemáticamente:

0 0( ´ ) 0 ´ ´ ´ ( )M A B A A B M AB

0( ´ ) (0 ) ´ ´ (0 ´ ) ( ´ )M A B A AA A B A A B AA A B

(0 )A ABNulo (son paralelos)

0 0( ´ ) 0 ( )M A B A AB M AB

Por tanto:


Conociendo el momento de un vector respecto a punto O, podemos determinar el momento respecto a otro punto O´.

0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB

Ecuación de cambio de centro de momentos: el momento respecto a un punto 0´ es igual al momento respecto a un punto 0 más el producto vectorial de los vectores 0´0 y AB.

0 ( ) 0M AB A AB

0( ) 0M AB A AB 0 0 0 0A A

Demostración:

Cambio de centro de momentos

AB

0 ( )M AB0 ( )M AB

A B

0

0

0 ( ) (0 0 0 )M AB A AB

0 ( ) 0 0 0M AB AB A AB

0M

0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB

0 0 0( ) ( ) ( )M AB M AB M A B


AB

0 ( )M AB0 ( )M AB

A B

0

0

00 0 0 0 ( )AB A B M A B

Por otra parte, como:

AB A B Vectores equipolentes

0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB

El momento resultante respecto un punto 0´ es igual al momento respecto a un punto O más el momento respecto a 0´de un vector equipolente al dado aplicado en 0.


0 0M M

Evidentemente, si es paralelo a AB00

0 0 0AB

El momento no varía.

El momento de un vector dado es el mismo respecto a todos los puntos de una recta paralela a la directriz de

ABAB

A

B

Momento axial

Momento axial o momento de un vector respecto a un eje. Es la proyección sobre ese eje del momento del vector respecto a punto cualquiera del eje E.

( ) · coseje eje E E eje EM proy M AB M u M

Es un escalar

A

B

E

( )EM AB

Momento axial

El momento respecto a un eje es único, no depende del punto elegido sobre el eje

Es evidente que si el vector es paralelo al eje, el momento axial es nulo

A

B

E

E


Cálculo vectorial

Consideramos un sistema de n vectores deslizantes, aplicados respectivamente en los puntos Pi, i(1,2,….n)


iv

1v

2v

3vnv

Se denomina sistema de vectores deslizantes al conjunto formado por un número cualquiera, finito o infinito, de vectores deslizantes.

Llamaremos Resultante general de un sistema de vectores deslizantes al vector que se obtiene sumando todos los vectores del sistema como si fuesen libres.

Resultante de un sistema de vectores deslizantes

1 2 ......... nR v v v

1 2 ....x x x nxR v v v

x y zR R i R j R k

1 2 ....y y y nyR v v v

1 2 ....z z z nzR v v v

La Resultante es un vector libre ya que es independiente del punto 0 de aplicación elegido.


El Momento resultante respecto a un punto 0 es la suma vectorial de los momentos de los vectores del sistema, respecto a dicho punto.

0 0 1 0 2 0( ) ( ) ...... ( )nC M v M v M v

0 1 1 2 20 0 ...... 0 n nC P v P v P v


Depende de la posición del punto 0, si tomamos otro punto 0´ se cumple:

0´ 0 0 0C C R

El Momento resultante respecto a un punto 0´ es igual al momento resultante respecto a 0 más el momento de la resultante (localizada en 0) respecto al punto 0´.


0 0´ 0 0 0C C si R

Para que el momento resultante respecto a un punto 0 sea igual momento respecto al punto 0´, la resultante debe ser nula o los vectores 0´0 y R paralelos.

0R

0 0 R

0 0´ 0´ ..... pC C C C

Momento independiente del punto respecto al que se calcula:

Un sistema de vectores deslizantes, cuya resultante es nula y el momento resultante es independiente del punto respecto al que se calcula, equivale a un par.


Par de vectores.

