cálculo vectorial(1)
TRANSCRIPT
Cálculo vectorial
Unidad 1. Vectores y geometría en el
espacio
Sistema de coordenadas
tridimensionales
• Para localizar un punto en el espacio, se utilizan tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares
• Los ejes forman un sistema coordenado diestro o de mano derecha
• Las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por P, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes
• Las coordenadas cartesianas del espacio también se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las defines se cortan en ángulos rectos
Los planos determinados por los ejes coordinados son:
• plano xy, cuya ecuación estándar es z = 0
• plano xz, cuya ecuación estándar el y = 0
• plano yz, cuya ecuación estándar el x = 0
Estos planos se cortan en el origen (0,0,0)
El origen también se identifica simplemente con la letra O
Los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho celdas llamadas octantes
El octante en el cual todas las coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante
No hay numeración convencional para los otros siete octantes
Para escribir las ecuaciones de estos planos, se
utiliza la coordenada común
• El plano x = 2 es el plano perpendicular al eje
x en x = 2
• El plano y = 3 es el plano perpendicular al eje
y en y = 3
• El plano z = 5 es el plano perpendicular al eje
z en z = 5
Observaciones
La distancia entre P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es
La ecuación en forma estándar de la esfera de
radio a y centro en (x0,y0,z0) es
Distancia y esferas en el espacio
Vectores
• Para describir una fuerza, se necesita registrar
la dirección en la cuál actúa, así como la
magnitud
• El desplazamiento de un cuerpo, presenta la
dirección y que tan lejos se mueve
• Con la velocidad de un cuerpo, se debe
conocer hacia donde se dirige, así como la
rapidez con que viaja
• Las cantidades antes mencionadas se
representan por medio de un segmento de recta
dirigido
• La flecha apunta en la dirección de la acción y
su longitud representa la magnitud de la acción
en su unidad apropiada
Si varios vectores presentan la misma longitud, son paralelas y apuntan
en la misma dirección, sin importar su punto inicial, son iguales
Esto es: AB = CD = OP = EF
Sea v = PQ
Existe un segmento de recta dirigido igual a
PQ cuyo punto inicial es el origen
Ésta es la representación de v en posición
estándar y es el vector que normalmente se usa
para representar v
Se puede especificar a v escribiendo las coordenadas de su punto final (v1,v2,v3)
cuando v está en posición estándar
Si v es un vector en el plano, su punto final (v1,v2) tiene dos coordenadas
Definición
Dados los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2), el vector en posición estándar
v = (v1,v2,v3) igual a PQ es
v = {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}
• Dos vectores son iguales si y sólo si sus
vectores de posición estándar son idénticos
• De manera que (u1,u2,u3) y (v1,v2,v3) son
iguales si y sólo si u1 = v1, u2 = v2 y u3 = v3
La magnitud o longitud del vector v = PQ es el número positivo
El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 = (0,0) o
0 = (0,0,0)
Este vector es el único sin dirección específica
Operaciones algebraicas con vectores
Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar
Un escalar es simplemente un número real y se llama así cuando se quiere resaltar su diferencia en relación con los vectores
Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero y se usan para “escalar” un vector multiplicado
Sean u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3} vectores y k un escalar
Suma: u + v = {u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3}
Multiplicación por escalar: ku = {ku1, ku2,ku3}
La suma de vectores se realiza sumando los componentes
correspondientes de los vectores
Se multiplica por un escalar haciendo el producto de cada
componente por el escalar
Se aplican exactamente en el plano {u1,u2} y {v1,v2}
Ley del paralelogramo
Resultante
Resultante
Interpretación geométrica Ley del paralelogramo
Múltiplos escalares de u
Si k > 0, entonces ku tiene la misma dirección que u
Si k < 0, entonces la dirección de ku es opuesta a u
Si se comparan las longitudes de u y ku, se observa que
La longitud de ku es igual al producto del valor absoluto
del escalar k por la longitud de u
La diferencia u – v de dos vectores está definida por
u – v = u + (-v)
Si u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}, entonces
u – v = {u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3}
Propiedades de las operaciones con vectores
Cuando tres o más vectores en el espacio se encuentran en
el mismo plano, se le conoce como coplanares
Por ejemplo, los vectores u,v y u + v siempre son coplanares
Vectores unitarios
Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario
Los vectores unitarios estándar son
i = {1,0,0}, j = {0,1,0} y k = {0,0,1}
Cualquier vector v = {v1,v2,v3} se puede escribir como una
combinación lineal de los vectores unitarios estándar de la
siguiente manera
v = {v1,v2,v3} = {v1,0,0} + {0,v2,0} + {0,0,v3}
= v1{1,0,0} + v2{0,1,0} + v3{0,0,1}
= v1i + v2j + v3k
Se le llama escalar (o número) v1 el componente en i del vector v,
a v2 el componente en j y a v3 el componente en k
La expresión en componentes del vector de P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) es
P1P2 = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
Punto medio de un segmento de recta
Producto punto
• Si se aplica una fuerza F a una partícula que se
mueve a lo largo de una trayectoria, es
importante conocer la magnitud de la fuerza en
la dirección del movimiento
• Si v es paralelo a la recta tangente a la
trayectoria en el punto donde se aplica F, se
busca la magnitud de F en la dirección de v
La magnitud de la fuerza F en la dirección del vector v es la
longitud |F| cos θ de la proyección de F sobre v
Ángulo entre vectores
Cuando dos vectores no nulos u y v se colocan de manera que sus puntos
Iniciales coincidan, forman un ángulo θ con medida 0 ≤ θ ≤ π
El ángulo entre dos vectores no nulos u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}
está dado por
Producto punto
Producto cruz
• Cuando se necesitaba describir cuánto se
inclinaba una recta se utilizaba la pendiente y
el ángulo de inclinación
• En el espacio se quiere describir la forma en
que se inclina un plano
• Se consigue multiplicando dos vectores que se
encuentran en el plano para obtener un tercer
vector perpendicular a éste
• La inclinación de este vector indica la
“inclinación del plano”
• El producto que se usa para multiplicar los
vectores es el producto vectorial o producto
cruz
• Es el segundo método de multiplicación
vectorial que se usa en cálculo
El producto cruz de dos vectores
Sean u y v dos vectores en el espacio
Si u y v no son paralelos, entonces determinan un plano
Se selecciona un vector n perpendicular al plano mediante
la regla de la mano derecha
Entonces el producto cruz u × v es el vector que se define
a continuación:
u × v = (|u| |v| sen θ) n
Producto u × v
Obtención de componentes del producto cruz
|u × v | como área de un paralelogramo
Triple producto escalar o producto caja
El producto (u × v) · w se llama triple producto escalar de u, v y w
(en ese orden)
Como se puede ver en la ecuación siguiente:
|(u × v) · w| = |u × v| |w| |cos θ|, el valor absoluto del triple producto es el
volumen de un paralelepípedo
Rectas y planos en el espacio
• En el espacio, una recta está determinada por
un punto y un vector que indica la dirección de
la recta
• L es una recta que pasa por P0(x0,y0,z0) y que
es paralela a un vector v = v1i + v2j + v3k
• L es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z)
tales que P0P es paralelo v
Por lo tanto, P0P = tv para algún parámetro escalar t
El valor de t depende de la localización del punto P a
lo largo de la recta, el dominio de t es (- ∞, ∞)
La forma desarrollada de la ecuación P0P = tv es
(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k = t(v1i + v2j + v3k)
ó
xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + t(v1i + v2j + v3k)
Distancia de un punto a una recta
Para obtener la distancia de un punto S a una recta que pasa por un punto P,
paralela a un vector v, se determina el valor absoluto del componente escalar
de PS en la dirección de un vector normal a la recta
Ecuación para un plano en el espacio
Un plano en el espacio esta determinado por un punto en el plano y su
“inclinación” u orientación
Esta inclinación se define especificando un vector que es perpendicular
o normal al plano
Suponiendo que el plano M pasa por un punto P0(x0,y0,z0) y es normal
al vector n = Ai + Bj + Ck
Entonces M es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) para los cuales
P0P es ortogonal a n
Por lo tanto, el producto punto n· P0P = 0
Esta ecuación es equivalente a
(Ai + Bj + Ck) · [(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k] = 0
O bien,
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Cilindros y superficies cuadráticas
• Un cilindro es un superficie que se genera por
el movimiento de una recta paralela a una recta
fija dada a lo largo de una curva plana dada
Superficies cuadráticas
Una superficie cuadrática es a gráfica en el espacio de una ecuación de
segundo grado en x, y y z
Tiene por fórmula general Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E
Donde A, B, C, D y E son constantes
Gráficas de superficies cuadráticas
Problemas resueltos Problema 1.
Problema 2.
Problema 3.
Problema 4.
Problema 5.
Problema 6.
Dos botes remolcadores están empujando un barco,
como se muestra en la figura. Cada bote
remolcador está ejerciendo una fuerza de 400
libras. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el barco?
Problema 7.
Problema 8.
Problema 9.
Ó
Problema 10.
Problema 11.
Problema 12
Problema 13.
Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en
la figura. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.
Sean los vectores F1, F2, y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura, se
puede determinar que las direcciones de F1, F2 y F3 son las siguientes:
Solución
Problema 14.
Problema 15.
Problema 16.
Problema 17.
Problema 18.
Problema 19.
Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en
la figura. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la
rampa?
Problema 20.
Problema 21.
Negativo de a)
Problema 22.
Problema 23.
Problema 24.
Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud
unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de
esta fuerza respecto al punto P cuando θ = 60°
Problema 25.
Problema 26.
Problema 27.
Problema 28.
Problema 29.
Problema 30.
Problema 31.
Problema 32.
Problema 33.
Problema 34.
Problema 35.
Problema 36.