Es un sistema formado por dos vectores de igual módulo, direcciones paralelas y sentidos opuestos.

vvA

B


Par de vectores.

vvA

B

0C

0R

0 A BC C C AB v

Resultante nula

Independiente del punto Perpendicular al plano determinado por los vectores

Momento resultante:


Magnitudes que permanecen constantes en cualquier punto del espacio, y por tanto, son característicos de cada sistema. No cambian al cambiar el centro de momentos.

1.Resultante general: vector, su módulo y la norma.

2.Producto escalar de la resultante general y el momento resultante respecto a un punto cualquiera.

3.Cociente entre el segundo invariante y el primero

0· · · .... ·A B PRC RC RC RC Cte

0· · ·.....A P

R C R C R CCte

R R R

2; ;R R R

R


El tercer invariante expresa que la proyección del momento resultante sobre la resultante general es constante.

El tercer invariante también se denomina momento mínimo por coincidir con el módulo del momento mínimo.

0· RC u Cte

Una consecuencia inmediata es que el momento resultante será mínimo cuando la resultante y el momento resultante tengan la misma dirección.

0 mínC C

0

2

·mín

C RC R

R

Momento mínimo de un s. vectores deslizantes

El módulo del momento mínimo es el tercer invariante (tiene el mínimo valor posible para dicho sistema), su dirección y sentido son los de la resultante.

0 0 0· · · .... ·R R R E RC u C u C u C u Cte

0 0 0cos cos cos .... cos0ºEC C C C Cte

El momento respecto al punto O forma un ángulo α con la dirección de la resultante, el momento respecto al punto O´ forma un ángulo β, el momento respecto al punto O´´ forma un ángulo γ, etc. y el momento respecto al punto E es paralelo a la resultante.

Cuando el coseno del ángulo toma el máximo valor (cos 0º = 1), el momento toma el mínimo valor; por tanto

E mínC CE mín

RC C

R

Momento mínimo de un s. vectores deslizantes

0· ·EC R C R Cte

0

20 E E E

R CE x i y j z k

R

0

2

·mín

C RC R

R

Pero siempre se cumple que :

0EC C EO R

00 mínSi C C

Otra forma de calcular el momento mínimo es considerar que el momento de módulo mínimo es el momento respecto a un punto del eje central. Dicho punto se puede calcular mediante la expresión:

Una vez conocidas las coordenadas de dicho punto, se aplica la ecuación del cambio de momentos

Eje central de un s. vectores deslizantes

Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que dan momento resultante mínimo. Es decir, de todos los puntos del espacio respecto a los cuales el momento resultante y la resultante general son paralelos.

( , , )E E EE x y z

E E E

x y z

x x y y z z

R R R

R

E

Ecuación del Eje Central

Punto del Eje Central: E E mínC C

Sistema de vectores deslizantes concurrentes

Sistema de vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasa por un punto denominado punto de concurrencia (A)

A

2v

1v1A

2A

.

Como son vectores deslizantes podemos considerar que todos tienen como origen el punto A


A

2v1v

.

Momento resultante respecto a un punto 0 cualquiera:

0 1 2

0 1 2

0 0

0 ( ) 0

C A v A v

C A v v A R

0 0C A R

Teorema de Varignon

El momento de un sistema de vectores deslizantes concurrentes, respecto a un punto O, es igual al Mto. de la Resultante aplicada en el punto de concurrencia (A) respecto al mismo punto O.


Se deduce que: el momento resultante y la resultante son siempre perpendiculares y por tanto el segundo invariante es nulo.

0 0 · 0C R C R

El tercer invariante también será nulo, y en consecuencia, Se deduce que el momento mínimo es nulo.

0· · 0AC R C R También se cumple

Por tanto el eje central es el lugar geométrico de los puntos del espacio que den momento nulo.

S.v.d. concurrentes. Teorema de Varignon

A A A

x y z

x x y y z z

R R R

Ecuación del eje central:

El momento resultante respecto al punto de concurrencia es nulo, por tanto el punto de concurrencia pertenece al eje central

El punto de concurrencia A es un punto que da momento resultante nulo.

0AC

El eje central es la recta que pasa por A y es paralela a la resultante.

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